Giải các ví dụ sử dụng các giới hạn tuyệt vời. Giới hạn đáng chú ý: Giới hạn đáng chú ý thứ nhất và thứ hai

Bây giờ, với sự an tâm, chúng tôi chuyển sang xem xét giới hạn tuyệt vời.
giống như .

Thay vì biến x, có thể có nhiều hàm khác nhau, điều chính là chúng có xu hướng bằng 0.

Ta cần tính giới hạn

Như bạn có thể thấy, giới hạn này rất giống với giới hạn đáng chú ý đầu tiên, nhưng điều này không hoàn toàn đúng. Nói chung, nếu bạn nhận thấy tội lỗi trong giới hạn, thì bạn nên nghĩ ngay đến việc có thể sử dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên hay không.

Theo quy tắc số 1 của chúng tôi, chúng tôi thay thế 0 cho x:

Chúng tôi nhận được sự không chắc chắn.

Bây giờ chúng ta hãy cố gắng tổ chức độc lập giới hạn đáng chú ý đầu tiên. Để làm điều này, chúng tôi sẽ thực hiện một sự kết hợp đơn giản:

Vì vậy, chúng tôi sắp xếp tử số và mẫu số để làm cho 7x nổi bật. Giới hạn đáng chú ý quen thuộc đã xuất hiện. Nên làm nổi bật nó khi quyết định:

Chúng tôi thay thế giải pháp của ví dụ đáng chú ý đầu tiên và nhận được:

Rút gọn phân số:

Trả lời: 7/3.

Như bạn có thể thấy, mọi thứ đều rất đơn giản.

có hình thức , trong đó e = 2,718281828… là một số vô tỷ.

Thay vì biến x, có thể có nhiều hàm khác nhau, điều chính là chúng có xu hướng .

Ta cần tính giới hạn

Ở đây chúng ta thấy sự hiện diện của một mức độ dưới dấu hiệu giới hạn, có nghĩa là giới hạn đáng chú ý thứ hai có thể được áp dụng.

Như mọi khi, chúng tôi sẽ sử dụng quy tắc số 1 - thay thế thay vì x:

Có thể thấy rằng đối với x cơ số của bậc là , và số mũ là 4x > , tức là chúng tôi nhận được một sự không chắc chắn của hình thức:

Hãy sử dụng giới hạn tuyệt vời thứ hai để tiết lộ sự không chắc chắn của chúng ta, nhưng trước tiên chúng ta cần tổ chức nó. Như bạn có thể thấy, cần phải đạt được sự hiện diện trong chỉ báo, theo đó chúng ta nâng cơ sở lên lũy thừa 3x, đồng thời lên lũy thừa 1/3x, để biểu thức không thay đổi:

Đừng quên làm nổi bật giới hạn tuyệt vời của chúng tôi:

Đây thực sự là giới hạn tuyệt vời!
Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào về giới hạn tuyệt vời thứ nhất và thứ hai cảm thấy tự do để hỏi họ trong các ý kiến.
Chúng tôi sẽ trả lời mọi người trong thời gian sớm nhất.

Bạn cũng có thể làm việc với một giáo viên về chủ đề này.
Chúng tôi rất vui được cung cấp cho bạn các dịch vụ lựa chọn một gia sư có trình độ trong thành phố của bạn. Các đối tác của chúng tôi sẽ nhanh chóng chọn một giáo viên tốt cho bạn với những điều kiện có lợi cho bạn.

Không đủ thông tin? - Bạn có thể !

Bạn có thể viết các phép tính toán học trong notepad. Sẽ dễ chịu hơn nhiều khi viết vào sổ tay cá nhân có logo (http://www.blocnot.ru).

Từ bài viết trên, bạn có thể tìm hiểu giới hạn là gì và nó được ăn với những gì - điều này RẤT quan trọng. Tại sao? Bạn có thể không hiểu định thức là gì và giải quyết chúng thành công, bạn có thể không hiểu đạo hàm là gì và tìm chúng trên "năm". Nhưng nếu bạn không hiểu giới hạn là gì, thì sẽ khó giải quyết các nhiệm vụ thực tế. Ngoài ra, sẽ không thừa nếu bạn làm quen với các mẫu thiết kế quyết định và các đề xuất của tôi về thiết kế. Tất cả thông tin được trình bày một cách đơn giản và dễ tiếp cận.

Và với mục đích của bài học này, chúng ta cần các tài liệu phương pháp sau: Giới hạn đáng chú ý Và công thức lượng giác. Chúng có thể được tìm thấy trên trang. Tốt nhất là in hướng dẫn sử dụng - sẽ thuận tiện hơn nhiều, bên cạnh đó, chúng thường phải được truy cập ngoại tuyến.

Điều gì là đáng chú ý về giới hạn tuyệt vời? Điểm đặc biệt của những giới hạn này nằm ở chỗ chúng đã được chứng minh bởi những bộ óc vĩ đại nhất của các nhà toán học nổi tiếng, và những hậu duệ biết ơn không phải chịu đựng những giới hạn khủng khiếp với một đống hàm lượng giác, logarit và bậc. Tức là khi tìm giới hạn ta sẽ sử dụng các kết quả làm sẵn đã được chứng minh về mặt lý thuyết.

Có một số giới hạn đáng chú ý, nhưng trong thực tế, sinh viên bán thời gian trong 95% trường hợp có hai giới hạn đáng chú ý: Giới hạn tuyệt vời đầu tiên, Giới hạn tuyệt vời thứ hai. Cần lưu ý rằng đây là những cái tên đã được thiết lập trong lịch sử và chẳng hạn như khi họ nói về "giới hạn đáng chú ý đầu tiên", họ muốn nói đây là một điều rất cụ thể chứ không phải một giới hạn ngẫu nhiên nào đó được lấy từ trần nhà.

Giới hạn tuyệt vời đầu tiên

Hãy xem xét giới hạn sau: (thay vì chữ cái bản địa "anh ấy", tôi sẽ sử dụng chữ cái Hy Lạp "alpha", điều này thuận tiện hơn về mặt trình bày tài liệu).

Theo quy tắc tìm giới hạn của ta (xem bài Hạn mức. ví dụ về giải pháp) chúng tôi cố gắng thay số 0 vào hàm: ở tử số, chúng ta nhận được số không (sin của số 0 bằng 0), ở mẫu số, rõ ràng, cũng bằng không. Do đó, chúng tôi phải đối mặt với sự không xác định của hình thức, may mắn thay, không cần phải tiết lộ. Trong quá trình phân tích toán học, người ta đã chứng minh rằng:

Thực tế toán học này được gọi là Giới hạn tuyệt vời đầu tiên. Tôi sẽ không đưa ra một chứng minh phân tích về giới hạn, nhưng chúng ta sẽ xem xét ý nghĩa hình học của nó trong bài học về chức năng vô hạn.

Thông thường trong các nhiệm vụ thực tế, các chức năng có thể được sắp xếp theo cách khác, điều này không thay đổi bất cứ điều gì:

– cùng một giới hạn tuyệt vời đầu tiên.

Nhưng bạn không thể tự sắp xếp lại tử số và mẫu số! Nếu một giới hạn được đưa ra ở dạng , thì nó phải được giải ở dạng tương tự mà không cần sắp xếp lại bất cứ thứ gì.

Trong thực tế, không chỉ một biến có thể hoạt động như một tham số, mà còn là một hàm cơ bản, một hàm phức tạp. Điều quan trọng là nó có xu hướng bằng không.

Ví dụ:
, , ,

Đây , , , , và mọi thứ đang ồn ào - giới hạn tuyệt vời đầu tiên được áp dụng.

Và đây là mục tiếp theo - dị giáo:

Tại sao? Bởi vì đa thức không có xu hướng bằng không, nó có xu hướng bằng năm.

Nhân tiện, câu hỏi là để lấp đầy, nhưng giới hạn là bao nhiêu ? Câu trả lời có thể được tìm thấy ở phần cuối của bài học.

Trong thực tế, không phải mọi thứ đều suôn sẻ như vậy, hầu như không bao giờ học sinh được đề nghị giải giới hạn miễn phí và nhận tín chỉ dễ dàng. Hmmm... Tôi đang viết những dòng này, và một ý nghĩ rất quan trọng nảy ra trong đầu - sau cùng, có vẻ như tốt hơn hết là bạn nên ghi nhớ thuộc lòng các định nghĩa và công thức toán học “miễn phí”, điều này có thể giúp ích rất nhiều trong bài kiểm tra, khi vấn đề sẽ được quyết định giữa “hai” và “ba”, và giáo viên quyết định hỏi học sinh một số câu hỏi đơn giản hoặc đề nghị giải một ví dụ đơn giản nhất (“có lẽ anh ấy (a) vẫn biết điều gì ?!”).

Hãy chuyển sang các ví dụ thực tế:

ví dụ 1

Tìm giới hạn

Nếu chúng ta nhận thấy một sin trong giới hạn, thì điều này sẽ ngay lập tức khiến chúng ta nghĩ đến khả năng áp dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên.

Đầu tiên, chúng tôi cố gắng thay thế 0 trong biểu thức dưới dấu giới hạn (chúng tôi thực hiện việc này trong đầu hoặc trên bản nháp):

Vì vậy, chúng tôi có một sự không xác định của hình thức , nó hãy chắc chắn để chỉ ra trong việc đưa ra một quyết định. Biểu thức dưới dấu giới hạn trông giống như giới hạn tuyệt vời đầu tiên, nhưng đây không hoàn toàn là nó, nó nằm dưới sin, nhưng ở mẫu số.

Trong những trường hợp như vậy, chúng ta cần tự mình tổ chức giới hạn tuyệt vời đầu tiên bằng cách sử dụng một thiết bị nhân tạo. Dòng suy luận có thể như sau: “dưới sin ta có, nghĩa là ta cũng cần lấy mẫu số”.
Và điều này được thực hiện rất đơn giản:

Đó là, mẫu số được nhân một cách giả tạo trong trường hợp này với 7 và chia cho cùng một bảy. Bây giờ kỷ lục đã có một hình dạng quen thuộc.
Khi nhiệm vụ được vẽ bằng tay, bạn nên đánh dấu giới hạn tuyệt vời đầu tiên bằng bút chì đơn giản:

Chuyện gì đã xảy ra thế? Trên thực tế, biểu thức được khoanh tròn đã biến thành một đơn vị và biến mất trong sản phẩm:

Bây giờ chỉ còn lại để loại bỏ phần ba tầng:

Ai quên bài toán rút gọn phân số nhiều tầng vui lòng làm mới tài liệu trong sách tham khảo Công thức Toán học Hot School .

Sẵn sàng. Câu trả lời cuối cùng:

Nếu bạn không muốn sử dụng dấu bút chì, thì giải pháp có thể được định dạng như sau:

“

Chúng tôi sử dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên

“

ví dụ 2

Tìm giới hạn

Một lần nữa chúng ta thấy một phân số và một sin trong giới hạn. Chúng tôi cố gắng thay thế số 0 trong tử số và mẫu số:

Thật vậy, chúng tôi có sự không chắc chắn và do đó, chúng tôi cần cố gắng tổ chức giới hạn đáng chú ý đầu tiên. tại buổi học Hạn mức. ví dụ về giải pháp chúng tôi đã xem xét quy tắc rằng khi chúng tôi không chắc chắn, thì chúng tôi cần phải chia tử số và mẫu số thành thừa số. Ở đây - điều tương tự, chúng tôi sẽ trình bày các mức độ dưới dạng một sản phẩm (số nhân):

Tương tự như ví dụ trước, chúng tôi phác thảo bằng bút chì các giới hạn tuyệt vời (ở đây có hai trong số chúng) và chỉ ra rằng chúng có xu hướng thành một:

Trên thực tế, câu trả lời đã sẵn sàng:

Trong các ví dụ sau, tôi sẽ không làm nghệ thuật trong Paint, tôi nghĩ làm thế nào để vẽ một giải pháp chính xác vào vở - bạn đã hiểu.

ví dụ 3

Tìm giới hạn

Chúng tôi thay thế số 0 trong biểu thức dưới dấu giới hạn:

Một sự không chắc chắn đã thu được cần phải được tiết lộ. Nếu có một tiếp tuyến trong giới hạn, thì nó hầu như luôn được chuyển đổi thành sin và cosin theo công thức lượng giác nổi tiếng (nhân tiện, chúng cũng làm tương tự với cotang, xem tài liệu về phương pháp Công thức lượng giác nóng Trên trang Công thức toán học, bảng biểu và tài liệu tham khảo).

Trong trường hợp này:

Cosin của 0 bằng 1 và rất dễ loại bỏ nó (đừng quên đánh dấu rằng nó có xu hướng bằng 1):

Do đó, nếu trong giới hạn cosin là NHÂN, thì nói một cách đại khái, nó phải được biến thành một đơn vị biến mất trong tích.

Ở đây mọi thứ hóa ra đơn giản hơn, không có bất kỳ phép nhân và phép chia nào. Giới hạn đáng chú ý đầu tiên cũng biến thành sự thống nhất và biến mất trong sản phẩm:

Kết quả là, vô cực thu được, nó xảy ra.

Ví dụ 4

Tìm giới hạn

Chúng tôi cố gắng thay thế số 0 trong tử số và mẫu số:

Độ không đảm bảo thu được (cosine của 0, như chúng ta nhớ, bằng một)

Ta sử dụng công thức lượng giác. Hãy lưu ý! Vì một số lý do, các giới hạn sử dụng công thức này rất phổ biến.

Chúng tôi loại bỏ các bội số không đổi ngoài biểu tượng giới hạn:

Hãy tổ chức giới hạn đáng chú ý đầu tiên:

Ở đây, chúng tôi chỉ có một giới hạn tuyệt vời, biến thành một và biến mất trong sản phẩm:

Hãy thoát khỏi ba câu chuyện:

Giới hạn thực sự được giải quyết, chúng tôi chỉ ra rằng sin còn lại có xu hướng bằng không:

Ví dụ 5

Tìm giới hạn

Ví dụ này phức tạp hơn, hãy cố gắng tự mình tìm ra:

Một số giới hạn có thể được giảm xuống giới hạn đáng chú ý đầu tiên bằng cách thay đổi biến, bạn có thể đọc về điều này sau một chút trong bài viết Phương pháp giải giới hạn.

Giới hạn tuyệt vời thứ hai

Trong lý thuyết phân tích toán học, người ta đã chứng minh rằng:

Thực tế này được gọi là giới hạn đáng chú ý thứ hai.

Thẩm quyền giải quyết: là một số vô tỷ.

Không chỉ một biến có thể hoạt động như một tham số, mà còn là một chức năng phức tạp. Điều quan trọng là nó phấn đấu cho vô cùng.

Ví dụ 6

Tìm giới hạn

Khi biểu thức dưới dấu giới hạn có lũy thừa - đây là dấu hiệu đầu tiên cho thấy bạn cần cố gắng áp dụng giới hạn tuyệt vời thứ hai.

Nhưng trước tiên, như mọi khi, chúng ta thử thay một số lớn vô hạn vào biểu thức, việc này được thực hiện theo nguyên tắc nào, nó đã được phân tích trong bài học Hạn mức. ví dụ về giải pháp.

Dễ dàng nhận thấy rằng khi cơ sở của mức độ, và số mũ - , nghĩa là, có một sự không chắc chắn của hình thức:

Sự không chắc chắn này chỉ được tiết lộ với sự trợ giúp của giới hạn đáng chú ý thứ hai. Nhưng, như thường xảy ra, giới hạn tuyệt vời thứ hai không nằm trên một chiếc đĩa bạc, và nó phải được tổ chức một cách giả tạo. Bạn có thể lý luận như sau: trong ví dụ này, tham số có nghĩa là chúng ta cũng cần tổ chức trong chỉ báo. Để làm điều này, chúng ta nâng cơ số lên lũy thừa và để biểu thức không thay đổi, chúng ta nâng nó lên lũy thừa:

Khi nhiệm vụ được vẽ bằng tay, chúng tôi đánh dấu bằng bút chì:

Gần như mọi thứ đã sẵn sàng, tấm bằng khủng đã biến thành bức thư xinh xắn:

Đồng thời, biểu tượng giới hạn được chuyển đến chỉ báo:

Ví dụ 7

Tìm giới hạn

Chú ý! Loại giới hạn này rất phổ biến, hãy nghiên cứu kỹ ví dụ này.

Chúng tôi cố gắng thay thế một số lượng lớn vô hạn trong biểu thức dưới dấu giới hạn:

Kết quả là một sự không chắc chắn. Nhưng giới hạn đáng chú ý thứ hai áp dụng cho sự không chắc chắn của hình thức. phải làm gì? Bạn cần phải chuyển đổi cơ sở của mức độ. Chúng tôi lập luận như thế này: ở mẫu số chúng ta có , có nghĩa là chúng ta cũng cần tổ chức ở tử số.

Bằng chứng:

Trước tiên chúng ta hãy chứng minh định lý cho trường hợp của dãy

Theo công thức nhị thức Newton:

Giả sử chúng ta nhận được

Từ đẳng thức (1) này suy ra rằng khi n tăng, số lượng các số hạng dương ở vế phải tăng. Ngoài ra, khi n tăng, số lượng giảm, do đó, số lượng tăng. Do đó trình tự tăng, trong khi (2)* Hãy chứng minh rằng nó bị chặn. Ta thay mỗi dấu ngoặc ở vế phải của đẳng thức bằng 1, vế phải tăng lên ta được bất đẳng thức

Ta củng cố bất đẳng thức thu được, thay 3,4,5, ..., đứng ở mẫu số của các phân số, bằng số 2: Ta tìm tổng trong ngoặc bằng công thức tính tổng các phần tử của một cấp số nhân: Do đó (3)*

Do đó, dãy bị chặn từ trên xuống, trong khi bất đẳng thức (2) và (3) đúng: Do đó, dựa vào định lý Weierstrass (tiêu chí đánh giá sự hội tụ của một dãy), dãy tăng đơn điệu và bị chặn, nghĩa là nó có giới hạn, ký hiệu là chữ e. Những thứ kia.

Biết giới hạn đáng chú ý thứ hai đúng với các giá trị tự nhiên của x, ta chứng minh giới hạn đáng chú ý thứ hai cho số thực x, tức là ta chứng minh rằng . Hãy xem xét hai trường hợp:

1. Cho mỗi giá trị x nằm giữa hai số nguyên dương: , phần nguyên của x là ở đâu. => =>

Nếu , thì Do đó, theo giới hạn Chúng ta có

Trên cơ sở (trên giới hạn của hàm số trung gian) của sự tồn tại giới hạn

2. Để . Hãy thay thế - x = t, sau đó

Từ hai trường hợp này suy ra cho x thực.

Hậu quả:

9 .) So sánh các vô hạn. Định lý về việc thay thế các số vô cùng nhỏ bằng các số tương đương trong giới hạn và định lý về phần chính của các số vô cùng nhỏ.

Cho hàm a( x) và B( x) – b.m. Tại x ® x 0 .

CÁC ĐỊNH NGHĨA.

1) một ( x) gọi điện một thứ tự cao hơn vô cùng nhỏ so với b (x) Nếu như

Viết ra: a( x) = o(b( x)) .

2) một ( x) Và b( x)gọi điện vô hạn cùng thứ tự, Nếu như

nơi Cнℝ và C¹ 0 .

Viết ra: a( x) = Ô(b( x)) .

3) một ( x) Và b( x) gọi điện tương đương , Nếu như

Viết ra: a( x) ~ b( x).

4) một ( x) được gọi là một bậc vô hạn k đối với
rất nhỏ b( x), nếu vô cùng nhỏ Một( x)Và(b( x)) k có cùng thứ tự, tức là Nếu như

nơi Cнℝ và C¹ 0 .

ĐỊNH LÝ 6 (về việc thay thế vô hạn bằng tương đương).

Cho phép Một( x), b( x), một 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. tại x ® x 0 . Nếu như Một( x) ~ một 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

Cái đó

Chứng minh: Cho a( x) ~ một 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Sau đó

ĐỊNH LÝ 7 (về phần chính nhỏ vô hạn).

Cho phép Một( x)Và b( x)– b.m. tại x ® x 0 , Và b( x)– b.m. thứ tự cao hơn Một( x).

= , a vì b( x) – bậc cao hơn a( x) , thì , tức là từ rõ ràng là một ( x) + b( x) ~ a( x)

10) Tính liên tục của hàm số tại một điểm (theo ngôn ngữ của giới hạn epsilon-delta, hình học) Tính liên tục một phía. Tính liên tục trên một khoảng, trên một đoạn. Tính chất của hàm số liên tục.

1. Các định nghĩa cơ bản

Cho phép f(x) được xác định trong một số lân cận của điểm x 0 .

ĐỊNH NGHĨA1. chức năng f(x) gọi điện liên tục tại một điểm x 0 nếu bình đẳng là đúng

Nhận xét.

1) Theo Định lý 5 của §3, đẳng thức (1) có thể được viết là

Điều kiện (2) - định nghĩa về tính liên tục của hàm số tại một điểm trong ngôn ngữ giới hạn một phía.

2) Đẳng thức (1) còn có thể viết là:

Họ nói: "nếu một hàm số liên tục tại một điểm x 0 thì dấu của giới hạn và hàm số có thể đổi chỗ cho nhau.

ĐỊNH NGHĨA 2 (bằng tiếng e-d).

chức năng f(x) gọi điện liên tục tại một điểm x 0 Nếu như"e>0 $d>0 như là, Cái gì

nếu xОU( x 0 , d) (nghĩa là | x – x 0 | < d),

sau đó f(x)ОU( f(x 0), e) (tức là | f(x) – f(x 0) | < e).

Cho phép x, x 0 Î Đ.(f) (x 0 - cố định, x- Bất kỳ)

Kí hiệu : Đ x= x-x 0 – tăng đối số

Đ. f(x 0) = f(x) – f(x 0) – hàm tăng tại điểm x 0

ĐỊNH NGHĨA 3 (hình học).

chức năng f(x) TRÊN gọi điện liên tục tại một điểm x 0 nếu tại thời điểm này, một số gia vô cùng nhỏ của đối số tương ứng với một số gia vô cùng nhỏ của hàm, I E.

Hãy để chức năng f(x) được xác định trên khoảng [ x 0 ; x 0 + d) (trên khoảng ( x 0 - d; x 0 ]).

SỰ ĐỊNH NGHĨA. chức năng f(x) gọi điện liên tục tại một điểm x 0 bên phải (bên trái ), nếu bình đẳng là đúng

Hiển nhiên là f(x) liên tục tại điểm x 0 Û f(x) liên tục tại điểm x 0 phải và trái.

SỰ ĐỊNH NGHĨA. chức năng f(x) gọi điện liên tục trên mỗi khoảng thời gian e ( Một; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng này.

chức năng f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [Một; b] nếu nó liên tục trên khoảng (Một; b) và có tính liên tục một phía tại các điểm biên(tức là liên tục tại điểm Mộtđúng, điểm b- bên trái).

11) Điểm phá vỡ, phân loại của họ

SỰ ĐỊNH NGHĨA. Nếu hàm f(x) được xác định trong một lân cận nào đó của điểm x 0 , nhưng không liên tục tại điểm đó thì f(x) được gọi là không liên tục tại điểm x 0 , nhưng điểm x 0 được gọi là điểm phá vỡ chức năng f(x) .

Nhận xét.

1) f(x) có thể được xác định trong một lân cận không đầy đủ của điểm x 0 .

Sau đó xét tính liên tục một phía tương ứng của hàm số.

2) Từ định nghĩa của z, điểm x 0 là điểm dừng của hàm f(x) trong hai trường hợp:

a) U( x 0 , d)n Đ.(f) , nếu không có f(x) đẳng thức không được thỏa mãn

b) U * ( x 0 , d)n Đ.(f) .

Đối với các hàm cơ bản, chỉ có trường hợp b) là có thể.

Cho phép x 0 - điểm ngắt của hàm f(x) .

SỰ ĐỊNH NGHĨA. điểm x 0 gọi điện điểm phá vỡ TÔI loại nếu hàm f(x)có giới hạn hữu hạn tại điểm này bên trái và bên phải.

Ngoài ra, nếu các giới hạn này bằng nhau thì điểm x 0 gọi điện điểm dừng , nếu không thì - điểm nhảy .

SỰ ĐỊNH NGHĨA. điểm x 0 gọi điện điểm phá vỡ II loại nếu ít nhất một trong các giới hạn một phía của hàm f(x)tại điểm này bằng¥ hoặc không tồn tại.

12) Tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn (Định lý Weierstrass (không chứng minh) và Cauchy

Định lý Weierstrass

Để hàm số f(x) liên tục trên đoạn , thì

1) f(x) được giới hạn ở

2) f(x) nhận các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trong khoảng của nó

Sự định nghĩa: Giá trị của hàm m=f được gọi là nhỏ nhất nếu m≤f(x) với mọi x € D(f).

Giá trị của hàm m=f được gọi là lớn nhất nếu m≥f(x) với mọi x € D(f).

Hàm có thể lấy giá trị nhỏ nhất \ lớn nhất tại một số điểm của đoạn.

f(x 3)=f(x 4)=max

Định lý Cauchy.

Để hàm số f(x) liên tục trên đoạn và x là số nằm giữa f(a) và f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm x 0 € sao cho f(x 0)= g

Công thức cho giới hạn đáng chú ý thứ hai là lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Một dạng viết khác như sau: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Khi chúng ta nói về giới hạn đáng chú ý thứ hai, chúng ta phải đối phó với một sự không chắc chắn của hình thức 1 ∞ , tức là đơn vị ở một mức độ vô hạn.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hãy xem xét các vấn đề trong đó chúng ta cần khả năng tính toán giới hạn đáng chú ý thứ hai.

ví dụ 1

Tìm giới hạn lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Giải pháp

Thay thế công thức mong muốn và thực hiện các phép tính.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Trong câu trả lời của chúng tôi, chúng tôi có một đơn vị lũy thừa vô cực. Để xác định phương pháp giải ta dùng bảng độ bất định. Chúng tôi chọn giới hạn đáng chú ý thứ hai và thực hiện thay đổi các biến.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Nếu x → ∞ thì t → - ∞ .

Hãy xem những gì chúng tôi nhận được sau khi thay thế:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Trả lời: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

ví dụ 2

Tính giới hạn lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Giải pháp

Thay thế vô cùng và nhận được những điều sau đây.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Trong câu trả lời, chúng ta lại nhận được điều tương tự như trong bài toán trước, do đó, chúng ta có thể sử dụng lại giới hạn tuyệt vời thứ hai. Tiếp theo, chúng ta cần chọn phần nguyên ở cơ sở của hàm lũy thừa:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Sau đó, giới hạn có dạng sau:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Chúng tôi thay thế các biến. Giả sử t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; nếu x → ∞ , thì t → ∞ .

Sau đó, chúng tôi viết ra những gì chúng tôi nhận được trong giới hạn ban đầu:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

Để thực hiện phép biến đổi này, ta đã sử dụng các tính chất cơ bản của giới hạn và lũy thừa.

Trả lời: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

ví dụ 3

Tính giới hạn lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Giải pháp

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

Sau đó, chúng ta cần thực hiện phép biến đổi hàm để áp dụng giới hạn tuyệt vời thứ hai. Chúng tôi đã nhận được những điều sau đây:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Vì bây giờ chúng ta có cùng số mũ ở tử số và mẫu số của phân số (bằng sáu), giới hạn của phân số ở vô cực sẽ bằng tỷ lệ của các hệ số này ở lũy thừa cao hơn.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Thay t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, ta được giới hạn đáng chú ý thứ hai. Nghĩa là gì:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Trả lời: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

kết luận

Độ không đảm bảo 1 ∞ , tức là đơn vị đến một mức độ vô hạn, là một sự không chắc chắn của định luật lũy thừa, do đó, nó có thể được tiết lộ bằng cách sử dụng các quy tắc tìm giới hạn của các hàm lũy thừa theo cấp số nhân.

Nếu bạn nhận thấy một lỗi trong văn bản, hãy đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Bài viết này: "Giới hạn đáng chú ý thứ hai" được dành cho việc tiết lộ những điều không chắc chắn của loài:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ và $ ^\infty $.

Ngoài ra, những độ không đảm bảo như vậy có thể được tiết lộ bằng cách sử dụng logarit của hàm lũy thừa, nhưng đây là một phương pháp giải khác, sẽ được đề cập trong một bài viết khác.

Công thức và hậu quả

Công thức giới hạn đáng chú ý thứ hai được viết như sau: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \approx 2,718 $ $

Từ công thức làm theo hậu quả, rất thuận tiện để giải các ví dụ có giới hạn: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( where ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Cần lưu ý rằng giới hạn đáng chú ý thứ hai không phải lúc nào cũng có thể được áp dụng cho hàm lũy thừa, mà chỉ trong trường hợp cơ sở có xu hướng đồng nhất. Để làm điều này, trước tiên hãy tính toán giới hạn của cơ sở trong tâm trí, sau đó rút ra kết luận. Tất cả điều này sẽ được thảo luận trong các giải pháp ví dụ.

ví dụ về giải pháp

Xem xét các ví dụ về giải pháp sử dụng công thức trực tiếp và hệ quả của nó. Chúng tôi cũng sẽ phân tích các trường hợp không cần công thức. Chỉ cần viết ra câu trả lời sẵn sàng là đủ.

ví dụ 1

Tìm giới hạn $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

Giải pháp

Thay vô hạn vào giới hạn và xem xét sự không chắc chắn: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg( \frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Tìm giới hạn của cơ sở: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac( 4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Chúng tôi có một cơ sở bằng một, có nghĩa là bạn đã có thể áp dụng giới hạn tuyệt vời thứ hai. Để làm điều này, chúng ta sẽ khớp cơ số của hàm với công thức bằng cách trừ và cộng một: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Chúng tôi xem xét hệ quả thứ hai và viết ra câu trả lời: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Nếu bạn không thể giải quyết vấn đề của mình, hãy gửi nó cho chúng tôi. Chúng tôi sẽ cung cấp một giải pháp chi tiết. Bạn sẽ có thể tự làm quen với tiến trình tính toán và thu thập thông tin. Điều này sẽ giúp bạn nhận được tín dụng từ giáo viên một cách kịp thời!

Trả lời

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

Ví dụ 4

Giải giới hạn $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

Giải pháp

Chúng tôi tìm giới hạn của cơ sở và thấy rằng $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, vì vậy chúng tôi có thể áp dụng giới hạn tuyệt vời thứ hai. Như một tiêu chuẩn, theo kế hoạch, chúng tôi cộng và trừ một từ cơ sở của mức độ: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Ta điều chỉnh phân số theo công thức của nhận xét thứ 2. giới hạn: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Bây giờ điều chỉnh mức độ. Số mũ phải chứa một phân số bằng mẫu số của cơ số $ \frac(3x^2-2)(6) $. Để làm điều này, hãy nhân và chia mức độ cho nó và tiếp tục giải: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Giới hạn nằm trong lũy ​​thừa tại $ e $ là: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Do đó, tiếp tục giải pháp, chúng tôi có:

Trả lời

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

Hãy để chúng tôi phân tích các trường hợp khi vấn đề tương tự như giới hạn đáng chú ý thứ hai, nhưng được giải quyết mà không có nó.

Trong bài báo: “Giới hạn đáng chú ý thứ hai: ví dụ về các giải pháp”, công thức đã được phân tích, hệ quả của nó và các dạng bài toán thường gặp về chủ đề này đã được đưa ra.