Ví dụ giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp số. Phương pháp số để giải phương trình vi phân

Giới thiệu

Khi giải quyết các vấn đề khoa học và kỹ thuật, thường cần phải mô tả bằng toán học bất kỳ hệ thống động nào. Điều này được thực hiện tốt nhất dưới dạng phương trình vi phân ( DU) hoặc hệ phương trình vi phân. Thông thường, một vấn đề như vậy phát sinh khi giải quyết các vấn đề liên quan đến mô hình hóa động học của các phản ứng hóa học và các hiện tượng truyền khác nhau (nhiệt, khối lượng, động lượng) - truyền nhiệt, trộn, sấy khô, hấp phụ, khi mô tả chuyển động của các hạt vĩ mô và vi mô.

Trong một số trường hợp, phương trình vi phân có thể được chuyển đổi thành dạng trong đó đạo hàm cao nhất được biểu thị rõ ràng. Dạng viết này được gọi là phương trình được giải theo đạo hàm cao nhất (trong trường hợp này, đạo hàm cao nhất không có ở vế phải của phương trình):

Một nghiệm của phương trình vi phân thường là một hàm y(x), với mọi x, thỏa mãn phương trình này trong một khoảng hữu hạn hoặc vô hạn nhất định. Quá trình giải một phương trình vi phân được gọi là tích phân phương trình vi phân.

Về mặt lịch sử, cách đầu tiên và đơn giản nhất để giải bài toán Cauchy cho các ODE bậc nhất là phương pháp Euler. Nó dựa trên phép tính gần đúng của đạo hàm theo tỷ lệ gia số hữu hạn của các biến phụ thuộc (y) và biến độc lập (x) giữa các nút của một lưới đồng nhất:

trong đó y i+1 là giá trị bắt buộc của hàm tại điểm x i+1 .

Độ chính xác của phương pháp Euler có thể được cải thiện nếu chúng ta sử dụng công thức tích phân chính xác hơn để tính gần đúng tích phân: công thức hình thang.

Công thức này hóa ra là ẩn đối với y i+1 (giá trị này nằm ở cả bên trái và bên phải của biểu thức), nghĩa là, nó là một phương trình cho y i+1 , chẳng hạn như có thể giải được , bằng số, sử dụng phương pháp lặp nào đó (với dạng như vậy có thể coi là công thức lặp của phương pháp lặp đơn).

Bố cục của đồ án môn học: Đồ án môn học gồm 3 phần. Trong phần đầu tiên, một mô tả ngắn gọn về các phương pháp. Trong phần thứ hai, công thức và giải pháp của vấn đề. Trong phần thứ ba - triển khai phần mềm bằng ngôn ngữ máy tính

Mục đích của khóa học: nghiên cứu hai phương pháp giải phương trình vi phân - phương pháp Euler-Cauchy và phương pháp Euler cải tiến.

1. Phần lý thuyết

sự khác biệt số

Phương trình vi phân là phương trình chứa một hoặc nhiều đạo hàm. Tùy thuộc vào số lượng biến độc lập, phương trình vi phân được chia thành hai loại.

Phương trình vi phân thông thường (ODE)

Phương trình vi phân từng phần.

Các phương trình vi phân thông thường được gọi là các phương trình chứa một hoặc nhiều đạo hàm của hàm mong muốn. Chúng có thể được viết dưới dạng

biến độc lập

Bậc cao nhất có trong phương trình (1) được gọi là bậc của phương trình vi phân.

ODE (tuyến tính) đơn giản nhất là phương trình (1) có thứ tự được giải theo đạo hàm

Nghiệm của phương trình vi phân (1) là bất kỳ hàm nào, sau khi thay nó vào phương trình, biến nó thành một đơn vị.

Vấn đề chính liên quan đến ODE tuyến tính được gọi là vấn đề Kashi:

Tìm nghiệm của phương trình (2) dưới dạng hàm số thỏa mãn điều kiện ban đầu (3)

Về mặt hình học, điều này có nghĩa là cần phải tìm đường cong tích phân đi qua điểm ) khi đẳng thức (2) được thỏa mãn.

Hàm số theo quan điểm của bài toán Kashi có nghĩa là: yêu cầu xây dựng một bảng giá trị hàm số thỏa mãn phương trình (2) và điều kiện ban đầu (3) trên một đoạn có một bước nhảy nào đó. Người ta thường giả định rằng điều kiện ban đầu được đưa ra ở đầu bên trái của đoạn.

Phương pháp số đơn giản nhất để giải phương trình vi phân là phương pháp Euler. Nó dựa trên ý tưởng xây dựng đồ họa một giải pháp cho phương trình vi phân, nhưng phương pháp này cũng cung cấp một cách để tìm hàm mong muốn ở dạng số hoặc trong bảng.

Cho phương trình (2) với điều kiện ban đầu, tức là bài toán Kashi được đặt. Trước tiên hãy giải quyết vấn đề sau. Tìm theo cách đơn giản nhất giá trị gần đúng của nghiệm tại một điểm nào đó có bước đủ nhỏ. Phương trình (2) cùng với điều kiện ban đầu (3) xác định hướng của tiếp tuyến của đường cong tích phân mong muốn tại điểm có tọa độ

Phương trình tiếp tuyến có dạng

Di chuyển dọc theo tiếp tuyến này, ta thu được giá trị gần đúng của nghiệm tại điểm :

Có một nghiệm gần đúng tại một điểm, chúng ta có thể lặp lại quy trình được mô tả trước đó: dựng một đường thẳng đi qua điểm này với hệ số góc , và sử dụng nó để tìm giá trị gần đúng của nghiệm tại điểm

. Lưu ý rằng đường thẳng này không tiếp tuyến với đường cong tích phân thực, vì điểm không có sẵn cho chúng ta, tuy nhiên, nếu nó đủ nhỏ, thì kết quả gần đúng sẽ gần với giá trị chính xác của nghiệm.

Tiếp tục ý tưởng này, chúng tôi xây dựng một hệ thống các điểm cách đều nhau

Lấy bảng giá trị của hàm mong muốn

theo phương pháp Euler bao gồm ứng dụng tuần hoàn của công thức

Hình 1. Giải thích đồ thị của phương pháp Euler

Các phương pháp tích phân số của các phương trình vi phân, trong đó các nghiệm thu được từ nút này sang nút khác, được gọi là từng bước. Phương pháp Euler là đại diện đơn giản nhất của phương pháp từng bước. Một đặc điểm của bất kỳ phương pháp từng bước nào là, bắt đầu từ bước thứ hai, giá trị ban đầu trong công thức (5) tự nó là gần đúng, nghĩa là sai số ở mỗi bước tiếp theo sẽ tăng lên một cách có hệ thống. Phương pháp được sử dụng nhiều nhất để ước tính độ chính xác của các phương pháp từng bước cho giải pháp số gần đúng của ODE là phương pháp nhân đôi một đoạn đã cho với một bước và với một bước

1.1 Phương pháp Euler cải tiến

Ý tưởng chính của phương pháp này: giá trị tiếp theo được tính theo công thức (5) sẽ chính xác hơn nếu giá trị của đạo hàm, nghĩa là độ dốc của đường thẳng thay thế đường cong tích phân trên đoạn, sẽ không được tính toán. dọc theo cạnh trái (nghĩa là tại điểm ), nhưng dọc theo tâm của đoạn . Nhưng vì giá trị của đạo hàm giữa các điểm không được tính, nên chúng ta hãy chuyển sang phần kép của tâm, trong đó có điểm, trong khi phương trình của đường thẳng có dạng:

Và công thức (5) có dạng

Công thức (7) chỉ được áp dụng cho, do đó, không thể lấy được giá trị từ nó, do đó, chúng được tìm thấy bằng phương pháp Euler, trong khi để có được kết quả chính xác hơn, chúng làm như sau: ngay từ đầu, sử dụng công thức (5 ), tìm giá trị

(8)

Tại điểm và sau đó được tìm thấy bởi công thức (7) với một bước

(9)

Sau khi tính toán thêm được tìm thấy cho sản xuất theo công thức (7)

phòng thí nghiệm 1

Phương pháp số của giải pháp

phương trình vi phân thường (4 giờ)

Khi giải nhiều bài toán vật lý và hình học, người ta phải tìm một hàm chưa biết bằng một mối quan hệ đã cho giữa hàm chưa biết, đạo hàm của nó và các biến độc lập. Tỷ lệ này được gọi là phương trình vi phân , và việc tìm một hàm thỏa mãn một phương trình vi phân được gọi là giải phương trình vi phân.

Phương trình vi phân thường được gọi là bình đẳng

, (1)

trong đó

là một biến độc lập thay đổi trong một số khoảng thời gian và - chức năng chưa biết y ( x ) và cô ấy đầu tiên N các dẫn xuất. gọi điện thứ tự của phương trình .

Vấn đề là tìm một hàm y thỏa mãn đẳng thức (1). Hơn nữa, không chỉ định điều này một cách riêng biệt, chúng tôi sẽ giả định rằng giải pháp mong muốn có một mức độ trơn tru nhất định cần thiết cho việc xây dựng và áp dụng "hợp pháp" một phương pháp cụ thể.

Có hai loại phương trình vi phân thường

Phương trình không có điều kiện ban đầu

Phương trình có điều kiện ban đầu.

Phương trình không có điều kiện đầu là một phương trình có dạng (1).

Phương trình với điều kiện ban đầu là một phương trình có dạng (1) trong đó cần tìm một hàm như vậy

, đối với một số thỏa mãn các điều kiện sau: ,

những thứ kia. tại điểm

hàm và các dẫn xuất đầu tiên của nó nhận các giá trị được gán trước.

Bài toán Cauchy

Khi nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vi phân bằng phương pháp gần đúng nhiệm vụ chính tính bài toán Cauchy.

Hãy xem xét phương pháp phổ biến nhất để giải bài toán Cauchy - phương pháp Runge-Kutta. Phương pháp này cho phép xây dựng các công thức để tính toán một giải pháp gần đúng với độ chính xác gần như bất kỳ.

Chúng ta hãy rút ra các công thức của phương pháp Runge-Kutta với độ chính xác bậc hai. Để làm điều này, chúng tôi biểu diễn giải pháp dưới dạng một phần của chuỗi Taylor, loại bỏ các điều khoản có thứ tự cao hơn thứ tự thứ hai. Sau đó, giá trị gần đúng của hàm mong muốn tại điểm x 1 có thể được viết như:

(2)

Dẫn xuất thứ hai y "( x 0 ) có thể được biểu thị dưới dạng đạo hàm của hàm f ( x , y ) , tuy nhiên, trong phương pháp Runge-Kutta, thay vì đạo hàm, sự khác biệt được sử dụng

lựa chọn hợp lý các giá trị của các tham số

Khi đó (2) có thể viết lại dưới dạng:

y 1 = y 0 + h [ β f ( x 0 , y 0 ) + α f ( x 0 + γh , y 0 + àh )], (3)

Ở đâu α , β , γ Và δ - một số tham số.

Xét vế phải của (3) là một hàm của đối số h , hãy phá vỡ nó trong sức mạnh h :

y 1 = y 0 +( α + β ) h f ( x 0 , y 0 ) + Ah 2 [ γ f x ( x 0 , y 0 ) + δ f y ( x 0 , y 0 )],

và chọn tùy chọn α , β , γ Và δ sao cho khai triển này gần với (2). Do đó nó theo sau đó

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 f ( x 0 , y 0 ).

Sử dụng các phương trình này, chúng tôi biểu thị β , γ Và δ thông qua các thông số α , chúng tôi nhận được

y 1 = y 0 + h [(1 - α ) f ( x 0 , y 0 ) + α f ( x 0 +, y 0 + f ( x 0 , y 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

Bây giờ nếu thay vì ( x 0 , y 0 ) trong (4) thay thế ( x 1 , y 1 ), ta thu được công thức tính y 2 – giá trị gần đúng của hàm mong muốn tại điểm x 2 .

Trong trường hợp chung, phương pháp Runge-Kutta được áp dụng trên một phân vùng tùy ý của đoạn [ x 0 , X ] TRÊN N các bộ phận, tức là với cao độ thay đổi

x 0 , x 1 , …, x n ; h i \u003d x i+1 - x i, x n \u003d X. (5)

Tùy chọn α chọn bằng 1 hoặc 0,5. Chúng ta hãy viết ra các công thức tính toán cuối cùng của phương pháp Runge-Kutta bậc hai với một bước thay đổi cho α =1:

y i+1 =y i +h i f(x i + , tôi + f(x i , y i)), (6.1)

Tôi = 0, 1,…, N -1.

Và α =0,5:

yi+1 =yi + , (6.2)

Tôi = 0, 1,…, N -1.

Các công thức được sử dụng nhiều nhất của phương pháp Runge-Kutta là các công thức có độ chính xác bậc 4:

yi+1 =yi + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4),

k 1 \u003d f (x i, y i), k 2 \u003d f (x i + , tôi + k1), (7)

k 3 = f(x i + , tôi + k 2), k 4 = f(x i + h, y i + hk 3).

Đối với phương pháp Runge-Kutta, quy tắc Runge để ước tính lỗi được áp dụng. Cho phép y ( x ; h ) là giá trị gần đúng của nghiệm tại điểm x , thu được bằng các công thức (6.1), (6.2) hoặc (7) với một bước h , MỘT P – thứ tự chính xác của công thức tương ứng. Sau đó, lỗi r ( h ) giá trị y ( x ; h ) có thể được ước tính bằng cách sử dụng giá trị gần đúng y ( x ; 2 h ) giải pháp điểm x , thu được với một bước 2 h :

(8)

Ở đâu P =2 cho các công thức (6.1) và (6.2) và P =4 cho (7).

Để giải phương trình vi phân cần biết giá trị của biến phụ thuộc và đạo hàm của nó đối với một số giá trị của biến độc lập. Nếu các điều kiện bổ sung được chỉ định cho một giá trị của ẩn số, tức là biến độc lập thì bài toán đó được gọi là bài toán Cauchy. Nếu các điều kiện ban đầu được đưa ra ở hai hoặc nhiều giá trị của biến độc lập, thì bài toán được gọi là bài toán biên. Khi giải phương trình vi phân các loại, hàm có giá trị bạn muốn xác định được tính dưới dạng bảng.

Phân loại các phương pháp số để giải khác biệt. Lv. các loại.

Bài toán Cauchy là một bước: phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta; – nhiều bước: Phương pháp chính, phương pháp Adams. Bài toán giá trị biên là một phương pháp rút gọn bài toán giá trị biên thành bài toán Cauchy; - phương pháp sai phân hữu hạn.

Khi giải quyết vấn đề Cauchy, difr. bạn. thứ tự n hoặc hệ thống difr. bạn. bậc nhất của n phương trình và n điều kiện bổ sung cho nghiệm của nó. Các điều kiện bổ sung phải được chỉ định cho cùng một giá trị của biến độc lập. Khi giải quyết một vấn đề ranh giới, eq. bậc n hoặc một hệ gồm n phương trình và thêm n điều kiện để có hai hay nhiều giá trị của biến độc lập. Khi giải bài toán Cauchy, hàm mong muốn được xác định rời rạc dưới dạng bảng với bước  cho trước nào đó. Khi xác định từng giá trị tiếp theo, bạn có thể sử dụng thông tin về một điểm trước đó. Trong trường hợp này, các phương pháp được gọi là phương pháp một bước hoặc bạn có thể sử dụng thông tin về một số điểm trước đó - phương pháp nhiều bước.

vi phân thông thường ur. bài toán Cauchy. Phương pháp một bước. phương pháp Euler.

Cho: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y( x 0)=y 0 . Đã biết: f(x,y), x 0 , y 0 . Xác định nghiệm rời rạc: x i , y i , i=0,1,…,n. Phương pháp Euler dựa trên sự khai triển của một hàm trong chuỗi Taylor xung quanh điểm x 0 . Vùng lân cận được mô tả theo bước h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). Phương pháp Euler chỉ tính đến hai số hạng của chuỗi Taylor. Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu. Công thức Euler sẽ có dạng: y i+1 =y i +y i , y i =hy(x i)=hf(x i ,y i), y i+1 =y i +hf(x i ,y i) (2), i= 0,1,2…, x i+1 = x i +h

Công thức (2) là công thức của phương pháp Euler đơn giản.

Giải thích hình học của công thức Euler

Để có nghiệm số, f-la của tiếp tuyến đi qua phương trình. tiếp tuyến: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1 ,

y 1 \u003d y (x 0) + f (x 0, y 0)  (x-x 0), vì

x-x 0 \u003d h, thì y 1 \u003d y 0 + hf (x 0, y 0), f (x 0, y 0) \u003d tg £.

Phương pháp Euler sửa đổi

Cho: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Đã biết: f(x,y), x 0 , y 0 . Xác định: sự phụ thuộc của y vào x dưới dạng hàm rời rạc dạng bảng: x i , y i , i=0,1,…,n.

Giải thích hình học

1) tính tiếp tuyến góc dốc tại điểm bắt đầu

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Tính giá trị  y n+1 trên

ở cuối bước theo công thức Euler

 y n+1 \u003d y n + f (x n, y n) 3) Tính tiếp tuyến của hệ số góc

tiếp tuyến tại n+1 điểm: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Tính trung bình cộng của các góc

độ dốc: tg £=½. 5) Sử dụng tang của góc dốc ta tính lại giá trị của hàm số tại n+1 điểm: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h là công thức của phương pháp Euler cải biên . Có thể chỉ ra rằng kết quả f-la tương ứng với khai triển của f-ii trong chuỗi Taylor, bao gồm các số hạng (đến h 2). Phương pháp Eilnr đã sửa đổi, trái ngược với phương pháp đơn giản, là một phương pháp có độ chính xác bậc hai, vì sai số tỷ lệ với h 2 .

Các phương trình vi phân thông thường được gọi là các phương trình chứa một hoặc nhiều đạo hàm của hàm mong muốn y=y (x). Chúng có thể được viết dưới dạng

Trong đó x là biến độc lập.

Bậc n cao nhất của đạo hàm trong phương trình được gọi là bậc của phương trình vi phân.

Các phương pháp giải phương trình vi phân thông thường có thể được chia thành các nhóm sau: đồ thị, giải tích, gần đúng và số.

Phương pháp đồ họa sử dụng các cấu trúc hình học.

Phương pháp phân tích được tìm thấy trong quá trình phương trình vi phân. Đối với phương trình bậc nhất (có biến tách rời, thuần nhất, tuyến tính, v.v.), cũng như đối với một số dạng phương trình bậc cao (ví dụ, tuyến tính với hệ số hằng), có thể thu được nghiệm ở dạng căn thức bằng các phép biến đổi giải tích.

Các phương pháp gần đúng sử dụng các cách đơn giản hóa khác nhau của chính các phương trình bằng cách loại bỏ hợp lý một số thuật ngữ có trong chúng, cũng như bằng cách lựa chọn đặc biệt các lớp của các hàm mong muốn.

Các phương pháp số giải phương trình vi phân hiện đang là công cụ chính trong nghiên cứu các bài toán khoa học kỹ thuật mô tả bằng phương trình vi phân. Đồng thời, cần nhấn mạnh rằng các phương pháp này đặc biệt hiệu quả khi kết hợp với việc sử dụng máy tính hiện đại.

Phương pháp số đơn giản nhất để giải bài toán Cauchy cho ODE là phương pháp Euler. Xét phương trình lân cận các nút (i=1,2,3,…) và thay đạo hàm vế trái bằng sai phân vế phải. Trong trường hợp này, các giá trị của hàm tại các nút sẽ được thay thế bằng các giá trị của hàm lưới:

Giá trị gần đúng thu được của DE thuộc thứ tự đầu tiên, vì cho phép xảy ra lỗi khi thay thế bằng .

Lưu ý rằng nó xuất phát từ phương trình

Do đó, đây là cách tìm gần đúng giá trị của hàm tại một điểm bằng cách sử dụng khai triển trong chuỗi Taylor với việc loại bỏ các số hạng của bậc hai và bậc cao hơn. Nói cách khác, số gia của một hàm được giả sử bằng vi phân của nó.

Giả sử i=0, sử dụng quan hệ ta tìm được giá trị của hàm grid tại:

Giá trị cần thiết ở đây được đưa ra bởi điều kiện ban đầu, tức là

Tương tự, có thể tìm thấy các giá trị của hàm lưới tại các nút khác:

Thuật toán được xây dựng được gọi là phương pháp Euler

Hình - 19 Phương pháp Euler

Giải thích hình học của phương pháp Euler được đưa ra trong hình. Hai bước đầu tiên được hiển thị, tức là việc tính toán hàm lưới tại các điểm được minh họa. Các đường cong tích phân 0,1,2 mô tả các nghiệm chính xác của phương trình. Trong trường hợp này, đường cong 0 tương ứng với nghiệm chính xác của bài toán Cauchy, vì nó đi qua điểm đầu A (x 0, y 0). Các điểm B, C thu được là kết quả của nghiệm số của bài toán Cauchy bằng phương pháp Euler. Độ lệch của chúng so với đường cong 0 đặc trưng cho sai số của phương pháp. Khi thực hiện từng bước, chúng ta thực sự đi đến một đường cong tích phân khác. Đoạn AB là đoạn tiếp tuyến của đường cong 0 tại điểm A, hệ số góc của nó được đặc trưng bởi giá trị của đạo hàm. Lỗi xuất hiện do mức tăng giá trị của hàm trong quá trình chuyển đổi từ x 0 sang x 1 được thay thế bằng mức tăng theo tung độ của tiếp tuyến với đường cong 0 tại điểm A. Tiếp tuyến BC đã được vẽ tới một đường cong tích phân khác 1 Do đó, sai số của phương pháp Euler dẫn đến thực tế là trên mỗi bước, nghiệm gần đúng chuyển sang một đường cong tích phân khác.

Định nghĩa của phương trình vi phân Euler. Các phương pháp của giải pháp của nó được xem xét.

Nội dung

Phương trình vi phân Euler là một phương trình có dạng
Một 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ một n- 1 xy′ + a n y = f(x).

Ở dạng tổng quát hơn, phương trình Euler có dạng:
.
Phương trình này được rút gọn thành dạng đơn giản hơn bằng cách thay thế t = ax + b, mà chúng ta sẽ xem xét.

Rút gọn phương trình vi phân Euler thành phương trình có hệ số không đổi.

Xét phương trình Euler:
(1) .
Nó được rút gọn thành một phương trình tuyến tính với các hệ số không đổi bằng cách thay thế:
x = et .
Thật vậy, sau đó
;
;
;

;
;
..........................

Do đó, các thừa số chứa x m triệt tiêu nhau. Có các số hạng với hệ số không đổi. Tuy nhiên, trong thực tế, để giải phương trình Euler, có thể áp dụng các phương pháp giải DE tuyến tính với hệ số hằng mà không cần dùng phép thế trên.

Giải phương trình Euler thuần nhất

Xét phương trình Euler thuần nhất:
(2) .
Chúng tôi đang tìm kiếm một giải pháp cho phương trình (2) ở dạng
.
;
;
........................
.
Thay thế vào (2) và giảm x k ​​. Ta được phương trình đặc trưng:
.
Chúng tôi giải nó và nhận được n nghiệm, điều này có thể phức tạp.

Hãy xem xét rễ thực sự. Gọi k i là một nghiệm của bội m . M nghiệm này tương ứng với m nghiệm độc lập tuyến tính:
.

Xem xét các gốc phức tạp. Chúng xuất hiện theo cặp cùng với các liên hợp phức tạp. Gọi k i là một nghiệm của bội m . Ta biểu diễn căn phức k i theo phần thực và phần ảo:
.
M gốc và m gốc liên hợp phức này tương ứng với 2m nghiệm độc lập tuyến tính:
;
;
..............................
.

Sau khi có n nghiệm độc lập tuyến tính ta được nghiệm tổng quát của phương trình (2):
(3) .

ví dụ

Giải phương trình:


Giải ví dụ >>>

Giải phương trình Euler không thuần nhất

Xét phương trình Euler không thuần nhất:
.
Phương pháp biến thiên hằng số (phương pháp Lagrange) cũng được áp dụng cho các phương trình Euler.

Đầu tiên, chúng ta giải phương trình thuần nhất (2) và thu được nghiệm tổng quát của nó (3). Sau đó, chúng tôi coi các hằng số là các hàm của biến x . Đạo hàm (3) n - 1 một lần. Chúng tôi nhận được biểu thức cho n - 1 đạo hàm của y đối với x. Với mỗi vi phân, các số hạng chứa đạo hàm được đánh đồng bằng không. Vì vậy, chúng tôi nhận được n - 1 phương trình liên quan đến đạo hàm. Tiếp theo, chúng ta tìm đạo hàm thứ n của y . Chúng tôi thay thế các đạo hàm thu được vào (1) và thu được phương trình thứ n liên quan đến các đạo hàm . Từ các phương trình này, chúng tôi xác định . Sau đó lấy tích phân ta được nghiệm tổng quát của phương trình (1).

Ví dụ

Giải phương trình:

Giải pháp > > >

Phương trình Euler không thuần nhất có phần không thuần nhất đặc biệt

Nếu phần không thuần nhất có dạng nhất định, thì việc tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất sẽ dễ dàng thu được nghiệm tổng quát hơn. Lớp này bao gồm các phương trình có dạng:
(4)
,
ở đâu là các đa thức theo bậc và , tương ứng.

Trong trường hợp này, việc thay thế sẽ dễ dàng hơn
,
và quyết định