Mở rộng chuỗi chức năng trực tuyến. Khai triển chuỗi Maclaurin bằng các ví dụ

“Tìm khai triển chuỗi Maclaurin của hàm f(x)” - đây chính xác là nhiệm vụ trong toán học cao hơn, điều mà một số học sinh có thể làm được, nhưng những học sinh khác không thể giải quyết được các ví dụ. Có một số cách để mở rộng chuỗi lũy thừa; ở đây chúng tôi sẽ đưa ra một kỹ thuật để mở rộng hàm thành chuỗi Maclaurin. Khi phát triển hàm số theo chuỗi, bạn cần phải giỏi tính đạo hàm.

Ví dụ 4.7 Khai triển hàm số lũy thừa của x

Tính toán: Ta thực hiện khai triển hàm số theo công thức Maclaurin. Đầu tiên, hãy mở rộng mẫu số của hàm thành một chuỗi

Cuối cùng, nhân khai triển với tử số.
Số hạng đầu tiên là giá trị của hàm số tại 0 f(0) = 1/3.
Hãy tìm đạo hàm của hàm số cấp một trở lên f(x) và giá trị của các đạo hàm này tại điểm x=0




Tiếp theo, dựa vào mô hình thay đổi giá trị đạo hàm tại 0, ta viết công thức đạo hàm bậc n

Vì vậy, chúng ta biểu diễn mẫu số dưới dạng khai triển trong chuỗi Maclaurin

Chúng ta nhân với tử số và thu được sự khai triển mong muốn của hàm theo chuỗi lũy thừa của x

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp ở đây.
Mọi điểm mấu chốt đều dựa trên khả năng tính đạo hàm và khái quát hóa nhanh giá trị đạo hàm bậc cao về 0. Các ví dụ sau đây sẽ giúp bạn tìm hiểu cách sắp xếp nhanh chóng một hàm trong một chuỗi.

Ví dụ 4.10 Tìm khai triển chuỗi Maclaurin của hàm số

Tính toán: Như bạn có thể đoán, chúng ta sẽ đặt cosin vào tử số thành một chuỗi. Để làm điều này, bạn có thể sử dụng các công thức tính đại lượng vô cùng nhỏ hoặc rút ra khai triển cosin thông qua đạo hàm. Kết quả là chúng ta thu được chuỗi lũy thừa của x sau đây

Như bạn có thể thấy, chúng ta có các phép tính tối thiểu và biểu diễn nhỏ gọn của việc mở rộng chuỗi.

Ví dụ 4.16 Khai triển hàm lũy thừa của x:
7/(12-x-x^2)
Tính toán: Trong loại ví dụ này, cần phải khai triển phân số thông qua tổng các phân số đơn giản.
Chúng tôi sẽ không chỉ ra cách thực hiện điều này ngay bây giờ, nhưng với sự trợ giúp của các hệ số không xác định, chúng tôi sẽ đạt được tổng các phân số.
Tiếp theo chúng ta viết mẫu số ở dạng hàm mũ

Vẫn còn phải mở rộng các thuật ngữ bằng cách sử dụng công thức Maclaurin. Tổng hợp các số hạng có cùng lũy ​​thừa của “x”, ta lập công thức số hạng tổng quát của khai triển hàm số trong chuỗi



Phần cuối cùng của quá trình chuyển đổi sang chuỗi ở phần đầu rất khó thực hiện, vì rất khó để kết hợp các công thức cho chỉ số ghép đôi và không ghép đôi (độ), nhưng nếu thực hành, bạn sẽ tiến bộ hơn.

Ví dụ 4.18 Tìm khai triển chuỗi Maclaurin của hàm số

Tính toán: Hãy tìm đạo hàm của hàm số này:

Hãy mở rộng hàm này thành một chuỗi bằng cách sử dụng một trong các công thức của McLaren:

Chúng tôi tính tổng từng số hạng của chuỗi dựa trên thực tế là cả hai đều hoàn toàn giống nhau. Sau khi tích hợp toàn bộ số hạng của chuỗi theo số hạng, chúng ta thu được việc khai triển hàm số thành một chuỗi theo lũy thừa của x

Có một đoạn chuyển tiếp giữa hai dòng cuối cùng của bản mở rộng, điều này sẽ khiến bạn mất rất nhiều thời gian khi bắt đầu. Việc khái quát hóa một công thức chuỗi không phải là điều dễ dàng đối với tất cả mọi người, vì vậy đừng lo lắng về việc không thể có được một công thức gọn gàng, đẹp mắt.

Ví dụ 4.28 Tìm khai triển chuỗi Maclaurin của hàm số:

Hãy viết logarit như sau

Sử dụng công thức Maclaurin, chúng ta mở rộng hàm logarit theo lũy thừa x

Phép tích chập cuối cùng thoạt nhìn rất phức tạp, nhưng khi xen kẽ các dấu hiệu, bạn sẽ luôn nhận được điều gì đó tương tự. Bài nhập liệu về chủ đề lập lịch hàm liên tiếp đã hoàn thành. Các sơ đồ phân hủy thú vị không kém khác sẽ được thảo luận chi tiết trong các tài liệu sau.

Sinh viên toán cao cấp nên biết rằng tổng của một chuỗi lũy thừa nhất định thuộc khoảng hội tụ của chuỗi đã cho chúng ta hóa ra là một hàm vi phân liên tục và không giới hạn số lần. Câu hỏi đặt ra: có thể nói rằng một hàm tùy ý f(x) đã cho là tổng của một chuỗi lũy thừa nhất định không? Nghĩa là, trong những điều kiện nào hàm f(x) có thể được biểu diễn bằng chuỗi lũy thừa? Tầm quan trọng của câu hỏi này nằm ở chỗ có thể thay thế gần đúng hàm f(x) bằng tổng của một vài số hạng đầu tiên của chuỗi lũy thừa, tức là một đa thức. Việc thay thế hàm bằng một biểu thức khá đơn giản - đa thức - cũng thuận tiện khi giải một số bài toán nhất định, cụ thể là: khi giải tích phân, khi tính toán, v.v.

Người ta đã chứng minh rằng đối với một hàm f(x) nhất định, trong đó có thể tính đạo hàm lên đến bậc (n+1), kể cả bậc cuối cùng, trong lân cận của (α - R; x 0 + R ) một số điểm x = α thì công thức:

Công thức này được đặt theo tên của nhà khoa học nổi tiếng Brooke Taylor. Chuỗi thu được từ chuỗi trước được gọi là chuỗi Maclaurin:

Quy tắc cho phép thực hiện khai triển chuỗi Maclaurin:

R n (x) -> 0 tại n -> vô cùng. Nếu tồn tại thì hàm f(x) trong nó phải trùng với tổng của chuỗi Maclaurin.

Bây giờ chúng ta xét chuỗi Maclaurin cho từng hàm số.

1. Vậy số đầu tiên sẽ là f(x) = e x. Tất nhiên, theo đặc điểm của nó, một hàm như vậy có các đạo hàm có cấp rất khác nhau và f (k) (x) = e x , trong đó k bằng tất cả x = 0. Ta được f(k)(0) = e 0 =1, k = 1,2... Dựa vào tính chất trên, chuỗi e x sẽ có dạng như sau:

2. Chuỗi Maclaurin cho hàm f(x) = sin x. Chúng ta hãy làm rõ ngay rằng hàm cho mọi ẩn số sẽ có đạo hàm, ngoài ra, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), trong đó k bằng bất kỳ số tự nhiên nào, tức là sau khi thực hiện các phép tính đơn giản, chúng ta có thể suy ra. kết luận rằng chuỗi f(x) = sin x sẽ như thế này:

3. Bây giờ hãy xét hàm f(x) = cos x. Đối với tất cả các ẩn số, nó có đạo hàm theo thứ tự tùy ý và |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|