Việc một hạt đi qua một vùng mà theo các định luật cơ học cổ điển, nó không thể xuyên qua, có thể được giải thích bằng hệ thức bất định. Động lượng không chắc chắn ar trên phân khúc à = là Ar > -. Liên kết với sự lây lan này trong các giá trị của động lượng, động năng

302

Năng lượng của Séc có thể được

đủ để hoàn thành

hóa ra năng lượng của hạt lớn hơn thế năng.

Nền tảng của lý thuyết về nút giao đường hầm đã được đặt ra trong các tác phẩm của L.I.

Đường hầm xuyên qua một rào cản tiềm năng là cơ sở của nhiều hiện tượng trong vật lý chất rắn (ví dụ: hiện tượng trong lớp tiếp xúc ở giao diện giữa hai chất bán dẫn), vật lý nguyên tử và hạt nhân (ví dụ: phân rã, phản ứng nhiệt hạch).

§ 222. Dao động điều hòa tuyến tính

Trong cơ học lượng tử

Dao động điều hòa tuyến tính- một hệ thống thực hiện chuyển động một chiều dưới tác dụng của lực gần như đàn hồi là một mô hình được sử dụng trong nhiều vấn đề của lý thuyết cổ điển và lượng tử (xem § 142). Con lắc lò xo, vật lý và toán học là những ví dụ về dao động điều hòa cổ điển.

Thế năng của một dao động điều hòa [xem. (141,5)] là

Đâu là tần số tự nhiên của bộ dao động; T - khối lượng hạt.

Sự phụ thuộc (222.1) có dạng parabol (Hình 303), tức là "Giếng tiềm năng" trong trường hợp này là parabol.

Biên độ của các dao động nhỏ của một dao động cổ điển được xác định bằng năng lượng toàn phần của nó e(xem hình 17).

Dinger, có tính đến biểu thức (222.1) cho thế năng. Khi đó các trạng thái dừng của bộ dao động lượng tử được xác định bởi phương trình Schrödinger có dạng

= 0, (222.2)

Ở đâu E - năng lượng toàn phần của dao động. Trong lý thuyết phương trình vi phân

Người ta chứng minh rằng phương trình (222.2) chỉ được giải đối với các giá trị riêng năng lượng

(222.3)

Công thức (222.3) cho thấy năng lượng của một dao động lượng tử có thể

chỉ có giá trị rời rạc, I E. được lượng tử hóa. Năng lượng được giới hạn từ bên dưới bởi một giá trị khác không, như đối với một “hố” hình chữ nhật với “những bức tường” cao vô hạn (xem § 220), bởi một giá trị năng lượng tối thiểu = Su-

sự tồn tại của một năng lượng tối thiểu - nó được gọi là năng lượng điểm không - là điển hình cho các hệ lượng tử và là hệ quả trực tiếp của hệ thức bất định.

Sự hiện diện của các dao động bằng không có nghĩa là hạt không thể ở đáy của “giếng thế năng” (bất kể hình dạng của giếng). Thật vậy, "rơi xuống đáy hố" gắn liền với sự biến mất của động lượng của hạt, đồng thời, sự không chắc chắn của nó. Khi đó độ bất định của tọa độ trở nên lớn tùy ý, do đó mâu thuẫn với sự có mặt của hạt trong

"lỗ hổng tiềm năng".

Kết luận về sự hiện diện năng lượng của các dao động tại điểm không của một bộ dao động lượng tử mâu thuẫn với kết luận của lý thuyết cổ điển, theo đó năng lượng nhỏ nhất mà một bộ dao động có thể có bằng không (tương ứng với một hạt đang đứng yên ở vị trí cân bằng) . Ví dụ, theo kết luận của vật lý cổ điển tại t= 0, năng lượng của chuyển động dao động của các nguyên tử của tinh thể sẽ biến mất. Do đó, sự tán xạ ánh sáng do dao động của các nguyên tử cũng sẽ biến mất. Tuy nhiên, thí nghiệm cho thấy cường độ tán xạ ánh sáng khi nhiệt độ giảm không bằng 0 mà có xu hướng tiến tới một giá trị giới hạn nhất định, chứng tỏ rằng tại t 0 dao động của các nguyên tử trong tinh thể không ngừng. Đây là một xác nhận về sự hiện diện của dao động bằng không.

Từ công thức (222.3) cũng suy ra rằng các mức năng lượng của một dao động điều hòa tuyến tính nằm ở những khoảng cách bằng nhau (xem Hình 303), cụ thể là khoảng cách giữa các mức năng lượng liền kề bằng và giá trị năng lượng cực tiểu. =

Một giải pháp nghiêm ngặt cho vấn đề bộ dao động lượng tử dẫn đến một sự khác biệt đáng kể khác so với giải pháp cổ điển.

Dạng phương trình sóng của một hệ vật lý được xác định bởi Hamiltonian của nó, do đó, có ý nghĩa cơ bản trong toàn bộ bộ máy toán học của cơ học lượng tử.

Dạng Hamilton của một hạt tự do đã được thiết lập bởi các yêu cầu chung liên quan đến tính đồng nhất và đẳng hướng của không gian và nguyên lý tương đối của Galileo. Trong cơ học cổ điển, những yêu cầu này dẫn đến sự phụ thuộc bậc hai của năng lượng của hạt vào động lượng của nó: trong đó hằng số được gọi là khối lượng của hạt (xem I, § 4). Trong cơ học lượng tử, các yêu cầu giống nhau dẫn đến cùng một mối quan hệ đối với các giá trị riêng của năng lượng và động lượng - các đại lượng bảo toàn (đối với hạt tự do) có thể đo được đồng thời.

Nhưng để mối quan hệ giữ cho tất cả các giá trị riêng của năng lượng và động lượng, nó cũng phải có giá trị đối với các toán tử của chúng:

Thay (15.2) vào đây, ta thu được Hamiltonian của hạt chuyển động tự do ở dạng

toán tử Laplace ở đâu.

Hamiltonian của một hệ gồm các hạt không tương tác bằng tổng các Hamiltonian của mỗi hạt:

trong đó chỉ số a đánh số các hạt; là toán tử Laplace, trong đó sự phân biệt được thực hiện đối với tọa độ của hạt.

Trong cơ học cổ điển (phi tương đối tính), tương tác của các hạt được mô tả bằng một thuật ngữ cộng trong hàm Hamilton - thế năng tương tác, là một hàm của tọa độ hạt.

Bằng cách thêm chức năng tương tự vào Hamiltonian của hệ thống, tương tác của các hạt trong cơ học lượng tử cũng được mô tả:

thuật ngữ đầu tiên có thể được coi là toán tử động năng và thuật ngữ thứ hai là toán tử thế năng. Đặc biệt, Hamiltonian cho một hạt trong trường bên ngoài là

trong đó U(x, y, z) là thế năng của hạt trong trường ngoài.

Việc thay các biểu thức (17.2)-(17.5) vào phương trình tổng quát (8.1) sẽ cho các phương trình sóng của các hệ tương ứng. Chúng tôi viết ở đây phương trình sóng cho một hạt trong một trường bên ngoài

Phương trình (10.2), xác định trạng thái dừng, có dạng

Phương trình (17.6) và (17.7) được Schrödinger thiết lập năm 1926 và được gọi là phương trình Schrödinger.

Đối với hạt tự do, phương trình (17.7) có dạng

Phương trình này có các nghiệm hữu hạn trong toàn bộ không gian đối với bất kỳ giá trị dương nào của năng lượng E. Đối với các trạng thái có hướng chuyển động nhất định, các nghiệm này là hàm riêng của toán tử động lượng và . Các hàm sóng tổng (phụ thuộc vào thời gian) của các trạng thái đứng yên như vậy có dạng

(17,9)

Mỗi hàm như vậy - sóng phẳng - mô tả trạng thái trong đó hạt có năng lượng E và động lượng nhất định. Tần số của sóng này là và vectơ sóng ứng với bước sóng của nó được gọi là bước sóng de Broglie của hạt.

Do đó, phổ năng lượng của một hạt chuyển động tự do hóa ra là liên tục, kéo dài từ 0 đến Mỗi giá trị riêng này (ngoại trừ chỉ có giá trị là suy biến và sự suy biến là bội số vô hạn. Thật vậy, đối với mỗi giá trị khác không của E tương ứng với một tập hợp vô hạn các hàm riêng (17, 9), khác nhau về hướng vectơ cho cùng một giá trị tuyệt đối.

Chúng ta hãy theo dõi quá trình chuyển đổi giới hạn sang cơ học cổ điển xảy ra như thế nào trong phương trình Schrödinger, xét cho đơn giản chỉ một hạt trong trường ngoài. Thay thế vào phương trình Schrödinger (17.6) biểu thức giới hạn (6.1) của hàm sóng, chúng ta thu được, sau khi đạo hàm,

Phương trình này có các số hạng thuần thực và thuần ảo (nhớ lại rằng S và a là số thực); đánh đồng cả hai riêng biệt với 0, chúng tôi thu được hai phương trình:

Bỏ qua số hạng chứa trong phương trình đầu tiên, chúng ta thu được

(17,10)

tức là, đúng như vậy, phương trình Hamilton-Jacobi cổ điển cho tác dụng của hạt S. Nhân tiện, chúng ta thấy rằng đối với , cơ học cổ điển có giá trị cho đến các giá trị của thứ tự đầu tiên (chứ không phải 0) cho đến và bao gồm.

Phương trình thứ hai thu được sau khi nhân với 2a có thể được viết lại dưới dạng

Phương trình này có một ý nghĩa vật lý rõ ràng: có mật độ xác suất tìm thấy một hạt ở nơi này hay nơi khác trong không gian, có vận tốc cổ điển v của hạt. Do đó, phương trình (17.11) không là gì ngoài một phương trình liên tục chỉ ra rằng mật độ xác suất "di chuyển" theo các định luật của cơ học cổ điển với vận tốc cổ điển v tại mỗi điểm.

Nhiệm vụ

Tìm quy luật biến đổi của hàm sóng dưới phép biến đổi Galilê.

Giải pháp. Chúng ta hãy thực hiện một phép biến đổi trên hàm sóng của chuyển động tự do của một hạt (sóng phẳng). Vì bất kỳ hàm nào cũng có thể được mở rộng dưới dạng sóng phẳng, nên luật biến đổi cũng sẽ được tìm thấy cho một hàm sóng tùy ý.

Sóng phẳng trong hệ quy chiếu K và K" (K" chuyển động tương đối so với K với tốc độ V):

và động lượng và năng lượng của hạt trong cả hai hệ thống có liên quan với nhau bằng các công thức

(xem I, § 8), Thay các biểu thức này vào, chúng ta có được

Ở dạng này, công thức này không còn chứa các đại lượng đặc trưng cho chuyển động tự do của hạt và thiết lập định luật chung mong muốn cho sự biến đổi hàm sóng của trạng thái tùy ý của hạt. Đối với một hệ thống các hạt, số mũ trong (1) phải bao gồm tổng trên các hạt.

Phương trình Schrödinger tổng quát. Phương trình Schrödinger cho trạng thái đứng yên

Diễn giải thống kê về sóng de Broglie (xem § 216) và hệ thức bất định Heisenberg (xem 5 215) dẫn đến kết luận rằng phương trình chuyển động trong cơ học lượng tử, mô tả chuyển động của các vi hạt trong các trường lực khác nhau, phải là một phương trình từ mà các vật quan sát được trải nghiệm các tính chất sóng của các hạt. Phương trình cơ bản phải là phương trình cho hàm sóng Ψ (x, y, z, t), vì nó chính xác là điều này, hay chính xác hơn là đại lượng |Ψ| 2 , xác định xác suất để hạt ở lại tại thời điểm t trong thể tích dV, nghĩa là, trong vùng có tọa độ x và x+dx, y và y+dy, z và z+dz. Vì phương trình mong muốn phải xét đến tính chất sóng của các hạt nên nó phải là một phương trình sóng, tương tự như phương trình mô tả sóng điện từ.

Phương trình cơ bản của cơ học lượng tử phi tương đối tính được E. Schrödinger xây dựng vào năm 1926. Phương trình Schrödinger, giống như tất cả các phương trình cơ bản của vật lý học (ví dụ, phương trình Newton trong cơ học cổ điển và phương trình Maxwell cho trường điện từ), không được suy ra, mà được mặc định. Tính đúng đắn của phương trình này được xác nhận bằng sự đồng thuận với kinh nghiệm về các kết quả thu được với sự trợ giúp của nó, do đó, mang lại cho nó đặc tính của một quy luật tự nhiên. Phương trình Schrödinger có dạng

trong đó h=h/(2π), m là khối lượng của hạt, ∆ là toán tử Laplace ( ),

i - đơn vị ảo, U (x, y, z, t) - hàm thế năng của một hạt trong trường lực mà nó chuyển động, Ψ (x, y, z, t ) - hàm sóng mong muốn của hạt.

Phương trình (217.1) đúng cho bất kỳ hạt nào (có spin bằng 0; xem § 225) chuyển động với tốc độ nhỏ (so với tốc độ ánh sáng), tức là với tốc độ υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

phải liên tục; 3) hàm |Ψ| 2 phải tích hợp được; điều kiện này trong các trường hợp đơn giản nhất rút gọn thành điều kiện chuẩn hóa xác suất (216.3).

Để đi đến phương trình Schrödinger, chúng ta hãy xét một hạt chuyển động tự do, mà theo ý tưởng của de Broglie, hạt này có liên hệ với một sóng phẳng. Để đơn giản, ta xét trường hợp một chiều. Phương trình của sóng phẳng truyền dọc theo trục x là (xem § 154)

Hoặc trong ký hiệu phức tạp . Do đó, sóng phẳng de Broglie có dạng

(217.2)

(có tính đến ω = E/h, k=p/h). Trong cơ học lượng tử, số mũ được lấy với dấu trừ, nhưng chỉ vì |Ψ| 2 , thì điều này (xem (217.2)) là không cần thiết. Sau đó

,

; (217.3)

Sử dụng mối quan hệ giữa năng lượng E và động lượng p (E = p 2 /(2m)) và thay các biểu thức (217.3), chúng ta thu được phương trình vi phân

trùng với phương trình (217.1) đối với trường hợp U = 0 (ta coi là hạt tự do).

Nếu một hạt chuyển động trong một trường lực đặc trưng bởi thế năng U, thì năng lượng toàn phần E là tổng của động năng và thế năng. Thực hiện suy luận tương tự bằng cách sử dụng mối quan hệ giữa E và p (trong trường hợp này, p 2 / (2m) = E - U), chúng ta quay về một phương trình vi phân trùng với (217.1).

Lập luận trên không nên được coi là dẫn xuất của phương trình Schrödinger. Họ chỉ giải thích làm thế nào để đạt được phương trình này. Bằng chứng về tính đúng đắn của phương trình Schrödinger là sự phù hợp với kinh nghiệm của các kết luận mà nó dẫn đến.

Phương trình (217.1) là phương trình Schrödinger tổng quát. Nó còn được gọi là phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian. Đối với nhiều hiện tượng vật lý xảy ra trong thế giới vi mô, phương trình (217.1) có thể được đơn giản hóa bằng cách loại bỏ sự phụ thuộc của Ψ vào thời gian, hay nói cách khác là tìm phương trình Schrödinger cho trạng thái dừng - trạng thái có giá trị năng lượng cố định. Điều này có thể xảy ra nếu trường lực trong đó hạt chuyển động đứng yên, nghĩa là hàm U = U(x, y, z ) không phụ thuộc rõ ràng vào thời gian và có ý nghĩa thế năng. Trong trường hợp này, nghiệm của phương trình Schrödinger có thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai hàm, một trong số đó là hàm chỉ tọa độ, hàm kia chỉ là hàm của thời gian và sự phụ thuộc vào thời gian được biểu thị bằng hệ số

,

nơi E - năng lượng toàn phần của hạt, không đổi trong trường hợp trường đứng yên. Thay (217.4) vào (217.1), ta được

từ đó, sau khi chia cho nhân tử chung e – i(E/ h)t và các phép biến đổi tương ứng, ta đi đến phương trình xác định hàm ψ:

(217.5)

Phương trình (217.5) được gọi là phương trình Schrödinger cho trạng thái dừng.

Phương trình này bao gồm tổng năng lượng E của hạt như một tham số. Trong lý thuyết về phương trình vi phân, người ta chứng minh rằng các phương trình như vậy có vô số nghiệm, từ đó các nghiệm có ý nghĩa vật lý được chọn bằng cách áp đặt các điều kiện biên. Đối với phương trình Schrödinger, những điều kiện như vậy là điều kiện về tính đều đặn của các hàm sóng: các hàm sóng phải hữu hạn, có một giá trị và liên tục cùng với các đạo hàm bậc nhất của chúng. Như vậy, chỉ những nghiệm được biểu diễn bởi hàm chính quy ψ . Nhưng các giải pháp thông thường không diễn ra đối với bất kỳ giá trị nào của tham số E, mà chỉ đối với một tập hợp nhất định của chúng, đặc trưng của vấn đề đã cho. Các giá trị năng lượng này được gọi là nội tại. Các giải pháp tương ứng với các giá trị riêng năng lượng được gọi là hàm riêng. Các giá trị riêng E có thể tạo thành một chuỗi liên tục hoặc rời rạc. Trong trường hợp thứ nhất, người ta nói về một quang phổ liên tục, hoặc liên tục, trong trường hợp thứ hai, nói về một quang phổ rời rạc.

1. Giới thiệu

Thuyết lượng tử ra đời vào năm 1900, khi Max Planck đề xuất một kết luận lý thuyết về mối quan hệ giữa nhiệt độ của một vật thể và bức xạ phát ra từ vật thể này - một kết luận mà trong một thời gian dài đã lảng tránh các nhà khoa học khác. các bộ dao động phát ra bức xạ, nhưng đồng thời, ông tin rằng năng lượng của các bộ dao động (và do đó, bức xạ do chúng phát ra) tồn tại dưới dạng các phần nhỏ rời rạc, mà Einstein gọi là lượng tử. Năng lượng của mỗi lượng tử tỷ lệ với tần số bức xạ. Mặc dù công thức của Planck được ngưỡng mộ rộng rãi, nhưng các giả định mà ông đưa ra vẫn không thể hiểu được, vì chúng mâu thuẫn với vật lý cổ điển.

Năm 1905, Einstein sử dụng lý thuyết lượng tử để giải thích một số khía cạnh của hiệu ứng quang điện - sự phát xạ của các electron từ bề mặt kim loại tiếp xúc với bức xạ cực tím. Trên đường đi, Einstein lưu ý một điều dường như nghịch lý: ánh sáng, vốn đã được biết đến trong hai thế kỷ là truyền đi theo sóng liên tục, trong một số trường hợp nhất định có thể hành xử giống như một dòng hạt.

Khoảng tám năm sau, Niels Bohr mở rộng lý thuyết lượng tử sang nguyên tử và giải thích tần số của sóng phát ra từ các nguyên tử bị kích thích trong ngọn lửa hoặc trong điện tích. Ernest Rutherford đã chỉ ra rằng khối lượng của một nguyên tử gần như hoàn toàn tập trung ở hạt nhân trung tâm mang điện tích dương và được bao quanh bởi những khoảng cách tương đối lớn bởi các electron mang điện tích âm, do đó toàn bộ nguyên tử là trung hòa về điện. Bohr đề xuất rằng các electron chỉ có thể ở trong một số quỹ đạo rời rạc nhất định tương ứng với các mức năng lượng khác nhau và "sự nhảy vọt" của một electron từ quỹ đạo này sang quỹ đạo khác, với năng lượng thấp hơn, đi kèm với sự phát xạ của một photon, có năng lượng bằng nhau. đến sự chênh lệch năng lượng giữa hai quỹ đạo. Theo lý thuyết của Planck, tần số tỷ lệ thuận với năng lượng của photon. Do đó, mô hình nguyên tử Bohr đã thiết lập mối liên hệ giữa các vạch quang phổ khác nhau đặc trưng của một chất phát ra bức xạ và cấu trúc nguyên tử. Mặc dù đạt được thành công ban đầu, nhưng mô hình nguyên tử của Bohr sớm cần phải sửa đổi để loại bỏ sự khác biệt giữa lý thuyết và thực nghiệm. Ngoài ra, lý thuyết lượng tử ở giai đoạn đó vẫn chưa cung cấp một quy trình hệ thống để giải nhiều bài toán lượng tử.

Một đặc điểm cơ bản mới của thuyết lượng tử xuất hiện vào năm 1924, khi de Broglie đưa ra một giả thuyết cấp tiến về bản chất sóng của vật chất: nếu sóng điện từ, chẳng hạn như ánh sáng, đôi khi hành xử giống như các hạt (như Einstein đã chỉ ra), thì các hạt, chẳng hạn như một electron, trong những trường hợp nhất định, có thể hoạt động giống như sóng. Trong công thức của de Broglie, tần số tương ứng với một hạt có liên quan đến năng lượng của nó, như trong trường hợp của một photon (một hạt ánh sáng), nhưng biểu thức toán học của de Broglie là một mối quan hệ tương đương giữa bước sóng, khối lượng của hạt và vận tốc (động lượng). Sự tồn tại của sóng điện tử đã được chứng minh bằng thực nghiệm vào năm 1927 bởi Clinton Davisson và Lester Germer ở ​​Hoa Kỳ và bởi John Paget Thomson ở Anh.

Bị ấn tượng bởi những bình luận của Einstein về những ý tưởng của de Broglie, Schrödinger đã cố gắng áp dụng mô tả sóng của các electron để xây dựng một lý thuyết lượng tử nhất quán, không liên quan đến mô hình nguyên tử không đầy đủ của Bohr. Theo một nghĩa nào đó, ông có ý định đưa lý thuyết lượng tử đến gần hơn với vật lý cổ điển, vốn đã tích lũy nhiều ví dụ về mô tả toán học của sóng. Nỗ lực đầu tiên do Schrödinger thực hiện năm 1925 đã thất bại.

Vận tốc của các electron trong lý thuyết II của Schrödinger gần bằng tốc độ ánh sáng, đòi hỏi phải đưa vào đó thuyết tương đối đặc biệt của Einstein và tính đến sự gia tăng đáng kể về khối lượng của electron mà nó dự đoán với vận tốc rất cao.

Một trong những lý do khiến Schrödinger thất bại là ông đã không tính đến sự có mặt của một tính chất cụ thể của electron, ngày nay được gọi là spin (sự quay của một electron quanh trục của chính nó, giống như một đỉnh), mà vào thời điểm đó ít được biết đến.

Nỗ lực tiếp theo được Schrödinger thực hiện vào năm 1926. Lần này, vận tốc electron được ông chọn nhỏ đến mức nhu cầu liên quan đến thuyết tương đối tự nó biến mất.

Nỗ lực thứ hai đã thành công rực rỡ với sự dẫn xuất của phương trình sóng Schrödinger, phương trình đưa ra một mô tả toán học của vật chất theo hàm sóng. Schrödinger gọi lý thuyết của ông là cơ học sóng. Các nghiệm của phương trình sóng phù hợp với các quan sát thực nghiệm và có ảnh hưởng sâu sắc đến sự phát triển tiếp theo của thuyết lượng tử.

Trước đó không lâu, Werner Heisenberg, Max Born và Pascual Jordan đã công bố một phiên bản khác của lý thuyết lượng tử, được gọi là cơ học ma trận, mô tả các hiện tượng lượng tử bằng cách sử dụng các bảng quan sát. Các bảng này là các tập hợp toán học được sắp xếp theo một cách nhất định, được gọi là ma trận, trên đó, theo các quy tắc đã biết, có thể thực hiện các phép toán khác nhau. Cơ học ma trận cũng cho phép đạt được sự thống nhất với dữ liệu thực nghiệm quan sát được, nhưng không giống như cơ học sóng, nó không chứa bất kỳ tham chiếu cụ thể nào đến tọa độ không gian hoặc thời gian. Heisenberg đặc biệt nhấn mạnh vào việc từ bỏ mọi mô hình hoặc biểu diễn trực quan đơn giản để chỉ ủng hộ những thuộc tính có thể được xác định từ thực nghiệm.

Schrödinger đã chỉ ra rằng cơ học sóng và cơ học ma trận là tương đương nhau về mặt toán học. Hiện được gọi chung là cơ học lượng tử, hai lý thuyết này đã cung cấp cơ sở chung đã được chờ đợi từ lâu để mô tả các hiện tượng lượng tử. Nhiều nhà vật lý thích cơ học sóng hơn, bởi vì bộ máy toán học của nó quen thuộc hơn với họ và các khái niệm của nó có vẻ "vật lý" hơn; hoạt động trên ma trận là cồng kềnh hơn.

Chức năng Ψ. Chuẩn hóa xác suất.

Việc phát hiện ra tính chất sóng của các vi hạt chỉ ra rằng cơ học cổ điển không thể đưa ra một mô tả chính xác về hành vi của các hạt đó. Cần phải tạo ra cơ học của các vi hạt, cơ học này cũng sẽ tính đến các đặc tính sóng của chúng. Cơ học mới do Schrödinger, Heisenberg, Dirac và những người khác tạo ra được gọi là cơ học sóng hay cơ học lượng tử.

Sóng phẳng De Broglie

là một dạng sóng rất đặc biệt tương ứng với chuyển động tự do đều của hạt theo một hướng nhất định và với một xung lượng nhất định. Nhưng một hạt, ngay cả trong không gian tự do và đặc biệt là trong trường lực, có thể thực hiện các chuyển động khác được mô tả bởi các hàm sóng phức tạp hơn. Trong những trường hợp này, một mô tả đầy đủ về trạng thái của một hạt trong cơ học lượng tử không được đưa ra bởi sóng phẳng de Broglie, mà bởi một số hàm phức tạp hơn

Thông qua hàm sóng, xác suất tương đối của việc phát hiện một hạt ở các vị trí khác nhau trong không gian được xác định. Ở giai đoạn này, khi chỉ thảo luận về các tỷ lệ xác suất, hàm sóng về cơ bản được xác định theo một hệ số không đổi tùy ý. Nếu tại tất cả các điểm trong không gian, hàm sóng được nhân với cùng một hằng số (nói chung là số phức) khác 0, thì sẽ thu được một hàm sóng mới mô tả chính xác trạng thái đó. Thật vô nghĩa khi nói rằng Ψ bằng không tại mọi điểm trong không gian, bởi vì một "hàm sóng" như vậy không bao giờ cho phép người ta kết luận về xác suất tương đối của việc tìm thấy một hạt ở những nơi khác nhau trong không gian. Nhưng sự không chắc chắn trong định nghĩa của Ψ có thể được thu hẹp đáng kể bằng cách chuyển từ xác suất tương đối sang xác suất tuyệt đối. Chúng ta hãy quản lý thừa số bất định trong hàm Ψ sao cho giá trị |Ψ|2dV cho xác suất tuyệt đối tìm thấy hạt trong phần tử thể tích không gian dV. Khi đó |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* là liên hợp phức của Ψ) sẽ có ý nghĩa về mật độ xác suất nên có khi cố gắng phát hiện một hạt trong không gian. Trong trường hợp này, Ψ vẫn sẽ được xác định theo một hệ số phức không đổi tùy ý, tuy nhiên, mô đun của nó bằng một. Với định nghĩa này, điều kiện chuẩn hóa phải được thỏa mãn:

trong đó tích phân được lấy trên toàn bộ không gian vô hạn. Điều đó có nghĩa là trong mọi không gian, hạt sẽ được phát hiện một cách chắc chắn. Nếu lấy tích phân của |Ψ|2 trên một thể tích V1 nào đó, ta tính xác suất tìm thấy hạt trong không gian của thể tích V1.

Chuẩn hóa (2) có thể không thực hiện được nếu tích phân (2) phân kỳ. Ví dụ, đây sẽ là trường hợp trong trường hợp sóng phẳng de Broglie, khi xác suất phát hiện ra một hạt là như nhau tại mọi điểm trong không gian. Nhưng những trường hợp như vậy nên được coi là sự lý tưởng hóa của một tình huống thực tế trong đó hạt không đi đến vô tận mà buộc phải ở trong một vùng không gian giới hạn. Sau đó bình thường hóa không khó.

Vì vậy, ý nghĩa vật lý trực tiếp không được liên kết với chính hàm Ψ, mà với mô đun Ψ*Ψ của nó. Vậy tại sao trong lý thuyết lượng tử, chúng hoạt động với các hàm sóng Ψ, mà không trực tiếp với các đại lượng quan sát được bằng thực nghiệm Ψ*Ψ? Điều này là cần thiết để giải thích các tính chất sóng của vật chất - giao thoa và nhiễu xạ. Ở đây, tình huống hoàn toàn giống như trong bất kỳ lý thuyết sóng nào. Nó (ít nhất là trong phép tính gần đúng tuyến tính) chấp nhận tính hợp lệ của nguyên lý chồng chất của chính các trường sóng chứ không phải cường độ của chúng, và do đó đạt được sự đưa vào lý thuyết về các hiện tượng giao thoa và nhiễu xạ sóng. Vì vậy, trong cơ học lượng tử, nguyên lý chồng chất của các hàm sóng được coi là một trong những định đề chính, bao gồm những điều sau đây.