Dưới dạng công thức toán học và. Các công thức vật lý và toán học đẹp nhất

Nhà toán học Henri Poincaré đã viết trong cuốn sách Khoa học và Phương pháp của mình: “Nếu thiên nhiên không đẹp, nó không đáng để biết, cuộc sống sẽ không đáng trải nghiệm. Tất nhiên, tôi đang nói ở đây, không phải về vẻ đẹp bắt mắt ... Ý tôi là vẻ đẹp sâu sắc hơn mở ra trong sự hài hòa của các bộ phận, mà chỉ có trí óc mới lĩnh hội được. Chính cô ấy là người tạo ra nền tảng, tạo ra khung cho cuộc chơi của những màu sắc hữu hình vuốt ve cảm xúc của chúng ta, và nếu không có sự hỗ trợ này, vẻ đẹp của những ấn tượng thoáng qua sẽ không hoàn hảo, giống như mọi thứ không rõ ràng và thoáng qua. Ngược lại, vẻ đẹp trí tuệ tự nó mang lại sự hài lòng.

P.A.M. Dirac đã viết: “Vật lý lý thuyết có một con đường phát triển đúng đắn hơn. tính năng cơ bảnđó là điều cơ bản nhất luật vật lýđược mô tả lý thuyết toán học, bộ máy có sức mạnh và vẻ đẹp phi thường. Để hiểu lý thuyết này, bạn cần phải có trình độ toán học cao bất thường. Bạn có thể hỏi: tại sao thiên nhiên lại như vậy? Chỉ có một câu trả lời cho điều này: theo kiến thức hiện đại, thiên nhiên được sắp xếp theo cách này, và không theo cách khác.

Bảy năm trước, nhà vật lý (và nghệ sĩ) người Ukraine, Natalia Kondratieva, đã hỏi một số nhà toán học hàng đầu thế giới, "Ba công thức toán học, theo ý kiến ​​của bạn, đẹp nhất?
Buổi nói chuyện về vẻ đẹp của các công thức toán học có sự tham gia của Sir Michael Atiyah và David Elvarsi từ Anh, Yakov Sinai và Alexander Kirillov từ Mỹ, Friedrich Herzebruch và Yuri Manin từ Đức, David Ruel từ Pháp, Anatoly Vershik và Robert Minlos từ Nga và các nhà toán học khác từ Những đất nước khác nhau. Trong số những người Ukraine, các viện sĩ của Viện Hàn lâm Khoa học Quốc gia Volodymyr Korolyuk và Anatoliy Skorokhod đã tham gia vào cuộc thảo luận. Một phần của các tài liệu thu được theo cách này đã tạo nên cơ sở cho tài liệu được xuất bản bởi Natalia Kondratieva công việc khoa học"Ba công thức toán học đẹp nhất."
Mục tiêu của bạn là gì khi bạn hỏi các nhà toán học về công thức đẹp?
- Mỗi thế kỷ mới mang đến một bản cập nhật của mô hình khoa học. Vào đầu thế kỷ với cảm giác rằng chúng ta đang đứng trước ngưỡng cửa khoa học mới, cô ấy vai trò mới trong cuộc sống xã hội loài người, Tôi quay sang các nhà toán học với câu hỏi về vẻ đẹp của những ý tưởng đằng sau ký hiệu toán học, I E. về vẻ đẹp của các công thức toán học.
Một số đặc điểm của khoa học mới đã có thể được lưu ý. Nếu khoa học của thế kỷ XX rất vai trò quan trọng"tình bạn" của toán học với vật lý chơi, bây giờ toán học hợp tác hiệu quả với sinh học, di truyền học, xã hội học, kinh tế học ... Do đó, khoa học sẽ điều tra sự tương ứng. Cấu trúc toán học sẽ khám phá sự tương ứng giữa các tương tác phần tử các lĩnh vực khác nhau và các kế hoạch. Và nhiều điều mà trước đây chúng ta cho là những tuyên bố triết học sẽ được khoa học chấp thuận như là kiến ​​thức cụ thể.
Quá trình này đã bắt đầu vào thế kỷ 20. Vì vậy, về mặt toán học Kolmogorov đã chỉ ra rằng không có ngẫu nhiên mà có một độ phức tạp rất lớn. Hình học Fractal xác nhận nguyên tắc thống nhất trong đa dạng, v.v.
- Công thức nào được mệnh danh là đẹp nhất?
- Tôi phải nói ngay rằng không có mục tiêu để sắp xếp một cuộc thi công thức. Trong lá thư gửi các nhà toán học, tôi viết: “Những người muốn hiểu những định luật nào chi phối thế giới sẽ đi theo con đường tìm kiếm sự hài hòa của thế giới. Con đường này đi đến vô cùng (ví sự chuyển động là vĩnh cửu), nhưng người ta vẫn đi theo nó, bởi vì. có một niềm vui đặc biệt khi gặp một ý tưởng hoặc ý tưởng khác. Từ câu trả lời cho câu hỏi về công thức làm đẹp, có thể tổng hợp một khía cạnh mới của vẻ đẹp trên thế giới. Ngoài ra, công trình này có thể hữu ích cho các nhà khoa học tương lai như một ý tưởng về sự hài hòa tuyệt vời của thế giới và toán học là một cách để tìm ra vẻ đẹp này.
Tuy nhiên, trong số các công thức có những công thức được yêu thích rõ ràng: công thức Pitago và công thức Euler.
Chúng được theo sau bởi các công thức vật lý chứ không phải toán học, trong thế kỷ 20 đã thay đổi cách hiểu của chúng ta về thế giới - Maxwell, Schrödinger, Einstein.
Ngoài ra trong số những công thức đẹp nhất vẫn còn đang được thảo luận, chẳng hạn như phương trình chân không vật lý. Các công thức toán học đẹp mắt khác cũng đã được đề cập.
- Theo bạn, tại sao vào đầu thiên niên kỷ thứ hai và thứ ba, công thức Pitago được mệnh danh là một trong những công thức đẹp nhất?
- Vào thời Pythagoras, công thức này được coi là biểu hiện của nguyên lý tiến hóa vũ trụ: hai nguyên lý trái ngược nhau (hai hình vuông chạm trực giao) sinh ra một phần ba, bằng tổng của chúng. Có thể đưa ra những diễn giải rất đẹp về mặt hình học.
Có lẽ có một loại ký ức di truyền, tiềm thức nào đó về thời kỳ khái niệm “toán học” có nghĩa là “khoa học”, và số học, hội họa, âm nhạc, triết học được nghiên cứu tổng hợp.
Raphael Khasminsky đã viết trong lá thư của mình rằng ở trường, anh đã bị ấn tượng bởi vẻ đẹp của công thức Pitago, công thức quyết định phần lớn số phận của anh với tư cách là một nhà toán học.
Bạn có thể nói gì về công thức của Euler?
- Một số nhà toán học chú ý đến thực tế là "tất cả mọi người đều tập trung" trong đó, tức là tất cả những gì tuyệt vời nhất số toán học, và đơn vị chứa đầy vô cực! Điều này mang một ý nghĩa triết học sâu sắc.
Không có gì ngạc nhiên khi Euler phát hiện ra công thức này. Nhà toán học vĩ đạiđã làm rất nhiều để đưa cái đẹp vào khoa học, thậm chí ông còn đưa khái niệm “mức độ của cái đẹp” vào toán học. Đúng hơn, ông đã đưa khái niệm này vào lý thuyết âm nhạc, mà ông coi là một phần của toán học.
Euler tin rằng ý thức thẩm mỹ có thể được phát triển và ý thức này là cần thiết cho nhà khoa học.
Tôi sẽ đề cập đến các nhà chức trách ... Grothendieck: "Sự hiểu biết về điều này hay điều kia trong toán học là hoàn hảo nhất có thể để cảm nhận được vẻ đẹp của nó."
Poincaré: "Có một cảm giác trong toán học." Ông so sánh cảm giác thẩm mỹ trong toán học với một bộ lọc, nó chọn ra giải pháp hài hòa nhất từ ​​vô số các giải pháp, theo quy luật, đó là giải pháp chính xác. Vẻ đẹp và sự hài hòa là từ đồng nghĩa, và biểu hiện cao nhất của sự hài hòa là quy luật cân bằng của thế giới. Toán học khám phá định luật này trên các bình diện khác nhau của hiện hữu và trong các khía cạnh khác nhau. Không có gì ngạc nhiên khi mọi công thức toán học đều chứa một dấu bằng.
Tôi cho rằng sự hài hòa cao nhất của con người là sự hài hòa về tư tưởng và cảm giác. Có lẽ đó là lý do tại sao Einstein nói rằng nhà văn Dostoevsky đã cho ông nhiều hơn nhà toán học Gauss.
Tôi đã lấy công thức của Dostoevsky "Vẻ đẹp sẽ cứu thế giới" như một ẩn dụ cho công việc về vẻ đẹp trong toán học. Và nó cũng đã được thảo luận bởi các nhà toán học.
Và họ đã đồng ý với tuyên bố này?
- Các nhà toán học đã không tán thành hoặc bác bỏ khẳng định này. Họ làm rõ điều đó: "Ý thức về vẻ đẹp sẽ cứu thế giới." Điều này ngay lập tức gợi nhớ đến công trình nghiên cứu của Eugene Wigner về vai trò của ý thức trong các phép đo lượng tử, được viết bởi ông gần năm mươi năm trước. Trong tác phẩm này, Wigner đã cho thấy rằng Ý thức con ngườiảnh hưởng đến Môi trường, tức là chúng ta không chỉ nhận thông tin từ bên ngoài, mà còn gửi những suy nghĩ và cảm xúc của mình để đáp lại. Công việc này vẫn còn phù hợp và có cả những người ủng hộ và phản đối. Tôi thực sự hy vọng rằng trong thế kỷ 21 khoa học sẽ chứng minh rằng nhận thức về cái đẹp góp phần làm hài hòa thế giới của chúng ta.

1. Công thức Euler. Nhiều người coi công thức này là biểu tượng của sự thống nhất của tất cả toán học, bởi vì "-1 đại diện cho số học, i - đại số, π - hình học và e - phân tích".

2. Phương trình đơn giản này cho thấy rằng giá trị 0,999 (và tương tự như vậy trên ad infinitum) tương đương với một. Nhiều người không tin rằng điều này có thể đúng, mặc dù có một số chứng minh dựa trên lý thuyết về giới hạn. Tuy nhiên, sự bình đẳng thể hiện nguyên tắc vô hạn.


3. Phương trình này được xây dựng bởi Einstein như một phần của công trình tiên phong lý thuyết chung thuyết tương đối vào năm 1915. Phía bên tay phải của phương trình này mô tả năng lượng chứa trong vũ trụ của chúng ta (bao gồm cả "năng lượng tối"). Phía tay trái mô tả hình học của không-thời gian. Sự bình đẳng phản ánh thực tế là trong thuyết tương đối rộng của Einstein, khối lượng và năng lượng quyết định hình học, đồng thời độ cong, là biểu hiện của lực hấp dẫn. Einstein nói rằng vế trái của phương trình hấp dẫn trong thuyết tương đối rộng, có chứa trường hấp dẫn, rất đẹp và như thể được chạm khắc từ đá cẩm thạch, trong khi phần bên phải các phương trình mô tả vật chất vẫn còn xấu, như thể được làm từ một miếng gỗ bình thường.


4. Một lý thuyết vật lý thống trị khác - Mô hình Chuẩn - mô tả các tương tác điện từ, yếu và mạnh của tất cả Các hạt cơ bản. Một số nhà vật lý tin rằng nó phản ánh tất cả các quá trình diễn ra trong vũ trụ, ngoại trừ vật chất tối, năng lượng tối và không bao gồm trọng lực. Boson Higgs, khó nắm bắt cho đến năm ngoái, cũng phù hợp với Mô hình Chuẩn, mặc dù không phải tất cả các chuyên gia đều chắc chắn về sự tồn tại của nó.


5. Định lý Pitago là một trong những định lý cơ bản của hình học Ơclit, thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh tam giác vuông. Chúng tôi nhớ cô ấy từ thời đi học và tin rằng tác giả của định lý là Pythagoras. Trên thực tế, công thức này đã được sử dụng kể từ khi Ai Cập cổ đại trong quá trình xây dựng các kim tự tháp.


6. Định lý Euler. Định lý này đã đặt nền móng cho một nhánh mới của toán học - topo. Phương trình thiết lập mối quan hệ giữa số đỉnh, cạnh và mặt của khối đa diện tương đương về mặt cấu trúc liên kết với một hình cầu.


7. lý thuyết đặc biệt thuyết tương đối mô tả chuyển động, các quy luật cơ học và các quan hệ không-thời gian ở tốc độ chuyển động tùy ý, tốc độ thấp hơnánh sáng trong chân không, kể cả những ánh sáng gần với tốc độ ánh sáng. Einstein đã đưa ra một công thức mô tả rằng thời gian và không gian không phải là những khái niệm tuyệt đối, mà là tương đối phụ thuộc vào tốc độ của người quan sát. Phương trình cho biết thời gian mở rộng hoặc chậm lại như thế nào tùy thuộc vào cách thức và vị trí của một người di chuyển.


8. Phương trình thu được vào những năm 1750 bởi Euler và Lagrange trong khi giải bài toán isochrone. Đây là bài toán xác định đường cong mà một hạt nặng đi đến một điểm cố định trong một thời gian cố định, không phụ thuộc vào điểm xuất phát. TẠI trong các điều khoản chung, nếu hệ của bạn có tính đối xứng thì sẽ có định luật bảo toàn đối xứng tương ứng.


9. Phương trình Callan-Symanzika. Nó là một phương trình vi phân mô tả sự tiến hóa hàm tương quan n khi thay đổi quy mô năng lượng mà tại đó lý thuyết được xác định và bao gồm các hàm beta của lý thuyết và các kích thước dị thường. Phương trình này đã giúp hiểu rõ hơn về vật lý lượng tử.


10. Phương trình của bề mặt cực tiểu. Đẳng thức này giải thích sự hình thành bọt xà phòng.


11. Đoạn thẳng Euler. Định lý Euler đã được chứng minh vào năm 1765. Ông phát hiện ra rằng các trung điểm của các cạnh của một tam giác và các đáy của các chiều cao của nó nằm trên cùng một đường tròn.


12. Năm 1928 P.A.M. Dirac đề xuất phiên bản riêng của phương trình Schrödinger - tương ứng với lý thuyết của A. Einstein. Thế giới khoa học đã bị sốc - Dirac đã phát hiện ra phương trình của mình cho electron thông qua các thao tác toán học thuần túy với các đối tượng toán học cao hơn được gọi là spinors. Và đó là một cảm giác - cho đến nay, tất cả những khám phá vĩ đại trong vật lý đều phải dựa trên cơ sở vững chắc của dữ liệu thực nghiệm. Nhưng Dirac tin rằng toán học thuần túy, nếu đủ đẹp, là một tiêu chí đáng tin cậy cho tính đúng đắn của các kết luận. “Vẻ đẹp của các phương trình quan trọng hơn sự phù hợp của chúng với dữ liệu thực nghiệm. ... Có vẻ như nếu bạn cố gắng đạt được vẻ đẹp trong các phương trình và có một trực giác lành mạnh, thì bạn đang đúng cách". Chính nhờ những tính toán của ông, người ta đã phát hiện ra positron - phản điện tử - và ông dự đoán sự hiện diện của một "spin" trong electron - chuyển động quay của một hạt cơ bản.


13. J. Maxwell đã thu được những phương trình tuyệt vời kết hợp tất cả các hiện tượng điện, từ và quang học. Nhà vật lý nổi tiếng người Đức, một trong những người sáng lập vật lý thống kê, Ludwig Boltzmann, nói về phương trình Maxwell: "Không phải Chúa đã viết những chữ cái này sao?"


14. Phương trình Schrödinger. Một phương trình mô tả sự thay đổi trong không gian và thời gian của một trạng thái tinh khiết cho bởi hàm sóng, trong hệ thống lượng tử Hamilton. Chơi trong cơ lượng tử quan trọng như phương trình của định luật II Newton trong cơ học cổ điển.

Đầu tôi quay cuồng với rất nhiều công thức toán học mà bạn cần biết. Nôi và cũi dành cho những người yếu thế. Nhưng đối với những ai muốn trở nên vững vàng hơn trong môn toán, chúng tôi sẽ đưa ra một số mẹo về cách ghi nhớ các công thức toán học để chúng không biến mất khỏi đầu bạn trước bài kiểm tra, bài thi hay CT.

Hiểu công thức

Nếu bạn chỉ ghi nhớ một chuỗi các biến, bạn có nguy cơ "mất" toàn bộ công thức khi bạn quên một ký hiệu hoặc dấu hiệu.

Sử dụng tất cả các loại bộ nhớ

Đọc to các công thức, viết vào trang tính nhiều lần cho đến khi bạn nhớ. Sử dụng tất cả các loại bộ nhớ, tập trung vào phần dẫn đầu. Bộ nhớ thị giác và động cơ kết hợp với nhau mang lại hiệu quả lớn hơn. Tất nhiên, tiềm năng ghi nhớ ở mỗi người là khác nhau. Có kỹ thuật đặc biệtđiều đó giúp .

Dưới đây là một số mẹo khác về cách nhớ công thức

Đảm bảo làm cho công thức trở nên trực quan: khoanh tròn công thức trong khung, viết nó bằng màu khác. Vì vậy, nó sẽ dễ dàng tìm thấy trong phần tóm tắt và ghi nhớ. Tốt hơn, hãy viết các công thức vào một cuốn sổ riêng, cấu trúc chúng theo chủ đề. Đánh dấu loại nhiệm vụ này hoặc công thức kia hữu ích, tính đặc thù của nó là gì. Tập thói quen thêm vào danh sách các công thức. Một “nhật ký quan sát công thức” như vậy sẽ giúp làm mới trí nhớ của bạn Thông tin quan trọng trước một bài kiểm tra, bài thi hoặc bài CT môn toán.

Nhiều học sinh cũng làm điều này: khi các bản nháp có đóng dấu được phát, bạn cầm lấy nó và viết ngay vào chúng. công thức quan trọngđó là khó khăn cho bạn. Nửa giờ trước CT, bạn ghi nhớ trực quan những công thức này, và sau đó nhanh chóng viết chúng ra. Điều này giúp tiết kiệm thời gian. Hack cuộc sống này đặc biệt tốt trong lượng giác. Bạn càng biết nhiều công thức thì càng tốt.

Kiểm tra bản thân

Bạn cần liên tục quay lại tài liệu đã học để không quên nó. Hãy thử phương pháp "Hai thẻ", nó thích hợp để ghi nhớ các công thức rút gọn, nhân viết tắt, công thức lượng giác. Lấy hai chồng thẻ màu khác, một bên viết bên trái của công thức và bên kia - bên phải. Chia theo cách này tất cả các công thức mà bạn cần nhớ, sau đó trộn cả hai đống. Kéo thẻ có phía bên trái của công thức theo thứ tự và chọn phần tiếp theo của nó trong số các thẻ "bên phải" và ngược lại.

Thẻ cũng tốt về hình học

Để ghi nhớ các công thức hình học, hãy lấy cho mình các thẻ về các chủ đề (“Công thức diện tích”, “Công thức hình tam giác”, “Công thức hình vuông”, v.v.) và viết thông tin vào chúng như sau.

Bạn có thể sửa các công thức trong một sổ tay riêng biệt và luôn có nó trong tầm tay - như bạn muốn

Tích cực

Nếu bạn học một thứ gì đó dưới áp lực, bản thân bộ não cũng muốn thoát khỏi gánh nặng kiến ​​thức. Hãy nghĩ về việc ghi nhớ các công thức như bài tập tốtđể rèn luyện trí nhớ. Vâng, và tâm trạng sẽ tăng lên khi bạn nhớ lại công thức mong muốn cho các giải pháp.Và tất nhiên, hãy quyết định cách bạn có thể nhiều bài kiểm tra hơn và các nhiệm vụ để chuẩn bị cho một bài kiểm tra, kỳ thi hoặc CT!

CT trong toán học là nhiệm vụ điển hình: bạn giải được càng nhiều bài kiểm tra thì cơ hội gặp được thứ tương tự như CT càng cao. Không thể chuẩn bị cho DT trong một nhiệm vụ. Nhưng khi bạn đã giải quyết được 100 vấn đề, thì 101 vấn đề sẽ không gây khó khăn.

Dmitry Sudnik, giáo viên dạy toán ở

Nếu tài liệu hữu ích với bạn, đừng quên đặt "Tôi thích" vào mạng xã hội của chúng tôi

Trên trang này, bạn có thể xem hoặc tải xuống miễn phí những thứ phổ biến nhất công thức toán học, bảng, cũng như tài liệu tham khảo về toán học cao hơn. Tất cả các bảng toán học do cá nhân tôi biên soạn và được góp ý thêm. Điều này được thực hiện nhằm khắc phục những khó khăn mà sinh viên bán thời gian thường gặp phải trong quá trình giải quyết vấn đề. Tôi không giả vờ là toàn diện, nhưng bạn sẽ tìm thấy những gì RẤT THÔNG DỤNG.

Ví dụ, hãy xem xét một bảng công thức lượng giác. Có rất nhiều công thức lượng giác, các em đã biết từ lâu, viết lại sách tham khảo thì có ích gì. Và đây là những công thức thường được sử dụng để giải các bài toán trong khóa học toán học cao hơn, được kết hợp với nhau và có thể rất hữu ích khi thực hiện nhiệm vụ thực tế. Đồng thời, trong các nhận xét, tôi cho biết phần nào của toán học cao hơn (giới hạn, đạo hàm, tích phân, v.v.) công thức này hoặc công thức kia hầu như luôn xuất hiện.

Vì vậy, ngay bây giờ bạn có thể truy cập miễn phí các tài liệu tham khảo có giá trị, cả việc xem trực tuyến và tải xuống đều có thể thực hiện được. Thuận tiện nhất là in ngay các bảng toán học và các tài liệu tham khảo mà bạn quan tâm. Như thực tế cho thấy, thông tin trên màn hình điều khiển được hấp thụ kém hơn trên giấy và khó đọc hơn từ màn hình.

Hầu hết tất cả các tệp được đặt trực tiếp trên trang web, có nghĩa là chúng có thể được nhận càng sớm càng tốt, chỉ bị giới hạn bởi tốc độ kết nối Internet của bạn.

! Trong trường hợp hiển thị pdf không chính xác, hãy sử dụng các khuyến nghị sau

Tôi khuyên mọi người nên xem. Những công thức này được tìm thấy trong quá trình giải quyết các vấn đề trong toán học cao hơn theo nghĩa đen ở mọi bước. Nếu không có kiến ​​thức về các công thức này - không ở đâu cả. Làm thế nào để bắt đầu nghiên cứu toán học cao hơn? Khỏi lặp lại điều này. Bất kể mức độ chuẩn bị toán học của bạn ở mức nào khoảnh khắc này, rất mong muốn XEM NGAY khả năng thực hiện các hành động cơ bản, áp dụng các công thức đơn giản nhất trong quá trình giải các giới hạn, tích phân, phương trình vi phân vân vân.

Sổ tay có thông tin ngắn về môđun, công thức nhân viết tắt, thuật toán giải phương trình bậc hai, các quy tắc để đơn giản hóa phân số nhiều tầng và các thuộc tính quan trọng nhấtđộ và logarit.

"Đi du lịch" nhất công thức lượng giác, được sử dụng trong quá trình giải quyết các vấn đề trong toán học cao hơn. Trên thực tế, có rất ít công thức như vậy, và việc thu thập hàng chục công thức khác từ các sách tham khảo toán học khác nhau là một sự lãng phí thời gian. Mọi thứ (hoặc hầu hết mọi thứ) mà bạn có thể cần đều có ở đây.

Khi thực hiện các nhiệm vụ trong toán học, nó thường trở nên cần thiết để xem xét bảng lượng giác. Trong này tài liệu tham khảo một bảng giá trị của các hàm lượng giác (sin, cosin, tiếp tuyến và cotang) được trình bày cho các giá trị đối số từ 0 đến 360 độ. Ghi nhớ thông tin này không có nghĩa ngoài một số giá trị của các hàm lượng giác thật tốt khi biết. Cũng được trình bày là các công thức rút gọn cho các hàm lượng giác ở trên, thỉnh thoảng(thường xuyên nhất khi giải quyết các giới hạn) là bắt buộc. Theo yêu cầu của khách truy cập trang web, một bảng giá trị của các hàm lượng giác nghịch đảo và hai công thức đã được thêm vào tệp pdf: một công thức để chuyển đổi độ sang radian, một công thức để chuyển đổi radian sang độ.

Tài liệu phương pháp là tổng quan về các biểu đồ của chức năng cơ bản và các thuộc tính của chúng. Nó sẽ hữu ích khi học hầu hết tất cả các phần của toán học cao hơn, hơn nữa, tài liệu hướng dẫn tham khảo sẽ giúp ích cho bạn rất nhiều chất lượng tốt hơn và tốt hơn hiểu một số chủ đề. Bạn cũng có thể tìm ra giá trị hàm nào nên là để biết bằng trái timđể không nhận được "hai tự động" khi trả lời câu hỏi đơn giản nhất người giám định. Sự trợ giúp ở dạng một trang web và chứa nhiều đồ thị của các hàm cũng đáng ghi nhớ. Khi dự án phát triển, sổ tay hướng dẫn này bắt đầu đóng vai trò như một bài học giới thiệu về chủ đề "Hàm và Đồ thị".

Trong thực tế, sinh viên bán thời gian hầu như luôn luôn cần sử dụng giới hạn tuyệt vời, về cái nào và trong câu hỏi trong sự trợ giúp này. Ba giới hạn đáng chú ý hơn, hiếm hơn nhiều, cũng được xem xét. Tất cả các giới hạn tuyệt vời đều được cung cấp thêm nhận xét quan trọng. Ngoài ra, tập tin còn được bổ sung thông tin về những điểm tương đương đáng chú ý.

Tài liệu tham khảo chứa các quy tắc phân biệt và một bảng đạo hàm của các hàm cơ bản cơ bản. Bảng được cung cấp với các ghi chú rất quan trọng.

Hướng dẫn của bạn về Hàm và Đồ thị. Bản pdf hệ thống hóa và phác thảo thông tin về các giai đoạn chính của quá trình nghiên cứu hàm một biến. Sách hướng dẫn có kèm theo các liên kết, có nghĩa là nó tiết kiệm rất nhiều thời gian. Sách hướng dẫn hữu ích cho cả người đọc ấm trà và người đã chuẩn bị.

Nói chung, gần giống như trong phép tính vi phân. Quy tắc tích phân và bảng tích phân với nhận xét của tôi.

Tài liệu tham khảo không thể thiếu trong quá trình nghiên cứu về chuỗi lũy thừa. Bảng hiển thị các mở rộng trong chuỗi điện các chức năng sau: số mũ, sin, côsin, lôgarit, tiếp tuyến cung và cung sin. Khai triển nhị thức và các trường hợp đặc biệt phổ biến nhất của khai triển nhị thức cũng được đưa ra. Khai triển chuỗi của một hàm là nhiệm vụ độc lập, được sử dụng để tính toán gần đúng, tính toán gần đúng của một tích phân xác định và trong một số bài toán khác.

Khó khăn chính trong việc giải phương trình vi phân cấp hai không thuần nhất với hệ số không đổi Là lựa chọn chính xác của một giải pháp cụ thể ở dạng bên phải. Hướng dẫn này chủ yếu áp dụng cho bài Làm thế nào để giải một phương trình bậc hai không thuần nhất? và sẽ giúp bạn dễ dàng hiểu được việc lựa chọn một giải pháp cụ thể. Trợ giúp không giả vờ là một sự hoàn chỉnh khoa học kỹ lưỡng, nó được viết bằng ngôn ngữ đơn giản và dễ hiểu, nhưng trong 99,99% trường hợp, nó sẽ chứa chính xác trường hợp mà bạn đang tìm kiếm.

Trợ giúp là không thể thiếu trong quá trình quyết định nhiệm vụ áp dụng phân tích phức tạp – tìm một giải pháp cụ thể của DE bằng phương pháp hoạt động và tìm một giải pháp cụ thể cho hệ thống DE theo cách tương tự. Bảng khác với các bảng tương tự ở chỗ nó được "mài" đặc biệt cho các tác vụ trên, tính năng này giúp bạn dễ dàng nắm vững các thuật toán giải. Cả trực tiếp và biến đổi nghịch đảo Laplace cho các chức năng phổ biến nhất. Trong trường hợp thông tin không đủ, tôi khuyên bạn nên tham khảo một cuốn sách tham khảo toán học vững chắc - phiên bản đầy đủ chứa hơn một trăm mặt hàng.

Tài liệu tham khảo chứa các công thức về giai thừa, số hoán vị, tổ hợp, vị trí (có và không lặp lại), cũng như các nhận xét có ý nghĩa về mỗi công thức, cho phép bạn hiểu bản chất của chúng. + Quy tắc cộng và nhân tổ hợp. Ngoài ra, pdf chứa thông tin ngắn gọn về nhị thức Newton và tam giác Pascal với các ví dụ về ứng dụng thực tế của chúng.

Tệp chứa danh sách các công thức với các chú thích ngắn gọn về cả hai chương của terver - Những sự kiện ngẫu nhiên và biến ngẫu nhiên, bao gồm các công thức và đặc điểm số rời rạc rộng rãi và phân phối liên tục. Giúp hệ thống hóa tài liệu và rất thuận tiện cho việc thực hiện các công việc thực tế, hãy ghé vào và tìm ngay thứ bạn cần!

Các chương trình tính toán đặc biệt:

TẠI phần này bạn có thể tìm thấy các chương trình trợ giúp để giải quyết các Bài toán. Họ sẽ giúp bạn nhanh chóng hoàn thành các phép tính và đưa ra quyết định.

Máy tính vạn năngđược triển khai trong sổ làm việc MS Excel có ba trang tính. Chương trình có thể thay thế một máy tính thông thường với nhiều chức năng. Bất kỳ lũy thừa, gốc, logarit, hàm lượng giác, vòm - không vấn đề gì! Ngoài ra, máy tính tự động thực hiện các phép toán cơ bản với ma trận, đếm các định thức (bao gồm cả 5 đến 5 định thức), ngay lập tức tìm các trẻ vị thành niên và phép cộng đại số ma trận. Chỉ trong vài giây, bạn có thể giải hệ phương trình tuyến tính bằng ma trận nghịch đảo và sử dụng công thức của Cramer, xem các giai đoạn chính của giải pháp. Tất cả điều này rất thuận tiện cho việc tự kiểm tra. Chỉ cần nhập số của bạn và nhận kết quả!

Đây chương trình bán tự động liên quan đến bài học Công thức hình thang, công thức Simpson và giúp tính toán giá trị gần đúng của tích phân xác định trên 2, 4, 8, 10 và 20 đoạn của phân hoạch. Đính kèm là video hướng dẫn làm việc với máy tính bỏ túi. Tính toán của bạn tích phân xác định trong vòng vài phút hoặc thậm chí vài giây!

Còn bây giờ, đó là tất cả.

Phần được bổ sung dần dần tài liệu bổ sung và các chương trình hữu ích. Mỗi sách hướng dẫn tham khảo đã được chỉnh sửa và cải tiến nhiều lần, bao gồm cả việc tính đến mong muốn và nhận xét của bạn! Nếu bạn nghĩ rằng điều gì đó quan trọng đã bị bỏ qua, bạn thấy bất kỳ điểm nào không chính xác, hoặc có thể điều gì đó chưa được giải thích đủ rõ ràng, hãy nhớ viết!

Trân trọng, Emelin Alexander

Giáo dục là những gì còn lại sau khi mọi thứ được dạy ở trường bị lãng quên.

Igor Khmelinsky, một nhà khoa học Novosibirsk, hiện đang làm việc tại Bồ Đào Nha, đã chứng minh rằng nếu không ghi nhớ trực tiếp các văn bản và công thức, việc phát triển trí nhớ trừu tượng ở trẻ em rất khó khăn. Đây là trích đoạn từ bài báo của anh ấyNhững bài học cải cách giáo dụcở Châu Âu và các nước thuộc Liên Xô cũ "

Học thuộc lòng và ghi nhớ dài hạn

Việc thiếu hiểu biết về bảng cửu chương gây ra hậu quả nghiêm trọng hơn là không thể phát hiện ra lỗi trong các phép tính trên máy tính bỏ túi. Trí nhớ dài hạn của chúng ta hoạt động dựa trên nguyên tắc của một cơ sở dữ liệu liên kết, tức là một số yếu tố thông tin, khi được ghi nhớ, sẽ được liên kết với những người khác dựa trên các liên kết được thiết lập tại thời điểm làm quen với chúng. Do đó, để hình thành nền tảng kiến ​​thức về bất kỳ môn học, ví dụ, trong số học, trước tiên bạn cần phải học thuộc lòng một cái gì đó. Hơn nữa, thông tin mới đến sẽ đến từ trí nhớ ngắn hạn thành dài hạn, nếu trong một khoảng thời gian ngắn (vài ngày) chúng ta gặp nó nhiều lần, và tốt nhất là trong các hoàn cảnh khác nhau (góp phần tạo ra các liên kết hữu ích). Tuy nhiên, trong bộ nhớ vĩnh viễn không có kiến ​​thức về số học, các yếu tố thông tin mới đến được liên kết với các yếu tố không liên quan gì đến số học - ví dụ, tính cách của giáo viên, thời tiết trên đường phố, v.v. Rõ ràng, việc ghi nhớ như vậy sẽ không mang lại bất kỳ lợi ích thực sự nào cho học sinh - vì các hiệp hội dẫn ra khỏi lĩnh vực môn học này, học sinh sẽ không thể nhớ bất kỳ kiến ​​thức nào liên quan đến số học, ngoại trừ những ý tưởng mơ hồ rằng dường như anh ta có điều gì đó về điều này. đã nghe. Đối với những sinh viên như vậy, vai trò của các hiệp hội bị thiếu thường do loại khác gợi ý - sao chép từ đồng nghiệp, sử dụng các câu hỏi hàng đầu trong chính điều khiển, các công thức từ danh sách các công thức được phép sử dụng, v.v. TẠI đời thực, nếu không được nhắc nhở, một người như vậy hóa ra hoàn toàn bất lực và không thể áp dụng những kiến ​​thức có trong đầu.

Sự hình thành bộ máy toán học, trong đó các công thức không được ghi nhớ, chậm hơn so với các công thức khác. Tại sao? Thứ nhất, các tính chất, định lý mới, mối quan hệ giữa các đối tượng toán học hầu như luôn sử dụng một số tính năng của các công thức và khái niệm đã được nghiên cứu trước đó. Sẽ khó khăn hơn để tập trung sự chú ý của học sinh vào tài liệu mới nếu các tính năng này không thể được lấy lại từ bộ nhớ trong một khoảng thời gian ngắn. Thứ hai, sự thiếu hiểu biết về công thức thuộc lòng cản trở việc tìm kiếm giải pháp cho các vấn đề có ý nghĩa với số lượng lớn các phép toán nhỏ, trong đó yêu cầu không chỉ thực hiện một số phép biến đổi nhất định mà còn phải xác định trình tự của các bước di chuyển này, phân tích việc áp dụng một số công thức trước hai hoặc ba bước.

Thực hành cho thấy rằng trí tuệ và phát triển toán học trẻ em, việc hình thành cơ sở kiến ​​thức và kỹ năng của mình, diễn ra nhanh hơn nhiều nếu hầu hết thông tin được sử dụng (thuộc tính và công thức) nằm trong đầu. Và nó càng mạnh và lâu hơn được giữ ở đó thì càng tốt.