Sự quan tâm phức tạp trong các vấn đề thi cử.

Giải các bài toán bằng cách sử dụng các khái niệm phần trăm cơ bản.

Các bài toán liên quan đến tỷ lệ phần trăm đã được dạy để giải từ lớp 5.

Việc giải các bài toán loại này liên quan chặt chẽ đến ba thuật toán:

1. tìm phần trăm của một số,
2. tìm một số theo phần trăm của nó
3. tìm tỷ lệ phần trăm.

Trong quá trình học với học sinh, họ hiểu rằng một phần trăm mét là một centimet, một phần trăm rúp là một xu và một phần trăm xu là một kilôgam. Mọi người từ lâu đã nhận thấy rằng số lượng một phần trăm là thuận tiện trong hoạt động thực tế. Đó là lý do tại sao một cái tên đặc biệt được đặt ra cho họ - tỷ lệ phần trăm.

Điều này có nghĩa là một kopeck là một phần trăm của một đồng rúp và một centimet là một phần trăm của một mét.

Một phần trăm là một phần trăm của một con số. Ký hiệu toán học một phần trăm được viết là 1%.

Định nghĩa của một phần trăm có thể được viết là: 1% = 0,01. MỘT

5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3, v.v.

Làm thế nào để tìm thấy 1% của một số?

Vì 1% là phần một trăm nên bạn cần chia số đó cho 100. Chia cho 100 có thể được thay thế bằng cách nhân với 0,01. Do đó, để tìm 1% của một số nhất định, bạn cần nhân nó với 0,01. Và nếu bạn cần tìm 5% của một số thì hãy nhân số đã cho bằng 0,05, v.v.

Ví dụ. Tìm: 25% của 120.

1. 25% = 0,25;
2. 120 . 0,25 = 30.

Quy tắc 1. Để tìm một số phần trăm nhất định của một số, bạn cần viết tỷ lệ phần trăm số thập phân, rồi nhân số đó với phân số thập phân này.

Ví dụ. Máy tiện quay được 40 phần trong một giờ. Sử dụng một chiếc máy cắt làm bằng thép chắc chắn hơn, anh bắt đầu tiện thêm 10 sản phẩm mỗi giờ. Năng suất lao động của người thợ tiện tăng lên bao nhiêu phần trăm?

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm xem 10 phần của 40 là bao nhiêu phần trăm. Để làm được điều này, trước tiên chúng ta hãy tìm xem số 10 là bao nhiêu phần của số 40. Chúng ta biết rằng chúng ta cần chia 10 cho 40. Kết quả là 0,25. Bây giờ hãy viết nó ra dưới dạng phần trăm - 25%.

Trả lời: năng suất của công nhân máy tiện tăng 25%.

Quy tắc 2. Để tìm phần trăm của một số so với số khác, bạn cần chia số thứ nhất cho số thứ hai và viết phân số thu được dưới dạng phần trăm.

Ví dụ. Với mục tiêu dự kiến ​​là 60 ô tô mỗi ngày, nhà máy đã sản xuất được 66 ô tô. Nhà máy đã thực hiện được kế hoạch bao nhiêu phần trăm?

66:60 = 1,1 - phần này được tạo thành từ số lượng xe sản xuất theo kế hoạch. Hãy viết nó dưới dạng phần trăm = 110%.

Trả lời: 110%.

Ví dụ. Đồng là hợp kim của thiếc và đồng. Bao nhiêu phần trăm hợp kim là đồng trong một miếng đồng gồm 6 kg thiếc và 34 kg đồng?

1. 6+ 34 =40 (kg) - khối lượng của toàn bộ hợp kim.
2. 34: 40 = 0,85 = 85 (%) - hợp kim là đồng.

Trả lời: 85%.

Ví dụ. Voi con giảm 20% trọng lượng vào mùa xuân, sau đó tăng 30% trọng lượng vào mùa hè, lại giảm 20% trọng lượng vào mùa thu và tăng 10% trọng lượng vào mùa đông. Năm nay cân nặng của anh ấy có giữ nguyên không? Nếu nó thay đổi thì bao nhiêu phần trăm và theo hướng nào?

1. 100 - 20 = 80 (%) - sau mùa xuân.
2. 80 + 80 . 0,3 = 104 (%) - sau mùa hè.
3. 104 - 104. 0,2 = 83,2 (%) - sau mùa thu.
4. 83,2 + 83,2. 0,1 = 91,52 (%) - sau mùa đông.

Trả lời: giảm 8,48% trọng lượng.

Ví dụ. Chúng tôi để lại 20 kg quả lý gai để bảo quản, quả chứa 99% nước. Hàm lượng nước trong quả giảm xuống 98%. Kết quả là bạn sẽ nhận được bao nhiêu quả lý gai?

1. 100 - 99 = 1 (%) = 0,01 - tỷ lệ chất khô trong quả lý gai đầu tiên.
2. 20 . 0,01 = 0,2 (kg) - chất khô.
3. 100 - 98 = 2 (%) = 0,02 - tỷ lệ chất khô trong quả lý gai sau khi bảo quản.
4. 0,2: 0,02 = 10 (kg) - trở thành quả lý gai.

Đáp số: 10kg.

Ví dụ. Điều gì sẽ xảy ra với giá của một sản phẩm nếu lúc đầu nó tăng 25% và sau đó giảm 25%?

Gọi giá của sản phẩm là x rub., thì sau khi tăng giá sản phẩm sẽ bằng 125% so với giá trước đó, tức là. 1,25x và sau khi giảm 25%, giá của nó là 75% hoặc 0,75 so với giá tăng, tức là.

0,75 .1,25x= 0,9375x,

thì giá sản phẩm giảm 6,25%, vì

x - 0,9375x = 0,0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%

Trả lời: Giá gốc của sản phẩm giảm 6,25%.

Quy tắc 3. Để tìm phần trăm hai số A và B, bạn cần nhân tỉ số của các số này với 100%, tức là tính (A:B). 100%.

Ví dụ. Tìm một số biết 15% của nó là 30.

1. 15% = 0,15;
2. 30: 0,15 = 200.

x - số đã cho;
0,15. x = 300;
x = 200.

Trả lời: 200.

Ví dụ. Bông thô tạo ra 24% chất xơ. Cần bao nhiêu bông thô để có được 480 kg chất xơ?

Hãy viết 24% dưới dạng phân số thập phân 0,24 và gặp bài toán tìm một số từ phần đã biết (phân số) của nó.
480: 0,24= 2000 kg = 2 tấn

Đáp số: 2t.

Ví dụ. Phải thu bao nhiêu kg nấm porcini để có được 1 kg nấm khô, nếu khi chế biến nấm tươi còn lại 50% khối lượng và khi sấy khô còn lại 10% khối lượng nấm đã chế biến?

1 kg nấm khô là 10% hoặc 0,01 phần được chế biến, tức là
1 kg: 0,1=10 kg nấm chế biến, tức là 50% hoặc 0,5 nấm thu hái, tức là 1 kg nấm thu hái.
10kg: 0,05=20kg.

Đáp số: 20kg.

Ví dụ. Nấm tươi chứa 90% trọng lượng là nước và nấm khô chứa 12%. Bạn sẽ nhận được bao nhiêu nấm khô từ 22 kg nấm tươi?

1. 22. 0,1 = 2,2 (kg) - nấm theo khối lượng nấm tươi; (0,1 là 10% chất khô);
2. 2,2: 0,88 = 2,5 (kg) - nấm khô thu được từ nấm tươi (lượng chất khô không thay đổi nhưng phần trăm trong nấm và hiện nay 2,2 kg là 88% hoặc 0,88 nấm khô).

Đáp số: 2,5kg.

Quy tắc 4. Để tìm một số biết trước phần trăm của nó, bạn phải biểu thị phần trăm đó dưới dạng phân số rồi chia giá trị phần trăm cho phân số này.

Trong các bài toán liên quan đến tính toán ngân hàng, lãi suất đơn và lãi kép thường gặp. Sự khác biệt giữa tăng trưởng lãi đơn giản và lãi kép là gì? Với mức tăng trưởng đơn giản, tỷ lệ phần trăm được tính toán mỗi lần dựa trên giá trị ban đầu và với sự tăng trưởng phức tạp, nó được tính từ giá trị trước đó. Với mức tăng trưởng đơn giản, 100% là số tiền ban đầu và với mức tăng trưởng phức tạp, 100% là mới mỗi lần và bằng giá trị trước đó.

Ví dụ. Ngân hàng trả thu nhập 4% mỗi tháng từ số tiền gửi. 300 nghìn rúp đã được gửi vào tài khoản, thu nhập được tích lũy hàng tháng. Tính số tiền đặt cọc sau 3 tháng.

1. 100 + 4 = 104 (%) = 1,04 - phần tăng tiền gửi so với tháng trước.
2. 300. 1,04 = 312 (nghìn rúp) - số tiền đặt cọc sau 1 tháng.
3. 312. 1,04 = 324,48 (nghìn rúp) - số tiền đặt cọc sau 2 tháng.
4. 324,48. 1,04 = 337,4592 (nghìn rúp) = 337.459,2 (r) - số tiền đặt cọc sau 3 tháng.

Hoặc bạn có thể thay điểm 2-4 bằng một điểm, lặp lại khái niệm bằng cấp với trẻ: 300,1.043 = 337,4592 (nghìn rúp) = 337.459,2 (r) - số tiền đóng góp sau 3 tháng.

Trả lời: 337.459,2 rúp

Ví dụ. Vasya đọc trên báo rằng trong 3 tháng qua, giá lương thực tăng trung bình 10% mỗi tháng. Giá đã tăng bao nhiêu phần trăm trong 3 tháng?

Ví dụ. Tiền đầu tư vào cổ phiếu của một công ty nổi tiếng mang lại thu nhập 20% hàng năm. Trong bao nhiêu năm số tiền đầu tư sẽ tăng gấp đôi?

Hãy xem xét một kế hoạch nhiệm vụ tương tự bằng cách sử dụng các ví dụ cụ thể.

Ví dụ. (Phương án 1 số 16. OGE-2016. Toán. Bài kiểm tra điển hình. Bài tập_ed. Yashchenko_2016 -80s)

Cửa hàng thể thao đang tổ chức chương trình khuyến mãi. Bất kỳ chiếc áo nhảy nào cũng có giá 400 rúp. Khi bạn mua hai bộ áo liền quần, bạn sẽ được giảm giá 75% cho bộ áo liền quần thứ hai. Bạn sẽ phải trả bao nhiêu rúp để mua hai chiếc áo liền quần trong thời gian khuyến mãi?

Theo các điều kiện của bài toán, hóa ra chiếc áo đấu đầu tiên được mua với giá 100% giá gốc và chiếc áo thứ hai với giá 100 - 75 = 25 (%), tức là. Tổng cộng người mua phải trả 100 + 25 = 125 (%) giá gốc. Giải pháp sau đó có thể được xem xét theo ba cách.

1 chiều.

Chúng tôi chấp nhận 400 rúp là 100%. Khi đó 1% chứa 400: 100 = 4 (chà) và 125%
4 . 125 = 500 (chà.)

Phương pháp 2.

Tỷ lệ phần trăm của một số được tìm bằng cách nhân số đó với phân số tương ứng với tỷ lệ phần trăm đó hoặc nhân số đó với tỷ lệ phần trăm đã cho rồi chia cho 100.
400. 1,25 = 500 hoặc 400. 125/100 = 500.

3 cách.

Áp dụng tính chất tỷ lệ:
400 chà. - 100 %
x chà. - 125% ta được x = 125. 400/100 = 500 (chà.)

Trả lời: 500 rúp.

Ví dụ. (Phương án 4 số 16. OGE-2016. Toán. Bài kiểm tra điển hình. Bài tập_ed. Yashchenko_2016 -80s)

Cân nặng trung bình của cậu bé cùng tuổi với Gosha là 57 kg. Trọng lượng của Gosha bằng 150% trọng lượng trung bình. Gosha nặng bao nhiêu kg?

Tương tự như ví dụ đã thảo luận ở trên, bạn có thể tạo tỷ lệ:

57 kg - 100%
x kg - 150%, ta được x = 57. 150/100 = 85,5 (kg)

Đáp số: 85,5kg.

Ví dụ. (Phương án 7 số 16. OGE-2016. Toán. Bài kiểm tra điển hình. Bài tập_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

Sau khi giảm giá TV, giá mới của nó chỉ bằng 0,52 giá TV cũ. Giá đã giảm bao nhiêu phần trăm do giảm giá?

1 chiều.

Trước tiên chúng ta hãy tìm phần giảm giá. Nếu giá gốc được lấy là 1 thì 1 - 0,52 = 0,48 là phần giảm giá. Sau đó chúng tôi nhận được 0,48. 100% = 48%. Những thứ kia. Giá giảm 48% do giảm giá.

Phương pháp 2.

Nếu giá ban đầu được lấy là A thì sau khi giảm giá, giá mới của TV sẽ bằng 0,52A, tức là. nó sẽ giảm đi A - 0,52A = 0,48A.

Hãy làm một tỷ lệ:
A - 100%
0,48A - x%, ta được x = 0,48A. 100/A = 48 (%).

Trả lời: giá giảm 48% do giảm giá.

Ví dụ. (Phương án 9 Số 16. OGE-2016. Toán. Bài kiểm tra điển hình. Bài tập_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

Mặt hàng đang giảm giá đã được giảm giá 15% và hiện có giá 680 rúp. Sản phẩm có giá bao nhiêu rúp trước khi bán?

Trước khi giảm giá, sản phẩm có giá trị 100%. Giá của sản phẩm sau khi bán giảm 15%, tức là. trở thành 100 - 15 = 85 (%), tính bằng rúp, giá trị này bằng 680 rúp.

1 chiều.

680: 85 = 8 (chà xát) - tính bằng 1%
số 8 . 100 = 800 (chà.) - giá thành sản phẩm trước khi bán.

Phương pháp 2.

Vấn đề tìm một số theo tỷ lệ phần trăm của nó được giải quyết bằng cách chia số đó cho tỷ lệ phần trăm tương ứng và bằng cách chuyển phân số thu được thành tỷ lệ phần trăm, nhân với 100 hoặc chia cho phân số thu được khi chuyển đổi từ tỷ lệ phần trăm.
680:85. 100 = 800 (chà) hoặc 680: 0,85 = 800 (chà)

3 cách.

Tỷ lệ sử dụng:
680 chà. - 85%
x chà. - 100% ta được x = 680. 100/85 = 800 (chà.)

Trả lời: Mặt hàng có giá 800 rúp trước khi bán.

Giải các bài toán về hỗn hợp và hợp kim sử dụng các khái niệm “phần trăm”, “nồng độ”, “% dung dịch”.

nhất nhiệm vụ đơn giản loại này được đưa ra dưới đây.

Ví dụ. Có bao nhiêu kg muối trong 10 kg nước muối nếu tỷ lệ muối là 15%.

10 . 0,15 = 1,5 (kg) muối.

Đáp số: 1,5kg.

Tỷ lệ phần trăm của một chất trong dung dịch (ví dụ: 15%) đôi khi được gọi là dung dịch % (ví dụ: dung dịch muối 15%).

Ví dụ. Hợp kim chứa 10 kg thiếc và 15 kg kẽm. Tỷ lệ thiếc và kẽm trong hợp kim là bao nhiêu?

Tỷ lệ phần trăm của một chất trong hợp kim là phần tạo nên trọng lượng của chất này từ trọng lượng của toàn bộ hợp kim.

1. 10 + 15 = 25 (kg) - hợp kim;
2. 10:25. 100% = 40% - tỷ lệ thiếc trong hợp kim;
3. 15:25. 100% = 60% - tỷ lệ kẽm trong hợp kim.

Trả lời: 40%, 60%.

Trong các nhiệm vụ thuộc loại này, khái niệm chính là “tập trung”. Nó là gì?

Ví dụ, hãy xem xét dung dịch axit trong nước.

Cho bình chứa 10 lít dung dịch gồm 3 lít axit và 7 lít nước. Khi đó hàm lượng axit tương đối (so với toàn bộ thể tích) trong dung dịch là bằng nhau. Con số này xác định nồng độ axit trong dung dịch. Đôi khi họ nói về phần trăm axit trong dung dịch. Trong ví dụ đã cho, tỷ lệ phần trăm sẽ là: . Như bạn có thể thấy, việc chuyển đổi từ nồng độ sang tỷ lệ phần trăm và ngược lại rất đơn giản.

Vậy hỗn hợp khối lượng M chứa một chất có khối lượng m.

• nồng độ của một chất nhất định trong hỗn hợp (hợp kim) được gọi là đại lượng;
• tỷ lệ phần trăm của một chất nhất định được gọi là giá trị c×100%;

Từ công thức cuối cùng, với nồng độ đã biết của chất và tổng khối lượng hỗn hợp (hợp kim), khối lượng của một chất nhất định được xác định theo công thức m=c×M.

Các vấn đề liên quan đến hỗn hợp (hợp kim) có thể được chia thành hai loại:

1. Ví dụ, hai hỗn hợp (hợp kim) có khối lượng m1 và m2 và có nồng độ của một số chất trong chúng tương ứng bằng c1 và c2, được chỉ định. Các hỗn hợp (hợp kim) được làm ráo nước (hợp nhất). Cần xác định khối lượng của chất này trong hỗn hợp (hợp kim) mới và nồng độ mới của nó. Rõ ràng là trong hỗn hợp (hợp kim) mới có khối lượng của chất này bằng c1m1 + c2m2 và nồng độ.
2. Một thể tích nhất định của hỗn hợp (hợp kim) được chỉ định và từ thể tích này, họ bắt đầu đúc (loại bỏ) một lượng hỗn hợp (hợp kim) nhất định, sau đó thêm (thêm) cùng một lượng hoặc một lượng khác của hỗn hợp (hợp kim) với cùng nồng độ của một chất nhất định hoặc với nồng độ khác nhau. Thao tác này được thực hiện nhiều lần.

Khi giải quyết những vấn đề như vậy, cần thiết lập quyền kiểm soát lượng chất này và nồng độ của nó ở mỗi lần thủy triều xuống, cũng như với mỗi lần thêm hỗn hợp. Kết quả của việc kiểm soát như vậy, chúng ta thu được một phương trình giải quyết. Hãy xem xét các nhiệm vụ cụ thể.

Nếu nồng độ của một chất trong hợp chất theo khối lượng là P% thì điều này có nghĩa là khối lượng của chất này là P% khối lượng của toàn bộ hợp chất.

Ví dụ. Nồng độ bạc trong hợp kim 300 g là 87%. Điều này có nghĩa là có 261 g bạc nguyên chất trong hợp kim.

300. 0,87 = 261 (g).

Trong ví dụ này, nồng độ của chất được biểu thị bằng phần trăm.

Tỷ lệ thể tích của một thành phần nguyên chất trong dung dịch so với toàn bộ thể tích của hỗn hợp được gọi là nồng độ thể tích của thành phần đó.

Tổng nồng độ của tất cả các thành phần tạo nên hỗn hợp bằng 1.

Nếu biết phần trăm của một chất thì nồng độ của nó được tính theo công thức:
K = P/100%,
trong đó K là nồng độ của chất;
P là phần trăm của chất (tính bằng phần trăm).

Ví dụ. (Phương án 8 số 22. OGE-2016. Toán. Bài kiểm tra điển hình. Bài tập_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

Trái cây tươi chứa 75% nước, trong khi trái cây khô chứa 25%. Cần bao nhiêu trái cây tươi để chuẩn bị 45 kg trái cây sấy khô?

Nếu quả tươi chứa 75% nước thì chất khô sẽ là 100 - 75 = 25 (%), còn quả khô chứa 25% thì chất khô sẽ là 100 - 25 = 75 (%).

Khi xây dựng giải pháp cho một vấn đề, bạn có thể sử dụng bảng:

Quả tươi x 25% = 0,25 0,25. X

Quả khô 45 75% = 0,75 0,75. 45 = 33,75

Bởi vì khối lượng chất khô của quả tươi và quả khô không thay đổi, ta có phương trình:

0,25. x = 33,75;
x = 33,75: 0,25;
x = 135 (kg) - bắt buộc phải có trái cây tươi.

Đáp số: 135kg.

Ví dụ. (Phương án 8 số 11. Kỳ thi Thống nhất năm 2016. Toán. Bài kiểm tra điển hình. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Trộn dung dịch axit 70% và 60% và thêm 2 kg nước sạch, thu được dung dịch axit 50%. Nếu thay vì 2 kg nước, chúng ta thêm 2 kg dung dịch axit 90% thì chúng ta sẽ thu được dung dịch axit 70%. Cần bao nhiêu kg dung dịch 70% để thu được hỗn hợp?

Tổng trọng lượng, kg | Nồng độ chất khô | Trọng lượng khô
I x 70% = 0,7 0,7. X
II cho 60% = 0,6 0,6. Tại
nước 2 - -
I + II + nước x + y + 2 50% = 0,5 0,5. (x + y + 2)
III2 90% = 0,9 0,9. 2 = 1,8
I + II + III x + y + 2 70% = 0,7 0,7. (x + y + 2)

Sử dụng cột cuối cùng của bảng, chúng ta tạo 2 phương trình:

0,7. x + 0,6. y = 0,5. (x + y + 2) và 0,7. x + 0,6. y + 1,8 = 0,7. (x + y + 2).

Kết hợp chúng thành một hệ thống và giải nó, chúng ta nhận được x = 3 kg.

Trả lời: Người ta sử dụng 3 kg dung dịch 70% để thu được hỗn hợp.

Ví dụ. (Phương án 2 Số 11. Kỳ thi Thống nhất năm 2016. Toán. Bài kiểm tra điển hình. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Ba kg quả anh đào có giá bằng năm kg quả anh đào, và ba kg quả anh đào có giá bằng hai kg dâu tây. Một kg dâu tây rẻ hơn một kg anh đào bao nhiêu phần trăm?

Từ câu đầu tiên của bài toán, chúng ta thu được các đẳng thức sau:

3h = 5v,
3v = 2k.
Từ đó ta có thể biểu diễn: h = 5v/3, k = 3v/2.

Bằng cách này bạn có thể tạo một tỷ lệ:
5v/3 - 100%
3v/2 - x%, ta được x = (3.100.v.3)/(2.5.v), x = 90% là giá một kg dâu từ giá một kg quả anh đào.

Điều này có nghĩa là 100 - 90 = 10 (%) - một kg dâu tây rẻ hơn một kg anh đào.

Trả lời: một kg dâu tây rẻ hơn 10% so với một kg anh đào.

Giải bài toán lãi kép, sử dụng khái niệm hệ số tăng (giảm).

Tăng số dương Và với p phần trăm, bạn nên nhân số A với hệ số tăng K = (1 + 0,01p).

Để giảm số dương A xuống p phần trăm, bạn nên nhân số A với hệ số khử K = (1 - 0,01p).

Ví dụ. (Phương án 29 số 22. OGE-2015. Toán học. Loại. các lựa chọn thi: 36 lựa chọn/ấn. Yashchenko, 2015 - 224c)

Giá của sản phẩm đã giảm hai lần với cùng một tỷ lệ. Giá của sản phẩm mỗi lần giảm bao nhiêu phần trăm nếu chi phí ban đầu là 5.000 rúp và chi phí cuối cùng là 4.050 rúp?

1 chiều.

Bởi vì giá của sản phẩm giảm đi một số % thì ký hiệu số % là x. Giả sử giá sản phẩm giảm x% lần đầu và lần thứ hai, sau đó sau lần giảm giá đầu tiên giá sản phẩm trở thành (100 - x)%.

Hãy làm một tỷ lệ
5000 chà. - 100%
tính bằng rúp - (100 - x)%, ta được y = 5000. (100 - x) / 100 = 50. (100 - x) rúp - giá trị của hàng hóa sau lần giảm đầu tiên.

Hãy sáng tác tỷ lệ mớiđã ở mức giá mới:
50 . (100 - x) chà. - 100%
z chà. - (100 - x)%, ta được z = 50. (100 - x) (100 - x) / 100 = 0,5. (100 - x) 2 rúp - giá trị của hàng hóa sau lần giảm thứ hai.

Ta thu được phương trình 0,5. (100 - x)2 = 4050. Giải xong ta thấy x = 10%.

Phương pháp 2.

Bởi vì giá của sản phẩm giảm đi cùng một số %, ký hiệu số % là x, x % = 0,01 x.

Sử dụng khái niệm hệ số rút gọn, ta thu được ngay phương trình:
5000. (1 - 0,01x)2 = 4050.

Trả lời: giá sản phẩm giảm 10% mỗi lần.

Ví dụ. (Phương án 30 số 22. OGE-2015. Toán. Các phương án thi điển hình: 36 phương án / Yashchenko biên tập, 2015 - 224s)

Giá của hàng hóa đã tăng gấp đôi với cùng một tỷ lệ phần trăm. Giá của sản phẩm tăng bao nhiêu phần trăm mỗi lần nếu chi phí ban đầu là 3.000 rúp và chi phí cuối cùng là 3.630 rúp?

Bởi vì giá của sản phẩm tăng lên cùng một số %, ta ký hiệu số % là x, x % = 0,01 x.

Sử dụng khái niệm hệ số phóng đại, ta thu được ngay phương trình:
3000. (1 + 0,01x)2 = 3630.

Giải xong ta thấy x = 10%.

Trả lời: giá sản phẩm tăng 10% mỗi lần.

Ví dụ. (Phương án 4 Số 11. Kỳ thi Thống nhất năm 2016. Toán. Bài kiểm tra điển hình. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Vào thứ Năm, cổ phiếu của công ty đã tăng giá theo một số phần trăm nhất định và vào thứ Sáu, chúng đã giảm giá với cùng một số phần trăm. Kết quả là, chúng bắt đầu có giá rẻ hơn 9% so với lúc mở cửa giao dịch vào thứ Năm. Cổ phiếu của công ty đã tăng giá bao nhiêu phần trăm vào thứ Năm?

Giả sử cổ phiếu của công ty tăng giá và giảm giá x%, x% = 0,01 x, và giá ban đầu của cổ phiếu là A. Sử dụng tất cả các điều kiện của bài toán, ta thu được phương trình:

(1 + 0,01 x)(1 - 0,01 x)A = (1 - 0,09)A,
1 - (0,01 x)2 = 0,91,
(0,01 x)2 = (0,3)2,
0,01 x = 0,3,
x = 30%.

Trả lời: Cổ phiếu của công ty đã tăng 30% vào thứ Năm.

Giải quyết vấn đề ngân hàng ở TP. phiên bản mới Kỳ thi Thống nhất năm 2016 môn toán.

Ví dụ. (Phương án 2 Số 17. Kỳ thi Thống nhất năm 2016. Toán. 50 loại. Phiên bản ed. Yashchenko 2016)

Vào ngày 15 tháng 1 dự kiến ​​sẽ vay ngân hàng trong 15 tháng. Các điều kiện để nó quay trở lại như sau:

Được biết, khoản thanh toán thứ tám lên tới 108 nghìn rúp. Số tiền phải trả lại ngân hàng trong suốt thời hạn vay là bao nhiêu?

Từ ngày 2 đến ngày 14 thanh toán được thực hiện A/15 +0,01A.

Sau đó số nợ sẽ là 1,01A - A/15 - 0,01A = 14A/15.

Sau 2 tháng chúng tôi nhận được: 1,01. 14A/15.

Khoản thanh toán thứ hai A/15 + 0,01. 14A/15.

Khi đó số nợ sau lần thanh toán thứ 2 là 13A/15.

Tương tự, chúng tôi thấy rằng khoản thanh toán thứ tám sẽ như sau:

A/15 + 0,01. 8A/15 = A/15. (1 + 0,08) = 1,08A/15.

Và theo điều kiện, nó tương đương với 108 nghìn rúp. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể tạo và giải phương trình:

1,08A/15 = 108,

A=1500 (ngàn rúp) - số nợ ban đầu.

2) Để tìm số tiền cần phải trả lại ngân hàng trong toàn bộ thời gian vay, chúng ta phải tìm tổng của tất cả các khoản thanh toán cho khoản vay.

Tổng số tiền thanh toán khoản vay sẽ như sau:

(A/15 + 0,01A) + (A/15 + 0,01. 14A/15) + (A/15 + 0,01. 13A/15) + … + (A/15 + 0,01. A /15) = A + 0,01 A/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = A + (0,01.120A)/15 = 1,08A.

Vì vậy, 1,08. 1500 = 1620 (nghìn rúp) = 1.620.000 rúp phải được trả lại ngân hàng trong toàn bộ thời hạn vay.

Trả lời: 1.620.000 rúp.

Ví dụ. (Phương án 6 Số 17. Kỳ thi Thống nhất năm 2016. Toán. 50 loại. Phiên bản ed. Yashchenko 2016)

Vào ngày 15 tháng 1 dự kiến ​​sẽ vay ngân hàng trong 24 tháng. Các điều kiện để nó quay trở lại như sau:

• Vào ngày 1 hàng tháng, số nợ tăng 1% so với cuối tháng trước;
• từ ngày 2 đến ngày 14 hàng tháng phải trả một phần nợ;
• Vào ngày 15 hàng tháng, số nợ phải ít hơn số nợ vào ngày 15 của tháng trước.

Được biết, trong 12 tháng đầu tiên bạn phải trả ngân hàng 177,75 nghìn rúp. Bạn dự định vay bao nhiêu?

1) Gọi A là số tiền vay, 1% = 0,01.

Sau đó là khoản nợ 1,01A sau tháng đầu tiên.

Từ ngày 2 đến ngày 14 thanh toán được thực hiện A/24 +0,01A.

Sau đó số tiền nợ sẽ là 1,01A - A/24 - 0,01A = A - A/24 = 23A/24.

Với kế hoạch này, khoản nợ sẽ ít hơn số nợ vào ngày 15 của tháng trước.

Sau 2 tháng chúng tôi nhận được: 1,01. 23A/24.

Khoản thanh toán thứ hai A/24 + 0,01. 23A/24.

Khi đó số nợ sau lần thanh toán thứ hai là 1,01. 23A/24 - A/24 - 0,01. 23A/24 = 23A/24(1,01 - 0,01) - A/24 = 23A/24 - A/24 = 22A/24.

Vì vậy, chúng tôi nhận thấy rằng trong 12 tháng đầu tiên bạn cần phải trả cho ngân hàng số tiền sau:
A/24 +0,01A. 24/24 + A/24 + 0,01. 23A/24 + A/24 + 0,01. 22A/24 + … + A/24 + 0,01. 13A/24 =12A/24 + 0,01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200 .

Và theo điều kiện, nó tương đương 177,375 nghìn rúp. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể tạo và giải phương trình:
711A/1200 = 177,75,
A = 300 (nghìn rúp) = 300.000 rúp - dự kiến ​​​​sẽ nhận tín dụng.

Trả lời: 300.000 rúp.

Hãy nói về nhiệm vụ số 19 của Kỳ thi Thống nhất

Đã hai năm nay, một nhiệm vụ đã được thêm vào phần thứ hai c nội dung kinh tế, tức là các vấn đề phức tạp về lãi suất ngân hàng.

Họ nói rằng chúng ta đang giải quyết vấn đề “lãi kép” trong trường hợp một giá trị nhất định có thể thay đổi dần dần. Hơn nữa, mỗi lần thay đổi của nó là một số phần trăm nhất định của giá trị mà giá trị này có ở giai đoạn trước.

Vào cuối mỗi giai đoạn, giá trị thay đổi như nhau số lượng không đổi phần trăm -R%. Sau đó ở cuốiN giai đoạn thứ giá trị của một số lượng nhất địnhMỘT , giá trị ban đầu của nó bằngMỘT 0 , được xác định bởi công thức:

Với sự gia tăng và

Khi giảm

Biết rằng lãi suất hàng năm của khoản tiền gửi là 12%, hãy tìm

lãi suất hàng tháng tương đương của nó.

Giải pháp:

Nếu bạn gửi một đồng rúp vào ngân hàng thì sau một năm chúng ta sẽ nhận được:MỘT 1 = A 0 (1 +0,12)

Nếu tiền lãi được tính hàng tháng theo lãi suấtX , thì theo công thức tính lãi kép sau một năm (12 tháng)MỘT N = A 0 (1 + 0,01x) 12

Đánh đồng các giá trị này, chúng ta thu được một phương trình mà nghiệm của nó sẽ cho phép chúng ta xác định lãi suất hàng thángA(1 +0,12) = A(1 +0,01x) 12

1,12 = (1 + 0,01x) 12

x = (-1) 100% ≈ 0,9488792934583046%

Trả lời: Lãi suất hàng tháng là0.9488792934583046%.

Từ lời giải của bài toán này, bạn có thể thấy rằng lãi suất hàng tháng không bằng lãi suất hàng năm chia cho 12.

Vào ngày 31 tháng 12 năm 2013, Sergey đã rút tín dụng 9.930.000 rúp từ ngân hàng với lãi suất 10% mỗi năm. Lịch trả nợ vay như sau: ngày 31 tháng 12 hàng năm năm sau ngân hàng tính lãi đối với số nợ còn lại (nghĩa là tăng khoản nợ lên 10%), sau đó Sergey chuyển một số tiền nhất định thanh toán hàng năm cho ngân hàng. Số tiền phải trả hàng năm để Sergei trả hết nợ thành ba lần bằng nhau hàng năm là bao nhiêu?

Giải pháp:

Hãy để số tiền vay làMỘT , số tiền phải trả hàng năm bằngX rúp, và số tiền hàng năm là k % . Sau đó vào ngày 31 tháng 12 hàng năm số nợ còn lại nhân với hệ số tôi =1+ 0,01 k . Sau lần thanh toán đầu tiên, số tiền nợ sẽ là: MỘT 1 = là - X. Sau lần thanh toán thứ hai, số tiền nợ

sẽ là:

MỘT 2 = Một 1 tôi – x=(at-x)t-x=a 2 -th-x=tại 2 -(1+t)x

Theo điều kiện, Sergey phải hoàn trả khoản vay đầy đủ trong ba lần thanh toán, do đó

Ở đâu

Tạia = 9930000 Vàk =10 , chúng tôi nhận đượcT = 1,1 và

Trả lời : 3.993.000 rúp.

Bây giờ chúng ta đã giải quyết được giải pháp này được đề xuất trong tất cả các bộ giải, hãy xem xét một giải pháp khác.

Cho phépF = 9.930.000 - số tiền vay,x - số tiền yêu cầu thanh toán hàng năm.

Năm đầu tiên:

Nhiệm vụ:1,1F ;

Sự chi trả:X ;

Phần còn lại:1.1F-x .

Năm thư hai:

Nhiệm vụ:1.1(1.1F-x) ;

Sự chi trả:X ;

Phần còn lại:1.1(1.1F-x)-x .

Năm thứ ba:

Nhiệm vụ:1.1(1.1F-x)-x );

Sự chi trả:X ;

Số dư: 0, vì theo điều kiện chỉ có ba khoản thanh toán.

Phương trình duy nhất

1.1(1.1(1.1F-x)-x)-x=0 . 1,331 F =3,31x, x=3993000

Trả lời: 3.993.000 rúp.

Tuy nhiên-1 ! Nếu chúng ta cho rằng lãi suất không phải là 10% đẹp đẽ mà là 13,66613% khủng khiếp. Khả năng chết ở đâu đó trong các phép nhân hoặc phát điên khi tính toán chi tiết số nhân cho số nợ mỗi năm đã tăng mạnh. Hãy cộng thêm vào điều này không chỉ 3 năm nhỏ mà là 25 năm. Giải pháp này sẽ không hiệu quả.

Vào ngày 31 tháng 12 năm 2014, Andrey rút một khoản tín dụng nhất định từ ngân hàng với lãi suất 10% mỗi năm. Phương án trả nợ như sau: vào ngày 31 tháng 12 hàng năm, ngân hàng tính lãi trên số nợ còn lại (tức là tăng số nợ lên 10%), sau đó Andrey chuyển 3.460.600 rúp vào ngân hàng. Andrei đã lấy số tiền bao nhiêu từ ngân hàng nếu anh trả hết nợ thành ba lần bằng nhau (tức là trong 3 năm)?

Giải pháp.

Cho phépMỘT - số lượng cần thiết,k% - lãi suất cho vay,X - Thanh toán hàng năm. Sau đó vào ngày 31/12 hàng năm số nợ còn lại sẽ được nhân với hệ sốm = 1 + 0,01k . Sau lần thanh toán đầu tiên số tiền nợ sẽ là:MỘT 1 = sáng – x . Sau lần thanh toán thứ 2 số tiền nợ sẽ là:

MỘT 2 = Một 1 tôi – x=(at-x)t-x=a 2 -th-x=tại 2 -(1+t)x

Sau lần thanh toán thứ 3, số nợ còn lại:

Theo điều khoản, Andrey trả hết nợ trong ba năm,

đó làMỘT 3 = 0 , Ở đâu.

Tạix = 3.460.600, k% = 10% , chúng tôi nhận được:m = 1,1 Và=8 606 000 (rúp).

Trả lời: 8.606.000 rúp.

Vào ngày 31 tháng 12 năm 2013, Igor rút tín dụng 100.000 rúp từ ngân hàng. Phương án trả nợ như sau: vào ngày 31 tháng 12 hàng năm, ngân hàng tính lãi trên số nợ còn lại (nghĩa là tăng khoản nợ lên một mức lãi nhất định), sau đó Igor chuyển đợt tiếp theo. Igor hoàn trả khoản vay thành hai đợt, chuyển 51.000 rúp lần đầu và 66.600 rúp lần thứ hai. Ngân hàng đã cho Igor vay bao nhiêu phần trăm?

Giải pháp

Cho phépk % – lãi suất cho vay yêu cầu;m = (1 + 0,01 k ) – hệ số của số nợ còn lại;một = 100.000 - Số tiền vay ngân hàng;x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 - kích thước của rãnh đầu tiên và rãnh cuối cùng.

Sau lần thanh toán đầu tiên số tiền nợ sẽ là:Một 1 = ma – x 1 .

Sau lần thanh toán thứ 2 số tiền nợ sẽ là:Một 2 =ma 1 – x 2 = một m 2 –m x 1 – x 2 . Theo điều kiện,Một 2 = 0 . Phương trình sẽ cần được giải trước tiên đối vớitôi , tất nhiên là chỉ lấy gốc tích cực:

100 000m 2 – 51.000m – 66.600 = 0; 500m 2 – 255m – 333 = 0.

Đây là nơi những khó khăn bắt đầu.

D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .

Sau đó.

Trả lời: 11%.

Vào ngày 31 tháng 12 năm 2013, Masha rút một khoản tín dụng nhất định từ ngân hàng với tỷ lệ phần trăm nhất định mỗi năm. Phương án trả nợ như sau: vào ngày 31 tháng 12 hàng năm, ngân hàng tính lãi trên số nợ còn lại (nghĩa là tăng khoản nợ lên một mức lãi nhất định), sau đó Masha chuyển đợt tiếp theo. Nếu cô ấy trả 2.788.425 rúp mỗi năm, cô ấy sẽ trả hết nợ sau 4 năm. Nếu mỗi người 4.991.625 thì sau 2 năm. Masha đã lấy tiền từ ngân hàng với tỷ lệ bao nhiêu?

Giải pháp

Sau hai năm trả nợ, số tiền vay được tính theo công thức:

Sau bốn năm trả nợ, số tiền vay được tính theo công thức:

Ở đâu

Sau đó.

Trả lời: 12,5%.

Vào ngày 31 tháng 12 năm 2013, Vanya đã rút tín dụng 9.009.000 rúp từ ngân hàng với lãi suất 20% mỗi năm. Phương án trả nợ như sau: vào ngày 31 tháng 12 hàng năm, ngân hàng tính lãi trên số nợ còn lại (tức là tăng số nợ lên 20%), sau đó Vanya chuyển khoản thanh toán cho ngân hàng. Vanya đã trả hết số nợ thành 3 lần bằng nhau. Anh ta sẽ phải trả ít hơn bao nhiêu rúp cho ngân hàng nếu anh ta có thể trả hết nợ thành 2 lần bằng nhau?

Giải pháp

Hãy sử dụng kết quả từ Vấn đề 2.

Sự khác biệt cần thiếtX 3 -X 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 rúp

Trả lời: 1.036,00 rúp.

Vào ngày 1 tháng 6 năm 2013, Vsevolod Yaroslavovich đã rút tín dụng 900.000 rúp từ ngân hàng. Phương án trả nợ như sau: vào ngày 1 hàng tháng tiếp theo, ngân hàng tính phí 1% trên số nợ còn lại (tức là tăng số nợ lên 1%), sau đó Vsevolod Yaroslavovich chuyển khoản thanh toán cho ngân hàng. Để làm gì số tiền tối thiểu tháng Vsevolod Yaroslavovich có thể vay tiền để khoản thanh toán hàng tháng không quá 300.000 rúp không?

Chúng ta cần hiểu sự thật đơn giản– Số tiền trả càng cao thì khoản nợ càng thấp. Bạn càng có ít nợ thì bạn càng trả hết nợ nhanh hơn. Khoản thanh toán hàng tháng tối đa mà người cho vay có thể chi trả là 300.000 rúp tùy theo điều kiện. Nếu Vsevolod Yaroslavovich trả số tiền tối đa, anh ta sẽ trả hết nợ nhanh nhất. Nói cách khác, anh ta sẽ có thể vay tiền trong thời gian ngắn nhất theo yêu cầu của điều kiện.

Hãy cố gắng giải quyết vấn đề trực tiếp.

Một tháng đã trôi qua. Ngày 1/7/2013: nợ (1 + 0,01)900.000 – 300.000 = 609.000.

Một tháng đã trôi qua. Ngày 1/8/2013: nợ (1+ 0,01)609.000 – 300.000 = 315.090.

Một tháng đã trôi qua. Ngày 1/9/2013: nợ (1 +0,01)315.090 – 300.000= 18.240,9. Một tháng đã trôi qua. Ngày 1 tháng 10 năm 2013: nợ (1 0,01)1.240,9 = 18.423,309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.

Trả lời: 4 tháng.

Hãy giải quyết vấn đề bằng phương pháp tiêu chuẩn.

Tôi sẽ sử dụng kết quả của Bài toán 3 với lý do sau: bất đẳng thức phần nợ còn lại có dạngMột x ≤ 0 .

Cho phépx - số lượng cần thiết,một = 900.000 - số tiền vay từ ngân hàng,k% = 1% - Lãi suất cho vay,y = 300.000 - thanh toán hàng tháng,m = (1 + 0,01k) – hệ số nhân hàng tháng của khoản nợ còn lại. Sau đó, theo công thức đã biết, chúng ta thu được bất đẳng thức: ≤0 ;

Chúng ta có một bất đẳng thức khó chịu, nhưng lại đúng.

Chúng tôi lấy phần nguyên của số vì số lần thanh toán không thể là số không nguyên. Chúng ta lấy số nguyên lớn hơn gần nhất, không thể lấy số nhỏ hơn (vì khi đó sẽ mắc nợ) và rõ ràng logarit thu được không phải là số nguyên. Hóa ra 4 khoản thanh toán, 4 tháng.

Người nông dân nhận được một khoản vay từ ngân hàng với một tỷ lệ phần trăm nhất định mỗi năm. Một năm sau, để trả hết khoản vay, người nông dân đã trả lại ngân hàng toàn bộ số tiền mà anh ta nợ ngân hàng vào thời điểm đó, và một năm sau, để trả hết khoản vay, anh ta gửi vào ngân hàng số tiền mà anh ta phải trả. lớn hơn 21% so với số tiền vay nhận được. Lãi suất vay hàng năm từ ngân hàng này là bao nhiêu?

Giải pháp:

Số tiền cho vay không ảnh hưởng đến tình hình. Hãy lấy 4 rúp từ ngân hàng (chia hết cho 4).

Trong một năm, số nợ ngân hàng sẽ tăng đúngX lần và sẽ trở nên bằng nhau4x rúp

Hãy chia nó thành 4 phần và trả lại3x rúp và chúng ta phải ở lạiX rúp

Được biết đến cuối năm sau chúng ta sẽ phải trả4 1,21 rúp

Được biết, số nợ trong năm chuyển từ con sốX trong sốX 2 .

Vì người nông dân đã trả hết nợ sau hai năm nên

X 2 = 4 1,21 x = 2 1,1 x = 2,2

hệ sốX có nghĩa là 100% biến thành 220% trong một năm.

Điều này có nghĩa là tỷ lệ phần trăm hàng năm của ngân hàng là: 220% - 100%

Trả lời: 120%

Số tiền 3.900 nghìn rúp được gửi vào ngân hàng với lãi suất 50% mỗi năm. Vào cuối mỗi năm lưu trữ trong bốn năm đầu tiên, sau khi tính lãi, người gửi tiền sẽ gửi thêm một khoản tiền cố định tương tự vào tài khoản. Đến cuối năm thứ năm, sau khi tích lũy lãi, quy mô tiền gửi đã tăng 725% so với ban đầu. Số tiền mà nhà đầu tư đã thêm vào tiền gửi hàng năm là bao nhiêu?

Giải pháp:

Hãy để số tiền gửi được cố địnhX rúp

Sau đó, sau khi tất cả các hoạt động được thực hiện, sau năm đầu tiên, số tiền đặt cọc trở thành

+x

Sau 2 năm

Sau đó3 của năm

Sau đó4 của năm

Sau đó5 của năm

Vì vào cuối năm thứ năm sau khi tích lũy lãi, quy mô tiền gửi đã tăng 725% so với ban đầu, chúng tôi sẽ rút ra phương trình:

3900 ·8,25=3900·1,5 5 +x·(1,5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5

3900·5,5=3900·1,5 4 +x(1,5 3 +1,5 2 +1,5+1)

Trả lời: 210 rúp.

Ngân hàng chấp nhận một số tiền nhất định ở một tỷ lệ nhất định. Một năm sau, một phần tư số tiền tích lũy đã bị rút khỏi tài khoản. Nhưng ngân hàng đã tăng lãi suất hàng năm lên 40%. Đến cuối năm sau, số tiền tích lũy gấp 1,44 lần số tiền đóng góp ban đầu. Tỷ lệ phần trăm APR mới là bao nhiêu?

Giải pháp:

Tình hình sẽ không thay đổi tùy thuộc vào số tiền gửi. Hãy gửi 4 rúp vào ngân hàng (chia cho 4).

Trong một năm, số tiền trong tài khoản sẽ tăng chính xácP lần và sẽ trở nên bằng nhau4p rúp

Hãy chia nó thành 4 phần và mang về nhàP rúp, chúng ta sẽ gửi nó vào ngân hàng3p rúp

Được biết, đến cuối năm sau có 4·1,44 = 5,76 rúp trong ngân hàng.

Vậy số3p biến thành số 5,76. Nó đã tăng lên bao nhiêu lần?

Như vậy, hệ số tăng thứ hai đã được tìm thấyx cái lọ.

Điều thú vị là tích của cả hai hệ số là 1,92:

Nó xuất phát từ điều kiện hệ số thứ hai lớn hơn hệ số thứ nhất 0,4.

P · x = P ·( P +0,4)=1,92

Bây giờ các hệ số có thể được chọn: 1,2 và 1,6.

Tuy nhiên, chúng ta hãy tiếp tục giải phương trình:

10p ·(10p+4)=192 cho phép 10p=k

k ·(k+4)=192

k =12, tức là p=1,2; và x=1,6

Trả lời: 60%

Hôm nay chúng ta sẽ tạm dừng một chút về logarit tiêu chuẩn, tích phân, lượng giác, v.v., và cùng nhau xem xét một vấn đề quan trọng hơn từ Kỳ thi Thống nhất về toán học, có liên quan trực tiếp đến nền kinh tế nguyên liệu thô lạc hậu của Nga. Nói một cách chính xác, chúng ta sẽ xem xét một bài toán về tiền gửi, lãi suất và các khoản cho vay. Bởi vì các vấn đề về tỷ lệ phần trăm gần đây đã được thêm vào phần thứ hai của kỳ thi thống nhất cấp bang môn toán. Tôi xin khẳng định ngay rằng để giải quyết vấn đề này, theo thông số kỹ thuật của Kỳ thi Thống nhất, ba điểm chính được đưa ra cùng một lúc, tức là giám khảo coi nhiệm vụ này là một trong những nhiệm vụ khó nhất.

Đồng thời, để giải bất kỳ bài toán nào được chỉ định từ Kỳ thi Thống nhất về toán học, bạn chỉ cần biết hai công thức, mỗi công thức đều dễ tiếp cận đối với bất kỳ học sinh tốt nghiệp trung học nào, tuy nhiên, vì những lý do mà tôi không biết, những công thức này là hoàn toàn bị cả giáo viên trong trường và người biên soạn bỏ qua mọi loại vấn đề để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất. Vì vậy, hôm nay tôi sẽ không chỉ cho bạn biết những công thức này là gì và cách áp dụng chúng, mà tôi sẽ rút ra từng công thức này theo đúng nghĩa đen trước mắt bạn, lấy các nhiệm vụ cơ bản từ ngân hàng mở của Kỳ thi Thống nhất Toán học làm nhiệm vụ.

Vì vậy, bài học hóa ra khá đồ sộ, khá nhiều thông tin, vì vậy hãy thoải mái và chúng ta sẽ bắt đầu.

Chúng tôi đầu tư tiền vào ngân hàng

Trước hết tôi xin làm một bài lạc đề nhỏ liên quan đến tài chính, ngân hàng, các khoản vay và tiền gửi, trên cơ sở đó chúng ta sẽ rút ra được các công thức sẽ sử dụng để giải quyết vấn đề này. Vì vậy, chúng ta hãy tạm dừng các kỳ thi, các vấn đề sắp tới ở trường và nhìn về tương lai.

Giả sử bạn đã trưởng thành và sắp mua một căn hộ. Giả sử bạn định mua không phải một căn hộ tồi nào đó ở ngoại ô mà là một căn hộ chất lượng tốt với giá 20 triệu rúp. Đồng thời, hãy giả sử rằng bạn có một công việc ít nhiều bình thường và kiếm được 300 nghìn rúp mỗi tháng. Trong trường hợp này, bạn có thể tiết kiệm khoảng ba triệu rúp mỗi năm. Tất nhiên, kiếm được 300 nghìn rúp mỗi tháng, trong một năm, bạn sẽ nhận được số tiền lớn hơn một chút - 3.600.000 - nhưng hãy để 600.000 này được chi cho thực phẩm, quần áo và các thú vui hàng ngày khác trong gia đình. Tổng dữ liệu đầu vào như sau: bạn cần kiếm được hai mươi triệu rúp, nhưng chúng tôi chỉ có ba triệu rúp mỗi năm để sử dụng. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: mỗi người chúng ta cần tiết kiệm bao nhiêu năm để có được 20 triệu đó? Điều này được coi là cơ bản:

\[\frac(20)(3)=6,....\to 7\]

Tuy nhiên, như chúng tôi đã lưu ý, bạn kiếm được 300 nghìn rúp mỗi tháng, điều này có nghĩa là bạn là người thông minh và sẽ không để tiền “dưới gối” mà mang nó vào ngân hàng. Và do đó, tiền lãi sẽ được tích lũy hàng năm đối với những khoản tiền gửi mà bạn mang đến ngân hàng. Giả sử bạn chọn một ngân hàng đáng tin cậy, nhưng đồng thời có lợi nhuận ít nhiều, và do đó tiền gửi của bạn sẽ tăng trưởng hàng năm 15% mỗi năm. Nói cách khác, chúng tôi có thể nói rằng số tiền trong tài khoản của bạn sẽ tăng hàng năm lên 1,15 lần. Hãy để tôi nhắc bạn công thức:

Hãy tính xem bạn sẽ có bao nhiêu tiền trong tài khoản sau mỗi năm:

Trong năm đầu tiên, khi bạn mới bắt đầu tiết kiệm tiền, tiền lãi sẽ không tích lũy, tức là vào cuối năm, bạn sẽ tiết kiệm được ba triệu rúp:

Vào cuối năm thứ hai, tiền lãi sẽ được tích lũy trên số tiền ba triệu rúp còn lại từ năm đầu tiên, tức là. chúng ta cần nhân với 1,15. Tuy nhiên, trong năm thứ hai, bạn cũng báo cáo thêm ba triệu rúp nữa. Tất nhiên, tiền lãi vẫn chưa tích lũy trên ba triệu này, vì đến cuối năm thứ hai, ba triệu này mới xuất hiện trong tài khoản:

Vì vậy, năm thứ ba. Vào cuối năm thứ ba, số tiền này sẽ bị tính lãi, tức là toàn bộ số tiền này phải được nhân với 1,15. Và một lần nữa, bạn đã làm việc chăm chỉ suốt cả năm và cũng tiết kiệm được ba triệu rúp:

\[\left(3m\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m\]

Hãy tính thêm năm thứ tư nữa. Một lần nữa, toàn bộ số tiền chúng tôi có vào cuối năm thứ ba được nhân với 1,15, tức là. Tiền lãi sẽ được tính trên toàn bộ số tiền. Điều này bao gồm lãi trên lãi. Và ba triệu nữa được thêm vào số tiền này, vì trong năm thứ tư bạn cũng đã làm việc và cũng tiết kiệm được tiền:

\[\left(\left(3m\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m\]

Bây giờ chúng ta hãy mở ngoặc và xem chúng ta sẽ có bao nhiêu tiền vào cuối năm thứ tư tiết kiệm tiền:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1 ,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1.15)^(2))+3m\cdot 1.15+3m= \\& =3m\left(((1.15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1.15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1.15+((1.15)^(2))+((1.15) ^(3)) \right) \\\end(align)\]

Như bạn có thể thấy, chúng ta có các phần tử của cấp số nhân trong ngoặc, tức là chúng ta có tổng các phần tử của cấp số nhân.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng nếu một cấp số nhân được cho bởi phần tử $((b)_(1))$, cũng như mẫu số $q$, thì tổng của các phần tử sẽ được tính bằng công thức sau:

Công thức này phải được biết và áp dụng rõ ràng.

Xin lưu ý: công thức N- phần tử thứ nghe như thế này:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Vì mức độ này, nhiều sinh viên bị nhầm lẫn. Tổng cộng chúng tôi chỉ có N cho số tiền N- các yếu tố và bản thân anh ấy N Phần tử thứ có bậc $n-1$. Nói cách khác, nếu bây giờ chúng ta cố gắng tính tổng của một cấp số nhân, thì chúng ta cần xem xét những điều sau:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1 \\& q=1.15 \\\end(align)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1.15)^(4))-1)(1.15-1)\]

Hãy tính riêng tử số:

\[((1.15)^(4))=((\left(((1.15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1.3225 \right ))^(2) )=1,74900625\khoảng 1,75\]

Tổng cộng, trở về tổng của cấp số nhân, chúng ta nhận được:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

Kết quả là, chúng tôi nhận được rằng sau bốn năm tiết kiệm, số tiền ban đầu của chúng tôi sẽ tăng không phải bốn lần, như thể chúng tôi không gửi tiền vào ngân hàng, mà là năm lần, tức là mười lăm triệu. Hãy viết điều này ra một cách riêng biệt:

4 năm → 5 lần

Nhìn về phía trước, tôi sẽ nói rằng nếu chúng ta tiết kiệm không phải trong bốn năm mà là trong năm năm, thì cuối cùng số tiền tiết kiệm của chúng ta sẽ tăng lên 6,7 lần:

5 năm → 6,7 lần

Nói cách khác, vào cuối năm thứ năm chúng ta sẽ có số tiền sau trong tài khoản:

Nghĩa là, vào cuối năm tiết kiệm thứ năm, tính đến lãi suất tiền gửi, chúng tôi đã nhận được hơn hai mươi triệu rúp. Như vậy, tổng tài khoản tiết kiệm do lãi suất ngân hàng sẽ giảm từ gần bảy năm xuống còn năm năm, tức là gần hai năm.

Do đó, ngay cả khi ngân hàng tính lãi suất khá thấp đối với tiền gửi của chúng tôi (15%), chỉ sau 5 năm, con số 15% này đã mang lại mức tăng vượt xa đáng kể thu nhập hàng năm của chúng tôi. Hơn nữa, hiệu ứng số nhân chính xảy ra trong những năm gần đây và thậm chí, đúng hơn là vào năm tiết kiệm cuối cùng.

Tại sao tôi viết tất cả những điều này? Tất nhiên, điều này không nhằm khuyến khích bạn mang tiền vào ngân hàng. Bởi vì nếu bạn thực sự muốn tăng số tiền tiết kiệm của mình, thì bạn cần đầu tư chúng không phải vào ngân hàng mà vào một doanh nghiệp đang hoạt động thực sự, nơi mà những lợi ích tương tự này, tức là lợi nhuận trong nền kinh tế Nga hiếm khi giảm xuống dưới 30%, tức là gấp đôi. tiền gửi ngân hàng.

Nhưng điều thực sự hữu ích trong tất cả các cuộc thảo luận này là một công thức cho phép chúng ta tìm ra tổng số tiền gửi thông qua số tiền thanh toán hàng năm cũng như thông qua lãi suất mà ngân hàng tính. Vì vậy, hãy viết nó ra:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

Bản thân % được tính bằng công thức sau:

Công thức này cũng cần phải được biết, cũng như công thức cơ bản cho số tiền gửi. Và ngược lại, công thức cơ bản có thể giảm đáng kể các phép tính trong những bài toán có tỷ lệ phần trăm cần thiết để tính phần đóng góp.

Tại sao nên sử dụng công thức thay vì bảng?

Nhiều người có lẽ sẽ đặt câu hỏi: tại sao lại có sự phức tạp này?Không thể đơn giản viết ra từng năm trên một bảng, như cách làm trong nhiều sách giáo khoa, đếm riêng từng năm rồi tính tổng số tiền đóng góp? Tất nhiên, bạn hoàn toàn có thể quên đi tổng cấp số nhân và tính toán mọi thứ bằng cách sử dụng máy tính bảng cổ điển - việc này được thực hiện trong hầu hết các bộ sưu tập để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất. Tuy nhiên, thứ nhất, khối lượng tính toán tăng mạnh, thứ hai, do đó, khả năng mắc lỗi sẽ tăng lên.

Và nói chung, việc sử dụng bàn thay vì công thức tuyệt vời này cũng giống như việc bạn đào rãnh tại công trường bằng tay thay vì sử dụng máy xúc đứng gần đó và làm việc hoàn toàn.

Chà, hoặc điều tương tự như nhân năm với mười không sử dụng bảng nhân mà cộng năm với chính nó mười lần liên tiếp. Tuy nhiên, tôi đã lạc đề rồi nên tôi sẽ nhắc lại ý tưởng quan trọng nhất một lần nữa: nếu có cách nào đó để đơn giản hóa và rút ngắn các phép tính, thì đây là phương pháp nên được sử dụng.

Lãi vay

Chúng ta đã giải quyết vấn đề tiền gửi, vì vậy chúng ta chuyển sang chủ đề tiếp theo, đó là lãi suất cho vay.

Vì vậy, trong khi bạn đang tiết kiệm tiền, lập kế hoạch ngân sách cẩn thận, suy nghĩ về căn hộ tương lai của mình, bạn cùng lớp của bạn và hiện là một người thất nghiệp đơn giản, đã quyết định sống cho ngày hôm nay và chỉ cần vay tiền. Đồng thời, anh ta vẫn sẽ trêu chọc và cười nhạo bạn, nói rằng anh ta có điện thoại tín dụng và một chiếc ô tô đã qua sử dụng, còn bạn vẫn đi tàu điện ngầm và sử dụng điện thoại nút bấm cũ. Tất nhiên, người bạn học cũ của bạn sẽ phải trả giá đắt cho tất cả những màn “khoe khoang” rẻ tiền này. Nó đắt đến mức nào - đó là những gì chúng ta sẽ tính toán ngay bây giờ.

Đầu tiên là thông tin giới thiệu ngắn gọn. Giả sử bạn học cũ của bạn đã vay tín dụng hai triệu rúp. Hơn nữa, theo thỏa thuận, anh ta phải trả x rúp mỗi tháng. Giả sử anh ta vay một khoản với lãi suất hàng năm là 20%, mức lãi suất này trong điều kiện hiện tại có vẻ khá ổn. Ngoài ra, giả sử rằng thời hạn cho vay chỉ là ba tháng. Hãy thử kết nối tất cả các đại lượng này thành một công thức.

Vì vậy, ngay từ đầu, ngay khi người bạn học cũ của bạn rời ngân hàng, anh ta đã có hai triệu trong túi, và đây là khoản nợ của anh ta. Hơn nữa, chưa một năm, chưa một tháng trôi qua mà đây mới chỉ là sự khởi đầu:

Sau đó, sau một tháng, số tiền nợ sẽ được tính lãi. Như chúng ta đã biết, để tính lãi, chỉ cần nhân số nợ ban đầu với hệ số, được tính theo công thức sau:

Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi đang nói về tỷ lệ 20% mỗi năm, tức là chúng tôi có thể viết:

Đây là hệ số của số tiền sẽ được tích lũy mỗi năm. Tuy nhiên, người bạn cùng lớp của chúng tôi không thông minh lắm và anh ấy đã không đọc hợp đồng, và trên thực tế, anh ấy được vay không phải với lãi suất 20% mỗi năm mà là 20% mỗi tháng. Và đến cuối tháng đầu tiên, tiền lãi sẽ được cộng dồn trên số tiền này và nó sẽ tăng lên 1,2 lần. Ngay sau đó, người đó sẽ phải trả số tiền đã thỏa thuận, tức là x rúp mỗi tháng:

\[\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\]

Và một lần nữa anh chàng của chúng ta lại thanh toán với số tiền $x$ rúp.

Sau đó, đến cuối tháng thứ ba, số nợ của anh ta lại tăng thêm 20%:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

Và theo điều kiện, anh ta phải trả đầy đủ trong vòng ba tháng, tức là sau khi thanh toán lần thứ ba cuối cùng, số nợ của anh ta phải bằng 0. Chúng ta có thể viết phương trình sau:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Hãy quyết định:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \right) \\\end(căn chỉnh)\]

Trước mắt chúng ta một lần nữa là một cấp số nhân, hay nói đúng hơn là tổng của ba phần tử của một cấp số nhân. Hãy viết lại nó theo thứ tự tăng dần của các phần tử:

Bây giờ chúng ta cần tìm tổng của ba phần tử của một cấp số nhân. Hãy viết nó ra:

\[\begin(căn chỉnh)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(căn chỉnh)\]

Bây giờ hãy tìm tổng của cấp số nhân:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Cần nhớ lại rằng tổng của một cấp số nhân với các tham số như vậy $\left(((b)_(1));q \right)$ được tính theo công thức:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Đây là công thức chúng ta vừa sử dụng. Chúng tôi thay thế công thức này vào biểu thức của chúng tôi:

Để tính toán thêm, chúng ta cần tìm hiểu $((1,2)^(3))$ bằng bao nhiêu. Thật không may, trong trường hợp này, chúng ta không còn có thể viết nó dưới dạng hình vuông đôi như lần trước nữa, nhưng chúng ta có thể tính nó như thế này:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(căn chỉnh)\]

Hãy viết lại biểu thức của chúng tôi:

Đây là một biểu thức tuyến tính cổ điển. Chúng ta hãy quay lại công thức sau:

Trên thực tế, nếu khái quát hóa nó, chúng ta sẽ có được một công thức kết nối lãi suất, khoản vay, khoản thanh toán và các điều khoản. Công thức như sau:

Đây là công thức quan trọng nhất của bài học video ngày hôm nay, với sự trợ giúp của công thức này, ít nhất 80% tất cả các bài toán kinh tế trong Kỳ thi Toán Thống nhất phần thứ hai đều được tính toán.

Thông thường, trong các nhiệm vụ thực tế, bạn sẽ được yêu cầu thanh toán hoặc ít thường xuyên hơn một chút là một khoản vay, tức là tổng số nợ mà bạn cùng lớp của chúng tôi đã có khi bắt đầu thanh toán. Trong những vấn đề phức tạp hơn, bạn sẽ được yêu cầu tìm tỷ lệ phần trăm, nhưng đối với những vấn đề rất phức tạp mà chúng tôi sẽ phân tích trong một bài học video riêng, bạn sẽ được yêu cầu tìm khung thời gian trong đó, với các thông số về khoản vay và thanh toán, người bạn cùng lớp thất nghiệp sẽ có thể trả hết nợ ngân hàng.

Có lẽ lúc này sẽ có người cho rằng tôi là người phản đối gay gắt các khoản vay, tài chính và hệ thống ngân hàng nói chung. Vì vậy, không có gì như thế! Ngược lại, tôi cho rằng các công cụ tín dụng rất hữu ích và cực kỳ cần thiết cho nền kinh tế nước ta nhưng chỉ với điều kiện là phải vay để phát triển kinh doanh. Phương án cuối cùng là bạn có thể vay tiền để mua nhà, tức là thế chấp hoặc để điều trị y tế khẩn cấp - chỉ vậy thôi; đơn giản là không có lý do nào khác để vay tiền. Và đủ loại người thất nghiệp đi vay để mua hàng “khoe hàng”, đồng thời không hề nghĩ đến hậu quả cuối cùng và trở thành nguyên nhân gây ra khủng hoảng và các vấn đề trong nền kinh tế của chúng ta.

Quay lại chủ đề bài học hôm nay, tôi xin lưu ý rằng việc biết công thức kết nối các khoản vay, khoản thanh toán và tiền lãi này cũng cần thiết như tổng của một cấp số nhân. Với sự trợ giúp của những công thức này, các bài toán kinh tế thực tế từ Kỳ thi Thống nhất cấp Nhà nước môn toán đã được giải quyết. Chà, bây giờ bạn đã biết rất rõ tất cả những điều này, khi bạn hiểu khoản vay là gì và tại sao bạn không nên vay nó, hãy chuyển sang giải các bài toán kinh tế thực tế từ Kỳ thi Thống nhất môn toán.

Giải các bài toán thực tế trong kỳ thi Thống nhất môn Toán

Ví dụ 1

Vì vậy, nhiệm vụ đầu tiên:

Vào ngày 31 tháng 12 năm 2014, Alexey đã rút tín dụng 9.282.000 rúp từ ngân hàng với lãi suất 10% mỗi năm. Phương án trả nợ như sau: vào ngày 31 tháng 12 hàng năm, ngân hàng tính lãi trên số nợ còn lại (tức là tăng số nợ lên 10%), sau đó Alexey chuyển X rúp cho ngân hàng. Số tiền X phải là bao nhiêu để Alexey có thể trả hết nợ trong bốn lần thanh toán bằng nhau (tức là trong bốn năm)?

Vì vậy, đây là một vấn đề về tín dụng nên chúng tôi viết ngay công thức của mình:

Khoản vay được chúng tôi biết - 9.282.000 rúp.

Bây giờ chúng ta sẽ giải quyết tỷ lệ phần trăm. Chúng ta đang nói về 10% trong vấn đề. Vì vậy, chúng ta có thể dịch chúng:

Chúng ta có thể tạo một phương trình:

Chúng ta đã thu được một phương trình tuyến tính thông thường cho $x$, mặc dù có các hệ số khá lớn. Hãy cố gắng giải quyết nó. Đầu tiên, hãy tìm biểu thức $((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

Bây giờ hãy viết lại phương trình:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1.4641=x\cdot \frac(1.4641-1)(0.1) \\& 9282000\cdot 1.4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0.1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)( 1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641 \cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(căn chỉnh)\]\[\]

Thế là xong, vấn đề lãi suất của chúng ta đã được giải quyết.

Tất nhiên, đây chỉ là bài toán đơn giản nhất về tỷ lệ phần trăm trong Kỳ thi Thống nhất Toán học. Rất có thể, một nhiệm vụ như vậy sẽ không xuất hiện trong bài thi thật. Và nếu có, hãy coi mình là người rất may mắn. Chà, đối với những người thích đếm và không thích mạo hiểm, hãy chuyển sang các nhiệm vụ phức tạp hơn tiếp theo.

Ví dụ số 2

Vào ngày 31 tháng 12 năm 2014, Stepan đã rút tín dụng 4.004.000 rúp từ ngân hàng với lãi suất 20% mỗi năm. Phương án trả nợ như sau: vào ngày 31 tháng 12 hàng năm, ngân hàng tính lãi cho số nợ còn lại (tức là tăng số nợ lên 20%), sau đó Stepan sẽ thanh toán cho ngân hàng. Stepan đã trả hết số nợ thành 3 lần thanh toán bằng nhau. Anh ta sẽ phải trả ít hơn bao nhiêu rúp cho ngân hàng nếu anh ta có thể trả hết nợ thành 2 lần bằng nhau?

Chúng tôi gặp vấn đề về khoản vay nên chúng tôi viết ra công thức của mình:

\[\]\

Chúng ta biết những gì? Đầu tiên, chúng ta biết tổng tín dụng. Chúng tôi cũng biết tỷ lệ phần trăm. Hãy tìm hệ số:

Còn với $n$, bạn cần đọc kỹ phần trình bày vấn đề. Nghĩa là, trước tiên chúng ta cần tính số tiền anh ấy đã trả trong ba năm, tức là $n=3$, sau đó thực hiện lại các bước tương tự nhưng tính số tiền thanh toán trong hai năm. Hãy viết phương trình cho trường hợp thanh toán được thanh toán trong ba năm:

Hãy giải phương trình này. Nhưng trước tiên, hãy tìm biểu thức $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(căn chỉnh)\]

Hãy viết lại biểu thức của chúng tôi:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1.728=x\cdot \frac(1.728-1)(0.2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728 )( 200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(căn chỉnh)\]

Tổng cộng, khoản thanh toán của chúng tôi sẽ là 1.900.800 rúp. Tuy nhiên, hãy chú ý: trong bài toán, chúng ta không phải tìm khoản thanh toán hàng tháng mà là Stepan sẽ trả tổng cộng bao nhiêu cho ba khoản thanh toán bằng nhau, tức là trong toàn bộ thời gian sử dụng khoản vay. Do đó, giá trị kết quả phải được nhân lại với ba. Hãy đếm:

Tổng cộng, Stepan sẽ trả 5.702.400 rúp cho ba khoản thanh toán bằng nhau. Đây là số tiền anh ta phải trả để sử dụng khoản vay trong ba năm.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét tình huống thứ hai, khi Stepan tập trung lại, tập trung lại và trả hết khoản vay không phải bằng ba mà thành hai khoản bằng nhau. Chúng tôi viết ra công thức tương tự của chúng tôi:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(căn chỉnh)\]

Nhưng đó không phải là tất cả, vì bây giờ chúng tôi chỉ tính một trong hai khoản thanh toán, vì vậy tổng cộng Stepan sẽ trả số tiền chính xác gấp đôi:

Tuyệt vời, bây giờ chúng ta đang tiến gần hơn đến câu trả lời cuối cùng. Nhưng xin lưu ý: trong mọi trường hợp, chúng tôi chưa nhận được câu trả lời cuối cùng, bởi vì trong ba năm thanh toán, Stepan sẽ trả 5.702.400 rúp và trong hai năm thanh toán, anh ấy sẽ trả 5.241.600 rúp, tức là ít hơn một chút. Ít hơn bao nhiêu? Để tìm hiểu, bạn cần trừ số tiền thanh toán thứ hai khỏi số tiền thanh toán đầu tiên:

Tổng câu trả lời cuối cùng là 460.800 rúp. Chính xác thì Stepan sẽ tiết kiệm được bao nhiêu nếu anh ta trả không phải trong ba năm mà là hai năm.

Như bạn có thể thấy, công thức kết nối lãi suất, điều khoản và thanh toán đơn giản hóa đáng kể việc tính toán so với các bảng cổ điển và thật không may, không rõ lý do, trong hầu hết các tập hợp bài toán, tuy nhiên, các bảng vẫn được sử dụng.

Riêng biệt, tôi muốn bạn chú ý đến thời hạn thực hiện khoản vay và số tiền thanh toán hàng tháng. Thực tế là mối liên hệ này không được nhìn thấy trực tiếp từ các công thức mà chúng tôi đã viết ra, nhưng việc hiểu nó là cần thiết để giải quyết các vấn đề thực tế trong bài kiểm tra một cách nhanh chóng và hiệu quả. Trên thực tế, mối liên hệ này rất đơn giản: thời hạn vay càng dài thì số tiền thanh toán hàng tháng sẽ càng nhỏ nhưng số tiền sẽ tích lũy trong toàn bộ thời gian sử dụng khoản vay sẽ càng lớn. Và ngược lại: thời hạn càng ngắn thì số tiền phải trả hàng tháng càng cao nhưng số tiền trả vượt cuối cùng lại thấp hơn và tổng chi phí của khoản vay cũng thấp hơn.

Tất nhiên, tất cả các tuyên bố này sẽ chỉ bằng nhau nếu số tiền vay và lãi suất trong cả hai trường hợp đều giống nhau. Nói chung, bây giờ chỉ cần nhớ thực tế này - nó sẽ được sử dụng để giải quyết các vấn đề phức tạp nhất về chủ đề này, nhưng bây giờ chúng ta sẽ phân tích một vấn đề đơn giản hơn, trong đó chúng ta chỉ cần tìm tổng số tiền của khoản vay ban đầu.

Ví dụ số 3

Vậy là, thêm một nhiệm vụ nữa để ghi điểm và cũng là nhiệm vụ cuối cùng trong video bài học hôm nay.

Vào ngày 31 tháng 12 năm 2014, Vasily rút một khoản tín dụng nhất định từ ngân hàng với lãi suất 13% mỗi năm. Phương án trả nợ như sau: vào ngày 31 tháng 12 hàng năm, ngân hàng tính lãi trên số nợ còn lại (tức là tăng số nợ lên 13%), sau đó Vasily chuyển 5.107.600 rúp vào ngân hàng. Vasily đã lấy số tiền bao nhiêu từ ngân hàng nếu anh ta trả hết nợ thành hai lần bằng nhau (trong hai năm)?

Vì vậy, trước hết, vấn đề này lại liên quan đến các khoản vay, vì vậy chúng tôi viết ra công thức tuyệt vời của mình:

Hãy xem những gì chúng ta biết từ báo cáo vấn đề. Thứ nhất, khoản thanh toán tương đương 5.107.600 rúp mỗi năm. Thứ hai, đó là tỷ lệ phần trăm nên chúng ta có thể tìm hệ số:

Ngoài ra, theo điều kiện của vấn đề, Vasily đã vay ngân hàng trong hai năm, tức là. được trả làm hai lần bằng nhau, do đó $n=2$. Hãy thay thế mọi thứ và cũng lưu ý rằng khoản vay mà chúng tôi không biết, tức là. số tiền anh ta đã lấy và hãy biểu thị nó bằng $x$. Chúng tôi nhận được:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Hãy viết lại phương trình của chúng ta có tính đến thực tế này:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1.2769-1)(0.13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000) )=\ frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769)\ \& x =4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(căn chỉnh)\]

Vậy đó, đây là câu trả lời cuối cùng. Đây chính xác là số tiền mà Vasily đã rút tín dụng ngay từ đầu.

Bây giờ đã rõ tại sao trong vấn đề này, chúng tôi được yêu cầu vay chỉ trong hai năm, bởi vì có tỷ lệ phần trăm hai chữ số liên quan, cụ thể là 13%, mà khi bình phương sẽ cho một con số khá “tàn bạo”. Nhưng đây không phải là giới hạn - trong bài học riêng tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét các vấn đề phức tạp hơn, trong đó chúng ta cần tìm thời hạn cho vay và lãi suất sẽ là một, hai hoặc ba phần trăm.

Nói chung, hãy học cách giải quyết các vấn đề về tiền gửi và cho vay, chuẩn bị cho các kỳ thi và vượt qua chúng một cách “xuất sắc”. Và nếu có điều gì chưa rõ ràng trong tài liệu của bài học video hôm nay, thì đừng ngần ngại - hãy viết thư, gọi điện và tôi sẽ cố gắng giúp bạn.

Xem thêm video “Bài toán văn bản trong Kỳ thi Thống nhất môn Toán”.
Một bài toán có lời văn không chỉ là một nhiệm vụ vận động, làm việc. Ngoài ra còn có các nhiệm vụ về tỷ lệ phần trăm, về dung dịch, hợp kim và hỗn hợp, về chuyển động theo vòng tròn và tìm tốc độ trung bình. Chúng tôi sẽ cho bạn biết về họ.

Hãy bắt đầu với những bài toán liên quan đến tỷ lệ phần trăm. Chúng ta đã gặp chủ đề này ở task 1. Đặc biệt, họ đã đưa ra một quy tắc quan trọng: chúng ta lấy giá trị mà chúng ta so sánh.

Chúng tôi cũng đã rút ra được các công thức hữu ích:

nếu chúng ta tăng giá trị theo phần trăm, chúng ta sẽ nhận được .
nếu giá trị giảm theo phần trăm, chúng ta nhận được .
nếu giá trị tăng theo phần trăm và sau đó giảm đi , chúng ta nhận được .

nếu chúng ta tăng giá trị hai lần theo phần trăm, chúng ta sẽ nhận được
nếu giá trị giảm hai lần theo phần trăm, chúng ta nhận được

Hãy sử dụng chúng để giải quyết vấn đề.

Có những người sống trong khối thành phố mỗi năm. Trong năm, do việc xây dựng nhà mới, số lượng cư dân đã tăng lên và trong năm - so với năm trước. Có bao nhiêu người bắt đầu sống trong quý mỗi năm?

Theo điều kiện, trong một năm số dân tăng lên 0, tức là bằng số người.

Và trong năm số lượng cư dân tăng lên , so với năm nay. Chúng tôi biết rằng trong một năm có nhiều cư dân sống trong khu nhà hơn.

Bài toán sau đây đã được đề xuất tại kỳ thi Thống nhất Toán học cấp Nhà nước vào tháng 12 năm nay. Nó đơn giản nhưng ít người làm được.

Vào thứ Hai, cổ phiếu của công ty đã tăng giá theo một tỷ lệ phần trăm nhất định và vào thứ Ba, chúng đã giảm giá với tỷ lệ phần trăm tương tự. Kết quả là chúng trở nên rẻ hơn so với khi giao dịch mở cửa vào thứ Hai. Cổ phiếu của công ty đã tăng giá bao nhiêu phần trăm vào thứ Hai?

Thoạt nhìn, có vẻ như có lỗi trong điều kiện và giá cổ phiếu lẽ ra không thay đổi chút nào. Rốt cuộc, chúng đã tăng giá và giảm giá với tỷ lệ như nhau! Nhưng chúng ta đừng vội vàng. Giả sử tại thời điểm mở cửa giao dịch vào thứ Hai, số cổ phiếu đó có giá trị bằng đồng rúp. Đến tối thứ Hai, chúng đã tăng giá và bắt đầu có giá. Bây giờ giá trị này được coi là , và đến tối thứ Ba, cổ phiếu đã giảm giá theo giá trị này. Hãy thu thập dữ liệu vào một bảng:

	vào sáng thứ Hai	vào đêm thứ hai	vào tối thứ ba
Giá cổ phiếu

Theo điều kiện, cổ phiếu cuối cùng đã giảm giá .

Chúng tôi hiểu điều đó

Hãy chia cả hai vế của phương trình cho (xét cho cùng, nó không bằng 0) và áp dụng công thức nhân rút gọn cho vế trái.

Theo ý nghĩa của vấn đề, giá trị là dương.
Chúng tôi hiểu điều đó.

Giá tủ lạnh ở cửa hàng giảm hàng năm với tỷ lệ tương đương so với giá trước đó. Xác định xem giá một chiếc tủ lạnh giảm theo tỷ lệ phần trăm mỗi năm nếu được rao bán với giá rúp, hai năm sau nó được bán với giá rúp.

Vấn đề này cũng được giải quyết bằng cách sử dụng một trong các công thức được đưa ra ở đầu bài viết. Tủ lạnh có giá rúp. Giá của nó đã giảm hai lần và bây giờ nó bằng

Bốn chiếc áo sơ mi rẻ hơn một chiếc áo khoác . Năm chiếc áo sơ mi đắt hơn một chiếc áo khoác bao nhiêu phần trăm?

Giả sử giá của chiếc áo sơ mi bằng giá của chiếc áo khoác . Như mọi khi, chúng tôi lấy 100% giá trị mà chúng tôi so sánh, tức là giá của chiếc áo khoác. Khi đó giá của bốn chiếc áo sơ mi sẽ bằng giá của chiếc áo khoác, tức là
.

Giá của một chiếc áo ít hơn nhiều lần:
,
và giá của năm chiếc áo sơ mi:

Những gì chúng tôi nhận được là năm chiếc áo sơ mi đắt hơn chiếc áo khoác.

Trả lời: .

Gia đình gồm có một cặp vợ chồng và cô con gái sinh viên. Nếu lương của người chồng tăng gấp đôi thì tổng thu nhập của gia đình sẽ tăng thêm . Nếu học bổng của con gái bị giảm đi một nửa thì tổng thu nhập của gia đình sẽ giảm đi . Lương của người vợ chiếm bao nhiêu phần trăm trong tổng thu nhập của gia đình?

Hãy vẽ một cái bàn. Chúng ta sẽ gọi các tình huống được đề cập trong bài toán (“lương của chồng tăng, nếu học bổng của con gái giảm…”) là “tình huống” và “tình huống”.

	chồng	vợ	con gái	Tổng thu nhập
Trong thực tế
Tình huống
Tình huống

Việc còn lại là viết hệ phương trình.

Nhưng chúng ta thấy gì? Hai phương trình và ba ẩn số! Chúng tôi sẽ không thể tìm thấy chúng một cách riêng biệt. Đúng, chúng tôi không cần điều này. Tốt hơn là lấy phương trình đầu tiên và trừ tổng ở cả hai vế của nó. Chúng tôi nhận được:

Điều này có nghĩa là tiền lương của người chồng là một phần trong tổng thu nhập của gia đình.

Trong phương trình thứ hai, chúng ta cũng trừ biểu thức ở cả hai vế, đơn giản hóa và thu được kết quả đó

Điều này có nghĩa là học bổng của con gái dựa trên tổng thu nhập của gia đình. Khi đó lương của vợ sẽ cấu thành tổng thu nhập.

Trả lời: .

Loại bài toán tiếp theo là các bài toán liên quan đến dung dịch, hỗn hợp và hợp kim. Chúng không chỉ được tìm thấy trong toán học mà còn trong hóa học. Chúng tôi sẽ cho bạn biết về cách đơn giản nhất để giải quyết chúng.

Lít nước được thêm vào bình chứa lít dung dịch nước phần trăm của một chất nhất định. Nồng độ của dung dịch thu được là bao nhiêu phần trăm?

Một bức tranh giúp giải quyết những vấn đề như vậy. Chúng ta hãy mô tả sơ đồ một chiếc bình chứa dung dịch - như thể chất và nước trong đó không trộn lẫn với nhau mà tách ra khỏi nhau, như trong một ly cocktail. Và hãy viết xem bình chứa bao nhiêu lít và bao nhiêu phần trăm chất chứa trong đó. Hãy biểu thị nồng độ của dung dịch thu được.

Bình đầu tiên chứa lít chất này. Bình thứ hai chỉ chứa nước. Điều này có nghĩa là bình thứ ba chứa cùng số lít chất như bình thứ nhất:

.

Chúng tôi trộn một lượng nhất định dung dịch phần trăm của một chất nhất định với cùng một lượng dung dịch phần trăm của chất này. Nồng độ của dung dịch thu được là bao nhiêu phần trăm?

Gọi khối lượng của dung dịch thứ nhất bằng . Khối lượng của cái thứ hai là như nhau. Kết quả là chúng ta thu được nghiệm có khối lượng . Hãy vẽ một bức tranh.

Chúng tôi nhận được:

Trả lời: .

Nho chứa độ ẩm và nho khô chứa độ ẩm. Cần bao nhiêu kg nho để sản xuất ra kg nho khô?

Chú ý! Nếu bạn gặp một vấn đề “về sản phẩm”, tức là vấn đề nho khô được làm từ nho, mơ từ mơ, bánh quy giòn từ bánh mì hoặc phô mai tươi từ sữa - hãy biết rằng đây thực sự là một vấn đề về giải pháp. Chúng ta cũng có thể mô tả đại khái nho như một giải pháp. Nó chứa nước và "chất khô". “Chất khô” có thành phần hóa học phức tạp, qua mùi vị, màu sắc và mùi vị, chúng ta có thể hiểu rằng đây là nho chứ không phải khoai tây. Nho khô được tạo ra khi nước bay hơi từ nho. Đồng thời, lượng “chất khô” không đổi. Nho chứa nước, nghĩa là có “chất khô”. Nho khô chứa nước và “chất khô”. Giả sử một kg nho sinh ra một kg nho khô. Sau đó

từ từ

Hãy lập một phương trình:

và chúng ta sẽ tìm thấy nó.

Trả lời: .

Có hai hợp kim. Hợp kim đầu tiên chứa niken, hợp kim thứ hai - niken. Từ hai hợp kim này người ta thu được hợp kim thứ ba nặng kg chứa niken. Khối lượng của hợp kim thứ nhất nhỏ hơn khối lượng của hợp kim thứ hai bao nhiêu kg?

Gọi khối lượng của hợp kim thứ nhất là x, khối lượng của hợp kim thứ hai là y. Kết quả là một hợp kim có khối lượng .

Hãy viết một hệ phương trình đơn giản:

Phương trình đầu tiên là khối lượng của hợp kim thu được, phương trình thứ hai là khối lượng niken.

Giải quyết, chúng tôi nhận được điều đó.

Trả lời: .

Bằng cách trộn các dung dịch axit phần trăm và phần trăm và thêm kg nước tinh khiết, chúng ta thu được dung dịch axit phần trăm. Nếu thay vì thêm kg nước vào dung dịch kg -phần trăm của cùng loại axit, chúng ta sẽ thu được dung dịch phần trăm của axit. Cần bao nhiêu kg dung dịch phần trăm để thu được hỗn hợp?

Gọi khối lượng dung dịch thứ nhất là , khối lượng dung dịch thứ hai bằng . Khối lượng của dung dịch thu được bằng . Hãy viết hai phương trình về lượng axit.

Chúng tôi giải quyết hệ thống kết quả. Hãy nhân ngay cả hai vế của phương trình với , vì làm việc với hệ số nguyên sẽ thuận tiện hơn so với hệ số phân số. Hãy mở dấu ngoặc.

Trả lời: .

Các bài toán về chuyển động tròn cũng trở thành khó khăn đối với nhiều học sinh. Chúng được giải gần như giống như các bài toán chuyển động thông thường. Họ cũng sử dụng công thức. Nhưng có một thủ thuật mà chúng tôi sẽ kể cho bạn.

Một người đi xe đạp rời khỏi một điểm trên tuyến đường vòng và vài phút sau một người đi xe máy theo sau anh ta. Vài phút sau khi rời đi, anh ta đuổi kịp người đi xe đạp lần đầu tiên và vài phút sau đó anh ta đuổi kịp người này lần thứ hai. Tìm vận tốc của người đi xe máy nếu quãng đường là km. Hãy đưa ra câu trả lời của bạn bằng km/h.

Đầu tiên, hãy đổi phút sang giờ, vì tốc độ phải được tính bằng km/h. Chúng tôi biểu thị tốc độ của những người tham gia là và . Lần đầu tiên, một người đi xe máy đã vượt qua một người đi xe đạp vài phút sau đó, tức là một giờ sau khi xuất phát. Tính đến thời điểm này, người đi xe đạp đã đi trên đường được vài phút, tức là một giờ.

Hãy viết dữ liệu này vào một bảng:

người đi xe đạp
người đi xe máy

Cả hai đều đi được quãng đường như nhau.

Người đi xe máy sau đó đã vượt qua người đi xe đạp lần thứ hai. Điều này xảy ra vài phút, tức là một giờ sau lần vượt đầu tiên.

Hãy vẽ bảng thứ hai.

người đi xe đạp
người đi xe máy

Họ đã đi được quãng đường bao nhiêu? Một người đi xe máy đã vượt qua một người đi xe đạp. Điều này có nghĩa là anh ấy đã lái thêm một vòng nữa. Đây chính là bí mật của nhiệm vụ này. Một vòng là chiều dài của đường đua, nó bằng km. Ta thu được phương trình thứ hai:

Hãy giải hệ thống kết quả.

Chúng tôi hiểu điều đó. Để đáp lại, chúng ta viết tốc độ của người đi xe máy.

Trả lời: .

Một chiếc đồng hồ có kim chỉ giờ phút. Hỏi trong bao nhiêu phút thì kim phút thẳng hàng với kim giờ lần thứ tư?

Đây có lẽ là nhiệm vụ khó khăn nhất trong các lựa chọn của Kỳ thi Thống nhất. Tất nhiên, có một giải pháp đơn giản - hãy lấy đồng hồ bằng tay và đảm bảo rằng các kim thẳng hàng lần thứ tư trong một giờ, chính xác là ở ..
Nhưng nếu bạn có một chiếc đồng hồ điện tử và không thể giải được bài toán bằng thực nghiệm thì sao?

Trong một giờ, kim phút đi được một vòng, kim giờ đi được một vòng. Đặt tốc độ của chúng là (vòng mỗi giờ) và (vòng mỗi giờ). Bắt đầu - lúc .. Hãy tìm thời gian mà kim phút lần đầu tiên đuổi kịp kim giờ.

Kim phút sẽ di chuyển thêm một vòng nữa nên phương trình sẽ là:

Giải quyết xong thì chúng ta có được giờ đó. Vì vậy, lần đầu tiên các bàn tay sẽ thẳng hàng sau một giờ. Hãy để chúng trở nên bằng nhau lần thứ hai sau một thời gian. Kim phút sẽ đi được một quãng đường và kim giờ sẽ đi được một vòng nữa. Hãy viết phương trình:

Giải quyết xong thì chúng ta có được giờ đó. Vì vậy, trong một giờ, các kim sẽ căn chỉnh lần thứ hai, sau một giờ nữa lần thứ ba, và sau một giờ nữa lần thứ tư.

Điều này có nghĩa là nếu điểm bắt đầu là ., thì lần thứ tư các mũi tên sẽ thẳng hàng qua
giờ.

Câu trả lời hoàn toàn phù hợp với giải pháp “thử nghiệm”! :-)

Trong bài kiểm tra toán, bạn cũng có thể được yêu cầu tìm tốc độ trung bình. Hãy nhớ rằng tốc độ trung bình không bằng trung bình số học của các tốc độ. Nó được tìm thấy bằng cách sử dụng một công thức đặc biệt:

,
đâu là tốc độ trung bình, là tổng quãng đường, là tổng thời gian.

Nếu có hai phần của con đường thì

Người du khách vượt biển trên một chiếc du thuyền với vận tốc trung bình là km/h. Anh ta bay trở lại trên một chiếc máy bay thể thao với tốc độ km/h. Tìm vận tốc trung bình của người đó trên toàn bộ hành trình. Hãy đưa ra câu trả lời của bạn bằng km/h.

Chúng tôi không biết người du hành đã đi được quãng đường bao nhiêu. Chúng tôi chỉ biết rằng khoảng cách này là như nhau trên đường đi và về. Để đơn giản, hãy lấy khoảng cách này là (một biển). Khi đó thời gian người du hành đi trên du thuyền bằng , và thời gian trên chuyến bay bằng . Tổng thời gian là .
Tốc độ trung bình là km/h.

Trả lời: .

Hãy trình bày một thủ thuật hữu hiệu khác giúp các em giải nhanh hệ phương trình ở bài 13.

Andrey và Pasha sơn hàng rào trong một giờ. Pasha và Volodya vẽ cùng một hàng rào trong một giờ, còn Volodya và Andrey - trong một giờ. Các cậu bé sẽ cùng nhau sơn hàng rào trong bao nhiêu giờ?

Chúng tôi đã giải quyết được các vấn đề về công việc và năng suất. Các quy tắc là như nhau. Điểm khác biệt duy nhất là có ba người làm việc ở đây và cũng sẽ có ba biến số. Gọi là năng suất của Andrey, là năng suất của Pasha và là năng suất của Volodya. Chúng tôi sẽ lấy hàng rào, tức là khối lượng công việc, vì - xét cho cùng, chúng tôi không thể nói bất cứ điều gì về kích thước của nó.

	hiệu suất	Công việc
Andrey
Pasha
Volodya
Cùng nhau

Andrey và Pasha đã sơn hàng rào trong nhiều giờ. Chúng tôi nhớ rằng khi chúng tôi làm việc cùng nhau, hiệu suất sẽ tăng lên. Hãy viết phương trình:

Tương tự như vậy,

Sau đó


.

Bạn có thể tìm kiếm và tìm kiếm riêng biệt, nhưng tốt hơn hết là chỉ cần cộng cả ba phương trình. Chúng tôi hiểu điều đó

Điều này có nghĩa là khi làm việc cùng nhau, Andrey, Pasha và Volodya sẽ sơn được 1/8 hàng rào trong một giờ. Họ sẽ sơn toàn bộ hàng rào trong vài giờ.

Để sử dụng bản xem trước bản trình bày, hãy tạo tài khoản Google và đăng nhập vào tài khoản đó: https://accounts.google.com

Chú thích slide:

Lý thuyết về chủ đề: “Giải bài toán bằng tỷ lệ phần trăm”.

Loại 1: Chuyển phần trăm sang số thập phân. tỷ lệ phần trăm  phân số A%  A chia cho 100 Bài toán:20%;75%;125%;50%;40%;1%;70%;35%;80%... Điền vào bảng 1% 5% 10% 20% 25% 50% 75% 100%

Loại 2: Chuyển phân số thành phần trăm. số  phần trăm A  A nhân với 100% Chuyển phân số thành phần trăm: 3/4; 0,07; 2.4. (GIA, bài tập chuyên đề) Nối các phân số biểu thị phân số của một số lượng nhất định và tỷ lệ phần trăm tương ứng. A.1/4; B) 3/5; B) 0,5; D) 0,05 1) 5%; 2) 25%; 3) 50%; 4) Đáp án 60%: A B C D

Loại 3: Tìm phần trăm của một số. X% của A 1) X% được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân 2) Số A được nhân với phân số thập phân. Nhiệm vụ là một mẫu. Trong vòng một tháng, công ty đã sản xuất được 500 thiết bị. 20% thiết bị được sản xuất không vượt qua được khâu kiểm soát chất lượng. Có bao nhiêu thiết bị chưa vượt qua kiểm soát chất lượng? Giải pháp. Bạn cần tìm 20% tổng số thiết bị được sản xuất (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 trong tổng số thiết bị được sản xuất không vượt qua khâu kiểm soát chất lượng.

Loại 4: Tìm một số theo phần trăm của nó. Và đây là X%: 1) X% được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân 2) Và chúng ta chia cho phân số thập phân. Nhiệm vụ là một mẫu. Để chuẩn bị cho kỳ thi, học sinh đã giải được 38 bài toán trong SGK. Đó là 25% tổng số nhiệm vụ trong sách hướng dẫn. Sách tự học này tập hợp bao nhiêu nhiệm vụ? Giải pháp. Chúng tôi không biết có bao nhiêu nhiệm vụ trong hướng dẫn này. Nhưng chúng ta biết rằng 38 nhiệm vụ chiếm 25% tổng số nhiệm vụ của chúng. 25%=0,25 38/0,25 = 152,152 vấn đề trong bộ sưu tập này.

Loại 5: Tìm tỷ lệ phần trăm của hai số. số A và B. B của A bằng bao nhiêu %? 1)B/A 2) Nhân thương số kết quả với 100% Vấn đề - mẫu. Có 30 học sinh trong lớp. 15 người trong số họ là con gái. Trong lớp có bao nhiêu phần trăm nữ sinh? Giải pháp. Để biết số này bằng bao nhiêu phần trăm của số khác, bạn cần chia số cần tìm cho tổng rồi nhân với 100%. Điều này có nghĩa là 1)15 /30=0,5 2)0,5*100%=50% Vấn đề là một mẫu. Trong 1 giờ, máy tự động sản xuất được 240 chi tiết. Sau khi chế tạo lại chiếc máy này, anh bắt đầu sản xuất 288 bộ phận tương tự mỗi giờ. Năng suất của máy tăng bao nhiêu phần trăm? Giải pháp. Năng suất của máy tăng 288-240=48 phần/giờ. Bạn cần tìm ra bao nhiêu phần trăm của 240 phần là 48 phần. Để tìm ra bao nhiêu phần trăm của số 48 so với số 240, bạn cần chia số 48 cho 240 và nhân kết quả với 100%. 48/240 *100% =20% Trả lời: năng suất máy tăng 20%

Loại 6: Tăng số lượng theo phần trăm. Giảm số lượng theo một tỷ lệ phần trăm. Một số; nếu chúng ta tăng X% thì nó sẽ tăng (1 + x/100) lần. : 1) nhân số A với 2) (1 + x /100). Nhiệm vụ là một mẫu. . Trong kỳ thi toán năm ngoái, 140 học sinh trung học đã đạt điểm A. Năm nay số học sinh giỏi tăng 15%. Có bao nhiêu người đạt điểm A trong kỳ thi toán năm nay? Giải pháp. 140 * (1 + 15/100) = 161. A là số; giảm X% thì giảm (1 - x/100) lần. : 1) nhân số A với 2) (1 - x /100). Nhiệm vụ là một mẫu. Một năm trước, 100 trẻ em đã tốt nghiệp trường học. Và năm nay số sinh viên tốt nghiệp ít hơn 25%. Có bao nhiêu người tốt nghiệp năm nay? Giải pháp. 100 * (1 – 25/100) = 75.

Loại 7: Nồng độ dung dịch. Nhiệm vụ là một mẫu. Một kg muối được hòa tan trong 9 lít nước. Nồng độ của dung dịch thu được là bao nhiêu? (Khối lượng của 1 lít nước là 1 kg) (Peterson 6 cl.) Dung dịch 1) Khối lượng chất hòa tan là 1 kg 2) Khối lượng của toàn bộ dung dịch 1 + 9 = 10 (kg) 9 kg là khối lượng nước trong dung dịch (không nhầm lẫn với tổng khối lượng của dung dịch) 3)1/10*100%=10% 10% là nồng độ của dung dịch

Loại 8: Tỷ lệ kim loại trong hợp kim. Bài toán – mẫu 1. Có một miếng hợp kim đồng-thiếc có tổng khối lượng 12 kg, chứa 45% đồng. Phải thêm bao nhiêu thiếc nguyên chất vào miếng hợp kim này để hợp kim thu được có chứa 40% đồng? Giải pháp.1)12. 0,45= 5,4 (kg) - đồng nguyên chất ở hợp kim thứ nhất; 2) 5,4: 0,4= 13,5 (kg) - trọng lượng của hợp kim mới; 3) 13,5- 12 = 1,5 (kg) thiếc. Trả lời: bạn cần 1,5 kg thiếc.

Vấn đề - mẫu 2. Có hai hợp kim gồm đồng, kẽm và thiếc. Được biết, hợp kim thứ nhất chứa 40% thiếc và hợp kim thứ hai - 26% đồng. Tỷ lệ kẽm trong hợp kim thứ nhất và thứ hai là như nhau. Sau khi hợp kim hóa 150 kg hợp kim thứ nhất và 250 kg hợp kim thứ hai, chúng tôi thu được một hợp kim mới chứa 30% kẽm. Xác định xem hợp kim mới thu được có bao nhiêu kg thiếc. Vì tỷ lệ kẽm trong hợp kim thứ nhất và thứ hai là như nhau và ở hợp kim thứ ba là 30%, nên ở hợp kim thứ nhất và thứ hai, tỷ lệ kẽm là 30%. 250*0,3= 75 (kg) - kẽm ở hợp kim thứ hai; 250 * 0,26= 65 (kg) - đồng ở hợp kim thứ hai; 250-(75+65)= 110 (kg) thiếc trong hợp kim thứ hai; 150. 0,4= 60 (kg) - thiếc ở hợp kim thứ nhất; 110 + 60 = 170 (kg) - thiếc ở hợp kim thứ ba. Đáp số: 170kg. 1 hợp kim 2 hợp kim Hợp kim mới (3) Đồng 26% Kẽm 30% 30% 30% Thiếc 40% ? kg trọng lượng 150 kg 250 kg 150+250=400

Loại 9: Đối với “chất khô”. Hầu như bất kỳ sản phẩm nào - táo, dưa hấu, nấm, khoai tây, ngũ cốc, bánh mì, v.v. gồm có nước và chất khô. Hơn nữa, cả thực phẩm tươi và khô đều chứa nước. Trong quá trình sấy chỉ có nước bay hơi, khối lượng chất khô không thay đổi. A.G. Mordkovich “Toán học 6” Bài toán số 362 - mẫu. Nấm tươi chứa 90% nước, trong khi nấm khô chứa 15%. Bạn sẽ nhận được bao nhiêu nấm khô từ 17 kg nấm tươi? Cần lấy bao nhiêu nấm tươi để có được 3,4 kg nấm khô? Giải pháp. Lập bảng: Phần 1 của bài toán: chất Khối lượng chất (kg) Phần trăm nước Phần trăm chất khô Khối lượng chất khô (kg) Nấm tươi 17kg 90% 10% 17*0,1=1,7 Nấm khô X kg 15 % 85% X*o.85 = 0,85x Vì khối lượng chất khô trong nấm khô và nấm tươi không thay đổi nên ta có phương trình: 0,85x = 1,7, x = 1,7: 0,85, x = 2.

Phần 2 của bài toán: Chất Khối lượng chất (kg) Phần trăm hàm lượng nước Phần trăm hàm lượng nước Khối lượng chất khô (kg) Nấm tươi x 90% 10% 0,1x Nấm khô 3,4 15% 85% 3,4*0,85=2 . 89 0,1x = 2,89, x = 2,89: 0,1, x = 28,9. Trả lời: cứ 17 kg nấm tươi sẽ được 2 kg nấm khô; để có được 3,4 kg nấm khô thì phải lấy 28,9 kg nấm tươi.