Затухающие и вынужденные колебания. Незатухающие гармонические колебания

Лекция 12. Механические колебания и волны.

План лекции

Гармонические колебания и их характеристики.

Свободные незатухающие механические колебания.

Свободные затухающие и вынужденные механические колебания.

Упругие волны.

Гармонические колебания и их характеристики.

Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени, т.е. колебания - периодические изменения какой-либо величины.

В зависимости от физической природы различают механические и электромагнитные колебания. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, изменяющихся при колебаниях системы, повторяются через равные промежутки времени.

Период - это время, за которое совершается одно полное колебание:

где
- число колебаний за время.

Частота колебаний - число полных колебаний, совершенных за единицу времени.

Циклическая или круговая частота - число полных колебаний, совершенных за время 2(единиц времени):

.

Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания , при которых изменение величины происходит по закону синуса или косинуса (рис.1):

,

где - значение изменяющейся величины;

- амплитуда колебаний, максимальное значение изменяющейся величины;

- фаза колебаний в момент времени(угловая мера времени);

 0 - начальная фаза, определяет значениев начальный момент времени при
,.

Колебательная система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором .

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях:

Свободные незатухающие механические колебания.

Свободными или собственными называются колебания, которые совершает система около положения равновесия после того, как она каким-либо образом была выведена из состояния устойчивого равновесия и представлена самой себе.

Как только тело (или система) выводится из положения равновесия, сразу же появляется сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия. Эта сила называется возвращающей , она всегда направлена к положению равновесия, происхождение ее различно:

а) для пружинного маятника - сила упругости;

б) для математического маятника - составляющая сила тяжести.

Свободные или собственные колебания - это колебание, происходящие под действием возвращающей силы.

Если в системе отсутствуют силы трения, колебания продолжаются бесконечно долго с постоянной амплитудой и называются собственными незатухающими колебаниями.

Пружинный маятник - материальная точка массойm , подвешенная на абсолютно упругой невесомой пружине и совершающая колебания под действием упругой силы.

Рассмотрим динамику собственных незатухающих колебаний пружинного маятника.

ПоIIзакону Ньютона,

по закону Гука,

где k – жесткость,
;

или
.

Обозначим циклическая частота собственных колебаний.

-дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний.

Решением этого уравнения является выражение: .

период колебаний пружинного маятника.

При гармонических колебаниях полная энергия системы остается постоянной, происходит непрерывный переход ви наоборот.

Математический маятник - материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити (рис.2).

Можно доказать, что в этом случае

Пружинный и математический маятники являются гармоническими осцилляторами (как и колебательный контур). Гармоническим осциллятором называется система, описываемая уравнением:

.

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

Свободные затухающие и вынужденные механические колебания.

Во всякой реальной системе, совершающей механические колебания, всегда действуют те или иные силы сопротивления (трение в точке подвеса, сопротивление окружающей среды и т.п.), на преодоление которых система затрачивает энергию, вследствие чего реальные свободные механические колебания всегда являются затухающими.

Затухающие колебания - это колебания, амплитуда которых убывает со временем.

Найдем закон изменения амплитуды.

Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы
сила трения пропорциональна скорости:

где r- коэффициент сопротивления среды; знак минус означает, что
всегда направлена противоположно скорости.

Согласно IIзакону Ньютона уравнение движения маятника имеет вид:

Обозначим:

дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.

Решением этого уравнения является выражение:

,

где циклическая частота свободных затухающих колебаний,

 0 - циклическая частота свободных незатухающих колебаний,

 - коэффициент затухания,

A 0 - амплитуда в начальный момент времени (t=0).

- закон убывания амплитуды.

С течением времени амплитуда убывает по экспоненциальному закону (рис. 3).

Время релаксации - это время, за которое амплитуда уменьшается враз.

.

Таким образом, есть величина, обратная времени релаксации.

Важнейшей характеристикой затухающих колебаний является логарифмический декремент затухания .

Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения двух амплитуд, отличающихся друг от друга по времени на период:

.

Выясним его физический смысл.

За время релаксации система успеет совершитьNколебаний:

т.е. - это величина, обратная числу колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы используют понятие добротности:

.

Добротность - физическая величина, пропорциональная числу колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз (рис. 4,
).

Вынужденными называются колебания, которые совершаются в системе под действием периодически изменяющейся внешней силы.

Пусть внешняя сила изменяется по гармоническому закону:

Кроме внешней силы на колеблющуюся систему действуют возвращающая сила и сила сопротивления, пропорциональная скорости колебаний:

Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Экспериментально установлено, что смещение отстает в своем изменении от вынуждающей силы. Можно доказать, что

где - амплитуда вынужденных колебаний,

- разность фаз колебанийи
,

;
.

Графически вынужденные колебания представлены на рис.5.

Если вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону, то и сами колебания будут гармоническими. Их частота равна частоте вынуждающей силы, а амплитуда пропорциональна амплитуде вынуждающей силы.

Зависимость амплитуды от частоты вынуждающей силыприводит к тому, что при некоторой, определенной для данной системы частоте, амплитуда достигает максимума.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы (к резонансной частоте) называется резонансом (рис.6).

Упругие волны.

Любое упругое тело состоит из большого числа частиц (атомов, молекул), взаимодействующих друг с другом. Силы взаимодействия проявляются при изменении расстояния между частицами (при растяжении возникают силы притяжения, при сжатии – отталкивания) и имеют электромагнитную природу. Если какая-либо частица внешним воздействием выводится из положения равновесия, то она потянет за собой в том же направлении другую частицу, эта вторая - третью, и возмущение будет распространяться от частицы к частице в среде с определенной скоростью, зависящей от свойств среды. Если частица была сдвинута вверх, то под действием верхних частиц, отталкивающих, и нижних, притягивающих, она начнет двигаться вниз, пройдет положение равновесия, по инерции сместиться вниз и т.д., т.е. будет совершать гармоническое колебательное движение, вынуждая к колебаниям соседнюю частицу, и т.д. Поэтому при распространении возмущения в среде все частицы совершают колебания с одинаковой частотой, каждая около своего положения равновесия.

Процесс распространения механических колебаний в упругой среде называется упругой волной. Этот процесс периодичен во времени и пространстве. При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передается лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основное свойство всех волн - перенос энергии без переноса вещества.

Различают продольные и поперечные упругие волны.

Упругая волна называется продольной, если частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны (рис.7).

Для взаимного расположения колеблющихся точек характерны сгущения и разряжения.

При распространении такой волны в среде возникают сгущения и разряжения. Продольные волны возникают в твердых, жидких и газообразных телах, в которых возникают упругие деформации при сжатии или растяжении.

Упругая волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (рис. 8).

При распространении поперечной волны в упругой среде образуются гребни и впадины. Поперечная волна возможна в среде, где деформация сдвига вызывает упругие силы, т.е. в твердых телах. На границе раздела 2-х жидкостей или жидкости и газа возникают волны на поверхности жидкости, они вызываются либо силами натяжения, либо силами тяжести.

Таким образом, внутри жидкости и газа возникают только продольные волны, в твердых телах – продольные и поперечные.

Скорость распространения волн зависит от упругих свойств среды и ее плотности. Скорость распространения продольных волн в 1,5 раза больше скорости поперечных.

Распространяясь от одного источника, обе волны приходят к приемнику в разное время. Измеряя разность времен распространения продольных и поперечных волн, можно определить место источника волн (атомного взрыва, эпицентра землетрясения и т.д.).

С другой стороны, скорость распространения волн в земной коре зависит от пород, залегающих между источником и приемником волн. Это является основой геофизических методов исследования состава земной коры и поиска полезных ископаемых.

Продольные волны, распространяющиеся в газах, жидкости и твердых телах и воспринимаемые человеком, называются звуковыми волнами. Их частота лежит в пределах от 16 до 20000 Гц, ниже 16 Гц - инфразвук, выше 20000Гц - ультразвук.

Соколов С.Я., член корреспондент АН СССР, в 1927-28 гг. обнаружил способность ультразвуковых волн проникать сквозь металлы и разработал методику УЗ дефектоскопии, сконструировав первый УЗ генератор на 10 9 Гц. В 1945 году он первым разработал метод преобразования механических волн в видимые световые и создал ультразвуковой микроскоп.

Волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства.

Геометрическое место точек, до которых распространились колебания к данному моменту времени t, называетсяфронтом волны .

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью .

Волновых поверхностей можно провести бесконечно много, но их вид для данной волны одинаков. Волновой фронт представляет собой волновую поверхность в данный момент времени.

В принципе волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае это совокупность параллельных плоскостей или концентрических сфер (рис. 9).

Волна называется плоской , если ее фронт представляет собой плоскость.

Волна называетсясферической , если ее фронт представляет собой поверхность сферы.

Волны, распространяющиеся в однородной изотропной среде от точечных источников, являются сферическими. На большом расстоянии от источника сферическая волна может рассматриваться как плоская.

Принцип Гюйгенса : каждая точка фронта волны (т.е. каждая колеблющаяся частица среды) является источником вторичных сферических волн. Новое положение фронта волны представляется огибающей этих вторичных волн.

Это утверждение высказал в 1690 году голландский ученый Гюйгенс. Справедливость его можно проиллюстрировать с помощью волн на поверхности воды, которые имитируют сферические волны, возникающие в объеме упругой среды.

а 1 в 1 - фронт в моментt 1 ,

а 2 в 2 - фронт в моментt 2 .

Перегородив поверхность воды преградой с малым отверстием и направив на преграду плоскую волну, убеждаемся, что за преградой - сферическая волна (рис. 10).

Бегущими называются волны, которые переносят в пространстве энергию.

Получим уравнение бегущей плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а осьYсовпадает с направлением распространения волны.

Уравнение волны определяет зависимость смещения колеблющейся частицы среды от координат и времени.

Пусть некоторая частица среды В (рис. 11) находится на расстоянииу от источника колебаний, расположенного в точкеО . В точкеО смещение частицы среды от положения равновесия происходит по гармоническому закону,

где t - время, отсчитываемое от начала колебаний.

В точке C где
- время, за которое волна от точкиO доходит до точкиC , - скорость распространения волны.

-уравнение плоской бегущей волны .

Это уравнение определяет величину смещения х колеблющейся точки, характеризуемой координатойу , в любой момент времениt .

Если плоская волна распространяется не в положительном направлении оси Y, а в противоположном направлении, то

Т.к. уравнение волны можно записать в виде

Расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны.

Длина волны - расстояние, на которое распространяется волна за период колебаний частиц среды, т.е.

.

Т.к.

где - волновое число.

В общем случае
.

1. 
   Элементы биомеханики 5
2. 
   Механические колебания 14
3. 
   Биофизика слуха. Звук. Ультразвук 17
4. 
   Биофизика кровообращения 21
5. 
   Электрические свойства тканей и органов 28
6. 
   Электрокардиография. Реография 33
7. 
   Основы электротерапии 36
8. 
   Биофизика зрения. Оптические приборы 40

1.9 Тепловое излучение и его характеристики 45

2.0 Рентгеновское излучение 49

2.1 Элементы радиационной физики. Основы дозиметрии 54

3. Диадинамик является одним из наиболее известных аппаратов электротерапии, использующих обезболивающее и спазмолитическое воздействие низкочастотных токов в лечебных целях, например для улучшения кровообращения в организме. Процедура назначается исключительно врачом, продолжительность 3-6 минут (при острых состояниях ежедневно, при хронических заболеваниях 3 раза в неделю 5-6 минут).

Показания: заболевания опорно-двигательного аппарата, в особенности боли в суставах и

Позвоночника

Электросон - метод электротерапии, при котором используются импульсные токи низкой или звуковой частоты (1-130 Гц), прямоугольной формы, малой силы (до2-3 мА) и напряжения (до 50 В), вызывающие при длительном применении сонливость, дремоту, а затем сон различной глубины и продолжительности.
Показания: заболевания внутренних органов (хроническая ишемическая болезнь сердца, гипертоническая болезнь, гипотоническая болезнь, ревматизм, язвенная болезнь желудка и двенадцатиперстной кишки, гипотиреоз, подагра), заболевания нервной системы (атеросклероз сосудов головного мозга в начальной стадии, травматическая церебропатия, гипоталамический синдром, мигрень, неврастения, астенический синдром, маниакально депрессивный психоз, шизофрения).

Амплипульстерапия - один из методов электротерапии, основанный на использовании с лечебно-профилактическими и реабилитационными целями синусоидальных модулированных токов.

Незатухающие гармонические колебания

Гармонические колебания совершаются под действием упругих или квазиупругих (подобные упругим) сил, описываемых законом Гука:

где ^ F – сила упругости;

х – смещение;

k – коэффициент упругости или жесткости.

Согласно ІІ закону Ньютона
, где а – ускорение, а =
.

Разделим уравнение (1) на массу m и введем обозначение
, получим уравнение в виде:

(2).

Уравнение (2) – дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний.

Его решение имеет вид: или .
^ Характеристики незатухающих гармонических колебаний:

х – смещение; А – амплитуда; Т – период; – частота; – циклическая частота, – скорость; – ускорение, – фаза; 0 – начальная фаза, Е – полная энергия.

Формулы:

– число колебаний, – время, за которое совершается N колебаний;

, ; или ;

или ;

– фаза незатухающих гармонических колебаний;

– полная энергия гармонических колебаний.

Затухающие гармонические колебания

В реальных системах, участвующих в колебательном движении, всегда присутствуют силы трения (сопротивления):

, – коэффициент сопротивления;
– скорость.

.

Тогда ІІ закон Ньютона запишем:

(2)

Введем обозначения ,
, где – коэффициент затухания.

Уравнение (2) запишем в виде:

(3)

Уравнение (3) – дифференциальное уравнение затухающих колебаний .

Его решение , где

– амплитуда колебаний в начальный момент времени;

– циклическая частота затухающих колебаний.

Амплитуда колебаний изменяется по экспоненциальному закону:

.

Рис. 11. График x = f (t )

Рис. 12. График A t = f (t )

Характеристики:

1)
– период затухающих колебаний; 2) – частота затухающих колебаний; – собственная частота колебательной системы;

3) логарифмический декремент затухания (характеризует скорость убывания амплитуды):
.

^ Вынужденные колебания

Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействие внешней силы, работа которой восполняла бы вызванное силами сопротивлений уменьшение энергии колеблющейся системы. Такие колебания называются вынужденными.

Закон изменения внешней силы:
, где – амплитуда внешней силы.

ІІ закон Ньютона запишем в виде

Введем обозначения
.

Уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

Решение этого уравнения в установившемся режиме:

,

где

(4)

– частота вынужденных колебаний.

Из формулы (4), когда
, амплитуда достигает максимального значения. Это явление называется резонансом.

^ 1.3 Биофизика слуха. Звук. Ультразвук.

Волна – это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся точки, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени: S = f (x ; t ).

Если S и X направлены вдоль одной прямой, то волна продольная , если они взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.

Уравнение в точке "0" имеет вид
. Фронт волны дойдет до точки "х" с запаздыванием за время
.

Уравнение волны имеет вид
.

Характеристики волны :

S – смещение, А – амплитуда, – частота, Т – период, – циклическая частота, – скорость.

– фаза волны, – длина волны.

Длиной волны называется расстояние между двумя точками, фазы которых в один и тот же момент времени отличаются на
.

^ Фронт волны – совокупность точек имеющих одновременно одинаковую фазу.

Поток энергии равен отношению энергии, переносимой волнами через некоторую поверхность, к времени, в течении которого эта энергия перенесена:

,
.

Интенсивность:
, – площадь,
.

Вектор интенсивности, показывающий направление распространения волн и равный потоку энергии волн через единичную площадь, перпендикулярную этому направлению, называется вектором Умова.

– плотность вещества.
Звуковые волны

Звук – это механическая волна, частота которой лежит в пределах ,
– инфразвук,
– ультразвук.

Различают музыкальные тоны (это монохроматическая волна с одной частотой или состоящая из простых волн с дискретным набором частот – сложный тон).

^ Шум – это механическая волна с непрерывным спектром и хаотически изменяющимися амплитудами и частотами.

Имеет
, при этом
.

. 1 Децибел (дБ) или 1 фон = 0,1 Б.

Зависимость громкости от частоты учитывают с помощью кривых равных громкостей, получаемых экспериментально, и используется для оценки дефектов слуха. Метод измерения остроты слуха называется аудиометрия . Прибор для измерения громкости называется шумомер . Норма громкости звука должна составлять 40 – 60 дБ.

Незатухающие колебания

Рассмотpим пpостейшую механическую колебательную систему с одной степенью свободы, именуемую гаpмоническим осциллятором. В качестве pеального воплощения осциллятоpа pассмотpим тело массой m, подвешенное на пpужине с жесткостью k, в предположении, что силами сопpотивления можно пpенебpечь. Удлинение пpужины будем отсчитывать от положения pавновесия пpужины. Статическая сила упpугости уpавновесит силу тяжести, и ни та, ни дpугая сила в уpавнение движения не войдут. Запишем уpавнение движения согласно втоpому закону Ньютона:

(4.1)
Запишем это уpавнение в пpоекциях на ось х (pис. 4.1).

Пpоекцию ускорения на ось х пpедставим как втоpую пpоизводную от кооpдинаты х по вpемени. Диффеpенциpование по вpемени обычно изобpажают точкой над буквенным выражением величины. Вторая производная отмечается двумя точками. Тогда, уpавнение (4.1) пеpепишем в виде:

(4.2)
Знак минус в пpавой части уpавнениия (4.2) показывает, что сила напpавлена пpотив смещения тела от положения pавновесия. Обозначим k/m чеpез w2, и пpедадим уpавнению (4.2) вид:

(4.3)
где

(4.4)
Уpавнение (4.3) называется уpавнением гаpмонического осциллятоpа. С подобным уpавнением мы уже встpечались (уpавнение 3. 29), и будем встpечаться еще не один pаз. Это диффеpенциальное уpавнение. Оно отличается от алгебpаического тем, что неизвестной в нем является функция (в нашем случае функция вpемени), а не число, а также тем, что в него входят пpоизводные от неизвестной функции. Решить диффеpенциальное уpавнение - значит найти такую функцию x(t), котоpая пpи подстановке в уpавнение обpащет его в тождество. Будем искать pешение методом подбоpа (с последующей пpовеpкой). Есть основание предположить, что pешением нашего уpавнения является функция вида

(4.5)
Функция (4.5) пpедставляет собой синусоидальную функцию в общем виде. Паpаметpы A, a,j0, 0 пока не опpеделены, и только подстановка функции (4.5) в уpавнение (4.3) покажет, как они должны быть выбpаны. Найдем втоpую пpоизводную от функции (4.5) и подставим ее в уpавнение (4.3):

(4.6)

(4.7)
Сокpатим члены уpавнения на Asin(at + j0) и получим:

(4.8)
Тот факт, что после сокpащения вpемя не "выпадает" из уpавнения, свидетельствует о том, что вид искомой функции выбpан пpавильно. Уpавнение (4.8) показывает, что a должно быть pавным w.
Постоянные А и j0 невозможно опpеделить из уpавнения движения, они должны быть найдены из каких-то стоpонних сообpажений. Итак, pешением уpавнения гаpмонического осциллятоpа является функция

(4.9)
Как же опpеделить постоянные А и j0 ? Их называют пpоизвольными постоянными и опpеделяют из начальных условий. Дело в том, что колебания должны возникнуть в какой-то момент вpемени. Их возникновение вызвано какими-то постоpонними пpичинами. Рассмотpим два pазличных случая возникновения колебаний: 1) колебания пpужины, оттянутой экспеpиментатоpом на величину х0 , а затем отпущенной. 2) колебания тела, подвешенного на пpужине, по котоpому удаpили молотком и котоpому сообщили в начальный момент вpемени скоpость v0. Найдем постоянные А и j0 для этих случаев.

(4.10)
Пpодиффеpенциpуем (4.9) по вpемени, т.е. найдем скоpость тела:

(4.11)
В уpавнения (4.9) и (4.11) подставим начальные условия:

(4.12)
Отсюда следует, что 0 = p/2, А = х0 .
Закон движения тела окончательно пpимет вид

(4.13)
2) Пpи t = 0 х = 0, а скоpость v = х = v0 .
Подставим в уpавнения (4.9) и (4.11) новые начальные условия:
0=Asinj 0,
v0=Awcosj 0.
(4.14)
Получим, что пpи 0 = 0 А = v0/w. Закон движения пpинимает вид

(4.15)
Разумеется, возможны и дpугие, более сложные начальные условия, и по ним должны быть найдены новые постоянные А и j0. Таким обpазом, pешение (4.9) есть общее pешение уpавнения движения тела. Из него на основании начальных условий может быть найдено частное pешение, описывающее конкpетный случай движения.
Установим тепеpь физический смысл введенных постоянных А, j0,w. Очевидно, А пpедставляет собой амплитуду колебаний, т.е. наибольшее отклонение тела от положения pавновесия. j0 называется начальной фазой колебания, а аpгумент синуса (wt + j0) - фазой. Фаза опpеделяет состояние движущегося тела в данный момент вpемени. Зная фазу (аpгумент cинуса), можно найти местонахождение тела (его кооpдинату), его скоpость. j0 есть фаза в начальный момент вpемени.
Остается выяснить смысл паpаметpа w. За вpемя, pавное пеpиоду
колебаний Т, т. е. за вpемя полного колебания, аpгумент синуса изменяется на 2p. Следовательно, wТ = 2p , откуда

(4.16)
Фоpмула (4.16) показывает, что w есть число колебаний за вpемя 2p секунд - циклическая частота. Последняя связана с частотой n соотношением

(4.17)
Найдем энеpгию свободных колебаний. Она пpедставлена двумя видами энеpгии: кинетической и потенциальной.

(4.18)
Подставляя в эту фоpмулу значения х и v согласно соотношениям (4.9) и (4.11), получим:

(4.19)

Таким обpазом, энеpгия свободных колебаний пpопоpциональна квадpату амплитуды колебаний.
Обpатим внимание на следующее обстоятельство. Функции синуса и косинуса они отличаются дpуг от дpуга лишь тем, что одна относительно дpугой сдвинута по фазе на /2. Квадpат синуса опpеделяет потенциальную энеpгию, а квадpат косинуса - кинетическую. Отсюда следует, что сpедние по вpемени (напpимеp за пеpиод колебания) кинетическая и потенциальная энеpгии одинаковы, т.е.

(4.20)
и

(4.21)

НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания с постоянной амплитудой.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Методическое пособие для учащихся втузов по дисциплине: физика. Механические колебания

Методическое пособие для учащихся втузов.. по дисциплине физика..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Частота, период, циклическая частота, амплитуда, фаза колебаний
ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ, число колебаний в 1 с. Обозначается u. Если T - период от колебаний, то u = 1/T; измеряется в герцах (Гц). Угловая частота колебаний w = 2pu = 2p/T рад/с. ПЕРИОД колебан

Энергия гармонических колебаний
Гармонические колебания Важным частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, т.е. такие изменения физической величины, которые идут по закону

Метод векторных диаграмм. Сложение колебаний одного направления
Метод векторных диаграмм. Каждому гармоническому колебанию с частотой можно поставить в соответствие вращающийся с

Биения. Сложение перпендикулярных колебаний. Затухающие механические колебания
Биения - колебания с периодически меняющейся амплитудой, возникающие в результате наложения двух гармонических колебаний с несклько различными, но близкими частотами. Б. возникают вследствие того,

Уравнение затухающих колебаний. Амплитуда, частота, коэффициент затухания
Уравнение затухающих колебаний представим в виде где

Резонанс
. Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний изменяется с изменением частоты внешнего воздействия. При

Уравнение плоской бегущей волны
Гармоническая бегущая волна является плоской волной, т.к. ее волновые поверхности (ω(t-)+φ0

Типы волн: продольные и поперечные, плоские, сферические
Будем полагать, что имеем сплошную упругую среду, например, твердое тело, жидкости, газы. Для упругой среды характерно возникновение упругих деформаций при внешнем воздействии на нее. Эти деформаци

Волновая поверхность, волновой фронт
Волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым ф

Свойства волн
Генерация волн. Волны могут генерироваться различными способами. Генерация локализованным источником колебаний (излучателем, антенной). Спонтанная генерация волн в объёме при возн

Энергия волны
Энергия бегущей волны. Вектор плотности потока энергии Упругая среда, в которой распространяется волна, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц так и потенциально

Поток энергии
Поток энергии – количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени: Ве

Вектор Умова
Пусть в некоторой среде вдоль оси х распространяется упругая плоская продольная волна, описываемая уравнением (1.91")

Стоячие волны
Если в среде распространяется несколько волн, то результирующее колебание каждой частицы среды представляет собой сумму колебаний, которые совершала бы частица от каждой волны в отдельности. Это ут

Интерференция
Интерференция волн - явления усиления или ослабления амплитуды результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами складывающихся двух или нескольких волн с одинаковыми периодами. Если в

Координаты пучностей и узлов стоячей волны
Если навстречу друг другу распространяются две гармонические волны S1=Acos(ωt-kх) и S2=Acos(ωt+kх), то образуется стоячая волна S=S1+S2=2Аcoskx cosωt. Иссл

Отличие бегущих волн от стоячих
Бегущая волна - волновое движение, при котором поверхность равных фаз (фазовые волновые фронты) перемещается с конечной скоростью, постоянной в случае однородных сред. С бегущей волной, групповая с

Источники электромагнитных волн Проводник с током. Магнит. Электрическое поле (переменное). Вокруг проводника, через которых проходит ток и он постоянен. При изменении силы

Свойства электромагнитных волн: поперечность, синфазность колебаний векторов напряженностей электрического и магнитного полей
Поперечность. электромагнитные волны являются поперечными. Электромагнитной волной

Вектор Пойнтинга
Пойнтинга вектор, вектор плотности потока электромагнитной энергии. Назван по имени английского физика Дж. Г. Пойнтинга (J. Н. Poynting; 1852-1914). Модуль П. в. равен энергии, переносимой за едини

Шкала электромагнитных волн
(шкала электромагнитных

Когерентность волн
Волны и возбуждающие их источники называются когерентными, если разность фаз волн не зависит от времени. Волны и во

Интерференция
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН - явление, наблюдающееся при одновременном распространении в пространстве нескольких волн и состоящее в стационарном (или медленно изменяющемся) пространственном распределении ам

Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников. Рассмотрим две когерентные световые волны, исходящие из источников

Координаты минимумов и максимумов интенсивности
Оптическая длина путей лучей. Условия получения интерференционных максимумов и минимумов. В вакууме скорость света равна

Полосы равной толщины
Полосы равной толщины, один из эффектов оптики тонких слоев, в отличие от полос равного наклона, наблюдаются непосредственно на поверхности прозрачного слоя переменной толщины (рис. 1). Возникновен

Применение интерференции
Практическое применение интерференции света разнообразно: контроль качества поверхностей, создание светофильтров, просветляющих покрытий, измерение длины световых волн, точное измерение расстояния

Принцип Гюйгенса-Френеля
Гюйгенса-Френеля принцип,приближённый метод решения задач о распространении волн, особенно световых. Согласно первоначальному принципу Х. Гюйгенса (1678), каждый элемент поверхност

Метод зон Френеля
Вычисление интеграла в пункте в общем случае - трудная задача. В случаях, если в задаче существу

Дифракция Френеля
Пусть на пути сферической световой волны, испускаемой источником S, расположен непрозрачный экран с круглым отверстием радиуса r0. Если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в

Пятно Пуассона
es С помощью спирали Френеля можно получ

Поляризация света
Поляризация света, одно из фундаментальных свойств оптического излучения (света), состоящее в неравноправии различных направлений в плоскости, перпендикулярной световому лучу (направлению распростр

Закон Малюса
Поставим на пути естественного света два поляроида, оси пропускания которых развернуты друг относительно

Двойное лучепреломление
Как уже упоминалось в, закон преломления может не выполняться в анизотропных средах. Действительно, этот закон утверждает, что:

Интерференция поляризованного света
Важный случай И. с. - интерференция поляризованных лучей (см. Поляризация света). В общем случае, когда складываются две различно поляризованные когерентные световые волны, происходит векторное сло

Оптически активные вещества
Оптически активные вещества, среды, обладающие естественной оптической активностью. О.-а. в. подразделяются на 2 типа. Относящиеся к 1-му из них оптически активны в любом агрегатном состоянии (саха

Дисперсия света
Дисперсия света (рассеяние света) - явление разложения белого света при прохождении его через призму, диф

Закон Бугера-Ламберта
Бугера - Ламберта, определяет постепенное ослабление параллельного монохроматического (одноцветного) пучка света при распространении его в поглощающем веществе. Если мощность пучка

Зильберман А. Р. Генератор незатухающих колебаний //Квант. - 1990. - № 9. - С. 44-47.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Такие генераторы применяются во многих устройствах - радиоприемниках, телевизорах, магнитофонах, компьютерах, электроорганах и т. п.- и бывают самыми разными. Так, частоты генераторов могут лежать в диапазоне от нескольких десятков герц (низкие ноты в электрооргане) до сотен мегагерц (телевидение) и даже до нескольких гигагерц (спутниковое телевидение, радиолокаторы, используемые сотрудниками ГАИ для определения скорости автомобиля). Мощность, которую может отдать генератор потребителю, составляет от нескольких микроватт (генератор в наручных часах) до десятков ватт (генератор телевизионной развертки), а в некоторых специальных случаях мощность может быть такой, что и писать нет смысла - все равно вы не поверите. Форма колебаний возможна как самая простая - синусоидальная (гетеродин радиоприемника) или прямоугольная (таймер компьютера), так и весьма сложная - «имитирующая» звучание музыкальных инструментов (музыкальные синтезаторы).

Конечно, мы не будем рассматривать все это разнообразие, а ограничимся совсем простым примером - маломощным генератором синусоидального напряжения умеренной частоты (сотни килогерц).

Как известно, в простейшем колебательном контуре, состоящем из идеального конденсатора и идеальной катушки, могут происходить незатухающие гармонические колебания. Уравнение процесса легко получить, приравняв (с учетом знаков) напряжения на конденсаторе и на катушке - ведь они включены параллельно (рис. 1):

\(~\frac qC = -LI"\) .

Ток, протекающий через катушку, изменяет заряд конденсатора; эти величины связаны соотношением

\(~I = q"\) .

Теперь можно записать уравнение

\(~q"" + \frac{q}{LC} = 0\) .

Решение этого уравнения хорошо известно - это гармонические колебания. Их частота определяется параметрами колебательного контура\[~\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\] , а амплитуда зависит только от энергии, которую вначале сообщили контуру (и которая для идеального контура остается постоянной).

Что изменится, если элементы контура не идеальные, как и бывает реально на практике (за много лет автор так и не увидел ни одной идеальной катушки, хотя очень интересовался этим вопросом)? Пусть, для определенности, вся неидеальность контура связана с тем, что у катушки, точнее - у провода, из которого она намотана, есть активное (омическое) сопротивление r (рис. 2). На самом деле, конечно, потери энергии есть и у конденсатора (хотя на не очень высоких частотах сделать очень хороший конденсатор можно без особого труда). Да и потребитель отнимает у контура энергию, что также способствует затуханию колебаний. Одним словом, будем считать, что r - это эквивалентная величина, отвечающая за все потери энергии в контуре. Тогда уравнение. процесса приобретает вид

\(~LI" + rI + \frac{q}{C} = 0\) .

Ясно, что именно второе слагаемое не дает получить желанное уравнение незатухающих колебаний. Поэтому наша задача - это слагаемое скомпенсировать. Физически это означает, что в контур надо подкачать дополнительную энергию, т. е. ввести еще одну ЭДС. Как же это сделать, не разрывая цепь? Проще всего воспользоваться магнитным полем - создать дополнительный магнитный поток, пронизывающий витки катушки контура. Для этого неподалеку от этой катушки нужно разместить еще одну катушку (рис. 3) и пропускать через нее ток, величина которого должна изменяться по нужному закону, т. е. так, чтобы этот ток создал как раз такое магнитное поле, которое, пронизывая катушку контура, создаст в ней такой магнитный поток, который, изменяясь, наведет такую ЭДС индукции, которая в точности скомпенсирует неугодное нам слагаемое в уравнении процесса. Вся эта длинная фраза, напоминающая «дом, который построил Джек»,- просто пересказ известного вам закона Фарадея для явления электромагнитной индукции.

Разберемся теперь с током, который должен течь по дополнительной катушке. Понятно, что для него необходим источник энергии (для пополнения потерь энергии в контуре) и регулирующее устройство, обеспечивающее нужный закон изменения тока со временем. В качестве источника можно использовать обычную батарейку, а в качестве регулирующего устройства - электронную лампу или транзистор.

Транзисторы бывают различных типов - обычные (их называют биполярными) и полевые, которые дополнительно подразделяются на полевые с изолированным затвором (их обычно используют в цифровых устройствах) и с управляющим p -n -переходом. Любой полевой транзистор содержит «канал» с двумя выводами - их изобретательно называют истоком и стоком, а его проводимость регулируется подачей на третий вывод - затвор - управляющего напряжения (рис. 4). В полевом транзисторе с управляющим p -n -переходом - а мы дальше будем говорить именно о нем - затвор отделен от канала именно таким переходом, для чего область затвора делается противоположного по отношению к каналу типа проводимости. Например, если канал имеет примесную проводимость типа p , то затвор - типа n , и наоборот.

Когда на переход подают запирающее напряжение U z (рис. 5), сечение проводящего канала уменьшается, а при определенном напряжении - его называют напряжением отсечки - канал перекрывается полностью и ток прекращается.

Зависимость тока канала I k от напряжения на затворе U z показана на рисунке 6. Зависимость эта почти такая же, как и у электронной лампы (триода). Важно отметить, что управляющее напряжение - запирающее, а значит, ток в цепи управления чрезвычайно мал (обычно он составляет несколько наноампер), соответственно мала и мощность управления, что очень хорошо. При небольших значениях управляющего напряжения зависимость тока от напряжения можно считать линейной и записать в виде

\(~I_k = I_0 + SU_z\) ,

где S - постоянная величина. Для генератора существенны и отклонения от линейности, но об этом позже.

На рисунке 7 изображена принципиальная схема генератора незатухающих колебаний. Здесь управляющим для полевого транзистора напряжением является напряжение на конденсаторе колебательного контура:

\(~U_z = U_C = \frac qC\) ,

и ток через дополнительную катушку равен

\(~I_k = I_0 + \frac{Sq}{C}\) .

Дополнительный магнитный поток пропорционален этому току, а добавочная ЭДС контура равна производной этого потока, взятой с противоположным знаком:

\(~\varepsilon_i = -\Phi" = -(MI_k)" = -\frac{MS}{C} q"\) ,

Знак «минус» тут довольно условен - катушку можно подключить к полевому транзистору либо одним концом, либо другим, при этом знак дополнительной ЭДС изменится на противоположный. Одним словом, дополнительная ЭДС должна быть такой, чтобы скомпенсировать потери энергии в контуре. Запишем еще раз уравнение процесса:

\(~LI" + rI + \frac{q}{C} - \frac{MS}{C} q" = 0\) .

Если выбрать величину М такой, чтобы четвертое слагаемое компенсировало второе, то мы получим уравнение

\(~LI" + \frac{q}{C} = 0\) ,

которое соответствует гармоническим незатухающим колебаниям.

А как можно повлиять на величину М ? Оказывается, она увеличится, если намотать побольше витков в дополнительной катушке или если эту катушку расположить поближе к катушке контура. Нужно сказать, что достаточный для генерации коэффициент М на практике получить довольно просто. Лучше выбрать эту величину с некоторым запасом - при этом получится контур не только без потерь, но даже с подкачкой энергии от внешнего источника (с «отрицательными» потерями). При включении генератора амплитуда колебаний сначала будет возрастать, но через некоторое время установится - энергия, поступающая в контур за один период, станет равной потерям энергии за то же время. И действительно, при увеличении амплитуды напряжения на конденсаторе (управляющее напряжение полевого транзистора) транзистор начинает усиливать хуже, поскольку при большом отрицательном напряжении ток в цепи канала прекращается, а при положительных напряжениях переход начинает открываться, что тоже увеличивает потери в контуре. В результате колебания получаются не совсем синусоидальными, но, если потери в контуре невелики, искажения незначительны.

Для того чтобы использовать полученные колебания - а ведь именно для этого и делается генератор,- нужно либо подключиться непосредственно к контуру, либо намотать еще одну катушку. Но в обоих случаях необходимо учесть «уход» энергии из контура и скомпенсировать его в числе прочих потерь.

Свободные колебания всегда затухают из-за потерь энергии (трение, сопротивление среды, сопротивление проводников электрического тока и т. п.). Между тем и в технике и в физических опытах крайне нужны незатухающие колебания, периодичность которых сохраняется все время, пока система вообще колеблется. Как получают такие колебания? Мы знаем, что вынужденные колебания, при которых потери энергии восполняются работой периодической внешней силы, являются незатухающими. Но откуда взять внешнюю периодическую силу? Ведь она в свою очередь требует источника каких-то незатухающих колебаний.

Незатухающие колебания создаются такими устройствами, которые сами могут поддерживать свои колебания за счет некоторого постоянного источника энергии. Такие устройства называются автоколебательными системами.

На рис. 55 изображен пример электромеханического устройства такого рода. Груз висит на пружине, нижний конец которой погружается при колебаниях этого пружинного маятника в чашечку со ртутью. Один полюс батареи присоединен к пружине наверху, а другой - к чашечке со ртутью. При опускании груза электрическая цепь замыкается и по пружине проходит ток. Витки пружины благодаря магнитному полю тока начинают при этом притягиваться друг к другу, пружина сжимается, и груз получает толчок кверху. Тогда контакт разрывается, витки перестают стягиваться, груз опять опускается вниз, и весь процесс повторяется снова.

Таким образом, колебание пружинного маятника, которое само по себе затухало бы, поддерживается периодическими толчками, обусловленными самим колебанием маятника. При каждом толчке батарея отдает порцию энергии, часть которой идет на подъем груза. Система сама управляет действующей на нее силой и регулирует поступление энергии из источника - батареи. Колебания не затухают именно потому, что за каждый период от батареи отбирается как раз столько энергии, сколько расходуется за то же время на трение и другие потери. Что же касается периода этих незатухающих колебаний, то он практически совпадает с периодом собственных колебаний груза на пружине, т. е. определяется жесткостью пружины и массой груза.

Рис. 55. Автоколебания груза на пружине

Подобным же образом возникают незатухающие колебания молоточка в электрическом звонке, с той лишь разницей, что в нем периодические толчки создаются отдельным электромагнитом, притягивающим якорек, укрепленный на молоточке. Аналогичным путем можно получить автоколебания со звуковыми частотами, например возбудить незатухающие колебания камертона (рис. 56). Когда ножки камертона расходятся, замыкается контакт 1; через обмотку электромагнита 2 проходит ток, и электромагнит стягивает ножки камертона. Контакт при этом размыкается, и далее следует повторение всего цикла.

Рис. 56. Автоколебания камертона

Чрезвычайно существенна для возникновения колебаний разность фаз между колебанием и силой, которую оно регулирует. Перенесем контакт 1 с внешней стороны ножки камертона на внутреннюю. Замыкание происходит теперь не при расхождении, а при сближении ножек, т. е. момент включения электромагнита передвинут на полпериода по сравнению с предыдущим опытом. Легко видеть, что в этом случае камертон будет все время сжат непрерывно включенным электромагнитом, т. е. колебания вообще не возникнут.

Электромеханические автоколебательные системы применяются в технике очень широко, но не менее распространенными и важными являются и чисто механические автоколебательные устройства. Достаточно указать на любой часовой механизм. Незатухающие колебания маятника или балансира часов поддерживаются за счет потенциальной энергии поднятой гири или за счет упругой энергии заведенной пружины.

Рисунок 57 иллюстрирует принцип действия маятниковых часов Галилея - Гюйгенса (§ 11). На этом рисунке изображен так называемый анкерный ход. Колесо с косыми зубьями 1 (ходовое колесо) жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепь с гирей 2. К маятнику 3 приделана перекладина 4 (анкер), на концах которой укреплены палетты 5 - пластинки, изогнутые по окружности с центром на оси маятника 6. Анкер не позволяет ходовому колесу свободно вращаться, а дает ему возможность провернуться только на один зуб за каждые полпериода маятника. Но и ходовое колесо действует при этом на маятник, а именно, пока зуб ходового колеса соприкасается с изогнутой поверхностью левой или правой палетты, маятник не получает толчка и только слегка тормозится из-за трения. Но в те моменты, когда зуб ходового колеса «чиркает» по торцу палетты, маятник получает толчок в направлении своего движения. Таким образом, маятник совершает незатухающие колебания, потому что он сам в определенных своих положениях дает возможность ходовому колесу подтолкнуть себя в нужном направлении. Эти толчки и восполняют расход энергии на трение. Период колебаний и в этом случае почти совпадает с периодом собственных колебаний маятника, т. е. зависит от его длины.

Рис. 57. Схема часового механизма

Автоколебаниями являются также колебания струны под действием смычка (в отличие от свободных колебаний струны у рояля, арфы, гитары и других несмычковых струнных инструментов, возбуждаемых однократным толчком или рывком); автоколебаниями являются звучание духовых музыкальных инструментов, движение поршня паровой машины и многие другие периодические процессы.

Характерная черта автоколебаний состоит в том, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальным отклонением или толчком, как у свободных колебаний. Если, например, маятник часов отклонить слишком сильно, то потери на трение будут больше, чем поступление энергии от заводного механизма, и амплитуда будет уменьшаться. Наоборот, если уменьшить амплитуду, то избыток энергии, сообщаемой маятнику ходовым колесом, заставит амплитуду возрасти. Автоматически установится именно такая амплитуда, при которой расход и поступление энергии сбалансированы.