Phương trình đường thẳng và đường cong trên mặt phẳng. Phương trình của một đường thẳng

Tính chất của đường thẳng trong hình học Euclide.

Có thể vẽ được vô số đường thẳng đi qua một điểm bất kỳ.

Qua hai điểm không trùng nhau có thể vẽ được một đường thẳng.

Hai đường thẳng phân kỳ trong mặt phẳng cắt nhau tại một điểm hoặc

song song (tiếp theo từ trước).

Trong không gian ba chiều, có ba lựa chọn về vị trí tương đối của hai đường thẳng:

• các đường giao nhau;

• các đường thẳng song song;

• các đường thẳng cắt nhau.

Thẳng đường kẻ— đường cong đại số bậc nhất: một đường thẳng trong hệ tọa độ Descartes

được cho trên mặt phẳng bởi phương trình bậc một (phương trình tuyến tính).

Phương trình tổng quát của đường thẳng.

Sự định nghĩa. Bất kỳ đường thẳng nào trên mặt phẳng đều có thể được xác định bằng phương trình bậc nhất

Rìu + Wu + C = 0,

và hằng số A, B không bằng 0 cùng một lúc. Phương trình bậc nhất này được gọi là tổng quan

phương trình của một đường thẳng. Tùy thuộc vào giá trị của hằng số A, B Và VỚI Có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt sau:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- đường thẳng đi qua gốc tọa độ

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Bởi + C = 0)- Đường thẳng song song với trục Ồ

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- Đường thẳng song song với trục OU

. B = C = 0, A ≠0- đường thẳng trùng với trục OU

. A = C = 0, B ≠0- đường thẳng trùng với trục Ồ

Phương trình đường thẳng có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào bất kỳ

điều kiện ban đầu.

Phương trình đường thẳng đi từ một điểm và một vectơ pháp tuyến.

Sự định nghĩa. Trong hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes, một vectơ có các thành phần (A, B)

vuông góc với đường thẳng cho bởi phương trình

Rìu + Wu + C = 0.

Ví dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua một điểm A(1, 2) vuông góc với vectơ (3, -1).

Giải pháp. Với A = 3 và B = -1, hãy lập phương trình đường thẳng: 3x - y + C = 0. Tìm hệ số C

Hãy thay tọa độ của điểm A đã cho vào biểu thức thu được: 3 - 2 + C = 0, do đó.

C = -1. Tổng: phương trình cần tìm: 3x - y - 1 = 0.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.

Cho hai điểm trong không gian M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Và M2(x2,y2,z2), Sau đó phương trình của một đường thẳng,

đi qua các điểm sau:

Nếu bất kỳ mẫu số nào bằng 0 thì tử số tương ứng phải bằng 0. TRÊN

mặt phẳng thì phương trình đường thẳng viết trên được đơn giản hóa:

Nếu như x 1 ≠ x 2 Và x = x 1, Nếu như x 1 = x 2 .

Phân số = k gọi điện dốc thẳng.

Ví dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua các điểm A(1, 2) và B(3, 4).

Giải pháp. Áp dụng công thức viết ở trên, ta có:

Phương trình đường thẳng sử dụng điểm và hệ số góc.

Nếu phương trình tổng quát của đường thẳng Rìu + Wu + C = 0 dẫn đến:

và chỉ định , thì phương trình thu được được gọi là

phương trình đường thẳng có độ dốc k.

Phương trình đường thẳng đi từ một điểm và một vectơ chỉ phương.

Bằng cách tương tự với điểm xét phương trình đường thẳng đi qua vectơ pháp tuyến, bạn có thể nhập bài toán

đường thẳng đi qua một điểm và vectơ chỉ hướng của đường thẳng đó.

Sự định nghĩa. Mọi vectơ khác 0 (α 1 , α 2), các thành phần của nó thỏa mãn điều kiện

Aα 1 + Ba2 = 0 gọi điện vectơ chỉ hướng của đường thẳng.

Rìu + Wu + C = 0.

Ví dụ. Tìm phương trình đường thẳng có vectơ chỉ phương (1, -1) và đi qua điểm A(1, 2).

Giải pháp. Chúng ta sẽ tìm phương trình của đường mong muốn ở dạng: Ax + By + C = 0. Theo định nghĩa,

các hệ số phải thỏa mãn các điều kiện sau:

1 * A + (-1) * B = 0, tức là A = B.

Khi đó phương trình đường thẳng có dạng: Ax + Ay + C = 0, hoặc x + y + C / A = 0.

Tại x = 1, y = 2 chúng tôi nhận được C/A = -3, I E. phương trình cần thiết:

x + y - 3 = 0

Phương trình đường thẳng trong các đoạn thẳng.

Nếu trong phương trình tổng quát của đường thẳng Ах + Ву + С = 0 С≠0, thì chia cho -С, ta được:

hoặc ở đâu

Ý nghĩa hình học của các hệ số là hệ số a là tọa độ giao điểm

thẳng với trục Ồ, MỘT b- Tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục OU.

Ví dụ. Phương trình tổng quát của đường thẳng được cho x - y + 1 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng này trong các đoạn.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Phương trình bình thường của một dòng.

Nếu cả hai vế của phương trình Rìu + Wu + C = 0 chia cho số được gọi là

yếu tố bình thường hóa, sau đó chúng tôi nhận được

xcosφ + ysinφ - p = 0 -phương trình bình thường của một đường thẳng.

Dấu ± của hệ số chuẩn hóa phải được chọn sao cho μ*C< 0.

R- độ dài đường vuông góc hạ từ gốc tọa độ đến đường thẳng,

MỘT φ - góc tạo bởi đường vuông góc này với chiều dương của trục Ồ.

Ví dụ. Phương trình tổng quát của đường thẳng đã cho 12x - 5y - 65 = 0. Yêu cầu viết các loại phương trình

đường thẳng này.

Phương trình của đường này trong các đoạn:

Phương trình của đường này với độ dốc: (chia cho 5)

Phương trình của một đường thẳng:

cos φ = 12/13; tội lỗi φ= -5/13; p = 5.

Cần lưu ý rằng không phải mọi đường thẳng đều có thể được biểu diễn bằng phương trình thành các đoạn, ví dụ: đường thẳng,

song song với trục hoặc đi qua gốc tọa độ.

Góc giữa các đường thẳng trên mặt phẳng.

Sự định nghĩa. Nếu hai dòng được đưa ra y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, thì góc nhọn giữa các đường thẳng này

sẽ được định nghĩa là

Hai đường thẳng song song nếu k 1 = k 2. Hai đường thẳng vuông góc

Nếu như k 1 = -1/ k 2 .

Định lý.

Trực tiếp Rìu + Wu + C = 0 Và A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 song song khi các hệ số tỷ lệ thuận

A 1 = λA, B 1 = λB. Nếu cũng С 1 = λС, thì các đường thẳng trùng nhau. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

được coi là nghiệm của hệ phương trình của các đường thẳng này.

Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Sự định nghĩa. Đường thẳng đi qua một điểm M 1 (x 1, y 1) và vuông góc với đường thẳng y = kx + b

được biểu diễn bằng phương trình:

Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.

Định lý. Nếu được cho một điểm M(x 0, y 0), thì khoảng cách đến đường thẳng Rìu + Wu + C = 0định nghĩa là:

Bằng chứng. Hãy để điểm M 1 (x 1, y 1)- đáy của đường vuông góc rơi khỏi một điểm Mđể cho

trực tiếp. Khi đó khoảng cách giữa các điểm M Và M 1:

(1)

tọa độ x 1 Và lúc 1 có thể tìm được nghiệm của hệ phương trình:

Phương trình thứ hai của hệ là phương trình đường thẳng đi qua điểm M 0 vuông góc với nhau

đường thẳng đã cho. Nếu biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

thì giải ra ta được:

Thay các biểu thức này vào phương trình (1), chúng ta tìm thấy:

Định lý đã được chứng minh.

Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm cho trước theo một hướng cho trước. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước. Góc giữa hai đường thẳng. Điều kiện song song và vuông góc của hai đường thẳng. Xác định giao điểm của hai đường thẳng

Ví dụ về các vấn đề với giải pháp

Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm: (-1, 2) và (2, 1).

Giải pháp.

Theo phương trình.

tin vào nó x 1 = -1, y 1 = 2, x 2 = 2, y 2 = 1 (bất kể điểm nào được coi là đầu tiên và điểm nào được coi là thứ hai), chúng ta nhận được

sau khi đơn giản hóa, chúng ta thu được phương trình cần thiết cuối cùng ở dạng

x + 3y - 5 = 0.

Các cạnh của tam giác được cho bởi các phương trình: (AB ) 2 x + 4 y + 1 = 0, (AC. ) x - y + 2 = 0, (BC ) 3 x + 4 y -12 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.

Giải pháp.

Tọa độ đỉnh MỘT chúng ta tìm thấy bằng cách giải một hệ gồm các phương trình của các cạnh AB Và AC.:

Chúng ta giải một hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số bằng các phương pháp đã biết từ đại số cơ bản và chúng ta thu được

đỉnh MỘT có tọa độ

Tọa độ đỉnh B chúng ta sẽ tìm được bằng cách giải hệ phương trình các cạnh AB Và BC:

chúng tôi nhận .

Tọa độ đỉnh C ta thu được bằng cách giải hệ phương trình các cạnh BC Và AC.:

đỉnh C có tọa độ.

MỘT (2, 5) song song với đường thẳng 3x - 4 y + 15 = 0.

Giải pháp.

Chúng ta hãy chứng minh rằng nếu hai đường thẳng song song thì phương trình của chúng luôn có thể được biểu diễn sao cho chúng chỉ khác nhau về số hạng tự do. Thật vậy, từ điều kiện song song của hai đường thẳng suy ra điều đó.

Hãy ký hiệu bằng t giá trị tổng thể của các mối quan hệ này. Sau đó

và từ đó suy ra điều đó

MỘT 1 = MỘT 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Nếu hai dòng

MỘT 1 x + B 1 y + C 1 = 0 và

MỘT 2 x + B 2 y + C 2 = 0

song song, các điều kiện (1) được thỏa mãn và thay thế vào phương trình đầu tiên MỘT 1 và B 1 theo công thức (1) ta sẽ có

MỘT 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,

hoặc chia cả hai vế của phương trình cho , ta được

So sánh phương trình thu được với phương trình đường thẳng thứ hai MỘT 2 x + B 2 y + C 2 = 0, chúng ta lưu ý rằng các phương trình này chỉ khác nhau ở số hạng tự do; Vì vậy, chúng tôi đã chứng minh những gì được yêu cầu. Bây giờ chúng ta hãy bắt đầu giải quyết vấn đề. Chúng ta sẽ viết phương trình của đường thẳng mong muốn sao cho nó chỉ khác với phương trình của đường thẳng đã cho bởi số hạng tự do: chúng ta sẽ lấy hai số hạng đầu tiên trong phương trình mong muốn từ phương trình này và chúng ta sẽ biểu thị nó thời hạn miễn phí bởi C. Khi đó phương trình cần tìm sẽ được viết dưới dạng

3x - 4y + C = 0, (3)

và được xác định C.

Cho vào phương trình (3) giá trị C tất cả các giá trị thực có thể có, chúng ta thu được một tập hợp các đường thẳng song song với giá trị đã cho. Do đó, phương trình (3) là phương trình không phải của một đường thẳng mà của cả một họ đường thẳng song song với một đường thẳng 3 đã cho x - 4y+ 15 = 0. Từ họ đường thẳng này, ta chọn đường thẳng đi qua điểm MỘT(2, 5).

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thì tọa độ của điểm đó phải thỏa mãn phương trình của đường thẳng. Và do đó chúng ta sẽ xác định C, nếu trong (3) ta thay thế tọa độ hiện tại x Và y tọa độ điểm MỘT, I E. x = 2, y= 5. Ta có và C = 14.

Giá trị tìm thấy C thay thế vào (3) và phương trình cần tìm sẽ được viết như sau:

3x - 4y + 14 = 0.

Vấn đề tương tự có thể được giải quyết theo cách khác. Vì các hệ số góc của các đường thẳng song song bằng nhau và đối với một đường thẳng cho trước 3 x - 4y+ hệ số góc 15 = 0 thì hệ số góc của đường thẳng mong muốn cũng bằng nhau.

Bây giờ chúng ta sử dụng phương trình y - y 1 = k(x - x 1) một loạt các đường thẳng. chấm MỘT(2, 5) mà chúng ta đã biết đường thẳng đi qua và do đó thay thế vào phương trình bút chì của đường thẳng y - y 1 = k(x - x 1) giá trị, chúng tôi nhận được

hoặc sau khi đơn giản hóa 3 x - 4y+ 14 = 0, tức là như trước.

Tìm phương trình đường thẳng đi qua một điểmMỘT (3, 4) hợp với đường thẳng 2 một góc 60 độx + 3 y + 6 = 0.

Giải pháp.

Để giải bài toán, ta cần xác định hệ số góc của đường thẳng I và II (xem hình). Chúng ta hãy ký hiệu các hệ số này tương ứng bằng k 1 và k 2, và hệ số góc của đường thẳng này thông qua k. Hiển nhiên là .

Dựa vào định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, khi xác định góc giữa một đường thẳng cho trước và một đường thẳng, em tính theo tử số của phân số trong công thức

trừ đi độ dốc của đường này, vì nó cần được xoay ngược chiều kim đồng hồ quanh điểm C cho đến khi trùng với đường thẳng I.

Xét rằng , chúng tôi nhận được

Khi xác định góc giữa đường thẳng II và một đường thẳng cho trước, ta trừ hệ số góc của đường thẳng II vào tử số của cùng một phân số, tức là k 2, vì đường II phải được xoay ngược chiều kim đồng hồ quanh điểm B cho đến khi nó trùng với dòng này:

Tìm phương trình đường thẳng đi qua một điểmMỘT (5, -1) vuông góc với đường thẳng 3x - 7 y + 14 = 0.

Giải pháp.

Nếu hai dòng

MỘT 1 x + B 1 y + C 1 = 0, MỘT 2 x + B 2 y + C 2 = 0

vuông góc thì đẳng thức

MỘT 1 MỘT 2 + B 1 B 2 = 0,

hoặc, cái gì giống nhau,

MỘT 1 MỘT 2 = -B 1 B 2 ,

và từ đó suy ra điều đó

Chúng tôi biểu thị ý nghĩa chung của các biểu thức này bằng cách t.

Sau đó nó theo sau đó

MỘT 2 = B 1 t, B 2 = -MỘT 1 t.

Thay thế các giá trị này MỘT 2 và B 2 và phương trình dòng thứ hai, ta được

B 1 tx - MỘT 1 ty + C 2 = 0.

hoặc, chia cho t cả hai vế của đẳng thức, ta sẽ có

So sánh phương trình thu được với phương trình đường thẳng thứ nhất

MỘT 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

chúng tôi nhận thấy rằng hệ số của họ tại x Và yđã đổi chỗ cho nhau và dấu giữa số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai đổi ngược lại, nhưng số hạng tự do thì khác nhau.

Bây giờ chúng ta hãy bắt đầu giải quyết vấn đề. Muốn viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ 3 x - 7y+ 14 = 0, dựa vào kết luận trên ta sẽ tiến hành như sau: đổi hệ số cho x Và y và thay dấu trừ giữa chúng bằng dấu cộng và biểu thị số hạng tự do bằng chữ cái C. Chúng tôi nhận được 7 x + 3y + C= 0. Phương trình này là phương trình của họ đường thẳng vuông góc với đường thẳng 3 x - 7y+ 14 = 0. Xác định C từ điều kiện đường thẳng mong muốn đi qua điểm MỘT(5, -1). Biết rằng nếu một đường thẳng đi qua một điểm thì tọa độ của điểm này phải thỏa mãn phương trình của đường thẳng. Thay 5 vào phương trình cuối cùng thay vì x và -1 thay vào đó y, chúng tôi nhận được

Đây là ý nghĩa C Thay vào phương trình cuối cùng và nhận được

7x + 3y - 32 = 0.

Hãy giải bài toán tương tự theo một cách khác, sử dụng phương trình bút chì đường thẳng

y - y 1 = k(x - x 1).

Độ dốc của đường này là 3 x - 7y + 14 = 0

thì hệ số góc của đường thẳng vuông góc với nó,

Thay thế vào phương trình của một cây bút chì đường thẳng , và thay vào đó x 1 và y 1 tọa độ của điểm này MỘT(5, -1), tìm , hoặc 3 y + 3 = -7x+ 35 và cuối cùng là 7 x + 3y- 32 = 0, tức là như trước.

phương trình có rất nhiều đường cong khi đọc tài liệu kinh tế. Hãy để chúng tôi chỉ ra một số đường cong này.

Đường cong bàng quan - một đường cong thể hiện sự kết hợp khác nhau của hai sản phẩm có cùng giá trị hoặc tiện ích đối với người tiêu dùng.

Đường cong ngân sách tiêu dùng - một đường cong thể hiện sự kết hợp khác nhau về số lượng của hai hàng hóa mà người tiêu dùng có thể mua ở một mức thu nhập tiền tệ nhất định.

Đường cong khả năng sản xuất - một đường cong thể hiện sự kết hợp khác nhau của hai hàng hóa hoặc dịch vụ có thể được sản xuất trong điều kiện toàn dụng lao động và sản lượng đầy đủ trong một nền kinh tế có nguồn cung cấp tài nguyên và công nghệ không đổi.

Đường cầu đầu tư - một đường cong thể hiện sự biến động của lãi suất và khối lượng đầu tư ở các mức lãi suất khác nhau.

đường cong Phillips- đường cong thể hiện sự tồn tại của mối quan hệ ổn định giữa tỷ lệ thất nghiệp và tỷ lệ lạm phát.

Đường cong Laffer- đường cong thể hiện mối quan hệ giữa thuế suất và số thu thuế, xác định mức thuế mà số thu thuế đạt tối đa.

Đã có một danh sách thuật ngữ đơn giản cho thấy tầm quan trọng của các nhà kinh tế trong việc có thể xây dựng đồ thị và phân tích phương trình của các đường cong, chẳng hạn như đường thẳng và đường cong bậc hai - hình tròn, hình elip, hyperbola, parabola. Ngoài ra, khi giải một lớp lớn các bài toán, cần phải chọn một vùng trên mặt phẳng giới hạn bởi một số đường cong có phương trình cho trước. Thông thường, các bài toán này được xây dựng như sau: tìm phương án sản xuất tốt nhất cho các nguồn lực nhất định. Việc phân bổ nguồn lực thường có dạng bất bình đẳng, các phương trình được đưa ra. Do đó, chúng ta phải tìm các giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất được lấy bởi một hàm nhất định trong vùng được xác định bởi các phương trình của hệ bất đẳng thức.

Trong hình học giải tích đường thẳng trên máy bayđược định nghĩa là tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình F(x,y)=0. Trong trường hợp này, các hạn chế phải được áp đặt cho hàm F sao cho, một mặt, phương trình này có tập vô hạn nghiệm và mặt khác, sao cho tập nghiệm này không lấp đầy một “phần của mặt phẳng”. .” Một lớp đường quan trọng là những lớp mà hàm F(x,y) là đa thức hai biến, trong trường hợp đó đường được xác định bởi phương trình F(x,y)=0 được gọi là đại số. Các đường đại số được xác định bởi phương trình bậc một là các đường thẳng. Một phương trình bậc hai, có vô số nghiệm, xác định một hình elip, hyperbol, parabol hoặc đường thẳng chia thành hai đường thẳng.

Cho hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật được xác định trên mặt phẳng. Một đường thẳng trên mặt phẳng có thể được xác định bằng một trong các phương trình:

10 . Phương trình tổng quát của đường thẳng

Ax + By + C = 0. (2.1)

Vectơ N(A,B) trực giao với đường thẳng nên các số A và B không đồng thời bằng 0.

20 . Phương trình đường thẳng có độ dốc

y - y o = k (x - x o), (2.2)

trong đó k là độ dốc của đường thẳng, nghĩa là k = tg a , ở đâu a - độ lớn của góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox, M(x o, y o) - một điểm nào đó thuộc đường thẳng.

Phương trình (2.2) có dạng y = kx + b nếu M (0, b) là giao điểm của đường thẳng với trục Oy.

ba mươi . Phương trình của một đường trong đoạn

x/a + y/b = 1, (2.3)

trong đó a và b là giá trị của các đoạn bị cắt bởi đường thẳng trên trục tọa độ.

4 0 . Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước là A(x 1, y 1) và B(x 2, y 2):

. (2.4)

50 . Phương trình đường thẳng đi qua một điểm A(x 1, y 1) song song với một vectơ đã cho Một(m,n)

. (2.5)

6 0 . Phương trình chuẩn của đường thẳng

rn o - p = 0, (2.6)

Ở đâu r- bán kính của một điểm tùy ý M(x, y) của đường thẳng này, N o là vectơ đơn vị trực giao với đường thẳng này và hướng từ gốc đến đường thẳng; p là khoảng cách từ gốc đến đường thẳng.

Pháp tuyến ở dạng tọa độ có dạng:

x cos a + y sin a - p = 0,

nơi một - độ lớn của góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox.

Phương trình bút chì đường thẳng có tâm tại điểm A(x 1, y 1) có dạng:

y-y 1 = l(x-x 1),

tôi ở đâu - thông số chùm tia. Nếu tia được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 thì phương trình của nó có dạng:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

tôi và tôi ở đâu - các tham số chùm tia không chuyển về 0 cùng một lúc.

Góc giữa hai đường thẳng y = kx + b và y = k 1 x + b 1 được cho bởi công thức:

tg j = .

Đẳng thức 1 + k 1 k = 0 là điều kiện cần và đủ để các đường thẳng vuông góc.

Để hai phương trình

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

cho cùng một đường thẳng thì các hệ số của chúng tỷ lệ thuận với nhau là điều cần và đủ:

A 1 /A 2 = B 1 /B 2 = C 1 /C 2.

Các phương trình (2.7), (2.8) xác định hai đường thẳng song song khác nhau nếu A 1 /A 2 = B 1 /B 2 và B 1 /B 2¹ C1/C2; các đường thẳng cắt nhau nếu A 1 /A 2¹B 1 /B 2 .

Khoảng cách d từ điểm M o (x o, y o) đến đường thẳng là độ dài đường vuông góc kẻ từ điểm M o đến đường thẳng. Nếu một đường thẳng được cho bởi một phương trình chuẩn tắc thì d =ê rồ N o - r ê , Ở đâu r o - vectơ bán kính của điểm M o hoặc ở dạng tọa độ d =ê x o cos a + y o sin a - рê .

Phương trình tổng quát của đường cong bậc hai có dạng

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y +a = 0.

Giả sử rằng trong số các hệ số của phương trình a 11, a 12, a 22 có các hệ số khác 0.

Phương trình đường tròn có tâm tại điểm C(a, b) và bán kính bằng R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)

hình eliplà quỹ tích các điểm có tổng khoảng cách từ hai điểm F 1 và F 2 (tiêu điểm) không đổi bằng 2a.

Phương trình chính tắc (đơn giản nhất) của hình elip

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Hình elip cho bởi phương trình (2.10) đối xứng với các trục tọa độ. Tùy chọn Một Và bđược gọi là trục trục hình elip.

Cho a>b thì tiêu điểm F 1 và F 2 nằm trên trục Ox một khoảng
c= từ gốc. Tỉ số c/a = e < 1 называется độ lệch tâm hình elip. Khoảng cách từ điểm M(x, y) của hình elip đến tiêu điểm của nó (vectơ bán kính tiêu cự) được xác định bằng công thức:

r 1 = a - e x, r 2 = a + e x.

Nếu một< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 = b + e x, r 2 = b - e x.

Nếu a = b thì elip là đường tròn có tâm tại gốc bán kính Một.

cường điệulà quỹ tích các điểm có hiệu khoảng cách đến hai điểm F 1 và F 2 (tiêu điểm) bằng giá trị tuyệt đối với số 2a đã cho.

Phương trình hyperbol chính tắc

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Hyperbol cho bởi phương trình (2.11) đối xứng qua các trục tọa độ. Nó cắt trục Ox tại các điểm A (a,0) và A (-a,0) - các đỉnh của hyperbol và không cắt trục Oy. Tham số Một gọi điện bán trục thực, b -bán trục ảo. Tham số c= là khoảng cách từ tiêu điểm đến gốc. Tỉ số c/a = e > 1 được gọi độ lệch tâm cường điệu. Các đường thẳng có phương trình là y =± b/a x được gọi là tiệm cận cường điệu. Khoảng cách từ điểm M(x,y) của hyperbol đến tiêu điểm của nó (vectơ bán kính tiêu cự) được xác định bằng công thức:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

Một hyperbol mà a = b được gọi là đều, phương trình của nó x 2 - y 2 = a 2, và phương trình tiệm cận y =± x. Hyperbol x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 và
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 được gọi là liên hợp.

Parabollà quỹ tích của các điểm có khoảng cách bằng nhau từ một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (directrix).

Phương trình chính tắc của parabol có hai dạng:

1) y 2 = 2рx - parabol đối xứng qua trục Ox.

2) x 2 = 2рy - parabol đối xứng qua trục Oy.

Trong cả hai trường hợp, p>0 và đỉnh của parabol, tức là điểm nằm trên trục đối xứng, đều nằm ở gốc tọa độ.

Một parabol có phương trình y 2 = 2рx có tiêu điểm F(р/2,0) và đường chuẩn x = - р/2, vectơ bán kính tiêu cự của điểm M(x,y) trên nó là r = x+ р/ 2.

Một parabol có phương trình x 2 =2рy có tiêu điểm F(0, р/2) và đường chuẩn y = - р/2; vectơ bán kính tiêu cự của điểm M(x,y) của parabol bằng r = y + p/2.

Phương trình F(x, y) = 0 xác định một đường thẳng chia mặt phẳng thành hai hoặc nhiều phần. Ở một số phần này, bất đẳng thức F(x, y) được thỏa mãn<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Nói cách khác, dòng
F(x, y)=0 tách phần của mặt phẳng, trong đó F(x, y)>0, khỏi phần của mặt phẳng, trong đó F(x, y)<0.

Một đường thẳng có phương trình Ax+By+C = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Trong thực tế, để tìm ra nửa mặt phẳng nào chúng ta có Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, phương pháp điểm kiểm tra được sử dụng. Để làm điều này, hãy lấy một điểm kiểm soát (tất nhiên, không nằm trên một đường thẳng có phương trình là Ax+By+C = 0) và kiểm tra xem biểu thức Ax+By+C có dấu gì tại điểm này. Dấu hiệu tương tự có biểu thức được biểu thị trên toàn bộ nửa mặt phẳng nơi có điểm điều khiển. Trong nửa mặt phẳng thứ hai, Ax+By+C có dấu ngược lại.

Các bất đẳng thức phi tuyến có hai ẩn số được giải theo cách tương tự.

Ví dụ: hãy giải bất đẳng thức x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Nó có thể được viết lại thành (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Phương trình (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 xác định một đường tròn có tâm tại điểm C(2,-3) và bán kính bằng 5. Đường tròn chia mặt phẳng thành hai phần - bên trong và bên ngoài. Để tìm ra bất đẳng thức nào trong số chúng đúng, hãy lấy một điểm kiểm soát ở vùng bên trong, ví dụ: tâm C(2,-3) của vòng tròn của chúng ta. Thay tọa độ điểm C vào vế trái của bất đẳng thức, ta được số âm -25. Điều này có nghĩa là tại mọi điểm nằm trong đường tròn có bất đẳng thức
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Ví dụ 1.5.Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(3,1) nghiêng với đường thẳng 2x+3y-1 = 0 một góc 45o.

Giải pháp.Chúng ta sẽ tìm kiếm dưới dạng y=kx+b. Vì đường thẳng đi qua điểm A nên tọa độ của nó thỏa mãn phương trình của đường thẳng, tức là 1=3k+b,Þ b=1-3k. Độ lớn của góc giữa hai đường thẳng
y= k 1 x+b 1 và y= kx+b được xác định bởi công thức tg j = . Vì hệ số góc k 1 của đường thẳng ban đầu 2x+3y-1=0 bằng - 2/3, và góc j = 45 o thì ta có phương trình xác định k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 hoặc (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Ta có hai giá trị của k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Tìm các giá trị tương ứng của b bằng công thức b=1-3k, ta thu được hai đường thẳng mong muốn, phương trình của chúng là: x - 5y + 2 = 0 và
5x + y - 16 = 0.

Ví dụ 1.6. Ở giá trị tham số nào t các đường thẳng có phương trình 3tx-8y+1 = 0 và (1+t)x-2ty = 0 có song song không?

Giải pháp.Các đường thẳng xác định bởi phương trình tổng quát là song song nếu các hệ số của x Và y tỷ lệ thuận, tức là 3t/(1+t) = -8/(-2t). Giải phương trình thu được, ta tìm được t: t 1 = 2, t 2 = -2/3.

Ví dụ 1.7. Tìm phương trình dây chung của hai đường tròn:
x 2 +y 2 =10 và x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Giải pháp.Hãy tìm giao điểm của các đường tròn để thực hiện việc giải hệ phương trình:

.

Giải phương trình thứ nhất, ta tìm được các giá trị x 1 = 3, x 2 = 1. Từ phương trình thứ hai - các giá trị tương ứng y: y 1 = 1, y 2 = 3. Bây giờ ta thu được phương trình dây tổng quát khi biết hai điểm A(3,1) và B(1,3) thuộc đường thẳng này: (y-1)/(3 -1) = (x-3)/(1-3), hoặc y+ x - 4 = 0.

Ví dụ 1.8. Làm thế nào các điểm nằm trên mặt phẳng có tọa độ thỏa mãn điều kiện (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >bạn?

Giải pháp.Bất đẳng thức đầu tiên của hệ xác định phần bên trong của hình tròn, không bao gồm đường viền, tức là. đường tròn có tâm tại điểm (3,3) và bán kính . Bất đẳng thức thứ hai xác định một nửa mặt phẳng được xác định bởi một đường thẳng có phương trình là x = y, và vì bất đẳng thức này là nghiêm ngặt nên các điểm của đường thẳng đó không thuộc về nửa mặt phẳng và tất cả các điểm bên dưới đường thẳng này thuộc về nửa mặt phẳng. Vì chúng ta đang tìm những điểm thỏa mãn cả hai bất đẳng thức nên diện tích chúng ta đang tìm là phần bên trong của hình bán nguyệt.

Ví dụ 1.9.Tính độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp trong hình elip có phương trình là x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

Giải pháp.Cho phép M(s,s)- đỉnh của hình vuông nằm trong phần tư thứ nhất. Khi đó cạnh hình vuông sẽ bằng 2 Với. Bởi vì dấu chấm M thuộc hình elip nên tọa độ của nó thỏa mãn phương trình elip c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, từ đó
c = ab/ ; Điều này có nghĩa là cạnh của hình vuông là 2ab/.

Ví dụ 1.10.Biết phương trình tiệm cận của hyperbol y =± 0,5 x và một trong các điểm của nó M(12, 3), soạn phương trình của hyperbol.

Giải pháp.Chúng ta hãy viết phương trình chính tắc của hyperbol: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Các tiệm cận của hyperbol được cho bởi phương trình y =± 0,5 x, có nghĩa là b/a = 1/2, do đó a=2b. Bởi vì M là một điểm hyperbol thì tọa độ của nó thỏa mãn phương trình hyperbol, tức là 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Xét a = 2b, ta tìm được b: b 2 =9Þ b=3 và a=6. Khi đó phương trình của hyperbol là x 2/36 - y 2/9 = 1.

Ví dụ 1.11.Tính độ dài cạnh của tam giác đều ABC nội tiếp parabol với tham số R, giả sử điểm A trùng với đỉnh của parabol.

Giải pháp.Phương trình chính tắc của parabol có tham số R có dạng y 2 = 2рx, đỉnh của nó trùng với gốc tọa độ và parabol đối xứng qua trục hoành. Vì đường thẳng AB tạo với trục Ox một góc 30 o nên phương trình đường thẳng có dạng: y = x. một số lượng lớn đồ thị

Do đó, ta có thể tìm tọa độ điểm B bằng cách giải hệ phương trình y 2 = 2рx, y = x, từ đó x = 6р, y = 2р. Điều này có nghĩa là khoảng cách giữa các điểm A(0,0) và B(6р,2р) bằng 4р.

Đường thẳng đi qua điểm K(x 0 ; y 0) và song song với đường thẳng y = kx + a được tìm bởi công thức:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Trong đó k là độ dốc của đường thẳng.

Công thức thay thế:
Đường thẳng đi qua điểm M 1 (x 1 ; y 1) và song song với đường thẳng Ax+By+C=0 được biểu diễn bằng phương trình

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Ví dụ số 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M 0 (-2,1) đồng thời:
a) song song với đường thẳng 2x+3y -7 = 0;
b) vuông góc với một đường thẳng 2x+3y -7 = 0.
Giải pháp . Hãy tưởng tượng phương trình có hệ số góc có dạng y = kx + a. Để thực hiện việc này, hãy di chuyển tất cả các giá trị ngoại trừ y sang bên phải: 3y = -2x + 7. Sau đó chia vế phải cho hệ số 3. Ta được: y = -2/3x + 7/3
Hãy tìm phương trình NK đi qua điểm K(-2;1), song song với đường thẳng y = -2/3 x + 7/3
Thay x 0 = -2, k = -2/3, y 0 = 1 ta được:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
hoặc
y = -2 / 3 x - 1 / 3 hoặc 3y + 2x +1 = 0

Ví dụ số 2. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng 2x + 5y = 0 và cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 5.
Giải pháp . Vì các đường thẳng song song nên phương trình của đường thẳng mong muốn là 2x + 5y + C = 0. Diện tích của một tam giác vuông, trong đó a và b là hai chân của nó. Hãy tìm các điểm giao nhau của đường mong muốn với các trục tọa độ:
;
.
Vì vậy, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Hãy thay thế nó vào công thức tính diện tích: . Ta có hai nghiệm: 2x + 5y + 10 = 0 và 2x + 5y – 10 = 0.

Ví dụ số 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (-2; 5) và song song với đường thẳng 5x-7y-4=0.
Giải pháp. Đường thẳng này có thể biểu diễn bằng phương trình y = 5/7 x – 4/7 (ở đây a = 5/7). Phương trình của đường thẳng mong muốn là y – 5 = 5/7 (x – (-2)), tức là. 7(y-5)=5(x+2) hoặc 5x-7y+45=0 .

Ví dụ số 4. Sau khi giải ví dụ 3 (A=5, B=-7) bằng công thức (2), chúng ta tìm được 5(x+2)-7(y-5)=0.

Ví dụ số 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (-2;5) và song song với đường thẳng 7x+10=0.
Giải pháp. Ở đây A=7, B=0. Công thức (2) cho 7(x+2)=0, tức là x+2=0. Công thức (1) không thể áp dụng được vì phương trình này không thể giải được theo y (đường thẳng này song song với trục tọa độ).