Приближенные решения дифференциальных уравнений.

Класс уравнений, для которых можно получить точное решение, то есть, аналитическую функцию, удовлетворяющую заданному дифференциальному уравнению и всем дополнительным условиям (задача Коши), очень узок. Чаще всего дифференциальные уравнения решаются приближенно. С одним из методов – итерационным – мы познакомились при доказательстве теоремы существования и единственности.

1. Приближение решения с помощью степенного ряда . Представим, что мы должны решить задачу Коши для дифференциального уравнения -го порядка с начальным условием . Если функция в правой части уравнения разлагается в ряды по всем своим переменным, удобно искать решение дифференциального уравнения в окрестности точки в виде ряда Тейлора по степеням . Представим решение в виде . Из начальных условий и свойств коэффициентов ряда Тейлора следует, что все коэффициенты разложения вплоть до нам известны:

остальные – неизвестные – коэффициенты обозначаются буквами и определяются сравнением коэффициентов при одинаковых степенях, находящихся в обеих частях дифференциального уравнения.

П р и м е р. Решить следующую задачу Коши: , .

Искать решение будем в виде ряда по степеням . В соответствии с начальными условиями . Подставим хотя бы первые слагаемые рядов в уравнение:

Перемножим входящие в правую часть сомножители:

А теперь сравним свободные члены (они равны) и коэффициенты при , при и при : . Отсюда .

Мы могли бы и далее сравнивать коэффициенты при степенях в уравнении и получать значения других коэффициентов . Тем более применение программ MAXIMA упрощает этот процесс. В данном случае мы получили решение в виде ряда, первые члены которого известны: .

Задачу Коши для системы уравнений можно решать подобным способом.

2. Метод Эйлера и его модификации . Познакомимся с методом Эйлера численного решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка . Предположим, что мы должны решить задачу на отрезке . Разделим отрезок на равных частей, равных . Заменим на каждом отрезке , , решение дифференциального уравнения линейной функцией . При этом имеем узловые значения решения:

Мы здесь приравниваем отношение приращений функции и аргумента производной в точке, соответствующей началу отрезка разбиения:

.

Очевидно, что такое приближение является тем менее точным, чем дальше мы отойдем от точки . Метод Эйлера является наиболее примитивным. Здесь интегральная кривая заменяется ломаной, состоящей из прямолинейных отрезков. Возможны его некоторые модификации, несколько улучшающие точность. Например, если брать постоянные значения в виде

Наиболее распространенным численным методом решения указанной задачи Коши является метод Рунге-Кутта. При решениидифференциального уравнения этим методом интегральная кривая заменяется ломаной, состоящей из кусков парабол. Метод Рунге-Кутта встроен в пакет программ MAXIMA.

Например, мы хотим решить дифференциальное уравнение с начальным условием . При этом мы задаем отрезок , на котором хотим получить численное решение и шаг разбиения этого отрезка, равный 0.05. Мы должны ввести команду

load(dynamics); rk(y^2+x,y,0.3,);

После того, как мы нажмем клавиши Shift+Enter, получим данные

[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,].

Это означает, что мы получили узловые значения решения: y (0.05)= 0.30583128660202,…, y (0.4)= 0.42905553899765,…..

Приближенное решение дифференциальных уравнений высших порядков сводятся к решению систем уравнений первого порядка. Например, требуется решить дифференциальное уравнение на отрезке с шагом 0.1 при начальных условиях . Введем новую функцию . Теперь уравнение запишется в виде системы

с начальными условиями .

Для получения решения методом Рунге-Кутта вводим команду load(dynamics); rk(, , , ).

Мы получим значения в узлах:

[,,,,,,,,,,,,,,,,[

1.6,0.55276102463945,-9.157645341403534],,

Это означает, что, например, y(0.5)= 1.227625229955781,

z(0.5)= 0.80905909503231.

3. Графический метод . Этим методом можно решать дифференциальные уравнения первого порядка вида . Если нам необходимо построить интегральные кривые, которые являются графиками решений приведенного уравнения, в какой-то части плоскости , мы каждой точке этой области ставим в соответствие значение , которое совпадает с тангенсом угла наклона касательной к интегральной кривой, проходящей через точку . Зная точку и направление движения по кривой из этой точки, мы переходим к близкой точке, в которой также определяем направление движения,…. Так, двигаясь от точки к точке, мы построим соответствующую интегральную кривую, то есть, решим задачу Коши .

Реальное построение решения таким методом было бы очень сложным без применения компьютерной техники. MAXIMA содержит программу построения графических решений. Если мы введем load(plotdf); plotdf(f(x,y),,) , на экране появится прямоугольник , в точках которого указаны направления касательных к интегральным кривым, проходящим через эти точки. Если щелкнуть курсором по выбранной точке на плоскости, компьютер нарисует интегральную кривую, проходящую через соответствующую точку.

Например, мы хотим построить интегральную кривую уравнения , расположенную в прямоугольнике и проходящую через точку (11,2) .

Введем load(plotdf); plotdf((5-x^2)/(2*x*y-y^2),,); и нажмем Shift+Enter. Мы получим выбранный прямоугольник с указанием направлений из точек прямоугольника. Теперь щелкнем по точке (11,2) , и нарисуется соответствующая интегральная кривая.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y=y(x)

F(x,y,y 1 ,…,y (n)) = 0, где x-независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется функция , которая после её подстановки в уравнение превращает его в торжество.

Некоторые методы решения известны по курсу дифференциальных уравнений. Для ряда уравнений первого порядка (с разделяющимися переменных однородных, линейных и др) удается получить решение в виде формул путем аналитических преобразований.

В большинстве случаев для решения дифференциальных уравнений используются приближенные методы, которые можно разделить на две группы:

1)аналитические методы, дающие решение в виде аналитического выражения;

2)численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.

Рассмотрим перечисленные методы в виде следующих примеров.

8.1 Метод последовательного дифференцирования.

Рассмотрим уравнение:

с начальными условиями , где – заданные числа.

Предположим, что искомое решение y=f(x) может быть решено в ряд Тейлора по степеням разности (x-x 0):

2 n +….

Начальные условия (8.2) дают нам значения y (k) (x 0) при k=0,1,2,...,(n-1). Значения y (n) (x 0) найдем из уравнения (8.1), подставляя (x-x 0) и используя начальные условия (8.2):

y (n) (x 0) = f(x 0 ,y 0 ,y " 0 ,...,y 0 (n-1))

Значения y (n+1) (x 0), y (n+2) (x 0)... последовательно определяются дифференцированием уравнение (8.1) и подстановкой x=x 0 , y (k) (x 0)=y 0k (k – 0,1,2).

ПРИМЕР: Найти первые семь членов разложения в степенной ряд решения y=y(x) уравнения y "" +0,1(y ") 2 +(1+0,1x)y=0 с начальными условиями y(0)=1; y " (0)=2.

РЕШЕНИЕ: Решение уравнения ищем в виде ряда:

y(x)=y(0)+y"(0)x/1!+y""(0)x 2 /2!+...+y (n) (0)x n /n!...

Из начальных условий имеем y(0)=1, y " (0)=2. Для определения y "" (0) разрешим данное уравнение относительно y"":

y""(0)= – 0,1(y ") 2 – (1+0,1x)y (8.3)

Используя начальные условия, получим

y""(0)= –0,1*4 – 1*1= –1,4

Дифференцируя по x левую и правую части уравнения (8.3)

y"""= – 0,2y"y"" – 0,1(xy"+y) – y",

y (4) = – 0,2(y"y"""+y"" 2) – 0,1(xy""+2y") – y"",

y (5) = – 0,2(y"y (4) +3y""y""") – 0,1(xy"""+3y"") – y""",

y (6) = – 0,2(y"y (5) +4y""y (4) +3y""" 2) – 0,1(xy (4) +4y""" – y (4))

Подставляя начальные условия и значение y""(0), находим y"""(0)= – 1,54;

y (4) (0)= – 1,224; y (5) (0)=0,1768; y (6) (0)= – 0,7308. Таким образом, искомое приближенное решение запишется в виде: y(x) ≈ 1 + 2x – 0,7x 2 – 0,2567x 3 + 0,051x 4 + 0,00147x 5 – 0,00101x 6 .

8.2 Метод эйлера

Простейшими из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера, который основан на замене искомой функции многочленом первой степени, т.е. линейной экстраполяцией. Речь идет о нахождении значений функции в соседних точках аргумента x не между ними.

Выберем шаг h малым, чтобы для всех x между x 0 и x 1 =x 0 +h значение функции y мало отличалось от линейной функции. Тогда на указанном интервале y = y 0 + (x – x 0)y" = y 0 + (x –

Продолжая таким же способом определять значения функции, убеждаемся, что метод Эйлера представляется в виде последовательного выполнения формул:

∆y k = y" k h

y k+1 = y k + ∆y k

ПРИМЕР

Решим методом Эйлера уравнения y" = x – y с начальным условием х 0 =0, у 0 =0 на отрезке с шагом h=0,1.

Вычисления приведены в таблице.

Первая строка в столбцах 1 и 2 заполнена по начальным данным. Затем вычисляется у" по заданному уравнению (в столбце 4), затем ∆y = y"h – в столбце (4).

Столбец (5) содержит таблицу значений точного решения заданного уравнения.

Из таблицы видно что при х=1 относительная ошибка метода Эйлера составляет δ=0,37 - 0,35/0,37*100%≈5,4%

УТОЧНЕННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА

При том же объеме вычислительной работы дает более высокую точность.

Ранее мы считали подынтегральную функцию постоянной, равной её значению f(x k ,y k) на левом конце участка. Более точное значение получится если полагать f(x,y(x)) равной значению в центре участка. Для этого надо брать двойной участок (x k-1 ,x k+1), заменив формулу

y k+1 =y k +∆y k на y k+1 =y k-1 +2hy" k (8.5)

Эта формула и выражает уточненный метод Эйлера. Но в этом случае надо придерживать следующей последовательности действий:

ПРИМЕР Для сравнения рассмотрим то же уравнение y" = x – y с начальными условиями x 0 =0, y 0 =0. Уточненный метод, как видно из таблицы дает более высокую точность относительная погрешность при х=1, у=0,370, а у точн 0,368.

Практическое занятие №25

«Численное интегрирование с помощью формул прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью формул Эйлера»

1. Цель: Выработать навыки и умения по применению методов приближённого

интегрирования – формул прямоугольников, трапеций и Симпсона, в решении

приближенными методами дифференциальных уравнений

Пояснения к работе

2.1 Краткие теоретические сведения:

Формула прямоугольников

Известно, что не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. Кроме того, на практике сталкиваются с необходимостью вычислять интегралы от функций, заданных табличным или графическим способами, а так же интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные очень сложно, что требует большой вычислительной работы и с практической точки зрения нерационально. В этих случаях вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница затруднительно, поэтому прибегают к различным методам приближенного интегрирования. Наиболее простым методом приближенного вычисления определенного интеграла является метод прямоугольников, основанный на непосредственном определении интеграла:

где есть интегральная сумма, соответствующая некоторому разбиению отрезка и некоторому набору точек отрезка разбиения.

Вычисление определенного интеграла геометрически сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f(x) , осью абсцисс и прямыми и .

Для точности численного интегрирования нужно отрезок разбить на несколько частей и для каждой из них вычислить приближенное значение площади криволинейной трапеции, основанием которой является отрезок , а высотой - число , т.е. значение функции в точке

Выбранное из условия минимума ошибки интегрирования. Тогда за приближенное значение

интеграла на отрезке принимают интегральную сумму:

Практически удобно делить отрезок на равные части , а точки совмещать с

левыми или правыми концами отрезков разбиения. Если точку совместить с левым концом отрезка , то приближенное значение интеграла геометрически равно площади заштрихованной нижней ступенчатой фигуры и может быть представлено формулой левых прямоугольников:

(1)

где - шаг разбиения. Если же в качестве точки . выбрать правый конец отрезка , приближенное значение интеграла графически равно площади верхней ступенчатой фигуры, и вычисляется по формуле правых прямоугольников:

(2)

Погрешность вычисления:

, где - максимум на (3)

Пример 1. Используя формулу прямоугольников при , вычислить с тремя десятичными знаками . Оценить допущенную погрешность.

Решение: разделим отрезок на 10 равных частей точками и найдём значения функции в этих точках:

	1	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9	2
	1.000	0.909	0.833	0.769	0.714	0.667	0.625	0.588	0.556	0.526	0.5

Тогда получим и по формуле (1) находим

.

Оценим погрешность. Имеем ; функция монотонно убывает на отрезке , поэтому и .

Так как допущенная погрешность влияет уже на второй знак после запятой, то третий знак следует округлить. Значит, . Если вычислить этот интеграл по формуле Ньютона –

Лейбница, то получим . Таким образом, ответ является приближённым значением . Но ; следовательно, при вычислении допущена погрешность, меньшая .

Формула трапеций

Приближенное значение определенного интеграла можно вычислить и иным способом.

Заменим на отрезке дугу АВ графика подынтегральной функции у = f(x) стягивающей ее хордой (рис.2) и вычислим площадь трапеции АВbа. Примем значение определенного

интеграла численно равным площади этой трапеции.

(4)

Это и есть формула трапеций для приближенного вычисления интеграла. Погрешность вычисления

для формулы трапеций оценивается так:

, (5)

где точка . В случае, если , вычисление по формуле (4) даёт значение интеграла с избытком; если , то интеграл вычисляется с недостатком. Точность вычислений возрастает, если отрезок разделить на несколько частей и применить формулу трапеций к каждому отрезку (рис. 3). Тогда

Рис.2 Рис. 3

Для простоты вычислений удобно делить отрезок на равные части, в этом случае длина каждого из отрезков разбиения есть . Тогда, численное значение интеграла на всем отрезке равно

Эта формула называется общей формулой трапеций. Общую формулу трапеций можно переписать в более удобном виде:

, где шаг (6)

Пример 2. Вычислить интеграл с помощью формулы трапеций при .

Решение: составим таблицу значений подынтегральной функции при и :

	0,2 0,4 0,6	0,02 0,16 0,36	0,0000 0,0400 0,1593 0,3523		0, 1,0 1,2 1,4 1,6	0,64 1,0 1,44 1,96 2,56	0,5972 0,8415 0,9915 0,9249 0,5487

Используя формулу ,

Находим:

Примечание. Если данный интеграл вычислить при , то получим . Следовательно, точность вычислений увеличивается с возрастанием .

Формула Симпсона

Точность приближенного интегрирования заметно возрастает, если подынтегральную функцию на отрезке заменить квадратичной функцией (рис.5), принимающей в узлах х 0 = а, х 1 , х 2 = b значения и . В качестве интерполяционного многочлена используется многочлен Ньютона 2 степени. Тогда

(7)

Соотношение (7) называется формулой Симпсона. Формула Симпсона обладает повышенной точностью и является точной не только для многочленов второй степени, но и третьей. Погрешность формулы Симпсона оценивается следующим образом:

, где точка (8)

Для увеличения точности вычислений отрезок разбивают на п пар участков (рис. 4) и к каждому из них применяют формулу (7). Тогда численное значение определенного интеграла на всем отрезке будет равно

, где (9)

Соотношение (9) называется общей формулой Симпсона .
Пример 3. Вычислить по формуле Симпсона при .

По формуле (9) имеем . Подставляя в подынтегральную функцию значения , получим

Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера

Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением является уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

Основная задача, связанная с этим уравнением, известна как задана Коши: найти решение уравнения (10) в виде функции у(х), удовлетворяющей начальному условию

Геометрически это означает, что требуется найти ин­тегральную кривую у = у(х), проходящую через

заданную точку M 0 (x 0 , .y 0), при выполнении равенства (11) (см. рис.6). С численной точки зрения задача Коши выглядит следующим образом: требуется построить таблицу значений функции у=у(х), удовлетворяющей уравнению (10) и начальному условию (11) на отрезке [a;b ]с некоторым шагом h. Обычно считается, что х 0 = а, т.е. начальное условие задано в левом конце отрезка.

Простейшим из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера. В основе метода Эйлера лежит идея графического постро­ения решения дифференциально­го уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ на­хождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Пусть дано уравнение (10) с начальным условием (11) (т.е. поставлена задача Коши). Решим вначале следующую задачу: най­ти простейшим способом прибли­женное значение решения в не­которой точке x 1 = х 0 + h , где h - достаточно малый шаг.

Заметим, что уравнение (10) совместно с началь­ным условием (11) задают направ­ление касательной к искомой ин­тегральной кривой в точке М 0 (х 0 , у 0). Уравнение касательной имеет вид

Двигаясь вдоль этой касательной (рис. 7), учитывая соотношения (10) и (12), получим приближенное значение решения в точке х 1 :

(13)

Располагая приближенным ре­шением в точке М 1 (х 1 ,y 1), можно повторить описанную ранее процедуру: построить прямую, про­ходящую через эту точку с угловым коэффициентом f (х 1 , y 1) и по ней найти приближенное значение решения в точке х 2 = х 1 + h . Заметим, что в отличие от ситуации, изображенной на рис. 7, эта прямая не есть касательная к реальной интегральной кривой, поскольку точка M 1 , нам недоступна. Однако представляется инту­итивно ясным, что если h достаточно мало, то получаемые при­ближения будут близки к точным значениям решения.

Продолжая эту идею, построим систему равноотстоящих точек

х i = x 0 + ih (i = 0, 1, 2, ..., n) (14)

Получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом

применении формулы

Геометрическая иллюстрация метода Эйлера приведена на рис. 8. Вместо интегральной кривой в реальности получается сово­купность прямых (так называемая ломаная Эйлера ).

Рис.8 Ломаная Эйлера

Методы численного интегрирования дифференциальных урав­нений, в которых решение получается от одного узла к другому, называются пошаговыми. Метод Эйлера - простейший представи­тель семейства пошаговых методов.

Отметим, что оценка погрешности метода при таком эле­ментарном рассмотрении невозможна даже на первом шаге. Кроме того, особенностью любого пошагового метода является то, что, начиная со второго шага исходное значение у, в формуле (13) само является приближенным, т.е. погрешность на каж­дом следующем шаге систематически возрастает.

Наиболее используемым эмпирическим методом оценки то­чности как метода Эйлера, так и других пошаговых методов при­ближенного численного интегрирования обыкновенных диффе­ренциальных уравнений является способ двойного прохождения заданного отрезка - с шагом h и с шагом h/2 . Совпадение соот­ветствующих десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает эмпирические основание считать их верными (хотя полной уверенности в этом быть не может).

Одна из принципиальных трудностей всех пошаговых методов численного решения дифференциальных уравнений состоит в воз­можности столкнуться с неустойчивостью метода. Оценка погреш­ности неявно предполагает, что ломаная приближенного реше­ния (см. рис. 8) хотя и не совпадает с интегральной кривой, но качественно на нее похожа. Чаще всего это именно так, но иногда (например, при неудачном выборе шага h) приближенное реше­ние может быть качественно непохожим на точное (например, точное монотонно убывает, а приближенное монотонно возрас­тает).

Для эмпирического контроля того, не имеет ли места неустой­чивость, следует численно интегрировать уравнение с нескольки­ми, значительно отличающимися, значениями шага h , сравнивая качественно поведение решений.

Пример 4. Применяя метод Эйлера, составить таблицу значений решения дифференциального уравнения , с начальным условием на отрезке , приняв h= 0,25. Вычисления проводить с 4-мя знаками после запятой.

Для удобства вычислений составим таблицу.

1-й шаг: по начальным условиям заполним первую строку во 2-м и 3-м столбцах;

2-й шаг: из уравнения вычисляем (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5) в столбце (4);

3-й шаг: содержимое столбца (4) умножаем на h (вычисляем ) и

записываем результат в столбец (5) этой же строки;

4-й шаг: к содержимом столбца (3) прибавляем содержимое столбца (5) этой же строки

(вычисляеми результат записывает столбец (3)следующей

строки. Определяем х i +1 = x i + h и затем шаги 2-4 повторяем до тех пор, пока не будет пройден

весь отрезок .

i	x i	y i
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
		1,5000	1,5000	0,3750
	0,25	1,8750	1,6250	0,4062
	0,50	2,2812	1,7812	0,4453
	0,75	2,7265	1,9765	0,4951
	1,00	3,2206	2,2206	0,5552
	1,25	3,7758	2,5258	0,6314
	1,50	4,4072

Пример 5. Решить методом Эйлера дифференциальное урав­нение с начальным значением у (0) = 1,3 на отрез­ке , приняв шаг h = 0,2.

знаками: .

с начальным условием у (2) = 1, 2 на отрез­ке , приняв шаг h = 0,1.

Вариант 2

1.По формуле левых прямоугольников для n=12 вычислить значение интеграла: .

2.По формуле трапеций n=8 вычислить значение интеграла с тремя десятичными

знаками: .

3.По формуле Симпсона для n=6 вычислить значение интеграла с тремя десятичными

знаками: .

4. Применяя методом Эйлера, составить таблицу значений решения дифференциального урав­нения

с начальным условием у (2,6) = 1, 8 на отрез­ке , приняв шаг h = 0,2.

Сделайте ручную прикидку графика интегральной кривой на бумаге.

Вариант 3

2.По формуле трапеций для n=10 вычислить значение интеграла с тремя десятичными

знаками:

знаками:

4. Применяя методом Эйлера, составить таблицу значений решения дифференциального урав­нения

с начальным условием у (0,6) = 3,4 на отрез­ке , приняв шаг h = 0,2.

Сделайте ручную прикидку графика интегральной кривой на бумаге.

Вариант 4

1.По формуле правых прямоугольников для n=12 вычислить значение интеграла:

2. По формуле трапеций для n=10 вычислить значение интеграла с тремя десятичными знаками:

3. По формуле Симпсона для n=6 вычислить значение интеграла с тремя десятичными

знаками:

4. Применяя методом Эйлера, составить таблицу значений решения дифференциального урав­нения

с начальным условием у (3) = 1,7 на отрез­ке , приняв шаг h = 0,2.

Сделайте ручную прикидку графика интегральной кривой на бумаге.

4. Контрольные вопросы:

1. Какие методы приближенного вычисления определенных интегралов вы знаете? Назовите

формулы для вычислений. Какой из них дает наиболее точный результат?

2. На чем основан метод Эйлера приближенно решения дифференциальных уравнений?

5.1 Наименование работы

5.2 Цель работы

5.3 Задание

5.4 Формулы для расчета

5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов

5.6 Выводы по работе

5.7 Ответы на контрольные вопросы

Литература:

1. Колягин Ю.М. , Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах Учебное пособие - М.

Новая волна, 2005, ч.1, с.565-571;

2. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике» - Учебное пособие – М.:Высш. школа,

2003, с. 211-212;

3. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Элементы численных методов: учебник для студ. сред.

проф. образования -М.: Издательский центр «Академия», 2007, с.152-184

Похожая информация.

Рассмотрим задачу Коши (5.2), (5.6) для дифференциального уравнения первого порядка: найти решение уравнения y"=f(x,y), удовлетворяющее условию y(x 0)=y 0 . Пусть y(x)- решение поставленной задачи Коши. Подставив это решение в уравнение (5.2), получим тождество y"(x) ≡ f(x,y(x)). Интегрируя это тождество по x, получаем

или, что тоже самое,

. (5.15)

Таким образом, мы показали, что всякое решение задачи Коши (5.2), (5.6) есть решение интегрального уравнения (5.15). С другой стороны, если y(x)- решение интегрального уравнения (5.15), то дифференцируя (5.15) по x, получаем, что y(x)- решение задачи Коши (5.2), (5.6).

Решение интегрального уравнения (5.15) будем искать с помощью метода последовательных приближений. Положим

y 0 (x)=y 0 , . (5.16)

Если оператор

- (5.17)

сжимающий , то последовательные приближения (5.16) сходятся к решению интегрального уравнения (5.15), а, следовательно и дифференциального уравнения y" = f(x,y), удовлетворяющего условию y(x 0) = y 0 . Желающие могут познакомиться с доказательством сжимаемости оператора (5.17) в .

Пример №1 . Найдём с помощью метода последовательных приближений решение уравнения y" = y, удовлетворяющее условию y(0)=1. Подставляя y(0)=1 в (5.16), получаем

y 0 =1, …,

С другой стороны, решая исходную задачу Коши, имеем y = e x .

Таким образом, нами получено разложение функции e x в ряд Тейлора в нуле (ряд Маклорена).

Перейдём теперь к изложению численного метода Эйлера решения задачи Коши (5.2), (5.6). Разобьём отрезок , на котором мы ищем решение, на части точками x 0 = a то заменяя производную y"(x i) конечной разностью в уравнении (5.2), получаем , или, что то же самое,

y i +1 = y i + h·f(x i , y i), (5.17)

Соотношение (5.17) является расчётной формулой метода Эйлера численного решения задачи Коши (5.2), (5.6). Вычислив y i , i = 0,1,..,n получим таблицу значений решения в точках x i , i = 0,1,..,n Для оценки погрешности на одном шаге сетки в методе Эйлера разложим точное решение y(x) по формуле Тейлора в окрестности точки xi до членов второго порядка малости

y(x i +1)=y(x i +h)=y(x i)+y"(x i)h+o(h 2)=y i +hf(x i ,y i)+o(h 2).

Сравнивая с (5.17) видим, что погрешность формулы (5.17) равна o(h 2). К сожалению, метод Эйлера накапливает ошибку от шага к шагу. Поэтому на практике пользуются либо модификациями метода Эйлера, например методом прогноза и коррекции , либо другими методами, в частности методом Рунге-Кутта .