C 41 tính chất của bất phương trình số. Các dạng bất đẳng thức chính và tính chất của chúng

Thư mục.

• Moro M.I.. Toán học. Proc. cho 1 nhóm sớm trường học Ở trang 2. Phần 1. (Nửa năm đầu) / M. I. Moro, S. I. ROLova, S. V. Stepanova - tái bản lần thứ 6. - M.: Giác ngộ, 2006. - 112 tr.: bệnh + Ứng dụng. (2 l. bệnh riêng.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Toán học: học. cho 5 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Tái bản lần thứ 21, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: bị bệnh. ISBN 5-346-00699-0.
• Đại số học: sách giáo khoa cho 8 ô. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; biên tập S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M. : Giáo dục, 2008. - 271 tr. : tôi sẽ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.Đại số học. lớp 8. Lúc 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh của các cơ sở giáo dục / A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 11, đã xóa. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 tr.: bị bệnh. ISBN 978-5-346-01155-2.

Trường số thực có tính chất thứ tự (tiết 6, tr. 35): với mọi số a, b, một và chỉ một trong ba quan hệ thỏa mãn: hoặc . Trong trường hợp này, ký hiệu a > b có nghĩa là chênh lệch là dương và ký hiệu chênh lệch là âm. Khác với trường số thực, trường số phức không có thứ tự: đối với số phức không xác định các khái niệm “lớn hơn”, “nhỏ hơn”; do đó, chương này chỉ đề cập đến các số thực.

Ta gọi các quan hệ là các bất đẳng thức, các số a, b là thành phần (hoặc bộ phận) của bất đẳng thức, các dấu > (lớn hơn) và Các bất đẳng thức a > b và c > d được gọi là các bất đẳng thức cùng (hoặc cùng loại) nghĩa; bất phương trình a > b và c Từ định nghĩa của bất phương trình suy ra ngay

1) bất kỳ số dương nào lớn hơn 0;

2) bất kỳ số âm nào nhỏ hơn 0;

3) mọi số dương lớn hơn mọi số âm;

4) Trong hai số âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn.

Tất cả những tuyên bố này thừa nhận một giải thích hình học đơn giản. Để chiều dương của trục số đi về bên phải điểm đầu; sau đó, bất kể dấu hiệu của các số là gì, số lớn hơn trong số chúng được biểu thị bằng một điểm nằm bên phải điểm biểu thị số nhỏ hơn.

Bất đẳng thức có các tính chất chính sau.

1. Bất đối xứng (bất khả nghịch): nếu , thì , và ngược lại.

Thật vậy, nếu sự khác biệt là tích cực, thì sự khác biệt là tiêu cực. Họ nói rằng khi sắp xếp lại các số hạng của bất đẳng thức, ý nghĩa của bất đẳng thức phải được thay đổi theo chiều ngược lại.

2. Tính bắc cầu: nếu , thì . Thật vậy, tính tích cực của sự khác biệt bao hàm tính tích cực

Ngoài các dấu bất đẳng thức, các dấu bất đẳng thức và cũng được sử dụng, chúng được định nghĩa như sau: một bản ghi có nghĩa là một trong hai hoặc Do đó, chẳng hạn, bạn có thể viết và cũng. Thông thường, các bất phương trình viết có dấu gọi là bất phương trình nghiêm ngặt, còn các bất phương trình viết có dấu gọi là bất phương trình không nghiêm ngặt. Theo đó, bản thân các dấu hiệu được gọi là dấu hiệu của bất đẳng thức nghiêm ngặt hoặc không nghiêm ngặt. Tính chất 1 và 2 thảo luận ở trên cũng đúng với bất đẳng thức không nghiêm ngặt.

Bây giờ xét các phép toán có thể thực hiện trên một hoặc nhiều bất phương trình.

3. Từ phép cộng cùng một số vào các phần tử của bất đẳng thức thì nghĩa của bất đẳng thức không đổi.

Bằng chứng. Cho một bất phương trình và một số tùy ý. Theo định nghĩa, sự khác biệt là tích cực. Chúng tôi thêm vào số này hai số đối diện mà nó sẽ không thay đổi, tức là

Đẳng thức này có thể được viết lại như sau:

Từ đó suy ra rằng sự khác biệt là tích cực, nghĩa là,

và điều này đã được chứng minh.

Đây là cơ sở cho khả năng làm lệch bất kỳ số hạng nào của bất đẳng thức từ một trong các phần của nó sang phần khác trái dấu. Chẳng hạn, từ bất đẳng thức

theo đó

4. Khi nhân các số hạng của bất đẳng thức với cùng một số dương thì nghĩa của bất đẳng thức không thay đổi; khi nhân các số hạng của bất đẳng thức với cùng một số âm thì ý nghĩa của bất đẳng thức chuyển sang chiều ngược lại.

Bằng chứng. Để thì Nếu thì do tích các số dương là số dương. Mở rộng các dấu ngoặc ở phía bên trái của bất đẳng thức cuối cùng, chúng tôi có được , tức là . Trường hợp được xem xét theo cách tương tự.

Có thể rút ra chính xác kết luận tương tự về phép chia các phần của bất đẳng thức cho một số khác 0, vì phép chia cho một số tương đương với phép nhân với một số và các số có cùng dấu.

5. Cho các số hạng của bất phương trình là dương. Khi đó, khi các phần tử của nó được nâng lên cùng một lũy thừa dương thì ý nghĩa của bất đẳng thức không thay đổi.

Bằng chứng. Giả sử trong trường hợp này, theo tính chất bắc cầu, và . Khi đó, do tính đơn điệu tăng của hàm lũy thừa tại và dương, ta có

Đặc biệt, nếu đâu là số tự nhiên thì ta được

tức là khi rút căn từ cả hai vế của bất đẳng thức với các số hạng dương thì nghĩa của bất đẳng thức không thay đổi.

Đặt các số hạng của bất phương trình là âm. Khi đó ta dễ dàng chứng minh được rằng khi nâng các hạng của nó lên lũy thừa bậc lẻ thì ý nghĩa của bất đẳng thức không đổi, còn khi nâng lên bậc bậc chẵn thì ý nghĩa của bất đẳng thức trở nên ngược lại. Từ bất đẳng thức có số hạng âm, bạn cũng có thể rút ra nghiệm của bậc lẻ.

Hơn nữa, giả sử các số hạng của bất đẳng thức có dấu khác nhau. Sau đó, khi nó được nâng lên lũy thừa lẻ, ý nghĩa của bất đẳng thức không thay đổi, và khi nó được nâng lên thành lũy thừa chẵn, trong trường hợp tổng quát, không có gì xác định có thể nói về ý nghĩa của bất đẳng thức kết quả. Thật vậy, khi nâng một số lên lũy thừa lẻ thì dấu của số đó được giữ nguyên nên ý nghĩa của bất đẳng thức không thay đổi. Khi nâng bất đẳng thức lên lũy thừa chẵn thì hình thành bất đẳng thức có số hạng dương và ý nghĩa của nó sẽ phụ thuộc vào giá trị tuyệt đối của các số hạng của bất đẳng thức ban đầu, bất đẳng thức cùng nghĩa với vế ban đầu, bất đẳng thức về ý nghĩa ngược lại, và thậm chí có thể đạt được bình đẳng!

Sẽ rất hữu ích nếu kiểm tra mọi thứ đã được nói về việc nâng cao bất bình đẳng thành lũy thừa bằng ví dụ sau.

Ví dụ 1. Nâng các bất đẳng thức sau lên lũy thừa đã cho, nếu cần, đổi dấu bất đẳng thức sang dấu ngược hoặc dấu bằng.

a) 3 > 2 mũ 4; b) lũy thừa của 3;

c) lũy thừa của 3; d) lũy thừa của 2;

e) mũ 5; e) mũ 4;

g) 2 > -3 lũy thừa 2; h) lũy thừa của 2,

6. Từ bất đẳng thức ta có thể đi đến bất đẳng thức giữa nếu các số hạng của bất đẳng thức đều dương hoặc đều âm thì giữa các nghịch đảo của chúng tồn tại một bất đẳng thức trái dấu:

Bằng chứng. Nếu a và b cùng dấu thì tích của chúng là dương. Chia cho bất bình đẳng

tức là, được yêu cầu để có được.

Nếu các số hạng của bất đẳng thức trái dấu thì bất đẳng thức giữa các nghịch đảo của chúng có cùng ý nghĩa, vì dấu của các nghịch đảo cũng giống như dấu của chính các đại lượng.

Ví dụ 2. Kiểm tra tính chất cuối cùng 6 của các bất phương trình sau:

7. Tính logarit của bất phương trình chỉ thực hiện được trong trường hợp các số hạng của bất phương trình là dương (các số âm và 0 không có logarit).

Để cho . Rồi bao giờ

và khi nào

Tính đúng đắn của những phát biểu này dựa trên tính đơn điệu của hàm logarit, hàm này tăng nếu cơ số và giảm nếu

Vì vậy, khi lấy logarit của một bất đẳng thức bao gồm các số hạng dương, với cơ số lớn hơn một, một bất đẳng thức có cùng ý nghĩa với bất đẳng thức đã cho được hình thành và khi lấy logarit của nó với một cơ số dương nhỏ hơn một, một bất đẳng thức ý nghĩa ngược lại được hình thành.

8. Nếu , thì nếu , nhưng , thì .

Điều này ngay lập tức xuất phát từ tính chất đơn điệu của hàm mũ (Phần 42), hàm này tăng trong trường hợp và giảm nếu

Khi cộng các bất đẳng thức cùng nghĩa với số hạng ta được một bất đẳng thức cùng nghĩa với dữ liệu.

Bằng chứng. Chúng ta hãy chứng minh mệnh đề này cho hai bất đẳng thức, mặc dù nó đúng với bất kỳ số bất đẳng thức tổng nào. Hãy để bất đẳng thức

Theo định nghĩa, các số sẽ dương; thì tổng của chúng cũng trở nên dương, tức là

Nhóm các điều khoản khác nhau, chúng tôi nhận được

và do đó

và điều này đã được chứng minh.

Không có gì xác định có thể nói trong trường hợp tổng quát về ý nghĩa của một bất đẳng thức do phép cộng của hai hay nhiều bất đẳng thức có nghĩa khác nhau.

10. Nếu trừ một bất đẳng thức khác có nghĩa ngược lại từ một bất đẳng thức này thì ta được một bất đẳng thức cùng nghĩa với bất đẳng thức thứ nhất.

Bằng chứng. Cho hai bất đẳng thức có nghĩa khác nhau. Phần thứ hai của chúng, do thuộc tính không thể đảo ngược, có thể được viết lại như sau: d > c. Bây giờ chúng ta cộng hai bất đẳng thức cùng nghĩa và thu được bất đẳng thức

nghĩa giống nhau. Từ cái sau chúng ta tìm thấy

và điều này đã được chứng minh.

Không có gì xác định có thể được nói trong trường hợp tổng quát về ý nghĩa của một bất đẳng thức thu được bằng cách trừ một bất đẳng thức khác có cùng ý nghĩa từ một bất đẳng thức này.

Tập hợp tất cả các số thực có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của ba tập hợp: tập hợp các số dương, tập hợp các số âm và tập hợp bao gồm một số - số không. Để chỉ ra rằng số một tích cực, tận hưởng kỷ lục một > 0, để biểu thị số âm, hãy sử dụng một bản ghi khác một< 0 .

Tổng và tích của các số dương cũng là số dương. Nếu số mộtâm, thì số -một tích cực (và ngược lại). Với mọi số dương a thì tồn tại một số hữu tỉ dương r, Gì r< а . Những sự thật này làm cơ sở cho lý thuyết về sự bất bình đẳng.

Theo định nghĩa, bất đẳng thức a > b (hoặc tương đương, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, nghĩa là, nếu số a - b là số dương.

Đặc biệt xét bất đẳng thức một< 0 . Bất đẳng thức này có ý nghĩa gì? Theo định nghĩa trên có nghĩa là 0 - a > 0, I E. -a > 0 hoặc số nào khác -một tích cực. Nhưng đây là trường hợp khi và chỉ khi số một phủ định. Vậy bất đẳng thức một< 0 có nghĩa là số nhưng tiêu cực.

Cũng thường được sử dụng là ký hiệu ab(hoặc, giống nhau, ba).
ghi âm ab, theo định nghĩa, có nghĩa là một trong hai một > b, hoặc một = b. Nếu chúng ta xem xét mục ab như một mệnh đề không xác định, thì trong ký hiệu logic toán học người ta có thể viết

(a b) [(a > b) V (a = b)]

ví dụ 1 Các bất phương trình 5 0, 0 0 có đúng không?

Bất đẳng thức 5 0 là một mệnh đề phức tạp bao gồm hai mệnh đề đơn giản được nối với nhau bằng liên từ logic "hoặc" (phân biệt). 5 > 0 hoặc 5 = 0. Câu đầu tiên 5 > 0 là đúng, câu thứ hai 5 = 0 là sai. Theo định nghĩa của phép tách, mệnh đề ghép như vậy là đúng.

Bản ghi 00 được thảo luận tương tự.

Bất đẳng thức dạng một > b, một< b sẽ được gọi là nghiêm ngặt, và bất đẳng thức của hình thức ab, ab- không nghiêm ngặt.

bất bình đẳng một > b và c > d(hoặc một< b và Với< d ) sẽ được gọi là bất đẳng thức cùng nghĩa và bất đẳng thức một > b và c< d - bất đẳng thức ngược nghĩa. Lưu ý rằng hai thuật ngữ này (bất đẳng thức cùng nghĩa và nghĩa trái ngược nhau) chỉ đề cập đến hình thức viết các bất đẳng thức chứ không đề cập đến bản thân các sự kiện được thể hiện bởi các bất đẳng thức này. Vì vậy, liên quan đến bất đẳng thức một< b bất bình đẳng Với< d là một bất đẳng thức có cùng ý nghĩa, và bằng văn bản đ > c(có nghĩa giống nhau) - một bất đẳng thức có nghĩa ngược lại.

Cùng với bất đẳng thức dạng một > b, ab cái gọi là bất đẳng thức kép được sử dụng, tức là bất đẳng thức dạng một< с < b , át chủ< b , một< cb ,
mộtcb. Theo định nghĩa, mục nhập

một< с < b (1)
có nghĩa là cả hai bất bình đẳng giữ:

một< с và Với< b.

Các bất đẳng thức có ý nghĩa tương tự acb, ac< b, а < сb.

Bất đẳng thức kép (1) có thể viết như sau:

(một< c < b) [(a < c) & (c < b)]

và bất đẳng thức kép a ≤ c ≤ b có thể được viết dưới dạng sau:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Bây giờ chúng ta hãy tiến hành trình bày các thuộc tính chính và quy tắc hành động đối với bất đẳng thức, đồng ý rằng trong bài viết này, các chữ cái một, b, c biểu diễn số thực và N có nghĩa là một số tự nhiên.

1) Nếu a > b và b > c thì a > c (tính bắc cầu).

Bằng chứng.

Vì theo điều kiện một > b và b > c, thì các số một - b và b - c là dương, và do đó số a - c \u003d (a - b) + (b - c), là tổng của các số dương, cũng dương. Điều này có nghĩa là, theo định nghĩa, rằng một > c.

2) Nếu a > b thì với mọi c bất đẳng thức a + c > b + c thỏa mãn.

Bằng chứng.

Tại vì một > b, thì số một - b tích cực. Do đó, số (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b cũng là tích cực, tức là
a + c > b + c.

3) Nếu a + b > c thì a > b - c, tức là, bất kỳ thuật ngữ nào cũng có thể được chuyển từ phần này sang phần khác của bất đẳng thức bằng cách đổi dấu của thuật ngữ này sang dấu đối diện.

Chứng minh theo tính chất 2) là đủ cho cả hai phần của bất đẳng thức a + b > c thêm một số -b.

4) Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d, tức là cộng hai bất đẳng thức cùng nghĩa ta được một bất đẳng thức cùng nghĩa.

Bằng chứng.

Theo định nghĩa của bất đẳng thức, nó đủ để chỉ ra rằng sự khác biệt
(a + c) - (b + c) tích cực. Sự khác biệt này có thể được viết như sau:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Vì với điều kiện của số một - b và đĩa CD dương thì (a + c) - (b + d) cũng là một số dương.

Hậu quả. Quy tắc 2) và 4) ngụ ý quy tắc sau để trừ các bất đẳng thức: nếu a > b, c > d, sau đó a - d > b - c(để chứng minh, nó đủ cho cả hai phần của bất đẳng thức a + c > b + d thêm một số - đĩa CD).

5) Nếu a > b, thì với c > 0 ta có ac > bc, và với c< 0 имеем ас < bc.

Nói cách khác, khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức thì dấu của bất đẳng thức được giữ nguyên (tức là ta được bất đẳng thức cùng nghĩa), còn khi nhân với một số âm thì dấu của bất đẳng thức đổi thành dấu (tức là thu được bất đẳng thức có nghĩa ngược lại.

Bằng chứng.

Nếu một một > b, sau đó một - b là một số dương. Do đó, dấu hiệu của sự khác biệt ac-bc = taxi) trùng với dấu của số Với: nếu Với là số dương thì hiệu ac - bc tích cực và do đó ac > bc, chuyện gì xảy ra nếu Với< 0 , thì sự khác biệt này là tiêu cực và do đó bc - ac tích cực, tức là bc > ac.

6) Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd, tức là, nếu tất cả các số hạng của hai bất đẳng thức cùng nghĩa đều dương, thì phép nhân từng hạng tử của các bất đẳng thức này sẽ dẫn đến một bất đẳng thức cùng nghĩa.

Bằng chứng.

Chúng ta có ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Tại vì c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, sau đó ac - bd > 0, tức là ac > bd.

Bình luận. Rõ ràng từ bằng chứng rằng điều kiện d > 0 trong công thức tính chất 6) là không quan trọng: để tính chất này đúng, điều kiện đủ là a > b > 0, c > d, c > 0. Nếu (nếu bất đẳng thức a > b, c > d) số một, b, c không phải tất cả đều dương thì bất đẳng thức ac > bd có thể không được thực hiện. Ví dụ, khi một = 2, b =1, c= -2, đ= -3 ta có a > b, c > đ, nhưng bất đẳng thức ac > bd(tức là -4 > -3) không thành công. Như vậy, yêu cầu các số a, b, c phải dương trong mệnh đề tính chất 6) là cần thiết.

7) Nếu a ≥ b > 0 và c > d > 0 thì (chia bất phương trình).

Bằng chứng.

Chúng ta có Tử số của phân số ở vế phải là dương (xem tính chất 5), 6)), mẫu số cũng dương. Do đó,. Điều này chứng tỏ tính chất 7).

Bình luận. Chúng tôi lưu ý một trường hợp cụ thể quan trọng của quy tắc 7) thu được khi a = b = 1: nếu c > d > 0, thì. Như vậy, nếu các số hạng của bất đẳng thức là dương thì khi chuyển sang nghịch đảo ta thu được bất đẳng thức có nghĩa ngược lại. Mời bạn đọc kiểm chứng quy tắc này còn được bảo lưu trong 7) Nếu ab > 0 và c > d > 0 thì (chia bất phương trình).

Bằng chứng. sau đó.

Ta đã chứng minh ở trên một số tính chất của bất đẳng thức viết với dấu > (hơn). Tuy nhiên, tất cả các tính chất này có thể được xây dựng bằng cách sử dụng dấu hiệu < (ít hơn), vì bất đẳng thức b< а có nghĩa là, theo định nghĩa, giống như bất đẳng thức một > b. Hơn nữa, để dễ kiểm tra nên các tính chất chứng minh trên cũng được bảo toàn cho các bất phương trình không nghiêm ngặt. Ví dụ, tính chất 1) đối với bất đẳng thức không nghiêm ngặt sẽ có dạng như sau: nếu ab và bc, sau đó át chủ.

Tất nhiên, các tính chất chung của bất đẳng thức không chỉ giới hạn ở những gì đã nói ở trên. Có một số bất đẳng thức tổng quát liên quan đến việc xét các hàm lũy thừa, hàm mũ, logarit và lượng giác. Cách tiếp cận chung để viết các loại bất đẳng thức này như sau. Nếu một số chức năng y = f(x) tăng đơn điệu trên đoạn [a,b], thì với x 1 > x 2 (với x 1 và x 2 cùng thuộc đoạn này) ta có f (x 1) > f(x 2). Tương tự, nếu hàm y = f(x) giảm đơn điệu trên đoạn [a,b], sau đó tại x 1 > x 2 (ở đâu x 1 và X 2 thuộc đoạn này) ta có f(x1)< f(x 2 ). Tất nhiên, những gì đã nói không khác với định nghĩa về tính đơn điệu, nhưng kỹ thuật này rất thuận tiện cho việc ghi nhớ và viết các bất đẳng thức.

Vì vậy, ví dụ, với bất kỳ n tự nhiên nào thì hàm y = xn tăng đơn điệu trên tia }