«Физика - 10 класс»

Что является посредником, осуществляющим взаимодействие зарядов?
Как определить какое из двух полей более сильное? Предложите пути сравнения полей.

Напряжённость электрического поля.

Электрическое поле обнаруживается по силам, действующим на заряд. Можно утверждать, что мы знаем о поле всё, что нам нужно, если будем знать силу, действующую на любой заряд в любой точке поля. Поэтому надо ввести такую характеристику поля, знание которой позволит определить эту силу.

Если поочерёдно помещать в одну и ту же точку поля небольшие заряженные тела и измерять силы, то обнаружится, что сила, действующая на заряд со стороны поля, прямо пропорциональна этому заряду. Действительно, пусть поле создаётся точечным зарядом q 1 . Согласно закону Кулона (14.2) на точечный заряд q действует сила, пропорциональная заряду q. Поэтому отношение силы, действующей на помещаемый в данную точку поля заряд, к этому заряду для каждой точки поля не зависит от заряда и может рассматриваться как характеристика поля.

Отношение силы, действующей на помещаемый в данную точку поля точечный заряд, к этому заряду, называется напряжённостью электрического поля .

Подобно силе, напряжённость поля - векторная величина ; её обозначают буквой :

Отсюда сила, действующая на заряд q со стороны электрического поля, равна:

Q. (14.8)

Направление вектора совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд, и противоположно направлению силы, действующей на отрицательный заряд.

Единица напряжённости в СИ - Н/Кл.

Силовые линии электрического поля.

Электрическое поле не действует на органы чувств. Его мы не видим. Однако мы можем получить некоторое представление о распределении поля, если нарисуем векторы напряжённости поля в нескольких точках пространства (рис. 14.9, а). Картина будет более наглядной, если нарисовать непрерывные линии.

Линии, касательная в каждой точке которых совпадает с вектором напряжённости электрического поля, называют силовыми линиями или линиями напряжённости поля (рис. 14.9, б).

Направление силовых линий позволяет определить направление вектора напряжённости в различных точках поля, а густота (число линий на единицу площади) силовых линий показывает, где напряжённость поля больше. Так, на рисунках 14 10-14.13 густота силовых линий в точках А больше, чем в точках В. Очевидно, что А > B .

Не следует думать, что линии напряжённости существуют в действительности вроде растянутых упругих нитей или шнуров, как предполагал сам Фарадей. Линии напряжённости помогают лишь наглядно представить распределение поля в пространстве. Они не более реальны, чем меридианы и параллели на земном шаре.

Силовые линии можно сделать видимыми. Если продолговатые кристаллики изолятора (например, хинина) хорошо перемешать в вязкой жидкости (например, в касторовом масле) и поместить туда заряженные тела, то вблизи этих тел кристаллики выстроятся в цепочки вдоль линий напряжённости.

На рисунках приведены примеры линий напряжённости: положительно заряженного шарика (см. рис. 14.10), двух разноимённо заряженных шариков (см. рис. 14.11), двух одноимённо заряженных шариков (см. рис. 14.12), двух пластин, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку (см. рис. 14.13). Последний пример особенно важен.

На рисунке 14.13 видно, что в пространстве между пластинами силовые линии в основном параллельны и находятся на равных расстояниях друг от друга: электрическое поле здесь одинаково во всех точках.

Электрическое поле, напряжённость которого одинакова во всех точках, называется однородным .

В ограниченной области пространства электрическое поле можно считать приближённо однородным, если напряжённость поля внутри этой области меняется незначительно.

Силовые линии электрического поля не замкнуты, они начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных. Силовые линии непрерывны и не пересекаются, так как пересечение означало бы отсутствие определённого направления напряжённости электрического поля в данной точке.

В пространстве, окружающем заряд, который является источником, прямо пропорционально количеству этого заряда и обратно квадрату расстояние от этого заряда. Направление электрического поля согласно принятым правилам всегда от положительного заряда в сторону отрицательного заряда. Это можно представить как если поместить пробный заряд в область пространства электрического поля источника и этот пробный заряд будет либо отталкиваться, либо притягиваться (в зависимости от знака заряда). Электрическое поле характеризуется напряженностью , которое являясь векторной величиной может быть представлено графически в виде стрелки имеющей длину и направление. В любом месте направление стрелки указывает направление напряженности электрического поля E , или просто - направление поля, а длина стрелки пропорциональна численной величине напряженности электрического поля в этом месте. Чем дальше область пространства от источника поля (заряда Q ), тем меньше длина вектора напряженности. Причем длина вектора уменьшается при удалении в n раз от некоего места в n 2 раз, то есть обратно пропорционально квадрату.

Более полезным средством визуального представления векторного характера электрического поля является использование такого понятия как , или просто - силовые линии. Вместо того, чтобы изображать бесчисленные векторных стрелки в пространстве, окружающие заряд-источник, оказалось полезным объединить их в линии, где сами вектора являются касательными к точкам на таких линиях.

В итоге с успехом для представления векторной картины электрического поля применяют силовые линии электрического поля , которые выходят из зарядов положительного знака и заходят в заряды отрицательного знака, а также простираются до бесконечности в пространстве. Такое представление позволяет увидеть умом невидимое человеческому глазу электрическое поле . Впрочем, такое представление удобно также и для гравитационных сил и любых других бесконтактных дальнодействующих взаимодействий.

Модель электрических силовых линий включает в себя бесконечное их количество, но слишком высокая плотность изображения силовых линий снижает возможность чтения узоров поля, поэтому их число ограничивается удобочитаемостью.

Правила рисования силовых линий электрического поля

Есть множество правил составления таких моделей электрических силовых линий. Все эти правила созданы для того, чтобы сообщить наибольшую информативность при визуализации (рисовании) электрического поля . Один из способов - это изображение силовых линий. Один из самых распространенных способов - это окружить более заряженные объекты большим количеством линий, то есть большей плотностью линий. Объекты с большим зарядом создают более сильные электрические поля и потому плотность (густота) линий вокруг них больше. Чем ближе к заряду источнику, тем выше плотность силовых линий, и чем больше величина заряда, тем гуще вокруг него линии.

Второе правило для рисования линий электрического поля включает в себя изображение линий другого типа, таких, которые пересекают первые силовые линии перпендикулярно . Такой тип линий именуется эквипотенциальными линиями , а при объемном представлении следует говорить об эквипотенциальных поверхностях. Этот тип линий образует замкнутые контуры и каждая точка на такой эквипотенциальной линии имеет одинаковое значение потенциала поля. Когда какая либо заряженная частица пересекает такие перпендикулярные силовым линиям линии (поверхности), то говорят о совершении зарядом работы. Если же заряд будет двигаться по эквипотенциальным линиям (поверхностям), то хотя он и движется, но работы при этом никакой не совершается. Заряженная частица, оказавшись в электрическом поле другого заряда начинает двигаться, но в статическом электричестве рассматриваются только неподвижные заряды. Движение зарядов называется электрическим током, при этом носителем заряда может совершатся работа.

Важно помнить, что силовые линии электрического поля не пересекаются, а линии другого типа - эквипотенциальные, образуют замкнутые контуры. В том месте, где имеет место пересечение линий двух типов, касательные к этим линиям взаимно перпендикулярны. Таким образом получается нечто вроде искривленной координатной сетки, или решетки, ячейки которой, а также точки пересечения линий разных типов характеризуют электрическое поле .

Пунктирные линии - эквипотенциальные. Линии со стрелками - силовые линии электрического поля

Электрическое поле состоящее из двух и более зарядов

Для уединенных отдельно взятых зарядов силовые линии электрического поля представляют собой радиальные лучи выходящие из зарядов и идущие в бесконечность. Какова будет конфигурация силовых линий для двух и более зарядов? Для выполнения такого узора необходимо помнить, что мы имеем дело с векторным полем, то есть с векторами напряженности электрического поля . Чтобы изобразить рисунок поля, нам необходимо выполнить сложение векторов напряженности от двух и более зарядов. Результирующие векторы будут представлять собой суммарное поле нескольких зарядов. Как в этом случае можно построить силовые линии? Важно помнить, что каждая точка на силовой линии - это единственная точка соприкосновения с вектором напряженности электрического поля. Это следует из определения касательной в геометрии. Если от начала каждого вектора построить перпендикуляр в виде длинных линий, тогда взаимное пересечение многих таких линий изобразит ту самую искомую силовую линию.

Для более точного математического алгебраического изображения силовых линий необходимо составить уравнения силовых линий, а вектора в этом случае будут представлять первые производные, линии первого порядка, которые и есть касательные. Такая задача порой является чрезвычайно сложной и требует компьютерных вычислений.

В первую очередь важно помнить, что электрическое поле от многих зарядов представлено суммой векторов напряженности от каждого источника заряда. Это основа для выполнения построения силовых линий для того чтобы визуализировать электрическое поле.

Каждый внесенный в электрическое поле заряд приводит к изменению, пусть даже незначительному, узора силовых линий. Такие изображения бывают порой очень привлекательными.

Силовые линии электрического поля как способ помочь уму увидеть реальность

Понятие электрического поля возникло когда ученые пытались объяснить дальнодействие, которое происходит между заряженными объектами. Представление об электрическом поле было впервые введено физиком 19-го века Майклом Фарадеем . Это был результат восприятия Майклом Фарадеем невидимой реальности в виде картины силовых линий характеризующих дальнодействие. Фарадей не стал размышлять в рамках одного заряда, а пошел дальше и расширил границы ума. Он предположил, что заряженный объект (или масса в случае с гравитацией) влияют на пространство и ввел понятие поля такого влияния. Рассматривая такие поля он смог объяснить поведение зарядов и тем самым раскрыл многие секреты электричества.

Различают поля скалярные и векторные (в нашем случае векторным полем будет электрическое). Соответственно, они моделируются скалярными или векторными функциями координат, а также временем.

Скалярное поле описывается функцией вида φ. Такие поля можно наглядно отобразить с помощью поверхностей одинакового уровня: φ (x, y, z) = c, c = const.

Определим вектор, который направлен в сторону максимального роста функции φ.

Абсолютное значение этого вектора определяет скорость изменения функции φ.

Очевидно, что скалярное поле порождает векторное поле.

Такое электрическое поле называют потенциальным, а функция φ называется потенциалом. Поверхности одинакового уровня называют эквипотенциальными поверхностями. Для примера рассмотрим электрическое поле.

Для наглядного отображения полей строят так называемые силовые линии электрического поля. Еще их называют векторными линиями. Это линии, касательная к которым в точке указывает направление электрического поля. Количество линий, которые проходят через единичную поверхность, пропорционально абсолютному значению вектора.

Введем понятие векторного дифференциала вдоль некоторой линии l. Этот вектор направлен по касательной к линии l и по абсолютному значению равен дифференциалу dl.

Пусть задано некоторое электрическое поле, которое нужно представить как силовые линии поля. Другими словами, определим коэффициент растяжения (сжатия) k вектора, чтобы он совпадал с дифференциалом. Приравнивая компоненты дифференциала и вектора, получим систему уравнений. После интегрирования можно построить уравнение силовых линий.

В векторном анализе есть операции, которые дают информацию о том, какие силовые линии электрического поля имеют место в конкретном случае. Введем понятие «поток вектора» на поверхности S. Формальное определение потока Ф имеет следующий вид: величина, рассматривается как произведение обычного дифференциала ds на орт нормали к поверхности s. Орт выбирается так, чтобы он определял внешнюю нормаль поверхности.

Можно провести аналогию между понятием потока поля и потока вещества: вещество за единицу времени проходит через поверхность, которая в свою очередь перпендикулярна направлению потока поля. Если силовые линии выходят из поверхности S наружу, тогда поток является положительным, а если не выходят - отрицательным. В общем случае поток можно оценить числом силовых линий, что выходят из поверхности. С другой стороны, величина потока пропорциональна числу силовых линий, пронизывающих элемент поверхности.

Дивергенция векторной функции рассчитывается в точке, околышем которой является объем ΔV. S - поверхность, охватывающая объем ΔV. Операция дивергенции позволяет характеризовать точки пространства на наличие в нем источников поля. При сжатии поверхности S в точку P силовые линии электрического поля, пронизывающие поверхность, останутся в том же количестве. Если точка пространства не является источником поля (утечкой или стоком), то при сжатии поверхности в эту точку сумма силовых линий, начиная с некоторого момента, равняется нулю (количество линий, входящих в поверхность S равно количеству линий, исходящих из этой поверхности).

Интеграл по замкнутому контуру L в определении операции ротора называется циркуляцией электричества по контуру L. Операция ротора характеризует поле в точке пространства. Направление ротора определяет величину замкнутого потока поля вокруг данной точки (ротор характеризирует вихрь поля) и его направление. Основываясь на определение ротора, путем несложных преобразований можно рассчитать проекции вектора электричества в декартовой системе координат, а также силовые линии электрического поля.

Электри́ческий заря́д (коли́чество электри́чества ) - это физическая скалярная величина, определяющая способность тел быть источником электромагнитных полей и принимать участие в электромагнитном взаимодействии. Впервые электрический заряд был введён в законе Кулона в 1785 году.

Единица измерения заряда в Международной системе единиц (СИ) - кулон - электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А за время 1 с. Заряд в один кулон очень велик. Если бы два носителя заряда (q 1 = q 2 = 1 Кл) расположили в вакууме на расстоянии 1 м, то они взаимодействовали бы с силой 9·10 9 H, то есть с силой, с которой гравитация Земли притягивала бы предмет с массой порядка 1 миллиона тонн. Электрический заряд замкнутой системы сохраняется во времени и квантуется - изменяется порциями, кратными элементарному электрическому заряду, то есть, другими словами, алгебраическая сумма электрических зарядов тел или частиц, образующих электрически изолированную систему, не изменяется при любых процессах, происходящих в этой системе.

Взаимодействие зарядов Самое простое и повседневное явление, в котором обнаруживается факт существования в природе электрических зарядов, - этоэлектризация тел при соприкосновении . Способность электрических зарядов как к взаимному притяжению, так и к взаимному отталкиванию объясняется существованием двух различных видов зарядов . Один вид электрического заряда называют положительным, а другой - отрицательным. Разноимённо заряженные тела притягиваются, а одноимённо заряженные - отталкиваются друг от друга.

При соприкосновении двух электрически нейтральных тел в результате трения заряды переходят от одного тела к другому. В каждом из них нарушается равенство суммы положительных и отрицательных зарядов, и тела заряжаются разноимённо.

При электризации тела через влияние в нём нарушается равномерное распределение зарядов. Они перераспределяются так, что в одной части тела возникает избыток положительных зарядов, а в другой - отрицательных. Если две эти части разъединить, то они будут заряжены разноимённо.

Закон сохранения эл. Заряда В рассматриваемой системе могут образовываться новые электрически заряженные частицы, например, электроны - вследствие явления ионизации атомов или молекул, ионы - за счёт явления электролитической диссоциации и др. Однако, если система электрически изолирована, то алгебраическая сумма зарядов всех частиц, в том числе и вновь появившихся в такой системе, всегда равна нулю.

Закон сохранения электрического заряда - один из основополагающих законов физики. Он был впервые экспериментально подтверждён в 1843 году английским учёным Майклом Фарадеем и считается на настоящее время одним из фундаментальных законов сохранения в физике (подобно законам сохранения импульса иэнергии). Всё более чувствительные экспериментальные проверки закона сохранения заряда, продолжающиеся и поныне, пока не выявили отклонений от этого закона.

. Электрический заряд и его дискретность . Закон сохранения заряда. Закон сохранения электрического заряда гласит, что алгебраическая сумма зарядов электрически замкнутой системы сохраняется. q, Q, e – обозначения электрического заряда. Единицы заряда в СИ [q]=Кл (Кулон). 1мКл = 10-3 Кл; 1 мкКл = 10-6 Кл; 1нКл = 10-9 Кл; е = 1,6∙10-19 Кл – элементарный заряд. Элементарный заряд, е – минимальный заряд, встречающийся в природе. Электрон: qe = - e - заряд электрона; m = 9,1∙10-31 кг – масса электрона и позитрона. Позитрон, протон: qp = + e – заряд позитрона и протона. Любое заряженное тело содержит целое число элементарных зарядов: q = ± Ne; (1) Формула (1) выражает принцип дискретности электрического заряда, где N = 1,2,3…- целое положительное число. Закон сохранения электрического заряда: заряд электрически изолированной системы с течением времени не изменяется: q = const. Закон Кулона – один из основных законов электростатики, определяющий силу взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами.

Закон установлен в 1785 году Ш.Кулоном с помощью изобретенных им крутильных весов. Кулон интересовался не столько электричеством, сколько изготовлением, приборов. Изобретя чрезвычайно чувствительный прибор для измерения силы – крутильные весы он искал возможности его применения.

Для подвеса Кулон использовал шелковую нить длиной 10 см, которая поворачивалась на 1° при силе 3*10 -9 гс. С помощью этого прибора он и установил, что сила взаимодействия между двумя электрическими зарядами и между двумя полюсами магнитов обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами или полюсами.

Два точечных заряда взаимодействуют друг с другом в вакууме с силой F , величина которой пропорциональна произведению зарядов е 1 и е 2 и обратно пропорциональна квадрату рассторасстояния r между ними:

Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора системы единиц измерений (в системе единиц Гаусса k = 1, в СИ

ε 0 – электрическая постоянная).

Сила F направлена по прямой, соединяющей заряды, и соответствует притяжению для разноименных зарядов и отталкиванию для одноименных.

Если взаимодействующие заряды находятся в однородном диэлектрике, с диэлектрической проницаемостью ε , то сила взаимодействия уменьшается в ε раз:

Законом Кулона называется также закон, определяющий силу взаимодействия двух магнитных полюсов:

где m 1 и m 2 – магнитные заряды,

μ – магнитная проницаемость среды,

f – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.

Электрическое поле – отдельная форма проявления (наряду с магнитным полем) электромагнитного поля.

В процессе развития физики существовало два подхода к объяснению причин взаимодействия электрических зарядов.

По первой версии, силовое действие между отдельными заряженными телами объяснялось присутствием промежуточных звеньев, передающих это действие, т.е. наличием окружающей тела среды, в которой действие передается от точки к точке с конечной скоростью. Эта теория получила название теории близкодействия .

Согласно второй версии, действие передается мгновенно на любые расстояния, при этом промежуточная среда может отсутствовать вовсе. Один заряд мгновенно «ощущает» присутствие другого, при этом никаких изменений в окружающем пространстве не происходит. Эту теорию назвали теорией дальнодействия .

Понятие «электрическое поле» было введено М. Фарадеем в 30-х годах XIX века.

Согласно Фарадею, каждый покоящийся заряд создает в окружающем пространстве электрическое поле. Поле одного заряда действует на другой заряд и на оборот (концепция близкодействия).

Электрическое поле, создаваемое неподвижными зарядами и не изменяющееся со временем, называется электростатическим . Электростатическое поле характеризует взаимодействие неподвижных зарядов.

Напряжённость электри́ческого по́ля - векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке и численно равная отношению силы действующей на неподвижный точечныйзаряд, помещённый в данную точку поля, к величине этого заряда :

Из этого определения видно, почему напряжённость электрического поля иногда называется силовой характеристикой электрического поля (действительно, всё отличие от вектора силы, действующей на заряженную частицу, только в постоянном множителе).

В каждой точке пространства в данный момент времени существует своё значение вектора (вообще говоря - разное в разных точках пространства), таким образом, -- этовекторное поле. Формально это выражается в записи

представляющей напряжённость электрического поля как функцию пространственных координат (и времени, так как может меняться со временем). Это поле вместе с полемвектора магнитной индукции представляет собой электромагнитное поле , и законы, которым оно подчиняется, есть предмет электродинамики.

Напряжённость электрического поля в Международной системе единиц (СИ) измеряется в вольтах на метр [В/м] или в ньютонах на кулон [Н/Кл].

Сила, с которой действует электромагнитное поле на заряженные частицы [

Полная сила, с которой электромагнитное поле (включающее вообще говоря электрическую и магнитную составляющие) действует на заряженную частицу, выражается формулой силы Лоренца:

где q - электрический заряд частицы, - её скорость,- вектормагнитной индукции (основная характеристика магнитного поля), косым крестом обозначеновекторное произведение. Формула приведена в единицах СИ.

Заряды, создающие электростатическое поле, можно распределить в пространстве либо дискертно, либо непрерывно. В первом случае напряженность поля: n E = Σ Ei₃ i=t, где Ei – напряженность в определенной точке пространства поля, создаваемого одним i-м зарядом системы, а n – суммарное число дискертных зарядов, которые входят в состав системы. Пример решения задачи, в основу которого положен принцип суперпозиции электрических полей. Так для определения напряженности электростатического поля, которое создается в вакууме неподвижными точечными зарядами q₁, q₂, …, qn, используем формулу: n E = (1/4πε₀) Σ (qi/r³i)ri i=t, где ri – радиус-вектор, проведенный из точечного заряда qi в рассматриваемую точку поля. Приведем еще один пример. Определение напряженности электростатического поля, которое создается в вакууме электрическим диполем. Электрическое диполе - система из двух одинаковых по абсолютной величине и, при этом, противоположных по знаку зарядов q>0 и –q, расстояние I между которыми относительно мало в сравнении с расстоянием рассматриваемых точек. Плечом диполя будет называться вектор l, который направлен по оси диполя к положительному заряду от отрицательного и численно равен расстоянию I между ними. Вектор pₑ = ql - электрический момент диполя.

Напряженность Е поля диполя в любой точке: Е = Е₊ + Е₋, где Е₊ и Е₋ являются напряженностями полей электрических зарядов q и –q. Таким образом, в точке А, которая расположена на оси диполя, напряженность поля диполя в вакууме будет равна E = (1/4πε₀)(2pₑ/r³) В точке В, которая расположена на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины: E = (1/4πε₀)(pₑ/r³) В произвольной точке М, достаточно удаленной от диполя (r≥l), модуль напряженности его поля равен E = (1/4πε₀)(pₑ/r³)√3cosϑ + 1 Кроме того, принцип суперпозиции электрических полей состоит из двух утверждений: Кулоновская сила взаимодействия двух зарядов не зависит от присутствия других заряженных тел. Предположим, что заряд q взаимодействует с системой зарядов q1, q2, . . . , qn. Если каждый из зарядов системы действует на заряд q с силой F₁, F₂, …, Fn соответственно, то результирующая сила F, приложенная к заряду q со стороны данной системы, равна векторной сумме отдельных сил: F = F₁ + F₂ + … + Fn. Таким образом, принцип суперпозиции электрических полей позволяет прийти к одному важному утверждению.

Силовые линии электрического поля

Электрическое поле изображают с помощью силовых линий.

Силовые линии указывают направление силы, действующей на положительный заряд в данной точке поля.

Свойства силовых линий электрического поля

Силовые линии электрического поля имеют начало и конец. Они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.

Силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны поверхности проводника.

Распределение силовых линий электрического поля определяет характер поля. Поле может быть радиальным (если силовые линии выходят из одной точки или сходятся в одной точке), однородным (если силовые линии параллельны) и неоднородным (если силовые линии не параллельны).

Плотность заряда - это количество заряда, приходящееся на единицу длины, площади или объёма, таким образом определяются линейная, поверхностная и объемная плотности заряда, которые измеряются в системе СИ: в Кулонах на метр (Кл/м), в Кулонах на квадратный метр (Кл/м²) и в Кулонах на кубический метр (Кл/м³), соответственно. В отличие от плотности вещества, плотность заряда может иметь как положительные, так и отрицательные значения, это связано с тем, что существуют положительные и отрицательные заряды.

Линейная, поверхностная и объемная плотности заряда, обозначаются обычно функциями ,и, соответственно, где- эторадиус-вектор. Зная эти функции мы можем определить полный заряд:

§5 Поток вектора напряженности

Определим поток вектора через произвольную поверхность dS,- нормаль к поверхности.α - угол между нормалью и силовой линией вектора. Можно ввести вектор площади.ПОТОКОМ ВЕКТОРА называется скалярная величина Ф Е равная скалярному произведению вектора напряженности на вектор площади

Для однородного поля

Для неоднородного поля

где - проекцияна,- проекцияна.

В случае криволинейной поверхности S ее нужно разбить на элементарные поверхности dS , рассчитать поток через элементарную поверхность, а общий поток будет равен сумме или в пределе интегралу от элементарных потоков

где - интеграл по замкнутой поверхности S (например, по сфере, цилиндру, кубу и т.д.)

Поток вектора является алгебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля, но и от выбора направления. Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т.е. нормаль, направленная наружу области, охватываемой поверхностью.

Для однородного поля поток через замкнутую поверхность равен нуля. В случае неоднородного поля

3. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда в любой точке сферы будет одинакова.

Заключим нашу сферическую поверхность в симметричную поверхность S с радиусом r>R. Поток вектора напряженности через поверхность S будет равен

По теореме Гаусса

Следовательно

Сравнивая это соотношение с формулой для напряженности поля точечного заряда, можно прийти к выводу, что напряженность поля вне заряженной сферы такова, как если бы весь заряд сферы был сосредоточен в ее центре.

2. Электростатическое поле шара.

Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью.

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда , расположенного в центре шара. Тогда вне шара

а на его поверхности (r=R)

Теорема Остроградского–Гаусса, которую мы докажем и обсудим позже, устанавливает связь между электрическими зарядами и электрическим полем. Она представляет собой более общую и более изящную формулировку закона Кулона.

В принципе, напряженность электростатического поля, создаваемого данным распределением зарядов, всегда можно вычислить с помощью закона Кулона. Полное электрическое поле в любой точке является векторной суммой (интегральным) вкладом всех зарядов, т.е.

Однако, за исключением самых простых случаев, вычислить эту сумму или интеграл крайне сложно.

Здесь приходит на помощь теорема Остроградского-Гаусса, с помощью которой гораздо проще удается рассчитать напряженность электрического поля, создаваемая данным распределением зарядов.

Основная ценность теоремы Остроградского-Гаусса состоит в том, что она позволяет глубже понять природу электростатического поля и устанавливает более общую связь между зарядом и полем .

Но прежде, чем переходить к теореме Остроградского-Гаусса необходимо ввести понятия: силовые линии электростатического поля и поток вектора напряженности электростатического поля .

Для того чтобы описать электрическое поле, нужно задать вектор напряженности в каждой точке поля. Это можно сделать аналитически или графически. Для этого пользуются силовыми линиями – это линии, касательная к которым в любой точке поля совпадает с направлением вектора напряженности (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Силовой линии приписывают определенное направление – от положительного заряда к отрицательному, или в бесконечность.

Рассмотрим случай однородного электрического поля .

Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине и направлению , т.е. Однородное электростатическое поле изображается параллельными силовыми линиями на равном расстоянии друг от друга (такое поле существует, например, между пластинами конденсатора) (рис. 2.2).

В случае точечного заряда, линии напряженности исходят из положительного заряда и уходят в бесконечность; и из бесконечности входят в отрицательный заряд. Т.к. то и густота силовых линий обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда. Т.к. площадь поверхности сферы, через которую проходят эти линии сама возрастает пропорционально квадрату расстояния, то общее число линий остается постоянным на любом расстоянии от заряда.

Для системы зарядов, как видим, силовые линии направлены от положительного заряда к отрицательному (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Из рисунка 2.3 видно, так же, что густота силовых линий может служить показателем величины .

Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору напряженности пересекало такое их число, которое равно модулю вектора напряженности , т.е.