Bài giảng 9

Phép biến đổi tuyến tính tọa độ. Các vectơ riêng và giá trị riêng của một ma trận, tính chất của chúng. Đa thức đặc trưng của một ma trận, tính chất của nó.

Ta sẽ nói rằng trên tập vectơrđược cho chuyển đổi MỘT , nếu mỗi vectơ X r theo một quy tắc nào đó, véc tơ MỘT X r.

Định nghĩa 9.1.chuyển đổi MỘT gọi điện tuyến tính, nếu với bất kỳ vectơ nào X Và Tại và với mọi số thực λ đẳng thức được thỏa mãn:

MỘT( X + Tại )=MỘT X+ Một Tại ,A(λ X ) = λA X. (9.1)

Định nghĩa 9.2.Phép biến đổi tuyến tính được gọi là giống hệt nhau, nếu nó biến đổi bất kỳ vectơ nào X vào chính mình.

Phép biến đổi đồng nhất được ký hiệu CÔ ẤY X= X .

Xét một không gian ba chiều có cơ sở e 1 , e2, e3 , trong đó phép biến đổi tuyến tính được chỉ định MỘT. Áp dụng nó cho các vectơ cơ sở, chúng ta có được các vectơ MỘT e 1, MỘT e2, MỘT e3 thuộc về không gian ba chiều này. Do đó, mỗi trong số chúng có thể được mở rộng theo một cách duy nhất về các vectơ cơ sở:

MỘT e 1 = một 11 e 1+ một 21 e2+a 31 e3,

MỘT e 2 = một 12 e 1+ một 22 e2+ một 32 e3 ,(9.2)

MỘT e3= một 13 e 1+ một 23 e2+ một 33 e3 .

ma trận gọi điện ma trận Chuyển đổi tuyến tính MỘT trên cơ sở e 1 , e2, e3 . Các cột của ma trận này bao gồm các hệ số trong công thức (9.2) của phép biến đổi cơ số.

Bình luận. Rõ ràng, ma trận chuyển đổi danh tính là ma trận đơn vị e.

Đối với một vectơ tùy ý X = x 1 e 1+ x 2 e2+ x 3 e3 kết quả của việc áp dụng một biến đổi tuyến tính cho nó MỘT véc tơ ý chí MỘT X, có thể được mở rộng trong các vectơ có cùng cơ sở: MỘT X =x`1 e 1+x`2 e2+x`3 e3 , trong đó tọa độx` Tôicó thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các công thức:

X` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,(9.3)

x` 3 = Một 31 x 1 + Một 32 x 2 + Một 33 x 3 .

Các hệ số trong công thức của phép biến đổi tuyến tính này là các phần tử của các hàng của ma trận MỘT.

Chuyển đổi ma trận biến đổi tuyến tính

khi chuyển sang cơ sở mới.

Xét một phép biến đổi tuyến tính A và hai cơ sở trong không gian ba chiều: e 1 , e 2, e3 Và e 1 , e 2 , e 3 . Cho ma trận C xác định các công thức chuyển vế từ cơ sở (e k) vào cơ sở ( e k). Nếu trong cơ sở đầu tiên của phép biến đổi tuyến tính đã chọn được cho bởi ma trận A , và trong cơ sở thứ hai - bởi ma trận MỘT, thì chúng ta có thể tìm thấy mối quan hệ giữa các ma trận này, cụ thể là:

A \u003d C -1 MỘT C(9,4)

Thật vậy, sau đó MỘT . Mặt khác, kết quả của việc áp dụng phép biến đổi tuyến tính tương tự MỘT trên cơ sở (e k), I E. , và trong cơ sở (e k ): tương ứng - được kết nối bởi ma trận VỚI: , từ đó nó theo sau đó SA= MỘT VỚI. Nhân cả hai vế của đẳng thức bên trái này với VỚI-1 , chúng tôi nhận được VỚI -1 CA = = C -1 MỘT VỚI, chứng minh tính đúng đắn của công thức (9.4).

giá trị riêng và vectơ riêng ma trận.

Định nghĩa 9.3.véc tơ X gọi điện véc tơ riêng ma trận MỘT nếu có một số như vậy λ, rằng sự bình đẳng nắm giữ: MỘT X= λ X, đó là, kết quả của việc áp dụng cho X phép biến đổi tuyến tính cho bởi ma trận MỘT, là phép nhân của vectơ này với số λ . Bản thân con số λ gọi điện số riêng ma trận MỘT.

Thế vào công thức (9.3)x` j = λ xj, chúng ta thu được một hệ phương trình để xác định tọa độ của vectơ riêng:

.

Từ đây

.(9.5)

Cái này đồng nhất tuyến tính hệ thống sẽ có giải pháp tầm thường chỉ khi định thức chính của nó bằng 0 (quy tắc Cramer). Bằng cách viết điều kiện này dưới dạng:

chúng ta có được một phương trình để xác định các giá trị riêng λ gọi điện phương trình đặc trưng. Một cách ngắn gọn, nó có thể được biểu diễn như sau:

| MỘT -λ e | = 0,(9.6)

vì vế trái của nó là định thức của ma trận MỘT- λE. Đa thức đối với λ| MỘT -λ e| gọi điện Đặc biệt đa thức ma trận a.

Tính chất của đa thức đặc trưng:

1) Đa thức đặc trưng của một phép biến đổi tuyến tính không phụ thuộc vào cách chọn cơ số. (với xem (9.4)), nhưng kể từ đây, . Như vậy, không phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở. Do đó, và |MỘT-λ e| không thay đổi khi chuyển đổi sang một cơ sở mới.

2) Nếu ma trận MỘT biến đổi tuyến tính là đối xứng(những thứ kia. MỘT ij= một ji), thì tất cả các gốc phương trình đặc trưng(9,6) là các số thực.

Tính chất của giá trị riêng và vectơ riêng:

1) Nếu chúng ta chọn một cơ sở từ các vectơ riêng x 1, x 2, x 3 tương ứng với các giá trị riêng λ 1 , λ 2 , λ 3 ma trận MỘT, thì trong cơ sở này, phép biến đổi tuyến tính A có ma trận đường chéo:

(9.7) Việc chứng minh tính chất này xuất phát từ định nghĩa của các vectơ riêng.

2) Nếu các giá trị riêng của phép biến đổi MỘT khác nhau thì các vectơ riêng tương ứng với chúng độc lập tuyến tính.

3) Nếu đa thức đặc trưng của ma trận MỘT có ba gốc khác nhau, sau đó trong một cơ sở nào đó ma trận MỘT có dạng chéo.

Ví dụ.

Hãy tìm của riêng mình số và véc tơ riêng của ma trận C, ta bỏ phương trình đặc trưng: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Tìm tọa độ của các vectơ riêng tương ứng với mỗi giá trị được tìm thấy λ. Từ (9.5) suy ra nếu X (1) ={ x 1 , x 2 , x 3 ) là vectơ riêng tương ứng với λ 1 = -2 thì

là một hệ thống hợp tác nhưng không xác định. Giải pháp của nó có thể được viết là X (1) ={ Một,0,- Một), trong đó a là một số bất kỳ. Đặc biệt, nếu bạn yêu cầu |x (1) |=1, X (1) =

Thay thế vào hệ thống (9.5) λ 2 = 3, ta có hệ xác định tọa độ của vectơ riêng thứ hai-x (2) ={ y 1 , y 2 , y 3

Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận là một trong những nhiệm vụ đầy thử tháchđại số tuyến tính phát sinh trong quá trình mô hình hóa và phân tích các quá trình hoạt động hệ thống động, mô hình thống kê. Ví dụ: các vectơ riêng của ma trận hiệp phương sai của một vectơ ngẫu nhiên xác định hướng của các trục chính của siêu elip phân tán của các giá trị của vectơ này và các giá trị riêng xác định sự mở rộng hoặc co lại của siêu elip dọc theo các trục chính của nó . Trong cơ học, các vectơ riêng và số của tenxơ quán tính đặc trưng cho hướng của các trục chính và các mômen quán tính chính của một vật rắn.

Phân biệt hoàn thành (đại số hay nói cách khác, ma trận) vấn đề giá trị riêng, giả sử tìm thấy tất cả cặp đôi riêng một số ma trận, và vấn đề giá trị riêng một phần, bao gồm, như một quy luật, trong việc tìm kiếm một hoặc nhiều giá trị bản địa và có thể tương ứng vectơ riêng. Thông thường nhất, trong trường hợp cuối cùng chúng tôi đang nói chuyện về việc tìm các giá trị riêng modulo lớn nhất và nhỏ nhất; kiến thức về các đặc điểm như vậy của ma trận cho phép, ví dụ, đưa ra kết luận về sự hội tụ của một số phương pháp lặp, tối ưu hóa các tham số của chúng, v.v.

Vấn đề giá trị riêng có thể được phát biểu như sau: đối với vectơ và số khác 0, phép biến đổi tuyến tính của vectơ với sự trợ giúp của ma trận không làm thay đổi hướng của vectơ này trong không gian, mà chỉ được giảm xuống thành "kéo dài" vectơ này bởi một yếu tố? Câu trả lời cho câu hỏi này nằm trong các nghiệm không tầm thường của phương trình

, (1.2)

đâu là ma trận nhận dạng. Về mặt lý thuyết, vấn đề này được giải quyết dễ dàng: bạn cần tìm ra gốc rễ của cái gọi là đặc trưng phương trình

(1.3)

và, lần lượt thay thế chúng vào (1.2), thu được các vectơ riêng từ các hệ thống quá xác định tương ứng.

Việc triển khai thực tế của phương pháp này có liên quan đến một số khó khăn, chúng tăng lên cùng với sự gia tăng chiều hướng của vấn đề đang được giải quyết. Những khó khăn này là do sự mở rộng của yếu tố quyết định và tính nghiệm của đa thức kết quả Nđộ, cũng như bằng cách tìm kiếm các nghiệm độc lập tuyến tính của các hệ phương trình tuyến tính suy biến. phương trình đại số. Về vấn đề này, cách tiếp cận trực tiếp như vậy để giải bài toán giá trị riêng đại số thường chỉ được sử dụng cho các kích thước ma trận rất nhỏ ( N= 2, 3). Đã ở N> 4 ưu đãi sắp ra mắt phương pháp số giải quyết các vấn đề như vậy, một trong số đó, dựa trên ma trận phép biến đổi tương tự, sẽ được thảo luận thêm. nhớ lại rằng tương tựđược gọi là ma trận và , Ở đâu VỚI- Bất kỳ ma trận không đơn giản.

Chúng tôi liệt kê ngắn gọn Các tính chất cơ bản giá trị riêng và vectơ:

1. Nếu – cặp ma trận riêng MỘT, MỘT là một số, sau đó cũng là một cặp thích hợp cho MỘT. Điều này có nghĩa là mỗi giá trị riêng tương ứng với vô số các vectơ riêng chỉ khác nhau bởi một thừa số vô hướng.

2. Hãy để – cặp ma trận riêng , đâu là một số số thực. Sau đó – cặp ma trận riêng MỘT. Do đó, thêm vào ma trận này MỘT ma trận đường chéo không thay đổi vectơ riêng và dịch chuyển phạm vi của ma trận ban đầu bằng một số (bên trái khi ). Phổ của một ma trận là tập hợp tất cả các giá trị riêng của nó.

3. Nếu là một cặp riêng của ma trận khả nghịch thì là một cặp riêng của ma trận .

4. Các giá trị riêng của đường chéo và ma trận tam giác là các phần tử đường chéo của chúng, bởi vì phương trình đặc trưng (1.3), có tính đến (1.1), đối với các ma trận như vậy có thể được viết là:

.

Đẳng thức cuối chứng tỏ rằng ma trận thực đường chéo và tam giác chỉ có giá trị riêng thực(trơn tru N có tính đến sự đa dạng có thể có của chúng). Tính thực tế của các giá trị riêng cũng vốn có trong lớp ma trận đối xứng, điều này rất quan trọng trong các ứng dụng, bao gồm ma trận hiệp phương sai và tenxơ quán tính.

5. Nếu – cặp ma trận riêng , Cái đó – cặp ma trận riêng MỘT Do đó, phép biến đổi tương tự giữ cho phổ của bất kỳ ma trận nào không thay đổi.

6. Hãy để MỘT là một ma trận có cấu trúc kích thước đơn giản , và ma trận Và lần lượt được hình thành từ các giá trị riêng và vectơ riêng của nó. Khi đó đẳng thức . Vì đối với một ma trận đường chéo được hình thành từ các giá trị riêng, các vectơ riêng có thể là vectơ đơn vị cơ sở ban đầu ( , ), sau đó sử dụng thuộc tính 5 và lấy Và (những thứ kia. ), tính chất 6 có thể được xây dựng theo cách khác: nếu là một cặp riêng của ma trận thì có cặp ma trận riêng MỘT.

giá trị bản địa(số) và vectơ riêng.
ví dụ về giải pháp

Là chính mình

Từ cả hai phương trình nó sau đó .

Hãy đặt sau đó: .

Kết quả là: là vectơ riêng thứ hai.

Hãy lặp lại điểm quan trọng các giải pháp:

– hệ thống kết quả chắc chắn có quyết định chung(các phương trình phụ thuộc tuyến tính);

- "Y" được chọn theo cách sao cho nó là số nguyên và tọa độ "x" đầu tiên là số nguyên, dương và càng nhỏ càng tốt.

- chúng tôi kiểm tra xem giải pháp cụ thể có thỏa mãn từng phương trình của hệ thống hay không.

Trả lời .

Các "điểm kiểm tra" trung gian là khá đủ, do đó, về nguyên tắc, việc kiểm tra các điểm bình đẳng là không cần thiết.

Trong các nguồn thông tin khác nhau, tọa độ của các vectơ riêng thường không được viết theo cột mà theo hàng, ví dụ: (và thành thật mà nói, bản thân tôi đã từng viết chúng thành từng dòng). Tùy chọn này được chấp nhận, nhưng trong ánh sáng của chủ đề phép biến đổi tuyến tính kỹ thuật thuận tiện hơn để sử dụng vectơ cột.

Có lẽ giải pháp có vẻ rất dài đối với bạn, nhưng đó chỉ là do tôi đã nhận xét rất chi tiết về ví dụ đầu tiên.

ví dụ 2

ma trận

Chúng tôi tự đào tạo! Một mẫu gần đúng của thiết kế cuối cùng của nhiệm vụ ở cuối bài học.

Đôi khi bạn cần làm nhiệm vụ bổ sung, cụ thể là:

viết phân tích chính tắc của ma trận

Nó là gì?

Nếu các vectơ riêng ma trận hình thành nền tảng, thì nó có thể được biểu diễn dưới dạng:

Đâu là một ma trận bao gồm các tọa độ của các vectơ riêng, – đường chéo ma trận với các giá trị riêng tương ứng.

Sự phân tách ma trận này được gọi là kinh điển hoặc đường chéo.

Hãy xem xét ma trận của ví dụ đầu tiên. Vectơ của riêng cô ấy độc lập tuyến tính(không thẳng hàng) và lập thành cơ sở. Hãy tạo một ma trận từ tọa độ của chúng:

TRÊN đường chéo chính ma trận theo đúng thứ tự giá trị riêng được định vị và các phần tử còn lại bằng 0:
- một lần nữa tôi nhấn mạnh tầm quan trọng của thứ tự: "hai" tương ứng với vectơ thứ nhất và do đó nằm ở cột thứ nhất, "ba" - tương ứng với vectơ thứ 2.

Theo thuật toán thông thường để tìm ma trận nghịch đảo hoặc Phương pháp Gauss-Jordan tìm thấy . Không, đó không phải là một lỗi đánh máy! - trước mặt bạn là hiếm, như Nhật thực sự kiện khi ma trận nghịch đảo khớp với ma trận ban đầu.

Nó vẫn còn để viết sự phân rã kinh điển của ma trận:

Hệ thống có thể được giải quyết với phép biến hình sơ cấp và trong các ví dụ sau chúng ta sẽ dùng đến phương pháp này. Nhưng ở đây, phương pháp "trường học" hoạt động nhanh hơn nhiều. Từ phương trình thứ 3 ta biểu diễn: - Thế vào phương trình thứ 2:

Vì tọa độ đầu tiên bằng 0, nên chúng ta thu được một hệ , từ mỗi phương trình mà nó tuân theo phương trình đó .

Và một lần nữa chú ý đến sự hiện diện bắt buộc của một mối quan hệ tuyến tính. Nếu chỉ thu được một giải pháp tầm thường , thì giá trị riêng được tìm thấy không chính xác hoặc hệ thống được biên dịch/giải quyết có lỗi.

Tọa độ nhỏ gọn mang lại giá trị

vectơ riêng:

Và một lần nữa, chúng tôi kiểm tra xem giải pháp được tìm thấy thỏa mãn mọi phương trình của hệ. Trong các đoạn văn sau đây và trong các nhiệm vụ tiếp theo, tôi đề nghị nên chấp nhận điều ước này như một quy tắc bắt buộc.

2) Đối với giá trị riêng, theo nguyên tắc tương tự, chúng tôi thu được hệ thống tiếp theo:

Từ phương trình thứ 2 của hệ ta biểu diễn: - Thế vào phương trình thứ 3:

Vì tọa độ "zeta" bằng 0, nên chúng ta thu được một hệ , từ mỗi phương trình mà nó tuân theo phụ thuộc tuyến tính.

Cho phép

Chúng tôi kiểm tra xem giải pháp thỏa mãn mọi phương trình của hệ.

Do đó, véc tơ riêng: .

3) Và cuối cùng, hệ thống tương ứng với giá trị của chính nó:

Phương trình thứ hai có vẻ đơn giản nhất, vì vậy chúng tôi biểu thị nó từ nó và thay thế nó vào phương trình thứ nhất và thứ ba:

Mọi thứ đều ổn - một sự phụ thuộc tuyến tính đã được tiết lộ, chúng tôi thay thế biểu thức này bằng biểu thức:

Kết quả là "X" và "Y" được thể hiện thông qua "Z": . Trong thực tế, không nhất thiết phải đạt được chỉ những mối quan hệ như vậy; trong một số trường hợp, sẽ thuận tiện hơn khi thể hiện cả thông qua hoặc và thông qua . Hoặc thậm chí là một “đoàn tàu” - ví dụ: “X” đến “Y” và “Y” đến “Z”

Hãy đặt sau đó:

Chúng tôi kiểm tra xem giải pháp tìm thấy thỏa mãn từng phương trình của hệ và viết vectơ riêng thứ ba

Trả lời: vectơ riêng:

Về mặt hình học, các vectơ này xác định ba hướng không gian khác nhau ("Ở đó và quay lại"), theo đó Chuyển đổi tuyến tính biến đổi các vectơ khác không (vectơ riêng) thành các vectơ thẳng hàng với chúng.

Nếu theo điều kiện bắt buộc phải tìm một khai triển chính tắc của , thì điều này có thể thực hiện được ở đây, bởi vì các giá trị riêng khác nhau tương ứng với các véc tơ riêng độc lập tuyến tính khác nhau. Chúng tôi tạo một ma trận từ tọa độ của chúng, ma trận đường chéo từ liên quan giá trị riêng và tìm ma trận nghịch đảo .

Nếu, theo điều kiện, nó là cần thiết để viết ma trận biến đổi tuyến tính trên cơ sở của các vectơ riêng, sau đó chúng tôi đưa ra câu trả lời trong mẫu . Có một sự khác biệt, và một sự khác biệt đáng kể!Đối với ma trận này là ma trận "de".

Thách thức với nhiều hơn nữa tính toán đơn giản Vì quyết định độc lập:

Ví dụ 5

Tìm các vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính, được cho bởi ma trận

Khi tìm các số của riêng bạn, cố gắng không đưa trường hợp về đa thức bậc 3. Ngoài ra, các giải pháp hệ thống của bạn có thể khác với các giải pháp của tôi - không có sự rõ ràng nào ở đây; và các vectơ bạn tìm thấy có thể khác với các vectơ mẫu theo tỷ lệ với các tọa độ tương ứng của chúng. Ví dụ, và . Sẽ đẹp mắt hơn khi trình bày câu trả lời ở dạng , nhưng không sao nếu bạn dừng ở tùy chọn thứ hai. Tuy nhiên, mọi thứ đều có giới hạn hợp lý, phiên bản trông không đẹp lắm.

Một mẫu cuối cùng gần đúng của bài tập ở cuối bài học.

Làm thế nào để giải quyết vấn đề trong trường hợp có nhiều giá trị riêng?

thuật toán chung vẫn giữ nguyên, nhưng nó có những đặc thù riêng và nên giữ một số phần của giải pháp theo phong cách học thuật chặt chẽ hơn:

Ví dụ 6

Tìm giá trị riêng và vectơ riêng

Giải pháp

Tất nhiên, hãy viết hoa cột đầu tiên tuyệt vời:

Và sau khi phân hủy tam thức vuông cho số nhân:

Kết quả là thu được các giá trị riêng, hai trong số đó là bội số.

Hãy tìm các vectơ riêng:

1) Chúng ta sẽ đối phó với một người lính đơn độc theo sơ đồ “đơn giản hóa”:

Từ hai phương trình cuối cùng, sự bình đẳng có thể nhìn thấy rõ ràng, rõ ràng, nên được thay thế vào phương trình thứ nhất của hệ thống:

Không có sự kết hợp nào tốt hơn:
vectơ riêng:

2-3) Bây giờ chúng tôi loại bỏ một vài lính canh. TRONG trường hợp này nó có thể bật ra hai hoặc một véc tơ riêng. Bất kể bội số của các gốc, chúng tôi thay thế giá trị trong định thức , mang lại cho chúng ta những điều sau đây hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Các vectơ riêng chính xác là các vectơ
hệ thống quyết định cơ bản

Thực ra trong suốt bài học chúng ta chỉ tìm vectơ của hệ cơ bản. Chỉ trong thời gian này thuật ngữ này không được đặc biệt yêu cầu. Nhân tiện, những sinh viên khéo léo, ngụy trang phương trình thuần nhất, sẽ buộc phải hút nó bây giờ.

Hành động duy nhất là loại bỏ các dòng thừa. Kết quả là một ma trận "một đến ba" với một "bước" chính thức ở giữa.
– biến cơ bản, – biến tự do. Có hai biến miễn phí, vì vậy cũng có hai vectơ của hệ thống cơ bản.

Hãy biểu diễn biến cơ bản dưới dạng biến tự do: . Hệ số 0 phía trước chữ “x” cho phép nó nhận hoàn toàn bất kỳ giá trị nào (điều này cũng có thể nhìn thấy rõ ràng từ hệ phương trình).

Trong bối cảnh của vấn đề này, sẽ thuận tiện hơn khi viết giải pháp chung không phải trong một hàng mà trong một cột:

Cặp tương ứng với một véc tơ riêng:
Cặp tương ứng với một véc tơ riêng:

Ghi chú : người đọc tinh vi có thể thu thập các vectơ này bằng miệng - chỉ bằng cách phân tích hệ thống , nhưng cần có một số kiến ​​thức ở đây: có ba biến, thứ hạng ma trận hệ thống- đơn vị có nghĩa là hệ thống quyết định cơ bản gồm 3 – 1 = 2 vectơ. Tuy nhiên, các vectơ được tìm thấy hoàn toàn có thể nhìn thấy ngay cả khi không có kiến ​​​​thức này, hoàn toàn ở mức độ trực quan. Trong trường hợp này, vectơ thứ ba thậm chí sẽ được viết “đẹp hơn”: . Tuy nhiên, một lời cảnh báo, trong một ví dụ khác lựa chọn đơn giản có thể không, đó là lý do tại sao việc đặt phòng dành cho những người có kinh nghiệm. Bên cạnh đó, tại sao không lấy làm vectơ thứ ba, chẳng hạn, ? Rốt cuộc, tọa độ của nó cũng thỏa mãn từng phương trình của hệ thống và các vectơ là độc lập tuyến tính. Tùy chọn này, về nguyên tắc, phù hợp, nhưng "quanh co", vì vectơ "khác" là sự kết hợp tuyến tính của các vectơ của hệ thống cơ bản.

Trả lời: giá trị riêng: , véc tơ riêng:

Một ví dụ tương tự cho giải pháp tự làm:

Ví dụ 7

Tìm giá trị riêng và vectơ riêng

Một mẫu hoàn thiện gần đúng ở cuối bài học.

Cần lưu ý rằng trong cả ví dụ thứ 6 và thứ 7, đều thu được bộ ba vectơ riêng độc lập tuyến tính và do đó ma trận ban đầu có thể được biểu diễn dưới dạng phân rã kinh điển. Nhưng những quả mâm xôi như vậy không xảy ra trong mọi trường hợp:

Ví dụ 8

Giải pháp: soạn và giải phương trình đặc trưng:

Chúng tôi mở rộng định thức theo cột đầu tiên:

Chúng tôi thực hiện đơn giản hóa hơn nữa theo phương pháp đã xem xét, tránh đa thức bậc 3:

là các giá trị riêng.

Hãy tìm các vectơ riêng:

1) Không có khó khăn gì với root:

Đừng ngạc nhiên, ngoài bộ công cụ, các biến cũng được sử dụng - không có sự khác biệt ở đây.

Từ phương trình thứ 3, chúng tôi biểu thị - chúng tôi thay thế vào phương trình thứ 1 và thứ 2:

Từ cả hai phương trình sau:

Hãy để sau đó:

2-3) Với nhiều giá trị ta được hệ .

Hãy để chúng tôi viết ra ma trận của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa nó về dạng bậc thang:

Ma trận đường chéo được sắp xếp đơn giản nhất. Câu hỏi đặt ra là liệu có thể tìm được một cơ sở trong đó ma trận của một toán tử tuyến tính sẽ có dạng đường chéo hay không. Một cơ sở như vậy tồn tại.
Cho một không gian tuyến tính R n và một toán tử tuyến tính A hoạt động trong nó; trong trường hợp này, toán tử A nhận R n vào chính nó, nghĩa là A:R n → R n .

Sự định nghĩa. Một vectơ khác 0 x được gọi là vectơ riêng của toán tử A nếu toán tử A biến x thành một vectơ thẳng hàng với nó, tức là . Số λ được gọi là giá trị riêng hay giá trị riêng của toán tử A tương ứng với véc tơ riêng x .
Chúng tôi lưu ý một số tính chất của giá trị riêng và vectơ riêng.
1. Mọi tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng của toán tử A tương ứng với cùng một giá trị riêng λ là một véc tơ riêng có cùng giá trị riêng.
2. Véc tơ riêng toán tử A với các giá trị riêng phân biệt theo từng cặp λ 1 , λ 2 , …, λ m độc lập tuyến tính.
3. Nếu các giá trị riêng λ 1 =λ 2 = λ m = λ, thì giá trị riêng λ tương ứng với không quá m véc tơ riêng độc lập tuyến tính.

Vì vậy, nếu có n vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với các giá trị riêng khác nhau λ 1 , λ 2 , …, λ n , thì chúng độc lập tuyến tính nên có thể lấy chúng làm cơ sở của không gian R n . Chúng ta hãy tìm dạng ma trận của toán tử tuyến tính A trong cơ sở của các vectơ riêng của nó, mà chúng ta hành động với toán tử A trên các vectơ cơ sở: Sau đó .
Do đó, ma trận của toán tử tuyến tính A trên cơ sở các vectơ riêng của nó có dạng đường chéo và các giá trị riêng của toán tử A nằm trên đường chéo.
Có cơ sở nào khác mà ma trận có dạng đường chéo không? Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi định lý sau.

định lý. Ma trận của toán tử tuyến tính A trong cơ sở (i = 1..n) có dạng đường chéo khi và chỉ khi tất cả các vectơ của cơ sở là vectơ riêng của toán tử A.

Quy tắc tìm giá trị riêng và vectơ riêng

Để véc tơ , trong đó x 1 , x 2 , …, x n - toạ độ của vectơ x so với cơ sở và x là vectơ riêng của toán tử tuyến tính A tương ứng với giá trị riêng λ, tức là . Mối quan hệ này có thể được viết dưới dạng ma trận

. (*)

Phương trình (*) có thể được coi là một phương trình để tìm x , và , nghĩa là chúng ta quan tâm đến các nghiệm không tầm thường, vì vectơ riêng không thể bằng không. Được biết, các giải pháp không tầm thường hệ thống đồng nhất Các phương trình tuyến tính tồn tại khi và chỉ khi det(A - λE) = 0. Do đó, để λ là một giá trị riêng của toán tử A, điều cần và đủ là det(A - λE) = 0.
Nếu viết chi tiết phương trình (*) dưới dạng tọa độ thì ta được hệ phương trình tuyến tính phương trình thuần nhất:

(1)
Ở đâu là ma trận của toán tử tuyến tính.

Hệ (1) có nghiệm khác 0 nếu định thức D của nó bằng 0

Chúng tôi có một phương trình để tìm giá trị riêng.
Phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng và vế trái của nó được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận (toán tử) A. Nếu đa thức đặc trưng không có nghiệm thực thì ma trận A không có vectơ riêng và không thể rút gọn về dạng đường chéo.
Đặt λ 1 , λ 2 , …, λ n là nghiệm thực của phương trình đặc trưng và có thể có bội số giữa chúng. Thay lần lượt các giá trị này vào hệ (1), ta tìm được các véc tơ riêng.

Ví dụ 12. Toán tử tuyến tính A tác dụng trong R 3 theo quy luật , trong đó x 1 , x 2 , .., x n là tọa độ của vectơ trong cơ sở , , . Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử này.
Giải pháp. Chúng tôi xây dựng ma trận của toán tử này:
.
Chúng tôi soạn một hệ thống để xác định tọa độ của các vectơ riêng:

Chúng tôi soạn phương trình đặc trưng và giải nó:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Thay λ = -1 vào hệ, ta có:
hoặc
Bởi vì , thì có hai biến phụ thuộc và một biến tự do.
Gọi x 1 là một ẩn số tự do thì Ta giải hệ này bằng mọi cách và tìm nghiệm tổng quát của hệ này: Hệ nghiệm cơ bản gồm một nghiệm, vì n - r = 3 - 2 = 1.
Tập hợp các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = -1 có dạng: , trong đó x 1 là một số bất kỳ khác 0. Hãy chọn một vectơ từ tập hợp này, ví dụ, bằng cách đặt x 1 = 1: .
Lập luận tương tự, chúng tôi tìm thấy vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = 3: .
Trong không gian R 3 cơ sở bao gồm ba vectơ độc lập tuyến tính, nhưng chúng tôi chỉ thu được hai vectơ riêng độc lập tuyến tính, từ đó cơ sở trong R 3 không thể được hình thành. Do đó, ma trận A của toán tử tuyến tính không thể rút gọn về dạng đường chéo.

Ví dụ 13 Cho một ma trận .
1. Chứng minh rằng vectơ là một vector riêng của ma trận A. Tìm giá trị riêng tương ứng với vector riêng này.
2. Tìm cơ sở để ma trận A có dạng đường chéo.
Giải pháp.
1. Nếu , thì x là một véc tơ riêng

.
Vectơ (1, 8, -1) là một vectơ riêng. Giá trị riêng λ = -1.
Ma trận có dạng đường chéo trong cơ sở bao gồm các vectơ riêng. Một trong số đó là nổi tiếng. Hãy tìm phần còn lại.
Chúng tôi đang tìm kiếm các vectơ riêng từ hệ thống:

Phương trình đặc trưng: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Tìm vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = -3:

Hạng của ma trận của hệ này bằng hai và bằng với sốẩn số, vì vậy hệ này chỉ có nghiệm bằng không x 1 = x 3 = 0. x 2 ở đây có thể là bất kỳ thứ gì khác không, ví dụ, x 2 = 1. Do đó, vectơ (0,1,0) là một vectơ riêng , tương ứng với λ = -3. Hãy kiểm tra:
.
Nếu λ = 1 thì ta có hệ
Hạng của ma trận là hai. Gạch bỏ phương trình cuối cùng.
Gọi x 3 là ẩn số tự do. Khi đó x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
Giả sử x 3 = 1, ta có (-3,-9,1) - một véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = 1. Kiểm tra:

.
Vì các giá trị riêng là thực và khác nhau nên các vectơ tương ứng với chúng độc lập tuyến tính nên có thể lấy chúng làm cơ sở trong R 3 . Như vậy, trên cơ sở , , ma trận A có dạng:
.
Không phải mọi ma trận của toán tử tuyến tính A:R n → R n đều có thể rút gọn về dạng đường chéo, vì đối với một số toán tử tuyến tính, có thể có ít hơn n véc tơ riêng độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, nếu ma trận là đối xứng thì có đúng m vectơ độc lập tuyến tính tương ứng với nghiệm của phương trình đặc trưng của bội m.

Sự định nghĩa. Ma trận đối xứng được gọi là Ma trận vuông, trong đó các phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau, tức là trong đó .
Nhận xét. 1. Mọi giá trị riêng của một ma trận đối xứng là thực.
2. Các vectơ riêng của một ma trận đối xứng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau theo cặp là trực giao.
Là một trong nhiều ứng dụng của thiết bị được nghiên cứu, chúng tôi xem xét vấn đề xác định dạng của đường cong bậc hai.