Sự xuất hiện của lý thuyết xác suất như một khoa học. lý thuyết xác suất
Một số lập trình viên, sau khi làm việc trong lĩnh vực phát triển các ứng dụng thương mại thông thường, đang nghĩ đến việc thành thạo máy học và trở thành nhà phân tích dữ liệu. Thường thì họ không hiểu tại sao một số phương pháp nhất định lại hoạt động và hầu hết các phương pháp học máy có vẻ giống như phép thuật. Trên thực tế, học máy dựa trên thống kê toán học, và do đó, dựa trên lý thuyết xác suất. Do đó, trong bài viết này, chúng tôi sẽ chú ý đến các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất: chúng tôi sẽ đề cập đến các định nghĩa về xác suất, phân phối và phân tích một vài ví dụ đơn giản.
Bạn có thể biết rằng lý thuyết xác suất được chia thành 2 phần một cách có điều kiện. Lý thuyết xác suất rời rạc nghiên cứu các hiện tượng có thể được mô tả bằng một phân phối với một số hữu hạn (hoặc đếm được) các hành vi có thể xảy ra (ném xúc xắc, đồng xu). Lý thuyết xác suất liên tục nghiên cứu các hiện tượng phân bố trên một tập hợp dày đặc nào đó, ví dụ, trên một đoạn hoặc trong một đường tròn.
Có thể coi chủ đề lý thuyết xác suất bằng một ví dụ đơn giản. Hãy tưởng tượng mình là một nhà phát triển game bắn súng. Một phần không thể thiếu trong quá trình phát triển các trò chơi thuộc thể loại này là cơ chế bắn súng. Rõ ràng là một game bắn súng trong đó tất cả vũ khí đều bắn chính xác tuyệt đối sẽ ít được người chơi quan tâm. Do đó, cần phải thêm lan vào vũ khí. Nhưng chỉ ngẫu nhiên hóa các điểm trúng đích của vũ khí sẽ không cho phép tinh chỉnh, vì vậy việc điều chỉnh cân bằng trò chơi sẽ khó khăn. Đồng thời, bằng cách sử dụng các biến ngẫu nhiên và phân phối của chúng, bạn có thể phân tích vũ khí sẽ hoạt động như thế nào với một mức chênh lệch nhất định và giúp thực hiện các điều chỉnh cần thiết.
Không gian của các kết quả cơ bản
Giả sử, từ một thí nghiệm ngẫu nhiên nào đó mà chúng ta có thể lặp lại nhiều lần (ví dụ tung đồng xu), chúng ta có thể trích xuất một số thông tin có thể chính thức hóa (ngửa hoặc sấp). Thông tin này được gọi là kết quả cơ bản và nên xem xét tập hợp tất cả các kết quả cơ bản, thường được ký hiệu bằng chữ Ω (Omega).
Cấu trúc của không gian này hoàn toàn phụ thuộc vào bản chất của thí nghiệm. Ví dụ: nếu chúng ta xem xét việc bắn vào một mục tiêu hình tròn đủ lớn, không gian của các kết quả cơ bản sẽ là một vòng tròn, để thuận tiện, được đặt với tâm bằng 0 và kết quả sẽ là một điểm trong vòng tròn này.
Ngoài ra, họ xem xét các tập hợp kết quả cơ bản - sự kiện (ví dụ: đánh "top ten" là một vòng tròn đồng tâm có bán kính nhỏ với mục tiêu). Trong trường hợp rời rạc, mọi thứ khá đơn giản: chúng ta có thể nhận được bất kỳ sự kiện nào, bao gồm hoặc loại trừ các kết quả cơ bản trong một thời gian hữu hạn. Tuy nhiên, trong trường hợp liên tục, mọi thứ phức tạp hơn nhiều: chúng ta cần một họ tập hợp đủ tốt để xem xét, được gọi là đại số, bằng cách tương tự với các số thực đơn giản có thể cộng, trừ, chia và nhân. Các tập hợp trong một đại số có thể được cắt và kết hợp, và kết quả của phép toán sẽ nằm trong đại số. Đây là một thuộc tính rất quan trọng đối với toán học đằng sau tất cả các khái niệm này. Họ tối giản chỉ bao gồm hai tập hợp - tập rỗng và không gian các kết quả cơ bản.
Đo lường và xác suất
Xác suất là một cách để suy luận về hành vi của các đối tượng rất phức tạp mà không cần hiểu cách chúng hoạt động. Do đó, xác suất được định nghĩa là một hàm của một sự kiện (từ họ tập hợp rất tốt đó), trả về một số - một số đặc điểm về tần suất một sự kiện như vậy có thể xảy ra trong thực tế. Để xác định, các nhà toán học đồng ý rằng con số này phải nằm giữa 0 và 1. Ngoài ra, các yêu cầu được đặt ra cho chức năng này: xác suất của một sự kiện không thể xảy ra bằng 0, xác suất của toàn bộ tập hợp các kết quả là thống nhất và xác suất kết hợp hai sự kiện độc lập (các tập hợp rời rạc) bằng tổng các xác suất . Một tên khác của xác suất là thước đo xác suất. Thước đo Lebesgue được sử dụng phổ biến nhất, khái quát hóa các khái niệm về độ dài, diện tích, thể tích cho bất kỳ kích thước nào (thể tích n chiều), và do đó, nó có thể áp dụng cho nhiều loại tập hợp.
Cùng với nhau, tập hợp gồm một tập hợp các kết quả cơ bản, một họ các tập hợp và một phép đo xác suất được gọi là không gian xác suất. Hãy xem cách chúng ta có thể xây dựng một không gian xác suất cho ví dụ bắn mục tiêu.
Cân nhắc việc bắn vào một mục tiêu hình tròn lớn có bán kính R không thể bỏ sót. Là một tập hợp các biến cố cơ bản, ta đặt một đường tròn có tâm tại gốc tọa độ bán kính R . Vì chúng ta sẽ sử dụng diện tích (số đo Lebesgue cho các tập hợp hai chiều) để mô tả xác suất của một sự kiện, nên chúng ta sẽ sử dụng họ các tập hợp có thể đo lường được (trong đó có số đo này).
Lưu ý Trên thực tế, đây là một điểm kỹ thuật và trong các bài toán đơn giản, quá trình xác định số đo và họ các tập hợp không đóng vai trò đặc biệt. Nhưng cần phải hiểu rằng hai đối tượng này tồn tại, bởi vì trong nhiều cuốn sách về lý thuyết xác suất, các định lý bắt đầu bằng các từ: “ Cho (Ω,Σ,P) là một không gian xác suất…».
Như đã đề cập ở trên, xác suất của toàn bộ không gian các kết quả cơ bản phải bằng một. Diện tích (số đo Lebesgue hai chiều, mà chúng ta sẽ biểu thị bằng λ 2 (A), trong đó A là biến cố) của hình tròn, theo công thức nổi tiếng ở trường, là π * R 2 . Sau đó, chúng ta có thể đưa ra xác suất P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) và giá trị này sẽ nằm trong khoảng từ 0 đến 1 cho bất kỳ sự kiện A nào.
Nếu chúng ta giả định rằng việc bắn trúng bất kỳ điểm nào của mục tiêu đều có xác suất như nhau, thì việc tìm kiếm xác suất người bắn bắn trúng một số khu vực của mục tiêu sẽ giảm xuống thành việc tìm kiếm khu vực của tập hợp này (do đó chúng ta có thể kết luận rằng xác suất đánh vào một điểm cụ thể là bằng không, vì diện tích của điểm đó bằng không).
Ví dụ: chúng tôi muốn biết xác suất để người bắn trúng "mười" (sự kiện A - người bắn trúng đúng tập hợp) là bao nhiêu. Trong mô hình của chúng tôi, "mười" được biểu thị bằng một vòng tròn có tâm là 0 và bán kính r. Khi đó xác suất rơi vào vòng tròn này là P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .
Đây là một trong những dạng bài toán "xác suất hình học" đơn giản nhất - hầu hết các bài toán này đều yêu cầu tìm diện tích.
biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên là một hàm chuyển đổi các kết quả cơ bản thành số thực. Ví dụ: trong vấn đề được xem xét, chúng ta có thể đưa vào một biến ngẫu nhiên ρ(ω) — khoảng cách từ điểm tác động đến tâm của mục tiêu. Tính đơn giản của mô hình cho phép chúng tôi xác định rõ ràng không gian của các kết quả cơ bản: Ω = (ω = (x,y) các số sao cho x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Khi đó biến ngẫu nhiên ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .
Phương tiện trừu tượng từ không gian xác suất. Hàm phân phối và mật độ
Thật tốt khi cấu trúc của không gian được biết rõ, nhưng trong thực tế, điều này không phải lúc nào cũng đúng. Ngay cả khi cấu trúc của không gian đã được biết, nó vẫn có thể phức tạp. Để mô tả các biến ngẫu nhiên, nếu biểu thức của chúng chưa biết, thì có khái niệm hàm phân phối, được ký hiệu là F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .
Hàm phân phối có một số thuộc tính:
- Đầu tiên, nó nằm trong khoảng từ 0 đến 1 .
- Thứ hai, nó không giảm khi đối số x của nó tăng.
- Thứ ba, khi số -x rất lớn, hàm phân phối gần bằng 0 và khi chính x lớn, hàm phân phối gần bằng 1.
Có lẽ, ý nghĩa của cấu trúc này không rõ ràng lắm trong lần đọc đầu tiên. Một trong những thuộc tính hữu ích là hàm phân phối cho phép bạn tìm xác suất mà một giá trị lấy một giá trị từ một khoảng. Vậy P (biến ngẫu nhiên ξ nhận giá trị trong khoảng ) = F ξ (b)-F ξ (a) . Dựa trên đẳng thức này, chúng ta có thể khảo sát xem giá trị này thay đổi như thế nào nếu ranh giới a và b của khoảng gần nhau.
Đặt d = b-a , sau đó b = a+d . Và do đó, F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Đối với các giá trị nhỏ của d, sự khác biệt trên cũng nhỏ (nếu phân phối liên tục). Thật hợp lý khi xem xét mối quan hệ p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d . Nếu đối với các giá trị đủ nhỏ của d, tỷ lệ này khác một chút so với một hằng số p ξ (a) , không phụ thuộc vào d, thì tại thời điểm này biến ngẫu nhiên có mật độ bằng p ξ (a) .
Lưu ý Những độc giả đã từng gặp khái niệm đạo hàm trước đây có thể nhận thấy rằng p ξ (a) là đạo hàm của hàm F ξ (x) tại điểm a . Trong mọi trường hợp, bạn có thể nghiên cứu khái niệm đạo hàm trong một bài viết dành riêng cho chủ đề này trên trang web Mathprofi.
Bây giờ ý nghĩa của hàm phân phối có thể được định nghĩa như sau: đạo hàm của nó (mật độ p ξ , mà chúng ta đã định nghĩa ở trên) tại điểm a mô tả tần suất một biến ngẫu nhiên sẽ rơi vào một khoảng nhỏ có tâm tại điểm a (lân cận của điểm a) so với các lân cận của các điểm khác. Nói cách khác, hàm phân phối phát triển càng nhanh thì càng có nhiều khả năng một giá trị như vậy sẽ xuất hiện trong một thử nghiệm ngẫu nhiên.
Hãy quay trở lại ví dụ. Chúng ta có thể tính hàm phân phối cho một biến ngẫu nhiên, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , biểu thị khoảng cách từ tâm đến điểm của một cú đánh ngẫu nhiên vào mục tiêu. Theo định nghĩa, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0 Chúng ta có thể tìm mật độ p ρ của biến ngẫu nhiên này. Chúng tôi lưu ý ngay rằng nó bằng 0 bên ngoài khoảng, vì hàm phân phối trên khoảng này không thay đổi. Ở cuối khoảng thời gian này, mật độ không được xác định. Bên trong khoảng, nó có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng bảng đạo hàm (ví dụ: từ trang web Mathprofi) và các quy tắc phân biệt cơ bản. Đạo hàm của t 2 /R 2 là 2t/R 2 . Điều này có nghĩa là chúng tôi đã tìm thấy mật độ trên toàn bộ trục số thực. Một tính chất hữu ích khác của mật độ là xác suất mà một hàm nhận một giá trị từ một khoảng được tính bằng cách sử dụng tích phân của mật độ trong khoảng này (bạn có thể làm quen với nó là gì trong các bài viết về tích phân đúng, không chính xác, không xác định trên trang web Mathprofi ). Ở lần đọc đầu tiên, tích phân nhịp của hàm f(x) có thể được coi là diện tích của một hình thang cong. Các cạnh của nó là một đoạn của trục Ox, một khe hở (của trục tọa độ nằm ngang), các đoạn thẳng đứng nối các điểm (a,f(a)), (b,f(b)) trên một đường cong với các điểm (a, 0), (b,0 ) trên trục x. Mặt cuối cùng là một đoạn của đồ thị hàm f từ (a,f(a)) đến (b,f(b)) . Chúng ta có thể nói về tích phân trên khoảng (-∞; b] , khi đối với các giá trị âm đủ lớn, a, giá trị của tích phân trong khoảng sẽ thay đổi nhỏ không đáng kể so với sự thay đổi của số a. Tích phân trên khoảng các khoảng được xác định theo cách tương tự Chuyên đề công nghệ thông tin nói chung EN lý thuyết xác suất tính xác suất may rủi… Cẩm nang phiên dịch viên kỹ thuật lý thuyết xác suất- có một phần toán học nghiên cứu mối quan hệ giữa các xác suất (xem Xác suất và Thống kê) của các sự kiện khác nhau. Chúng tôi liệt kê các định lý quan trọng nhất liên quan đến khoa học này. Xác suất xảy ra một trong số các sự kiện không tương thích bằng ... ... Từ Điển Bách Khoa F.A. Brockhaus và I.A. Efron LÝ THUYẾT XÁC SUẤT- toán học một khoa học cho phép, theo xác suất của một số sự kiện ngẫu nhiên (xem), tìm xác suất của các sự kiện ngẫu nhiên liên quan đến k. l. cách với người đầu tiên. TV hiện đại dựa trên tiên đề (xem Phương pháp tiên đề) của A. N. Kolmogorov. Trên… … Bách khoa toàn thư xã hội học Nga lý thuyết xác suất- một nhánh của toán học, trong đó, theo xác suất đã cho của một số sự kiện ngẫu nhiên, xác suất của các sự kiện khác được tìm thấy, có liên quan theo một cách nào đó với sự kiện đầu tiên. Lý thuyết xác suất cũng nghiên cứu các biến ngẫu nhiên và các quá trình ngẫu nhiên. Một trong những… … Các khái niệm khoa học tự nhiên hiện đại. Bảng thuật ngữ cơ bản lý thuyết xác suất- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. lý thuyết xác suất vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, frus. lý thuyết xác suất, f pranc. theory des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas Lý thuyết xác suất- ...Wikipedia lý thuyết xác suất- một ngành toán học nghiên cứu các mô hình của các hiện tượng ngẫu nhiên ... Sự khởi đầu của khoa học tự nhiên hiện đại LÝ THUYẾT XÁC SUẤT- (lý thuyết xác suất) xem Probability... Từ điển xã hội học giải thích lớn Lý thuyết xác suất và ứng dụng của nó- (“Lý thuyết xác suất và ứng dụng của nó”), một tạp chí khoa học của Khoa Toán học thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Xuất bản các bài báo gốc và thông tin ngắn về lý thuyết xác suất, các câu hỏi chung về thống kê toán học và ứng dụng của chúng trong khoa học tự nhiên và ... ... Bách khoa toàn thư Liên Xô Lý thuyết xác suất là một nhánh của toán học nghiên cứu các dạng thức của hiện tượng ngẫu nhiên: biến cố ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên, tính chất và phép toán của chúng. Trong một thời gian dài, lý thuyết xác suất không có một định nghĩa rõ ràng. Nó chỉ được xây dựng vào năm 1929. Sự xuất hiện của lý thuyết xác suất với tư cách là một môn khoa học được cho là bắt nguồn từ thời Trung cổ và những nỗ lực đầu tiên trong phân tích toán học về cờ bạc (tung, xúc xắc, cò quay). Các nhà toán học người Pháp của thế kỷ 17 Blaise Pascal và Pierre de Fermat đã phát hiện ra các mô hình xác suất đầu tiên xuất hiện khi tung xúc xắc trong khi nghiên cứu dự đoán về tiền thắng trong cờ bạc. Lý thuyết xác suất phát sinh như một môn khoa học từ niềm tin rằng một số quy luật nhất định làm cơ sở cho các sự kiện ngẫu nhiên lớn. Lý thuyết xác suất nghiên cứu các mẫu này. Lý thuyết xác suất liên quan đến việc nghiên cứu các sự kiện, sự xuất hiện của chúng không được biết chắc chắn. Nó cho phép bạn đánh giá mức độ xác suất xảy ra của một số sự kiện so với những sự kiện khác. Ví dụ: không thể xác định rõ ràng kết quả của một đồng xu tung mặt ngửa hay mặt sấp, nhưng với việc tung nhiều lần, số lượng mặt ngửa và mặt sấp xấp xỉ như nhau rơi ra, có nghĩa là xác suất mặt ngửa hoặc mặt sấp sẽ bằng nhau đến 50%. kiểm tra trong trường hợp này, việc thực hiện một tập hợp các điều kiện nhất định được gọi là tung đồng xu. Thử thách có thể được chơi không giới hạn số lần. Trong trường hợp này, phức hợp của các điều kiện bao gồm các yếu tố ngẫu nhiên. Kết quả kiểm tra là Sự kiện. Sự kiện xảy ra: Ví dụ: khi tung đồng xu, một sự kiện không thể xảy ra - đồng xu sẽ nằm trên mép, một sự kiện ngẫu nhiên - mất "ngửa" hoặc "sấp". Kết quả kiểm tra cụ thể được gọi là sự kiện cơ bản. Theo kết quả của bài kiểm tra, chỉ có các sự kiện cơ bản xảy ra. Tổng của tất cả các kết quả thử nghiệm cụ thể, khác nhau, có thể được gọi là không gian sự kiện cơ bản. xác suất- mức độ khả năng xảy ra của sự kiện. Khi những lý do khiến một số sự kiện có thể thực sự xảy ra lớn hơn những lý do ngược lại, thì sự kiện này được gọi là có thể xảy ra, nếu không thì - không thể xảy ra hoặc không thể xảy ra. giá trị ngẫu nhiên- đây là một giá trị, do kết quả của thử nghiệm, có thể lấy giá trị này hoặc giá trị khác và không biết trước giá trị nào. Ví dụ: số trạm bắn mỗi ngày, số lần bắn 10 phát, v.v. Các biến ngẫu nhiên có thể được chia thành hai loại. không gian xác suất- khái niệm được giới thiệu bởi A.N. Kolmogorov vào những năm 1930 để chính thức hóa khái niệm xác suất, điều này đã dẫn đến sự phát triển nhanh chóng của lý thuyết xác suất như một ngành toán học nghiêm ngặt. Không gian xác suất là một bộ ba (đôi khi được đặt trong dấu ngoặc nhọn: , trong đó Đây là một tập hợp tùy ý, các phần tử của chúng được gọi là các sự kiện, kết quả hoặc điểm cơ bản; Định lý De Moivre-Laplace- một trong những định lý giới hạn của lý thuyết xác suất, được thiết lập bởi Laplace vào năm 1812. Cô nói rằng số lần thành công trong việc lặp lại cùng một thí nghiệm ngẫu nhiên với hai kết quả có thể xảy ra là phân phối chuẩn. Nó cho phép bạn tìm một giá trị gần đúng của xác suất. Nếu, đối với mỗi phép thử độc lập, xác suất xảy ra một sự kiện ngẫu nhiên nào đó bằng ( ) và là số phép thử mà nó thực sự xảy ra, thì xác suất giá trị của bất đẳng thức gần (đối với lớn ) bằng giá trị của tích phân Laplace. Hàm phân phối trong lý thuyết xác suất- một hàm đặc trưng cho phân phối của một biến ngẫu nhiên hoặc một vectơ ngẫu nhiên; xác suất để một biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng x, trong đó x là một số thực tùy ý. Trong những điều kiện nhất định, nó hoàn toàn xác định một biến ngẫu nhiên. Gia trị được ki vọng- giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên (đây là phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên, được xem xét trong lý thuyết xác suất). Trong văn học Anh, nó được biểu thị bằng, trong tiếng Nga -. Trong thống kê, ký hiệu thường được sử dụng. Cho một không gian xác suất và một biến ngẫu nhiên xác định trên đó. Đó là, theo định nghĩa, một chức năng có thể đo lường được. Khi đó, nếu tồn tại tích phân Lebesgue trên không gian , thì nó được gọi là kỳ vọng toán học, hay giá trị trung bình, và được ký hiệu là . Phương sai của một biến ngẫu nhiên- thước đo mức độ lan truyền của một biến ngẫu nhiên nhất định, tức là độ lệch của nó so với kỳ vọng toán học. Được chỉ định trong văn học Nga và nước ngoài. Trong thống kê, ký hiệu hoặc thường được sử dụng. Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, độ lệch chuẩn hoặc mức chênh lệch chuẩn. Cho một biến ngẫu nhiên xác định trên một không gian xác suất nào đó. sau đó trong đó ký hiệu biểu thị kỳ vọng toán học. Trong lý thuyết xác suất, hai sự kiện ngẫu nhiên được gọi là sống độc lập nếu sự xuất hiện của một trong số chúng không làm thay đổi xác suất xảy ra của cái kia. Tương tự, hai biến ngẫu nhiên được gọi là sự phụ thuộc nếu giá trị của một trong số chúng ảnh hưởng đến xác suất của các giá trị còn lại. Dạng đơn giản nhất của luật số lớn là định lý Bernoulli, phát biểu rằng nếu xác suất của một sự kiện là như nhau trong tất cả các phép thử, thì khi số phép thử tăng lên, tần suất của sự kiện có xu hướng bằng xác suất của sự kiện đó và không còn là ngẫu nhiên. Định luật số lớn trong lý thuyết xác suất phát biểu rằng trung bình cộng của một mẫu hữu hạn từ một phân phối cố định gần với kỳ vọng trung bình lý thuyết của phân phối đó. Tùy thuộc vào loại hội tụ, người ta phân biệt quy luật yếu của số lớn, khi sự hội tụ theo xác suất xảy ra và quy luật số lớn mạnh, khi sự hội tụ gần như chắc chắn xảy ra. Ý nghĩa chung của luật số lớn là hành động chung của một số lượng lớn các yếu tố ngẫu nhiên giống hệt nhau và độc lập dẫn đến một kết quả, trong giới hạn, không phụ thuộc vào cơ hội. Các phương pháp ước tính xác suất dựa trên phân tích một mẫu hữu hạn dựa trên tính chất này. Một ví dụ điển hình là dự đoán kết quả bầu cử dựa trên khảo sát một mẫu cử tri. định lý giới hạn trung tâm- một loại định lý trong lý thuyết xác suất nói rằng tổng của một số lượng đủ lớn các biến ngẫu nhiên phụ thuộc yếu có tỷ lệ xấp xỉ bằng nhau (không có số hạng nào chiếm ưu thế, không đóng góp quyết định vào tổng) có phân phối gần bằng thông thường. Vì nhiều biến ngẫu nhiên trong các ứng dụng được hình thành dưới ảnh hưởng của một số yếu tố ngẫu nhiên phụ thuộc yếu nên phân phối của chúng được coi là bình thường. Trong trường hợp này, điều kiện phải được tuân thủ là không có yếu tố nào chiếm ưu thế. Các định lý giới hạn trung tâm trong những trường hợp này biện minh cho việc áp dụng phân phối chuẩn. “Ngẫu nhiên không phải là ngẫu nhiên”... Nghe thì có vẻ như một triết gia đã nói, nhưng thực ra, nghiên cứu về những sự ngẫu nhiên là vận mệnh của ngành khoa học toán học vĩ đại. Trong toán học, cơ hội là lý thuyết xác suất. Các công thức và ví dụ về các nhiệm vụ, cũng như các định nghĩa chính của khoa học này sẽ được trình bày trong bài báo. Lý thuyết xác suất là một trong những ngành toán học nghiên cứu các sự kiện ngẫu nhiên. Để làm cho nó rõ ràng hơn một chút, hãy đưa ra một ví dụ nhỏ: nếu bạn tung một đồng xu lên, nó có thể bị ngửa hoặc bị sấp. Miễn là đồng xu còn trong không khí, cả hai khả năng này đều có thể xảy ra. Nghĩa là, xác suất của các hậu quả có thể xảy ra tương quan 1:1. Nếu một người được rút từ bộ bài có 36 lá, thì xác suất sẽ được biểu thị là 1:36. Có vẻ như không có gì để khám phá và dự đoán, đặc biệt là với sự trợ giúp của các công thức toán học. Tuy nhiên, nếu bạn lặp lại một hành động nhất định nhiều lần, thì bạn có thể xác định một khuôn mẫu nhất định và trên cơ sở đó, dự đoán kết quả của các sự kiện trong các điều kiện khác. Để tóm tắt tất cả những điều trên, lý thuyết xác suất theo nghĩa cổ điển nghiên cứu khả năng xảy ra một trong những sự kiện có thể xảy ra theo nghĩa số. Lý thuyết xác suất, công thức và ví dụ về các nhiệm vụ đầu tiên xuất hiện vào thời Trung cổ xa xôi, khi những nỗ lực dự đoán kết quả của các trò chơi bài lần đầu tiên xuất hiện. Ban đầu, lý thuyết xác suất không liên quan gì đến toán học. Nó được chứng minh bằng các sự kiện thực nghiệm hoặc tính chất của một sự kiện có thể được tái tạo trong thực tế. Những công trình đầu tiên trong lĩnh vực này với tư cách là một ngành toán học xuất hiện vào thế kỷ 17. Những người sáng lập là Blaise Pascal và Pierre Fermat. Trong một thời gian dài, họ đã nghiên cứu về cờ bạc và thấy một số mô hình nhất định, họ quyết định nói với công chúng. Kỹ thuật tương tự đã được phát minh bởi Christian Huygens, mặc dù ông không quen thuộc với các kết quả nghiên cứu của Pascal và Fermat. Ông đã đưa ra khái niệm về "lý thuyết xác suất", các công thức và ví dụ, được coi là lần đầu tiên trong lịch sử của ngành học. Tầm quan trọng không nhỏ là các công trình của Jacob Bernoulli, các định lý của Laplace và Poisson. Họ làm cho lý thuyết xác suất giống một môn toán học hơn. Lý thuyết xác suất, công thức và ví dụ về các nhiệm vụ cơ bản có được hình thức hiện tại nhờ các tiên đề của Kolmogorov. Kết quả của tất cả những thay đổi, lý thuyết xác suất đã trở thành một trong những nhánh toán học. Khái niệm chính của bộ môn này là "sự kiện". Sự kiện có ba loại: Tất cả các sự kiện trong các ví dụ được biểu thị bằng các chữ cái Latinh viết hoa, ngoại trừ R, có vai trò khác. Ví dụ: Trong các nhiệm vụ thực tế, các sự kiện thường được ghi lại bằng chữ. Một trong những đặc điểm quan trọng nhất của các sự kiện là khả năng ngang nhau của chúng. Nghĩa là, nếu bạn tung một đồng xu, tất cả các biến thể của lần rơi ban đầu đều có thể xảy ra cho đến khi nó rơi xuống. Nhưng các sự kiện cũng không có khả năng xảy ra như nhau. Điều này xảy ra khi ai đó cố tình gây ảnh hưởng đến kết quả. Ví dụ: các quân bài hoặc xúc xắc được "đánh dấu", trong đó trọng tâm bị dịch chuyển. Các sự kiện cũng tương thích và không tương thích. Các sự kiện tương thích không loại trừ sự xuất hiện của nhau. Ví dụ: Những sự kiện này độc lập với nhau và sự xuất hiện của một trong số chúng không ảnh hưởng đến sự xuất hiện của sự kiện kia. Các sự kiện không tương thích được xác định bởi thực tế là sự xuất hiện của một sự kiện ngăn cản sự xuất hiện của sự kiện kia. Nếu chúng ta nói về cùng một đồng xu, thì việc mất "sấp" khiến cho sự xuất hiện của "ngửa" trong cùng một thí nghiệm là không thể. Các sự kiện có thể được nhân lên và thêm vào, tương ứng, các liên kết logic "VÀ" và "HOẶC" được giới thiệu trong môn học. Số lượng được xác định bởi thực tế là sự kiện A hoặc B hoặc cả hai có thể xảy ra cùng một lúc. Trong trường hợp chúng không tương thích, tùy chọn cuối cùng là không thể, A hoặc B sẽ bị loại. Sự nhân lên của các sự kiện bao gồm sự xuất hiện của A và B cùng một lúc. Bây giờ bạn có thể đưa ra một vài ví dụ để ghi nhớ tốt hơn những điều cơ bản, lý thuyết xác suất và các công thức. Ví dụ về giải quyết vấn đề dưới đây. bài tập 1: Công ty đang đấu thầu hợp đồng cho ba loại công việc. Các sự kiện có thể xảy ra: Hãy thử diễn đạt các tình huống sau bằng cách sử dụng các hành động đối với các sự kiện: Ở dạng toán học, phương trình sẽ như sau: K = ABC. M \u003d A 1 B 1 C 1. Chúng tôi làm phức tạp nhiệm vụ: H = "công ty sẽ nhận được một hợp đồng." Vì không biết công ty sẽ nhận được hợp đồng nào (thứ nhất, thứ hai hoặc thứ ba), nên cần phải ghi lại toàn bộ phạm vi các sự kiện có thể xảy ra: H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C. Và 1 BC 1 là một chuỗi các sự kiện trong đó công ty không nhận được hợp đồng thứ nhất và thứ ba, nhưng lại nhận được hợp đồng thứ hai. Các sự kiện có thể xảy ra khác cũng được ghi lại bằng phương pháp tương ứng. Ký hiệu υ trong môn học biểu thị một loạt "HOẶC". Nếu chúng tôi dịch ví dụ trên sang ngôn ngữ của con người, thì công ty sẽ nhận được hợp đồng thứ ba, hoặc thứ hai hoặc thứ nhất. Tương tự, bạn có thể viết các điều kiện khác trong môn học "Lý thuyết xác suất". Các công thức và ví dụ giải bài toán được trình bày ở trên sẽ giúp bạn tự làm. Có lẽ, trong ngành toán học này, xác suất của một sự kiện là một khái niệm trung tâm. Có 3 định nghĩa về xác suất: Mỗi người có vị trí của nó trong nghiên cứu về xác suất. Lý thuyết xác suất, công thức và ví dụ (Lớp 9) chủ yếu sử dụng định nghĩa cổ điển, nghe có vẻ như sau: Công thức trông như thế này: P (A) \u003d m / n. Và, trên thực tế, một sự kiện. Nếu điều ngược lại xảy ra với A, nó có thể được viết là Ā hoặc A 1 . m là số trường hợp thuận lợi có thể xảy ra. n - tất cả các sự kiện có thể xảy ra. Ví dụ: A \u003d "rút thẻ phù hợp với trái tim." Có 36 lá bài trong bộ bài tiêu chuẩn, 9 trong số đó là hình trái tim. Theo đó, công thức giải bài toán sẽ như sau: P(A)=9/36=0,25. Kết quả là, xác suất để một quân bài phù hợp với trái tim được rút ra từ bộ bài sẽ là 0,25. Giờ đây, người ta đã biết rất ít về lý thuyết xác suất, các công thức và ví dụ về cách giải các bài toán xuất hiện trong chương trình giảng dạy ở trường. Tuy nhiên, lý thuyết xác suất cũng được tìm thấy trong toán học cao hơn, được giảng dạy trong các trường đại học. Thông thường, chúng hoạt động với các định nghĩa hình học và thống kê của lý thuyết và các công thức phức tạp. Lý thuyết xác suất rất thú vị. Các công thức và ví dụ (toán học cao hơn) tốt hơn là bắt đầu học từ cái nhỏ - từ định nghĩa thống kê (hoặc tần số) của xác suất. Cách tiếp cận thống kê không mâu thuẫn với cách tiếp cận cổ điển, nhưng hơi mở rộng nó. Nếu trong trường hợp đầu tiên, cần xác định mức độ xác suất của một sự kiện sẽ xảy ra, thì trong phương pháp này, cần chỉ ra tần suất xảy ra sự kiện. Ở đây, một khái niệm mới về "tần số tương đối" được giới thiệu, có thể được ký hiệu là W n (A). Công thức không khác gì cổ điển: Nếu công thức cổ điển được tính để dự báo, thì công thức thống kê được tính theo kết quả của thí nghiệm. Lấy ví dụ, một nhiệm vụ nhỏ. Bộ phận kiểm soát công nghệ kiểm tra chất lượng sản phẩm. Trong số 100 sản phẩm, có 3 sản phẩm kém chất lượng. Làm thế nào để tìm xác suất tần suất của một sản phẩm chất lượng? A = "sự xuất hiện của một sản phẩm chất lượng." W n (A)=97/100=0,97 Do đó, tần số của một sản phẩm chất lượng là 0,97. Bạn lấy 97 từ đâu? Trong số 100 sản phẩm được kiểm tra, có 3 sản phẩm kém chất lượng. Chúng tôi trừ 3 từ 100, chúng tôi nhận được 97, đây là số lượng của một sản phẩm chất lượng. Một phương pháp khác của lý thuyết xác suất được gọi là tổ hợp. Nguyên tắc cơ bản của nó là nếu một lựa chọn A nhất định có thể được thực hiện theo m cách khác nhau và một lựa chọn B theo n cách khác nhau, thì sự lựa chọn A và B có thể được thực hiện bằng cách nhân lên. Ví dụ: có 5 con đường từ thành phố A đến thành phố B. Có 4 con đường đi từ thành phố B đến thành phố C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C? Rất đơn giản: 5x4 = 20, tức là có 20 cách khác nhau để đi từ điểm A đến điểm C. Hãy làm cho nhiệm vụ khó khăn hơn. Có bao nhiêu cách chơi bài trong solitaire? Trong bộ bài 36 lá, đây là điểm bắt đầu. Để tìm ra số cách, bạn cần "trừ" một thẻ từ điểm bắt đầu và nhân lên. Nghĩa là, 36x35x34x33x32…x2x1= kết quả không vừa với màn hình máy tính, vì vậy nó có thể được ký hiệu đơn giản là 36!. Bảng hiệu "!" bên cạnh số chỉ ra rằng toàn bộ dãy số được nhân với nhau. Trong tổ hợp, có các khái niệm như hoán vị, sắp xếp và kết hợp. Mỗi người trong số họ có công thức riêng của mình. Một tập hợp có thứ tự các phần tử của tập hợp được gọi là bố cục. Các vị trí có thể lặp đi lặp lại, nghĩa là một yếu tố có thể được sử dụng nhiều lần. Và không lặp lại, khi các yếu tố không được lặp lại. n là tất cả các phần tử, m là các phần tử tham gia sắp xếp. Công thức cho vị trí không lặp lại sẽ như sau: Một n m =n!/(n-m)! Các phép nối gồm n phần tử chỉ khác nhau về thứ tự sắp xếp gọi là các phép hoán vị. Trong toán học, điều này giống như: P n = n! Sự kết hợp của n phần tử với m là những hợp chất như vậy, trong đó điều quan trọng là chúng là những phần tử nào và tổng số của chúng là bao nhiêu. Công thức sẽ giống như: Một n m =n!/m!(n-m)! Trong lý thuyết xác suất cũng như trong mọi chuyên ngành, có những công trình của những nhà nghiên cứu xuất sắc trong lĩnh vực của họ đã đưa nó lên một tầm cao mới. Một trong những công trình này là công thức Bernoulli, cho phép bạn xác định xác suất của một sự kiện nhất định xảy ra trong các điều kiện độc lập. Điều này cho thấy rằng sự xuất hiện của A trong một thử nghiệm không phụ thuộc vào sự xuất hiện hay không xuất hiện của cùng một sự kiện trong các thử nghiệm trước đó hoặc sau đó. Phương trình Bernoulli: P n (m) = C n m ×p m ×q n-m . Xác suất (p) xảy ra sự kiện (A) không thay đổi trong mỗi lần thử. Xác suất để tình huống đó xảy ra đúng m lần trong n lần thí nghiệm sẽ được tính theo công thức đã trình bày ở trên. Theo đó, câu hỏi đặt ra là làm thế nào để tìm ra số q. Nếu sự kiện A xảy ra p số lần, thì nó có thể không xảy ra. Một đơn vị là một con số được sử dụng để chỉ định tất cả các kết quả của một tình huống trong một lĩnh vực. Do đó, q là con số cho biết khả năng biến cố không xảy ra. Bây giờ bạn đã biết công thức Bernoulli (lý thuyết xác suất). Các ví dụ về giải quyết vấn đề (cấp độ đầu tiên) sẽ được xem xét dưới đây. Nhiệm vụ 2: Một khách ghé thăm cửa hàng sẽ mua hàng với xác suất là 0,2. 6 khách bước vào cửa hàng một cách độc lập. Xác suất mà một khách truy cập sẽ thực hiện mua hàng là gì? Giải pháp: Vì không biết có bao nhiêu khách truy cập nên mua hàng, một hoặc cả sáu, nên cần phải tính toán tất cả các xác suất có thể bằng cách sử dụng công thức Bernoulli. A = "khách truy cập sẽ mua hàng." Trong trường hợp này: p = 0,2 (như đã nêu trong nhiệm vụ). Theo đó, q=1-0,2=0,8. n = 6 (vì có 6 khách hàng trong cửa hàng). Số m sẽ thay đổi từ 0 (không có khách hàng nào mua hàng) thành 6 (tất cả khách đến cửa hàng sẽ mua thứ gì đó). Kết quả là, chúng tôi nhận được giải pháp: P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621. Không ai trong số những người mua sẽ thực hiện giao dịch mua với xác suất là 0,2621. Công thức Bernoulli (lý thuyết xác suất) được sử dụng như thế nào khác? Ví dụ về giải quyết vấn đề (cấp độ thứ hai) dưới đây. Sau ví dụ trên, các câu hỏi đặt ra là C và p đã đi đâu. Đối với p, một số lũy thừa 0 sẽ bằng một. Đối với C, nó có thể được tìm thấy theo công thức: C n m = n! /m!(n-m)! Vì trong ví dụ đầu tiên m = 0, tương ứng, C=1, về nguyên tắc không ảnh hưởng đến kết quả. Sử dụng công thức mới, chúng ta hãy thử tìm xem xác suất mua hàng của hai khách là bao nhiêu. P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246. Lý thuyết xác suất không quá phức tạp. Công thức Bernoulli, ví dụ được trình bày ở trên, là một bằng chứng trực tiếp về điều này. Phương trình Poisson được sử dụng để tính toán các tình huống ngẫu nhiên khó xảy ra. Công thức cơ bản: P n (m)=λ m /m! × e (-λ) . Trong trường hợp này, λ = n x p. Đây là một công thức Poisson đơn giản (lý thuyết xác suất). Ví dụ về giải quyết vấn đề sẽ được xem xét dưới đây. nhiệm vụ 3 A: Nhà máy đã sản xuất 100.000 bộ phận. Sự xuất hiện của một bộ phận bị lỗi = 0,0001. Xác suất sẽ có 5 bộ phận bị lỗi trong một lô là gì? Như bạn có thể thấy, hôn nhân là một sự kiện không thể xảy ra và do đó, công thức Poisson (lý thuyết xác suất) được sử dụng để tính toán. Các ví dụ về giải các bài toán dạng này không khác gì các bài khác của môn học, chúng ta thay dữ liệu cần thiết vào công thức trên: A = "một bộ phận được chọn ngẫu nhiên sẽ bị lỗi." p = 0,0001 (theo điều kiện gán). n = 100000 (số phần). m = 5 (bộ phận khuyết). Chúng tôi thay thế dữ liệu trong công thức và nhận được: R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375. Cũng giống như công thức Bernoulli (lý thuyết xác suất), ví dụ về các giải pháp sử dụng được viết ở trên, phương trình Poisson có một ẩn số e. Về bản chất, nó có thể được tìm thấy theo công thức: e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n . Tuy nhiên, có những bảng đặc biệt chứa gần như tất cả các giá trị của e. Nếu trong sơ đồ Bernoulli, số lượng phép thử đủ lớn và xác suất xảy ra sự kiện A trong tất cả các sơ đồ là như nhau, thì xác suất xảy ra sự kiện A một số lần nhất định trong một loạt các phép thử có thể là được tìm bởi công thức Laplace: Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m). Xm = m-np/√npq. Để ghi nhớ tốt hơn công thức Laplace (lý thuyết xác suất), các ví dụ về nhiệm vụ dưới đây sẽ giúp ích. Trước tiên, chúng tôi tìm thấy X m , chúng tôi thay thế dữ liệu (tất cả chúng đều được chỉ định ở trên) vào công thức và nhận được 0,025. Sử dụng các bảng, chúng tôi tìm thấy số ϕ (0,025), giá trị của nó là 0,3988. Bây giờ bạn có thể thay thế tất cả dữ liệu trong công thức: P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03. Vậy xác suất để người đó ném trúng đúng 267 lần là 0,03. Công thức Bayes (lý thuyết xác suất), các ví dụ về giải quyết các nhiệm vụ sẽ được đưa ra dưới đây, là một phương trình mô tả xác suất của một sự kiện, dựa trên các trường hợp có thể liên quan đến nó. Công thức chính như sau: P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B). A và B là các biến cố xác định. P(A|B) - xác suất có điều kiện, nghĩa là sự kiện A có thể xảy ra, với điều kiện là sự kiện B là đúng. Р (В|А) - xác suất có điều kiện của sự kiện В. Vì vậy, phần cuối cùng của khóa học ngắn hạn "Lý thuyết xác suất" là công thức Bayes, các ví dụ về cách giải các bài toán dưới đây. Nhiệm vụ 5: Điện thoại từ ba công ty đã được đưa đến nhà kho. Đồng thời, một phần của điện thoại được sản xuất tại nhà máy đầu tiên là 25%, ở nhà máy thứ hai - 60%, ở nhà máy thứ ba - 15%. Người ta cũng biết rằng tỷ lệ sản phẩm bị lỗi trung bình ở nhà máy thứ nhất là 2%, ở nhà máy thứ hai là 4% và ở nhà máy thứ ba là 1%. Cần tìm xác suất để một chiếc điện thoại được chọn ngẫu nhiên bị lỗi. A = "điện thoại được lấy ngẫu nhiên." B 1 - chiếc điện thoại mà nhà máy đầu tiên sản xuất. Theo đó, phần giới thiệu B 2 và B 3 sẽ xuất hiện (dành cho nhà máy thứ hai và thứ ba). Kết quả là, chúng tôi nhận được: P (B 1) \u003d 25%/100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - vì vậy chúng tôi đã tìm thấy xác suất của từng tùy chọn. Bây giờ bạn cần tìm xác suất có điều kiện của sự kiện mong muốn, nghĩa là xác suất sản phẩm bị lỗi trong các công ty: P (A / B 1) \u003d 2%/100% \u003d 0,02; P (A / B 2) \u003d 0,04; P (A / B 3) \u003d 0,01. Bây giờ chúng tôi thay thế dữ liệu vào công thức Bayes và nhận được: P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305. Bài viết trình bày lý thuyết xác suất, các công thức và ví dụ giải toán, tuy nhiên đây chỉ là phần nổi của tảng băng chìm của một ngành học rộng lớn. Và sau tất cả những gì đã viết, sẽ rất hợp lý nếu đặt câu hỏi liệu lý thuyết xác suất có cần thiết trong cuộc sống hay không. Thật khó để một người đơn giản trả lời, tốt hơn là hỏi một người đã trúng số độc đắc hơn một lần với sự giúp đỡ của cô ấy. Đối với các thuộc tính của các sự kiện có thật, và chúng được hình thành trong các biểu diễn trực quan. Những công trình đầu tiên của các nhà khoa học trong lĩnh vực lý thuyết xác suất có từ thế kỷ 17. Trong khi nghiên cứu dự đoán về tiền thắng cược trong cờ bạc, Blaise Pascal và Pierre Fermat đã phát hiện ra các mô hình xác suất đầu tiên xảy ra khi tung xúc xắc. Dưới ảnh hưởng của những câu hỏi được họ đặt ra và cân nhắc, Christian Huygens cũng tham gia giải quyết những vấn đề tương tự. Đồng thời, anh ta không quen thuộc với sự tương ứng giữa Pascal và Fermat, vì vậy anh ta đã tự mình phát minh ra kỹ thuật giải pháp. Công trình của ông, giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất (khái niệm xác suất là đại lượng cơ hội; kỳ vọng toán học cho các trường hợp rời rạc, dưới dạng giá của cơ hội), đồng thời sử dụng các định lý cộng và nhân xác suất ( không được trình bày rõ ràng), đã được xuất bản hai mươi năm trước (1657) việc xuất bản các bức thư của Pascal và Fermat (1679). Jacob Bernoulli đã có một đóng góp quan trọng cho lý thuyết xác suất: ông đưa ra chứng minh về luật số lớn trong trường hợp đơn giản nhất là các phép thử độc lập. Vào nửa đầu thế kỷ 19, lý thuyết xác suất bắt đầu được áp dụng để phân tích các lỗi quan sát; Laplace và Poisson đã chứng minh các định lý giới hạn đầu tiên. Trong nửa sau của thế kỷ 19, đóng góp chính của các nhà khoa học Nga P. L. Chebyshev, A. A. Markov và A. M. Lyapunov. Trong thời gian này, định luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm và lý thuyết chuỗi Markov đã được phát triển. Lý thuyết xác suất đã nhận được hình thức hiện đại nhờ tiên đề do Andrey Nikolaevich Kolmogorov đề xuất. Kết quả là, lý thuyết xác suất có được một dạng toán học nghiêm ngặt và cuối cùng bắt đầu được coi là một trong những nhánh của toán học. Một giờ sau, Dunyasha đến gặp công chúa với tin Dron đã đến và tất cả nông dân, theo lệnh của công chúa, đã tập trung tại nhà kho, muốn nói chuyện với tình nhân. Trong một thời gian dài đêm hôm đó, Công chúa Marya ngồi bên cửa sổ mở trong phòng, lắng nghe tiếng nói chuyện của những người nông dân trong làng, nhưng cô không nghĩ về chúng. Cô cảm thấy rằng dù cô có nghĩ về họ bao nhiêu đi chăng nữa, cô cũng không thể hiểu được họ. Cô ấy cứ nghĩ về một điều - về nỗi đau của mình, mà giờ đây, sau khi tan vỡ vì những lo lắng về hiện tại, đã trở thành quá khứ đối với cô ấy. Bây giờ cô có thể nhớ, cô có thể khóc và cô có thể cầu nguyện. Khi mặt trời lặn, gió tắt. Đêm yên tĩnh và mát mẻ. Đến mười hai giờ, tiếng nói bắt đầu nhỏ dần, gà gáy, trăng tròn bắt đầu ló dạng sau rặng cây bồ đề, một làn sương trắng trong lành bay lên, sự im lặng bao trùm ngôi làng và ngôi nhà. Sách
Các khái niệm cơ bản của lý thuyết
- đại số sigma của các tập con gọi là biến cố (ngẫu nhiên);
- thước đo xác suất hoặc xác suất, tức là phép đo hữu hạn phụ gia sigma sao cho .
Lý thuyết xác suất là gì?
Từ những trang sử
Các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất. phát triển
Hành động trên các sự kiện
Trên thực tế, xác suất
đến toán học cao hơn
Một chút về tổ hợp
công thức Bernoulli
công thức độc
Định lý De Moivre-Laplace
công thức bayes
Các khái niệm cơ bản của lý thuyết
Xem thêm
Viết bình luận về bài viết "Lý thuyết xác suất"
ghi chú
Liên kết giới thiệu
Văn
VÀ
b
TẠI
g
D
e
Đến
L
m
P
r
Với
F
X
h
W
phân tích cổ điển
lý thuyết chức năng
sự khác biệt và
phương trình tích phân
Một đoạn trích đặc trưng cho Lý thuyết xác suất
“Chúng ta có bánh mì của ông chủ hả anh?” cô ấy hỏi.
“Bánh mì của Chúa còn nguyên vẹn,” Dron tự hào nói, “hoàng tử của chúng tôi không ra lệnh bán nó.
“Hãy đưa anh ấy cho những người nông dân, hãy cho anh ấy mọi thứ họ cần: Tôi cho phép bạn nhân danh anh trai của bạn,” Công chúa Mary nói.
Drone không trả lời và hít một hơi thật sâu.
- Anh cho họ cái bánh mì này, nếu nó đủ cho họ. Phân phối mọi thứ. Tôi ra lệnh cho bạn với danh nghĩa anh em và nói với họ: bất cứ điều gì là của chúng tôi, thì đó là của họ. Chúng tôi sẽ không tiếc gì cho họ. Vì vậy, bạn nói.
Drone chăm chú nhìn công chúa trong khi cô ấy nói.
“Mẹ ơi, hãy đuổi con đi, vì Chúa, hãy gửi cho con chìa khóa để chấp nhận,” anh nói. - Anh ấy đã phục vụ hai mươi ba năm, không làm điều gì xấu cả; bỏ cuộc, vì Chúa.
Công chúa Mary không hiểu anh ta muốn gì ở cô và tại sao anh ta lại yêu cầu bị sa thải. Cô ấy trả lời anh ấy rằng cô ấy không bao giờ nghi ngờ sự tận tâm của anh ấy và cô ấy sẵn sàng làm mọi thứ cho anh ấy và cho những người nông dân.
“Vâng, tôi chưa bao giờ gọi cho họ,” Công chúa Marya nói, “Tôi chỉ bảo Dronushka phân phát bánh mì cho họ.
- Lạy Chúa, Thái hậu hãy ra lệnh đuổi chúng đi và đừng đến chỗ chúng. Tất cả chỉ là một sự lừa dối,” Dunyasha nói, “nhưng Yakov Alpatych sẽ đến, và chúng tôi sẽ đi ... và bạn không phiền ...
- Lừa dối kiểu gì? công chúa ngạc nhiên hỏi.
“Vâng, tôi biết, chỉ cần nghe tôi nói, vì Chúa. Chỉ cần hỏi bảo mẫu. Họ nói rằng họ không đồng ý rời đi theo lệnh của bạn.
- Anh không nói gì đâu. Vâng, tôi chưa bao giờ ra lệnh rời đi ... - Công chúa Mary nói. - Gọi Dronushka.
Dron, người đã đến, xác nhận lời của Dunyasha: những người nông dân đến theo lệnh của công chúa.
“Vâng, tôi chưa bao giờ gọi cho họ,” công chúa nói. Bạn phải đã nói với họ sai. Tôi chỉ nói với bạn để cung cấp cho họ bánh mì.
Drone thở dài không trả lời.
“Nếu bạn bảo họ làm vậy, họ sẽ rời đi,” anh nói.
“Không, không, tôi sẽ đến gặp họ,” Công chúa Mary nói
Bất chấp sự can ngăn của Dunyasha và y tá, Công chúa Mary đã đi ra ngoài hiên. Dron, Dunyasha, y tá và Mikhail Ivanovich đi theo cô. Công chúa Mary nghĩ: “Có lẽ họ nghĩ rằng tôi đang cung cấp bánh mì cho họ để họ ở lại vị trí của mình, và bản thân tôi sẽ rời đi, để lại họ cho người Pháp thương xót. - Tôi sẽ hứa với họ một tháng ở căn hộ gần Mát-xcơ-va; Tôi chắc chắn rằng Andre sẽ còn làm được nhiều hơn thế ở vị trí của tôi, ”cô nghĩ khi đến gần đám đông trên đồng cỏ gần nhà kho vào lúc hoàng hôn.
Đám đông chen lấn nhau bắt đầu xôn xao, và những chiếc mũ nhanh chóng được cởi ra. Công chúa Mary, cụp mắt xuống và xỏ chân vào chiếc váy, đi lại gần họ. Rất nhiều cặp mắt già trẻ khác nhau dán vào cô ấy và có rất nhiều khuôn mặt khác nhau đến nỗi Công chúa Mary không nhìn thấy một khuôn mặt nào và cảm thấy cần phải đột ngột nói chuyện với mọi người, không biết phải làm gì. Nhưng một lần nữa, việc nhận ra mình là người đại diện cho cha và anh trai đã tiếp thêm sức mạnh cho cô, và cô mạnh dạn bắt đầu bài phát biểu của mình.
“Tôi rất vui vì bạn đã đến,” Công chúa Marya bắt đầu, không ngước mắt lên và cảm nhận trái tim mình đang đập nhanh và mạnh như thế nào. “Dronushka nói với tôi rằng chiến tranh đã hủy hoại bạn. Đây là nỗi đau chung của chúng ta, và tôi sẽ không tiếc gì để giúp bạn. Tôi tự đi, vì ở đây đã nguy hiểm và kẻ thù đang ở gần ... bởi vì ... tôi cho bạn tất cả, các bạn của tôi, và tôi yêu cầu bạn lấy tất cả, tất cả bánh mì của chúng tôi, để bạn không có nhu cầu. Và nếu bạn được nói rằng tôi đang cho bạn bánh mì để bạn ở lại đây, thì điều này là không đúng. Ngược lại, tôi yêu cầu bạn rời đi với tất cả tài sản của mình đến khu vực ngoại ô của chúng tôi, và ở đó tôi tự đảm nhận và hứa với bạn rằng bạn sẽ không cần đến. Bạn sẽ được cấp nhà và bánh mì. Công chúa dừng lại. Chỉ có thể nghe thấy những tiếng thở dài trong đám đông.
“Tôi không làm điều này một mình,” công chúa tiếp tục, “Tôi làm điều này nhân danh người cha quá cố của tôi, người đã từng là một người chủ tốt đối với bạn, cũng như cho anh trai và con trai của ông ấy.
Cô lại dừng lại. Không ai cắt ngang sự im lặng của cô.
- Khốn nạn là của chung, chia đôi mọi thứ. Mọi thứ của tôi đều là của bạn,” cô nói, nhìn quanh những khuôn mặt đang đứng trước mặt mình.
Mọi ánh mắt đều nhìn cô với cùng một biểu cảm, ý nghĩa mà cô không thể hiểu được. Cho dù đó là sự tò mò, tận tâm, lòng biết ơn hay sợ hãi và ngờ vực, biểu cảm trên tất cả các khuôn mặt đều giống nhau.
“Nhiều người hài lòng với ân sủng của bạn, chỉ có điều chúng tôi không cần phải lấy bánh mì của chủ nhân,” một giọng nói từ phía sau cất lên.
- Vâng, tại sao? - công chúa nói.
Không ai trả lời, và Công chúa Mary, nhìn xung quanh đám đông, nhận thấy rằng bây giờ tất cả những ánh mắt cô gặp đều lập tức cụp xuống.
- Sao lại không muốn? cô hỏi lại.
Không có ai trả lời cả.
Công chúa Marya cảm thấy nặng nề vì sự im lặng này; cô cố bắt lấy ánh nhìn của ai đó.
- Sao không nói? - công chúa quay sang ông già già, người đang chống gậy, đứng trước mặt cô. Hãy cho tôi biết nếu bạn nghĩ rằng bạn cần bất cứ điều gì khác. Tôi sẽ làm bất cứ điều gì," cô nói, bắt gặp ánh mắt của anh. Nhưng anh ta, như thể tức giận vì điều này, cúi đầu xuống hoàn toàn và nói:
- Tại sao đồng ý, chúng tôi không cần bánh mì.
- Chà, chúng ta có nên từ bỏ mọi thứ không? Không đồng ý. Không đồng ý... Không có sự đồng ý của chúng tôi. Chúng tôi thương hại bạn, nhưng không có sự đồng ý của chúng tôi. Đi một mình, một mình…” được nghe thấy trong đám đông từ các hướng khác nhau. Và một lần nữa cùng một biểu hiện xuất hiện trên tất cả các khuôn mặt của đám đông này, và bây giờ nó có lẽ không còn là biểu hiện của sự tò mò và lòng biết ơn, mà là biểu hiện của sự quyết tâm cay đắng.
“Vâng, bạn không hiểu đúng không,” Công chúa Marya nói với một nụ cười buồn. Tại sao bạn không muốn đi? Tôi hứa sẽ chứa bạn, cho bạn ăn. Và ở đây kẻ thù sẽ hủy hoại bạn ...
Nhưng giọng nói của cô bị át đi bởi tiếng nói của đám đông.
- Không có sự đồng ý của chúng ta, cứ để chúng phá hoại! Chúng tôi không lấy bánh mì của bạn, không có sự đồng ý của chúng tôi!
Công chúa Mary một lần nữa cố gắng bắt gặp ánh mắt của ai đó từ đám đông, nhưng không một cái nhìn nào hướng vào cô ấy; ánh mắt của cô ấy rõ ràng là tránh cô ấy. Cô thấy lạ và khó chịu.
“Xem kìa, cô ấy đã dạy tôi một cách khéo léo, hãy theo cô ấy đến pháo đài!” Phá hủy những ngôi nhà và rơi vào cảnh nô lệ và đi. Làm sao! Tôi sẽ cho bạn bánh mì! tiếng nói đã được nghe thấy trong đám đông.
Công chúa Mary, cúi đầu, rời khỏi vòng tròn và đi vào nhà. Sau khi lặp lại mệnh lệnh với Dron rằng ngày mai phải có ngựa khởi hành, cô về phòng và ở lại một mình với những suy nghĩ của mình.
Lần lượt, cô tưởng tượng ra những hình ảnh về quá khứ gần gũi - bệnh tật và những giây phút cuối cùng của cha cô. Và với niềm vui buồn, giờ đây cô đắm chìm trong những hình ảnh này, xua đuổi bản thân với nỗi kinh hoàng chỉ một ý tưởng cuối cùng về cái chết của anh, điều mà - cô cảm thấy - cô không thể tưởng tượng được ngay cả trong trí tưởng tượng của mình vào giờ phút yên tĩnh và bí ẩn này. đêm. Và những bức tranh này hiện ra trước mắt cô rõ ràng và chi tiết đến mức đối với cô chúng dường như là hiện thực, quá khứ hoặc tương lai.
Sau đó, cô tưởng tượng một cách sống động khoảnh khắc khi anh bị đột quỵ và anh bị hai cánh tay lôi ra khỏi khu vườn ở Dãy núi Hói và anh đang lẩm bẩm điều gì đó bằng một thứ ngôn ngữ bất lực, nhướng đôi lông mày xám và nhìn cô một cách bồn chồn và rụt rè.
“Anh ấy muốn nói với tôi ngay cả những gì anh ấy đã nói với tôi vào ngày anh ấy qua đời,” cô nghĩ. Anh ấy luôn nghĩ những gì anh ấy nói với tôi. Và bây giờ cô nhớ lại với tất cả các chi tiết vào đêm hôm đó ở Dãy núi Hói vào đêm trước trận đòn xảy ra với anh ta, khi Công chúa Mary, lường trước được rắc rối, đã ở lại với anh ta trái với ý muốn của anh ta. Cô không ngủ và rón rén đi xuống cầu thang vào ban đêm và khi đi đến cửa phòng hoa, nơi cha cô qua đêm hôm đó, cô lắng nghe giọng nói của ông. Anh ấy đang nói điều gì đó với Tikhon bằng một giọng mệt mỏi, mệt mỏi. Anh ấy có vẻ muốn nói chuyện. "Tại sao anh ấy không gọi cho tôi? Tại sao anh ấy không cho phép tôi ở đây thay cho Tikhon? suy nghĩ sau đó và bây giờ Công chúa Marya. - Anh ấy sẽ không bao giờ nói với ai bây giờ tất cả những gì trong tâm hồn anh ấy. Khoảnh khắc này sẽ không bao giờ trở lại đối với anh ấy và đối với tôi khi anh ấy nói ra tất cả những gì anh ấy muốn bày tỏ, và tôi, chứ không phải Tikhon, sẽ lắng nghe và thấu hiểu anh ấy. Tại sao lúc đó tôi không vào phòng? cô ấy đã nghĩ rằng. “Có lẽ anh ấy đã nói với tôi những gì anh ấy nói vào ngày anh ấy qua đời. Thậm chí sau đó, trong một cuộc trò chuyện với Tikhon, anh ấy đã hỏi hai lần về tôi. Anh ấy muốn gặp tôi, và tôi đang đứng đó, ngoài cửa. Anh ấy buồn, thật khó để nói chuyện với Tikhon, người không hiểu anh ấy. Tôi nhớ cách anh ấy nói với anh ấy về Liza, như thể còn sống - anh ấy quên rằng cô ấy đã chết, và Tikhon nhắc anh ấy rằng cô ấy không còn ở đó nữa, và anh ấy hét lên: "Đồ ngốc." Thật khó cho anh ấy. Tôi nghe thấy từ phía sau cánh cửa, anh ấy rên rỉ nằm xuống giường và hét lớn: “Trời ơi! Tại sao lúc đó tôi không lên? Anh ta sẽ làm gì tôi? Tôi sẽ mất gì? Hoặc có thể lúc đó anh sẽ tự an ủi mình, anh sẽ nói với em lời này. Và Công chúa Marya đã thốt ra lời trìu mến mà anh ấy đã nói với cô ấy vào ngày anh ấy qua đời. “Anh bạn nka! - Công chúa Marya nhắc lại lời này và nức nở rơi nước mắt khiến tâm hồn nhẹ nhõm. Cô nhìn thấy khuôn mặt anh trước mặt cô lúc này. Và không phải khuôn mặt cô đã biết kể từ khi cô có thể nhớ, và khuôn mặt mà cô luôn nhìn thấy từ xa; và khuôn mặt đó - rụt rè và yếu ớt, mà vào ngày cuối cùng, cúi xuống miệng để nghe những gì anh ấy nói, lần đầu tiên được xem xét kỹ lưỡng với tất cả các nếp nhăn và chi tiết của nó.
Làm thế nào để bắt đầu làm gia sư?
Học tiếng Anh từ xa
Động từ tiếng Anh thông thường và bất quy tắc