Вероятность что неприятность. Решение

Ответ: 0,7157

4. номер не делится на 5

Решение: P(A) = m/n; m=1/

Оно равно 90 и вычтем из этих чисел те которые делятся на 5 (10,15,20,25…90,95). Их количество равно 18 => n=90-18=72

Ответ: 1/72

Решение: P(A)=m/n

а) P(A)=6/36 =1/6

Решение: C m n = n! / m!(n-m)!

m = C 3 7 = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

б) вытащить 3 красных из 7 можно C 3 7 способами, и 3 черных из 5 =>

С 3 5 способами.

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Ответ:

Решение:

Ответ: 0,3.

Решение:

A – выход из лабиринта.

P(A/H3) =0,2 –из 3 лабиринта

P(A/H4) = 0,1 –из 4 лабиринта

Ответ: 1/3; 2/5

10.

11. .

Решение:

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

13.

Решение:

Пусть B ни одного попадания

P(C)= 1 - 0,216 = 0,784

Ответ: 0,784

Решение:

H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3

Ответ: 15/48 = 0,3125

16.

Решение:

17.

Решение:

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

Решение:

Ответ: P(A) = 0,925

Студент в поисках книги посещает 3 библиотеки. Вероятность того, что они есть в библиотеке равны 0,4; 0,5; 0,1; а того, что они выданы или нет – равновероятные события. Какова вероятность того, что нужна книга найдена.

Решение: A-книга есть в библиотеке, B – книга не выдана.

P(B) = P(B -) = ½

P(A1) = 0,4 P(A2) = 0,5 P(A3) = 0,1

Определим вероятность того, что нужная книга найдена:

P = P(A1)* P(B) + P(A2)*P(B) + P(A3)*P(B) = P(B)(P(A1) + P(A2) + P(A3) = 1/2 * (0,4 + 0,5 +0,1) = 1/2 * 1 = ½

Ответ: 1/2

23. Найти вероятности того, что дни рождения 12 человек прийдутся на разные месяцы года.

Решение: P(A)= m/n

n = --- A 12 = 12 12

P = 12! / 12 12 = 11! / 12 11 = (11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) / (12*12*12*12*12 7) = (11*5*7*5*1) / 12 7 = 7*8*25 / 12 7 = 1925 / 12 7

Ответ: 1925/12 7

24. В урне имеется 10 белых, 5 черных и 15 красных шаров. Извлекается последовательно 2 шара. Рассматриваются 2 события А - хотя бы один шар из двух вынутых красный, В - хотя бы один вынутый шар белый. Найти вероятность события С = А + В.

25. Наудачу набранный номер состоит из 5 цифр. Определить вероятность того, что все цифры в нем различны.

26. В магазин трикотажных изделий поступили носки, 60% которых получено от одной фабрики, 25% - другой и 15% - третьей. Найти вероятность того, что купленные покупателем носки изготовлены на второй или третьей фабрике.

Решение. A1-от 1 фабрики, P(A1) = 0,6;

А2 –от 2 фабрики; P(A2) = 0,25

A3 – от 3 фабрики; P(A3) = 0,15

P(A2+A3) = 0,25 + 0,15 = 0,4

Ответ: 0,4

Пассажир за получением билета может обратиться в одну из касс. Вероятность обращения в 1ую кассу составляет 0,4; во 2ую 0,35; и 3ью 0,25. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут проданы, равна для 1ой кассы 0,3; для 2ой 0,4, для 3ей 0,6. Найти вероятность того, что пассажир купит билет.

P(A) –вероятность не купить билет.

P(A) =0,4*0,3 + 0,35*0,4 + 0,25*0,6 =

0,12 + 0,14 + 0,15 = 0,41

P(A1) – вероятность купить билет = 1-P(A) = 1 – 0,41 = 0,59.

Ответ: P(A1) = 0,59.

28. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что: а) хотя бы на одной появится 2 очка, б) на них выпадет по одинаковому числу очков.

Решение:

29. Из 9 жетонов, занумерованных разными однозначными цифрами, выбирается 3. Найти вероятность того, что последовательная запись их номеров покажет возрастание значений цифр.

Решение:

30. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,1. Какова вероятность того, что выиграет хотя бы один билет из трех купленных?

31. Из полной колоды карт(52 листа) вынимают сразу 4 карты. Найти вероятность того, что все эти карты будут разным мастей.

Решение: Вероятность вытащить конкретную масть равна C 1 13

C 1 13 = 13(количество возможных способов).

Возможность вытащить карты из 52 = C 4 52 = 52! / 4!* 48! = 48!*49*50*51* 52 / 2*3*4*48! = 270725
P(A) = C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 / C 4 52 = 28561 /270725 = 0,1054982

Ответ: P(A) = 0,1054982.

32. Имеется 3 урны. В первой из них 5 белых и 6 черных шаров, во второй 4 белых и 3 черных шара, в третьей 5 белых и 3 черных шара. Некто наугад выбирает одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из второй урны.

Решение:

Ответ: 0,9125

52. Какова вероятность получения 1 туза, туза и короля при сдаче 6 карт из колоды в 52 карты?

Машин были доставлены на станцию технического обслуживания. При этом 5 из них имели неисправность ходовой части, 8 имели неисправности в моторе, а 10 были полностью исправны. Какова вероятность того, что машина с неисправной ходовой частью имеет также неисправный мотор.

Решение:

11111111 8 с неисправным мотором

5 с неипр ходов частью 11111 1111111111 10 исправны

11111111111111111111 всего 20

3 с неиспр мотор и ход часть111

P = m/n m-кол-во машин с неисправной ходовой частью и неисправным мотором; m=3

n – кол-во машин с неисправной ходовой частью; n=5

P = 3/5 – вероятность, что машина с неисправной ходовой частью имеет неисправный мотор.

Ответ: 3/5

Ответ: 21/625; 219/625; 247/625

67. В первой бригаде из 8 тракторов 2 требуют ремонта, во второй из 6-1.Из каждой бригады наудачу выбирают по одному трактору. Определить вероятность того, что а)оба исправны, б)хотя бы один исправен, в) только один исправен

a)P(A)=P(A1*A2) =3/4*5/6=5/8

б)P(A) = 1-P(--- A)=1-2/8*1/6=1-1/24=23/24

в) P(A)=3/4*1/6+5/6*1/4=1/8+5/24=8/24=1/3

68. В организации работают 12 мужчин и 8 женщин. Для них выделено 3 премии. Определить вероятность того, что премию получат: а) двое мужчин и одна женщина; б) только женщины; в) хотя бы один мужчина.

Решение: а) A-1 мужчина

B- 2 мужчины

С- 1 женщина

P(A) = 12/20; P(B/A) = 11/19; P(C/AB) = 8/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)*P(C/AB) = 1056/6840 = 0,154

б) A-1 женщина

B-2 женщины

С-3 женщины

P(A) = 8/20 ; P(B/A) = 7/19; P(C/AB) = 6/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)* P(C/AB) = 336/6840 = 0,049

в) A-хотя бы 1 мужчина

A все женщины

P(A)=1- P(--- A)

P(--- A) = 8/20 * 7/19 * 6/18 = 0,049

69. Из 25 работников, предприятия 10 имеют высшее образование: Определить вероятность того, что из случайно отобранных трех человек высшее образование имеют; а) три человека; б) один человек; в) хотя бы один человек.

Решение:

70. На карточках написаны буквы «К», «А», «Р», «Т», «О», «Ч», «К», «А». Карточки перемешивают и кладут в порядке их вытаскивания. Какова вероятность того, что получится: а) слово «КАРТОЧКА»; б) слово «КАРТА»; в) слово «ТОК».

71. В коробке из 25 изделий 15 повышенного качества. Наудачу извлекается 3 изделия. Определить вероятность того, что: а) одно из них повышенного качества; б) все три изделия повышенного качества; в) хотя бы одно изделие повышенного качества.

Решение:

72. Бросается три игральных кости. Какова вероятность того, что: а) хотя бы на одной из них появится 5 очков; б) на всех выпадут нечетные цифры; в) на всех костях выпадут одинаковые цифры

73. В первом ящике из 6 шаров 4 красных и 2 черных, во втором ящике из 7 шаров 2 красных и 5 черных. Из первого ящика во второй, переложили один шар, затем из второго в первый переложили один шар. Найти вероятность того, что шар извлеченный после этого из первого ящика - черный.

74. Два предприятия выпускают однотипные изделия. Причем второе выпускает 55% изделий обоих предприятий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием 0,1, вторым 0,15. а)Определить вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется не стандартным, б) Взятое изделие оказалось нестандартным. Какова вероятность, что оно выпущено на втором предприятии.

Решение:

75. Имеется три урны. В первой 3 белых и 2 черных шара, во второй и третьей по 4 белых и 3 черных шара. Из случайно выбранной урны извлекается шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что шар взят из третьей урны?

Решение: P(H1) = 1/3; P(H2) =1/3; P(H3) = 1/3.

P(A) – вероятность вытащить белый шар.

Если выбирается 1ая урна P(A/H1) = 3/5

2ая P(A/H2) = 4/7

3я P(A/H3) = 4/7

P(A) = 1/3 * 3/5 + 1/3 * 4/7 + 1/3 * 4/7 = 12/21

P(H3/A) = (4/7 * 1/3) / (12/21) = 1/3

Ответ: 1/3

76. Семена для посева в хозяйство поступают из трех семеноводческих хозяйств. Причем первое и второе хозяйства присылают по 40 % всех семян. Всхожесть семян из первого хозяйства 90%, второго 85%, третьего 95%. а) Определить вероятность того, что наудачу "взятое семя не взойдет, б) Наудачу взятое семя не взошло. Какова вероятность, что оно получено от второго хозяйства?

77. Программа экзамена состоит из 30 вопросов. Из 20 студентов группы 8 человек выучили все вопросы, 6 человек по 25 вопросов, 5 человек по 20 вопросов, а один человек 10 вопросов. Определить вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на два вопроса билета.

Решение: H1-выбор студента который выучил все, H2 – выбор студента, который выучил 25 вопросов, H3 – выбор студента, который выучил 20 вопросов, H4 – выбор студента, который выучил 10 вопросов.

P(H1) = m/n = 8/20 = 2/5 m-те кто выучил все вопросы, n- все студенты.

P(H2) = 6/20 = 3/10

P(H3) = 5/20 = ¼

P(A/H1) = 1 – Вероятность того, что студент, который выучил всё,ответил на 2 вопроса билета из выученных им 25 вопросов.

P(A/H2) = 25/30 = 5/6 – вероятность того, что студент ответит на 2 вопроса билета из выученных им 25 вопросов.

P(A/H3) = 20/30 = 2/3 – вероятность того, что студент, который выучил 20 вопросов ответит на 2 вопроса билета.

P(A/H4) = 10/30 = 1/3 – вероятность того, что студент, который выучил 10 вопросов, ответит на 2 вопроса билета.

Используя формулу полной вероятности найдем вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на 2 вопроса билета:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) + P(H4) P(A/H4)

P(A) = 2/5*1 + 3/10*5/6 + 1/4*2/3 + 1/20*1/3 = 2/5 + 1/4+ 1/6 + 1/60 = 24/60 +15/60 +10/60 + 1/60 = 50/60 = 5/6

Ответ: 5/6

78. Перед посевом 95% семян обрабатываются специальным раствором. Всхожесть семян после обработки 99%, необработанных 85%. А) Какова вероятность того, что случайно взятое семя взойдет? Б) Случайно взятое семя взошло. Какова вероятность того,что оно выращено из обработанного семени?

Решение : H1-обработанные семена, H2 – необработанные семена, A – семя взошло.

95% + 5% = 100% => P(H1) = 0,95 ; P(H2) = 0,05

P(A/H1) = 0,99 –веротность того,что случайно взятое семя взойдет,если оно обработано.

P(A/H2) = 0,85 – Вероятность того,что случайно взятое семя взойдет, если оно необработанно.

А) по формуле полной вероятности найдем вероятность, что случайно взятое семя взойдет:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P(A/H2)

P(A) = 0,95* 0,99 + 0,05*0,85 = 0,9405 +0,0425 = 0,983

Ответ: 0,983

79. В магазин поступают телевизоры четырех заводов. Вероятность того, что в течение года телевизор не будет иметь неисправность, равна: для первого завода 0,9, для второго 0,8, для третьего 0,8 и для четвертого 0,99. Случайно выбранный телевизор в течение года вышел из - строя. Какова вероятность того, что он изготовлен на первом заводе?

80. Покупатель с равной вероятностью посещает каждый из трех магазинов. Вероятность того, что покупатель купит товар в первом магазине, равна 0,4, втором 0,6 и третьем 0,8. Определить вероятность того, что покупатель купит товар в каком-то магазине. Покупатель купил товар. Найти вероятность того, что он купил его во втором магазине.

Ответ: 0,7157

2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0,75, второго 0,85,
третьего 0,95. Найти вероятность того, что а) откажут два станка, б) все три станка будут работать безотказно,в) хотя бы один станок откажет в работе.

3. Из колоды содержащей 52 карты вынимается наугад 3. Найти вероятность того, что это тройка, семёрка и туз.

4. Найти вероятность того, что абонемент наберет правильный двухзначный номер, если он знает, что данный номер не делится на 5

Решение: P(A) = m/n; m=1/

Посчитаем общее количество двухзначных чисел. Оно равно 90 и вычтем из этих чисел те которые делятся на 5 (10,15,20,25…90,95). Их количество равно 18 => n=90-18=72

Ответ: 1/72

5. Игральная кость подброшена 2 раза: а) Найти вероятность того, что сумма очков на верхних гранях составит 7.б)найти вероятность того, что хотя бы 2 очка появится при одном подбрасывание.

Решение: P(A)=m/n

а) P(A)=6/36 =1/6

б) P(B)=1-5/6*5/6=1-25/36 =11/36

6. В урне имеется 5 черных и 7 красных шаров. Последовательно (без возвращения) извлекается три шара. Найти вероятность того, что а)все три шара будут красными, б)три шара красными или черными.

Решение: C m n = n! / m!(n-m)!

C 3 12 = 220 - вариантов вытащить три шара.

а) Вытащить 3 красных из 7 можно C 3 7 способами.

m = C 3 7 = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

б) вытащить 3 красных из 7 можно C 3 7 способами, и 3 черных из 5 =>

С 3 5 способами.

m = C 3 7 + С 3 5 = 35 + 5! / 3!*2! = 35 + 10 = 45

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Ответ: а) P(A) = 7/44 ; б) P (A2) = 9/44

В группе из 15 человек 6 человек занимаются спортом. Найти вероятность того, что из случайно отобранных 7 человек 5 человек занимаются спортом.

Решение: P(A) = C 5 6 * C 2 9 / C 7 15 = ((6!/(5!*1!))*(9!/(2!*7!)) / (15! / (7!*8!) = (5*36) / (15* 14* 13* 12* 11* 10* 9* 8!) / (1*2*3*4*5*6*7*8) = (5*36*12) / (15*13*11*3) = 4/143 =0,03

Ответ: 0,3.

Мышь может выбрать наугад один из 5 лабиринтов. Известно, что вероятность ее выхода из различных лабиринтов за 3 минута равны 0,5; 0,6; 0,2; 0,1; 0,1. Пусть оказалось, что мышь выбралась из лабиринта за 3 минуты. Какова вероятность того, что она выбрала первый лабиринт? Второй лабиринт?

Решение: Изначально вероятности выбора лабиринта мышью равны:

P(H1) = P(H2) = P(H3) = P(H4) = P(H5) = 1/5 – вероятность выбора 1,2,3,4,5 лабиринт соответственно.

A – выход из лабиринта.

P(A/H1) = 0,5 – Вероятность выхода мыши из 1 лабиринта

P(A/H2) = 0,6 – из 2 лабиринта.

P(A/H3) =0,2 –из 3 лабиринта

P(A/H4) = 0,1 –из 4 лабиринта

P(A/H5) = 0,1 – из 5 лабиринта

По формуле полной вероятности:

P(A) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) +P(H3)P(A/H3) +P(H4)P(A/H4) +P(H5)P(A/H5)

P(A) = 1/5*0,5 + 1/5*0,6 + 1/5*0,2 + 1/5*0,1 +1/5*0,1 = 1/5 (0,5+0,6+0,2+0,1+0,1)=1/5*1,5=1,5*3/2 = 3/10 –вероятность выхода мыши из лабиринта за 3 минуты.

А)Найдем вероятность того,что мышь выбрала первый лабиринт(по формуле Бэйеса):

P(H1/A) = P(H1)P(A/H1) / P(A) = (0,5*1/5)/(3/10) = (1/2*1/5) /(3/10) = 1/10*10/3 = 1/3

Б) Найдем вероятность того,что мышь выбрала второй лабиринт(по формуле Бэйеса)

P(H2/A) = P(H2)P(A/H2) / P(A) = (1/5*0,6) / 3/10 = (1/5*3/5) / 3/10 = 3/25* 10/3 = 10/25 = 2/5

Ответ: 1/3; 2/5

9. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Найти вероятность того, что из 5 билетов выигрышным является один.

10. В сентябре вероятность дождливого дня 0,3. Команда «Статистик» выигрывает в ясный день с вероятностью 0,8, а в дождливый день эта вероятность равна 0,3. Известно, что в сентябре они выиграли некоторую игру.Какова вероятность, что в тот день: а) шел дождь; б) был ясный день.

11. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7, вторым - 0,5, третьим -0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель.

Решение:

В первом ящике содержится 20 деталей, из них 10 стандартных, во втором 30 деталей, из них 25 стандартных, в третьем 10 деталей, из них 8 стандартных. Из случайно взятого ящика наудачу взята одна деталь, которая оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она взята из второго ящика.

Решение: P(H i) = 1/3; P(A/H1)=10/20=1/2; P(A/H2)=25/30=5/6;

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

P(H2/A) = (P(H2)*P(A/H2)) / P(A) = (1/3*5/6) /62/45 = 0,39

13. На каждой из пяти одинаковых карточек написана одна из следующих букв: А, Е, Н, С, Т. Карточки
перемешаны. Определить вероятность того, что из вынутых и положенных в ряд карточек а) можно составить
слово «СТЕНА», б) из трех карточек можно составить слово «НЕТ».

Для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного снаряда. Произведено два залпа из двух орудий. Найти вероятность поражения цели, если вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,46, второго 0,6.

Решение:

Пусть B ни одного попадания

A1 – попадания при 1-ом выстреле.

А2 – попадание при 2-ом выстреле.

P(B) = -- А1 - А2 = 0,54* 0,4 = 0,216

Тогда С - хотя бы одно попадание.

P(C)= 1 - 0,216 = 0,784

Ответ: 0,784

Имеется 3 урны. В первой урне 6 черных и 4 белых, во второй 5 белых и 5 черных, в третьей 7 белых и 3 черных. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар, который оказался белым. Найти вероятность того, что выбрана вторая урна.

Решение:

H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3

P(H/H1) = 4/10; P(H/H2) = 1/2; P(H/H3) = 7/10

P(H) = 1/3*4/10 + 1/3*1/2 + 1/3*1/7 = 16/30

P(H2/H) = (1/2*1/3)/ (8/15) = 1/6* 15/8 = 15/48

Ответ: 15/48 = 0,3125

16. Монета подбрасывается 3 раза. Найти вероятность того, что герб появится: а) все 3 раза, б) только один раз, в)хотя бы один раз

Решение:

17. На отдельных карточках написаны цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все карточки перемешиваются, после чего наугад берут 5 карточек и раскладывают их в ряд. Определить вероятность того, что будет получено число 1 2 0 3 5. (Задачу решить, используя определение вероятности события и теоремы теории вероятностей)

Три известных экономиста одновременно предложили свои теории, которые считались равновероятными. После наблюдения над состоянием экономики оказалось, что вероятность того развития, которое она получила на самом деле в соответствии с первой теорией равна 0,5; со второй – 0,7; с третьей – 0,4. Каким образом это изменят вероятности правильности трех теорий.

Решение:

P(A/H1)=0,5; P(A/H2)=0,7; P(A/H3)=0,4

P(A)=P(H1)*P(A/H1)+…=1/3*0,5+1/3*0,7+

1/3*0,4=1/3(0,5+0,7+0,4)=1,6/3=0,533

P(H1/A)=(1/3*0,5)/(1/3*1,6)=0,5/1,6=0,32.

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

В Магазине продается 4 магнитофона. Вероятность того, что они выдержат гарантийный срок, соответственно равны: 0,91; 0,9; 0,95; 0,94. Найти вероятность того, что взятый найдачу магнитофон выдержит гарантийный срок.

Решение: Вероятность покупки 1магнитофон –1/4 ; 2 – 1/4; 3 – 1/4 ; 4 –1/4.

P(A) = 1/4 * 0,91 + ¼ * 0,9 + ¼ * 0,95 + ¼ * 0,94 = 0,2275 + 0,225 + 0,2375 + 0,235 = 0,925

Ответ: P(A) = 0,925

Что такое вероятность?

Столкнувшись с этим термином первый раз, я бы не понял, что это такое. Поэтому попытаюсь объяснить доступно.

Вероятность - это шанс того, что произойдет нужное нам событие.

Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой двери на выбор.

Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры, а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.

Но каков этот шанс?

Дверей, нужная дверь. Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: . То есть один раз из трех ты точно угадаешь.

Мы хотим узнать, позвонив раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:

Ты позвонил в 1ю дверь
Ты позвонил в 2ю дверь
Ты позвонил в 3ю дверь

А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:

а. За 1ой дверью
б. За 2ой дверью
в. За 3ей дверью

Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком - когда не совпадает.

Как видишь всего возможно вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.

А благоприятных исходов всего . То есть раза из ты угадаешь, позвонив в дверь раз, т.е. .

Это и есть вероятность - отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.

Определение - это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:

Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за - количество благоприятных исходов, а за - общее количество исходов.

Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на:

Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы». Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие - это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.

Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.

Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?

Если ты подумал, что, то это ошибка. Давай разбираться.

У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:

1) Позвонить в 1-ую дверь
2) Позвонить во 2-ую дверь

Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):

а) Друг за 1-ой дверью
б) Друг за 2-ой дверью

Давай снова нарисуем таблицу:

Как видишь, всего есть варианта, из которых - благоприятны. То есть вероятность равна.

А почему не?

Рассмотренная нами ситуация - пример зависимых событий. Первое событие - это первый звонок в дверь, второе событие - это второй звонок в дверь.

А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других? Правильно, .

Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые ? Верно, бывают.

Хрестоматийный пример - бросание монетки.

Бросаем монетку раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел? Правильно - , ведь вариантов всего (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только.
Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же. Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.

И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на раз будет все также. Вариантов всегда, а благоприятных - .

Отличить зависимые события от независимых легко:

Если эксперимент проводится раз (раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.
Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет - независимые.

Давай немного потренируемся определять вероятность.

Пример 1.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел?

Решение:

Рассмотрим все возможные варианты:

Орел-орел
Орел-решка
Решка-орел
Решка-решка

Как видишь, всего варианта. Из них нас устраивает только. То есть вероятность:

Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на.

Ответ:

Пример 2.

В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из конфет - с орехами, с коньяком, с вишней, с карамелью и с нугой.

Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах.

Решение:

Сколько всего возможных исходов? .

То есть, взяв одну конфету, она будет одной из, имеющихся в коробке.

А сколько благоприятных исходов?

Потому что в коробке только конфет с орехами.

Ответ:

Пример 3.

В коробке шаров. из них белые, - черные.

Какова вероятность вытащить белый шар?
Мы добавили в коробку еще черных шаров. Какова теперь вероятность вытащить белый шар?

Решение:

а) В коробке всего шаров. Из них белых.

Вероятность равна:

б) Теперь шаров в коробке стало. А белых осталось столько же - .

Ответ:

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна ().

Допустим, в ящике красных и зеленых шаров. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар?

Вероятность вытащить красный шар

Зеленый шар:

Красный или зеленый шар:

Как видишь, сумма всех возможных событий равна (). Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи.

Пример 4.

В ящике лежит фломастеров: зеленых, красных, синих, желтых, черный.

Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер?

Решение:

Давай посчитаем количество благоприятных исходов.

НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.

Вероятность всех событий. А вероятность событий, которые мы считаем неблагоприятными (когда вытащим красный фломастер) - .

Таким образом, вероятность вытащить НЕ красный фломастер - .

Ответ:

Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Что такое независимые события ты уже знаешь.

А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?

Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку раза, мы два раза увидим орла?

Мы уже считали - .

А если бросаем монетку раза? Какова вероятность увидеть орла раза подряд?

Всего возможных вариантов:

Орел-орел-орел
Орел-орел-решка
Орел-решка-орел
Орел-решка-решка
Решка-орел-орел
Решка-орел-решка
Решка-решка-орел
Решка-решка-решка

Не знаю как ты, но я раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только вариант (первый).

Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.

Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.

Другими словами,

Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.

Вероятность выпадения орла в испытании? . Теперь мы бросаем монетку раз.

Какова вероятность выпадения раз подряд орла?

Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.

Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при бросках подряд, мы поступили бы также.

Вероятность выпадения решка - , орла - .

Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:

Можешь проверить сам, составив таблицу.

Правило сложения вероятностей несовместных событий.

Так стоп! Новое определение.

Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её раза.
Возможные варианты:

Орел-орел-орел
Орел-орел-решка
Орел-решка-орел
Орел-решка-решка
Решка-орел-орел
Решка-орел-решка
Решка-решка-орел
Решка-решка-решка

Так вот несовместные события, это определенная, заданная последовательность событий. - это несовместные события.

Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий то мы складываем вероятности этих событий.

Нужно понять, что выпадение орла или решки - это два независимых события.

Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?

Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно раз, т.е. варианты и, то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.

Всего вариантов, нам подходит.

То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:

Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.

Есть отличное правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:

Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла раз.
Что должно произойти?

Должны выпасть:
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:

Давай рассмотрим несколько примеров.

Пример 5.

В коробке лежит карандашей. красных, зеленых, оранжевых и желтых и черных. Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши?

Решение:

Что должно произойти? Мы должны вытащить (красный ИЛИ зеленый).

Теперь понятно, складываем вероятности этих событий:

Ответ:

Пример 6.

Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков?

Решение.

Как мы можем получить очков?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Вероятность выпадения одной (любой) грани - .

Считаем вероятность:

Ответ:

Тренировка.

Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся.

Задачи:

Возьмем карточную колоду, в которой карты, из них пик, червей, 13 треф и 13 бубен. От до туза каждой масти.

Какова вероятность вытащить трефы подряд (первую вытащенную карту мы кладем обратно в колоду и перемешиваем)?
Какова вероятность вытащить черную карту (пики или трефы)?
Какова вероятность вытащить картинку (вальта, даму, короля или туза)?
Какова вероятность вытащить две картинки подряд (первую вытащенную карту мы убираем из колоды)?
Какова вероятность, взяв две карты, собрать комбинацию - (валет, дама или король) и туз Последовательность, в которой будут вытащены карты, не имеет значения.

Ответы:

В колоде карты каждого достоинства, значит:
События зависимы, так как после первой вытащенной карты количество карт в колоде уменьшилось (как и количество «картинок»). Всего вальтов, дам, королей и тузов в колоде изначально, а значит вероятность первой картой вытащить «картинку»:
Поскольку мы убираем из колоды первую карту, то значит в колоде осталось уже карта, из них картинок. Вероятность второй картой вытащить картинку:
Поскольку нас интересует ситуация, когда мы достаем из колоды: «картинку» И «картинку», то нужно перемножать вероятности:
Ответ:
После первой вытащенной карты, количество карт в колоде уменьшится.Таким образом, нам подходит два варианта:
1) Первой картой вытаскиваем Туза, второй - валета, даму или короля
2) Первой картой вытаскиваем валета, даму или короля, второй - туза.Т.е. (туз и (валет или дама или король)) или ((валет или дама или король) и туз). Не забываем про уменьшение количества карт в колоде!

Если ты смог сам решить все задачи, то ты большой молодец! Теперь задачи на теорию вероятностей в ЕГЭ ты будешь щелкать как орешки!

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от до скольки? До.

Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало или. И нам выпадает.

В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие (не путай с благополучным).

Если бы выпало, событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.

А сколько неблагоприятных? Раз всего возможных событий, значит, неблагоприятных из них события (это если выпадет или).

Определение:

Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий . То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.

Обозначают вероятность латинской буквой (видимо, от английского слова probability - вероятность).

Принято измерять вероятность в процентах (см. темы и ) . Для этого значение вероятности нужно умножать на. В примере с игральной костью вероятность.

А в процентах: .

Примеры (реши сам):

С какой вероятностью при бросании монетки выпадет орел? А с какой вероятностью выпадет решка?
С какой вероятностью при бросании игральной кости выпадет четное число? А с какой - нечетное?
В ящике простых, синих и красных карандашей. Наугад тянем один карандаш. Какова вероятность вытащить простой?

Решения:

Сколько всего вариантов? Орел и решка - всего два. А сколько из них благоприятных? Только один - орел. Значит, вероятность
С решкой то же самое: .
Всего вариантов: (сколько сторон у кубика, столько и различных вариантов). Благоприятных из них: (это все четные числа:).
Вероятность. С нечетными, естественно, то же самое.
Всего: . Благоприятных: . Вероятность: .

Полная вероятность

Все карандаши в ящике зеленые. Какова вероятность вытащить красный карандаш? Шансов нет: вероятность (ведь благоприятных событий -).

Такое событие называется невозможным .

А какова вероятность вытащить зеленый карандаш? Благоприятных событий ровно столько же, сколько событий всего (все события - благоприятные). Значит, вероятность равна или.

Такое событие называется достоверным .

Если в ящике зеленых и красных карандашей, какова вероятность вытащить зеленый или красный? Опять же. Заметим такую вещь: вероятность вытащить зеленый равна, а красный - .

В сумме эти вероятности равны ровно. То есть, сумма вероятностей всех возможных событий равна или.

Пример:

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность не вытащить зеленый?

Решение:

Помним, что все вероятности в сумме дают. А вероятность вытащить зеленый равна. Значит, вероятность не вытащить зеленый равна.

Запомни этот прием: вероятность того, что событие не произойдет равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Независимые события и правило умножения

Ты кидаешь монетку раза, и хочешь, чтобы оба раза выпал орел. Какова вероятность этого?

Давай переберем все возможные варианты и определим, сколько их:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Решка, Решка-Решка. Какие еще?

Всего варианта. Из них нам подходит только один: Орел-Орел. Итого, вероятность равна.

Хорошо. А теперь кидаем монетку раза. Посчитай сам. Получилось? (ответ).

Ты мог заметить, что с добавлением каждого следующего броска вероятность уменьшается в раза. Общее правило называется правилом умножения :

Вероятности независимых событий переменожаются.

Что такое независимые события? Все логично: это те, которые не зависят друг от друга. Например, когда мы бросаем монетку несколько раз, каждый раз производится новый бросок, результат которого не зависит от всех предыдущих бросков. С таким же успехом мы можем бросать одновременно две разные монетки.

Еще примеры:

Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет?
Монетку бросают раза. Какова вероятность, что в первый раз выпадет орел, а потом два раза решка?
Игрок бросает две кости. Какова вероятность, что сумма чисел на них будет равна?

Ответы:

События независимы, значит, работает правило умножения: .
Вероятность орла равна. Вероятность решки - тоже. Перемножаем:
12 может получиться только, если выпадут две -ки: .

Несовместные события и правило сложения

Несовместными называются события, которые дополняют друг друга до полной вероятности. Из названия видно, что они не могут произойти одновременно. Например, если бросаем монетку, может выпасть либо орел, либо решка.

Пример.

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность вытащить зеленый или красный?

Решение .

Вероятность вытащить зеленый карандаш равна. Красный - .

Благоприятных событий всего: зеленых + красных. Значит, вероятность вытащить зеленый или красный равна.

Эту же вероятность можно представить в таком виде: .

Это и есть правило сложения: вероятности несовместных событий складываются.

Задачи смешанного типа

Пример.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?

Решение .

Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.

Есть простое правило для таких ситуаций. Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ». Например, в данном случае:

Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).

Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» - сложение:

Попробуй сам:

С какой вероятностью при двух бросаниях монетки оба раза выпадет одно и та же сторона?
Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что в сумме выпадет очков?

Решения:

(Выпал орел и выпал орел) или (выпала решка и выпала решка): .
Какие есть варианты? и. Тогда:
Выпало (и) или (и) или (и): .

Еще пример:

Бросаем монетку раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел?

Решение:

Ой, как же не хочется перебирать варианты… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А и не надо! Вспоминаем про полную вероятность. Вспомнил? Какова вероятность, что орел не выпадет ни разу ? Это же просто: все время летят решки, значит.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Вероятность - это отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.

Независимые события

Два события независимы если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна ().

Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Вероятность определенной последовательности независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий

Несовместные события

Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.

Вероятности несовместных событий складываются.

Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ», вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Условия их приобретения изложены здесь:

Кликните , приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Пример 1. Из колоды в 32 карты вынуто последовательно без возвращения 2 карты. Найти вероятность того, что обе они - тузы.

Решение. Так как первую карту можно извлечь из колоды 32 способами, а вторую - 31 (поскольку в колоде осталась 31 карта), то число возможных исходов опыта . Определим число благоприятных исходов. Первый туз можно выбрать из четырех, имеющихся в колоде, второй - из трех оставшихся. Значит, число благоприятных исходов и искомая вероятность равна

Пример 2. Из коробки, в которой лежат пять пирожных «эклер» и семь - «наполеон», достали пять пирожных. Найти вероятность того, что среди них два «эклера» и три «наполеона».

Решение. Количество возможных исходов опыта представляет собой число сочетаний из 12 по 5:

Число благоприятных исходов является произведением количества способов, которыми можно выбрать два «эклера» из пяти имеющихся, и числа наборов по три «наполеона» из семи:

Следовательно, искомая вероятность равна

Пример 3. В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг.

Решение. В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь круга: а мерой множества благоприятных исходов - разность площадей круга и треугольника: . Следовательно, вероятность заданного события равна

Пример 4. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания равны соответственно 0,6 и 0,9. Найти вероятности следующих событий:

Оба попали в цель;

В цель попал хотя бы один.

Решение. Назовем событиями и попадание в мишень соответственно первого и второго стрелка и отметим, что и являются событиями совместными, но независимыми (иными словами, в мишень могут попасть оба стрелка, а вероятность попадания каждого не зависит от результата другого). Событие представляет собой произведение событий и поэтому

Событие является суммой и для определения его вероятности воспользуемся общим видом теоремы сложения:

Пример 5. В трех одинаковых урнах лежат шары: в первой - 5 белых и 3 черных, во второй - 2 белых и 6 черных, в третьей - 3 белых и 1 черный. Из случайно выбранной урны вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

Условная вероятность события , то есть извлечения белого шара из урны, определяется по классическому определению вероятности (количеством благоприятных исходов при этом является число белых шаров, а числом возможных исходов - общее число шаров в урне). Поэтому

Используя формулу полной вероятности, получаем:

Пример 6. В студенческой группе 20 студентов. Из них 5 отличников, которые знают все экзаменационные вопросы, 8 студентов знают ответы на 70 % вопросов и 7 - на 50 %. Первый вызванный студент ответил на первый вопрос экзаменационного билета. Найти вероятность того, что он отличник.

Это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений или опытов. Например, если среди встреченных на улице людей примерно половина - женщины, то можно говорить, что вероятность того, что встреченный на улице человек окажется женщиной, равна 1/2. Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента .

Вероятность в математике

В современном математическом подходе классическая (то есть не квантовая) вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова . Вероятностью называется мера P , которая задаётся на множестве X , называемом вероятностным пространством . Эта мера должна обладать следующими свойствами:

Из указанных условий следует, что вероятностная мера P также обладает свойством аддитивности : если множества A 1 и A 2 не пересекаются, то . Для доказательства нужно положить все A 3 , A 4 , … равными пустому множеству и применить свойство счётной аддитивности.

Вероятностная мера может быть определена не для всех подмножеств множества X . Достаточно определить её на сигма-алгебре , состоящей из некоторых подмножеств множества X . При этом случайные события определяются как измеримые подмножества пространства X , то есть как элементы сигма-алгебры .

Вероятность смысле

Когда мы находим, что основания для того, чтобы какой-нибудь возможный факт произошел в действительности, перевешивают противоположные основания, мы считаем этот факт вероятным , в противном случае - невероятным . Этот перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может представлять неопределённое множество степеней, вследствие чего вероятность (и невероятность ) бывает большею или меньшею .

Сложные единичные факты не допускают точного вычисления степеней своей вероятности, но и здесь важно бывает установить некоторые крупные подразделения. Так, например, в области юридической , когда подлежащий суду личный факт устанавливается на основании свидетельских показаний, он всегда остаётся, строго говоря, лишь вероятным, и необходимо знать, насколько эта вероятность значительна; в римском праве здесь принималось четверное деление: probatio plena (где вероятность практически переходит в достоверность ), далее - probatio minus plena , затем - probatio semiplena major и, наконец, probatio semiplena minor .

Кроме вопроса о вероятности дела, может возникать, как в области права, так и в области нравственной (при известной этической точке зрения) вопрос о том, насколько вероятно, что данный частный факт составляет нарушение общего закона. Этот вопрос, служащий основным мотивом в религиозной юриспруденции Талмуда , вызвал и в римско-католическом нравственном богословии (особенно с конца XVI века) весьма сложные систематические построения и огромную литературу, догматическую и полемическую (см. Пробабилизм) .

Понятие вероятности допускает определенное численное выражение в применении лишь к таким фактам, которые входят в состав определенных однородных рядов. Так (в самом простом примере), когда кто-нибудь бросает сто раз кряду монету, мы находим здесь один общий или большой ряд (сумма всех падений монеты), слагающийся из двух частных или меньших, в данном случае численно равных, рядов (падения «орлом» и падения «решкой»); Вероятность, что в данный раз монета упадет решкой, то есть что этот новый член общего ряда будет принадлежать к этому из двух меньших рядов, равняется дроби, выражающей численное отношение между этим малым рядом и большим, именно 1/2, то есть одинаковая вероятность принадлежит к тому или другому из двух частных рядов. В менее простых примерах заключение не может быть выведено прямо из данных самой задачи, а требует предварительной индукции . Так, например, спрашивается: какая вероятность существует для данного новорожденного дожить до 80 лет? Здесь должно составить общий, или большой, ряд из известного числа людей, рожденных в подобных же условиях и умирающих в различном возрасте (это число должно быть достаточно велико, чтобы устранить случайные отклонения, и достаточно мало, чтобы сохранялась однородность ряда, ибо для человека, рождённого, например, в Санкт-Петербурге в обеспеченном культурном семействе, всё миллионное население города, значительная часть которого состоит из лиц разнообразных групп, могущих умереть раньше времени - солдат, журналистов, рабочих опасных профессий, - представляет группу слишком разнородную для настоящего определения вероятности); пусть этот общий ряд состоит из десяти тысяч человеческих жизней; в него входят меньшие ряды, представляющие число доживающих до того или другого возраста; один из этих меньших рядов представляет число доживающих до 80 лет. Но определить численность этого меньшего ряда (как и всех других) невозможно a priori ; это делается чисто индуктивным путем, посредством статистики . Положим, статистические исследования установили, что из 10000 петербуржцев среднего класса до 80 лет доживают только 45; таким образом, этот меньший ряд относится к большому, как 45 к 10000, и вероятность для данного лица принадлежать к этому меньшему ряду, то есть дожить до 80 лет, выражается дробью 0,0045. Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину - теорию вероятностей .

См. также

Примечания

Литература

Альфред Реньи. Письма о вероятности / пер. с венг. Д.Сааса и А.Крамли под ред. Б. В. Гнеденко. М.: Мир. 1970
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., 2007. 42 с.
Купцов В. И. Детерминизм и вероятность. М., 1976. 256 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Антонимы :

Смотреть что такое "Вероятность" в других словарях:

Общенаучная и филос. категория, обозначающая количественную степень возможности появления массовых случайных событий при фиксированных условиях наблюдения, характеризующую устойчивость их относительных частот. В логике семантическая степень… … Философская энциклопедия

ВЕРОЯТНОСТЬ, число в интервале от нуля до единицы включительно, представляющее возможность свершения данного события. Вероятность события определяется как отношение числа шансов того, что событие может произойти, к общему количеству возможных… … Научно-технический энциклопедический словарь

По всей вероятности.. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. вероятность возможность, вероятие, шанс, объективная возможность, маза, допустимость, риск. Ant. невозможность… … Словарь синонимов

вероятность - Мера того, что событие может произойти. Примечание Математическое определение вероятности: «действительное число в интервале от 0 до 1, относящееся к случайному событию». Число может отражать относительную частоту в серии наблюдений… … Справочник технического переводчика

Вероятность - «математическая, числовая характеристика степени возможности появления какого либо события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях». Если исходить из этого классического… … Экономико-математический словарь

- (probability) Возможность наступления какого либо события или определенного результата. Может быть представлена в виде шкалы с делениями от 0 до 1. При нулевой вероятности события его наступление невозможно. При вероятности, равной 1, наступление … Словарь бизнес-терминов