Введение. Обработка результатов измерений в физическом практикуме измерения и погрешности измерений Анализ результатов прямых измерений

Случайные погрешности обладают следующими свойствами.

При большом числе измерений одинаковые по величине, но противоположные по знаку погрешности встречаются одинаково часто.

Большие по величине погрешности встречаются с меньшей вероятностью, чем малые. Из соотношений (1), переписав их в виде

Х = х 1 + х 1

Х = х 2 + х 2

Х = х n + х n

и сложив столбиком, можно определить истинное значение измеряемой величины следующим образом:

или
.

(2)

т.е. истинное значение измеряемой величины равно среднему арифметическому значению результатов измерений, если их бесконечно много. При ограниченном, а тем более при небольшом числе измерений, с которым мы обычно имеем дело на практике, равенство (2) носит приближенный характер.

Пусть в результате нескольких измерений получены следующие значения измеряемой величины Х: 13,4; 13,2; 13,3; 13,4; 13,3; 13,2; 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13,1. Построим диаграмму распределения этих результатов, откладывая по оси абсцисс показания прибора в порядке их возрастания. Расстояния между соседними точками по оси абсцисс равны удвоенной максимальной ошибке отсчета по прибору. В нашем случае отсчет произведен до 0,1. Этому и равно одно деление шкалы, нанесенной на ось абсцисс. По оси ординат откладываем величины, пропорциональные относительному числу результатов, соответствующих тому или иному показанию прибора. Относительное число, или относительную частоту результатов, равных х к, будем обозначатьW(х к). В нашем случае

Каждому х к ставим в соответствие

(3)

где А – коэффициент пропорциональности.

Диаграмма, которую называют гистограммой, отличается от обычного графика тем, что точки не соединены плавной кривой линей, а через них проведены ступеньки. Очевидно, что площадь ступеньки над некоторым значением х к пропорциональна относительной частоте появления этого результата. Выбирая соответствующим образом коэффициент пропорциональности в выражении (3), можно эту площадь сделать равной относительной частоте появления результата х к. Тогда сумма площадей всех ступенек, как сумма относительных частот всех результатов, должна быть равна единице

Отсюда находим А=10. Условие (4) называется условием нормировки функции (3).

Если производить серии измерений по nизмерений в каждой серии, то при небольшомnотносительные частоты одного и того же значения х k , найденные из различных серий, могут значительно отличаться друг от друга. По мере увеличения числа измерений в сериях колебания в значенияхW(x k) уменьшаются и эти значения приближаются к некоторому постоянному числу, которое называется вероятностью результата х к и обозначается Р(х к).

Допустим, что, производя опыт, мы не отсчитываем результат до целых делений шкалы или их долей, а можем фиксировать ту точку, где остановилась стрелка. Тогда при неограниченно большом числе измерений стрелка побывает в каждой точке шкалы. Распределение результатов измерений приобретает в этом случае непрерывный характер и вместо ступенчатой гистограммы описывается непрерывной кривой y=f(x). На основании свойств случайных погрешностей можно заключить, что кривая должна быть симметрична и, следовательно, максимум ее приходится на среднее арифметическое значение результатов измерений, равное истинному значению измеряемой величины. В случае непрерывного распределения результатов измерений не имеет

смысла говорить о вероятности какого – либо из их значений, т.к. имеются значения, как угодно близкие к рассматриваемому. Теперь уже следует ставить вопрос о вероятности встретить при измерениях результат в некотором интервале около значения х к, равном
,
. Подобно тому как на гистограмме относительная частота результата х к равнялось площади ступеньки, построенной над этим результатом, на графике для непрерывного распределения вероятность нахождения результата в интервале (
,
), равна площади криволинейной трапеции, построенной над этим интервалом и ограниченной кривойf(x). Математическая запись этого результата имеет вид

если
мало, т.е. площадь заштрихованной криволинейной трапеции заменяется приблизительно площадью прямоугольника с тем же основанием и высотой, равнойf(х к). Функциюf(х) называют плотностью вероятности распределения результатов измерений. Вероятность найти х на некотором интервале равна плотности вероятности для данного интервала, умноженной на его длину.

Кривая распределения результатов измерений, полученная экспериментально для некоторого участка шкалы прибора, если ее продолжить, асимптотически приближая слева и справа к оси абсцисс, аналитически хорошо описывается функцией вида

(5)

Подобно тому как суммарная площадь всех ступенек на гистограмме равнялась единице, вся площадь между кривой f(х) и осью абсцисс, имеющая смысл вероятности встретить при измерениях хоть какое – либо значение х, тоже равна единице. Распределение, описываемое этой функцией, называется нормальным распределением. Основной параметр нормального распределения – дисперсия 2 . Приближенное значение дисперсии может быть найдено из результатов измерений по формуле

(6)

Эта формула дает близкое к действительному значение дисперсии только при большом числе измерений. Например, найденное по результатам 100 измерений σ 2 может иметь отклонение от действительного значения 15%, найденное по 10 измерениям уже 40%. Дисперсия определяет вид кривой нормального распределения. Когда случайные погрешности малы, дисперсия, как следует из (6), невелика. Криваяf(х) в этом случае уже и острее вблизи истинного значения Х и быстрее стремится к нулю при удалении от него, чем при больших погрешностях. Следующий рисунок покажет, как меняется вид кривойf(х) для нормального распределения в зависимости от σ.

В теории вероятностей доказывается, что если рассматривать не распределение результатов измерений, а распределение средних арифметических значений, найденных из серии по nизмерений в каждой серии, то оно тоже подчиняется нормальному закону, но с дисперсией, вnраз меньшей.

Вероятность нахождения результата измерений в некотором интервале (
) около истинного значения измеряемой величиныравна площади криволинейной трапеции, построенной над этим интервалом и ограниченной сверху кривойf(x). Величину интервала
принято измерять в единицах, пропорциональных корню квадратному из дисперсии
В зависимости от величиныkна интервал
приходится криволинейная трапеция большей или меньшей площади, т.е.

где F(k) – некоторая функция от к. Вычисления показывают, что при

k=1,

k=2,

k=3,

Отсюда видно, что на интервале
приходится приблизительно 95% площади под кривойf(x). Этот факт находится в полном соответствии со вторым свойством случайных погрешностей, которые утверждает, что большие по величине погрешности маловероятны. Погрешности, превышающие по величине
, встречается с вероятностью, меньшей 5%. Переписанное для распределения среднего арифметического значенияnизмерений выражение (7) принимает вид

(8)

Величина в (7) и (8) может быть определена на основании результатов измерений только приближенно по формуле (6)

Подставив это значение в выражение (8), мы получим справа уже неF(k), а какую – то новую функцию, зависящую не только от величины рассматриваемого интервала значений Х, но и от числа произведенных измерений
Причем

т.к. только при очень большом числе измерений формула (6) становится достаточно точной.

Решив систему двух неравенств, стоящих в скобке в левой части этого выражения относительно истинного значения Х, можем переписать его в виде

Выражение (9) определяет вероятность, с которой истинное значение Х находится в некотором интервале длиной около значения. Эта вероятность в теории ошибок называется надежностью, а соответствующий ей интервал для истинного значения – доверительным интервалом. Функция
рассчитана в зависимости отt n иnи для нее составлена подробная таблица. Таблица имеет 2 входа: поt n и поn. С ее помощью для данного числа измеренийnможно найти, задаваясь определенной величиной надежности Р, значения величиныt n , называемой коэффициентом Стьюдента.

Анализ таблицы показывает, что для определенного числа измерений с требованием роста надежности получаем растущие значения t n , т.е. увеличение доверительного интервала. Надежности, равной единице, соответствовал бы доверительный интервал, равный бесконечности. Задаваясь определенной надежностью, мы можем сделать доверительный интервал для истинного значения более узким, увеличивая количество измерений, т.к.S n при этом изменяется незначительно, аубывает и за счет уменьшения числителя, и за счет увеличения знаменателя. Произведя достаточное количество опытов, можно сделать доверительный интервал любой малой величины. Но при большомnдальнейшее увеличение числа опытов очень медленно уменьшает доверительный интервал, а количество вычислительной работы намного возрастает. Иногда в практической работе удобно пользоваться приближенным правилом: чтобы уменьшить доверительный интервал, найденный по небольшому числу измерений, в несколько раз, нужно увеличить число измерений во столько же раз.

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Возьмем в качестве опытных данных три первых результата из 12, по которым строилась гистограмма Х: 13,4; 13,2; 13,3.

Зададимся надежностью, которая обычно принята в учебной лаборатории, Р = 95%. Из таблицы для Р = 0,95 и n = 3 находим t n = 4,3.

или

с надежностью 95%. Последний результат принято записывать в виде равенства

Если доверительный интервал такой величины не устраивает (например в случае, когда приборная погрешность равна 0,1), и мы хотим уменьшить его вдвое, следует увеличить число измерений вдвое.

Если взять, например, последние 6 значений из тех же 12 результатов (для первых шести предлагается проделать расчет самим)

Х: 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13,1,

то

Значение коэффициента t n находим из таблицы для Р = 0,95 и n = 6; t n = 2,6.

В этом случае
Изобразим на числовой оси доверительный интервал для истинного значения в первом и во втором случаях.

Интервал, рассчитанный по 6 измерениям, находится, как и следовало ожидать, внутри интервала, найденного по трем измерениям.

Приборная погрешность вносит в результаты систематическую ошибку, которая расширяет изображенные на оси доверительные интервалы на 0,1. Поэтому записанные с учетом приборной погрешности результаты имеют вид

1)
2)

В общем случае порядок обработки результатов прямых измерений следующий (предполагается, что систематических ошибок нет).

Случай 1. Число измерений меньше пяти.

1) По формуле (6) находится средний результат x , определяемый как среднее арифметическое от результатов всех измерений, т.е.

2) По формуле (12) вычисляются абсолютные погрешности отдельных измерений

3) По формуле (14) определяется средняя абсолютная погрешность

4) По формуле (15) вычисляют среднюю относительную погрешность результата измерений

5) Записывают окончательный результат по следующей форме:

, при
.

Случай 2 . Число измерений свыше пяти.

1) По формуле (6) находится средний результат

2) По формуле (12) определяются абсолютные погрешности отдельных измерений

3) По формуле (7) вычисляется средняя квадратическая погрешность единичного измерения

4) Вычисляется среднее квадратическое отклонение для среднего значения измеряемой величины по формуле (9).

5) Записывается окончательный результат по следующей форме

Иногда случайные погрешности измерений могут оказаться меньше той величины, которую в состоянии зарегистрировать измерительный прибор (инструмент). В этом случае при любом числе измерений получается один и тот же результат. В подобных случаях в качестве средней абсолютной погрешности
принимают половину цены деления шкалы прибора (инструмента). Эту величину иногда называют предельной или приборной погрешностью и обозначают
(для нониусных приборов и секундомера
равна точности прибора).

Оценка достоверности результатов измерений

В любом эксперименте число измерений физической величины всегда по тем или иным причинам ограничено. В связи с этим может быть поставлена задача оценить достоверность полученного результата. Иными словами, определить, с какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом ошибка не превосходит наперед заданную величину ε. Упомянутую вероятность принято называть доверительной вероятностью. Обозначим её буквой.

Может быть поставлена и обратная задача: определить границы интервала
, чтобы с заданной вероятностью можно было утверждать, что истинное значение измерений величины не выйдет за пределы указанного, так называемого доверительного интервала.

Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность - его надёжность. Методы решения этих двух групп задач имеются и особенно подробно разработаны для случая, когда погрешности измерений распределены по нормальному закону. Теория вероятностей даёт также методы для определения числа опытов (повторных измерений), при которых обеспечивается заданная точность и надёжность ожидаемого результата. В данной работе эти методы не рассматриваются (ограничимся только их упоминанием), так как при выполнении лабораторных работ подобные задачи обычно не ставятся.

Особый интерес, однако, представляет случай оценки достоверности результата измерений физических величин при весьма малом числе повторных измерений. Например,
. Это именно тот случай, с которым мы часто встречаемся при выполнении лабораторных работ по физике. При решении указанного рода задач рекомендуется использовать метод, в основе которого лежит распределение (закон) Стьюдента.

Для удобства практического применения рассматриваемого метода имеются таблицы, с помощью которых можно определить доверительный интервал
, соответствующий заданной доверительной вероятности или решить обратную задачу.

Ниже приведены те части упомянутых таблиц, которые могут потребоваться при оценке результатов измерений на лабораторных занятиях.

Пусть, например, произведено равноточных (в одинаковых условиях) измерений некоторой физической величины и вычислено её среднее значение . Требуется найти доверительный интервал , соответствующий заданной доверительной вероятности . Задача в общем виде решается так.

По формуле с учётом (7) вычисляют

Затем для заданных значений n и находят по таблице (табл. 2) величину . Искомое значение вычисляется на основе формулы

(16)

При решении обратной задачи вначале вычисляют по формуле (16) параметр. Искомое значение доверительной вероятности берётся из таблицы (табл. 3) для заданного числа и вычисленного параметра .

Таблица 2. Значение параметра при заданных числе опытов

и доверительной вероятности

Таблица 3 Значение доверительной вероятности при заданном числе опытов n и параметре ε

Основные положения методов обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями определены в ГОСТ 8.207-76.

За результат измерения принимают среднее арифмети-ческое данных n наблюдений, из которых исключены систематичес-кие погрешности. При этом предполагается, что результаты наблю-дений после исключения из них систематических погрешностей принадлежат нормальному распределению. Для вычисления резуль-тата измерения следует из каждого наблюдения исключить система-тическую погрешность и получить в итоге исправленный результат i –го наблюдения. Затем вычисляется среднее арифметическое этих исправленных результатов, которое принимается за результат измерения. Среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой измеряемой величины при нормальном распределении данных наблюдений.

Следует отметить, что иногда в литературе вместо термина результат наблюдения иногда применяют термин результат отдельного измерения , из которого исключены систематические погрешности. При этом за результат измерения в данной серии из нескольких измерений понимают среднее арифметическое значение. Это не меняет сути излагаемых ниже процедур обработки результатов.

При статистической обработке групп результатов наблюдений следует выполнять следующие операции :

1. Исключить из каждого наблюдения известную систематическую погрешность и получить исправленный результат отдельного наблюдения x .

2. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения:

3. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения

группы наблюдений:

Проверить наличие грубых погрешностей – нет ли значений , которые выходят за пределы ±3S . При нормальном законе распределений с вероятностью, практически равной 1 (0,997), ни одно из значений этой разности не должно выйти за указанные пределы. Если они имеются, то следует исключить из рассмотрения соответствующие значения и заново повторить вычисления и оценку S.

4. Вычислить оценку СКО результата измерения (среднего

арифметического)

5. Проверить гипотезу о нормальности распределения результатов наблюдений.

Существуют различные приближенные методы проверки нормальности распределения результатов наблюдений. Некоторые из них приведены в ГОСТ 8.207-76. При числе наблюдений меньше 15 в соответствии с этим ГОСТ принадлежность их к нормальному распределению не проверяют. Доверительные границы случайной погрешности определяют лишь в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат этому распределению. Приближенно о характере распределения можно судить, построив гистограмму результатов наблюдений. Математические методы проверки нормальности распределения рассматриваются в специальной литературе.

6. Вычислить доверительные границы e случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения

где t q - коэффициент Стьюдента, зависящий от числа наблюдений и доверительной вероятности. Например, при n = 14, P = 0,95 t q = 2,16. Значения этого коэффициента приведены в приложении к указанному стандарту.

7. Вычислить границы суммарной неисключенной систематической погрешности (НСП) результата измерений Q (по формулам раздела 4.6).

8. Проанализировать соотношение Q и :

Если , то НСП по сравнению со случайными погрешностя-ми пренебрегают, и граница погрешности результата D = e.. Если > 8, то случайной погрешностью можно пренебречь и граница погрешности результата D = Θ. Если оба неравенства не выполняются, то границу погрешности результата находят путем построения композиции распределений случайных погрешностей и НСП по формуле: , где К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной погрешности и НСП; S å - оценка суммарного СКО результата измерения. Оценку суммарного СКО вычисляют по формуле:

Коэффициент К вычисляют по эмпирической формуле:

Доверительная вероятность для вычисления и должна быть одной и той же.

Погрешность от применения последней формулы для композиции равномерного (для НСП) и нормального (для случайной погрешности) распределений достигает 12 % при доверительной вероятности 0,99.

9. Записать результат измерений. Написание результата измерений предусмотрено в двух вариантах, так как следует различать измерения, когда получение значения измеряемой величины является конечной целью, и измерения, результаты которых будут использоваться для дальнейших вычислений или анализа.

В первом случае достаточно знать общую погрешность результата измерения и при симметричной доверительной погреш-ности результаты измерений представляют в форме: , где

где – результат измерения.

Во втором случае должны быть известны характеристики составляющих погрешности измерения – оценка среднего квадратического отклонения результата измерения , границы НСП , число выполненных наблюдений . При отсутствии данных о виде функций распределения составляющих погрешности результата и необходимости дальнейшей обработки результатов или анализа погрешностей, результаты измерений представляют в форме:

Если границы НСП вычислены в соответствии с п.4.6, то дополнительно указывают доверительную вероятность Р.

Оценки , и производные от их величины могут быть выражены как в абсолютной форме, то есть в единицах измеряемой величины, так и относительной, то есть как отношение абсолютного значения данной величины к результату измерения. При этом вычисления по формулам настоящего раздела следует проводить с использованием величин, выраженных только в абсолютной или в относительной форме.

Физика - наука экспериментальная, это означает, что физические законы устанавливаются и проверяются путем накопления и сопоставления экспериментальных данных. Цель физического практикума заключается в том, чтобы студенты изучили на опыте основные физические явления, научились правильно измерять числовые значения физических величин и сопоставлять их с теоретическими формулами.

Все измерения можно разделить на два вида – прямые и косвенные .

При прямых измерениях значение искомой величины непосредственно получается по показаниям измерительного прибора. Так, например, длина измеряется линейкой, время по часам и т. д.

Если искомая физическая величина не может быть измерена непосредственно прибором, а посредством формулы выражается через измеряемые величины, то такие измерения называются косвенными .

Измерение любой величины не дает абсолютно точного значения этой величины. Каждое измерение всегда содержит некоторую погрешность (ошибку). Ошибкой называют разность между измеренным и истинным значением.

Ошибки принято делить на систематические и случайные .

Систематической называют ошибку, которая остается постоянной на протяжении всей серии измерений. Такие погрешности обусловлены несовершенством измерительного инструмента (например, смещением нуля прибора) или методом измерений и могут быть, в принципе, исключены из конечного результата введением соответствующей поправки.

К систематическим ошибкам относятся также погрешность измерительных приборов. Точность любого прибора ограничена и характеризуется его классом точности, который, как правило, обозначен на измерительной шкале.

Случайной называется ошибка, которая изменяется в разных опытах и может быть и положительной и отрицательной. Случайные ошибки обусловлены причинами, зависящими как от измерительного устройства, (трение, зазоры, и т. п..), так и от внешних условий (вибрации, колебания напряжения в сети и т.п.).

Случайные ошибки нельзя исключить опытным путем, но их влияние на результат можно уменьшить многократными измерениями.

Вычисление погрешности при прямых измерениях среднее значение и средняя абсолютная ошибка.

Предположим, что мы проводим серию измерений величины Х. Из-за наличия случайных ошибок, получаем n различных значений:

Х 1 , Х 2 , Х 3 … Х n

В качестве результата измерений обычно принимают среднее значение

Разность между средним значением и результатом i – го измерения назовем абсолютной ошибкой этого измерения

В качестве меры ошибки среднего значения можно принять среднее значение абсолютной ошибки отдельного измерения

(2)

Величина
называется средней арифметической (или средней абсолютной) ошибкой.

Тогда результат измерений следует записать в виде

(3)

Для характеристики точности измерений служит относительная ошибка, которую принято выражать в процентах

(4)

Случай 1. Число измерений меньше пяти.

x , определяемый как среднее арифметическое от результатов всех измерений, т.е.

2) По формуле (12) вычисляются абсолютные погрешности отдельных измерений

3) По формуле (14) определяется средняя абсолютная погрешность

4) По формуле (15) вычисляют среднюю относительную погрешность результата измерений

5) Записывают окончательный результат по следующей форме:

Случай 2 . Число измерений свыше пяти.

1) По формуле (6) находится средний результат

2) По формуле (12) определяются абсолютные погрешности отдельных измерений

3) По формуле (7) вычисляется средняя квадратическая погрешность единичного измерения

4) Вычисляется среднее квадратическое отклонение для среднего значения измеряемой величины по формуле (9).

5) Записывается окончательный результат по следующей форме

Иногда случайные погрешности измерений могут оказаться меньше той величины, которую в состоянии зарегистрировать измерительный прибор (инструмент). В этом случае при любом числе измерений получается один и тот же результат. В подобных случаях в качестве средней абсолютной погрешности принимают половину цены деления шкалы прибора (инструмента). Эту величину иногда называют предельной или приборной погрешностью и обозначают (для нониусных приборов и секундомера равна точности прибора).

Оценка достоверности результатов измерений

Может быть поставлена и обратная задача: определить границы интервала , чтобы с заданной вероятностью можно было утверждать, что истинное значение измерений величины не выйдет за пределы указанного, так называемого доверительного интервала.

Особый интерес, однако, представляет случай оценки достоверности результата измерений физических величин при весьма малом числе повторных измерений. Например, . Это именно тот случай, с которым мы часто встречаемся при выполнении лабораторных работ по физике. При решении указанного рода задач рекомендуется использовать метод, в основе которого лежит распределение (закон) Стьюдента.

Для удобства практического применения рассматриваемого метода имеются таблицы, с помощью которых можно определить доверительный интервал , соответствующий заданной доверительной вероятности или решить обратную задачу.

По формуле с учётом (7) вычисляют

При решении обратной задачи вначале вычисляют по формуле (16) параметр . Искомое значение доверительной вероятности берётся из таблицы (табл. 3) для заданного числа и вычисленного параметра .

Таблица 2. Значение параметра при заданных числе опытов

и доверительной вероятности

n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

Таблица 3 Значение доверительной вероятности при заданном числе опытов n и параметре ε

n		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
б	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

Обработка результатов косвенных измерений

Очень редко содержание лабораторной работы или научного эксперимента сводится к получению результата прямого измерения. Большей частью искомая величина является функцией нескольких других величин.

Задача обработки опытов при косвенных измерениях заключается в том, чтобы на основании результатов прямых измерений некоторых величин (аргументов), связанных с искомой величиной определённой функциональной зависимостью, вычислить наиболее вероятное значение искомой величины и оценить погрешность косвенных измерений.

Существует несколько способов обработки косвенных измерений. Рассмотрим следующие два способа.

Пусть по методу косвенных измерений определяется некоторая физическая величина.

Результаты прямых измерений ее аргументов х, у, z приведены в табл. 4.

Таблица 4

Номер опыта	x	y	z	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
n				…

Первый способ обработки результатов заключается в следующем. С помощью расчетной (17) формулы вычисляют искомую величину по результатам каждого опыта

(17)

Описанный способ обработки результатов применим, в принципе, во всех без исключения случаях косвенных измерений. Однако наиболее целесообразно применять его тогда, когда число повторных измерений аргументов небольшое, а расчётная формула косвенно измеряемой величины сравнительно проста.

При втором способе обработки результатов опытов вначале вычисляют, используя результаты прямых измерений (табл. 4), средние арифметические значения каждого из аргументов, а также погрешности их измерения. Подставив , , ,... в расчетную формулу (17), определяют наиболее вероятное значение измеряемой величины

(17*)