Расстояние от точки до фигуры. §23

Определение расстояний

Рассмотрим только определение расстояний, поскольку НВ плоской фигуры была рассмотрена в п. 4.

Приведем сведения из планиметрии, необходимые для решения обозначенных задач.

1. Длина отрезка есть расстояние между его концами.

2. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Задача. Определить длину отрезка АВ (рис. 8.1).

В п. 4 было приведено решение этой задачи методом замены плоскостей проекций. Рассмотрим другое решение – решение методом прямоугольного треугольника. Его обоснование выполним, опираясь на указанный метод замены. Выполняя решение данной задачи методом замены, получим А 4 В 4 – искомую длину. Видим, что в соответствии с методом замены Е 4 В 4 = b. Поэтому, отложив на линии В 1 В 4 ^ х 1 от точки В 1 отрезок B 1 D 1 = E 4 В 4 = b, получим прямоугольный треугольник А 1 В 1 D 1 , в котором А 1 D 1 = А 4 В 4 , т.е. длина гипотенузы А 1 D 1 есть искомая длина. Следовательно, длину отрезка АВ можно определить на плоскости проекций П 1 используя расстояние b, снятое на плоскости проекций П 2 . При этом замена плоскостей проекций с осью х 1 не нужна. Аналогично можно определить искомую длину на плоскости П 2 . Для этого выстраиваем прямоугольный треугольник B 2 A 2 C 2 , у которого С 2 А 2 = а, где а определено на П 1 . В итоге получаем В 2 С 2 = В 1 С 1 – искомая длина отрезка АВ. Понятно, что необходимо строить лишь один из двух приведенных прямоугольных треугольников.

Задача. Даны прямая АВ и точка Е вне прямой (рис. 8.2). Требуется определить расстояние r (Е, АВ).

Проекционный алгоритм решения может быть следующим:

1) методом замены плоскостей проекций определяется длина отрезка АВ. На П 4 она равна А 4 В 4 ;

2) строится дополнительная на П 4 проекция Е 4 точки Е;

3) вводится новая система плоскостей проекций П 4 , П 5 такая, что ее ось проекций х 2 перпендикулярна А 4 В 4 ;

4) на П 5 строятся дополнительные

проекции отрезка АВ и точки Е. Проекциями будут соответственно точки А 5 = В 5 и Е 5 .

Расстояние r(F 5 , Е 5) является искомым расстоянием между данными прямой и точкой. Возвращаем затем последовательно проекции отрезка EF на П 4 , П 1 , П 2 . Для этого проводим вначале E 4 F 4 // x 2 , а затем строим: (F 5 , F 4) Þ F 1 ; (F 4 , F 1) Þ F 2 .

В итоге получаем E 1 F 1 , E 2 F 2 – основные проекции отрезка EF, длина которого есть искомое расстояние. Необходимо отметить, что если не учитывать полученные построения на П 5 , то оставшиеся построения на П 2 , П 1 и П 4 соответствуют решению задачи о проведении прямой EF через данную точку Е, пересекающей под 90° данную прямую АВ.

Задача. Даны плоскость Σ (ΔАВС) и точка Е. Определить расстояние от точки Е до плоскости Σ (рис. 8.3).

Решение задачи может быть выполнено методом замены плоскостей проекций. Проекционный алгоритм решения в этом случае следующий:

1) в плоскости Σ строится линия уровня,

например h(h 1 , h 2) , так, что h 2 // x;

2) вводится новая система плоскостей проекций П 1 , П 4 с осью х 1 так, что х 1 ^ h 1 ;

3) на П 4 строятся дополнительные проекции заданных фигур – В 4 С 4 для ΔАВС и Е 4 для точки Е;

4) длина перпендикуляра E 4 F 4 есть искомое расстояние r(Е, Σ).

Для полноты решения строим проекции отрезка EF на основных плоскостях проекций. Для этого строим вначале E 1 F 1 // х 1 , а затем (F 4 , F 1) Þ F 2 ; E 2 F 2 , E 1 F 1 – основные проекции отрезка EF длины r.

Искомое расстояние во всех задачах этой группы измеряется длиной отрезка, заключенного между заданными геометрическими фигурами и перпендикулярного к одной из них или одновременно к обеим. Этот отрезок проецируется в конгруэнтный ему отрезок на плоскость проекций, которая будет перпендикулярна одной или обеим геометрическим фигурам, между которыми определяется расстояние. Алгоритм решения задач этой группы будет следующим:

1. Одним из способов преобразования комплексного чертежа привести обе заданные геометрические фигуры (или одну из них) в положение, перпендикулярное какой-либо плоскости проекций.

2. Построить проекцию искомого отрезка на эту плоскость. Выбирая способ преобразования комплексного чертежа при составлении алгоритма, следует учитывать требования к компактности чертежа, четкость и возможную простоту графических операций.

Задача 1 . Определение расстояния от точки М до прямой АВ общего положения (рис. 6.1).

Искомое расстояние измеряется длиной отрезка /МN/ перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую АВ. Отрезок [МN] спроецируется в конгруэнтный ему отрезок на плоскость проекций, перпендикулярную прямой АВ. Составляем алгоритм решения:

1. Преобразовать прямую АВ в проецирующую прямую способом замены плоскостей проекций.

2. Построить проекцию отрезка [МN] на плоскость П 5 ┴АВ, длина которого М 5 N 5 определяет искомое расстояние.

Построение. Для преобразования прямой АВ общего положения в проецирующую выполнены две последовательные замены плоскостей проекций: вначале прямая АВ преобразована в линию уровня, затем линия уровня преобразована в проецирующую прямую. Построены проекций М 4 и М 5 точки М в системе П 4 /П 5 .

Отрезок [М 5 N 5 ] является искомым: [М 5 N 5 ] ≅ [МN] и /М 5 N 5 / = /МN/.На рис. 6.1 показано построение проекций [М 4 N 4 ], [М 1 N 1 ] и [М 2 М 2 ] отрезка [МN] обратным преобразованием.

Задача 2. Определить расстояние между параллельными прямыми а и b .

Для решения задачи необходимо выполнить две замены плоскостей проекций. Вначале прямые a и b необходимо сделать прямыми уровня. Для этого П 4 необходимо расположить параллельно a 1 и b 1. Затем названные прямые необходимо расположить перпендикулярно П 5. Расстояние между а 5 и b 5 будет натуральной величиной между параллельными прямыми a и b (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Определение расстояния между параллельными прямыми

Задача 3. Определение расстояния от точки до плоскости .

Решение задачи приведено на рис. 6.3.

Для определения расстояния от точки М до плоскости треугольника ∆АВС необходимо плоскость треугольника общего положения ∆АВС преобразовать в плоскость проецирующую. Для этого нужно произвести замену плоскости проекций П 2 на П 4 перпендикулярно h 1.

Плоскость ∆АВС преобразуется в линию С 4 А 4 В 4 . На эту же плоскость П 4 спроецируется точка М (М 4). Перпендикуляр из М 4 на линию С 4 А 4 В 4 будет натуральной величиной расстояния от точки М до плоскости ∆АВС. Проекции перпендикуляра переносятся в плоскости проекций П 1 и П 2 по соответствующим линиям связи, расстояния от точки М до плоскости ∆АВС. Проекции перпендикуляра переносятся в плоскости проекций П 1 и П 2 по соответствующим линиям связи.

Примечания: 1) Проекция перпендикуляра М 1 N 1 в П 1 располагается параллельно П 4 , потому что в плоскости П 4 имеется ее натуральная величина.

2) Задачи 1- 3 можно также решать по следующей схеме: вначале определить метрически искаженные проекции искомого отрезка, а затем способом прямоугольного треугольника определить его действительную величину.

Рис. 6.3. Определение расстояния от точки до плоскости

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.

Алгоритм

1. Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
2. Из точки проводят перпендикуляр к прямой. В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.
3. Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.

На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.

Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться. Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей , который не предполагает перемещение фигур в пространстве.

Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П 4 . В новой системе (П 1 , П 4) точки C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 находятся на том же удалении от оси X 1 , что и C"", D"", M"" от оси X.

Выполняя вторую часть алгоритма, из M"" 1 опускаем перпендикуляр M"" 1 N"" 1 на прямую b"" 1 , поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П 4 в натуральную величину. По линии связи определяем положение точки N" и проводим проекцию M"N" отрезка MN.

На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M"N" и M"" 1 N"" 1 . Для этого строим прямоугольный треугольник M"" 1 N"" 1 N 0 , у которого катет N"" 1 N 0 равен разности (Y M 1 – Y N 1) удаления точек M" и N" от оси X 1 . Длина гипотенузы M"" 1 N 0 треугольника M"" 1 N"" 1 N 0 соответствует искомому расстоянию от M до b.

Второй способ решения

• Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П 4 . Она пересекает П 1 по оси X 1 , причем X 1 ∥C"D". В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C"" 1 , D"" 1 и M"" 1 , как это изображено на рисунке.
• Перпендикулярно C"" 1 D"" 1 строим дополнительную горизонтальную плоскость П 5 , на которую прямая b проецируется в точку C" 2 = b" 2 .
• Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M" 2 C" 2 , обозначенного красным цветом.

Похожие задачи:

Расстоянием между двумя точками $A$ и $B$ плоскости (или пространства) называется длина отрезка $AB;$ если выбрана единица измерения, то расстояние будет неотрицательным числом, которое обозначается так: $ρ(A,B),$ или $|AB|,$ или просто $AB.$ По определению $ρ(A,A)=0.$

В разнообразных математических ситуациях, да и в повседневной жизни мы часто оцениваем удаленность друг от друга двух объектов с помощью «расстояний», отличных от обычного. Скажем, расстоянием между точками $A$ и $B$ на глобусе естественно считать длину меньшей из двух дуг $AB$ окружности большого круга (проходящего через точки $A$ и $B$). Расстояние между $A$ и $B$ также характеризует минимальное время, за которое можно добраться из пункта $A$ в пункт $B.$ Если измерить расстояние между Новосибирском и Душанбе по глобусу (или посмотреть в авиационный справочник), получится примерно $2100$ км. В железнодорожном справочнике указано другое число: $3895$ км. В этом, конечно, нет ничего удивительного: поезда не могут ездить напрямик, как летают самолеты, поэтому железнодорожники и летчики оценивают расстояние по‑разному.

Для построения теории расстояния, применимой во многих разделах математики, оказывается достаточно выделить очень небольшое число основных свойств расстояния.

Пусть каждым двум элементам $a,b$ множества $X$ по некоторому правилу сопоставлено число $ρ(a,b)≥0,$ при этом выполнены три условия:

$1)$ $ρ(a,b)=0$ тогда и только тогда, когда $a=b;$

$2)$ ρ(a,b)=ρ(b,a) для любых двух $a$ и $b;$

$3)$ $ρ(a,c)≤ρ(a,b)+ρ(b,c)$ для любых трех элементов $a,b,c$ из $X.$

Множество $X,$ снабженное такой функцией $ρ,$ называется метрическим пространством. Свойство $(3)$ для обычного расстояния на плоскости выражает тот факт, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон; это свойство называется неравенством треугольника. В конкретных примерах именно оно не очевидно и нуждается в проверке. Неравенство треугольника на сфере сводится к такой теореме: любой плоский угол $COA$ трехгранного угла $ABCO$ меньше суммы двух других плоских число ребер в пути, соединяющих эти вершины.

Расстояние между двумя точками $a$ и $b$ числовой прямой $R$ равно $|a−b|.$ В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости расстояние между двумя точками $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2,y_2)$ выражается с помощью теоремы Пифагора по формуле:

$ρ(A,B)=\sqrt{(x_1−x_2)^2+(y_1−у_2)^2}.$

Аналогичная формула в пространстве для расстояния между точками $A(x_1,y_1,z_1) и B(x_2,y_2,z_2):$

$ρ(A,B)=$ $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1−y_2)^2+(z_1−z_2)^2}.$

На одном и том же множестве $X$ можно многими разными способами ввести расстояние. Например, на плоскости за расстояние между точками $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2,y_2)$ можно принять $ρ_1(A,B)=|x_1−x_2|+|y_1−y_2|$ или $ρ_2(A,B)=\mathrm{max}\{|x_1−x_2|,|y_1−y_2|\}$ - наибольшее из двух чисел $|x_1−x_2|,|y_1−y_2|.$

Расстояние можно определять не только между точками. Так, расстоянием от точки $A$ до прямой $l$ (или до плоскости в пространстве) называется длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$ (на плоскость $p$). Вообще, расстоянием от точки $A$ до фигуры $F$ называется наименьшее из расстояний от этой точки до точек фигуры $F.$ Иногда используют аналогичное определение расстояния между двумя непересекающимися фигурами; в частности, расстоянием между двумя параллельными или скрещивающимися прямыми (рис. $2$) считается длина перпендикулярного обеим прямым отрезка с концами на этих прямых - наименьшее из расстояний между точками двух прямых.

В этом параграфе рассматривается измерение расстояний между основными фигурами стереометрии (точкой и плоскостью, прямой и плоскостью, плоскостями).

Измерение расстояний между различными физи- ческими объектами является одним из самых рас-пространённых видов математической деятельности человека. Если размерами объекта можно пренебречь, то речь

идет об измерении расстояний между точками, то есть об определении длин отрезков. В других случаях моделирование данных объектовспомощьюточекприизмерениирасстояниймеждуними нецелесообразно или бессмысленно, например, когда речь идет об измерении расстояния между электролампой и столом (рис. 480), если первую можно отождествлять с точкой, то для моделирования стола более пригодна плоскость или ее часть. Аналогичная ситуация возникает при определении расстояния между фасадами зданий (рис. 481), что при математическом моделировании сводится к определению расстояния между параллельными плоскостями; при установлении вертикального рельса на определенном расстоянии от стены (рис. 482) (определение расстояния между параллельными прямой и плоскостью) и т. п.

Рассмотрим вопрос об измерении расстояний между самыми простыми фигурами в пространстве. Содержание понятия рассто- яния остаётся таким же, как и в планиметрии. Например, рассто- яниеd от точкиА до прямойа - это кратчайшее расстояние меж- ду этой точкой и точками прямой (рис. 483), а расстояние между параллельными прямымиа иb - это длинаd кратчайшего из отрезков, соединяющих точки этих прямых (рис. 484).

Обобщение понятия расстояния между фигурами в пространс- тве не вызывает затруднений.

Расстоянием между фигурами называют длину кратчайшего из отрезков, соединяющих точки дан­ ных фигур.

Если фигуры пересекаются, то будем считать, что расстояние между ними равно нулю. Это и понятно, так как фигуры в целом «не удалены» друг от друга. Для фигур, не имеющих общих точек, расстояние между ними является одной из мер их взаимного рас- положения.

Понятно,чтозадачанахождениярасстояниймеждупроизволь- ными геометрическими фигурами является слишком общей, а потому ограничимся детальным рассмотрением расстояний меж- ду простейшими фигурами пространства - точками, прямыми, плоскостями. Как и в планиметрии, эти расстояния реализуются через длины соответствующих перпендикуляров. Кроме того, к указанным ситуациям часто сводится задача об измерении рас- стояний между более сложными фигурами.

Теорема 1 (о расстоянии от точки до плоскости).

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из данной точки на данную плоскость.

Этосвойстворасстоянияотточкидоплос- кости непосредственно вытекает из свойс- тва наклонных и перпендикуляров. Дейс- твительно, перпендикуляр, проведенный

из точки к плоскости, меньше наклонных, проведенных из той же точки к плоскости

Теорема 2 (о расстоянии между прямой и плоскостью).

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к данной плоскости.

Обоснование этого свойства о расстоянии между прямой и плос- костью опирается на свойства прямой, параллельной плоскости, и теорему 1 о расстоянии от точки к плоскости.

Действительно, расстояние от каждой точки прямой до плоскости равно длине перпен- дикуляра, проведенного из данной точки к

плоскости. Для точек прямой, параллельной плоскости, эти расстояния являются равны-

ми (рис. 488).

Теорема 3 (о расстоянии между параллельными плоскостя- ми).

Расстояние между параллельными плоскостями равно длине перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй плоскости.

Обоснование теоремы 3 аналогично обос- нованию теоремы 2. Отличие заключается лишь в том, что перпендикуляры проводят- ся из всех точек одной плоскости ко второй

Приведеннымисвойствамиширокопользу- ются в различных сферах деятельности чело- века, в быту. Например, с их помощью опреде- ляют расстояния от самолета до поверх­ности

Измерение расстояний в пространстве
земли, от светильника до пола, от провода линии электропередач
до поверхности земли, между потолком и полом и т. п.
	Плоскости правильного треугольника ABS и квад-
рата ABCD со сторонойа перпендикулярны, точкиL , K , M явля-
ються серединами соответственно сторон DC , AB , AS . Найти рас-
1) от точки А до прямойВS ;
2) от точки А до плоскостиSBC;
3) от прямой	AD до плоскостиSBC ;
4) между плоскостями MKL иSBC .
 1)РасстояниеотточкиА допрямойBS рав-
нодлинеперпендикуляра,проведенногоизточ-
ки А к прямойBS в плоскостиABS . Поскольку
треугольник ABS - правильный, то таким пер-
пендикуляром будет медиана АР		этого тре­
угольника (рис. 490). Её длина равна		3 a .
2) Расстояние от точки А до плоскостиSBC
равно, по свойству расстояния от точки до
плоскости (теорема 1), длине перпендикуля-
ра, проведенного из точки А к плоскостиSBC .
Этим перпендикуляром будет отрезок АР , где
Р - середина стороныSB (рис. 490). Действи-
тельно, отрезок АР перпендикулярен стороне
SB треугольникаABS , так как он является
медианой правильного треугольника. Прямая
ВС перпендикулярна плоскостиABS , ибо она
лежит в одной из перпендикулярных плоскос-
тей и перпендикулярна линии их пересече-
ния. Проведем через точку Р прямуюРЕ , па-
раллельную прямой ВС (рис. 491). Она лежит
в плоскости	SBC (почему?) и перпендикуляр-
на плоскости ABS , по теореме о двух параллельных прямых, одна
из которых перпендикулярна плоскости (теорема 1 § 19): ВС ||РЕ ,
ВС ABS . ПоэтомуРЕ ABS . По определению прямой, перпен-
дикулярной плоскости, РЕ АР . По признаку перпендикулярнос-
ти прямой и плоскости (теорема 1 §18), АР SBС . Длина перпен-

3) Прямая AD и плоскостьSBC параллельны, по признаку па- раллельности прямой и плоскости (теорема 1 § 11):AD ||ВС . Поэто-

му искомое расстояние, по свойству расстояния между прямой и
плоскостью (теорема 2), равно расстоянию от точки А				плоскости
SBC и, по предыдущему заданию, равно
4) Плоскости MKL иSBC параллельны, по признаку парал-
лельности плоскостей (теорема 1 §12): KМ ||BC (KМ - средняя
линия треугольника ABS ) , KL ||BC (KL - отрезок, соединяющий
середины параллельных сторон квадрата			ABCD) ,

MKL ||SBC . Следовательно, искомое расстояние, по свойству рас-

стояния между параллельными плоскостями (теорема 3), равно

длине перпендикуляра, проведенного из произвольной точки

плоскости MKL

к плоскости SBC . Возьмем точ-

ку пересечения

F отрезков

MK иАР (рис. 492).

Поскольку АР

является перпендикуляром к

плоскости SBC (см. задание 2), тоFP - перпен-

дикуляр к этой плоскости. Его длина равна

1 AP , так как средняя линия треугольника де-

лит медиану, которую она пересекает, пополам

(почему?). Искомое расстояние равно

a .■

Ответ: 1)

a ;2)

a ;4)

Рассмотримболеедетальнодоказательствосвойстврас- стояний в пространстве. Поскольку теорема 1 является прямым следствием свойств наклонных и перпендику-

ляров,рассмотримдоказательствотеоремы2.

Д оказательство теоремы 2

 Пусть имеем прямую l и параллельную ей плоскость α (рис. 493). Поскольку расстояние между прямойl и плоскостью α - это длина кратчайшего отрезка, соединяющего их точки, то длина наклонной, соединяющей точки прямой и плоскости, не

Измерение расстояний в пространстве

может быть искомым расстоянием. Докажем, что длины всех перпендикуляров, проведен- ных из точек прямойl к плоскости α, равны

между собой. А потому расстояние между прямой и плоскостью равно длине каждого из таких перпендикуляров.

Проведем из двух точек А иВ прямойl перпендикулярыАA 1 иВB 1 к плоскости α.

Поскольку прямые, перпендикулярные одной плоскости, парал- лельны между собой (теорема 2 § 19), то через прямыеАA 1 иВB 1 можно провести плоскость, содержащуюl . ПрямаA 1 B 1 является линией пересечения этой плоскости с плоскостью α (почему?). Од- нако в этом случаеАВ ||А 1 В 1 , то есть четырехугольникАА 1 В 1 В является параллелограммом (даже прямоугольником). Отсюда

АА1 = ВB1 . ■

Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству преды- дущей теоремы.

Д оказательство теоремы 3

 Как и в теореме 2, наклонная, соединяющая две точки па - раллельных плоскостей, не может определять расстояние меж- ду ними. А все перпендикуляры, проведенные из точек одной из плоскостей ко второй, параллельны, по теореме о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости (теорема 2 § 19). Кстати, они одновременно перпендикулярны обеим плоскостям, по теоре- ме о параллельных плоскостях, одна из которых перпендикуляр- на прямой (теорема 3 § 19).

Пусть α и β - параллельные плоскости, а АА 1 иВВ 1 - два произвольных перпенди-

куляра, соединяющие точки этих плоскостей (рис. 494). Они параллельны, а потому рав-

ны, по теореме об отрезках параллельных прямых между параллельными плоскостями(теорема 4 § 12). Можно и непосредственнодоказать равенство этих отрезков, рассмотревчетырехугольникАА 1 В 1 В, как это было сдела- но при доказательстве теоремы 2.■

С помощью понятия расстояния можно характеризовать парал- лельность прямой и плоскости, параллельность плоскостей. При этом справедливыследующиеутверждения,обратныетеоремам2и3.

Теорема 4 (признак параллельности прямой и плоскости).

Если все точки прямой лежат на одинаковом, отличном от нуля, расстоянии от плоскости, то прямая и плоскость параллельны.

Теорема 5 (признак параллельности плоскостей).

Если все точки одной плоскости лежат на одинаковом, отличном от нуля, расстоянии от второй плоскости, то эти плоскости параллельны.

Действительно, при выполнении условий этих утверждений соответствующие фигуры не могут иметь общих точек, иначе бы расстояние между ними равнялось нулю.

Утверждения будут правильными, если условия выполняются не для всех точек, а для нескольких. В первом утверждении до- статочно допустить, что условие выполняется для двух точек пря- мой, во втором - для трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 495, 496). Попробуйте доказать это самостоятельно. Приве- денные утверждения широко используются в практике как при- знаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей. Так, параллельность поверхности стола полу обеспечивается одинако- вой длиной его ножек.

	В тетраэдре SABC основание
АВС - равносторонний треугольник со сто-
роной 6 см, боковые грани SAB ,			SAC, SBC -
равнобедренные треугольники			с боковым
ребром 5 см. Найти расстояние от центра О
основания до плоскости боковой грани.
 Расстояние от точкиО до плоскостиSBC
равно длине перпендикуляра ОK из точкиО
к плоскости SBC (рис. 497). ТочкаО лежит на
пересечении медиан (и высот!) треугольника
АВС ,причемOD =1 AD =		6 3 =	3 .Посколь­

Ответ.

пендикуляр из точки О на плоскостьBSC совпадает с перпенди-
куляром ОK из точкиО на прямуюSD , являющейся линией пере-
сечения плоскостей			SBC . По теореме Пифагора,
SD = SB2 − BD2 = 5 2	−32 =4		(см).Посколькуортогональные про­
екции боковых рёбер на основание одинаковы, то S ортогонально

проектируется в центр описанной около треугольника АВС ок- ружности, то есть в точкуО. Поэтому треугольникSOD - прямо-

угольный. По теореме Пифагора, имеем: SO =SD 2 −OD 2 =

16 −3 =13 (см). Нетрудно увидеть (докажите это, пользуясь подобием треугольников или различными формулами площади

треугольника), что OK = (SO · OD ) :SD = (13 3 ):4 =
		до дру-
Понятно, учитывая симметрию, что расстояния от точки О
гих боковых граней такие же. ■

4 39см.

	Контрольные вопросы
	На рис. 498 изображен куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ;
	точки О , О 1 - центры гранейABCD и
	A1 B1 C1 D1 .
	1) Какая из точек A 1 , О 1 , В 1 лежит ближе к
	плоскости АВС ?
	2) Какие из рёбер куба наиболее удалены
	от плоскости АА 1 В 1 В?
	3) Какое из расстояний больше: от прямой
	АО 1 до плоскостиDCC 1 или от прямойAD 1
	до плоскости BDС 1 ?
	4) Чему равно расстояние между плоскостями ADD 1 иВСС 1 ?
	Пусть прямая а параллельна плоскости α. Могут ли точки
	прямой а находиться на различных расстояниях от точек
	плоскости α?
	Верно ли, что если расстояние от прямой до плоскости отлич-
	но от нуля, то прямая и плоскость параллельны?
	Известно, что отрезок AB удален от плоскости α на 3 см. Озна-
	чает ли это, что прямая AB удалена от плоскости α на 3 см?
	Верно ли, что две плоскости совпадают, если расстояние меж-
	ду ними равно нулю?

6. Верно ли, что расстояние от отрезка до плоскости равно рас - стоянию от одного из его концов до этой плоскости?

7. Все стороны треугольника АВС находятся на расстоянии 3 от плоскости α. Параллельны ли плоскостиАВС и плоскость α?

8. Какую фигуру образуют точки, равноудаленные от данной плоскости?

9. Как нужно закреплять провод на столбах, чтобы обеспечить его параллельность к поверхности земли?

10. Как измерить высоту дерева, не поднимаясь на его верхушку?

Графические упражнения

1. Нарис.499изображенкуб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1

с ребром а , точкиМ , М 1 - середины рё- берАD , А 1 D 1 соответственно. Найдитерасстояние:

1) от точки А до прямойАВ ;

2) от точки D 1 до прямойАВ ;

3) от точки А 1 до плоскостиВСС 1 В 1 ;

4) от точки А 1 до плоскостиАВ 1 С 1 В ;

5) от точки М до плоскостиAB 1 C 1 D ;

6) от прямой A 1 D 1 до плоскостиAB 1 C 1 D ;

7) от прямой AD 1 до плоскостиAB 1 C 1 D ;

8) между плоскостями AA 1 D 1 иBB 1 C 1 .

2. На рис. 500 изображен правильный тетраэдр ABCD , F - серединаВС , О - центр граниАВС . Длина какого отрезка

равна расстоянию:

1) от точки D до плоскостиАВС ;

2) от точки D до прямойВС ;

3) от точки С до плоскостиАОВ ?

3. Из центра О квадрата ABCD(рис. 501) проведен перпендикуляр OSк плоскости квадрата. Точка М -середина ВС, Р - основание высоты треугольника OMS,

его медиана. Длине какого отрез- ка равно расстояние:

1) от точки O до плоскостиBCS ;

2) от точки S до плоскостиАВС ;

3) от точки С до плоскостиBDS ?OK -

Измерение расстояний в пространстве

	ТочкаD находитсянарасстоянии8смотвершинравносторон-
	него треугольника ABC со стороной 4 см. Найдите расстояние:
	1°) от точки B	до плоскости DOC , гдеO - центр треуголь-
	ника ABC ;	до плоскости ABC ;
	2°) от точки D
	3) от плоскости, проходящей через середины отрезков DA ,
	DB , DC , до плоскости треугольникаABC.
	Пусть точка O	является серединой катета AC прямоугольно-
	го равнобедренного треугольника с гипотенузой AB = 4 см;
	OP - перпендикуляр к плоскости треугольника длиной
	2 см. Найдите расстояние:
	1°) от точки B до плоскостиAOP ;
	2°) от плоскости, проходящей через середины сторон CB и
	AB параллельноOP , до плоскости				CPA;
	3) от точки O до плоскостиPAB.
464°. Из точкиK - середины гипотенузыАВ равнобедренно-
	го прямоугольного треугольника				АВС с катетами длиной
	8 см - проведен перпендикуляр				KS к плоскости треуголь-
	ника. Длина KS составляет 6 см. Найдите расстояние:
	1) от точки С до плоскости		АKS;
	2) от точки А до плоскости		KСS;
	3) от точки S до прямойВС.
465. Дан кубABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с реброма. Найдите расстояние:
	1°) от точки А 1	до плоскости BDD 1 ;
	2°) от прямой	B 1 D 1 до плоскостиАВС;
	3°) между противоположными гранями куба;
	4°) от точки А 1	до прямой BD ;
	5) между прямыми AD 1 иСС 1 ;
	6*) от точки А 1 до плоскостиAB 1 D 1 ;
	7*) между плоскостями CD 1 B 1 иDA 1 B .
466. ТочкаМ лежитнарасстоянииb отвсехвершинквадратаАВСD
	со стороной а и центром в точкеО . Найдите расстояние:
	1°) от точки М	до плоскости		АВС;
	2°) от точки А до плоскости			ВМD;

3) от точки О до плоскостиМСD , еслиb =2 3 a ;

4) от точки М до прямойСD ;

5) между прямыми ОМ иАD .

467. Концы отрезка удалены от некоторой плоскости на 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости.

468. Катеты прямоугольного треугольника равны 16 см и 12 см. На каком расстоянии от плоскости треугольника лежит точка,

удаленная от каждой вершины треугольника на 10 2 см?469. Сторона равностороннего треугольника равна 6 см. На ка-

ком расстоянии от плоскости треугольника расположена точка, удалённая на 9 см от:

1) сторон треугольника;

2*) каждой из прямых, содержащих стороны треугольника?

470°. Если из двух точек, находящихся на различных расстояни- ях от плоскости, провести к этой плоскости равные наклон- ные, то большей будет проекция наклонной, проведенной из более близкой к плоскости точки. Докажите это.

471. Если из точкиА, находящейся вне плоскостиα , опустить перпендикуляр на эту плоскость, а из его основания провес- ти перпендикуляр к прямойВС , лежащей в плоскостиα , то плоскость, проходящая через эти перпендикуляры, будет перпендикулярна прямойВС. Докажите это.

472*. Плиту прямоугольной формы подняли краном так, что три её вершины удалены от поверхности земли, соответственно, на 2 м, 3 м и 4 м. На каком расстоянии от земли находится четвертая вершина?

473*. ТочкаА удалена от сторон угла, равного 60°, на 20 см и 7 см, а от его вершины - на 25 см. Найдите расстояние от точкиА до плоскости угла.

474*. Точка, лежащая вне плоскости прямого угла, находится на расстоянии 4 см от каждой из его сторон. Найдите расстоя- ние от точки до вершины угла, если точка удалена от плос-

кости угла на 7 см.

475. Плоскости квадратаАВСD и равностороннего треугольникаАВМ взаимно перпендикулярны,АВ = а. Постройте общий перпендикуляр к прямойАС и к медианеМО треугольника и определите длину этого перпендикуляра.

476. ПустьАВ - общий перпендикуляр к скрещивающимся пря- мыма иb . ТочкиA иС лежат на прямойа , точкиВ иD - на прямойb ;АС = ВD . Докажите, чтоАСВ = ВDС.

Упражнения для повторения

477. В одной полуплоскости, ограниченной прямой АВ , построе-

ны углы: ВАС = 38°,САD = 68°,DАЕ = 85°,ЕАK = 99°.

Определите KАС .

Измерение расстояний в пространстве

478. Один из смежных углов втрое больше разности между ними. Определите их градусную меру.

479. Наблюдатель, находящийся на берегу озера на высоте h над уровнем воды, видит тучку под углом α, а ее отображение - под углом β к горизонту. Найдите высоту тучки над поверх-

ностью озера при α = 53°27", β = 55°42", h = 76,8 м.

Основное определение

Расстоянием между

произвольными фигу-

рами называют длину кратчайшего из отрез- ков, соединяющих точки данных фигур.

Свойства расстояний

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендику- ляра, проведенного из данной точки к данной плоскости.

Расстояние между прямой и параллель- ной ей плоскостью равно длине перпен- дикуляра, проведен- ного из произволь- ной точки прямой к данной плоскости.

Расстояние между па- раллельными плос- костями равно длине перпендикуляра,про- веденного из произ- вольной точки одной плоскости ко второй плоскости.