Выделение целого числа неправильной дроби. Выделение из дроби целой части онлайн

§ 1 Выделение целой части из неправильной дроби

В этом уроке Вы научитесь переводить неправильную дробь в смешанное число с помощью выделения целой части, а также наоборот получать из смешанного числа неправильную дробь.

Для начала вспомним, что такое смешанное число и неправильная дробь.

Смешанное число - это особая форма записи числа, которая содержит целую и дробную части.

Неправильная дробь - это дробь, числитель которой больше или равен знаменателю.

Рассмотрим задачу:

Разделим 8 конфет на троих ребят. Сколько достанется каждому?

Чтобы узнать, сколько конфет получит каждый ребенок, надо

Но в ответе не принято записывать неправильную дробь. Ее предварительно заменяют либо равным ей натуральным числом (когда числитель делится нацело на знаменатель), либо проводят так называемое выделение целой части из неправильной дроби (когда числитель не делится нацело на знаменатель).

Выделение целой части из неправильной дроби - это замена дроби равным ей смешанным числом.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, нужно числитель разделить на знаменатель с остатком. При этом неполное частное будет являться целой частью, остаток - числителем, а делитель - знаменателем.

Вернемся к задаче.

Итак, 8 разделим на 3 с остатком, получим в неполном частном 2 и в остатке 2.

§ 2 Представление смешанного числа в виде неправильной дроби

Давайте выполним следующее задание:

Разделим 49 на 13, получаем в неполном частном 3 (это будет целой частью) и в остатке 10 (это запишем в числитель дробной части).

Для выполнения различных действий со смешанными числами оказывается полезным навык представления смешанных чисел в виде неправильных дробей. Пришло время разобраться, как осуществляется такой перевод.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно знаменатель дроби умножить на целую часть и к полученному произведению прибавить числитель. В результате мы получим число, которое будет являться числителем новой дроби, а знаменатель остается без изменения.

Первый шаг - умножим целую часть 5 на знаменатель 7, получим 35.

Второй шаг - к полученному произведению 35 прибавим числитель 4, будет 39.

Теперь запишем 39 в числитель, а в знаменателе оставим 7.

Таким образом, на этом уроке Вы научились переводить неправильную дробь в смешанное число, для этого нужно числитель разделить на знаменатель с остатком. Тогда неполное частное будет являться целой частью, остаток - числителем, а делитель - знаменателем дробной части смешанного числа.

Также Вы познакомились с представлением смешанного числа в виде неправильной дроби. Для того, чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби нужно знаменатель дробной части смешанного числа умножить на целую часть и к полученному произведению прибавить числитель.

Список использованной литературы:

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
2. Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
3. Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
4. Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
5. Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
6. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009

Разделы: Математика

Класс: 4

Основные цели:

1. Сформировать способность к выделению целой части из неправильной дроби.
2. Повторить понятия числителя и знаменателя, дроби правильные и неправильные, смешанные числа.
3. Актуализировать умение выделять целую часть из неправильной дроби.

Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: действие по аналогии, анализ, обобщение.

Оборудование:

Демонстрационный материал:

1) Формула деления с остатком.

Раздаточный материал:

1) листочки с заданием (к этапу 2)

2) Подробный образец для самопроверки (к этапу 6)

Ход урока.

1 Самоопределение к учебной деятельности.

Цели:

1. Мотивировать учащихся к учебной деятельности посредством закрепления ситуации успеха, достигнутой на предыдущем уроке.
2. Определить содержательные рамки урока.

Организация учебного процесса на этапе 1.

На протяжении нескольких уроков мы работали с некоторыми числами. С какими числами мы работали? (С дробными числами).

Какие знания у нас есть об этих числах? (Умеем их читать, записывать, сравнивать, решать задачи).

Предлагаю продолжить нашу плодотворную работу. Вы готовы? (Да).

Сегодня мы продолжим работать с дробными числами. Я уверена, что у нас с вами все получится на отлично. Но сначала повторим материал предыдущих уроков.

2 Актуализация знаний и фиксация затруднений в индивидуальной деятельности.

Цели:

1. Актуализировать умение находить правильные и неправильные дроби, смешанные числа, определение правильной и неправильной дроби, смешанного числа.
2. Актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала.
3. Зафиксировать ситуацию, когда учащиеся не смогут выделить целую часть из неправильной дроби.

Организация учебного процесса на этапе 2.

С какими числами мы познакомились на предыдущем уроке? (Со смешанными числами).
- Из чего состоит смешанное число? (Из целой и дробной части).

На доске записаны дроби и смешанные числа.

На какие группы можно разделить представленные числа?

Правильные дроби ().

Какие дроби называются правильными? (Дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Правильная дробь меньше единицы).

Неправильные дроби. (…..)

Какие дроби называются неправильными? (Дробь, у которой числитель больше знаменателя или числитель равен знаменателю).

Какие из неправильных дробей можно представить в виде натурального числа?

()

Какую дробь можно представить в виде смешанного числа? (Неправильную дробь, где числитель больше знаменателя).

Определите с помощью числового луча, какому смешанному числу равна дробь

У учащихся лист с заданием (Р-1), один ученик работает у доски, комментирует.

Назовите наименьшее смешанное число?()

Наибольшее? ()

Какое арифметическое действие вам помогло? (Деление. Деление с остатком).

Докажите. (На доске: Д-1).

12:7=1 (ост.5); 15:7=2 (ост.1); 25:7=3 (ост.4); 31:7=4 (ост.3)

Выделите целую часть дроби , запишите смешанное число. Дети работают на обратной стороне листочка. Разные варианты ответов выносятся на доску.

Как вы действовали?

3 Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности.

Цели:

1. Организовать коммуникативное взаимодействие по выявлению отличительного свойства задания на выделение целой части из неправильной дроби.
2. Согласовать тему и цель урока.

Организация учебного процесса на этапе 3.

Какое задание вы выполняли? (Надо выделить целую часть из дроби ).

Чем это задание отличается от предыдущего? (Тот способ, который нам помогал выделять целую часть из неправильной дроби не подходит для дроби . Эту дробь неудобно показать на числовом луче).

Что же мы видим? (У нас получились разные ответы).

Почему? (Мы пользовались разными способами. У нас нет алгоритма выделения целой части из неправильной дроби).

Какова же цель нашего урока? (Построить алгоритм и научиться выделять целую часть из неправильной дроби).

Подумайте и сформулируйте тему нашего урока. («Выделение целой части из неправильной дроби»).

Молодцы!

На доске открывается название темы урока.

4 Построение проекта выхода из затруднения.

Цель:

1. Организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия для выделения целой части из неправильной дроби.
2. Зафиксировать новый способ в знаковой и вербальной форме и с помощью эталона.

Организация учебного процесса на этапе 4

Каким способом вы предлагаете найти, сколько в дробном числе целых единиц? (Числитель разделить на знаменатель).

Какой знак в записи дроби вам подсказал, как надо действовать? (Черта дроби – знак деления).

На доске:

Запишем дробь в виде частного: 65: 7.

Какой это вид деления? (Деление с остатком. На доске: Д-1).

Найдите результат. (65: 7 = 9) (ост. 2)

Что означает в полученном равенстве частное 9 и остаток 2? (Частное 9 означает, что в 65 содержится 9 раз по 7 и 2 остается).

Что будет обозначать частное 9 в смешанном числе? (9 – это целая часть смешанного числа).

На доске:

Что будет обозначать остаток 2 в смешанном числе? (2 – это числитель дроби смешанного числа).

На доске:

А знаменатель? (Он остается, не изменяется).

На доске:

Какое смешанное число у нас получилось?

Выполнили мы задание? (Да).

Какое математическое действие нам помогло? (Деление с остатком. На доске: Д-1).

Учитель возвращается к ответам на листочках, обобщает, поощряет словом тех, кто выполнил правильно. В групповой форме учащиеся выводят новый способ в знаковой форме на листочках. Выбирается правильный вариант.

Запишите, пользуясь формулой деления с остатком (Д-1), какому смешанному числу равна дробь ?

На доске: Д-3

Как из неправильной дроби выделить целую часть?

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, надо её числитель разделить на знаменатель. Частное будет целой частью, остаток – числитель, а знаменатель не изменяется.

Молодцы! Спасибо!

Давайте всё же проверим наше мнение с мнением учебника. Откройте страницу 26, Математика 4 (2 часть), прочитайте правило сначала про себя, а потом вслух.

Мы были правы? (Да).

Молодцы!

Физминутка (по выбору учителя).

5 Первичное закрепление во внешней речи.

Цель:

Зафиксировать способ выделения целой части из неправильной дроби во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5.

Давайте ещё раз повторим алгоритм выделения целой части из неправильной дроби. Д-2

Мы с вами составили алгоритм выделения целой части из неправильной дроби. Какова цель нашей дальнейшей деятельности? (Потренироваться).

№ 4 (а,б,в) стр. 26 – с комментированием по образцу.

№ 4 (г, д) стр. 26 – в парах.

6 Самоконтроль с самопроверкой.

Цель:

1. Организовать самостоятельное выполнение учащимися задания на выделение целой части из неправильной дроби.
2. Тренировать способность к самоконтролю и самооценке.
3. Проверить своё умение выделять целую часть из неправильной дроби.
4. Способствовать созданию ситуации успеха.

Организация учебного процесса на этапе 6.

Вы сумели вывести алгоритм выделения целой части из неправильной дроби и потренировались в решении примеров. Я думаю, теперь вы сможете выполнить задание сами.

Выполните самостоятельно:

№ 3 стр. 26 – 1 вариант – 1 и 2 столбик;

2 вариант – 3 и 4 столбик;

Кто желает, может выполнить задание и другого варианта.

Учащиеся выполняют работу, по окончании которой проверяют себя по образцу для самопроверки. Используется карточка Р-2.

Проверьте себя по образцу для самопроверки и зафиксируйте результат проверки при помощи знаков «+» или «?» зеленой ручкой.

Кто допустил ошибки при выполнении задания? (…)

В чем причина? (…)

У кого все верно?

Молодцы!

Можно организовать работу по коррекции ошибок в группах или фронтально. Консультантами назначаются учащиеся, которые не допустили ошибок.

7 Включение в систему знаний и повторение.

Цель:

Тренировать способности выделять целую часть из неправильной дроби.

Организация учебного процесса на этапе 7.

Попробуем применить наши знания при сравнении дроби и смешанного числа.

Найдите неравенство, в котором надо сравнить правильную дробь с неправильной.

Что будем делать?

Выделим целую часть из неправильной дроби.

Значит?!

Неправильная дробь больше правильной. Мы это доказали, выделив целую часть.

Молодцы!

Закончите задание, сравните.

Проверим.

8 Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Цели:

1. Зафиксировать в речи алгоритм выделения целой части из неправильной дроби.
2. Зафиксировать затруднения, которые остались, и способы их преодоления.
3. Оценить собственную деятельность на уроке.
4. Согласовать домашние задание.

Организация учебного процесса на этапе 8.

Чему научились на уроке? (Выделять целую часть из неправильной дроби).

Какой алгоритм мы построили? (Можно проговорить алгоритм Д-2).

У кого были трудности? Как будете, действовать?

Кто сегодня доволен собой? Почему?

Мне было трудно на уроке.
- я понял урок, но мне нужна тренировка.
- я хорошо понял урок, но нужна помощь.
- я молодец, понял урок на отлично.

Домашнее задание: придумать пять неправильных дробей и выделить целую часть; №10, №11 стр. 28 – по выбору; № 15 стр. 28 (а или б) – по желанию.

Молодцы! Спасибо за работу на уроке!

имеет числитель больший знаменателя. Такие дроби называют неправильными.

Запомните!

У неправильной дроби числитель равен или больше знаменателя. Поэтому неправильная дробь или равна единице или больше единицы.

Любая неправильная дробь всегда больше правильной.

Как выделить целую часть

У неправильной дроби можно выделить целую часть. Рассмотрим, как это можно сделать.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо:

1. разделить с остатком числитель на знаменатель;
2. полученное неполное частное записываем в целую часть дроби;
3. остаток записываем в числитель дроби;
4. делитель записываем в знаменатель дроби.

Пример. Выделим целую часть из неправильной дроби

11

2

.

Запомните!

Полученное число выше, содержащее целую и дробную часть, называют смешанным числом .

Мы получили смешанное число из неправильной дроби, но можно выполнить и обратное действие, то есть представить смешанное число в виде неправильной дроби .

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби надо:

1. умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. записать полученную сумму из пункта 2 в числитель дроби, а знаменатель дробной части оставить прежним.

Пример. Представим смешанное число в виде неправильной дроби.

Принято записывать без знака $«+»$ в виде $n\frac{a}{b}$.

Пример 1

Например, сумма $4+\frac{3}{5}$ записывается $4\frac{3}{5}$. Такая запись называется смешанной дробью, а число, которое ей соответствует, -- смешанным числом.

Определение 1

Смешанное число -- это число, которое равно сумме натурального числа $n$ и правильной обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$, и записано в виде $n\frac{a}{b}$. В таком случае число $n$ называется $n\frac{a}{b}$, а число $\frac{a}{b}$ -- дробной частью числа/

Для смешанных чисел справедливы равенства $n\frac{a}{b}=n+\frac{a}{b}$ и $n+\frac{a}{b}=n\frac{a}{b}$.

Пример 2

Например, число $7\frac{4}{9}$ является смешанным числом, где натуральное число $7$ -- целая его часть, $\frac{4}{9}$ -- дробная часть. Примеры смешанных чисел: $17\frac{1}{2}$, $456\frac{111}{500}$, $23000\frac{4}{5}$.

Встречаются числа в смешанной записи, которые в дробной части содержат неправильную дробь . Например, $3\frac{54}{5}$, $56\frac{9}{2}$. Запись этих чисел можно представить в виде суммы их целой и дробной части. Например, $3\frac{54}{5}=3+\frac{54}{5}$ и $56\frac{9}{2}=56+\frac{9}{2}$. Такие числа не подходят по определению смешанного числа, т.к. дробная часть смешанных чисел должна быть правильной дробью.

Число $0\frac{2}{7}$ также не смешанное число, т.к. $0$ - не натуральное число.

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Алгоритм перевода смешанного числа в неправильную дробь:

Записать смешанное число $n\frac{a}{b}$ в виде суммы целой и дробной части этого числа, т.е. в виде $n+\frac{a}{b}$.

Целую часть исходного смешанного числа заменить дробью со знаменателем $1$.

Сложить обыкновенные дроби $\frac{n}{1}$ и $\frac{a}{b}$ для получения искомой неправильной дроби, равной исходному смешанному числу.

Пример 3

Представить смешанное число $7\frac{3}{5}$ в виде неправильной дроби.

Решение.

Воспользуемся алгоритмом перевода смешанного числа в неправильную дробь.

Смешанное число $7\frac{3}{5}=7+\frac{3}{5}$.

Запишем число $7$ в виде $\frac{7}{1}$.

Сложим обыкновенные дроби $\frac{7}{1}+\frac{3}{5}=\frac{35}{5}+\frac{3}{5}=\frac{38}{5}$.

Запишем краткую запись данного решения:

Ответ: $7\frac{3}{5}=\frac{38}{5}$

Весь алгоритм перевода смешанного числа $n\frac{a}{b}$ в неправильную дробь сводится к \textit{формуле перевода смешанного числа в неправильную дробь}:

Пример 4

Записать смешанное число $14\frac{3}{5}$ в виде неправильной дроби.

Решение.

Воспользуемся формулой $n\frac{a}{b}=\frac{n\cdot b+a}{b}$ для перевода смешанного числа в неправильную дробь. В данном примере $n=14$, $a=3$, $b=5$.

Получим, $14\frac{3}{5}=\frac{14\cdot 5+3}{5}=\frac{73}{5}$.

Ответ: $14\frac{3}{5}=\frac{73}{5}$

Выделение целой части из неправильной дроби

При получении числового решения не принято оставлять ответ в виде неправильной дроби. Неправильная дробь преобразуется в равное ей натуральное число (если числитель делится нацело на знаменатель), или выделяют целую часть из неправильной дроби (если числитель не делится нацело на знаменатель).

Определение 2

Выделением целой части из неправильной дроби называется замена дроби равным ей смешанным числом.

Для выделения целой части из неправильной дроби нужно представить неправильную дробь $\frac{a}{b}$ в виде смешанного числа $q\frac{r}{b}$, где $q$ - неполное частное, $r$-- остаток от деления $a$ на $b$. Таким образом, целая часть равна неполному частному от деления $a$ на $b$, а остаток равен числителю дробной части.

Докажем это утверждение. Для этого достаточно показать, что $q\frac{r}{b}=\frac{a}{b}$.

Переведем смешанное число $q\frac{r}{b}$ в неправильную дробь с помощью формулы:

Т.к. $q$-- неполное частное, $r$-- остаток от деления $a$ на $b$, то является справедливым равенство $a=b\cdot q+r$. Таким образом, $\frac{q\cdot b+r}{b}=\frac{a}{b}$, откуда $q\frac{r}{b}=\frac{a}{b}$, что и требовалось показать.

Таким образом, сформулируем \textit{правило выделения целой части из неправильной дроби} $\frac{a}{b}$:

Разделить $a$ на $b$ с остатком, при этом определить неполное частное $q$ и остаток $r$.

Записать смешанное число $q\frac{r}{b}$, равное исходной дроби $\frac{a}{b}$.

Пример 5

Выделить целую часть из дроби $\frac{107}{4}$.

Решение.

Выполним деление в столбик:

Рисунок 1.

Итак, в результате деления числителя $a=107$ на знаменатель $b=4$ получаем неполное частное $q=26$ и остаток $r=3$.

Получаем, что неправильная дробь $\frac{107}{4}$ равна смешанному числу $q\frac{r}{b}=26\frac{3}{4}$.

Ответ : $\frac{{\rm 107}}{{\rm 4}}{\rm =26}\frac{{\rm 3}}{{\rm 4}}$.

Сложение смешанного числа и натурального числа

Правило сложения смешанного и натурального числа :

Для сложения смешанного и натурального числа нужно к целой части смешанного числа прибавить данное натуральное число, дробная часть остается без изменения:

где $a\frac{b}{c}$ -- смешанное число,

$n$ -- натуральное число.

Пример 6

Выполнить сложение смешанного числа $23\frac{4}{7}$ и числа $3$.

Решение.

Ответ: $23\frac{4}{7}+3=26\frac{4}{7}.$

Сложение двух смешанных чисел

При сложении двух смешанных чисел складываются их целые части и дробные части.

Пример 7

Сложить смешанные числа $3\frac{1}{5}$ и $7\frac{4}{7}$.

Решение.

Воспользуемся формулой:

\ \

Ответ: $10\frac{27}{35}.$

Конспект урока в 5 классе

«Смешанные числа. Выделение целой части из неправильной дроби»

Ход урока

Организационный момент. Приветствие.

Устный счет мы проведем и рекорды все побьем

Устный счет.

Найди ошибки

Правильные дроби.

б)

Выпишем на доске то, что не можем пока сравнивать.

2. Выполнить деление:

45: 9=5 ; 0: 67=0; 234: 1=234;

567: 567=1; 34:17=2; а:а=1;

3. Выполнить деление с остатком:

6 = 2 (ост. 2)

3 = 8 (ост. 1)

48: 9 = 5 (ост. 3)

Выполните действия:

Последний пример мы не можем решить, выпишем его.

Объяснение нового материала

Что показано на рисунке? На сколько частей разделили торт? Сколько частей взяли? Представьте в виде дроби.

Что на данном рисунке? Видно, что торт на разных подносах. Сколько частей на первом подносе? Втором?

Можно обозначить в виде такого числа:

1 – целая часть, - дробная часть.

Сумма целой и дробной части называется смешанным числом .

Определи по рисунку, какое смешанное число равно дроби?

Т. е. мы увидели связь между неправильной дробью и смешанным числом.

Сделаем выводы: мы можем превратить неправильную дробь в смешанное число, т.е. как говорят в математике, выделить целую часть из неправильной дроби.

Правило выделения целой части из неправильной дроби:

Разделить с остатком числитель на знаменатель

Неполное частное будет целой частью

Остаток дает числитель, а делитель - знаменатель дробной части

Работа по теме урока.

Выдели целую часть из неправильной дроби (вместе с классом):

Выдели целую часть из неправильной дроби (у доски)

Сравни

Исторические сведения.

В старину на Руси использовались монеты достоинством меньше одной копейки:

грош - к. и полушка - к.

Другие монеты тоже имели названия:

3 к. – алтын, 5 к. – пятак, 15 к. – пятиалтынный,

10 к. – гривенник, 20 к. двугривенный,

25 к. – четвертак, 50 к. – полтинник.

Самостоятельная работа

Как можно представить

1 гривенник, 1 алтын, три полушки .

Рефлексия

Какое у вас настроение?

Напишите дробь, которая наиболее соответствует вашим знаниям:

2 (ничего не понятно)

2 (было интересно, но непонятно)

3 (трудно, тема не интересная)

3 (было трудно, но я обязательно приложу усилия в изучения темы)

4 (некоторые примеры вызвали трудности)

4 (понятно все, но помочь не смогу)

5 (все понятно, могу помочь другим)

Я надеюсь, что ваша оценка будет только увеличиваться с каждым уроком! А что бы получить оценку 5, нужно работать не только в классе, но и дома.

Домашнее задание.