Приложения определенного интеграла примеры решений. Вычисление площади плоской фигуры

Лекция 21 Приложения определенного интеграла (2ч)

Геометрические приложения

а) Площадь фигуры

Как уже отмечалось в лекции 19, численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (x ) , прямыми х = а , х = b и отрезком [a , b ] оси ОХ. При этом если f (x ) £ 0 на [a , b ], то интеграл следует взять со знаком минус.

Если же на заданном отрезке функция у = f (x ) меняет знак, то для вычисления площади фигуры, заключенной между графиком этой функции и осью ОХ, следует разбить отрезок на части, на каждой из которых функция сохраняет знак, и найти площадь каждой части фигуры. Искомая площадь в этом случае есть алгебраическая сумма интегралов по этим отрезкам, причем интегралы, соответствующие отрицательным значения функции, взяты в этой сумме со знаком «минус».

Если фигура ограничена двумя кривыми у = f 1 (x ) и у = f 2 (x ), f 1 (x )£f 2 (x ), то, как следует из рис.9, ее площадь равна разности площадей криволинейных трапеций а ВСb и а АDb , каждая из которых численно равна интегралу. Значит,

Заметим, что площадь фигуры, изображенной на рисунке 10,а находятся по такой же формуле: S = (докажите это!). Подумайте, как вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 10,б?

Мы вели речь только о криволинейных трапециях, прилежащих к оси ОХ. Но аналогичные формулы справедливы и для фигур, прилежащих к оси ОУ. Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке 11, находится по формуле

Пусть линия y = f (x ), ограничивающая криволинейную трапецию, может быть задана параметрическими уравнениями , t Î , причем j(a)=а , j(b) = b , т.е. у = . Тогда площадьэтой криволинейной трапеции равна

.

б) Длина дуги кривой

Пусть дана кривая у = f (x ). Рассмотрим дугу этой кривой, соответствующую изменению х на отрезке [a , b ]. Найдем длину этой дуги. Для этого разобьем дугу АВ на п частей точками А = М 0 ,М 1 , М 2, ..., М п = В (рис.14), соответствующими точкам х 1 , х 2 , ..., х п Î [a , b ].

Обозначим Dl i длину дуги , тогда l = . Если длины дуг Dl i достаточно малы, то их можно считать приближенно равными длинам соответствующих отрезков , соединяющих точки М i -1, Mi . Эти точки имеют координаты М i -1 (х i -1, f (x i -1)) , M i (х i , f (x i )). Тогда длины отрезков равны соответственно

Здесь использована формула Лагранжа. Положим х i – x i -1 =Dх i , получим

Тогда l = , откуда

l = .

Таким образом, длина дуги кривой у = f (x ), соответствующей изменению х на отрезке [a , b ], находится по формуле

l = , (1)

Если кривая задана параметрически , t Î, т.е. y (t ) = f (x (t )), то из формулы (1) получим:

l =
.

Значит, если кривая задана параметрически , то длина дуги этой кривой, соответствующей изменению t Î, находится по формуле

в) Объем тела вращения.

Рис.15

Рассмотрим криволинейную трапецию а АВb , ограниченную линией у = f (x ), прямыми х = а , х = b и отрезком [a , b ] оси ОХ (рис.15). Пусть эта трапеция вращается вокруг оси ОХ, в результате получится тело вращения. Можно доказать, что объем этого тела будет равен

Аналогично можно вывести формулу объема тела, полученного вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции х = j(у ), прямыми y = c , y = d и отрезком [c , d ] оси ОУ (рис.15):

Физические приложения определенного интеграла

В лекции 19 мы доказали, что с физической точки зрения, интеграл численно равен массе прямолинейного тонкого неоднородного стержня длины l = b – a , с переменной линейной плотностью r = f (x ), f (x ) ³ 0, где х – расстояние от точки стержня до его левого конца.

Рассмотрим другие физические приложения определенного интеграла.

Задача 1 . Найти работу, необходимую для выкачивания масла из вертикального цилиндрического резервуара высотой Н и радиусом основания R. Плотность масла равна r.

Решение. Построим математическую модель данной задачи. Пусть ось ОХ проходит вдоль оси симметрии цилиндра высоты Н и радиуса R, начало – в центре верхнего основания цилиндра (рис.17). Разобьем цилиндр на п малых горизонтальных частей. Тогда , где A i – работа по выкачиванию i -го слоя. Это разбиение цилиндра соответствует разбиению отрезка изменения высоты слоя на п частей. Рассмотрим один из таких слоев, расположенный на расстоянии х i от поверхности, шириной Dх (или сразу dx ). Выкачивание этого слоя можно рассматривать как «поднятие» слоя на высоту х i .

Тогда работа по выкачиванию этого слоя равна

A i »Р i x i , ,

где Р i =rgV i = rgpR 2 dx , Р i – вес, V i – объем слоя. Тогда A i » Р i x i = rgpR 2 dx.х i , откуда

, и, следовательно, .

Задача 2 . Найти момент инерции

а) полого тонкостенного цилиндра относительно оси, проходящей через ось его симметрии;

б) сплошного цилиндра относительно оси, проходящей через ось его симметрии;

в) тонкого стержня длины l относительно оси, проходящей через его середину;

г) тонкого стержня длины l относительно оси, проходящей через его левый конец.

Решение. Как известно, момент инерции точки относительно оси равен J =mr 2 , а системы точек .

а) Цилиндр тонкостенный, значит, толщиной стенок можно пренебречь. Пусть радиус основания цилиндра R, высота его Н, плотность масс на стенках равна r.

Разобьем цилиндр на п частей и найдем , где J i – момент инерции i -го элемента разбиения.

Рассмотрим i -й элемент разбиения (бесконечно малый цилиндрик). Все его точки находятся на расстоянии R от оси l . Пусть масса этого цилиндрика т i , тогда т i = rV i » rS бок = 2prRdx i , где х i Î. Тогда J i » R 2 prRdx i , откуда

.

Если r – постоянная, то J = 2prR 3 Н, а так как при этом масса цилиндра равна М = 2prRН, то J = МR 2 .

б) Если цилиндр сплошной (заполненный), то разобьем его на п вло женных один в другого тонких цилиндров. Если п велико, каждый из этих цилиндров можно считать тонкостенным. Это разбиение соответствует разбиению отрезка на п частей точками R i . Найдем массу i -го тонкостенного цилиндра: т i = rV i , где

V i = pR i 2 Н – pR i - 1 2 Н = pН(R i 2 –R i -1 2) =

PН(R i –R i -1)(R i +R i -1).

Ввиду того, что стенки цилиндра тонкие, то можно считать, что R i +R i -1 » 2R i , а R i –R i -1 = DR i , тогда V i » pН2R i DR i , откуда т i » rpН×2R i DR i ,

Тогда окончательно

в) Рассмотрим стержень длины l , плотность масс которого равна r. Пусть ось вращения проходит через его середину.

Моделируем стержень как отрезок оси ОХ, тогда ось вращения стержня –ось ОУ. Рассмотрим элементарный отрезок , масса его , расстояние до оси можно считать приближенно равным r i = х i . Тогда момент инерции этого участка равен , откуда момент инерции всего стержня равен . Учитывая, что масса стержня равна , то

г) Пусть теперь ось вращения проходит через левый конец стержня, т.е. моделью стержня является отрезок оси ОХ. Тогда аналогично , r i = х i , , откуда , а так как , то .

Задача 3. Найти силу давления жидкости с плотностью r на прямоугольный треугольник с катетами а и b , погруженный вертикально в жидкость так, что катет а находится на поверхности жидкости.

Решение .

Построим модель задачи. Пусть вершина прямого угла треугольника находится в начале координат, катет а совпадает с отрезком оси ОУ (ось ОУ определяет поверхность жидкости), ось ОХ направлена вниз, катет b совпадает с отрезком этой оси. Гипотенуза этого треугольника имеет уравнение , или .

Известно, что если на горизонтальную область площади S , погруженную в жидкость плотности r, давит столб жидкости высотой h , то сила давления равна (закон Паскаля). Воспользуемся этим законом.

Приведем некоторые приложения определенного интеграла.

Вычисление площади плоской фигуры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой (где
), прямыми
,
и отрезком
оси
, вычисляется по формуле

.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми
и
(где
) прямыми
и
вычисляется по формуле

.

Если кривая задана параметрическими уравнениями
, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми
,
и отрезком
оси
, вычисляется по формуле

,

где иопределяются из уравнений
,
, а
при
.

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением
и двумя полярными радиусами
,
(
), находится по формуле

.

Пример 1.27. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
и прямой
(рис 1.1).

	Решение. Найдем точки пересечения прямой и параболы. Для этого решим уравнение , . Откуда , . Тогда по формуле (1.6) имеем .

Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая
на отрезке
- гладкая (то есть производная
непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле

.

При параметрическом задании кривой
(
- непрерывно дифференцируемые функции) длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметраотдо, вычисляется по формуле

Пример 1.28. Вычислить длину дуги кривой
,
,
.

Решение. Найдем производные по параметру :
,
. Тогда по формуле (1.7) получаем

.

2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Пусть каждой упорядоченной паре чисел
из некоторой области
соответствует определенной число
. Тогданазываетсяфункцией двух переменных и,
-независимыми переменными или аргументами ,
-областью определения функции, а множество всех значений функции -областью ее значений и обозначают
.

Геометрически область определения функции обычно представляет собой некоторую часть плоскости
, ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой области.

Пример 2.1. Найти область определения
функции
.

Решение. Данная функция определена в тех точках плоскости , в которых , или . Точки плоскости, для которых , образуют границу области . Уравнение задает параболу (рис. 2.1; поскольку парабола не принадлежит области , то она изображена пунктирной линией). Далее, легко проверить непосредственно, что точки, для которых , расположены выше параболы. Область является открытой и ее можно задать с помощью системы неравенств:

Если переменной дать некоторое приращение
, аоставить постоянной, то функция
получит приращение
, называемоечастным приращением функции по переменной :

Аналогично, если переменная получает приращение
, а остается постоянной, то функция
получит приращение
, называемоечастным приращением функции по переменной :

Если существуют пределы:

,

,

они называются частными производными функции
по переменными соответственно.

Замечание 2.1. Аналогично определяются частные производные функций любого числе независимых переменных.

Замечание 2.2. Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной при условии, что остальные переменные – постоянны, то все правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций любого числа переменных.

Пример 2.2.
.

Решение . Находим:

,

.

Пример 2.3. Найти частные производные функции
.

Решение . Находим:

,

,

.

Полным приращением функции
называется разность

Главная часть полного приращения функции
, линейно зависящая от приращений независимых переменных
и
,называется полным дифференциалом функции и обозначается
. Если функция имеет непрерывные частные производные, то полный дифференциал существует и равен

,

где
,
- произвольные приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами.

Аналогично, для функции трех переменных
полный дифференциал определяется выражением

.

Пусть функция
имеет в точке
частные производные первого порядка по всем переменным. Тогда векторназываетсяградиентом функции
в точке
и обозначается
или
.

Замечание 2.3. Символ
называется оператором Гамильтона и произносится “намбла”.

Пример 2.4. Найти градиент функции в точке
.

Решение . Найдем частные производные:

,
,

и вычислим их значения в точке
:

,
,
.

Следовательно,
.

Производной функции
в точке
по направлению вектора
называют предел отношения
при
:

, где
.

Если функция
дифференцируема, то производная в данном направлении вычисляется по формуле:

,

где ,- углы, который векторобразует с осями
и
соответственно.

В случае функции трех переменных
производная по направлению определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид

,

где
- направляющие косинусы вектора.

Пример 2.5. Найти производную функции
в точке
в направлении вектора
, где
.

Решение . Найдем вектор
и его направляющие косинусы:

,
,
,
.

Вычислим значения частных производных в точке
:

,
,
;
,
,
.

Подставляя в (2.1), получаем

.

Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка:

,

,

,

Частные производные
,
называютсясмешанными . Значения смешанных производных равны в тех точках, в которых эти производные непрерывны.

Пример 2.6. Найти частные производные второго порядка функции
.

Решение . Вычислим предварительно частные производные первого порядка:

,
.

Продифференцировав их еще раз, получим:

,
,

,
.

Сравнивая последние выражения, видим, что
.

Пример 2.7. Доказать, что функция
удовлетворяет уравнению Лапласа

.

Решение . Находим:

,
.

,
.

.

Точка
называетсяточкой локального максимума (минимума ) функции
, если для всех точек
, отличных от
и принадлежащих достаточно малой ее окрестности, выполняется неравенство

(
).

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом . Точка, в которой достигается экстремум функции, называется точкой экстремума функции .

Теорема 2.1 (Необходимые условия экстремума ). Если точка
является точкой экстремум функции
, тоили хотя бы одна из этих производных не существует.

Точки, для которых эти условия выполнены, называются стационарными или критическими . Точки экстремума всегда являются стационарными, но стационарная точка может и не быть точкой экстремума. Чтобы стационарная точка была точкой экстремума, должны выполняться достаточные условия экстремума.

Введем предварительно следующие обозначения:

,
,
,
.

Теорема 2.2 (Достаточные условия экстремума ). Пусть функция
дважды дифференцируема в окрестности точки
и точка
является стационарной для функции
. Тогда:

1. Если
, то точка
является экстремумом функции, причем
будет точкой максимума при
(
) и точкой минимума при
(
).

2. Если
, то в точке

экстремума нет.

3. Если
, то экстремум может быть, а может и не быть.

Пример 2.8. Исследовать на экстремум функцию
.

Решение . Так как в данном случае частные производные первого порядка всегда существуют, то для нахождения стационарных (критических) точек решим систему:

,
,

откуда
,
,
,
. Таким образом, получили две стационарные точки:
,
.

,
,
.

Для точки
получаем:, то есть в этой точке экстремума нет. Для точки
получаем:и
, следовательно

в этой точке данная функция достигает локального минимума: .

Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова»

Кафедра математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине Математика

Пятышева Анастасия Андреевна

Руководитель

ст. преподаватель

Бородкина Т. А.

Архангельск 2014

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Приложения определенного интеграла

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:

21. y=x 3 , y= ; 22.

ВВЕДЕНИЕ

В данной курсовой работе, передо мной поставлены следующие задачи: вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций, ограниченных линиями, заданными уравнениями, также ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах, вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат, заданных параметрическими уравнениями, заданных уравнениями в полярных координатах, а также вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями, ограниченных графиками функций, и образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций вокруг полярной оси. Мною была выбрана курсовая работа по теме «Определенный интеграл. В связи с этим, я решила узнать, как легко и быстро можно использовать интегральные вычисления, и насколько точно можно вычислить поставленные передо мной задачи.

ИНТЕГРАЛ одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Раскрытие темы курсовой работы я провела по следующему плану: определение определенного интеграла и его свойства; длина дуги кривой; площадь криволинейной трапеции; площадь поверхности вращения.

Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке , существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Если функция F(x) - какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то это выражение известно под названием формулы Ньютона-Лейбница:

Основные свойства определенного интеграла:

Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

Если f(x)=1, то:

При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

Если функции интегрируемы на, тогда интегрируема на их сумма и интеграл от суммы равен сумме интегралов:

Существуют также основные методы интегрирования, например замена переменной,:

Исправление дифференциала:

Формула интегрирования по частям дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла, который может оказаться более простым:

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что для непрерывной и неотрицательной функции представляет собой в геометрическом смысле площадь соответствующей криволинейной трапеции.

Кроме того, с помощью определенного интеграла можно найти площадь области, ограниченной кривыми, прямыми и, где

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически прямыми x = a и x = b и осью Ox, то площадь ее находится по формуле, где определяются из равенства:

. (12)

Основная область, площадь которой находят с помощью определенного интеграла- криволинейный сектор. Это область, ограниченная двумя лучами и кривой, где r и - полярные координаты:

Если кривая является графиком функции где, а функция ее производная непрерывны на этом отрезке, то площадь поверхности фигуры, образованной вращением кривой вокруг оси Ox, можно вычислить по формуле:

. (14)

Если функция и ее производная непрерывны на отрезке то кривая имеет длину, равную:

Если уравнение кривой задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) - непрерывные функции с непрерывными производными и то длина кривой находится по формуле:

Если кривая задана уравнением в полярных координатах, где и непрерывны на отрезке, тогда длину дуги можно посчитать следующим образом:

Если вокруг оси Ox вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией отрезком и прямыми x = a и x = b, то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Ox, будет равен:

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми x = 0, y = c, y = d (c < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Если фигура ограничена кривыми и (находится «выше», чем и прямыми x = a, x = b, то объем тела вращения вокруг оси Ox будет равен:

а вокруг оси Oy (:

Если криволинейный сектор вращать вокруг полярной оси, то площадь полученного тела можно найти по формуле:

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача 14: Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций:

1) Решение:

Рисунок 1 - График функций

X меняется от 0 до

x 1 = -1 и x 2 = 2 - пределы интегрирования (это видно на Рисунке 1).

3) Посчитаем площадь фигуры, использую формулу (10).

Ответ: S = .

Задача 15: Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями:

1) Решение:

Рисунок 2 - График функций

Рассмотрим функцию на интервале .

Рисунок 3 - Таблица переменных для функции

Так как, то на этом периоде поместиться 1 дуга. Эта дуга состоит из центральной части (S 1) и боковых частей. Центральная чаcть состоит из искомой части и из прямоугольника (S пр):. Посчитаем площадь одной центральной части дуги.

2) Найдем пределы интегрирования.

и y = 6, следовательно

Для интервала - пределы интегрирования.

3) Найдем площадь фигуры, используя формулу (12).

интеграл криволинейный трапеция

Задача 16: Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

1) Решение:

Рисунок 4 - График функций,

Рисунок 5 - Таблица переменных функций,

2) Найдем пределы интегрирования.

следовательно -

3) Найдем площадь фигуры, используя формулу (13).

Ответ: S =.

Задание 17: Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат:

1) Решение:

Рисунок 6- График функции

Рисунок 7 -Таблица переменных функции

2) Найдем пределы интегрирования.

меняется от ln до ln, это очевидно из условия.

3) Найдем длину дуги, используя формулу (15).

Ответ: l =

Задание 18: Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями: 1)

1) Решение:

Рисунок 8- График функции

Рисунок 11- Таблица переменных функции

2) Найдем пределы интегрирования.

ц меняется от, это очевидно из условия.

Найдем длину дуги, используя формулу (17).

Задание 20: Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:

1) Решение:

Рисунок 12 - График функций:

2) Найдем пределы интегрирования.

Z меняется от 0 до 3.

3) Найдем объем фигуры, используя формулу (18)

Задание 21: Вычислить объемы тел, ограниченных графиками функций, ось вращения Ох: 1)

1) Решение:

Рисунок 13 - График функций

Рисунок 15- Таблица графика функции

2) Найдем пределы интегрирования.

Точки (0;0) и (1;1) являются общими для обоих графиков, следовательно это и есть пределы интегрирования, что очевидно на рисунке.

3) Найдем объем фигуры, используя формулу (20).

Задание 22: Вычислить площадь тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций, вокруг полярной оси:

1) Решение:

Рисунок 16 - График функции

Рисунок 17- Таблица переменных для графика функции

2) Найдем пределы интегрирования.

ц меняется от

3) Найдем площадь фигуры, используя формулу (22).

Ответ: 3,68

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения курсовой работы на тему «Определенный интеграл», я научилась вычислять площади разных тел, находить длины различных дуг кривых, а также вычислять объемы. Данное представление о работе с интегралами, поможет мне в будущей профессиональной деятельности, как быстро и оперативно выполнять различные действия. Ведь сам интеграл - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Ч.1 - 9-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2008. - 288 с.

2. Бугров, Я.С., Никольский, С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: Т.2 - М.: Дрофа, 2004. - 512 с.

3. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. -- Изд. 4-е -- М.: МЦНМО, 2002. --664 с.

4. Кузнецов Д.А. «Сборник задач по высшей математики» Москва, 1983 г.

5. Никольский С. Н. «Элементы математического анализа». - М.: Наука, 1981г.

Подобные документы

Вычисление площадей плоских фигур. Нахождение определенного интеграла функции. Определение площади под кривой, площади фигуры, заключенной между кривыми. Вычисление объемов тел вращения. Предел интегральной суммы функции. Определение объема цилиндра.

презентация , добавлен 18.09.2013


Особенности вычисления объемов тел, ограниченных поверхностями, с применением геометрического смысла двойного интеграла. Определение площадей плоских фигур, ограниченных линиями, с использованием метода интегрирования в курсе математического анализа.

презентация , добавлен 17.09.2013


Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы по формуле Ньютона–Лейбница, замена переменной и интегрирование по частям. Длина дуги в полярной системе координат.

контрольная работа , добавлен 22.08.2009


Моменты и центры масс плоских кривых. Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности.

лекция , добавлен 04.09.2003


Методика и основные этапы нахождения параметров: площади криволинейной трапеции и сектора, длины дуги кривой, объема тел, площади поверхности тел вращения, работы переменной силы. Порядок и механизм вычисления интегралов с помощью пакета MathCAD.

контрольная работа , добавлен 21.11.2010


Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Теорема о среднем – следствие и доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла.

презентация , добавлен 18.09.2013


Задача численного интегрирования функций. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Погрешность формул и сравнение методов по точности.

методичка , добавлен 01.07.2009


Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.

презентация , добавлен 15.01.2014


Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла. Расчет двойного интеграла, перейдя к полярным координатам. Методика определения криволинейного интеграла второго рода вдоль заданной линии и потока векторного поля.

контрольная работа , добавлен 14.12.2012


Понятие определённого интеграла, расчет площади, объёма тела и длины дуги, статического момента и центра тяжести кривой. Вычисление площади в случае прямоугольной криволинейной области. Применение криволинейного, поверхностного и тройного интегралов.

Лекции 8. Приложения определенного интеграла.

Приложение интеграла к физическим задачам основано на свойстве аддитивности интеграла по множеству. Поэтому с помощью интеграла могут вычисляться такие величины, которые сами аддитивны по множеству. Например, площадь фигуры равна сумме площадей ее частей Длина дуги, площадь поверхности, объем тела, масса тела обладают тем же свойством. Поэтому все эти величины можно вычислять с помощью определенного интеграла.

Можно использовать два метода решения задач: метод интегральных сумм и метод дифференциалов.

Метод интегральных сумм повторяет конструкцию определенного интеграла: строится разбиение, отмечаются точки, в них вычисляется функция, вычисляется интегральная сумма, производится предельный переход. В этом методе основная трудность – доказать, что в пределе получится именно то, что нужно в задаче.

Метод дифференциалов использует неопределенный интеграл и формулу Ньютона – Лейбница. Вычисляют дифференциал величины, которую надо определить, а затем, интегрируя этот дифференциал, по формуле Ньютона – Лейбница получают требуемую величину. В этом методе основная трудность – доказать, что вычислен именно дифференциал нужной величины, а не что-либо иное.

Вычисление площадей плоских фигур.

1. Фигура ограничена графиком функции, заданной в декартовой системе координат.

Мы пришли к понятию определенного интеграла от задачи о площади криволинейной трапеции (фактически, используя метод интегральных сумм). Если функция принимает только неотрицательные значения, то площадь под графиком функции на отрезке может быть вычислена с помощью определенного интеграла . Заметим, что поэтому здесь можно увидеть и метод дифференциалов.

Но функция может на некотором отрезке принимать и отрицательные значения, тогда интеграл по этому отрезку будет давать отрицательную площадь, что противоречит определению площади.

Можно вычислять площадь по формуле S =. Это равносильно изменению знака функции в тех областях, в которых она принимает отрицательные значения.

Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции , а снизу графиком функции , то можно пользоваться формулой S = , так как .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми x=0, x=2 и графиками функций y=x 2 , y=x 3 .

Заметим, что на интервале (0,1) выполнено неравенство x 2 > x 3 , а при x >1 выполнено неравенство x 3 > x 2 . Поэтому

2. Фигура ограничена графиком функции, заданной в полярной системе координат.

Пусть график функции задан в полярной системе координат и мы хотим вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного двумя лучами и графиком функции в полярной системе координат.

Здесь можно использовать метод интегральных сумм, вычисляя площадь криволинейного сектора как предел суммы площадей элементарных секторов, в которых график функции заменен дугой окружности .

Можно использовать и метод дифференциалов: .

Рассуждать можно так. Заменяя элементарный криволинейный сектор, соответствующий центральному углу круговым сектором, имеем пропорцию . Отсюда . Интегрируя и используя формулу Ньютона – Лейбница, получаем .

Пример. Вычислим площадь круга (проверим формулу). Полагаем . Площадь круга равна .

Пример. Вычислим площадь, ограниченную кардиоидой .

3 Фигура ограничена графиком функции, заданной параметрически.

Функция может быть задана параметрически в виде . Используем формулу S = , подставляя в нее и пределы интегрирования по новой переменной . . Обычно при вычислении интеграла выделяют те области, где подинтегральная функция имеет определенный знак и учитывают соответствующую площадь с тем или иным знаком.

Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом .

Используем симметрию эллипса, вычислим площадь четверти эллипса, находящуюся в первом квадранте. В этом квадранте . Поэтому .

Вычисление объемов тел.

1. Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений.

Пусть требуется вычислить объем некоторого тела V по известным площадям сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными прямой OX, проведенными через любую точку x отрезка прямой OX.

Применим метод дифференциалов. Считая элементарный объем , над отрезком объемом прямого кругового цилиндра с площадью основания и высотой , получим . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим

2. Вычисление объемов тел вращения.

Пусть требуется вычислить OX .

Тогда .

Аналогично, объем тела вращения вокруг оси OY , если функция задана в виде , можно вычислить по формуле .

Если функция задана в виде и требуется определить объем тела вращения вокруг оси OY , то формулу для вычисления объема можно получить следующим образом.

Переходя к дифференциалу и пренебрегая квадратичными членами, имеем . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, имеем .

Пример. Вычислить объем шара .

Пример. Вычислить объем прямого кругового конуса, ограниченного поверхностью и плоскостью .

Вычислим объем, как объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси OZ прямоугольного треугольника в плоскости OXZ, катеты которого лежат на оси OZ и прямой z = H , а гипотенуза лежит на прямой .

Выражая x через z, получим .

Вычисление длины дуги.

Для того, чтобы получить формулы для вычисления длины дуги, вспомним выведенные в 1 семестре формулы для дифференциала длины дуги.

Если дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемой функции , дифференциал длины дуги можно вычислить по формуле

. Поэтому

Если гладкая дуга задана параметрически , то

. Поэтому .

Если дуга задана в полярной системе координат , то

. Поэтому .

Пример. Вычислить длину дуги графика функции, . .

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x) , слева и справа - прямыми x=a и x=b соответственно, снизу - осью Ox , вычисляется по формуле

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной справа графиком функции x=φ(y) , сверху и снизу - прямыми y=d и y=c соответственно, слева - осью Oy :

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y 2 =f 2 (x) , снизу - графиком функции y 1 =f 1 (x) , слева и справа - прямыми x=a и x=b :

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной слева и справа графиками функций x 1 =φ 1 (y) и x 2 =φ 2 (y) , сверху и снизу - прямыми y=d и y=c соответственно:

Рассмотрим случай, когда линия, ограничивающая криволинейную трапецию сверху, задана параметрическими уравнениями x = φ 1 (t) , y = φ 2 (t) , где α ≤ t ≤ β , φ 1 (α)=a , φ 1 (β)=b . Эти уравнения определяют некоторую функцию y=f(x) на отрезке [a, b ]. Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

Перейдем к новой переменной x = φ 1 (t) , тогда dx = φ" 1 (t) dt , а y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t) , следовательно, \begin{displaymath}

Площадь в полярных координатах

Рассмотрим криволинейный сектор OAB , ограниченный линией, заданной уравнением ρ=ρ(φ) в полярных координатах, двумя лучами OA и OB , для которых φ=α , φ=β .

Сектор разобьем на элементарные секторы OM k-1 M k (k=1, …, n , M 0 =A , M n =B ). Обозначим через Δφ k угол между лучами OM k-1 и OM k , образующими с полярной осью углы φ k-1 и φ k соответственно. Каждый из элементарных секторов OM k-1 M k заменим круговым сектором с радиусом ρ k =ρ(φ" k) , где φ" k - значение угла φ из промежутка [φ k-1 , φ k ], и центральным углом Δφ k . Площадь последнего сектора выражается формулой .

выражает площадь "ступенчатого" сектора, приближенно заменяющего данный сектор OAB .

Площадью сектора OAB называется предел площади "ступенчатого" сектора при n → ∞ и λ=max Δφ k → 0 :

Так как , то

Длина дуги кривой

Пусть на отрезке [a, b ] задана дифференцируемая функция y=f(x) , графиком которой является дуга . Отрезок [a,b ] разобьем на n частей точками x 1 , x 2 , …, x n-1 . Этим точкам будут соответствовать точки M 1 , M 2 , …, M n-1 дуги , соединим их ломаной линией, которую называют ломаной, вписанной в дугу . Периметр данной ломаной обозначим через s n , то есть

Определение . Длиной дуги линии называется предел периметра вписанной в нее ломаной, когда число звеньев M k-1 M k неограничено возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:

где λ - длина наибольшего звена.

Будем отсчитывать длину дуги от некоторой ее точки, например, A . Пусть в точке M(x,y) длина дуги равна s , а в точке M"(x+Δ x,y+Δy) длина дуги равна s+Δs , где,i>Δs - длина дуги . Из треугольника MNM" находим длину хорды : .

Из геометрических соображений следует, что

то есть бесконечно малая дуга линии и стягивающая ее хорда эквивалентны.

Преобразуем формулу, выражающую длину хорды :

Переходя к пределу в этом равенстве, получим формулу для производной функции s=s(x) :

из которой находим

Эта формула выражает дифференциал дуги плоской кривой и имеет простой геометрический смысл : выражает теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника MTN (ds=MT , ).

Дифференциал дуги пространственной кривой определяется формулой

Рассмотрим дугу пространственной линии, заданной параметрическими уравнениями

где α ≤ t ≤ β , φ i (t) (i=1, 2, 3 ) - дифференцируемые функции аргумента t , то

Интегрируя это равенство по промежутку [α, β ], получаем формулу для вычисления длины этой дуги линии

Если линия лежит в плоскости Oxy , то z=0 при всех t∈[α, β] , поэтому

В случае, когда плоская линия задана уравнением y=f(x) (a≤x≤b ), где f(x) - дифференцируемая функция, последняя формула принимает вид

Пусть плоская линия задана уравнением ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) в полярных координатах. В этом случае имеем параметрические уравнения линии x=ρ(φ) cos φ , y=ρ(φ) sin φ , где в качестве параметра берется полярный угол φ . Поскольку

то формула, выражающая длину дуги линии ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) в полярных координатах, имеет вид

Объем тела

Найдем объем тела, если известна площадь любого поперечного сечения этого тела, перпендикулярного некоторому направлению.

Разобьем данное тело на элементарные слои плоскостями, перпендикулярными оси Ox и определяемыми уравнениями x=const . Для любого фиксированного x∈ известна площадь S=S(x) поперечного сечения данного тела.

Элементарный слой, отсеченный плоскостями x=x k-1 , x=x k (k=1, …, n , x 0 =a , x n =b ), заменим цилиндром с высотой Δx k =x k -x k-1 и площадью основания S(ξ k) , ξ k ∈ .

Объем указанного элементарного цилиндра выражается формулой Δv k =E(ξ k)Δx k . Составим сумму всех таких произведений

являющуюся интегральной суммой для данной функции S=S(x) на отрезке [a, b ]. Она выражает объем ступенчатого тела, состоящего из элементарных цилиндров и приближенно заменяющего данное тело.

Объемом данного тела называют предел объема указанного ступенчатого тела при λ→0 , где λ - длина наибольшего из элементарных отрезков Δx k . Обозначим через V объем данного тела, тогда по определению

С другой стороны,

Следовательно, объем тела по заданным поперечным сечениям вычисляется по формуле

Если тело образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой непрерывной линии y=f(x) , где a≤x≤b , то S(x)=πf 2 (x) и последняя формула принимает вид:

Замечание . Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной справа графиком функции x=φ(y) (c ≤ x ≤ d ), вокруг оси Oy вычисляется по формуле

Площадь поверхности вращения

Рассмотрим поверхность, полученную вращением дуги линии y=f(x) (a≤x≤b ) вокруг оси Ox (предположим, что функция y=f(x) имеет непрерывную производную). Фиксируем значение x∈ , аргументу функции придадим приращение dx , которому соответствует "элементарное кольцо", полученное вращением элементарной дуги Δl . Это "кольцо" заменим цилиндрическим кольцом - боковой поверхностью тела, образованного вращением прямоугольника с основанием, равным дифференциалу дуги dl , и высотой h=f(x) . Разрезав последнее кольцо и развернув его, получим полоску шириной dl и длиной 2πy , где y=f(x) .

Следовательно, дифференциал площади поверхности выразится формулой

Эта формула выражает площадь поверхности, полученной вращением дуги линии y=f(x) (a≤x≤b ) вокруг оси Ox .