Mở khối tổng. Khối lập phương và hiệu của khối: quy tắc áp dụng công thức nhân rút gọn

Công thức nhân viết tắt. Đào tạo.

Hãy thử đánh giá các biểu thức sau theo cách này:

Câu trả lời:

Hoặc, nếu bạn biết bình phương của các số có hai chữ số cơ bản, hãy nhớ nó bằng bao nhiêu? Bạn có nhớ? . Tuyệt vời! Vì chúng ta đang bình phương nên chúng ta phải nhân với nhau. Hóa ra là thế.

Hãy nhớ rằng công thức tính tổng bình phương và hiệu bình phương không chỉ hợp lệ cho các biểu thức số:

Tự tính các biểu thức sau:

Câu trả lời:

Công thức nhân viết tắt. Điểm mấu chốt.

Hãy tóm tắt một chút và viết các công thức tính bình phương của tổng và hiệu trong một dòng:

Bây giờ chúng ta hãy thực hành “lắp ráp” công thức từ dạng xem được phân tách này sang dạng xem khác. Chúng ta sẽ cần kỹ năng này sau này khi chuyển đổi các biểu thức lớn.

Giả sử chúng ta có biểu thức sau:

Chúng ta biết rằng bình phương của tổng (hoặc hiệu) là bình phương của một số bình phương của một số khác Và gấp đôi tích của những con số này.

Trong bài toán này, dễ dàng nhận thấy bình phương của một số - đây. Theo đó, một trong các số trong ngoặc là căn bậc hai của, tức là

Vì số hạng thứ hai chứa, điều đó có nghĩa là đây lần lượt là tích kép của số này và số khác:

Số thứ hai được bao gồm trong dấu ngoặc của chúng tôi ở đâu.

Số thứ hai trong ngoặc bằng.

Hãy kiểm tra. nên bằng nhau. Thật vậy, điều này là như vậy, có nghĩa là chúng ta đã tìm thấy cả hai số nằm trong ngoặc: và. Nó vẫn còn để xác định dấu hiệu đứng giữa chúng. Bạn nghĩ sẽ có loại dấu hiệu nào?

Phải! Vì chúng tôi thêm vào Nếu tích gấp đôi thì sẽ có dấu cộng giữa các số. Bây giờ hãy viết biểu thức đã biến đổi. Bạn đã quản lý được chưa? Bạn sẽ nhận được những điều sau đây:

Lưu ý: việc thay đổi vị trí của các số hạng không ảnh hưởng đến kết quả (việc cộng hay trừ được đặt giữa và không quan trọng).

Không nhất thiết các số hạng trong biểu thức đang được chuyển đổi phải giống như được viết trong công thức. Hãy nhìn vào biểu thức này: . Hãy thử tự chuyển đổi nó. Đã xảy ra?

Thực hành - biến đổi các biểu thức sau:

Câu trả lời: Bạn đã quản lý được chưa? Hãy sửa chủ đề. Chọn từ các biểu thức bên dưới những biểu thức có thể được biểu diễn dưới dạng bình phương của tổng hoặc hiệu.

1. - Chứng minh nó tương đương

1. - không thể được biểu diễn dưới dạng hình vuông; người ta có thể tưởng tượng nếu thay vào đó có.

Sự khác biệt của hình vuông

Một công thức nhân viết tắt khác là hiệu các bình phương.

Sự khác biệt của hình vuông không phải là bình phương của sự khác biệt!

Hiệu giữa các bình phương của hai số bằng tích của tổng các số này và hiệu của chúng:

Hãy kiểm tra xem công thức này có đúng không. Để làm điều này, hãy nhân lên, như chúng ta đã làm khi rút ra các công thức tính bình phương của tổng và hiệu:

Vì vậy, chúng tôi vừa xác minh rằng công thức thực sự chính xác. Công thức này cũng đơn giản hóa các hoạt động tính toán phức tạp. Đây là một ví dụ:

Cần tính: . Tất nhiên, chúng ta có thể bình phương, sau đó bình phương và trừ cái này với cái kia, nhưng công thức giúp chúng ta dễ dàng hơn:

Đã xảy ra? Hãy so sánh kết quả:

Cũng giống như bình phương của một tổng (hiệu), công thức hiệu của bình phương không chỉ có thể được sử dụng với các số:

Biết cách tính hiệu các bình phương sẽ giúp chúng ta biến đổi các biểu thức toán học phức tạp.

Chú ý:

Vì khi phân tích hiệu của biểu thức đúng theo bình phương, chúng ta nhận được

Hãy cẩn thận và xem thuật ngữ cụ thể nào đang được bình phương! Để củng cố chủ đề, hãy biến đổi các biểu thức sau:

Bạn đã viết nó ra? Hãy so sánh các biểu thức kết quả:

Bây giờ bạn đã nắm vững bình phương của tổng và bình phương của hiệu, cũng như hiệu của các bình phương, hãy thử giải các ví dụ về sự kết hợp của ba công thức này.

Chuyển đổi các biểu thức cơ bản (tổng bình phương, hiệu bình phương, hiệu bình phương)

Giả sử chúng ta được cho một ví dụ

Biểu thức này cần phải được đơn giản hóa. Hãy nhìn kỹ, bạn thấy gì ở tử số? Đúng vậy, tử số là một hình vuông hoàn hảo:

Khi đơn giản hóa một biểu thức, hãy nhớ rằng manh mối để đi theo hướng đơn giản hóa nằm ở mẫu số (hoặc tử số). Trong trường hợp của chúng ta, khi mẫu số được mở rộng và không thể làm gì thêm nữa, chúng ta có thể hiểu rằng tử số sẽ là bình phương của tổng hoặc bình phương của hiệu. Vì chúng ta đang cộng, nên rõ ràng tử số là bình phương của tổng.

Hãy thử tự mình chuyển đổi các biểu thức sau:

Đã xảy ra? So sánh các câu trả lời và đi tiếp!

Khối tổng và khối chênh lệch

Công thức tổng lập phương và hiệu lập phương được suy ra theo cách tương tự như bình phương của tổng Và chênh lệch bình phương: mở ngoặc khi nhân các số hạng với nhau.

Nếu bình phương của tổng và bình phương của hiệu rất dễ nhớ thì câu hỏi đặt ra là: “làm thế nào để nhớ được hình khối?”

Hãy xem xét kỹ hai công thức được mô tả khi so sánh với bình phương các số hạng tương tự:

Bạn nhìn thấy mẫu hình gì?

1. Khi dựng lên ở quảng trường chúng ta có quảng trường ngày đầu tiên và quảng trường thứ hai; khi được nâng lên thành khối lập phương - vâng khối lập phương cùng một số và khối lập phương một số khác.

2. Khi dựng lên ở quảng trường, chúng ta có nhân đôi tích của các số (các số được nâng lên lũy thừa 1, nhỏ hơn một lũy thừa so với lũy thừa mà chúng ta nâng biểu thức lên); trong quá trình thi công ở khối lập phương - tăng gấp ba lần một tích trong đó một trong các số được bình phương (cũng nhỏ hơn 1 lũy thừa so với lũy thừa mà chúng ta nâng biểu thức lên).

3. Khi bình phương, dấu trong ngoặc trong biểu thức mở được thể hiện khi cộng (hoặc trừ) tích kép - nếu có phép cộng trong ngoặc thì ta cộng, nếu có phép trừ thì ta trừ; khi nâng một khối lập phương, quy tắc là: nếu chúng ta có một khối tổng thì tất cả các dấu hiệu là “+”, và nếu chúng ta có một khối sai phân thì các dấu hiệu thay thế: “ ” - “ ” - “ ” - “ “ .

Tất cả những điều trên, ngoại trừ sự phụ thuộc của lũy thừa khi nhân các số hạng, được thể hiện trên hình.

Chúng ta luyện tập nhé? Mở ngoặc trong các biểu thức sau:

So sánh các biểu thức kết quả:

Sự khác biệt và tổng của các khối

Chúng ta hãy xem cặp công thức cuối cùng: hiệu và tổng các khối.

Như chúng ta nhớ, trong hiệu của các bình phương, chúng ta nhân hiệu và tổng của các số này với nhau. Ngoài ra còn có hai dấu ngoặc trong hiệu số lập phương và tổng lập phương:

1 dấu ngoặc - hiệu (hoặc tổng) của các số với lũy thừa bậc nhất (tùy thuộc vào việc chúng ta tiết lộ hiệu hay tổng các khối);

Dấu ngoặc thứ 2 là một hình vuông không đầy đủ (xem kỹ: nếu ta trừ (hoặc cộng) hai tích của các số thì sẽ có một hình vuông), dấu khi nhân các số là ngược với dấu của biểu thức ban đầu.

Để củng cố chủ đề, hãy giải một vài ví dụ:

So sánh các biểu thức kết quả:

Đào tạo

Câu trả lời:

Hãy tóm tắt:

Có 7 công thức nhân rút gọn:

TRÌNH ĐỘ CAO

Công thức nhân viết tắt là các công thức mà khi biết bạn có thể tránh thực hiện một số hành động tiêu chuẩn khi đơn giản hóa biểu thức hoặc phân tích thành nhân tử của đa thức. Các công thức nhân viết tắt cần phải thuộc lòng!

1. Bình phương của tổng hai biểu thức bằng bình phương của biểu thức thứ nhất cộng với hai lần tích của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai cộng với bình phương của biểu thức thứ hai:
2. Chênh lệch bình phương hai biểu thức bằng bình phương của biểu thức thứ nhất trừ đi hai lần tích của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai cộng với bình phương của biểu thức thứ hai:
3. Sự khác biệt của hình vuông hai biểu thức bằng tích hiệu của các biểu thức này và tổng của chúng:
4. Khối tổng hai biểu thức bằng lập phương của biểu thức thứ nhất cộng ba lần tích bình phương của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai cộng ba lần tích biểu thức thứ nhất và bình phương của biểu thức thứ hai cộng với lập phương của biểu thức thứ hai:
5. khối khác biệt hai biểu thức bằng lập phương của biểu thức thứ nhất trừ ba lần tích bình phương của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai cộng ba lần tích biểu thức thứ nhất và bình phương của biểu thức thứ hai trừ lập phương của biểu thức thứ hai:
6. Tổng các hình khối hai biểu thức bằng tích của tổng của biểu thức thứ nhất và thứ hai và bình phương không đầy đủ của hiệu của các biểu thức này:
7. Sự khác biệt của hình khối hai biểu thức bằng tích của hiệu của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai với bình phương không đầy đủ của tổng các biểu thức này:

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh tất cả các công thức này.

Công thức nhân viết tắt. Bằng chứng.

1. .
Bình phương một biểu thức có nghĩa là nhân nó với chính nó:
.

Hãy mở ngoặc và đưa ra những cái tương tự:

2. .
Chúng tôi làm điều tương tự: chúng tôi nhân sự khác biệt với chính nó, mở dấu ngoặc và đưa ra những kết quả tương tự:
.

3. .
Hãy lấy biểu thức ở bên phải và mở ngoặc:
.

4. .
Một số lập phương có thể được biểu diễn dưới dạng số này nhân với bình phương của nó:

Tương tự:

Trong sự khác biệt của hình khối, các dấu hiệu thay thế.

6. .

.

7. .
Hãy mở dấu ngoặc ở phía bên phải:
.

Sử dụng công thức nhân rút gọn để giải ví dụ

Ví dụ 1:

Tìm ý nghĩa của các biểu thức:

Giải pháp:

1. Chúng ta sử dụng công thức bình phương của tổng: .
2. Hãy tưởng tượng con số này là một hiệu và sử dụng công thức tính bình phương của hiệu: .

Ví dụ 2:

Tìm ý nghĩa của biểu thức: .

Giải pháp:

Áp dụng công thức tính hiệu bình phương của hai biểu thức, ta có:

Ví dụ 3:

Đơn giản hóa biểu thức:

Giải theo hai cách:

Hãy sử dụng các công thức: bình phương của tổng và bình phương của hiệu:

Phương pháp II.

Hãy sử dụng công thức tính hiệu bình phương của hai biểu thức:

BÂY GIỜ LỜI CỦA BẠN...

Tôi đã kể cho bạn mọi điều tôi biết về công thức nhân rút gọn.

Hãy nói cho tôi biết bây giờ, bạn sẽ sử dụng chúng chứ? Nếu không, tai sao không?

Bạn thích bài viết này như thế nào?

Có lẽ bạn có thắc mắc. Hoặc gợi ý.

Viết trong các ý kiến. Chúng tôi đọc tất cả các ý kiến ​​​​và trả lời tất cả.

Và chúc may mắn trong kỳ thi của bạn!

Trong bài học trước chúng ta đã giải quyết vấn đề nhân tử hóa. Chúng tôi đã thành thạo hai phương pháp: đưa thừa số chung ra khỏi ngoặc và nhóm. Trong bài học này - phương pháp mạnh mẽ sau đây: công thức nhân rút gọn. Tóm lại - FSU.

Các công thức nhân rút gọn (tổng và hiệu bình phương, tổng và hiệu lập phương, hiệu bình phương, tổng và hiệu lập phương) là vô cùng cần thiết trong tất cả các ngành toán học. Chúng được sử dụng trong việc đơn giản hóa biểu thức, giải phương trình, nhân đa thức, rút ​​gọn phân số, giải tích phân, v.v. và như thế. Nói tóm lại, có mọi lý do để đối phó với chúng. Hiểu chúng đến từ đâu, tại sao chúng cần thiết, cách ghi nhớ chúng và cách áp dụng chúng.

Chúng ta có hiểu không?)

Công thức nhân viết tắt đến từ đâu?

Đẳng thức 6 và 7 không được viết theo cách quen thuộc. Nó hơi ngược lại. Đây là mục đích của bạn.) Bất kỳ sự bình đẳng nào cũng có tác dụng từ trái sang phải và từ phải sang trái. Mục này làm rõ hơn FSU đến từ đâu.

Chúng được lấy từ phép nhân.) Ví dụ:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Thế thôi, không có thủ thuật khoa học nào cả. Chúng tôi chỉ cần nhân các dấu ngoặc và đưa ra những cái tương tự. Hóa ra là thế này tất cả các công thức nhân viết tắt. Viết tắt phép nhân là do trong bản thân các công thức không có phép nhân dấu ngoặc và phép rút gọn các dấu ngoặc tương tự. Viết tắt.) Kết quả được đưa ra ngay lập tức.

FSU cần phải được biết đến bằng trái tim. Nếu không có ba điểm đầu tiên, bạn không thể mơ về điểm C; nếu không có những điểm còn lại, bạn không thể mơ về điểm B hoặc A.)

Tại sao chúng ta cần các công thức nhân viết tắt?

Có hai lý do để học, thậm chí ghi nhớ những công thức này. Đầu tiên là câu trả lời làm sẵn sẽ tự động giảm số lỗi. Nhưng đây không phải là lý do chính. Nhưng cái thứ hai...

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Lũy thừa là một phép toán liên quan chặt chẽ đến phép nhân; phép toán này là kết quả của việc nhân một số nhiều lần với chính nó. Hãy biểu diễn nó bằng công thức: a1 * a2 * … * an = an.

Ví dụ: a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Nói chung, lũy thừa thường được sử dụng trong nhiều công thức khác nhau trong toán học và vật lý. Hàm này có mục đích khoa học hơn bốn hàm chính: Cộng, Trừ, Nhân, Chia.

Nâng một số lên lũy thừa

Nâng một số lên lũy thừa không phải là một thao tác phức tạp. Nó liên quan đến phép nhân theo cách tương tự như mối quan hệ giữa phép nhân và phép cộng. Ký hiệu an là ký hiệu ngắn của số thứ n của các số “a” nhân với nhau.

Hãy xem xét phép lũy thừa bằng cách sử dụng các ví dụ đơn giản nhất, chuyển sang các ví dụ phức tạp.

Ví dụ: 42. 42 = 4 * 4 = 16. Bốn bình phương ( lũy thừa bậc hai) bằng mười sáu. Nếu bạn không hiểu phép nhân 4 * 4, hãy đọc bài viết của chúng tôi về phép nhân.

Hãy xem một ví dụ khác: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Năm lập phương ( lũy thừa thứ ba) bằng một trăm hai mươi lăm.

Một ví dụ khác: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Chín lập phương bằng bảy trăm hai mươi chín.

Công thức lũy thừa

Để nâng lũy ​​thừa một cách chính xác, bạn cần nhớ và biết rõ các công thức dưới đây. Không có gì tự nhiên hơn trong việc này, điều chính là phải hiểu bản chất và sau đó chúng sẽ không chỉ được ghi nhớ mà còn có vẻ dễ dàng.

Nâng một đơn thức lên lũy thừa

Đơn thức là gì? Đây là sản phẩm của các con số và các biến ở số lượng bất kỳ. Ví dụ, hai là một đơn thức. Và bài viết này chính xác là về việc nâng các đơn thức như vậy lên lũy thừa.

Sử dụng các công thức lũy thừa, sẽ không khó để tính lũy thừa của một đơn thức.

Ví dụ, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Nếu bạn nâng một đơn thức lên lũy thừa thì mỗi thành phần của đơn thức đó sẽ được nâng lên một lũy thừa.

Bằng cách nâng một biến đã có lũy thừa lên lũy thừa, các lũy thừa sẽ được nhân lên. Ví dụ: (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Tăng lên một sức mạnh tiêu cực

Một lũy thừa âm là nghịch đảo của một số. Số nghịch đảo là gì? Nghịch đảo của bất kỳ số X nào cũng là 1/X. Nghĩa là, X-1=1/X. Đây là bản chất của mức độ tiêu cực.

Hãy xem xét ví dụ (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Tại sao vậy? Vì có điểm trừ trong độ, chúng ta chỉ cần chuyển biểu thức này sang mẫu số, sau đó nâng nó lên lũy thừa thứ ba. Đơn giản phải không?

Nâng lên lũy thừa phân số

Hãy bắt đầu bằng cách xem xét vấn đề bằng một ví dụ cụ thể. 43/2. Mức độ 3/2 có nghĩa là gì? 3 – tử số, có nghĩa là nâng một số (trong trường hợp này là 4) thành lập phương. Số 2 là mẫu số; nó là căn bậc hai của một số (trong trường hợp này là 4).

Khi đó chúng ta nhận được căn bậc hai của 43 = 2^3 = 8. Trả lời: 8.

Vì vậy, mẫu số của lũy thừa phân số có thể là 3 hoặc 4 và lên đến vô cùng bất kỳ số nào và số này xác định bậc của căn bậc hai được lấy từ một số đã cho. Tất nhiên, mẫu số không thể bằng 0.

Nâng gốc rễ thành sức mạnh

Nếu nghiệm được nâng lên một mức bằng với bậc của chính nghiệm đó thì đáp án sẽ là một biểu thức căn. Ví dụ: (√x)2 = x. Và vì vậy trong mọi trường hợp, mức độ gốc và mức độ nâng cao gốc đều bằng nhau.

Nếu (√x)^4. Khi đó (√x)^4=x^2. Để kiểm tra lời giải, chúng ta chuyển đổi biểu thức thành biểu thức có lũy thừa phân số. Vì căn bậc hai nên mẫu số là 2. Và nếu căn bậc bốn tăng lên lũy thừa 4 thì tử số là 4. Chúng ta có 4/2=2. Đáp án: x = 2.

Trong mọi trường hợp, tùy chọn tốt nhất là chỉ cần chuyển đổi biểu thức thành biểu thức có lũy thừa phân số. Nếu phân số không triệt tiêu thì đây là đáp án, với điều kiện là nghiệm của số đã cho không bị cô lập.

Nâng số phức lên lũy thừa

Số phức là gì? Số phức là một biểu thức có công thức a + b * i; a, b là các số thực. i là một số mà khi bình phương sẽ cho kết quả -1.

Hãy xem một ví dụ. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Đăng ký khóa học "Tăng tốc tính nhẩm, KHÔNG tính nhẩm" để học cách cộng, trừ, nhân, chia, bình phương số và thậm chí trích căn một cách nhanh chóng và chính xác. Trong 30 ngày, bạn sẽ học cách sử dụng các thủ thuật đơn giản để đơn giản hóa các phép tính số học. Mỗi bài học đều có những kỹ thuật mới, ví dụ rõ ràng và các nhiệm vụ hữu ích.

lũy thừa trực tuyến

Sử dụng máy tính của chúng tôi, bạn có thể tính toán việc nâng một số lên lũy thừa:

lũy thừa lớp 7

Học sinh bắt đầu nâng cao năng lực chỉ ở lớp bảy.

Lũy thừa là một phép toán liên quan chặt chẽ đến phép nhân; phép toán này là kết quả của việc nhân một số nhiều lần với chính nó. Hãy biểu diễn nó bằng công thức: a1 * a2 * … * an=an.

Ví dụ, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Ví dụ về giải pháp:

Trình bày lũy thừa

Bài thuyết trình về nâng cao năng lực, được thiết kế dành cho học sinh lớp bảy. Bài trình bày có thể làm rõ một số điểm chưa rõ ràng, nhưng những điểm này có lẽ sẽ không được làm sáng tỏ nhờ bài viết của chúng tôi.

Điểm mấu chốt

Chúng tôi chỉ xem xét phần nổi của tảng băng chìm, để hiểu toán học tốt hơn - hãy đăng ký khóa học của chúng tôi: Tăng tốc số học trí tuệ - KHÔNG phải số học trí tuệ.

Từ khóa học, bạn sẽ không chỉ học hàng tá kỹ thuật nhân, cộng, nhân, chia và tính tỷ lệ phần trăm đơn giản và nhanh chóng mà còn thực hành chúng trong các nhiệm vụ đặc biệt và trò chơi giáo dục! Tính nhẩm cũng đòi hỏi sự chú ý và tập trung cao độ, được rèn luyện tích cực khi giải các bài toán thú vị.

Các công thức biểu thức viết tắt rất thường được sử dụng trong thực tế, vì vậy bạn nên học thuộc lòng tất cả chúng. Cho đến thời điểm này, nó sẽ phục vụ chúng tôi một cách trung thực, chúng tôi khuyên bạn nên in ra và luôn giữ trước mắt bạn:

Bốn công thức đầu tiên từ bảng tổng hợp các công thức nhân viết tắt cho phép bạn bình phương và lập phương tổng hoặc hiệu của hai biểu thức. Biểu thức thứ năm dùng để nhân nhanh hiệu và tổng của hai biểu thức. Và công thức thứ sáu và thứ bảy được sử dụng để nhân tổng của hai biểu thức a và b với bình phương không đầy đủ của hiệu (đây là cách gọi biểu thức có dạng a 2 −a b+b 2) và hiệu của hai biểu thức a và b với bình phương không đầy đủ của tổng của chúng (a 2 + a·b+b 2 ) tương ứng.

Điều đáng lưu ý riêng là mỗi đẳng thức trong bảng là một đồng nhất thức. Điều này giải thích tại sao các công thức nhân rút gọn còn được gọi là đẳng thức nhân rút gọn.

Khi giải các ví dụ, đặc biệt là trong các đa thức được phân tích thành nhân tử, FSU thường được sử dụng ở dạng hoán đổi vế trái và vế phải:

Ba danh tính cuối cùng trong bảng có tên riêng. Công thức a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) được gọi là công thức hiệu bình phương, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - công thức tính tổng các lập phương, MỘT a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - công thức chênh lệch hình khối. Xin lưu ý rằng chúng tôi không đặt tên các công thức tương ứng với các phần được sắp xếp lại từ bảng trước.

Công thức bổ sung

Sẽ không có hại gì nếu thêm một vài đẳng thức nữa vào bảng các công thức nhân viết tắt.

Lĩnh vực ứng dụng công thức nhân rút gọn (FSU) và ví dụ

Mục đích chính của các công thức nhân viết tắt (fsu) được giải thích bằng tên của chúng, nghĩa là nó bao gồm các biểu thức nhân ngắn gọn. Tuy nhiên, phạm vi áp dụng của FSU rộng hơn nhiều và không giới hạn ở phép nhân ngắn. Hãy liệt kê các hướng chính.

Không còn nghi ngờ gì nữa, ứng dụng chính của công thức nhân rút gọn được tìm thấy trong việc thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau của các biểu thức. Thông thường những công thức này được sử dụng trong quá trình đơn giản hóa biểu thức.

Ví dụ.

Rút gọn biểu thức 9·y−(1+3·y) 2 .

Giải pháp.

Trong biểu thức này, bình phương có thể được viết tắt, chúng ta có 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Tất cả những gì còn lại là mở ngoặc và đưa các thuật ngữ tương tự: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

Ba yếu tố, mỗi yếu tố đều bằng nhau x. (\displaystyle x.) Phép toán số học này được gọi là "khối" và kết quả của nó được ký hiệu x 3 (\displaystyle x^(3)):

x 3 = x ⋅ x ⋅ x (\displaystyle x^(3)=x\cdot x\cdot x)

Đối với lập phương, thao tác ngược lại là lấy căn bậc ba. Tên hình học bậc ba" khối lập phương"là do các nhà toán học cổ đại coi giá trị của hình khối là số khối, một loại số xoăn đặc biệt (xem bên dưới), vì lập phương của số x (\displaystyle x) bằng thể tích của hình lập phương có cạnh dài bằng x (\displaystyle x).

Trình tự các hình khối

, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Tổng các khối đầu tiên n (\displaystyle n) số tự nhiên dương được tính theo công thức:

∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(i=1)^(n)i^(3 )=1^(3)+2^(3)+3^(3)+\ldots +n^(3)=\left((\frac (n(n+1))(2))\right) ^(2))

Đạo hàm của công thức

Công thức tính tổng các lập phương có thể được suy ra bằng cách sử dụng bảng nhân và công thức tính tổng của một cấp số cộng. Coi hai bảng nhân 5×5 làm minh họa cho phương pháp, chúng ta sẽ tiến hành suy luận cho các bảng có kích thước n×n.

Bảng cửu chương và khối số × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

Bảng nhân và cấp số cộng × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

Tổng các số trong vùng chọn thứ k (k=1,2,...) của bảng đầu tiên:

k 2 + 2 k ∑ l = 1 k − 1 l = k 2 + 2 k k (k − 1) 2 = k 3 (\displaystyle k^(2)+2k\sum _(l=1)^(k- 1)l=k^(2)+2k(\frac (k(k-1))(2))=k^(3))

Và tổng các số trong vùng được chọn thứ k (k=1,2,...) của bảng thứ hai, biểu thị một cấp số cộng:

k ∑ l = 1 n l = k n (n + 1) 2 (\displaystyle k\sum _(l=1)^(n)l=k(\frac (n(n+1))(2)))

Cộng tất cả các khu vực đã chọn của bảng đầu tiên, chúng ta nhận được con số tương tự như tổng tất cả các khu vực đã chọn của bảng thứ hai:

∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n k n (n + 1) 2 = n (n + 1) 2 ∑ k = 1 n k = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(k =1)^(n)k^(3)=\sum _(k=1)^(n)k(\frac (n(n+1))(2))=(\frac (n(n+ 1 ))(2))\sum _(k=1)^(n)k=\left((\frac (n(n+1))(2))\right)^(2))

Một số tài sản

• Trong ký hiệu thập phân, hình lập phương có thể kết thúc bằng bất kỳ chữ số nào (không giống hình vuông)
• Trong ký hiệu thập phân, hai chữ số cuối của khối lập phương có thể là 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 , 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69 , 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Sự phụ thuộc của chữ số áp chót của hình lập phương vào số cuối cùng có thể được trình bày trong bảng sau:

Hình khối như số đã tìm

"Số khối" Q n = n 3 (\displaystyle Q_(n)=n^(3)) về mặt lịch sử được coi là một loại số có hình dạng không gian. Nó có thể được biểu diễn dưới dạng hiệu bình phương của các số tam giác liên tiếp T n (\displaystyle T_(n)):

Q n = (T n) 2 − (T n − 1) 2 , n ⩾ 2 (\displaystyle Q_(n)=(T_(n))^(2)-(T_(n-1))^(2 ),n\geqslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q n = (T n) 2 (\displaystyle Q_(1)+Q_(2)+Q_(3)+\dots +Q_(n)=(T_(n) )^(2))

Hiệu giữa hai số lập phương liền kề là số lục giác ở giữa.

Biểu diễn số bậc ba dưới dạng tứ diện Π n (3) (\displaystyle \Pi _(n)^((3))).