Đa giác lồi. Định nghĩa đa giác lồi

Năm lớp 8, trong giờ học hình học ở trường, học sinh lần đầu tiên được làm quen với khái niệm đa giác lồi. Họ sẽ sớm biết rằng hình này có một đặc tính rất thú vị. Cho dù nó có phức tạp đến đâu, tổng tất cả các góc trong và ngoài của một đa giác lồi đều có một giá trị được xác định chặt chẽ. Trong bài viết này, một gia sư toán và vật lý nói về tổng các góc của một đa giác lồi bằng bao nhiêu.

Tổng các góc trong của đa giác lồi

Làm thế nào để chứng minh công thức này?

Trước khi chuyển sang chứng minh khẳng định này, chúng ta hãy nhớ lại đa giác nào được gọi là lồi. Đa giác lồi là đa giác nằm hoàn toàn trên một cạnh của đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó. Ví dụ: cái được hiển thị trong hình này:

Nếu đa giác không thỏa mãn điều kiện đã cho thì gọi là đa giác không lồi. Ví dụ như thế này:

Tổng các góc trong của một đa giác lồi bằng , trong đó là số cạnh của đa giác đó.

Bằng chứng của thực tế này dựa trên định lý về tổng các góc trong một tam giác, được tất cả học sinh biết đến. Tôi chắc chắn rằng định lý này cũng quen thuộc với bạn. Tổng các góc trong của một tam giác là .

Ý tưởng là chia một đa giác lồi thành nhiều hình tam giác. Điều này có thể được thực hiện theo những cách khác nhau. Tùy thuộc vào phương pháp chúng ta chọn, bằng chứng sẽ hơi khác một chút.

1. Chia đa giác lồi thành các hình tam giác bằng cách sử dụng tất cả các đường chéo có thể được vẽ từ một đỉnh nào đó. Dễ hiểu là khi đó n-gon của chúng ta sẽ được chia thành các hình tam giác:

Hơn nữa, tổng tất cả các góc của tất cả các tam giác thu được bằng tổng các góc của n-giác của chúng ta. Xét cho cùng, mỗi góc trong các tam giác thu được là một góc riêng trong đa giác lồi của chúng ta. Nghĩa là, số tiền cần thiết bằng .

2. Bạn cũng có thể chọn một điểm bên trong đa giác lồi và nối nó với tất cả các đỉnh. Khi đó n-gon của chúng ta sẽ được chia thành các hình tam giác:

Hơn nữa, tổng các góc của đa giác của chúng ta trong trường hợp này sẽ bằng tổng tất cả các góc của tất cả các tam giác này trừ đi góc ở tâm, bằng . Nghĩa là, số tiền cần thiết lại bằng .

Tổng các góc ngoài của đa giác lồi

Bây giờ chúng ta đặt câu hỏi: “Tổng các góc ngoài của một đa giác lồi là bao nhiêu?” Câu hỏi này có thể được trả lời như sau. Mỗi góc bên ngoài liền kề với góc bên trong tương ứng. Vì vậy nó bằng:

Khi đó tổng các góc ngoài bằng . Tức là nó ngang bằng.

Tức là thu được một kết quả rất buồn cười. Nếu chúng ta vẽ lần lượt tất cả các góc ngoài của bất kỳ n-giác lồi nào, thì kết quả sẽ chính xác là toàn bộ mặt phẳng.

Sự thật thú vị này có thể được minh họa như sau. Hãy giảm tỷ lệ tất cả các cạnh của một số đa giác lồi cho đến khi nó hợp nhất thành một điểm. Sau khi điều này xảy ra, tất cả các góc bên ngoài sẽ được đặt cách xa nhau và do đó lấp đầy toàn bộ mặt phẳng.

Sự thật thú vị phải không? Và có rất nhiều sự thật như vậy trong hình học. Vì vậy hãy học hình học nhé các em học sinh thân mến!

Tài liệu về tổng các góc của một đa giác lồi bằng nhau đã được biên soạn bởi Sergey Valerievich

Cho trước một đa giác lồi và n > 3. Sau đó, chúng ta vẽ n-3 đường chéo từ một đỉnh đến các đỉnh đối diện: . Vì đa giác lồi nên các đường chéo này chia nó thành n - 2 hình tam giác: . Tổng các góc của một đa giác bằng tổng các góc của tất cả các tam giác đó. Tổng các góc trong mỗi tam giác là 180° và số lượng các tam giác này là n-2. Do đó, tổng các góc của một n-giác là 180°(n-2). Định lý đã được chứng minh. Bình luận Đối với một n-giác không lồi, tổng các góc cũng là 180°(n-2). Cách chứng minh tương tự, nhưng bổ sung thêm bổ đề rằng mọi đa giác đều có thể cắt các đường chéo thành hình tam giác. Ghi chú Định lý về tổng các góc đa giác không áp dụng cho đa giác trên một hình cầu (hoặc trên bất kỳ mặt phẳng méo nào khác, ngoại trừ trong một số trường hợp). Xem hình học phi Euclide để biết thêm chi tiết. Xem thêm Quỹ Wikimedia. 2010. Xem “Định lý về tổng các góc của đa giác” là gì trong các từ điển khác: Tam giác Định lý về tổng các góc của một tam giác là một định lý cổ điển của hình học Euclide. Khẳng định rằng... Wikipedia - ... Wikipedia Phát biểu rằng hai đa giác bất kì có diện tích bằng nhau thì tỉ lệ bằng nhau. Chính thức hơn: Cho P và Q là hai đa giác có cùng diện tích. Sau đó, chúng có thể được cắt thành các đa giác tương ứng và đối với bất kỳ ... Wikipedia Định lý Bolyai Gerwin phát biểu rằng hai đa giác bất kỳ có diện tích bằng nhau đều bằng nhau. Chính thức hơn: Giả sử và là hai đa giác có cùng diện tích. Sau đó, chúng có thể được cắt thành các đa giác tương ứng và, vì vậy... ... Wikipedia - ... Wikipedia Thuật ngữ này có ý nghĩa khác, xem Tam giác (ý ​​nghĩa). Một hình tam giác (trong không gian Euclide) là một hình hình học được hình thành bởi ba đoạn nối ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng. Ba dấu chấm,... ... Wikipedia

Lớp học: 9

Mục tiêu: Suy ra công thức tính tổng các góc của một đa giác lồi;

• khảo sát câu hỏi về tổng các góc ngoài của một đa giác, lấy một góc ở mỗi đỉnh;
• hình thành động lực tích cực cho hoạt động nhận thức;
• phát triển tư duy logic;
• phát triển sự chú ý, quan sát, khả năng phân tích bản vẽ;
• phát triển khả năng áp dụng kiến ​​thức đã học để giải quyết vấn đề;
• phát triển văn hóa giao tiếp của học sinh.

Trong các lớp học

Nhà khoa học vĩ đại người Nga, niềm tự hào của Đất Nga,

Mikhailo Vasilyevich Lomonosov nói: “Làm việc không mệt mỏi sẽ vượt qua trở ngại”. Tôi hy vọng rằng công việc hôm nay trong lớp sẽ giúp chúng ta vượt qua mọi trở ngại.

1. Cập nhật kiến ​​thức cơ bản. (Khảo sát trước.)

Bài thuyết trình. (Trang trình bày 2–4)

– Nêu định nghĩa đa giác, nêu tên các phần tử chính của nó.
- Định nghĩa đa giác lồi.
– Cho ví dụ về các tứ giác mà bạn biết là đa giác lồi.
– Một tam giác có thể được coi là đa giác lồi không?
- Góc ngoài của đa giác lồi là gì?

2. Phát biểu vấn đề (đi vào chủ đề bài học).

Công việc bằng miệng phía trước.

Tìm tổng các góc của các đa giác này (Trang trình bày 5–6)

- Tam giác; hình chữ nhật:
- hình thang; hình bảy giác tùy ý.

Gặp khó khăn, giáo viên đặt câu hỏi:

- Nêu định nghĩa hình thang.
- Kể tên các đáy của hình thang.
– Có thể nói gì về cặp góc A và D, chúng có những tính chất gì?
– Có thể kể tên một số điểm bắt một chiều bên trong trong bản vẽ không?
– Bạn có thể tìm được tổng các góc của một hình bảy giác không? Câu hỏi là gì? (Có công thức tính tổng các góc của một đa giác tùy ý không?)

Như vậy, rõ ràng kiến ​​thức của chúng ta ngày nay chưa đủ để giải quyết vấn đề này.

Làm thế nào chúng ta có thể xây dựng chủ đề của bài học? – Tổng các gócđa giác lồi.

3. Giải pháp Các vấn đề. Để trả lời câu hỏi, chúng ta hãy thực hiện một nghiên cứu nhỏ.

Chúng ta đã biết định lý về tổng các góc của một tam giác. Chúng ta có thể sử dụng nó theo bất kỳ cách nào?

– Cần phải làm gì cho việc này? (Chia đa giác thành các hình tam giác.)

- Làm thế nào để chia một đa giác thành các hình tam giác? Hãy suy nghĩ về nó, thảo luận và đưa ra những lựa chọn tốt nhất của bạn.

Công việc được thực hiện theo nhóm, mỗi nhóm làm việc trên một máy tính riêng có cài đặt chương trình “Geo Gebra”.

Khi kết thúc bài làm, giáo viên hiển thị kết quả làm việc của các nhóm lên màn hình. (Trang trình bày 7)

– Hãy phân tích các phương án được đề xuất và cố gắng chọn ra phương án tối ưu nhất cho nghiên cứu của chúng ta.

Hãy quyết định các tiêu chí lựa chọn: chúng ta muốn nhận được gì khi phân vùng? (Tổng các góc của các tam giác dựng được phải bằng tổng các góc của đa giác.)

– Lựa chọn nào có thể bị loại bỏ ngay lập tức? Tại sao?

(Phương án 1, vì tổng các góc của tất cả các tam giác không bằng tổng các góc của đa giác.)

– Phương án nào phù hợp nhất? Tại sao? (Tùy chọn 3.)

Làm thế nào bạn có được tùy chọn này? (Vẽ các đường chéo từ một đỉnh của đa giác

vẽ	n - số đỉnh của đa giác	Số đường chéo vẽ từ một đỉnh	Số lượng hình tam giác thu được
	4
	5
	6
	7
	N

– Hãy thử thiết lập mối quan hệ giữa số đỉnh của một đa giác, số đường chéo có thể vẽ được từ một đỉnh và số lượng hình tam giác thu được.

Mỗi nhóm nhận được một bảng mà họ phải điền vào trong quá trình nghiên cứu.

Sau khi thảo luận nhóm, trẻ rút ra kết luận:
từ một đỉnh của n-giác người ta có thể vẽ n – 3 đường chéo (vì không thể vẽ một đường chéo tới chính đỉnh đã chọn và tới hai đỉnh lân cận). Trong trường hợp này chúng ta nhận được n – 2 hình tam giác.

Do đó, tổng các góc của một đa giác lồi là 180 0 (n-2).

– Quay lại các phương án đã đề xuất để chia đa giác thành các hình tam giác.

Có thể sử dụng phiên bản được đề xuất trong Hình 4 để chứng minh định lý này không?

– Bạn có được bao nhiêu hình tam giác với phân vùng này? ( Pđồ đạc)
Tổng các góc của tất cả các hình tam giác khác nhau bao nhiêu so với tổng các góc của một đa giác? (Ở 360 0)
– Làm thế nào bạn có thể tính tổng các góc của một đa giác trong trường hợp này?

(180P– 360 = 180p – 180x2 = 180(p -2))(Cdẫn 8)

– Phương án đề xuất ở Hình 2 có đáp ứng được yêu cầu chính mà chúng ta đặt ra cho việc phân vùng không? (Đúng.)

– Tại sao không nên dùng nó để tính tổng các góc của một đa giác? (Thật khó để đếm số lượng hình tam giác bạn nhận được.)

Bây giờ chúng ta quay lại vấn đề mà chúng ta chưa giải được ở đầu bài.

(Trẻ tính bằng lời nói tổng các góc của hình bảy cạnh và hai bài tập tương tự khác.) (Trang trình bày 9 và 10)

4. Áp dụng kiến ​​thức đã học .

Chúng ta đã rút ra được công thức tính tổng các góc trong của một đa giác lồi. Bây giờ chúng ta hãy nói về tổng các góc ngoài của một đa giác, lấy một góc ở mỗi đỉnh.

Vì vậy, vấn đề là: cái nào lớn hơn: tổng các góc ngoài, lấy một góc ở mỗi đỉnh, của một hình lục giác lồi hay của một tam giác? (Trang trình bày 11)

Trẻ bày tỏ suy đoán của mình. Giáo viên đề nghị tiến hành nghiên cứu để giải quyết vấn đề này.

Mỗi nhóm nhận một nhiệm vụ để giải quyết độc lập.

Nhóm 1.

1) Tìm tổng các góc ngoài tại mỗi đỉnh của một tam giác đều.
2) – Đối với một tam giác, giá trị độ của các góc lần lượt bằng 70 0, 80 0 và 30 0.

Nhóm 2.

1) Tìm tổng các góc ngoài tại mỗi đỉnh của hình chữ nhật.
2) – Một tứ giác có các góc trong lần lượt bằng 70 0, 80 0 và 120 0 và 90 0.

Nhóm 3.

1) Tìm tổng các góc ngoài tại mỗi đỉnh của một hình lục giác đều.
2) – Cho hình lục giác có các góc trong lần lượt bằng 170 0, 80 0 và 130 0, 100 0, 70 0, 170 0.

Sau khi làm xong, các em báo cáo kết quả, giáo viên xếp các em vào bảng và chiếu lên màn hình. (Trang trình bày 12)

Vậy có thể rút ra kết luận gì từ kết quả thu được? (Tổng các góc ngoài, lấy một góc ở mỗi đỉnh, đối với bất kỳ đa giác nào là 360 0.)

Bây giờ chúng ta hãy thử chứng minh điều này cho bất kỳ n-giác nào.

Nếu có khó khăn phát sinh, kế hoạch kiểm chứng sẽ được thảo luận chung:

1. Chỉ định các góc trong của đa giác bằng α, β, γ, v.v.
2. Biểu thị số đo độ của góc ngoài bằng ký hiệu đã giới thiệu
3. Tạo biểu thức tính tổng các góc ngoài của đa giác
4. Biến đổi biểu thức thu được, sử dụng công thức tính tổng các góc trong của đa giác thu được trước đó.

Bằng chứng được viết trên bảng:

(180 – α) + (180 – β) + (180 – γ) + …= 180 p – (α+ β +γ + …) = 180 p – 180(p – 2) = 360

5. Củng cố tài liệu đã nghiên cứu. Giải quyết vấn đề.

Bài 1. Có đa giác lồi nào có các góc trong sau: 45 0, 68 0, 73 0 và 56 0 không? Giải thich câu trả lơi của bạn.

Hãy tiến hành chứng minh bằng phản chứng. Nếu một đa giác lồi có bốn góc trong nhọn thì trong số các góc ngoài của nó có bốn góc tù, nghĩa là tổng tất cả các góc ngoài của đa giác lớn hơn 4 * 90 0 = 360 0 . Chúng tôi có một sự mâu thuẫn. Tuyên bố đã được chứng minh.

Một đa giác lồi có ba góc bằng 80 độ và các góc còn lại bằng 150 độ. Có bao nhiêu góc trong một đa giác lồi?

Bởi vì: đối với một n-giác lồi, tổng các góc là 180°(n – 2) , thì 180(n – 2)=3*80 + x*150, trong đó 3 góc 80 độ được cung cấp cho chúng ta tùy theo điều kiện của bài toán, và chúng ta vẫn chưa biết số các góc khác, điều đó có nghĩa là chúng ta biểu thị số của chúng bằng x.

Tuy nhiên, từ mục nhập ở phía bên trái, chúng ta đã xác định được số góc của đa giác là n, vì từ đó chúng ta biết giá trị của ba góc từ các điều kiện của bài toán, rõ ràng là x = n-3.

Vì vậy phương trình sẽ như sau: 180(n – 2) = 240 + 150(n – 3)

Chúng tôi giải phương trình kết quả

180n – 360 = 240 + 150n – 450

180n – 150n = 240 + 360 – 450

Đáp số: 5 đỉnh.

6. Tóm tắt bài học.

Vì thế, Hãy tóm tắt lại. Hãy đặt câu hỏi cho các bạn ở nhóm khác dựa trên tài liệu của bài học hôm nay.

Bạn nghĩ câu hỏi nào là hay nhất?

Thảo luận mức độ tham gia của từng thành viên trong nhóm vào công việc tập thể, kể tên những người tích cực nhất.

Công việc của ai trong nhóm là hiệu quả nhất?

7. Bài tập về nhà:

1. Nhiệm vụ.

Trong một đa giác, ba góc có số đo là 113 độ, các góc còn lại bằng nhau và số đo độ của chúng là số nguyên. Tìm số đỉnh của đa giác.

2. đoạn 114 trang 169–171, Pogorelov A.V. “Hình học 7–9.”

Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng ta thu thập thông tin cá nhân gì:

• Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Thông tin cá nhân chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo cũng như các sự kiện khác và sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

• Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục tố tụng và/hoặc trên cơ sở yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.

Một hình hình học gồm các đoạn AB,BC,CD,..,EF, FA sao cho các đoạn liền kề không nằm trên cùng một đường thẳng và các đoạn không kề nhau không có điểm chung, được gọi là đa giác. Các đầu của các đoạn thẳng, điểm A, B, C, D,..., E, F này gọi là đỉnh caođa giác và các đoạn thẳng AB, BC, CD, .., EF, FA lần lượt là các bữa tiệcđa giác.

Một đa giác được gọi là lồi nếu nó nằm ở một phía của mỗi đường thẳng đi qua hai đỉnh liền kề của nó. Hình dưới đây cho thấy một đa giác lồi:

Và hình dưới đây minh họa một đa giác không lồi:

Góc của đa giác lồi tại một đỉnh cho trước là góc tạo bởi các cạnh của đa giác này hội tụ tại một đỉnh cho trước. Góc ngoài của đa giác lồi tại một đỉnh nhất định là góc kề với góc trong của đa giác tại một đỉnh nhất định.

Định lý: Tổng các góc của một n-giác lồi là 180˚ *(n-2)

Chứng minh: Xét một n-giác lồi. Để tìm tổng của tất cả các góc trong, hãy nối một trong các đỉnh của đa giác với các đỉnh khác.

Kết quả là ta được (n-2) hình tam giác. Biết rằng tổng các góc của một tam giác là 180 độ. Và vì số của chúng trong đa giác là (n-2), nên tổng các góc của đa giác bằng 180˚ * (n-2). Đây là điều cần phải được chứng minh.

Nhiệm vụ:

Tìm tổng các góc của một hình lồi a) hình ngũ giác b) hình lục giác c) hình mười giác.

Hãy sử dụng công thức để tính tổng các góc của n-giác lồi.

a) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.

b) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

c) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

Trả lời: a) 540˚. b) 720˚. c) 1440˚.