Закон энтропии. Энтропия – мера необратимости или хаоса
Закон возрастания энтропии
Замкнутые термодинамические системы, предоставленные самим себе, релаксируют к равновесному состоянию. При равновесии системы выполняется условие (¶r/¶t ) = 0. В этом случае функция распределения является интегралом движения, также как и гамильтониан. Функция распределения замкнутой системы может быть записана в виде
где W –число микросостояний, отвечающих данному макросостоянию. Энтропия в этом случае выражается формулой
Состояние статистического равновесия достигается замкнутой системой самопроизвольно, как результат движения и взаимодействия её составляющих частиц. Процесс перехода системы в равновесное состояние можно рассмотреть как последовательность ряда неравновесных макроскопических состояний с одинаковой энергией. При этом система последовательно переходит из менее вероятных в более вероятные состояния, т.е. последовательно возрастают статистический вес и энтропия системы. В равновесии энтропия системы достигает своего максимального значения. При этом внутреннее движение не прекращается, хотя макроскопическое состояние системы остаётся неизменным.
Итак, энтропия замкнутой системы не убывает – она возрастает или в предельном случае полного равновесия остается постоянной : .
Это утверждение называется законом возрастания энтропии . Смысл энтропии состоит в том, что она показывает степень неравновесности системы: отклонение от равновесия тем больше, чем меньше энтропия. Закон возрастания энтропии замкнутой системы задает направление времени или по определению Эддингтона «стрелу времени» в макропроцессах.
Закон возрастания энтропии соответствует второму закону термодинамики
Здесь Q – количество теплоты, полученной системой (для замкнутой системы Q = 0). С учетом первого закона термодинамики Q = DU + A получаем
где A – работа, совершаемая системой. Если процесс равновесный, т.е. система проходит через равновесные состояния в этом соотношении берется знак равенства.
Закон возрастания энтропии как одна из формулировок второго начала термодинамики
Рассмотрим замкнутую систему, которая переходит из состояния 1 в состояние 2 (рис.1) по пути $L_1$. Из состояния 2 в состояние 1 вернем систему с помощью обратимого процесса по пути $L_2$, но при этом мы понимаем, что система уже не является изолированной.
Так, мы получили цикл, к которому применимо неравенство Клаузиуса:
При переходе по пути $L_1$ система была изолированной, следовательно:
Переход 2-1 обратимый, следовательно, можно считать, что в этом процессе:
Иначе неравенство (4) запишем как:
Неравенство (5) означает, что при переходе замкнутой системы из состояния 1 в состояние 2 энтропия либо увеличивается, либо не изменяется. Закон возрастания энтропии (5) также относят к одной из формулировок второго начала термодинамики.
Возрастание и убывание энтропии
В процессах, которые протекают в изолированных системах, энтропия не убывает. В этом утверждении существенно то, что система должна быть изолирована. В неизолированных системах энтропия может и возрастать, и убывать и не изменяться. Энтропия не изменяется только в обратимых процессах. В необратимых процессах энтропия возрастает. Так как на практике процессы в системе, которая предоставлена самой себе, обычно необратимы, это значит, что энтропия изолированной системы обычно растет. Рост энтропии в изолированной системе означает, что система стремится к равновесному состоянию, которое является наиболее вероятным. Закон убывания энтропии в изолированной системе не запрещает полностью рост энтропии. Возможны отклонения, когда на каком-то отрезке времени система движется в направлении наименее вероятных состояний, то есть энтропия убывает или не меняется. И чем меньше система, тем роль таких флуктуаций больше. Однако для макросистем закон не убывания энтропии абсолютен.
Пример 1
Задание: Пусть имеется теплоизолированный сосуд, разделенный на две части перегородкой. Объемы частей $V_1$ и $V_2.$ В первой части находится ${\nu }_1$ молей идеального газа, во второй ${\nu }_2$ молей идеального газа. Температура в обеих частях сосуда одинакова и равна T. Перегородку убирают. Вычислите, как изменится энтропия газа ($\triangle S$) после установления равновесия.
Так как система считается теплоизолированной, газы идеальные, то внутренняя энергия таких газов зависит только от температуры и при смешении газов не изменяется. Заменим имеющийся в условиях задачи неравновесный процесс, равновесным в котором, каждая часть газа, расширяясь, занимает объем $V_1+V_2$. В таком случае для сконструированного нами обратимого процесса можно записать:
\[\triangle S=\int\limits^{(2)}_{(1)}{dS}=\int\limits^{V_1+V_2}_{V_1}{\frac{pdV}{T}}+\int\limits^{V_1+V_2}_{V_2}{\frac{pdV}{T}\left(1.1\right),}\]
Используем уравнение Менделеева -- Клайперона для идеального газа, выразим $\frac{p}{T}$, имеем:
\[\ pV=\nu RT\to \frac{\ p}{T}=\nu \frac{R}{V}\ \left(1.2\right),\]
Подставим (1.2) в (1.1), получим:
\[\triangle S=\int\limits^{V_1+V_2}_{V_1}{\frac{pdV}{T}}+\int\limits^{V_1+V_2}_{V_2}{\frac{pdV}{T}={\nu }_1R\int\limits^{V_1+V_2}_{V_1}{\frac{dV}{V}}+{\nu }_2R\int\limits^{V_1+V_2}_{V_2}{\frac{dV}{V}}={\nu }_1Rln\frac{V_1+V_2}{V_1}+{\nu }_2Rln\frac{V_1+V_2}{V_2}\left(1.3\right).}\]
Пример 2
Задание: Процесс расширения одноатомного идеального газа в количестве $\nu $ молей происходит так, что давление растет прямо пропорционально объему. Найти приращение энтропии газа, если объем в процессе увеличивается в а -- раз.
Процесс происходит с идеальным газом, следовательно, можем считать его обратимым и записать:
\[\triangle S=\int\limits^{\left(2\right)}_{\left(1\right)}{\frac{\delta Q}{T}\ \left(2.1\right).}\]
Из первого начала термодинамики мы знаем, что:
\[\delta Q=dU+pdV=\frac{i}{2}\nu RdT+pdV\left(2.2\right).\]
Подставим (2.2) в (2.1), получим:
\[\triangle S=\frac{i}{2}\nu R\int\limits^{T_2}_{T_1}{\frac{dT}{T}+\int\limits^{\left(2\right)}_{\left(1\right)}{\frac{pdV}{T}\left(2.3\right).}}\]
Запишем уравнение Менделеева -- Клайперона для того, чтобы выразить $\frac{p}{T},$ имеем:
Подставим (2.4) в (2.3), получим:
\[\triangle S=\frac{i}{2}\nu Rln\frac{T_2}{T_1}+\nu R\int\limits^{V_2}_{V_1}{\frac{dV}{V}=\frac{i}{2}нRln\frac{T_2}{T_1}+нRln\frac{V_2}{V_1}\left(2.5\right).}\]
Отношение объемов нам известно из условий задачи: $\frac{V_2}{V_1}=a.$ Выразим отношение температур. Используем для этого уравнение Менделеева - Клайперона и заданное в условиях задачи уравнение процесса ($p=bV$), где $b=const$:
\ \
Разделим (2.7) на (2.6) и используем уравнение процесса:
\[\frac{T_2}{T_1}=\frac{p_2V_2}{p_1V_1}\to \frac{T_2}{T_1}=\frac{b{V_2}^2}{b{V_1}^2}={\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^2\left(2.8\right).\]
Подставим (2.8) в (2.5), получим искомое изменение энтропии:
\[\triangle S=\frac{i}{2}\nu Rln{\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^2+\nu Rln\frac{V_2}{V_1}=i\nu Rln\left(a\right)+\nu Rln\left(a\right)=\nu Rln\left(a\right)\left(i+1\right)\left(2.7\right).\]
Ответ: Изменение энтропии в заданном процессе $\triangle S=\nu Rln\left(a\right)\left(i+1\right)$.
Пусть при необратимом
процессе 1-
a
-2
система является адиабатически
изолированной. Так как адиабатический
процесс осуществляется без теплообмена
с окружающей средой
,
то приведенная теплота процесса1-
a
-2
равна нулю
.
С учетом этого условия неравенства
и
можно записать:
и
. (14.12)
Полученные неравенства выражают закон возрастания энтропии :в любом процессе , который осуществляется в адиабатически изолированной системе , энтропия либо возрастает , либо остаётся постоянной.
Для равновесных
обратимых адиабатических процессов
и
,
т.е. энтропия остается постоянной (S
= const).
Если все процессы в системе, в конце концов, завершились, и система перешла из одного равновесного состояния в другое равновесное состояние, её энтропия имеет максимальное значение.
Итак, в произвольном (обратимом или необратимом) процессе любой термодинамической системы приращение энтропии больше или равно приведенной теплоте процесса:
;
.
(14.13)
Знак равенства
имеет место для равновесных (обратимых)
процессов. В произвольном (обратимом
или необратимом) процессе с адиабатически
изолированной системой приращение
энтропии больше или равно нулю (энтропия
возрастает):
;
,
знак равенства имеет место для обратимых
процессов.
Тема 15 энтропия и вероятность. Термодинамическая вероятность
15.1. Энтропия
Итак, мы ввели
понятие
энтропии. Энтропия – функция состояния
системы. Если тело (или система тел) при
переходе из одного состояния в другое
на бесконечно малом участке этого
перехода получает бесконечно малое
количество теплоты
,
то отношениеявляется дифференциалом некоторой
функцииS
.
Эта функция–
энтропия:
. (15.1)
При обратимом процессе изменение энтропии:
, (15.2)
при этом изменение энтропии S не зависит от пути перехода из состояния 1 в состояние 2 .
Теплоизолированная (или замкнутая ) система – это система, не получающая и не отдающая тепла. Теоретически доказано, что в замкнутой системе все необратимые процессы протекают в сторону возрастания энтропии, т.е. S 0. В частном случае, когда все процессы системы обратимы, то изменение энтропии равно нулю, т.е. S = 0. Кратко выше сказанное можно записать так:
S 0, (15.3)
(знак равенства относится к обратимым процессам, знак неравенства – к необратимым). Выражение S 0 тоже является одной из формулировок второго начала термодинамики, энтропия – критерий обратимости и необратимости процессов. По тому, как изменяется S , можно узнать: обратим процесс или нет. Энтропия, так же как и внутренняя энергия, является важнейшей функцией, определяющей термодинамический процесс, поскольку именно энтропия определяет направление протекания процесса.
Согласно второму началу термодинамики все процессы в замкнутой системе происходят в направлении возрастания энтропии. Если система в конечном состоянии находится в равновесном состоянии, то энтропия достигает максимума, и все процессы в системе прекращаются. Этот вывод противоречит основным положениям молекулярно-кинетической теории. Рассмотрим, например (рис. 15.1), закрытый сосуд, разделённый перегородкойАВ на две одинаковые части 1 и 2. Пусть сначала в части 1 сосуда находится N молекул идеального газа, а в части 2 – вакуум. В момент t = 0 мгновенно уберем перегородку АВ . Газ начинает расширяться. Молекулы из части 1 переходят в часть 2. Спустя некоторое время возникнет обратный поток частиц из части 2 в часть 1, после чего начнется, и будет продолжаться обмен молекулами между частями 1 и 2.
Когда число молекул
N
1
и N
2
в обеих частях сосуда, а также потоки
туда и обратно станут одинаковыми,
наступит состояние равновесия. Это
состояние будет динамическое, а не
статическое равновесие. В состоянии
динамического равновесия
почти никогда не выполняется, потому
что молекулы движутся хаотично, аN
1
и N
2
мгновенные значения числа молекул в
обеих частях сосуда. Однако среднее
число частиц за достаточно большой
промежуток времени в обоих частях сосуда
будет одинаковым и тогда можно записать:
.
Самопроизвольные отклонения числа
частицN
1
и N
2
от средних значений обусловленные
тепловым движением молекул, называются
флуктуациями.
В рассматриваемом примере возможна такая ситуация, когда все молекулы газа, первоначально распределенные равномерно по всему объёму сосуда, самопроизвольно соберутся в одной из частей сосуда – в части 1 или в части 2. С точки зрения молекулярно-кинетической теории такая ситуация возможна, но при большом числе частиц маловероятна.
Энтропия – это функция состояния термодинамической системы, приращение которой равно приведенной теплоте равновесного перехода системы из начального состояния в конечное. Такое определение основывается на началах термодинамики. Рассмотрим молекулярно-кинетический смысл энтропии.
Следствием второго
начала термодинамики является закон
возрастания энтропии в адиабатически
изолированной системе. Все процессы в
адиабатически изолированной системе
происходят в направлении возрастания
энтропии:
,
где
и
– энтропия в конечном и начальном
состояниях. Если в термодинамической
адиабатически изолированной системе
все макропроцессы, которые могли
сопровождаться только увеличением
энтропии, завершены и система пришла в
состояние равновесия, то энтропия такой
системы имеет максимальное значение.
Таким образом,в
состоянии равновесия энтропия
адиабатически изолированной системы
максимальна.
Обратный переход такой системы из состояния с большей энтропией в состояние с меньшей энтропией невозможен , т.к. его осуществление противоречит второму началу термодинамики.
В молекулярно-кинетической теории для описания свойств термодинамических систем и процессов применяется понятие вероятности состояния. Тогда, используя понятие вероятности состояния, следствия второго начала термодинамики можно сформулировать так: всякий процесс в адиабатически изолированной системе представляет собой переход из состояния с меньшей вероятностью в состояние с большей вероятностью. Вероятность равновесного состояния максимальна. А переход системы из состояния с большей вероятностью в состояние с меньшей вероятностью невозможен.
Отсюда следует, что понятие энтропии и вероятности состояния должны быть тесно связаны между собой. Найдем эту взаимосвязь.
Возьмем какой-либо обратимый цикл (рис.8.13) и выделим в нем
Для рассматриваемого цикла
Если изменить направление перехода, то в силу обратимости процесса, каждое слагаемое суммы должно изменить знак. Так, если при направлении процесса от состояния (1) к состоянию (2) система получает от какого-то тела с температурой Т количество тепла Q, то при направлении процесса (2-1) на том же участке система должна отдавать этому же телу с температурой Т такое же количество Q, т.е. получить -Q.
Таким образом,
Исходя из неравенств (8.15) и (8.16), можно получить следующее соотношение:
Отсюда следует, что
т.е. сумма приведенных количеств тепла, полученных системой при обратимом переходе от одного состояния (начальное) в другое (конечное), не зависит от пути, по которому совершается переход и, следовательно, зависит только от начального и конечного состояний. Величины, изменения которых при переходе из одного состояния в другие не зависят от пути перехода, называются функциями состояния. Независимость суммы от пути, по которому совершается обратимый переход из состояния (1) в состояние (2) дает основание утверждать, что при обратимом процессе представляет собой приращение некоторой функции состояния. Эта функция была названа энтропией и обозначается буквой S.
Таким образом,
Согласно этому равенству, приращение энтропии равно элементарному количеству тепла, получаемому обратимо системой извне, отнесенному к температуре, при которой это тепло получается. Поскольку энтропия - функция состояния, сумма приращений энтропии должна быть равна разности значений энтропии в конечном и начальном состояниях:
Более того, суммы должны быть заменены интегралом
Итак, при обратимом процессе сумма приведенных количеств тепла равна приращению энтропии.
Выясним, в каком соотношении находятся сумма приведенных количеств тепла и приращение энтропии при необратимом процессе. Для этого рассмотрим цикл, состоящий из обратимой и необратимой ветвей
Разобьем эту сумму на две части, отнесенные к разным ветвям:
Вторая из этих сумм равна разности энтропий в состояниях 1 и 2 (8.17). Поэтому соотношение (8.18) можно записать в виде
Т.е. приращение энтропии больше или равна сумме приведенных количеств тепла.
Знак равенства соответствует любому обратимому переходу 12. Знак неравенства - любому необратимому переходу из состояния (1) в состояние (2). Температура Т означает температуру того тела, от которого система получает тепло Q.
При обратимом процессе эта температура совпадает с температурой системы. Если система изолирована, т.е. не обменивается теплом, то все Q будут равны нулю, вследствие чего
или, соответственно,
Таким образом, энтропия изолированной системы может только возрастать (если в системе протекает необратимый процесс), либо оставаться постоянной (если в системе протекает обратимый процесс). Убывать энтропия изолированной системы не может.
Если система обменивается теплом с внешней средой, ее энтропия может вести себя любым образом. В частности, если система отдает тепло внешним телам, энтропия системы уменьшается. Если неизолированная система совершает цикл, то ее энтропия возрастая на одних участках цикла и убывая на других, в конце цикла принимает первоначальное значение.
Энтропия - аддитивная величина. Это означает, что энтропия системы равна сумме энтропий отдельных ее частей.