Обобщение чисел фибоначчи. Число как основное понятие математики

Наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций. Особое место среди целых чисел, т. е. чисел..., 3 … Большая советская энциклопедия

Раздел теории чисел. В А. т. ч. включают вопросы распределения простых чисел, аддитивные проблемы, исследование поведения теоретико числовых функций, теорию алгебраических и трансцендентных чисел. Распределение простых чисел, а) Одной из… … Математическая энциклопедия

Раздел теории чисел, в к ром изучаются закономерности распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных чисел. Центральной является проблема наилучшего асимптотич. выражения при функции p(х), обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а… … Математическая энциклопедия

Был образован в 1934 году как базовый отдел института первым директором и создателем Математического института им. В. А. Стеклова академиком И. М. Виноградовым. Содержание 1 История отдела 2 Сотрудники отдела … Википедия

Геометрическая теория чисел, раздел теории чисел, изучающий теоретико числовые проблемы с применением геометрич. методов. Г. ч. в собственном смысле сформировалась с выходом основополагающей монографии Г. Минков ского в 1896. Исходным пунктом … Математическая энциклопедия

Общий принцип, в силу к рого совместное действие случайных факторов приводит при нек рых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа… … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лиувилля. Теорема Лиувиля о приближении алгебраических чисел теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные … Википедия

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ - общий принцип, в силу к рого совместное действие случайных факторов приводит при нек рых весьма общих условиях к рез ту, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа… … Российская социологическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Число (значения). Число основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения и нумерации объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей… … Википедия

См. также: Число (лингвистика) Число абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое … Википедия

Если использовать рекурсию F n − 2 = F n − F n − 1 {\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}} , можно расширить числа Фибоначчи на отрицательные числа. Мы получаем:

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

с формулой общего члена F − n = (− 1) n + 1 F n {\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}} .

Расширение на вещественные и комплексные числа

Существует много возможных обобщений, которые расширяют числа Фибоначчи на вещественные числа (а иногда и на комплексные числа). Они используют золотое сечение φ и базируются на формуле Бине

F n = φ n − (− φ) − n 5 . {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt {5}}}.}

Аналитическая функция

Fe ⁡ (x) = φ x − φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}

имеет свойство, что F e (n) = F n {\displaystyle Fe(n)=F_{n}} для чётных целых чисел n . Аналогично, для аналитической функции

Fo ⁡ (x) = φ x + φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}

выполняется F o (n) = F n {\displaystyle Fo(n)=F_{n}} для всех нечётных целых чисел n .

Собирая всё вместе, получим аналитическую функцию

Fib ⁡ (x) = φ x − cos ⁡ (x π) φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi)\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}

для которой выполняется F i b (n) = F n {\displaystyle Fib(n)=F_{n}} для всех целых чисел n .

Поскольку F i b (z + 2) = F i b (z + 1) + F i b (z) {\displaystyle Fib(z+2)=Fib(z+1)+Fib(z)} для всех комплексных чисел z , эта функция даёт также расширение последовательности Фибоначчи для всей комплексной плоскости. Таким образом, мы можем вычислить обобщённую функцию Фибоначчи для комплексной переменной, например,

Fib ⁡ (3 + 4 i) ≈ − 5248 , 5 − 14195 , 9 i {\displaystyle \operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248{,}5-14195{,}9i}

Векторное пространство

Термин последовательности Фибоначи может быть применении для любой функции g , отображающей целочисленную переменную в некоторое поле, для которой . Эти функции в точности являются функциями вида g (n) = F (n) g (1) + F (n − 1) g (0) {\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)} , так что последовательности Фибоначчи образуют векторное пространство , базисом которого являются функции F (n) {\displaystyle F(n)} и F (n − 1) {\displaystyle F(n-1)} .

В качестве области определения функции g может быть взято любая абелева группа (рассматриваемая как Z -модуль). Тогда последовательности Фибоначчи образуют 2-мерный Z -модуль.

Целые последовательности Фибоначчи

2-мерный Z -модуль последовательностей целых чисел Фибоначчи состоит из всех целых последовательностей, удовлетворяющих соотношению g (n + 2) = g (n) + g (n + 1) {\displaystyle g(n+2)=g(n)+g(n+1)} . Если выразить в терминах двух первых начальных значений, получим

g (n) = F (n) g (1) + F (n − 1) g (0) = g (1) φ n − (− φ) − n 5 + g (0) φ n − 1 − (− φ) 1 − n 5 , {\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi)^{1-n}}{\sqrt {5}}},}

где φ - золотое сечение.

Отношение между двумя последовательными элементами сходится к золотому сечению за исключением случая последовательности, которая состоит из нулей и последовательностей, в которых отношение двух первых членов равно (− φ) − 1 {\displaystyle (-\varphi)^{-1}} .

Последовательность можно записать в виде

a φ n + b (− φ) − n , {\displaystyle a\varphi ^{n}+b(-\varphi)^{-n},}

в которой a = 0 {\displaystyle a=0} тогда и только тогда, когда b = 0 {\displaystyle b=0} . В таком виде простейшим нетривиальным примером является a = b = 1 {\displaystyle a=b=1} и эта последовательность состоит из чисел Люка :

L n = φ n + (− φ) − n . {\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi)^{-n}.}

Мы имеем L 1 = 1 {\displaystyle L_{1}=1} и L 2 = 3 {\displaystyle L_{2}=3} . Выполняется:

φ n = (1 + 5 2) n = L (n) + F (n) 5 2 , L (n) = F (n − 1) + F (n + 1) . {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}={\frac {L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{aligned}}}

Любая нетривиальная последовательность целых чисел Фибоначчи (возможно, после сдвига на конечное число позиций) является одной из строк таблицы Витхоффа . Сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а сдвинутая последовательность Люка является второй строкой .

Последовательности Люка

Другое обобщение последовательностей Фибоначчи - последовательности Люка , определённые следующим образом:

U (0) = 0 {\displaystyle U(0)=0} , U (1) = 1 {\displaystyle U(1)=1} , U (n + 2) = P U (n + 1) − Q U (n) {\displaystyle U(n+2)=PU(n+1)-QU(n)} ,

где обычная последовательность Фибоначчи является частным случаем с P = 1 {\displaystyle P=1} и . Другая последовательность Люка начинается с V (0) = 2 {\displaystyle V(0)=2} , V (1) = P {\displaystyle V(1)=P} . Такие последовательности имеют приложение в теории чисел и проверке простоты .

В случае, когда Q = − 1 {\displaystyle Q=-1} , эта последовательность называется P -последовательностью Фибоначчи . Например, последовательность Пелля называется также 2-последовательностью Фибоначчи .

3-последовательность Фибоначчи

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, ... последовательность A006190 в OEIS

4-последовательность Фибоначчи

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ... последовательность A001076 в OEIS

5-последовательность Фибоначчи

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ... последовательность A052918 в OEIS

6-последовательность Фибоначчи

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ... последовательность A005668 в OEIS

n -константа Фибоначчи - это значение, к которому стремится отношение смежных чисел n -последовательности Фибоначчи. Она называется также n -м отношением ценного металла и является единственным положительным корнем уравнения x 2 − n x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-nx-1=0} . Например, в случае n = 1 {\displaystyle n=1} константа равна 1 + 5 2 {\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} , или золотому сечению , а в случае константа равна 1 + √ 2 , или серебряному сечению . Для общего случая n -константа равна n + n 2 + 4 2 {\displaystyle {\tfrac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}} .

В общем случае U (n) {\displaystyle U(n)} можно называть - последовательностью Фибоначчи , а V (n) {\displaystyle V(n)} можно назвать (P , − Q) {\displaystyle (P,-Q)} -последовательностью Люка .

(1,2)-последовательность Фибоначчи

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ... последовательность A001045 в OEIS

(1,3)-последовательность Фибоначчи

1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, ... последовательность A006130 в OEIS

(2,2)-последовательность Фибоначчи

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ... последовательность A002605 в OEIS

(3,3)-последовательность Фибоначчи

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... последовательность A030195 в OEIS

Числа Фибоначчи высокого порядка

Последовательность Фибоначчи порядка n - это последовательность целых чисел, в которой каждый элемент является суммой предыдущих n элементов (за исключением первых n элементов последовательности). Обычные числа Фибоначчи имеют порядок 2. Случаи n = 3 {\displaystyle n=3} и n = 4 {\displaystyle n=4} тщательно исследованы. Число разложений неотрицательных целых чисел на части, не превосходящие n , является последовательностью Фибоначчи порядка n . Последователь количеств строк из 0 и 1 длины m , содержащих не более n последовательных нулей, также является последовательностью Фибоначчи порядка n .

Эти последовательности, их границы отношений членов и их пределы отношений членов исследовал Марк Барр в 1913 .

Числа трибоначчи

Числа трибоначчи похожи на числа Фибоначчи, но вместо двух предопределённых чисел последовательность начинается с трёх чисел и каждый следующий член является суммой предыдущих трёх:

, , , , , , , , , , , , 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … (последовательность A000073 в OEIS)

Постоянная трибоначчи

1 + 19 + 3 33 3 + 19 − 3 33 3 3 ≈ 1 , 839286755214161 , {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}\approx 1,839286755214161,} последовательность A058265 в OEIS

является значением, к которому стремится отношение двух соседних чисел трибоначчи. Число является корнем многочлена x 3 − x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0} , а также удовлетворяет уравнению x + x − 3 = 2 {\displaystyle x+x^{-3}=2} . Постоянная трибоначчи важна для изучения плосконосого куба .

Величина, обратная постоянной трибоначчи , выраженная отношением ξ 3 + ξ 2 + ξ = 1 {\displaystyle \xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1} , может быть записана как:

ξ = 17 + 3 33 3 − − 17 + 3 33 3 − 1 3 = 3 1 + 19 + 3 33 3 + 19 − 3 33 3 ≈ 0 , 543689012. {\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33}}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}}\approx 0,543689012.}

Числа трибоначчи задаются также формулой

T (n) = ⌊ 3 b (1 3 (a + + a − + 1)) n b 2 − 2 b + 4 ⌉ {\displaystyle T(n)=\left\lfloor 3b{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil }

где ⌊ ⌉ означает ближайшее целое и

a ± = 19 ± 3 33 3 b = 586 + 102 33 3 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33}}}}\\b&={\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}} .

Числа тетраначчи

Числа тетраначчи начинаются с четырёх предопределённых членов, а каждый следующий член вычисляется как сумма предыдущих четырёх членов последовательности. Первые несколько чисел тетраначчи:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, , , , , 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (последовательность A000078 в OEIS)

Постоянная тетраначчи - это значение, которому стремится отношение соседних членов последовательности тетраначчи. Эта постоянная является корнем многочлена x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0} , примерно равна 1,927561975482925 A086088 и удовлетворяет уравнению x + x − 4 = 2 {\displaystyle x+x^{-4}=2} .

Константа тетраначчи выражается в терминах радикалов

(p 1 + 1 4) + (p 1 + 1 4) 2 − 2 λ 1 p 1 (p 1 + 1 4) + 7 24 p 1 + 1 6 {\displaystyle \left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\sqrt {\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)^{2}-{\frac {2\lambda _{1}}{p_{1}}}\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\frac {7}{24p_{1}}}+{\tfrac {1}{6}}}}} p 1 = λ 1 + 11 48 λ 1 = 3 1689 − 65 3 − 3 1689 + 65 3 12 2 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&={\sqrt {\lambda _{1}+{\tfrac {11}{48}}}}\\\lambda _{1}&={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}-65}}-{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}+65}}}{12{\sqrt[{3}]{2}}}}.\end{aligned}}}

Более высокие порядки

Были вычислены числа пентаначчи (5 порядка), гексаначчи (6 порядка) и гептаначчи (7 порядка).

Числа пентаначчи (5 порядка):

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … последовательность A001591 в OEIS

Числа гексаначчи (6 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … последовательность A001592 в OEIS

Числа гептаначчи(7 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … последовательность A122189 в OEIS

Числа октаначчи (8 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... последовательность A079262 в OEIS

Числа ноначчи (9 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, ... последовательность A104144 в OEIS

Предел отношения последовательных членов последовательности n -наччи стремится к корню уравнения (A103814 , A118427 , A118428).

Альтернативная рекурсивная формула предела отношения r двух последовательных чисел n -наччи

r = ∑ k = 0 n − 1 r − k {\displaystyle r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k}} .

Частный случай n = 2 {\displaystyle n=2} является традиционной последовательностью Фибоначчи и даёт золотое сечение φ = 1 + 1 φ {\displaystyle \varphi =1+{\tfrac {1}{\varphi }}} .

Вышеприведённые формулы для отношения выполняются для последовательностей n -наччи, сгенерированных из произвольных чисел. Предел этого отношения равен 2 при n стремящемся к бесконечности. Последовательность чисел «бесконечно-наччи», если её попытаться описать, должна начинаться с бесконечного числа нулей, после чего должна идти последовательность

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

то есть просто степени двойки.

Предел последовательности для любого n > 0 {\displaystyle n>0} является положительным корнем r характеристического уравнения

x n − ∑ i = 0 n − 1 x i = 0. {\displaystyle x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.}

Корень r находится в интервале 2 (1 − 2 − n) < r < 2 {\displaystyle 2(1-2^{-n}). Отрицательный корень характеристического уравнения находится в интервале (−1, 0), если n чётно. Этот корень и каждый комплексный корень характеристического уравнения имеет модуль 3 − n < | r | < 1 {\displaystyle 3^{-n}<\vert r\vert <1} .

Последовательность для положительного корня r для любого n > 0 {\displaystyle n>0}

2 − 2 ∑ i > 0 1 i ((n + 1) i − 2 i − 1) 1 2 (n + 1) i . {\displaystyle 2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(n+1)i}}}.}

Не существует решения характеристического уравнения в терминах радикалов, если 5 ⩽ n ⩽ 11 {\displaystyle 5\leqslant n\leqslant 11} .

k -й элемент последовательности n -наччи задаётся формулой

F k (n) = ⌊ r k − 1 (r − 1) (n + 1) r − 2 n ⌉ , {\displaystyle F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {r^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n}}\right\rceil ,}

где ⌊ ⌉ означает ближайшее целое, а r - константа n -наччи, которая является корнем x + x − n = 2 {\displaystyle x+x^{-n}=2} , ближайшим к 2 .

Слово Фибоначчи

По аналогии числовому аналогу слово Фибоначчи ?! определяется как

F n:= F (n) := { b , n = 0 ; a , n = 1 ; F (n − 1) + F (n − 2) , n > 1. {\displaystyle F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&,n=0;\\{\text{a}}&,n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&,n>1.\\\end{cases}}}

где + означает конкатенацию двух строк. Последовательность строк Фибоначчи начинается с

B, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, … последовательность A106750 в OEIS

Длина каждой строки Фибоначчи равна числу Фибоначчи и для каждого числа Фибоначчи существует строка Фибоначчи.

Строки Фибоначчи оказываются для некоторых алгоритмов входными данными нахудшего случая.

Если "a" и "b" представляют два различных материала или длины атомных связей, структура соответствующая строке Фибоначчи, является квазикристаллом Фибоначчи , непериодической квазикристаллической структурой с необычными спектральными свойствами.

Свёрнутые последовательности Фибоначчи

Свёрнутая последовательность Фибоначчи получается путём применения операции свёртки к последовательности Фибоначчи один и более раз. Определим .

F n (0) = F n {\displaystyle F_{n}^{(0)}=F_{n}} F n (r + 1) = ∑ i = 0 n F i F n − i (r) {\displaystyle F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{n-i}^{(r)}}

Первые несколько последовательностей

r = 1: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, … A001629 . r = 2: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, … A001628 . r = 3: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, … A001872 .

Последовательности можно вычислить с помощью рекуррентной формулы

F n + 1 (r + 1) = F n (r + 1) + F n − 1 (r + 1) + F n (r) {\displaystyle F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n}^{(r)}}

Как и для чисел Фибоначчи, существуют некоторые комбинаторные интерпретации этих последовательностей. Например F n (1) {\displaystyle F_{n}^{(1)}} является количеством способов записать n − 2 в виде упорядоченной суммы чисел 0, 1 и 2, при этом 0 используется ровно один раз. В частности, F 4 (1) = 5 {\displaystyle F_{4}^{(1)}=5} .

Случайная последовательность Фибоначчи может быть определена как бросание монеты для каждой позиции n последовательности и выбора F (n) = F (n − 1) + F (n − 2) {\displaystyle F(n)=F(n-1)+F(n-2)} в случае выпадения орла и F (n) = F (n − 1) − F (n − 2) {\displaystyle F(n)=F(n-1)-F(n-2)} в случае решки. Согласно работе Фурстенберга и Кестена эта последовательность почти достоверно растёт экпоненциально с постоянной скоростью. Константа скорости роста была вычислена в 1999 Дивакаром Висванатом и известна как «константа Висваната ».

Репфигит , или число Кита , это целое число, которое получается в результате последовательности Фибоначчи, начинающейся с последовательности чисел, представляющей последовательность цифр числа. Например, для числа 47, последовательность Фибоначчи начинается с 4 и 7 и содержит 47 в качестве шестого члена ((4, 7, 11, 18, 29, 47) ). Число Кита может быть получено как последовательность трибоначчи, если оно содержит 3 знака, как последовательность тетраначчи, если число содержит 4 знака и т.д.. Несколько фпервых чисел Кита:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, … последовательность A007629 в OEIS

Поскольку множество последовательностей, удовлетворяющих соотношению S (n) = S (n − 1) + S (n − 2) {\displaystyle S(n)=S(n-1)+S(n-2)} , замкнуто относительно поэлементного сложения и умножения на константу, его можно рассматривать как векторное пространство . Любая такая последовательность однозначно определяется выбором двух элементов, так что векторное пространство является двумерным. Если обозначить такую последовательность через (S (0) , S (1)) {\displaystyle (S(0),S(1))} (первые два члена последовательности), числа Фибоначчи F (n) = (0 , 1) {\displaystyle F(n)=(0,1)} и сдвинутые числа Фибоначчи F (n − 1) = (1 , 0) {\displaystyle F(n-1)=(1,0)} , будут каноническим базисом этого пространства

S (n) = S (0) F (n − 1) + S (1) F (n) {\displaystyle S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)}

для всех таких последовательностей S . Например, если S - это последовательность Люка 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... , мы имеем

L (n) = 2 F (n − 1) + F (n) {\displaystyle L(n)=2F(n-1)+F(n)} .

N -генерированная последовательность Фибоначчи

Мы можем определить N -генерированную последовательность Фибоначчи (где N - положительное рациональное число).

N = 2 a 1 ⋅ 3 a 2 ⋅ 5 a 3 ⋅ 7 a 4 ⋅ 11 a 5 ⋅ 13 a 6 ⋅ . . . ⋅ P r a r , {\displaystyle N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot ...\cdot P_{r}^{a_{r}},}

где P r - это r -ое простое число, мы определяем

F N (n) = a 1 F N (n − 1) + a 2 F N (n − 2) + a 3 F N (n − 3) + a 4 F N (n − 4) + a 5 F N (n − 5) + . . . {\displaystyle F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n-3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+...}

Если n = r − 1 {\displaystyle n=r-1} , полагаем F N (n) = 1 {\displaystyle F_{N}(n)=1} , а в случае n < r − 1 {\displaystyle n, полагаем F N (n) = 0 {\displaystyle F_{N}(n)=0} . Полуфибоначчиева последовательность

Полуфиббоначиева последовательность (A030067) определяется посредством той же рекуррентной формулы для членов с нечётными индексами a (2 n + 1) = a (2 n) + a (2 n − 1) {\displaystyle a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)} и a (1) = 1 {\displaystyle a(1)=1} , но для чётных индексов берётся a (2 n) = a (n) {\displaystyle a(2n)=a(n)} , n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} . Выделенные нечётные члены (A030068) s (n) = a (2 n − 1) {\displaystyle s(n)=a(2n-1)} удовлетворяют уравнению s (n + 1) = s (n) + a (n) {\displaystyle s(n+1)=s(n)+a(n)} и строго возрастают. Они дают множество полуфибоначчиевых чисел Ссылки

F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0} F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1} F n = F n − 1 + F n − 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} , для целого числа n > 1 {\displaystyle n>1} .

То есть, начиная с двух начальных значений, каждое число равно сумме двух предшествующих.

Последовательность Фибоначчи интенсивно изучена и обобщена многими способами, например, начиная последовательность с других чисел, отличных от 0 или 1, или путём сложения более двух предшествующих чисел для образования следующего числа.

Расширение на отрицательные числа

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

с формулой общего члена F − n = (− 1) n + 1 F n {\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}} .

Видео по теме

Расширение на вещественные и комплексные числа

F n = φ n − (− φ) − n 5 . {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt {5}}}.}

Аналитическая функция

Fe ⁡ (x) = φ x − φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}

имеет свойство, что F e (n) = F n {\displaystyle Fe(n)=F_{n}} для чётных целых чисел n . Аналогично, для аналитической функции

Fo ⁡ (x) = φ x + φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}

выполняется F o (n) = F n {\displaystyle Fo(n)=F_{n}} для всех нечётных целых чисел n .

Собирая всё вместе, получим аналитическую функцию

Fib ⁡ (x) = φ x − cos ⁡ (x π) φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi)\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}

для которой выполняется F i b (n) = F n {\displaystyle Fib(n)=F_{n}} для всех целых чисел n .

Fib ⁡ (3 + 4 i) ≈ − 5248 , 5 − 14195 , 9 i {\displaystyle \operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248{,}5-14195{,}9i}

Векторное пространство

Термин последовательности Фибоначи может быть применен для любой функции g , отображающей целочисленную переменную в некоторое поле, для которой . Эти функции в точности являются функциями вида g (n) = F (n) g (1) + F (n − 1) g (0) {\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)} , так что последовательности Фибоначчи образуют векторное пространство , базисом которого являются функции F (n) {\displaystyle F(n)} и F (n − 1) {\displaystyle F(n-1)} .

В качестве области определения функции g может быть взята любая абелева группа (рассматриваемая как Z -модуль). Тогда последовательности Фибоначчи образуют 2-мерный Z -модуль.

Целые последовательности Фибоначчи

где φ - золотое сечение.

Отношение между двумя последовательными элементами сходится к золотому сечению, за исключением случая последовательности, которая состоит из нулей и последовательностей, в которых отношение двух первых членов равно (− φ) − 1 {\displaystyle (-\varphi)^{-1}} .

Последовательность можно записать в виде

a φ n + b (− φ) − n , {\displaystyle a\varphi ^{n}+b(-\varphi)^{-n},}

L n = φ n + (− φ) − n . {\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi)^{-n}.}

Мы имеем L 1 = 1 {\displaystyle L_{1}=1} и L 2 = 3 {\displaystyle L_{2}=3} . Выполняется:

Последовательности Люка

Другое обобщение последовательностей Фибоначчи - последовательности Люка , определённые следующим образом:

U (0) = 0 {\displaystyle U(0)=0} , U (1) = 1 {\displaystyle U(1)=1} , U (n + 2) = P U (n + 1) − Q U (n) {\displaystyle U(n+2)=PU(n+1)-QU(n)} ,

3-последовательность Фибоначчи

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, ... последовательность A006190 в OEIS

4-последовательность Фибоначчи

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ... последовательность A001076 в OEIS

5-последовательность Фибоначчи

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ... последовательность A052918 в OEIS

6-последовательность Фибоначчи

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ... последовательность A005668 в OEIS

(1,2)-последовательность Фибоначчи

(1,3)-последовательность Фибоначчи

(2,2)-последовательность Фибоначчи

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ... последовательность A002605 в OEIS

(3,3)-последовательность Фибоначчи

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... последовательность A030195 в OEIS

Числа Фибоначчи высокого порядка

Эти последовательности, их границы отношений членов и их пределы отношений членов исследовал Марк Барр в 1913 .

Числа трибоначчи

, , , , , , , , , , , , 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … (последовательность A000073 в OEIS)

Постоянная трибоначчи

Числа трибоначчи задаются также формулой

T (n) = ⌊ 3 b (1 3 (a + + a − + 1)) n b 2 − 2 b + 4 ⌉ {\displaystyle T(n)=\left\lfloor 3b{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil } ,

где ⌊ ⌉ означает ближайшее целое и

a ± = 19 ± 3 33 3 b = 586 + 102 33 3 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33}}}}\\b&={\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}} .

Числа тетраначчи

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, , , , , 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (последовательность A000078 в OEIS)

Постоянная тетраначчи - это значение, к которому стремится отношение соседних членов последовательности тетраначчи. Эта постоянная является корнем многочлена x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0} , примерно равна 1,927561975482925 A086088 и удовлетворяет уравнению x + x − 4 = 2 {\displaystyle x+x^{-4}=2} .

Константа тетраначчи выражается в терминах радикалов

Более высокие порядки

Были вычислены числа пентаначчи (5 порядка), гексаначчи (6 порядка) и гептаначчи (7 порядка).

Числа пентаначчи (5 порядка):

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … последовательность A001591 в OEIS

Числа гексаначчи (6 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … последовательность A001592 в OEIS

Числа гептаначчи (7 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … последовательность A122189 в OEIS

Числа октаначчи (8 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... последовательность A079262 в OEIS

Числа ноначчи (9 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, ... последовательность A104144 в OEIS

Альтернативная рекурсивная формула предела отношения r двух последовательных чисел n -наччи

r = ∑ k = 0 n − 1 r − k {\displaystyle r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k}} .

Вышеприведённые формулы для отношения выполняются для последовательностей n -наччи, сгенерированных из произвольных чисел. Предел этого отношения равен 2 при n , стремящемся к бесконечности. Последовательность чисел «бесконечно-наччи», если её попытаться описать, должна начинаться с бесконечного числа нулей, после чего должна идти последовательность

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …,

то есть просто степени двойки.

x n − ∑ i = 0 n − 1 x i = 0. {\displaystyle x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.}

Последовательность для положительного корня r для любого n > 0 {\displaystyle n>0}

2 − 2 ∑ i > 0 1 i ((n + 1) i − 2 i − 1) 1 2 (n + 1) i . {\displaystyle 2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(n+1)i}}}.}

k -й элемент последовательности n -наччи задаётся формулой

F k (n) = ⌊ r k − 1 (r − 1) (n + 1) r − 2 n ⌉ , {\displaystyle F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {r^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n}}\right\rceil ,}

Слово Фибоначчи

По аналогии числовому аналогу слово Фибоначчи определяется как

F n:= F (n) := { b , n = 0 ; a , n = 1 ; F (n − 1) + F (n − 2) , n > 1. {\displaystyle F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&,n=0;\\{\text{a}}&,n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&,n>1.\\\end{cases}}}

где + означает конкатенацию двух строк. Последовательность строк Фибоначчи начинается с

B, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, … последовательность A106750 в OEIS

Строки Фибоначчи оказываются для некоторых алгоритмов входными данными наихудшего случая.

Если "a" и "b" представляют два различных материала или длины атомных связей, структура, соответствующая строке Фибоначчи, является квазикристаллом Фибоначчи , непериодической квазикристаллической структурой с необычными спектральными свойствами.

Свёрнутые последовательности Фибоначчи

Свёрнутая последовательность Фибоначчи получается путём применения операции свёртки к последовательности Фибоначчи один и более раз. Определим :

F n (0) = F n {\displaystyle F_{n}^{(0)}=F_{n}} F n (r + 1) = ∑ i = 0 n F i F n − i (r) {\displaystyle F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{n-i}^{(r)}}

Первые несколько последовательностей

r = 1: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, … A001629 . r = 2: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, … A001628 . r = 3: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, … A001872 .

Последовательности можно вычислить с помощью рекуррентной формулы

F n + 1 (r + 1) = F n (r + 1) + F n − 1 (r + 1) + F n (r) {\displaystyle F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n}^{(r)}}

Как и для чисел Фибоначчи, существуют некоторые комбинаторные интерпретации этих последовательностей. Например, F n (1) {\displaystyle F_{n}^{(1)}} является количеством способов записать n − 2 в виде упорядоченной суммы чисел 0, 1 и 2, при этом 0 используется ровно один раз. В частности, F 4 (1) = 5 {\displaystyle F_{4}^{(1)}=5} и, соответственно, 4 – 2 = 2 можно записать как 0 + 1 + 1 , 0 + 2 , 1 + 0 + 1 , 1 + 1 + 0 , 2 + 0 .

Приазовский государственный технический университет

Мариупольский городской технический лицей

секция: Математика

тема: «Число как основное понятие математики»

ВЫПОЛНИЛ: ученик 112 группы

Анищенко Евгений Александрович

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

Ткаченко Светлана Гавриловна

Мариуполь, 2002 г.

1.1. Функции натуральных чисел………………………………. … 6

2. Рациональные числа…………………………………………….. … 6

2.1. Дробные числа……………………………………………. … 6

2.1.1. О происхождении дробей……………………………. 6

2.1.2. Дроби в Древнем Риме……………………………….. 7

2.1.3. Дроби в Древнем Египте…………………………….. 7

2.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби………….. .. 8

2.1.5. Нумерация и дроби в Древней Греции……………. .. 9

2.1.6. Нумерация и дроби на Руси………………………… 10

2.1.7. Дроби в других государствах древности………….. 11

2.1.8. Десятичные дроби…………………………………… 12

2.1.8.1. Проценты……………………………………. 13

2.2. Отрицательные числа............................................................... 14

2.2.1. Отрицательные числа в Древней Азии……………… 14

2.2.2. Развитие идеи отрицательного количества в Европе.. 15

3. Действительные числа……………………………………………… 16

3.1. Иррациональные числа……………………………………… 16

3.2. Алгебраические и трансцендентные числа………………… 18

4. Комплексные числа………………………………………………… 18

4.1. Мнимые числа……………………………………………….. 18

4.2. Геометрическое истолкование комплексных чисел……… 20

5. Векторные числа…………………………………………………… 21

6. Матричные числа………………………………………………….. 21

7. Трансфинитные числа…………………………………………….. 22

8. Функции = функциональные числа?…………………………….. 23

8.1. Функциональная зависимость……………………………….. 23

8.2. Развитие функциональных чисел…………………………. .. 24

Заключение………………………………………………………… 26

Литература. ………………………………………………………… 27

Введение

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами

Существует большое количество определений понятию «число».

Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).

Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц».

Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.

В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подра- зумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».

Наш мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа: «Числа – это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания». Он же внес в традиционную классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду то, что во всем мире обычно именуют функциями. Более подробно об этом изложено в главе 9.

1. Натуральные числа

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много».

Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»… Долгое время пределом познания было число «семь».

О непонятном говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек».

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом «сорок сороков», равным 1600.

Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел 40 фунтов, бочка-сороковка – сорок ведер и т.д.

Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.

Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков – мириада), равное 10 000, а запределом – «тьма тьмущая», равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 106, «легион» – 1012, «леодр» – 1024, «ворон» – 1048, «колода» – 1096, после чего добавляли, что большего числа не существует.

1.1. Функции натуральных чисел

Натуральные числа имеют две основные функции:

характеристика количества предметов;

Характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ∞ . Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи…

2. Рациональные числа

2.1. Дробные числа

2.1.1. О происхождении дробей

С возникновением представлений о целых числах возникали представления и о частях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. С появлением натурального числа n возникло представление о дроби вида 1/ n , которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной.

Чтобы выяснить вопрос о происхождении дроби, надо остановиться не на счете, а на другом процессе, который возник со стародавних времен, - на измерении. Исторически дроби возникли в процессе измерения.

В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина, объем, вес и т.д.). Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а потом и абстрактные дроби.

2.1.2. Дроби в Древнем Риме

Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12, 2/12, 3/12…

Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12 . Вместо 1/12 римляне говорили «одна унция», 5/12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.

Сейчас «асс» - аптекарский фунт.

2.1.3. Дроби в Древнем Египте

Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За ней последовали 1/4, 1/8 …, затем 1/3 , 1/6 и т.д., то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.

В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.

Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

Вот как записывали египтяне свои дроби. Если, например, в результате измерения получалось дробное число 3/4 , то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей ½ + ¼ .

2.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби

Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южной части Двуречья, обнаружено большое количество клинописных математических табличек. Ученые, изучая их, установили, что за 2000 лет до н. э. у вавилонян математика достигла высокого уровня развития.

Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась их двух значков: вертикального клина ▼, обозначавшего единицу, и условного знака ◄, обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления. Вертикальный клин обозначал не только 1, но и 60, 602, 603 и т.д. Знака для нуля в позиционной шестидесятеричной системе у вавилонян вначале не было. Позже был введен знак èè , заменяющий современный ноль, для отделения разрядов между собой.

Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавилонян связано, как полагают ученые, с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей:

1 талант = 60 мин;

Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 602 = 3600, 603 = 216000 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.

Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60с.

Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.

2.1.5. Нумерация и дроби в Древней Греции

В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел – отделяли от логистики – искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Здесь мы впервые встречаемся с общим понятием дроби вида m/ n. Таким образом, можно считать, что впервые область натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел в Древней Греции не позднее V столетия до н. э. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали.

В Древней Греции существовали две системы письменной нумерации: аттическая и ионийская или алфавитная. Они были так названы по древнегреческим областям - Аттика и Иония. В аттической системе, названной также геродиановой, большинство числовых знаков являются первыми буквами греческих соответствующих числительных, например, ГЕNTE (генте или центе) – пять, ΔЕКА (дека) – десять и т.д. Эту систему применяли в Аттике до I века н.э., но в других областях Древней Греции она была еще раньше заменена более удобной алфавитной нумерацией, быстро распространившейся по всей Греции.

Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним – числитель дроби. Например, 5/3 означало три пятых и т.д.

2.1.6. Нумерация и дроби на Руси

Как свидетельствуют старинные памятники русской истории, наши предки-славяне, находившиеся в культурном общении с Византией, пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией, сходной с ионийской. Над буквами-числами ставился особый знак, названный титло. Для обозначения тысячи применялся другой знак, который приставлялся слева от букв.

В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

2.1.7. Дроби в других государствах древности

В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями.

У индийского математика Брахмагупты мы находим достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.

Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.

Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнять множителями:

В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.

Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало – зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.

2.1.8. Десятичные дроби

Со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц длины было бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основанию нумерации. Этим требованиям отвечает метрическая система мер.

Она возникла во Франции как одно из следствий буржуазной революции. Новые меры должны были удовлетворять следующим требованиям:

основой общей системы мер должна быть единица длины;

Во Франции за основную меру длины приняли одну десятимиллионную часть четверти земного меридиана и назвали ее метром (от греческого слова «метрон», означающего «мера»). На основании измерений меридиана, сделанных французскими учеными Мешеном и Деламбром, был изготовлен впоследствии платиновый эталон метра. Число 10 легло в основу подразделений метра. Вот почему метрическая система мер, применяемая ныне в большинстве стран мира, оказалась тесно связанной с десятичной системой счисления и с десятичными дробями.

Однако следует отметить, что европейцы не первые, кто пришел к необходимости использовать десятичные дроби в математике.

Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II веке до н.э. там существовала десятичная система мер длины.

Примерно в III веке н.э. десятичный счет распространился на меры массы и объема. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей, однако метрологическую форму.

Например, в Китае в Х веке существовали следующие меры массы: 1 лан = 10 цянь = 102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105 сы = 106 хо.

Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, то есть десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичных дробей. Целую часть стали отделять от дробной особым иероглифом «дянь» (точка). Однако в Китае как в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией.

Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученого ал-Каши в XV веке. Независимо от него, в 80-тых годах XVI века десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком Стевином.

С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.

Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.

2.1.8.1. Проценты

Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целым.

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые промилле (от латинского pro mille – «с тысячи»), обозначаемые ‰ по аналогии со знаком процента - %. Однако на практике в большинстве случаев «тысячные» - слишком мелкие доли, десятые же доли слишком крупные. Поэтому больше всего удобны сотые доли, иначе говоря, проценты.

В нашей стране ими пользуются при составлении и учете выполнения производственных планов в промышленности и сельском хозяйстве. при разных денежных расчетах.

Таким образом, исторически первым расширением понятия о числе является присоединение к множеству натуральных чисел множества всех дробных чисел.

2.2. Отрицательные числа

Обходиться только натуральными числами неудобно. Например, ими нельзя вычесть большее из меньшего. Для такого случая были введены отрицательные числа: китайцами – в Х в. до н. э., индийцами – в VII веке, европейцами – только в XIII веке.

2.2.1. Отрицательные числа в Древней Азии

Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» - красным, «фу» - черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.

В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас.

Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты (598 – около 660 гг.) мы читаем: « имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».

Отрицательными числами индийские математики пользовались при решении уравнений, причем вычитание заменяли добавлением с равнопротивоположным числом.

Вместе с отрицательными числами индийские математики ввели понятие ноль, что позволило им создать десятеричную систему исчисления. Но долгое время ноль не признавали числом, «nullus» по- латыни – никакой, отсутствие числа. И лишь через X веков, в XVII-ом столетии с введением системы координат ноль становится числом.

2.2.2. Развитие идеи отрицательного количества в Европе

В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.

Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками « + » и « - » применил немецкий математик Видман, однако еще в ХVI столетии много математиков (например, Виет) не признавали отрицательных чисел.

Натуральные числа, противоположные им (отрицательные) числа и ноль называются целыми числами. Целые и дробные числа на 2-ом уровне обобщения получили общее название - рациональные числа. Их называли также относительными, потому что любое их них можно представить отношением двух целых чисел. Каждое рациональное число можно представить как бесконечную периодическую десятичную дробь.

С помощью рациональных чисел можно осуществлять различные измерения (например, длины отрезка при выбранной единице масштаба) с любой точностью. То есть совокупность рациональных чисел достаточна для удовлетворения большинства практических потребностей.

3. Действительные числа

3.1. Иррациональные числа

Еще в Древнем Египте и Вавилоне ХХ веков назад были известны так называемые несоизмеримые отрезки (

, , π…), которые нельзя было выразить отношением, относительными, рациональными числами.

Точно не известно, исследование каких вопросов привело к открытию несоизмеримости. Это могло произойти:

в геометрических расчетах при нахождении общей меры стороны и диагонали квадрата;

Речь шла об отыскании и исследовании величины, которую мы теперь обозначаем

. Открытие факта, что между двумя отрезками – стороной и диагональю квадрата – не существует общей меры, привело к настоящему кризису основ, по крайней мере, древнегреческой математики.

Индийцы рассматривали иррациональные числа как числа нового вида, но допускающие над ними такие же арифметические действия, как и над рациональными числами. Например, индийский математик Бхаскара уничтожает иррациональность в знаменателе, умножая числитель и знаменатель на тот же самый иррациональный множитель. У него мы встречаем выражения:

Развивая тригонометрию как самостоятельную научную дисциплину, азербайджанский ученый XIII столетия Насретдин ат-Туси (1201- 1274 гг.) трактует соотношение несоизмеримых величин как числа: «Каждое из этих соотношений может быть названо числом, которое измеряется единицей так же само, как один из членов соотношения обозначается другим из этих членов». Похожую трактовку числа давал и Омар Хайям.

В Европе существование геометрических несоизмеримых величин в средние века не оспаривалось, но для многих иррациональные числа были лишь символами, лишенными точно определенного содержания, поэтому их называли «глухими», «недействительными», «фиктивными» и т.д.

Только после появления геометрии Декарта (1637 г) началось применение иррациональных, как впрочем, и отрицательных чисел. Идеи Декарта привели к обобщению понятия о числе. Между точками прямой и числами было определено взаимно однозначное соответствие. В математику была введена переменная величина.

В начале XVIII столетия существовало три понятия иррационального числа:

иррациональное число рассматривали как корень n -ой степени из целого или дробного числа, когда результат извлечения корня нельзя выразить «точно» целым или дробным числом;

Иррациональное числоиррациональным

Позднее Эйлер, Ламберт показали, что иррациональные числа можно представить бесконечными непериодическими десятичными дробями (например, π = 3,141592…).

Свое дальнейшее развитие теория иррациональных чисел получила во второй половине XIX века в трудах Дедекинда, Кантора и Вейерштрасе в связи с потребностями математического анализа.

Рациональные и иррациональные числа на 3-ем уровне обобщения образовали действительные числа.

3.2. Алгебраические и трансцендентные числа

Действительные числа иногда подразделяют также на алгебраические и трансцендентные.

Алгебраическими называют числа, которые являются корнями алгебраических многочленов с целыми коэффициентами, например,

, , 4 , . Все остальные (неалгебраические) числа относятся к трансцендентным. Так как каждое рациональное число p/ q является корнем соответствующего многочлена первой степени с целыми коэффициентами qx – p , то все трансцендентные числа иррациональны.

Выделим характерные особенности рассмотренных (натуральных, рациональных, действительных) чисел: они моделируют только одно свойство – количество; они одномерны и все изображаются точками на одной прямой, называемой координатной осью.

4. Комплексные числа

4.1. Мнимые числа

Еще более странными, чем иррациональные, оказались числа новой природы, открытые итальянским ученым Кардано в 1545 году. Он показал, что система уравнений

, не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , . Нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что· = -.

Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался не употреблять.

Долгое время эти числа считали невозможными, несуществующими, воображаемыми. Декарт назвал их мнимыми, Лейбниц – «уродом из мира идей, сущностью, находящейся между бытием и небытием».

В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины.

Мнимым числам не было места на координатной оси. Однако ученые заметили, что если взять действительное число b на положительной части координатной оси и умножить его на , то получим мнимое число b , неизвестно где расположенное. Но если это число еще раз умножить на , то получим - b , то есть первоначальное число, но уже на отрицательной части координатной оси. Итак, двумя умножениями на мы перебросили число b с положительного в отрицательные, и ровно на середине этого броска число было мнимым. Так нашли место мнимым числам в точках на мнимой координатной оси, перпендикулярной к середине действительной координатной оси. Точки плоскости между мнимой и действительной осями изображают числа, найденные Кардано, которые в общем виде a + b· i содержат действительные числа а и мнимые b· i в одном комплексе (составе), поэтому называются комплексными числами.

Это был 4-ый уровень обобщения чисел.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVII веков была построена общая теория корней n -ных степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра:

С помощью этой формулы можно было также вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг.

Леонард Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу:

которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Эйлера можно было возводить число е в любую комплексную степень. Любопытно, например, что

. Можно находить sin иcos комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел и т.д.

Долгое время даже математики считали комплексные числа загадочными и пользовались ими только для математических манипуляций. Так, швейцарский математик Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Чуть позже с помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, к примеру, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

4.2. Геометрическое истолкование комплексных чисел

Около 1800-го года сразу несколько математиков (Вессель, Арган, Гаусс) поняли, что комплексными числами можно моделировать векторные величины на плоскости.

Если действительные числа (состоящие из одного элемента) одномерны – они размещаются на одной координатной оси. Комплексные числа состоят из двух элементов, для их представления необходима уже плоскость и две координатные оси. Это значит, что они двумерны.

Оказалось, что комплексное число z = a + b · i можно изобразить точкой М(a, b) на координатной плоскости. Позднее выяснили, что удобнее всего изображать число не самой точкой М , а в виде вектора

, идущего из начала координат в точку с координатами а и b. Вектор можно задавать не только его координатами a иb , но также длиной r и углом φ , который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом a = r · cos φ , b = r · sin φ и число z принимает видz = r ·(cos φ + i · sin φ) , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число φ называют аргументом z и обозначают Arg Z . Заметим, что если z = 0, значение Arg Z не определено, а при z ≠ 0 оно определено с точностью до кратного 2π. Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде z = r · e iּ φ (показательная форма комплексного числа)

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

5. Векторные числа

В дальнейшем стали разыскивать некие трехмерные числа, которые моделировали бы векторные величины в пространстве с его тремя координатными осями.

Бился над этой задачей и ирландский ученый Гамильтон. После 15-ти лет работы в 1843 году Гамильтон придумал таки трехмерные числа a + bi + cj + dk , где i = j = k = и откладываются каждый на своей оси. Такие числа - комплексные a + bi и мнимые cj и dk по двум дополнительным осям – Гамильтон назвал кватернионами (quaterni в переводе с латыни – четыре). Позже, в 1853 году, как вариант кватернионов, Гамильтон предложил более удобные числа bi + cj + dk и назвал их векторными числами. Они и обобщили все предыдущие числа на 5-ом уровне обобщения.

6. Матричные числа

Алгебраические операции над векторными величинами создали многоэлементные числовые объекты, названные по предложению Эйнштейна тензорными величинами. Для их моделирования Артур Кэли в 1850 году ввел числа, в которых элементы (более трех) записывались уже квадратными и прямоугольными таблицами (матрицами) и рассматривались как единый числовой объект.

Векторные числа + тензорные величины породили матричные числа. Это был 6-ой уровень обобщения чисел.

Выделим особенность всех сложных (комплексных, векторных, матричных) чисел: они моделируют сразу два свойства – количество и направление моделируемых величин.

7. Трансфинитные числа

Наконец, в 1883 году немецкий ученый Георг Кантор, по-видимому, оценив многовековую историю последовательного обобщения чисел, в которой натуральные числа были обобщены рациональными, а те в свою очередь – действительными, те – комплексными, те – векторными, те – матричными, создал на этом материале свою теорию трансфинитных (бесконечных, запредельных) чисел.

Для этого он назвал множеством всякий набор элементов, который можно сопоставить с частью самого себя, как например, целые числа сопоставляются с четными числами:

Кантор заметил, что такое множество должно содержать бесконечное число элементов. А если эти элементы сопоставимы с множеством натуральных чисел, то их количество образует первое трансфинитное число א0 (алеф-нуль – с иврита). Но множество א0 тоже бесконечно много, и они вместе, как количество элементов нового множества, образуют следующее трансфинитное число א1 . И так далее… Такой красивой теорией Кантор завершил обобщение чисел на 7-ом уровне. И до настоящего времени абстрактнее ее нет: пока ничто не поглотило трансфинитные числа. Однако правда и то, что трансфинитные числа не нашли еще применения за пределами самой математики. История с нулем и комплексными числами снова повторяется для трансфинитных чисел: что ими можно моделировать? Уже больше века не знают. Может, Кантор породил красивую, но мертвую теорию?

Кантор долго анализировал трансфинитные числа и установил, что они могут моделировать либо просто количество (тогда это количественные, кардинальные трансфинитные числа, например – множество учеников в классе), либо количество и направление (тогда это порядковые, ординальные трансфинитные числа, например – то же множество учеников, но упорядоченное по успеваемости). Но эти свойства (количество и направление) успешно моделируются числа меньших уровней обобщения. А таблица чисел подсказывает закономерность: чтобы стать абстрактнее, новые числа должны моделировать больше, развиваясь от уровня к уровню либо экстенсивно, меняясь количественно (например, в учете моделирующих элементов числами уровней 1, 2, 3: натуральные + ноль + отрицательные + иррациональные; или в учете моделируемых направлений числами уровней 3, 4, 5, 6: одномерно-двумерные-трехмерные-многомерные и т.п).

8. Функции = функциональные числа?

Наш земляк С.Ф.Клюйков утверждает, что принятые во всем мире и представленные в таблице 1 уровни обобщения чисел не совсем полны, они включает не все уже известные числа.

8.1. Функциональная зависимость

Так, система координат была предложена в 1637 году Рене Декартом не для изображения комплексных чисел, а для представления функций, уравнений, описывающих различные кривые линии, поверхности, объемы тел – моделирующих аналитически любые геометрические формы. Но не только один Декарт, много других ученых до и после него приложило немало усилий в формирование нового общего понятия – функциональная зависимость.

Для этого пришлось перейти от конкретных чисел к их буквенным символам, которые могли принимать то одно, то другое количественное значение, могли меняться, были переменными. Эти переменные величины назвали аргументами и функциями, а выражения, связывающие их, - уравнениями, формулами, функциональными зависимостями. И так увлеклись этими названиями, отражающими только одно из свойств чисел, что забыли:

аргументы и функции первоначально все-таки числа, но уже иные – функциональные числа. Это такие же математические модели, как и предыдущие (натуральные, рациональные, действительные) числа, но с новым свойством – способностью моделировать не только количество, но и его функциональную зависимость от других количеств. Это позволило моделировать не только «стада баранов», но и изменяющиеся процессы, движение, саму жизнь…

С.Ф.Клюйков выделяет функциональные числа как 8-ой уровень обобщения чисел.

И.Бернулли (1718 г) и Л.Эйлер (1748 г) называли функцией «количество», образованное переменными и постоянными величинами, зависящее от них. П.Дирихле (1837 г) называл то же «количество» - «значение», которому соответствует определенное значение аргумента. Н.И.Лобачевскмй (1834 г) назвал функцией «число», зависящее от аргумента. БСЭ (1978 г) называет функцией «зависимость» двух переменных величин.

Таким образом, разные авторы дают разное определение функции: «количество», «число», «зависимость», акцентируясь на разных гранях этого сложного понятия, так как функция одновременно и «количество», и «число», и «зависимость», а именно: функция – это число, моделирующее количество и зависимость.

8.2. Развитие функциональных чисел

История зарождения и развития функциональных чисел чрезвычайно длительна и богата. Их совершенствовали уже ученые Древнего Востока (Х в. до н. э.), находя объемы сосудов для зерна, сдаваемого в виде налога; античные греки (III в. до н.э.), исследуя конические сечения; Галилей (1638 г.), проверяя опытом свои формулы движения тел. Впервые ясно и отчетливо функциональные числа были представлены Лагранжем (1797 г.) в теории функций действительного переменного и ее приложении к разнообразным задачам алгебры и геометрии. Однако в наши дни функциональные числа продолжают совершенствовать, несмотря на громадный накопленный опыт: весь математический анализ с его бесконечными рядами, пределами, минимумами и максимумами, с дифференциальным, интегральным и вариационным исчислением, уравнениями и методами их решения.

Но еще более значительными были успехи математики при добавлении способности моделировать функциональную зависимость комплексным числам (Даламбер, 1746 г.). Так возникли комплексно-функциональные числа (9-ый уровень обобщения) в форме функций комплексного переменного, с помощью которых были построены многие полезные математические модели сложных процессов, упрощенно доказательство многих теорем, выполнено описание двухмерных векторов, скалярных и векторных полей, отображение одной плоскости на другую и т.д.

Благодаря соединению способности моделировать функциональную зависимость с векторными числами (Гамильтон, 1853 г.), возникли векторно-функциональные числа (10-ый уровень обобщения). А это – векторный анализ, векторные функции, моделирование переменных полей в сплошных средах и многие достижения теоретической физики…

Добавление матричным числам способности моделировать функциональную зависимость (Клебш, 1861 г.) создало матрично-функциональные числа (11-ый уровень обобщения), а с ними: алгебру матриц, матричное представление линейных векторных пространств и линейных преобразователей, много новых математических моделей, тензорный анализ пространств с кривизной. теорию поля в физике и т.д.

Если добавить трансфинитным числам Кантора способность моделировать функциональную зависимость, то возникнут новые, трансфинитно-функциональные числа (12-ый уровень обобщения), функции трансфинитного переменного, которые, благодаря максимальному на сегодняшний день обобщению, позволят с большей простотой и стандартностью промоделировать все доступное предыдущим числам и откроют новые перспективы в моделировании еще более сложных задач.

Заключение

1. Показано, что современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.

2. При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельства:

правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям;

Новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.

3. К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.

Лекция № 2,3.

Тема: Развитие понятия числа

Натуральные числа и дроби.
1. Введение и применение отрицательных чисел.
2. Развитие понятия действительного числа.
3. Комплексные числа

1.1 НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДРОБИ

Число - важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие числа изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количественного описания и исследования. На первых ступенях развития понятие числа определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия числа определяется потребностями этой науки.

Потребность счета предметов привела к возникновению понятия натурального числа. Все народы, обладавшие письменностью, владели понятием натурального числа и пользовались той или иной системой счисления. О ранних этапах возникновения и развития понятия числа, можно судить лишь на основе косвенных данных, которые доставляют языкознание и этнография. Первобытному человеку, видимо, не требовалось умение считать, чтобы установить, полной или нет, является какая-нибудь совокупность.

Источником возникновения понятия отвлечённого числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отвлечённым, не зависящим от качества считаемых объектов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности.

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т. е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчётливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в памятниках античной математики (3 в. до н. э.), в трудах Евклида и Архимеда. В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых чисел, в книге Архимеда «Псаммит» принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших чисел, в частности бо́льших, чем «число песчинок в мире».

С развитием понятия натурального числа как результата счёта предметов в обиход включаются действия над числами. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счёта равными частями (по два, по три и т.д.), деление как деление совокупности на равные части. Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о числе арифметики. В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств чисел. как таковых, в уяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального числа, выделяются классы чётных и нечётных чисел, простых и составных и т.д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду чисел продолжается и составляет раздел математики, носящий название теория чисел.

Натуральные числа, кроме основной функции характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного числа. (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19 в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному из считаемых предметов и предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях пальцы рук и зарубки на палочке и т.д., на современном этапе слова и знаки, обозначающие числа). Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количественного числа в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.

Другое обоснование понятия натурального числа базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано.

Следует отметить, что перенесение понятия порядкового числа на бесконечные совокупности резко расходится с обобщённым понятием количественного числа; это обусловлено тем, что количественно одинаковые (равномощные) множества могут быть упорядочены различными способами.

Для измерения величин требовались дробные числа. Дробные числа были известны уже в Древнем Египте и Вавилоне. Египтяне дроби выражали обычно при помощи аликвотных дробей, т.е. дробей с числителем, равным 1. Вавилоняне пользовались шестидесятиричными дробями. Китайцы и индийцы в начале н.э. пользовались обыкновенными дробями и умели выполнять все арифметические действия над ними. Среднеазиатские ученые не позднее 10 в. создали позиционную шестидесятиричную систему счисления. Эта система особенно широко применялась в астрономических вычислениях и таблицах. Следы ее дошли до нас в измерении времени и углов. Десятичные дроби ввел в начале 15 в. и стал широко применять самаркандский математик Каши (аль-Каши). В Европе десятичные дроби стали распространяться после выхода книги «Десятая» (1585), автором которой был С.Стевин. До введения десятичных дробей в практику вычислений целую часть числа европейцы обычно представляли в десятичной системе счисления, а дробную в шестидесятиричной или в виде обыкновенной дроби.

1.2 ВВЕДЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Дальнейшее расширение понятия числа происходило главным образом в связи с потребностями самой математики. Отрицательные числа впервые появились в Древнем Китае. Индийские математики пришли к отрицательным числам, пытаясь формулировать алгоритм решения квадратных уравнений для всех случаев. Диофант (3 в.) свободно оперирует с отрицательными числами. Они постоянно встречаются в промежуточных вычислениях во многих задачах его «Арифметики». Однако и в 16 и в 17 вв.многие европейские математики не признавали отрицательных чисел, и если такие числа встречались в их вычислениях, то они называли их ложными, невозможными. Положение изменилось, когда в 17 в. было найдено геометрическое истолкование положительным и отрицательным числам, как противоположно направленным отрезкам.

Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного числа необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Таким образом, широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного числа. В Индии ещё в 611 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.

В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного числа как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование оказалось по существу одинаковым.

1.3. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

Числа целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырём арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом. Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Таким образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального числа, принципиальных затруднений.

Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятия числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел.

Веще́ственное, или действи́тельное число математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений.

Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.

Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.

Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого поняти. Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере была создана строгая теория вещественных чисел.

С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Первая развитая числовая система, построенная в Древней Греции, включала только натуральные числа и их отношения. Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом.

Для выхода из положения Евдокс Книдский ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. Теория Евдокса дошла до нас в изложении Евклида («Начала», книга V). По существу, теория Евдокса это геометрическая модель вещественных чисел. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин например, исследуемой и единичного эталона. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел по своим принципам чрезвычайно похожа на изложение Евдокса. Однако модель Евдокса неполна во многих отношениях например, она не содержит аксиомы непрерывности, нет общей теории арифметических операций для величин или их отношений и др.

Ситуация начала меняться в первые века н. э. Уже Диофант Александрийский, вопреки прежним традициям, рассматривает дроби так же, как и натуральные числа, а в IV книге своей «Арифметики» даже пишет об одном результате: «Число оказывается не рациональным». После гибели античной науки на передний план выдвинулись индийские и исламские математики, для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европе, где поначалу разделяли рациональные и иррациональные (буквально: неразумные) числа (их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. п.).

Спустя столетие Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1707) даёт классическое определение (вещественного) числа как отношения результата измерения к единичному эталону: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу».

Долгое время это прикладное определение считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными

Первую попытку заполнить пробел в основаниях математики сделал Бернард Больцано в своей статье «Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один действительный корень уравнения» (1817). В этой работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана. В более поздней работе Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к канторовской теории множеств, но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в 1851 году. Взгляды Больцано значительно опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности.

Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Они предложили различные, но эквивалентные подходы к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики.

При конструктивном определении понятия вещественного числа, на основе известных математических объектов (например, множества рациональных чисел), которые принимают заданными, строят новые объекты, которые, в определённом смысле, отражают наше интуитивное понимание о понятии вещественного числа. Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и пока не являются строго определённым математическим понятием.

Эти объекты и объявляют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства.

Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были именно конструктивные определения. В 1872 году были опубликованы одновременно три работы: теория фундаментальных последовательностей Кантора, теория Вейерштрасса (в современном варианте теория бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда.

1.4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Заключительный этап в развитии понятия числа введение комплексных чисел. Источником возникновения понятия комплексного числа явилось развитие алгебры. По-видимому, впервые идея комплексного числа возникла у итальянских математиков 16 в. (Дж. Кардано, Р. Бомбелли) в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Известно, что уже решение квадратного уравнения иногда приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа, невыполнимому в области действительного числа. Но это происходит только в том случае, если уравнение не имеет действительных корней. Практическая задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, оказывается не имеющей решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось следующее обстоятельство. Как раз в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными числами, по ходу вычисления оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных чисел. Возникающая при этом «мнимость» исчезает только по выполнении всех последующих действий. Это обстоятельство явилось первым стимулом к рассмотрению комплексных чисел. Однако комплексные числа и действия над ними с трудом прививались в деятельности математиков. Остатки недоверия к закономерности пользования ими отражаются в сохранившемся до наших дней термине «мнимое» число. Это недоверие рассеялось лишь после установления в конце 18 в. геометрического истолкования комплексных чисел в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных чисел в теории алгебраических уравнений, особенно после знаменитых работ К. Гаусса. Ещё до Гаусса, в работах Л. Эйлера, комплексные числа начинают играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Эта роль стала исключительно большой в 19 веке в связи с развитием теории функций комплексного переменного.

Совокупность всех комплексных чисел обладает так же, как совокупность действительных чисел и совокупность рациональных чисел, свойством замкнутости по отношению к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Более того, совокупность всех комплексных чисел обладает свойством алгебраической замкнутости, заключающейся в том, что каждое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корни снова в области всех комплексных чисел. Совокупность всех действительных чисел (и тем более рациональных) свойством алгебраической замкнутости не обладает. Как установлено Вейерштрассом, совокупность всех комплексных чисел не может быть далее расширена за счёт присоединения новых чисел так, чтобы в расширенной совокупности сохранились все законы действий, имеющие место в совокупности комплексных чисел.