Hệ bất phương trình tuyến tính và tập lồi.

Giải bất phương trình hai biến, và hơn thế nữa hệ bất phương trình hai biến, dường như là một thách thức khá lớn. Tuy nhiên, có một thuật toán đơn giản giúp giải quyết các vấn đề có vẻ rất phức tạp thuộc loại này một cách dễ dàng và dễ dàng. Hãy cố gắng tìm ra nó.

Giả sử chúng ta có một bất đẳng thức với hai biến thuộc một trong các loại sau:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Để biểu diễn tập nghiệm của một bất phương trình như vậy trên mặt phẳng tọa độ, tiến hành như sau:

1. Chúng tôi xây dựng đồ thị của hàm y = f(x), đồ thị này chia mặt phẳng thành hai miền.

2. Chúng tôi chọn bất kỳ khu vực nào thu được và xem xét một điểm tùy ý trong đó. Ta kiểm tra sự thỏa mãn của bất đẳng thức ban đầu cho điểm này. Nếu kết quả của việc kiểm tra thu được bất đẳng thức số chính xác, thì chúng tôi kết luận rằng bất đẳng thức ban đầu được thỏa mãn trong toàn bộ khu vực mà điểm đã chọn thuộc về. Như vậy, tập nghiệm của bất phương trình là tích mà điểm được chọn thuộc tích. Nếu kết quả kiểm tra thu được bất đẳng thức số không chính xác, thì tập hợp các nghiệm của bất đẳng thức sẽ là vùng thứ hai mà điểm đã chọn không thuộc về.

3. Nếu bất đẳng thức là nghiêm ngặt, thì ranh giới của vùng, nghĩa là các điểm trên đồ thị của hàm y = f(x), không được bao gồm trong tập hợp các nghiệm và ranh giới được hiển thị dưới dạng một đường chấm chấm. Nếu bất đẳng thức không nghiêm ngặt, thì biên của miền, tức là các điểm thuộc đồ thị của hàm số y = f(x), được bao gồm trong tập nghiệm của bất đẳng thức này, và biên trong trường hợp này là được mô tả như một đường liền nét.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một vài vấn đề về chủ đề này.

Nhiệm vụ 1.

Tập hợp điểm nào được cho bởi bất phương trình x · y ≤ 4?

Phán quyết.

1) Chúng tôi xây dựng một đồ thị của phương trình x · y = 4. Để làm điều này, trước tiên chúng tôi biến đổi nó. Rõ ràng là x trong trường hợp này không chuyển thành 0, vì nếu không thì chúng ta sẽ có 0 · y = 4, điều này không đúng. Vì vậy, chúng ta có thể chia phương trình của mình cho x. Ta được: y = 4/x. Đồ thị của hàm này là một hyperbola. Nó chia toàn bộ mặt phẳng thành hai vùng: vùng nằm giữa hai nhánh của hyperbol và vùng bên ngoài chúng.

2) Ta chọn một điểm tùy ý trong miền thứ nhất, gọi là điểm (4; 2).
Kiểm tra bất đẳng thức: 4 2 ≤ 4 sai.

Điều này có nghĩa là các điểm của miền này không thỏa mãn bất đẳng thức ban đầu. Sau đó, chúng ta có thể kết luận rằng tập hợp các nghiệm của bất phương trình sẽ là miền thứ hai mà điểm đã chọn không thuộc về miền đó.

3) Vì bất đẳng thức không nghiêm ngặt nên ta vẽ các điểm biên, tức là các điểm thuộc đồ thị của hàm số y = 4/x, bằng nét liền mảnh.

Hãy tô màu tập hợp các điểm xác định bất đẳng thức ban đầu bằng màu vàng (Hình 1).

Nhiệm vụ 2.

Vẽ vùng xác định trên mặt phẳng tọa độ bởi hệ
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Phán quyết.

Chúng tôi xây dựng đồ thị của các chức năng sau để bắt đầu với (Hình 2):

y \u003d x 2 + 2 - parabol,

y + x = 1 - đường thẳng

x 2 + y 2 \u003d 9 là một đường tròn.

1) y > x 2 + 2.

Ta lấy điểm (0;5) nằm trên đồ thị của hàm số.
Chứng minh bất đẳng thức: 5 > 0 2 + 2 đúng.

Do đó, tất cả các điểm nằm trên parabol y = x 2 + 2 đã cho đều thỏa mãn bất phương trình thứ nhất của hệ. Hãy tô màu chúng màu vàng.

2) y + x > 1.

Ta lấy điểm (0;3) nằm trên đồ thị của hàm số.
Kiểm tra bất đẳng thức: 3 + 0 > 1 có đúng không.

Do đó, mọi điểm nằm trên đường thẳng y + x = 1 đều thỏa mãn bất đẳng thức thứ hai của hệ. Hãy tô màu chúng bằng màu xanh lá cây.

3) x2 + y2 ≤ 9 .

Ta lấy điểm (0; -4) nằm ngoài đường tròn x 2 + y 2 = 9.
Kiểm tra bất đẳng thức: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 sai.

Do đó, tất cả các điểm nằm bên ngoài đường tròn x 2 + y 2 = 9, không thỏa mãn bất đẳng thức thứ ba của hệ. Sau đó, chúng ta có thể kết luận rằng tất cả các điểm nằm bên trong đường tròn x 2 + y 2 = 9 thỏa mãn bất đẳng thức thứ ba của hệ thống. Hãy vẽ chúng với bóng màu tím.

Đừng quên rằng nếu sự bất bình đẳng là nghiêm ngặt, thì đường ranh giới tương ứng phải được vẽ bằng một đường chấm chấm. Ta được hình sau (Hình 3).

(Hình 4).

Nhiệm vụ 3.

Vẽ diện tích xác định trên mặt phẳng tọa độ bởi hệ thức:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Phán quyết.

Để bắt đầu, chúng tôi xây dựng đồ thị của các chức năng sau:

x 2 + y 2 \u003d 16 - hình tròn,

x \u003d -y - thẳng

x 2 + y 2 \u003d 4 - hình tròn (Hình 5).

Bây giờ chúng ta giải quyết từng bất đẳng thức một cách riêng biệt.

1) x2 + y2 ≤ 16.

Ta lấy điểm (0; 0) nằm bên trong đường tròn x 2 + y 2 = 16.
Kiểm tra bất đẳng thức: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 có đúng không.

Do đó, tất cả các điểm nằm bên trong đường tròn x 2 + y 2 = 16 thỏa mãn bất phương trình thứ nhất của hệ.
Hãy tô màu chúng bằng màu đỏ.

Ta lấy điểm (1; 1) nằm trên đồ thị của hàm số.
Ta kiểm tra bất đẳng thức: 1 ≥ -1 - đúng.

Do đó, tất cả các điểm nằm trên đường thẳng x = -y thỏa mãn bất đẳng thức thứ hai của hệ thống. Hãy tô màu chúng bằng màu xanh lam.

3) x2 + y2 ≥ 4 .

Ta lấy điểm (0;5) nằm ngoài đường tròn x 2 + y 2 = 4.
Ta kiểm tra bất đẳng thức: 0 2 + 5 2 ≥ 4 đúng.

Do đó, tất cả các điểm nằm ngoài đường tròn x 2 + y 2 = 4 thỏa mãn bất đẳng thức thứ ba của hệ. Hãy tô màu chúng màu xanh lam.

Trong vấn đề này, tất cả các bất đẳng thức đều không nghiêm ngặt, có nghĩa là chúng ta vẽ tất cả các ranh giới bằng một đường liền nét. Ta được hình sau (Hình 6).

Khu vực quan tâm là khu vực mà cả ba khu vực màu giao nhau. (hình 7).

Bạn có câu hỏi nào không? Không chắc chắn làm thế nào để giải quyết một hệ thống bất phương trình với hai biến?
Để nhận được sự giúp đỡ từ một gia sư -.
Bài học đầu tiên là miễn phí!

blog.site, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.

, giáo viên toán, MOU "Trường toàn diện cơ bản Upshinsky"

Giải pháp đồ họa của bất bình đẳngvới hai biến

Thường thì cần phải mô tả trên mặt phẳng tọa độ tập nghiệm của bất phương trình hai biến. Nhắc lại rằng nghiệm của bất phương trình hai biến là một cặp giá trị của các biến này biến bất phương trình đã cho thành một bất phương trình số thực.

ví dụ 1

Xét bất đẳng thức

Cặp giá trị của biến (-1; 1) biến bất phương trình này thành

bất đẳng thức số đúng 2< 8, и является решением неравенства. Пара значений (2; 1) приводит к неверному числовому неравенству 11 < 8, и не является ре­шением данного неравенства.

Sử dụng các ví dụ, hãy xem cách tập hợp các nghiệm của bất đẳng thức hai biến được mô tả trên mặt phẳng tọa độ.

ví dụ 2

Hãy biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ tập nghiệmđăng quang 2y+ Zx< 6.

Đầu tiên, hãy vẽ một đường

Nó chia tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng tọa độ thành các điểm trên nó và các điểm dưới nó.

Lấy từ mỗi khu vực trạm kiểm soát , Ví dụ A(1;1) và B(1;3)

tọa độ điểm VÀ thỏa mãn bất đẳng thức này 2y+ Zx< 6, т. е. 2 1 + 3 1 < 6.

tọa độ điểm TẠI không thỏa mãn bất đẳng thức này 2∙3 + 3∙1< 6.

Vì bất đẳng thức này có thể đổi dấu trên đường thẳng 2y+ Zx = 6 thì bất phương trình thỏa mãn bởi tập hợp các điểm thuộc miền có điểm A. Tô đậm miền này.

Như vậy, ta đã vẽ được tập nghiệm của bất phương trình 2y+ Zx< 6.

ví dụ 3

Vẽ tập nghiệm của bất phương trình x2 + 2x + y2- 4y + 1 > 0trên mặt phẳng tọa độ.

Trước hết ta dựng đồ thị của phương trình x2 + 2x + y2 - 4y + 1 = 0. Ta chọn phương trình đường tròn trong phương trình này là: (x2 + 2x + 1) + (y2 - 4y + 4) = 4, hoặc ( x + 1)2 + ( y - 2)2 = 22.

Đây là phương trình của đường tròn có tâm tại điểm 0 (-1; 2) và bán kính R = 2. Hãy dựng đường tròn này.

Vì bất đẳng thức này là nghiêm ngặt và các điểm nằm trên đường tròn không thỏa mãn bất đẳng thức nên ta dựng đường tròn bằng một nét chấm.

Dễ dàng kiểm tra tọa độ của tâm Ôđường tròn không thỏa mãn bất đẳng thức này. Biểu thức x2 + 2x + y2 - 4y+ 1 đổi dấu trên đường tròn dựng được. Khi đó bất đẳng thức được thỏa mãn bởi các điểm nằm bên ngoài đường tròn. Những điểm này được tô bóng.

Ví dụ 4

Hãy biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ tập nghiệm của bất phương trình

(y - x2) (y- x - 3)< 0.

Đầu tiên chúng ta vẽ phương trình (y - x2) (y- x - 3) = 0. Đó là một parabol tại= x2 và thẳng hàng y = x+ 3. Chúng ta hãy dựng các dòng này và lưu ý rằng sự thay đổi dấu của biểu thức (y - x2) (y- x - 3) chỉ xảy ra trên các dòng này. Với điểm A(0; 5) ta xác định dấu của biểu thức này: - 3) > 0 (tức là không thỏa mãn bất đẳng thức này). Bây giờ có thể dễ dàng đánh dấu tập hợp các điểm thỏa mãn bất đẳng thức này (các vùng này được tô bóng).

Bất đẳng thức là hai số hoặc biểu thức toán học được nối với nhau bằng một trong các dấu: > (thêm, trong trường hợp bất đẳng thức nghiêm ngặt),< (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

bất bình đẳng là tuyến tính trong các điều kiện giống như một phương trình: nó chỉ chứa các biến ở mức độ đầu tiên và không chứa các sản phẩm của các biến.

Nghiệm của bất phương trình tuyến tính và hệ bất phương trình tuyến tính gắn bó chặt chẽ với ý nghĩa hình học của chúng: nghiệm của bất phương trình tuyến tính là một nửa mặt phẳng nhất định, trong đó toàn bộ mặt phẳng bị chia bởi một đường thẳng có phương trình là bất đẳng thức tuyến tính. Nửa mặt phẳng này, và trong trường hợp hệ bất phương trình tuyến tính, một phần của mặt phẳng giới hạn bởi một số đường thẳng, phải được tìm thấy trong hình vẽ.

Nhiều bài toán kinh tế được rút gọn thành việc giải các hệ bất phương trình tuyến tính với một số lượng lớn các biến, đặc biệt là các bài toán quy hoạch tuyến tính trong đó yêu cầu tìm cực đại hoặc cực tiểu của một hàm.

Giải hệ bất phương trình tuyến tính với bất kỳ ẩn số nào

Đầu tiên chúng ta hãy phân tích các bất đẳng thức tuyến tính trong mặt phẳng. Xét một bất đẳng thức có hai biến và :

,

ở đâu là hệ số của các biến (một số), là số hạng tự do (cũng là một số).

Một bất đẳng thức có hai ẩn số, giống như một phương trình, có vô số nghiệm. Một nghiệm của bất đẳng thức này là một cặp số thỏa mãn bất đẳng thức này. Về mặt hình học, tập nghiệm của bất phương trình được mô tả như một nửa mặt phẳng giới hạn bởi một đường thẳng

,

mà chúng ta sẽ gọi là đường ranh giới.

Bước 1. Dựng đường thẳng giới hạn tập nghiệm của bất phương trình tuyến tính

Để làm điều này, bạn cần biết hai điểm bất kỳ của dòng này. Hãy tìm giao điểm của các trục tọa độ. tọa độ giao lộ Một bằng không (Hình 1). Các giá trị số trên các trục trong hình này tham khảo ví dụ 1 mà chúng tôi sẽ phân tích ngay sau phần lý thuyết lạc đề này.

Chúng ta tìm trục hoành bằng cách giải như một hệ phương trình của một đường thẳng với phương trình của trục.

Hãy tìm giao điểm với trục:

Thay thế giá trị vào phương trình đầu tiên, chúng tôi nhận được

Ở đâu .

Như vậy, ta đã tìm được hoành độ của điểm Một .

Hãy tìm tọa độ của giao điểm với trục.

điểm abscissa b bằng không. Hãy giải phương trình đường biên với phương trình trục tọa độ:

,

do đó tọa độ của điểm b: .

Bước 2. Vẽ đường thẳng giới hạn tập nghiệm của bất phương trình. Biết điểm Một và b giao điểm của đường biên với các trục tọa độ, ta vẽ được đường này. Đường thẳng (hình 1 lại) chia toàn bộ mặt phẳng thành hai phần nằm về bên phải và bên trái (phía trên và phía dưới) của đường thẳng này.

Bước 3. Xác định nửa mặt phẳng nào là nghiệm của bất phương trình này.Để làm được điều này ta cần thay gốc tọa độ (0; 0) vào bất đẳng thức này. Nếu tọa độ gốc tọa độ thỏa mãn bất phương trình thì nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ. Nếu tọa độ không thỏa mãn bất phương trình thì nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ. Nửa mặt phẳng nghiệm của bất phương trình sẽ được biểu thị bằng các nét kẻ từ đường thẳng bên trong nửa mặt phẳng, như trong Hình 1.

Nếu chúng ta giải hệ bất phương trình tuyến tính, thì mỗi bước được thực hiện cho từng bất phương trình của hệ.

ví dụ 1 Giải bất phương trình

Phán quyết. Hãy vẽ một đường thẳng

Thay thế một đường thẳng vào phương trình, chúng ta nhận được và thay thế, chúng ta nhận được. Do đó, tọa độ của các giao điểm với các trục sẽ là Một(3; 0) , b(0; 2) . Vẽ một đường thẳng qua các điểm này (một lần nữa, Hình 1).

Ta chọn nửa mặt phẳng nghiệm của bất phương trình. Để làm được điều này, ta thay tọa độ của đầu (0; 0) vào bất đẳng thức:

chúng ta thu được , tức là tọa độ gốc thỏa mãn bất đẳng thức này. Do đó, nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, tức là nửa mặt phẳng bên trái (hoặc dưới).

Nếu bất đẳng thức này là nghiêm ngặt, nghĩa là nó sẽ có dạng

thì các điểm thuộc đường biên sẽ không phải là nghiệm vì chúng không thỏa mãn bất đẳng thức.

Bây giờ xét một hệ bất phương trình tuyến tính với hai ẩn số:

Mỗi bất phương trình của hệ này trên mặt phẳng xác định một nửa mặt phẳng. Một hệ bất phương trình tuyến tính được gọi là nhất quán nếu nó có ít nhất một nghiệm và không nhất quán nếu nó không có nghiệm nào. Một nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính là bất kỳ cặp số ( ) nào thỏa mãn tất cả các bất phương trình của hệ này.

Về mặt hình học, nghiệm của một hệ bất phương trình tuyến tính là tập hợp các điểm thỏa mãn tất cả các bất phương trình của hệ, tức là phần chung của các nửa mặt phẳng thu được. Do đó, về mặt hình học, trong trường hợp chung, giải pháp có thể được mô tả dưới dạng một đa giác nhất định, trong trường hợp cụ thể, nó có thể là một đường thẳng, một đoạn thẳng và thậm chí là một điểm. Nếu hệ bất phương trình tuyến tính khả vi thì không có một điểm nào trên mặt phẳng thỏa mãn tất cả các bất phương trình của hệ.

ví dụ 2

Phán quyết. Vậy cần tìm đa giác nghiệm của hệ bất phương trình này. Hãy dựng đường biên của bất phương trình thứ nhất, tức là một đoạn thẳng, và đường biên của bất phương trình thứ hai, tức là một đoạn thẳng.

Chúng tôi làm điều này từng bước một, như đã được chỉ ra trong tài liệu tham khảo lý thuyết và trong ví dụ 1, đặc biệt là vì trong ví dụ 1, một đường biên được xây dựng cho bất đẳng thức, đây là đường đầu tiên trong hệ thống này.

Các nửa mặt phẳng giải pháp tương ứng với các bất đẳng thức của hệ thống này được tô bóng bên trong trong Hình 2. Phần chung của các nửa mặt phẳng nghiệm là một góc mở ABC. Điều này có nghĩa là tập hợp các điểm trong mặt phẳng tạo nên góc mở ABC, là nghiệm của cả bất phương trình bậc nhất và bậc hai của hệ, nghĩa là, là nghiệm của hệ hai bất phương trình tuyến tính. Nói cách khác, tọa độ của bất kỳ điểm nào từ tập hợp này thỏa mãn cả hai bất đẳng thức của hệ thống.

ví dụ 3 Giải hệ bất phương trình tuyến tính

Phán quyết. Hãy để chúng tôi xây dựng các đường biên tương ứng với sự bất bình đẳng của hệ thống. Chúng tôi làm điều này bằng cách làm theo các bước được đưa ra trong nền tảng lý thuyết cho từng bất đẳng thức. Bây giờ chúng ta xác định các nửa mặt phẳng chứa nghiệm cho mỗi bất phương trình (Hình 3).

Các nửa mặt phẳng nghiệm tương ứng với các bất phương trình của hệ đã cho được tô đậm vào trong. Giao tuyến của các nửa mặt phẳng nghiệm được mô tả như hình vẽ dưới dạng một tứ giác ABCE. Ta nhận thấy đa giác nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính hai biến là một tứ giác ABCE .

Mọi thứ được mô tả ở trên về các hệ bất phương trình tuyến tính với hai ẩn số cũng áp dụng cho một hệ bất phương trình với bất kỳ số lượng ẩn số nào, với sự khác biệt duy nhất là nghiệm của một bất phương trình với N cái chưa biết sẽ là tổng thể N số () thỏa mãn mọi bất phương trình và thay vì đường biên sẽ có một siêu phẳng biên N-chiều không gian. Giải pháp sẽ là một đa diện giải pháp (đơn giản) được giới hạn bởi các siêu phẳng.

Chỉ có "X" và chỉ trục hoành, giờ đây "Y" được thêm vào và trường hoạt động mở rộng ra toàn bộ mặt phẳng tọa độ. Hơn nữa trong văn bản, cụm từ "bất bình đẳng tuyến tính" được hiểu theo nghĩa hai chiều, điều này sẽ trở nên rõ ràng sau vài giây.

Ngoài hình học giải tích, tài liệu có liên quan đến một số vấn đề về phân tích toán học, kinh tế và mô hình toán học, vì vậy tôi khuyên bạn nên học bài giảng này một cách nghiêm túc.

bất đẳng thức tuyến tính

Có hai loại bất đẳng thức tuyến tính:

1) Nghiêm khắc bất đẳng thức: .

2) không nghiêm ngặt bất đẳng thức: .

Ý nghĩa hình học của các bất đẳng thức này là gì? Nếu một phương trình tuyến tính xác định một đường thẳng, thì một bất đẳng thức tuyến tính xác định nửa mặt phẳng.

Để hiểu các thông tin bên dưới, bạn cần biết các loại đường trên mặt phẳng và có thể dựng các đường. Phần này bạn nào gặp khó khăn thì đọc giúp nhé Đồ thị và tính chất của hàm số– một đoạn văn về một hàm tuyến tính.

Hãy bắt đầu với những bất đẳng thức tuyến tính đơn giản nhất. Giấc mơ xanh của bất kỳ kẻ thất bại nào là một mặt phẳng tọa độ mà trên đó không có gì cả:

Như bạn đã biết, trục hoành được cho bởi phương trình - “y” luôn (với bất kỳ giá trị nào của “x”) bằng không

Hãy xét bất đẳng thức. Làm thế nào để hiểu nó một cách chính thức? "Y" luôn luôn (với bất kỳ giá trị nào của "x") dương. Rõ ràng là bất đẳng thức này xác định nửa mặt phẳng trên, vì tất cả các điểm có "trò chơi" dương đều nằm ở đó.

Trường hợp bất đẳng thức không nghiêm ngặt, đối với nửa mặt phẳng trên Ngoài ra trục được thêm vào.

Tương tự: bất đẳng thức thỏa mãn bởi mọi điểm thuộc nửa mặt phẳng dưới, bất đẳng thức không nghiêm ứng với nửa mặt phẳng dưới + trục .

Với trục y, câu chuyện bình thường tương tự:

– bất đẳng thức xác định nửa mặt phẳng bên phải;
– bất đẳng thức xác định nửa mặt phẳng bên phải, bao gồm cả trục y;
– bất đẳng thức xác định nửa mặt phẳng bên trái;
– bất đẳng thức xác định nửa mặt phẳng bên trái, bao gồm cả trục y.

Ở bước thứ hai, chúng ta xem xét các bất đẳng thức khi thiếu một trong các biến.

Thiếu "y":

Hoặc thiếu "X":

Những bất bình đẳng này có thể được giải quyết theo hai cách. vui lòng xem xét cả hai cách tiếp cận. Trên đường đi, chúng ta hãy ghi nhớ và củng cố các hành động của trường với các bất đẳng thức đã được thảo luận trong bài học phạm vi chức năng.

ví dụ 1

Giải bất phương trình tuyến tính:

Nó có nghĩa là gì để giải quyết một bất đẳng thức tuyến tính?

Để giải bất phương trình tuyến tính có nghĩa là tìm một nửa mặt phẳng, có các điểm thỏa mãn bất đẳng thức đã cho (cộng với chính đường thẳng, nếu bất đẳng thức không nghiêm ngặt). Phán quyết, thông thường, đồ họa.

Sẽ thuận tiện hơn nếu thực hiện ngay bản vẽ, sau đó nhận xét mọi thứ:

a) Giải bất phương trình

phương pháp một

Phương pháp này rất giống với câu chuyện với các trục tọa độ mà chúng ta đã thảo luận ở trên. Ý tưởng là biến đổi bất đẳng thức - để lại một biến ở phía bên trái mà không có bất kỳ hằng số nào, trong trường hợp này là biến x.

qui định: Trong bất đẳng thức, các hạng tử được chuyển từ vế này sang vế khác đổi dấu, còn dấu của bất đẳng thức không thay đổi(ví dụ: nếu có dấu hiệu “ít hơn” thì nó sẽ vẫn là “ít hơn”).

Chúng tôi chuyển "năm" sang bên phải với sự thay đổi dấu hiệu:

qui định KHẢ QUAN không thay đổi.

Bây giờ hãy vẽ một đường thẳng (đường đứt nét màu xanh lam). Đường thẳng bị gạch ngang vì bất đẳng thức nghiêm khắc, và những điểm thuộc đường này chắc chắn sẽ không được đưa vào lời giải.

Ý nghĩa của bất đẳng thức là gì? "X" luôn (với bất kỳ giá trị nào của "y") nhỏ hơn . Rõ ràng khẳng định này thỏa mãn bởi mọi điểm thuộc nửa mặt phẳng bên trái. Về nguyên tắc, nửa mặt phẳng này có thể được tô bóng, nhưng tôi sẽ giới hạn bản thân ở những mũi tên nhỏ màu xanh lam để không biến bản vẽ thành một bảng màu nghệ thuật.

phương pháp hai

Đây là một cách phổ quát. ĐỌC RẤT KỸ!

Đầu tiên, vẽ một đường thẳng. Nhân tiện, để rõ ràng, nên biểu diễn phương trình ở dạng .

Bây giờ chọn bất kỳ điểm nào của mặt phẳng, không thuộc đường thẳng. Tất nhiên, trong hầu hết các trường hợp, điểm ngon nhất. Thay tọa độ của điểm này vào bất đẳng thức:

Nhận bất đẳng thức sai(nói một cách đơn giản, điều này không thể xảy ra), có nghĩa là điểm không thỏa mãn bất đẳng thức .

Quy tắc chính của nhiệm vụ của chúng tôi:
không thỏa mãn thì bất đẳng thức MỌI NGƯỜIđiểm thuộc nửa mặt phẳng cho trước không thỏa mãnđến sự bất bình đẳng này.
– Nếu một điểm bất kỳ thuộc nửa mặt phẳng (không thuộc đường thẳng) thỏa mãn thì bất đẳng thức MỌI NGƯỜIđiểm thuộc nửa mặt phẳng cho trước thỏa mãnđến sự bất bình đẳng này.

Bạn có thể kiểm tra: bất kỳ điểm nào ở bên phải của đường thẳng sẽ không thỏa mãn bất đẳng thức .

Kết luận từ thí nghiệm với dấu chấm là gì? Không có nơi nào để đi, bất đẳng thức được thỏa mãn bởi tất cả các điểm của nửa kia - nửa mặt phẳng bên trái (bạn cũng có thể kiểm tra).

b) Giải bất phương trình

phương pháp một

Hãy biến đổi bất đẳng thức:

qui định: Cả hai vế của bất đẳng thức đều có thể nhân (chia) cho TIÊU CỰC số, trong khi dấu bất đẳng thức THAY ĐỔI ngược lại (ví dụ: nếu đã có dấu “lớn hơn hoặc bằng” thì sẽ trở thành “nhỏ hơn hoặc bằng”).

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với:

Hãy vẽ một đường thẳng (màu đỏ), hơn nữa, hãy vẽ một đường liền nét, vì chúng ta có bất đẳng thức không nghiêm ngặt, và dòng chắc chắn thuộc về giải pháp.

Sau khi phân tích bất phương trình thu được, ta đi đến kết luận nghiệm của nó là nửa mặt phẳng dưới (+ đường thẳng chính nó).

Một nửa mặt phẳng phù hợp được kẻ ô hoặc đánh dấu bằng các mũi tên.

phương pháp hai

Hãy vẽ một đường thẳng. Ví dụ, hãy chọn một điểm tùy ý trên mặt phẳng (không thuộc một đường thẳng) và thay tọa độ của nó vào bất đẳng thức của chúng ta:

Nhận bất đẳng thức đúng, thì điểm thỏa mãn bất đẳng thức , và nói chung, TẤT CẢ các điểm thuộc nửa mặt phẳng dưới đều thỏa mãn bất đẳng thức này.

Ở đây, với điểm thử nghiệm, chúng tôi đã đánh trúng nửa mặt phẳng mong muốn.

Giải pháp cho vấn đề được biểu thị bằng một đường thẳng màu đỏ và các mũi tên màu đỏ.

Cá nhân tôi thích giải pháp đầu tiên hơn, vì giải pháp thứ hai trang trọng hơn.

ví dụ 2

Giải bất phương trình tuyến tính:

Đây là một ví dụ tự làm. Cố gắng giải bài toán theo hai cách (nhân tiện, đây là một cách hay để kiểm tra lời giải). Trong đáp án cuối bài sẽ chỉ có hình vẽ cuối bài.

Tôi nghĩ rằng sau tất cả các hành động được thực hiện trong các ví dụ, bạn sẽ phải kết hôn với chúng, sẽ không khó để giải bất đẳng thức đơn giản nhất, như, v.v.

Chúng ta chuyển sang xem xét trường hợp tổng quát thứ ba, khi cả hai biến đều có mặt trong bất đẳng thức:

Ngoài ra, thuật ngữ miễn phí "ce" có thể bằng không.

ví dụ 3

Tìm các nửa mặt phẳng ứng với các bất phương trình sau:

Phán quyết: Điều này sử dụng phương pháp thay thế điểm phổ quát.

a) Hãy lập phương trình của một đường thẳng, trong khi đường thẳng phải được vẽ bằng nét chấm, vì bất phương trình là nghiêm ngặt và chính đường thẳng sẽ không được đưa vào giải pháp.

Ví dụ, chúng tôi chọn một điểm thực nghiệm của mặt phẳng không thuộc đường thẳng đã cho và thay tọa độ của nó vào bất đẳng thức của chúng tôi:

Nhận bất đẳng thức sai, nên điểm và TẤT CẢ các điểm thuộc nửa mặt phẳng này không thỏa mãn bất đẳng thức . Nghiệm của bất phương trình sẽ là một nửa mặt phẳng khác, chúng ta cùng chiêm ngưỡng tia chớp xanh:

b) Hãy giải bất phương trình. Trước tiên hãy vẽ một đường thẳng. Điều này rất dễ thực hiện, chúng ta có một tỷ lệ thuận trực tiếp chính tắc. Đường thẳng được vẽ liền mạch, vì bất đẳng thức không nghiêm ngặt.

Ta chọn một điểm tùy ý trên mặt phẳng không thuộc đường thẳng. Tôi muốn sử dụng lại nguồn gốc, nhưng, than ôi, bây giờ nó không phù hợp. Do đó, bạn sẽ phải làm việc với một người bạn gái khác. Sẽ có lợi hơn nếu lấy một điểm có giá trị tọa độ nhỏ, chẳng hạn như . Thay thế tọa độ của nó vào bất đẳng thức của chúng tôi:

Nhận bất đẳng thức đúng, nên điểm và mọi điểm thuộc nửa mặt phẳng đã cho thỏa mãn bất đẳng thức . Nửa mặt phẳng mong muốn được đánh dấu bằng các mũi tên màu đỏ. Ngoài ra, giải pháp bao gồm chính dòng đó.

Ví dụ 4

Tìm các nửa mặt phẳng ứng với các bất phương trình:

Đây là một ví dụ tự làm. Bài giải hoàn chỉnh, mẫu thô hoàn thiện và có đáp án cuối bài.

Hãy xem xét vấn đề ngược lại:

Ví dụ 5

a) Cho một đường thẳng. Định nghĩa nửa mặt phẳng chứa điểm, trong khi đường thẳng phải được đưa vào nghiệm.

b) Cho một đường thẳng. Định nghĩa nửa mặt phẳng chứa điểm. Bản thân dòng này không được bao gồm trong giải pháp.

Phán quyết: không cần vẽ ở đây và giải pháp sẽ là phân tích. Không có gì khó:

a) Lập đa thức phụ và tính giá trị của nó tại điểm:
. Do đó, bất đẳng thức mong muốn sẽ có dấu "nhỏ hơn". Theo điều kiện, dòng được bao gồm trong giải pháp, do đó bất đẳng thức sẽ không nghiêm ngặt:

b) Lập đa thức và tính giá trị của nó tại điểm :
. Do đó, bất đẳng thức mong muốn sẽ có dấu "lớn hơn". Theo điều kiện, dòng không được bao gồm trong giải pháp, do đó, bất đẳng thức sẽ nghiêm ngặt: .

Câu trả lời:

Ví dụ sáng tạo để tự học:

Ví dụ 6

Cho điểm và một đường thẳng. Trong số các điểm đã liệt kê, hãy tìm những điểm cùng với gốc tọa độ nằm trên cùng một phía của đường thẳng đã cho.

Một gợi ý nhỏ: trước tiên, bạn cần viết một bất đẳng thức xác định nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ. Giải tích và đáp án cuối bài.

Hệ bất phương trình tuyến tính

Như bạn hiểu, một hệ bất phương trình tuyến tính là một hệ bao gồm một số bất phương trình. Lol, à, tôi đã đưa ra định nghĩa =) Con nhím là con nhím, con dao là con dao. Nhưng sự thật là - hóa ra nó lại đơn giản và giá cả phải chăng! Không, nghiêm túc mà nói, tôi không muốn đưa ra một số ví dụ một cách chung chung, vì vậy hãy chuyển ngay sang các vấn đề cấp bách:

Nó có nghĩa là gì để giải quyết một hệ thống bất phương trình tuyến tính?

Giải hệ bất phương trình tuyến tính- nó có nghĩa là tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng thỏa mãn cho mỗi bất bình đẳng hệ thống.

Như những ví dụ đơn giản nhất, hãy xem xét các hệ bất phương trình xác định các phần tư tọa độ của một hệ tọa độ hình chữ nhật ("bản vẽ của twos" ở phần đầu của bài học):

Hệ bất phương trình xác định quý tọa độ thứ nhất (góc trên bên phải). Tọa độ của bất kỳ điểm nào của quý đầu tiên, ví dụ, vân vân. thỏa mãn cho mỗi bất bình đẳng của hệ thống này.

Tương tự:
– hệ bất phương trình xác định phần tư tọa độ thứ hai (phía trên bên trái);
– hệ bất phương trình xác định phần tư tọa độ thứ ba (phía dưới bên trái);
– hệ bất phương trình xác định phần tư tọa độ thứ tư (phía dưới bên phải).

Một hệ bất phương trình tuyến tính có thể không có nghiệm, nghĩa là, được không tương thích. Một lần nữa, ví dụ đơn giản nhất: . Rõ ràng là "x" không thể nhiều hơn ba và ít hơn hai cùng một lúc.

Nghiệm của hệ bất phương trình có thể là một đường thẳng, chẳng hạn: . Thiên nga, tôm càng, không có pike, kéo xe theo hai hướng khác nhau. Vâng, mọi thứ vẫn còn đó - giải pháp cho hệ thống này là một đường thẳng.

Nhưng trường hợp phổ biến nhất, khi giải pháp của hệ thống là một số diện tích mặt phẳng. khu vực quyết định có lẽ vô hạn(ví dụ: phối hợp các khu) hoặc giới hạn. Miền giới hạn của các giải pháp được gọi là hệ thống giải pháp đa giác.

Ví dụ 7

Giải hệ bất phương trình tuyến tính

Trong thực tế, đa số các trường hợp phải xử lý bất phương trình không nghiêm ngặt nên các em sẽ nhảy nốt phần còn lại của bài.

Phán quyết: thực tế là có quá nhiều bất bình đẳng không đáng sợ. Có thể có bao nhiêu điểm bất bình đẳng trong một hệ thống? Có, nhiều như bạn muốn. Điều chính là tuân thủ thuật toán hợp lý để xây dựng vùng giải pháp:

1) Đầu tiên, chúng ta xử lý các bất đẳng thức đơn giản nhất. Các bất đẳng thức xác định phần tư tọa độ đầu tiên, bao gồm cả biên của các trục tọa độ. Đã dễ dàng hơn nhiều vì khu vực tìm kiếm đã được thu hẹp đáng kể. Trong bản vẽ, chúng tôi đánh dấu ngay các nửa mặt phẳng tương ứng bằng mũi tên (mũi tên đỏ và xanh)

2) Bất đẳng thức đơn giản thứ hai - không có "y" ở đây. Thứ nhất, chúng tôi tự xây dựng đường thẳng và thứ hai, sau khi biến đổi bất đẳng thức thành dạng , rõ ràng là tất cả các "xes" đều nhỏ hơn 6. Chúng tôi đánh dấu nửa mặt phẳng tương ứng bằng các mũi tên màu xanh lá cây. Chà, khu vực tìm kiếm thậm chí còn nhỏ hơn - một hình chữ nhật không bị giới hạn từ phía trên.

3) Ở bước cuối cùng, chúng ta giải bất đẳng thức “với đầy đạn”: . Chúng tôi đã thảo luận chi tiết về thuật toán giải pháp trong phần trước. Nói tóm lại: đầu tiên chúng ta dựng một đường thẳng, sau đó với sự trợ giúp của một điểm thực nghiệm, chúng ta tìm thấy nửa mặt phẳng mà chúng ta cần.

Nào các em, đứng thành vòng tròn:


Diện tích giải pháp của hệ thống là một đa giác, trong bản vẽ, nó được khoanh tròn bằng một đường màu đỏ thẫm và được tô bóng. Tôi đã làm quá tay một chút =) Trong sổ tay, nó đủ để tô đậm khu vực của các giải pháp hoặc phác thảo đậm hơn bằng bút chì đơn giản.

Bất kỳ điểm nào của đa giác này thỏa mãn MỌI bất đẳng thức của hệ thống (bạn có thể kiểm tra nếu quan tâm).

Câu trả lời: nghiệm của hệ là một đa giác.

Khi tạo một bản sao rõ ràng, sẽ rất tuyệt nếu bạn mô tả chi tiết những điểm bạn đã dựng các đường thẳng (xem bài học Đồ thị và tính chất của hàm số), và cách xác định nửa mặt phẳng (xem đoạn đầu tiên của bài học này). Tuy nhiên, trên thực tế, trong hầu hết các trường hợp, bạn sẽ được ghi công chỉ với bản vẽ chính xác. Bản thân các phép tính có thể được thực hiện trên bản nháp hoặc thậm chí bằng miệng.

Ngoài đa giác giải pháp của hệ thống, trong thực tế, mặc dù ít thường xuyên hơn, có một khu vực mở. Hãy thử tự phân tích ví dụ sau. Mặc dù, để đảm bảo độ chính xác, không có sự tra tấn nào ở đây - thuật toán xây dựng là như nhau, chỉ là khu vực sẽ không bị giới hạn.

Ví dụ 8

Giải quyết hệ thống

Lời giải và đáp án ở cuối bài. Rất có thể bạn sẽ có các ký hiệu chữ cái khác cho các đỉnh của khu vực kết quả. Điều này không quan trọng, điều chính là tìm đúng các đỉnh và xây dựng khu vực một cách chính xác.

Không có gì lạ khi trong các nhiệm vụ không chỉ yêu cầu xây dựng miền nghiệm của hệ mà còn phải tìm tọa độ các đỉnh của miền. Trong hai ví dụ trước, tọa độ của những điểm này là rõ ràng, nhưng trong thực tế, mọi thứ khác xa với băng:

Ví dụ 9

Giải hệ và tìm tọa độ các đỉnh của diện tích thu được

Phán quyết: chúng tôi sẽ mô tả khu vực giải pháp của hệ thống này trong bản vẽ. Bất đẳng thức thiết lập nửa mặt phẳng bên trái với trục y và không còn phần thưởng nào ở đây nữa. Sau khi tính toán trên một quy trình sạch / nháp hoặc suy nghĩ sâu sắc, chúng tôi nhận được khu vực quyết định sau:

Đồ thị của bất đẳng thức tuyến tính hoặc bậc hai được xây dựng giống như cách xây dựng đồ thị của bất kỳ hàm (phương trình) nào. Sự khác biệt là bất đẳng thức bao hàm nhiều nghiệm, vì vậy đồ thị bất đẳng thức không chỉ là một điểm trên một trục số hoặc một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Với sự trợ giúp của các phép toán và dấu bất đẳng thức, bạn có thể xác định tập nghiệm của bất đẳng thức.

bước

Biểu diễn đồ thị của bất đẳng thức tuyến tính trên trục số

1. Giải bất phương trình.Để làm điều này, hãy cô lập biến bằng cách sử dụng cùng một thủ thuật đại số mà bạn sử dụng để giải bất kỳ phương trình nào. Hãy nhớ rằng khi nhân hoặc chia một bất đẳng thức cho một số (hoặc số hạng) âm, hãy đảo dấu bất đẳng thức.

   • Chẳng hạn, với bất đẳng thức 3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). Để tách biến, hãy trừ 9 ở cả hai vế của bất đẳng thức, rồi chia cả hai vế cho 3:
     3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 y > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Một bất đẳng thức phải có duy nhất một biến. Nếu bất đẳng thức có hai biến, tốt hơn là vẽ đồ thị trên mặt phẳng tọa độ.

2. Vẽ một trục số. Trên trục số đánh dấu giá trị tìm được (biến có thể nhỏ hơn, lớn hơn hoặc bằng giá trị này). Vẽ một trục số có độ dài thích hợp (dài hoặc ngắn).

   • Ví dụ: nếu bạn tính toán rằng y > 1 (\displaystyle y>1), đánh dấu giá trị 1 trên trục số.

3. Vẽ một vòng tròn để thể hiện giá trị tìm được. Nếu biến nhỏ hơn ( < {\displaystyle <} ) Hoặc nhiều hơn ( > (\displaystyle >)) của giá trị này, vòng tròn không được lấp đầy vì bộ giải pháp không bao gồm giá trị này. Nếu biến nhỏ hơn hoặc bằng ( ≤ (\displaystyle \leq )) hoặc lớn hơn hoặc bằng ( ≥ (\displaystyle\geq )) đến giá trị này, vòng tròn sẽ được lấp đầy vì bộ giải pháp bao gồm giá trị này.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), trên trục số vẽ đường tròn mở tại điểm 1 vì 1 không thuộc tập nghiệm.

4. Trên trục số, tô bóng khu vực xác định tập hợp các giải pháp. Nếu biến lớn hơn giá trị tìm được, hãy tô bóng khu vực bên phải biến đó, vì tập giải pháp bao gồm tất cả các giá trị lớn hơn giá trị tìm được. Nếu biến nhỏ hơn giá trị tìm thấy, hãy tô bóng khu vực bên trái của biến đó, vì tập giải pháp bao gồm tất cả các giá trị nhỏ hơn giá trị tìm thấy.

   • Chẳng hạn, với bất đẳng thức y > 1 (\displaystyle y>1), trên trục số, tô đen vùng bên phải của 1 vì tập nghiệm bao gồm tất cả các giá trị lớn hơn 1.

   Biểu diễn đồ thị của bất đẳng thức tuyến tính trên mặt phẳng tọa độ

   1. Giải bất phương trình (tìm giá trị y (\displaystyle y)). Để thu được một phương trình tuyến tính, hãy tách biến ở vế trái bằng các phương pháp đại số đã biết. Biến nên ở bên phải x (\displaystyle x) và có thể là một hằng số nào đó.

      • Chẳng hạn, với bất đẳng thức 3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x). Để cô lập một biến y (\displaystyle y), trừ 9 ở cả hai vế của bất đẳng thức, rồi chia cả hai vế cho 3:
        3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Vẽ phương trình tuyến tính trên mặt phẳng tọa độ. vẽ biểu đồ khi bạn vẽ bất kỳ phương trình tuyến tính nào. Vẽ giao điểm với trục Y, sau đó vẽ các điểm khác bằng cách sử dụng độ dốc.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) vẽ phương trình y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Giao điểm với trục Y có tọa độ , và hệ số góc là 3 (hoặc 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Vì vậy, trước tiên hãy vẽ một điểm có tọa độ (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); điểm phía trên giao điểm với trục y có tọa độ (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); điểm bên dưới giao điểm với trục y có tọa độ (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Vẽ một đường thẳng. Nếu bất đẳng thức nghiêm ngặt (bao gồm cả dấu < {\displaystyle <} hoặc là > (\displaystyle >)), hãy vẽ một đường đứt nét, vì tập nghiệm không bao gồm các giá trị nằm trên đường thẳng. Nếu bất đẳng thức không nghiêm ngặt (kể cả dấu ≤ (\displaystyle \leq ) hoặc là ≥ (\displaystyle\geq )), vẽ một đường liền nét, vì tập nghiệm bao gồm các giá trị nằm trên đường thẳng.

      • Ví dụ, trong trường hợp bất bình đẳng y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) vẽ đường chấm chấm, vì tập nghiệm không bao gồm các giá trị nằm trên đường thẳng.

   4. Tô bóng khu vực tương ứng. Nếu bất phương trình có dạng y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), điền vào khu vực trên dòng. Nếu bất phương trình có dạng y< m x + b {\displaystyle y, điền vào khu vực dưới dòng.

      • Ví dụ, trong trường hợp bất bình đẳng y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) tô bóng khu vực phía trên đường kẻ.

   Biểu diễn đồ thị của bất phương trình bậc hai trên mặt phẳng tọa độ

   1. Chứng minh rằng bất đẳng thức này là bình phương. Bất phương trình bậc hai có dạng a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Đôi khi bất đẳng thức không chứa biến bậc nhất ( x (\displaystyle x)) và/hoặc số hạng tự do (hằng số), nhưng phải bao gồm một biến bậc hai ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Biến x (\displaystyle x) và y (\displaystyle y) phải cô lập trên các vế khác nhau của bất đẳng thức.

      • Ví dụ, bạn cần vẽ biểu đồ bất bình đẳng y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Vẽ đồ thị trên mặt phẳng tọa độ.Để làm điều này, hãy chuyển bất đẳng thức thành một phương trình và dựng một đồ thị, giống như cách bạn dựng đồ thị của bất kỳ phương trình bậc hai nào. Hãy nhớ rằng đồ thị của một phương trình bậc hai là một parabol.

      • Ví dụ, trong trường hợp bất bình đẳng y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y vẽ phương trình bậc hai y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Đỉnh của parabol là tại điểm (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), và parabol cắt trục x tại các điểm (2 , 0) (\displaystyle (2,0)) và (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).