Số nguyên tố và hợp số. Phân tích 6 số tổng hợp thành thừa số nguyên tố

Máy tính trực tuyến này được thiết kế để phân tích một hàm số.

Ví dụ: phân tích thành nhân tử: x 2 /3-3x+12. Hãy viết nó dưới dạng x^2/3-3*x+12. Bạn cũng có thể sử dụng dịch vụ này, nơi tất cả các phép tính được lưu ở định dạng Word.

Ví dụ, phân hủy thành các thuật ngữ. Hãy viết nó dưới dạng (1-x^2)/(x^3+x) . Để xem tiến trình của giải pháp, hãy nhấp vào Hiển thị các bước. Nếu bạn cần lấy kết quả ở định dạng Word, hãy sử dụng dịch vụ này.

Ghi chú: số “pi” (π) viết là pi; căn bậc hai là sqrt , ví dụ sqrt(3) , tang tg được viết tan . Để xem câu trả lời, hãy xem Giải pháp thay thế.

Ví dụ: nếu một biểu thức đơn giản được đưa ra, 8*d+12*c*d, thì phân tích thành nhân tử biểu thức có nghĩa là biểu diễn biểu thức đó dưới dạng thừa số. Để làm được điều này, bạn cần tìm các yếu tố chung. Hãy viết biểu thức này là: 4*d*(2+3*c) .
Trình bày tích số dưới dạng hai nhị thức: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Ở đây bạn đã cần tìm một số thừa số chung: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Chúng ta lấy ra (x+7z) và nhận được: (x+7z)(x + 3y) .

xem thêm Chia đa thức với một góc (tất cả các bước chia cho một cột được hiển thị)

Hữu ích khi nghiên cứu các quy tắc phân tích nhân tử sẽ công thức nhân rút gọn, với sự trợ giúp của nó, bạn sẽ hiểu rõ cách mở dấu ngoặc bằng hình vuông:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a 2 - b 2
a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
(a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
(a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Phương pháp nhân tử hóa

Sau khi học được một số kỹ thuật phân tích thành thừa số Có thể phân loại các giải pháp sau:

Sử dụng công thức nhân rút gọn.
Tìm nhân tử chung.

Tất cả bắt đầu với sự tiến triển hình học. Ở bài giảng đầu tiên về hàng (xem phần 18.1. Định nghĩa cơ bản) ta đã chứng minh được hàm số này là tổng của chuỗi và chuỗi hội tụ đến hàm tại
. Vì thế,

Hãy để chúng tôi liệt kê một số giống của loạt bài này. Thay thế X TRÊN - X , chúng tôi nhận được

khi thay thế X TRÊN
chúng tôi nhận được

vân vân.; Vùng hội tụ của tất cả các chuỗi này là như nhau:
.

2.
.

Tất cả các đạo hàm của hàm này tại điểm X =0 đều bằng nhau
, vậy chuỗi trông giống như

Diện tích hội tụ của chuỗi này là toàn bộ trục số (ví dụ 6 phần 18.2.4.3. Bán kính hội tụ, khoảng hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa), Đó là lý do tại sao
Tại
. Kết quả là số hạng còn lại của công thức Taylor
. Do đó chuỗi hội tụ đến
tại bất kỳ thời điểm nào X .

3.
.

Chuỗi này hội tụ tuyệt đối tại

, và tổng của nó thực sự bằng nhau
. Số hạng còn lại của công thức Taylor có dạng
, Ở đâu
hoặc
- chức năng hạn chế, và
(đây là số hạng tổng quát của khai triển trước).

4.
.

Việc khai triển này có thể đạt được, giống như những lần khai triển trước, bằng cách tính đạo hàm tuần tự, nhưng chúng ta sẽ tiến hành theo cách khác. Chúng ta hãy phân biệt thuật ngữ của loạt bài trước theo thuật ngữ:

Sự hội tụ tới một hàm trên toàn bộ trục suy ra từ định lý về vi phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa.

5. Chứng minh độc lập rằng trên toàn bộ trục số, .

6.
.

Chuỗi cho chức năng này được gọi là chuỗi nhị thức. Ở đây chúng ta sẽ tính đạo hàm.

... Dãy Maclaurin có dạng

Chúng ta đang tìm khoảng hội tụ: do đó, khoảng hội tụ là
. Chúng ta sẽ không nghiên cứu số hạng còn lại và trạng thái của chuỗi ở cuối khoảng hội tụ; hóa ra là khi
Chuỗi hội tụ tuyệt đối tại cả hai điểm
, Tại
chuỗi hội tụ có điều kiện tại một điểm
và phân kỳ tại một điểm
, Tại
phân kỳ ở cả hai điểm.

7.
.

Ở đây chúng ta sẽ sử dụng thực tế là
. Vì , sau đó, sau khi tích hợp từng số hạng,

Diện tích hội tụ của chuỗi này là nửa khoảng
, sự hội tụ về hàm tại các điểm trong suy ra từ định lý về tích phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa, tại điểm X =1 - từ tính liên tục của cả hàm số và tổng của chuỗi lũy thừa tại mọi điểm, gần tùy ý với X = còn 1. Lưu ý rằng việc lấy X =1 thì ta sẽ tìm được tổng của chuỗi .

8. Tích phân chuỗi số hạng theo số hạng, ta thu được khai triển của hàm
. Tự mình thực hiện tất cả các phép tính, viết ra vùng hội tụ.

9. Hãy viết khai triển của hàm
theo công thức chuỗi nhị thức với
: . mẫu số
được biểu diễn dưới dạng , giai thừa kép
là tích của tất cả các số tự nhiên có cùng tính chẵn lẻ với , không vượt quá . Việc khai triển hội tụ đến hàm tại
. Tích phân từng số hạng từ 0 đến X , Chúng tôi sẽ nhận . Hóa ra chuỗi này hội tụ về hàm trên toàn bộ khoảng
; Tại X =1 chúng ta có được một cách biểu diễn đẹp khác của số :
.

18.2.6.2. Giải các bài toán liên quan đến khai triển chuỗi hàm. Hầu hết các bài toán mà bạn cần khai triển hàm cơ bản thành chuỗi lũy thừa
, được giải bằng cách sử dụng khai triển chuẩn. May mắn thay, mọi hàm cơ bản đều có một thuộc tính cho phép bạn thực hiện điều này. Hãy xem xét một số ví dụ.

1. Mở rộng chức năng
theo độ
.

Giải pháp. . Chuỗi hội tụ tại
.

2. Mở rộng chức năng
theo độ
.

Giải pháp.
. Vùng hội tụ:
.

3. Mở rộng chức năng
theo độ
.

Giải pháp. . Chuỗi hội tụ tại
.

4. Mở rộng chức năng
theo độ
.

Giải pháp. . Chuỗi hội tụ tại
.

5. Mở rộng chức năng
theo độ
.

Giải pháp. . Vùng hội tụ
.

6. Mở rộng chức năng
theo độ
.

Giải pháp. Việc khai triển thành một chuỗi các phân số hữu tỷ đơn giản thuộc loại thứ hai có được bằng cách lấy vi phân từng số hạng của các khai triển tương ứng của các phân số thuộc loại thứ nhất. Trong ví dụ này. Hơn nữa, bằng cách phân biệt từng thuật ngữ, chúng ta có thể thu được sự mở rộng của các hàm
,
vân vân.

7. Mở rộng chức năng
theo độ
.

Giải pháp. Nếu một phân số hữu tỷ không phải là một phân số đơn giản thì trước tiên nó được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số đơn giản:
, rồi tiến hành như trong ví dụ 5: trong đó
.

Đương nhiên, cách tiếp cận này không thể áp dụng được, chẳng hạn như để phân tách hàm theo độ X . Ở đây, nếu bạn cần lấy một vài số hạng đầu tiên của chuỗi Taylor thì cách dễ nhất là tìm các giá trị tại điểm X =0 số đạo hàm bậc nhất cần thiết.

Mọi số tự nhiên, trừ một, đều có hai ước số trở lên. Ví dụ: số 7 chỉ chia hết cho 1 và 7 không có dư, tức là nó có hai ước. Và số 8 có các ước số 1, 2, 4, 8, tức là có tới 4 ước số cùng một lúc.

Sự khác biệt giữa số nguyên tố và số tổng hợp là gì?

Những số có nhiều hơn hai ước số được gọi là hợp số. Những số chỉ có hai ước: một và chính nó được gọi là số nguyên tố.

Số 1 chỉ có một phân chia là chính số đó. Một không phải là số nguyên tố cũng không phải là số tổng hợp.

Ví dụ: số 7 là số nguyên tố và số 8 là hợp số.

10 số nguyên tố đầu tiên: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, tất cả các số nguyên tố khác đều là số lẻ.

Số 78 là số tổng hợp, vì ngoài 1 và chính nó, nó còn chia hết cho 2. Khi chia cho 2, ta được 39. Tức là 78 = 2*39. Trong những trường hợp như vậy, họ nói rằng số đó đã được tính thành thừa số 2 và 39.

Bất kỳ số tổng hợp nào cũng có thể được phân tách thành hai thừa số, mỗi thừa số đều lớn hơn 1. Thủ thuật này sẽ không áp dụng được với số nguyên tố. Vì vậy, nó đi.

Phân tích một số thành thừa số nguyên tố

Như đã lưu ý ở trên, bất kỳ số tổng hợp nào cũng có thể được phân tách thành hai thừa số. Ví dụ: lấy số 210. Số này có thể phân tích thành hai thừa số 21 và 10. Nhưng các số 21 và 10 cũng là hợp số, chúng ta hãy phân tích chúng thành hai thừa số. Chúng ta nhận được 10 = 2*5, 21=3*7. Và kết quả là số 210 bị phân tích thành 4 thừa số: 2,3,5,7. Những số này đã là số nguyên tố và không thể khai triển được. Tức là chúng ta đã phân tích số 210 thành thừa số nguyên tố.

Khi phân tích các số tổng hợp thành thừa số nguyên tố, chúng thường được viết theo thứ tự tăng dần.

Cần nhớ rằng bất kỳ số tổng hợp nào cũng có thể được phân tách thành thừa số nguyên tố và theo một cách duy nhất, cho đến hoán vị.

Thông thường, khi phân tích một số thành thừa số nguyên tố, tiêu chí chia hết được sử dụng.

Hãy phân tích số 378 thành thừa số nguyên tố

Chúng ta sẽ viết ra các số, ngăn cách chúng bằng một đường thẳng đứng. Số 378 chia hết cho 2 vì tận cùng là 8. Khi chia ta được số 189. Tổng các chữ số của số 189 chia hết cho 3, nghĩa là bản thân số 189 chia hết cho 3. Kết quả là 63.

Số 63 cũng chia hết cho 3 theo tính chia hết. Ta được 21, số 21 lại có thể chia cho 3, ta được 7. Bảy chỉ chia cho chính nó, ta được một. Điều này hoàn thành việc phân chia. Ở bên phải sau dòng là các thừa số nguyên tố mà số 378 được phân tách.

378|2
189|3
63|3
21|3

bao thanh toán nghĩa là gì? Làm thế nào để làm nó? Bạn có thể học được gì từ việc phân tích một số thành thừa số nguyên tố? Câu trả lời cho những câu hỏi này được minh họa bằng các ví dụ cụ thể.

Các định nghĩa:

Một số có đúng hai ước số khác nhau được gọi là số nguyên tố.

Một số có nhiều hơn hai ước số được gọi là hợp số.

Phân tích một số tự nhiên có nghĩa là biểu diễn nó dưới dạng tích của các số tự nhiên.

Phân tích một số tự nhiên thành thừa số nguyên tố có nghĩa là biểu diễn nó dưới dạng tích của các số nguyên tố.

Ghi chú:

Trong phân tích một số nguyên tố, một trong các thừa số bằng một và thừa số còn lại bằng chính số đó.
Thật vô nghĩa khi nói về sự thống nhất bao thanh toán.
Một số tổng hợp có thể được phân tích thành thừa số, mỗi thừa số khác 1.

	Hãy phân tích số 150. Ví dụ: 150 là 15 nhân 10. 15 là hợp số. Nó có thể được phân tích thành thừa số nguyên tố của 5 và 3. 10 là hợp số. Nó có thể được phân tích thành thừa số nguyên tố của 5 và 2. Bằng cách viết phân tích của chúng thành thừa số nguyên tố thay vì 15 và 10, chúng ta thu được phân tích của số 150.
	Số 150 có thể được phân tích theo cách khác. Ví dụ: 150 là tích của số 5 và 30. 5 là số nguyên tố. 30 là hợp số. Nó có thể được coi là tích của 10 và 3. 10 là hợp số. Nó có thể được phân tích thành thừa số nguyên tố của 5 và 2. Chúng ta đã thu được hệ số hóa của 150 thành thừa số nguyên tố theo một cách khác.
	Lưu ý rằng việc mở rộng thứ nhất và thứ hai là như nhau. Chúng chỉ khác nhau về thứ tự của các yếu tố. Người ta thường viết các thừa số theo thứ tự tăng dần.
Mỗi hợp số có thể được phân tích thành thừa số nguyên tố theo một cách duy nhất, tùy theo thứ tự của các thừa số.

Khi phân tích các số lớn thành thừa số nguyên tố, hãy sử dụng ký hiệu cột:

Số nguyên tố nhỏ nhất chia hết cho 216 là 2.

Chia 216 cho 2. Chúng ta được 108.

Số kết quả 108 được chia cho 2.

Hãy thực hiện phép chia. Kết quả là 54.

Theo phép thử chia hết cho 2 thì số 54 chia hết cho 2.

Sau khi chia, chúng tôi nhận được 27.

Số 27 có tận cùng là chữ số lẻ 7. Nó

Không chia hết cho 2. Số nguyên tố tiếp theo là 3.

Chia 27 cho 3. Chúng ta được 9. Số nguyên tố nhỏ nhất

Số 9 chia hết cho 3. Ba là số nguyên tố; nó chia hết cho chính nó và một. Hãy chia 3 cho chính mình. Cuối cùng chúng ta đã có được 1.

Một số chỉ chia hết cho những số nguyên tố là một phần của sự phân rã của nó.
Một số chỉ chia hết cho những hợp số mà sự phân tách thành các thừa số nguyên tố được chứa hoàn toàn trong đó.

Hãy xem xét các ví dụ:

4900 chia hết cho các số nguyên tố 2, 5 và 7 (chúng nằm trong khai triển của số 4900), nhưng không chia hết cho, chẳng hạn như 13.

11 550 75. Sở dĩ như vậy là vì phép phân tích của số 75 hoàn toàn nằm trong phép phân tích của số 11550.

Kết quả của phép chia sẽ là tích của các thừa số 2, 7 và 11.

11550 không chia hết cho 4 vì khai triển thành 4 có thêm hai.

Tìm thương của phép chia số a cho số b nếu các số này phân tích thành thừa số nguyên tố như sau: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Sự phân rã của số b hoàn toàn nằm trong sự phân tách của số a.

Kết quả của phép chia a cho b là tích của ba số còn lại trong khai triển a.

Vậy đáp án là: 30.

Thư mục

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Toán 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Toán lớp 6. - Phòng tập thể dục. 2006.
Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Đằng sau những trang sách giáo khoa toán học - M.: Giáo dục, 1989.
Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Bài tập môn toán lớp 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Toán 5-6. Sách hướng dẫn học sinh lớp 6 trường THCS MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
Shevrin L.N., Gein A.G., Korykov I.O., Volkov M.V. Toán: Sách giáo khoa - người đối thoại lớp 5-6 THCS. - M.: Sư phạm, Thư viện Giáo viên Toán, 1989.

Cổng thông tin Internet Matematika-na.ru ().
Cổng thông tin Internet Math-portal.ru ().

Bài tập về nhà

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Toán 6. - M.: Mnemosyne, 2012. Số 127, Số 129, Số 141.
Nhiệm vụ khác: số 133, số 144.