Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости. Нормальный вектор прямой Что такое вектор нормали

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики - и все будет работать великолепно.

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат - точку (0; 0; 0) - то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) - вот и все!

Вычисление координат векторов

А что, если в задаче нет векторов - есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек - начала и конца вектора - можно вычислить координаты самого вектора.

Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:

Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец - в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC - все та же точка A, зато конец - точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!

Вычисление направляющих векторов для прямых

Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.

Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую...

Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой:

Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что угол между двумя прямыми - это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:

Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведены прямые AC и BD 1 . Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA 1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) - это и есть направляющий вектор.

Теперь разберемся с прямой BD 1 . На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D 1 = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Ответ: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Задача. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, проведены прямые AB 1 и AC 1 . Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA 1 , ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

Для начала разберемся с прямой AB 1 . Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B 1 = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Теперь найдем направляющий вектор для AC 1 . Все то же самое - единственное отличие в том, что у точки C 1 иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем:

Ответ: AB 1 = (1; 0; 1);

Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца. К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки.

Вычисление нормальных векторов для плоскостей

Нормальные векторы - это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости - это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Другими словами, нормаль - это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение - правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом - хоть прямой, хоть вектором.

Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).

Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором - той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно - и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:

Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение A 1 BC 1 . Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно.

Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A 1 , B и C 1 , то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C 1 = (1; 1; 1) получим уравнения:
A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).

Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение AA 1 C 1 C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно.

В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A 1 и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A 1 = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).

Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 - без ущерба для общности решения и правильности ответа.

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами - точками A = (x a ; y a ; z a) и B = (x b ; y b ; z b). Тогда координаты середины отрезка - обозначим ее точкой H - можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка - это среднее арифметическое координат его концов.

Задача. Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K - середина ребра A 1 B 1 . Найдите координаты этой точки.

Поскольку точка K - середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Задача. Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .

Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A 1 L = C 1 L, т.е. точка L - это середина отрезка A 1 C 1 . Но A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Ответ : L = (0,5; 0,5; 1)

· Задача . В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение A 1 BC 1 . Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно.

Решение . Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A 1 , B и C 1 , то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
B = − 1 − A − B = − 1 + 1 + 1 = 1.

Ответ : n = (− 1; 1; − 1)

· Задача . В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение AA 1 C 1 C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно.

Решение . В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A 1 и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A 1 = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Ответ : n = (− 1; 1; 0)

Вектор нормали

Плоская поверхность с двумя нормалями

В дифференциальной геометрии , нормаль - это прямая , ортогональная (перпендикулярная) касательной прямой к некоторой кривой или касательной плоскости к некоторой поверхности . Также говорят о нормальном направлении .

Вектор нормали к поверхности в данной точке - это единичный вектор , приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Если на поверхности можно задать непрерывное поле нормальных векторов, то говорят, что это поле задает ориентацию поверхности (то есть выделяет одну из сторон). Если этого сделать нельзя, поверхность называется неориентируемой .

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Вектор нормали" в других словарях:

вектор нормали - normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normal vector vok. Normalenvektor, m rus. вектор нормали, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur normal, m … Fizikos terminų žodynas

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Вектор Дарбу направляющий вектор мгновенной оси вращения, вокруг которой сопровождающий триэдр кривой L поворачивается при… … Википедия

Электродинамика сплошных сред Электродинамика сплошных сред … Википедия

Вектор Дарбу направляющий вектор мгновенной оси вращения, вокруг которой сопровождающий триэдр кривой L поворачивается при равномерном движении точки M по кривой L. Вектор Дарбу лежит в спрямляющей плоскости кривой L и выражается через единичные… … Википедия

Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis шагающий), вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (см. Поля теория). Если величина выражается… …

Направляющий вектор d мгновенной оси вращения, вокруг к рой сопровождающий триэдр кривой Lповорачивается при равномерном движении точки Мпо кривой L. Д. в. лежит в спрямляющей плоскости кривой Lи выражается через единичные векторы главной нормали … Математическая энциклопедия

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Гиперповерх … Википедия

Графический конвейер аппаратно программный комплекс визуализации трёхмерной графики. Содержание 1 Элементы трехмерной сцены 1.1 Аппаратные средства 1.2 Программные интерфейсы … Википедия

Математическая дисциплина, в которой изучают свойства операций над Векторами евклидова пространства. При этом понятие вектора представляет собой математическую абстракцию величин, характеризующихся не только численным значением, но и… … Большая советская энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Плоскость. Сюда перенаправляется запрос «Плоскостность». На эту тему нужна отдельная статья … Википедия

Вектор нормали плоскости – это вектор, который перпендикулярен данной плоскости. Очевидно, что у любой плоскости бесконечно много нормальных векторов. Но для решения задач нам будет хватать и одного.

Если плоскость задана общим уравнением, то вектор является вектором нормали данной плоскости . Просто до безобразия. Всё, что нужно сделать – это «снять» коэффициенты из уравнения плоскости.

Обещанного три экрана ждут, вернёмся к Примеру №1 и выполним его проверку. Напоминаю, что там требовалось построить уравнение плоскости по точке и двум векторам . В результате решения мы получили уравнение . Проверяем:

Во-первых, подставим координаты точки в полученное уравнение:

Получено верное равенство, значит, точка действительно лежит в данной плоскости.

Во-вторых, из уравнения плоскости снимаем вектор нормали: . Поскольку векторы параллельны плоскости, а вектор перпендикулярен плоскости, то должны иметь место следующие факты: . Перпендикулярность векторов легко проверить с помощью скалярного произведения :

Вывод: уравнение плоскости найдено правильно.

В ходе проверки я фактически процитировал следующее утверждение теории: векторпараллелен плоскости в том и только том случае, когда .

Решим важную задачу, которая имеет отношение и к уроку :

Пример 5

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение : Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Обозначим данный вектор через . Принципиально пейзаж выглядит так:

Совершенно понятно, что векторы коллинеарны.

Сначала из уравнения плоскости снимем вектор нормали: .

Как найти единичный вектор? Для того чтобы найти единичный вектор, нужнокаждую координату вектора разделить на длину вектора .

Перепишем вектор нормали в виде и найдём его длину:

Согласно вышесказанному:

Ответ :

Проверка: , что и требовалось проверить.

Читатели, которые внимательно изучили последний параграф урока Скалярное произведение векторов , наверное, заметили, что координаты единичного вектора– это в точности направляющие косинусы вектора :

Отвлечёмся от разобранной задачи: когда вам дан произвольный ненулевой вектор , и по условию требуется найти его направляющие косинусы (последние задачи урока Скалярное произведение векторов ), то вы, по сути, находите и единичный вектор, коллинеарный данному.

Фактически два задания в одном флаконе.

Необходимость найти единичный вектор нормали возникает в некоторых задачах математического анализа.

С выуживанием нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос.