ماذا يعني نظام المعادلات الخطية؟ التعاريف والمفاهيم والتسميات

تسمى المعادلة الخطية متجانسإذا كان اعتراضه صفرًا ، وغير متجانس على خلاف ذلك. يتكون النظام من معادلات متجانسة، تسمى متجانسة ولها الشكل العام:

من الواضح أن أي نظام متجانس يكون متسقًا وله حل صفري (تافه). لذلك ، بالنسبة للأنظمة المتجانسة المعادلات الخطيةغالبًا ما يتعين على المرء أن يبحث عن إجابة لمسألة وجود حلول غير صفرية. يمكن صياغة إجابة هذا السؤال على النحو التالي.

نظرية . يحتوي النظام المتجانس من المعادلات الخطية على حل غير صفري إذا وفقط إذا كانت رتبته كذلك أقل من رقممجهول .

دليل: افترض أن النظام الذي تتساوى رتبته لديه حل غير صفري. من الواضح ، لا يتجاوز. في حالة وجود حل فريد للنظام. نظرًا لأن نظام المعادلات الخطية المتجانسة يحتوي دائمًا على حل صفري ، فإن الحل الصفري بالتحديد سيكون هذا الحل الفريد. وبالتالي ، فإن الحلول غير الصفرية ممكنة فقط لـ.

النتيجة الطبيعية 1 : نظام المعادلات المتجانس ، الذي يكون فيه عدد المعادلات أقل من عدد المجهول ، له دائمًا حل غير صفري.

دليل: إذا كان نظام المعادلات ، فإن رتبة النظام لا تتجاوز عدد المعادلات ، أي . وبالتالي ، فإن الشرط مستوفى ، وبالتالي ، فإن النظام لديه حل غير صفري.

النتيجة 2 : نظام المعادلات المتجانسة ذات المجهول له حل غير صفري إذا وفقط إذا كان محدده صفرًا.

دليل: افترض نظامًا من المعادلات الخطية المتجانسة التي تحتوي المصفوفة ذات المحددات على حل غير صفري. ثم ، حسب النظرية المثبتة ، مما يعني أن المصفوفة متدهورة ، أي .

نظرية كرونيكر كابيلي: SLE متسق إذا وفقط إذا كانت رتبة مصفوفة النظام يساوي الرتبةالمصفوفة الممتدة لهذا النظام. يسمى النظام ur-th بأنه متوافق إذا كان يحتوي على حل واحد على الأقل.

نظام خطي متجانس المعادلات الجبرية .

يسمى نظام المعادلات الخطية m ذات المتغيرات n نظام المعادلات الخطية المتجانسة إذا كانت جميع المصطلحات الحرة تساوي 0. نظام المعادلات الخطية المتجانسة متوافق دائمًا ، لأن دائمًا ما يكون الحل صفريًا على الأقل. يحتوي نظام المعادلات الخطية المتجانسة على حل غير صفري إذا وفقط إذا كانت مرتبة مصفوفة معاملاته عند المتغيرات أقل من عدد المتغيرات ، أي للرتبة A (اسم أي تركيبة خطية

حلول نظام الخطوط. متجانس ur-ii هو أيضًا حل لهذا النظام.

يسمى نظام الحلول المستقلة خطيًا e1 ، e2 ، ... ، ek أساسيًا إذا كان كل حل للنظام عبارة عن مجموعة خطية من الحلول. النظرية: إذا كانت رتبة r من مصفوفة المعاملات عند متغيرات النظامالمعادلات الخطية المتجانسة أقل من عدد المتغيرات n ، ثم يتكون أي نظام أساسي من حلول النظام من حلول n-r. لهذا قرار مشتركأنظمة لين. أعزب يكون ur-th بالشكل: c1e1 + c2e2 +… + ckek ، حيث e1 ، e2 ، ... ، ek هو أي نظام أساسي للحلول ، c1 ، c2 ، ... ، ck هي أرقام عشوائية و k = n-r. الحل العام لنظام من المعادلات الخطية مع متغيرات n يساوي المجموع

الحل العام للنظام المقابل له متجانس. المعادلات الخطية وحل خاص تعسفي لهذا النظام.

7. المسافات الخطية. الفراغات. الأساس ، البعد. قذيفة خطية. يسمى الفضاء الخطي ن الأبعاد، إذا كان يحتوي على نظام خطي ناقلات مستقلة، وأي نظام من أكثرالنواقل تعتمد خطيا. الرقم يسمى البعد (عدد القياسات)الفضاء الخطي ويشار إليه بواسطة. بمعنى آخر ، بُعد الفضاء هو الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا في تلك المساحة. إذا كان هذا الرقم موجودًا ، فيُقال إن الفضاء ذو ​​أبعاد محدودة. إذا كان لأي عدد طبيعييوجد في الفضاء نظام يتكون من نواقل مستقلة خطيًا ، ثم يسمى هذا الفضاء اللانهائي الأبعاد (اكتب:). فيما يلي ، ما لم ينص على خلاف ذلك ، سيتم النظر في المساحات ذات الأبعاد المحدودة.

أساس الفضاء الخطي ذو البعد n هو مجموعة مرتبة من المتجهات المستقلة خطيًا ( ناقلات الأساس).

نظرية 8.1 حول توسيع متجه من حيث الأساس. إذا كان أساسًا لمساحة خطية ذات أبعاد n ، فيمكن تمثيل أي متجه كمجموعة خطية من المتجهات الأساسية:

V = v1 * e1 + v2 * e2 +… + vn + en
وعلاوة على ذلك ، بطريقة فريدة ، أي يتم تحديد المعاملات بشكل فريد.بمعنى آخر ، يمكن توسيع أي متجه فضائي بشكل أساسي ، علاوة على ذلك ، بطريقة فريدة.

في الواقع ، أبعاد الفضاء. نظام النواقل مستقل خطيًا (هذا هو الأساس). بعد الانضمام إلى أساس أي ناقل ، نحصل عليه خطيًا نظام تابع(لأن هذا النظام يتكون من نواقل ن الأبعاد الفضاء). من خلال خاصية 7 نواقل تابعة خطيًا ومستقلة خطيًا ، نحصل على خاتمة النظرية.

الطريقة الغاوسية لها عدد من العيوب: من المستحيل معرفة ما إذا كان النظام متسقًا أم لا حتى يتم تنفيذ جميع التحولات الضرورية في الطريقة الغاوسية ؛ الطريقة الغاوسية ليست مناسبة للأنظمة ذات معاملات الحروف.

فكر في طرق أخرى لحل أنظمة المعادلات الخطية. تستخدم هذه الطرق مفهوم رتبة المصفوفة وتقليل حل أي منها نظام مشتركلحل النظام الذي تنطبق عليه قاعدة كرامر.

مثال 1ابحث عن حل عام النظام القادمالمعادلات الخطية باستخدام النظام الأساسي لحلول النظام المتجانس المختزل وحل معين للنظام غير المتجانس.

1. نصنع مصفوفة أوالمصفوفة المعززة للنظام (1)

2. استكشف النظام (1) من أجل التوافق. للقيام بذلك ، نجد رتب المصفوفات أو https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). إذا اتضح ذلك ، فإن النظام (1) غير متوافق. إذا حصلنا على ذلك ، فهذا النظام متسق وسنحلها. (تستند دراسة الاتساق إلى نظرية Kronecker-Capelli).

أ. نجد rA.

لايجاد rA، سوف ننظر على التوالي في الترتيب غير الصفري للأول ، والثاني ، إلخ. من المصفوفة أوالقصر من حولهم.

م 1= 1 0 (نأخذ 1 من اليسار الزاوية العلياالمصفوفات أ).

الحدود م 1الصف الثاني والعمود الثاني من هذه المصفوفة. . نواصل الحدود م 1السطر الثاني والعمود الثالث..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">. الآن نحدد الصغرى غير الصفرية М2 ′الدرجة الثانية.

لدينا: (لأن أول عمودين متماثلان)

(لأن الخطين الثاني والثالث متناسبان).

نحن نرى ذلك rA = 2، أ - ثانوي أساسيالمصفوفات أ.

ب. نجد .

قاصر أساسي بما فيه الكفاية М2 ′المصفوفات أالحدود مع عمود من الأعضاء الأحرار وجميع الأسطر (لدينا السطر الأخير فقط).

. ويترتب على ذلك أن М3 ′ ′يظل الأساس الصغرى للمصفوفة https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 height = 75 "height =" 75 "> (2)

لأن М2 ′- الأساس الصغرى للمصفوفة أالأنظمة (2) ، فإن هذا النظام يعادل النظام (3) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (2) (ل М2 ′في الصفين الأولين من المصفوفة أ).

(3)

نظرًا لأن القاصر الأساسي هو https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4)

في هذا النظام ، مجاهيلان مجانيان ( x2 و x4 ). لهذا FSR الأنظمة (4) يتكون من حلين. للعثور عليهم ، نخصص مجاهيل مجانية لـ (4) القيم أولا س 2 = 1 , س 4 = 0 ، وثم - س 2 = 0 , س 4 = 1 .

في س 2 = 1 , س 4 = 0 نحن نحصل:

.

هذا النظام لديه بالفعل الشيء الوحيد الحل (يمكن إيجاده من خلال قاعدة كرامر أو بأي طريقة أخرى). بطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ، نحصل على:

سيكون قرارها x1 = -1 , x3 = 0 . بالنظر إلى القيم x2 و x4 الذي قدمناه ، حصلنا على الأول قرار أساسيالأنظمة (2) : .

الآن نضع (4) س 2 = 0 , س 4 = 1 . نحن نحصل:

.

نحل هذا النظام باستخدام نظرية كرامر:

.

نحصل على الحل الأساسي الثاني للنظام (2) : .

حلول β1 , β2 والمكياج FSR الأنظمة (2) . ثم سيكون حلها العام

γ= C1 β1 + С2β2 = С1 (-1 ، 1 ، 0 ، 0) + С2 (5 ، 0 ، 4 ، 1) = (- С1 + 5С2 ، С1 ، 4С2 ، С2)

هنا C1 , C2 ثوابت اعتباطية.

4. ابحث عن واحد خاص حل نظام غير متجانس(1) . كما في الفقرة 3 بدلا من النظام (1) النظر في النظام المكافئ (5) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (1) .

(5)

ننقل المجهول إلى الجانب الأيمن x2و x4.

(6)

دعونا نعطي مجاهيل مجانية x2 و x4 قيم اعتباطية ، على سبيل المثال ، س 2 = 2 , س 4 = 1 وقم بتوصيلها (6) . دعنا نحصل على النظام

هذا النظام له حل فريد (لأنه محدده М2′0). حلها (باستخدام نظرية كرامر أو طريقة غاوس) نحصل عليها س 1 = 3 , x3 = 3 . نظرا لقيم المجاهيل الحرة x2 و x4 ، نحن نحصل حل خاص لنظام غير متجانس(1)α1 = (3،2،3،1).

5. الآن يبقى أن يكتب الحل العام α لنظام غير متجانس(1) : يساوي المجموع قرار خاصهذا النظام و الحل العام لنظامها المتجانس المختزل (2) :

α = α1 + γ = (3، 2، 3، 1) + (- С1 + 5С2، С1، 4С2، С2).

هذا يعنى: (7)

6. فحص.للتحقق مما إذا كنت قد قمت بحل النظام بشكل صحيح (1) ، نحن بحاجة إلى حل عام (7) يحل محل (1) . إذا أصبحت كل معادلة هوية ( C1 و C2 يجب تدميرها) ، ثم يتم العثور على الحل بشكل صحيح.

سوف نستبدل (7) على سبيل المثال ، فقط في المعادلة الأخيرة للنظام (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

نحصل على: (3 – С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) –9 (1 + С2) = - 1

(С1 – С1) + (5С2 + 4С2–9С2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1

حيث -1 = -1. لدينا هوية. نقوم بهذا مع جميع المعادلات الأخرى للنظام (1) .

تعليق.عادة ما يكون التحقق مرهقًا جدًا. يمكننا أن نوصي بما يلي "التحقق الجزئي": في الحل الشامل للنظام (1) تعيين بعض القيم للثوابت التعسفية واستبدال الحل المعين الناتج فقط في المعادلات المهملة (أي في تلك المعادلات من (1) التي لم يتم تضمينها في (5) ). إذا حصلت على هويات ، إذن اكثر اعجابا، حل النظام (1) تم العثور عليها بشكل صحيح (لكن هذا الفحص لا يعطي ضمانًا كاملاً للصحة!). على سبيل المثال ، إذا كان بتنسيق (7) يضع C2 =- 1 , C1 = 1، ثم نحصل على: x1 = -3 ، x2 = 3 ، x3 = -1 ، x4 = 0. بالتعويض في المعادلة الأخيرة للنظام (1) ، لدينا: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 ، على سبيل المثال –1 = –1. لدينا هوية.

مثال 2ابحث عن حل عام لنظام المعادلات الخطية (1) ، معربا عن المجهول الرئيسي من حيث المجاهيل الحرة.

حل.كما في مثال 1، يؤلف المصفوفات أو https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> من هذه المصفوفات. الآن نترك فقط معادلات النظام (1) ، المعاملات التي تم تضمينها في هذه الثانوية الأساسية (أي لدينا المعادلتين الأوليين) والنظر في النظام الذي يتكون منها ، وهو ما يعادل النظام (1).

دعونا ننقل المجهول الحر إلى الجانب الأيمن من هذه المعادلات.

نظام (9) نحلها بالطريقة الغاوسية ، معتبرين الأجزاء الصحيحة كأعضاء حرة.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "العرض =" 202 الارتفاع = 106 "الارتفاع =" 106 ">

الخيار 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = ">

الخيار 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 ">

الخيار 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "العرض =" 179 الارتفاع = 106 "الارتفاع =" 106 ">

الخيار 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 ">

يسمى نظام المعادلات الخطية التي تكون فيها جميع المصطلحات الحرة تساوي الصفر متجانس :

دائمًا ما يكون أي نظام متجانس ثابتًا ، لأنه دائمًا ما يكون كذلك صفر (تافه ) حل. السؤال الذي يطرح نفسه تحت أي ظروف سيكون للنظام المتجانس حل غير تافه.

نظرية 5.2.يحتوي النظام المتجانس على حل غير تافه إذا وفقط إذا كانت مرتبة المصفوفة الأساسية أقل من عدد المجهولات الخاصة بها.

عاقبة. يحتوي النظام المتجانس المربع على حل غير بسيط إذا وفقط إذا كان محدد المصفوفة الرئيسية للنظام لا يساوي الصفر.

مثال 5.6.حدد قيم المعلمة l التي يمتلك النظام حلولاً غير بديهية لها وابحث عن هذه الحلول:

حل. سيكون لهذا النظام حل غير تافه عندما يكون محدد المصفوفة الرئيسية يساوي صفرًا:

وبالتالي ، يكون النظام غير بديهي عندما l = 3 أو l = 2. بالنسبة إلى l = 3 ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام هي 1. ثم ترك معادلة واحدة فقط وافتراض أن ذ=أو ض=ب، نحن نحصل س = ب أ، أي.

بالنسبة إلى l = 2 ، تكون رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام هي 2. ثم اختيار المصفوفة الأساسية:

نحصل على نظام مبسط

من هنا نجد ذلك س = ض/4، ص = ض/ 2. بافتراض ض=4أ، نحن نحصل

مجموعة جميع حلول النظام المتجانس لها أهمية كبيرة خاصية خطية : إذا كانت الأعمدة س 1 و X 2 - حلول النظام المتجانس AX = 0, ثم أي تركيبة خطية منهمأ X 1 + ب X 2 سيكون أيضًا الحل لهذا النظام. في الواقع ، منذ ذلك الحين فأس 1 = 0 و فأس 2 = 0 ، الذي - التي أ(أ X 1 + ب X 2) = أ فأس 1 + ب فأس 2 = a · 0 + b · 0 = 0. بسبب هذه الخاصية ، إذا كان للنظام الخطي أكثر من حل واحد ، فسيكون هناك عدد لا نهائي من هذه الحلول.

أعمدة مستقلة خطيًا ه 1 , ه 2 , ه ك، وهي حلول نظام متجانس ، يسمى النظام الأساسيقرارات نظام متجانس من المعادلات الخطية إذا كان الحل العام لهذا النظام يمكن كتابته كمجموعة خطية من هذه الأعمدة:

إذا كان لدى النظام المتجانس نالمتغيرات ، ورتبة المصفوفة الرئيسية للنظام تساوي ص، الذي - التي ك = ن ص.

مثال 5.7.أوجد النظام الأساسي للحلول لنظام المعادلات الخطية التالي:

حل. ابحث عن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام:

وبالتالي ، فإن مجموعة حلول نظام المعادلات هذا تشكل فضاءً فرعيًا خطيًا من البعد ن - ص= 5 - 2 = 3. نختار كقاصر أساسي

.

بعد ذلك ، مع ترك المعادلات الأساسية فقط (الباقي سيكون مزيجًا خطيًا من هذه المعادلات) والمتغيرات الأساسية (الباقي ، ما يسمى بالمتغيرات الحرة ، ننتقل إلى اليمين) ، نحصل على نظام مبسط من المعادلات:

بافتراض x 3 = أ, x 4 = ب, x 5 = ج، نجد

, .

بافتراض أ= 1, ب = ج= 0 ، نحصل على الحل الأساسي الأول ؛ افتراض ب= 1, أ = ج= 0 ، نحصل على الحل الأساسي الثاني ؛ افتراض ج= 1, أ = ب= 0 ، نحصل على الحل الأساسي الثالث. نتيجة لذلك ، يأخذ النظام الأساسي الطبيعي للحلول الشكل

باستخدام النظام الأساسي ، يمكن كتابة الحل العام للنظام المتجانس كـ

X = أ 1 + يكون 2 + cE 3. أ

دعونا نلاحظ بعض خصائص حلول النظام غير المتجانس للمعادلات الخطية AX = بوعلاقتها بنظام المعادلات المتجانس المقابل AX = 0.

الحل العام لنظام غير متجانسيساوي مجموع الحل العام للنظام المتجانس المقابل AX = 0 وحل خاص تعسفي للنظام غير المتجانس. في الواقع ، دعنا ص 0 هو حل تعسفي خاص لنظام غير متجانس ، أي AY 0 = ب، و صهو الحل العام لنظام غير متجانس ، أي AY = ب. نطرح مساواة واحدة من الأخرى ، نحصل عليها
أ(ص ص 0) = 0 ، أي ص ص 0 هو الحل العام للنظام المتجانس المقابل فأس= 0. لذلك، ص ص 0 = X، أو ص = ص 0 + X. Q.E.D.

يترك نظام غير متجانسله شكل AX = B 1 + ب 2 . ثم يمكن كتابة الحل العام لمثل هذا النظام كـ X = X 1 + X 2 , حيث AX 1 = ب 1 و AX 2 = ب 2. تعبر هذه الخاصية عن الخاصية العامة لأي أنظمة خطية بشكل عام (جبري ، تفاضلي ، وظيفي ، إلخ). في الفيزياء ، هذه الخاصية تسمى مبدأ التراكب، في الهندسة الكهربائية والراديو - مبدأ التراكب. على سبيل المثال ، في نظرية الخطية الدوائر الكهربائيةيمكن الحصول على التيار في أي دائرة على النحو التالي مجموع جبريالتي يسببها كل مصدر طاقة على حدة.

بيانات المصفوفة

البحث: 1) أأ - ب ب ،

حل: 1) نجدها بالتسلسل ، باستخدام قواعد ضرب المصفوفة في رقم وإضافة المصفوفات ..

2. ابحث عن A * B إذا

حل: استخدم قاعدة ضرب المصفوفة

إجابة:

3. ل مصفوفة معينةأوجد الصغير M 31 واحسب المحدد.

حل: الصغرى M 31 هي محدد المصفوفة التي يتم الحصول عليها من A

بعد حذف الصف 3 والعمود 1. بحث

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

دعنا نحول المصفوفة A دون تغيير محددها (لنجعل الأصفار في الصف 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

نحسب الآن محدد المصفوفة A بالتوسع على طول الصف 1

الجواب: م 31 = 0 ، ديتا = 0

حل باستخدام طريقة جاوس وطريقة كرامر.

2 س 1 + س 2 + س 3 = 2

س 1 + س 2 + 3 س 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

حل: دعونا تحقق

يمكنك استخدام طريقة كرامر

حل النظام: x 1 = D 1 / D = 2 ، x 2 = D 2 / D = -5 ، x 3 = D 3 / D = 3

نطبق طريقة غاوس.

نقوم بتصغير المصفوفة الممتدة للنظام إلى شكل مثلث.

لتسهيل العمليات الحسابية ، نقوم بتبديل الخطوط:

اضرب الصف الثاني في (ك = -1 / 2 = -1 / 2 ) وأضف إلى الثالث:

	1 / 2		7 / 2

اضرب الصف الأول في (k = -2 / 2 = -1 ) وأضف إلى الثاني:

الآن يمكن كتابة النظام الأصلي على النحو التالي:

× 1 = 1 - (1/2 × 2 + 1/2 × 3)

× 2 = 13 - (6 × 3)

من السطر الثاني نعبر عنه

من السطر الأول نعبر عنه

الحل هو نفسه.

الجواب: (2 ؛ -5 ؛ 3)

ابحث عن الحل العام للنظام و FSR

13 س 1 - 4 س 2 - س 3 - 4 س 4 - 6 س 5 = 0

11 س 1 - 2 س 2 + س 3 - 2 س 4 - 3 س 5 = 0

5 س 1 + 4 س 2 + 7 س 3 + 4 س 4 + 6 س 5 = 0

7 س 1 + 2 س 2 + 5 س 3 + 2 س 4 + 3 س 5 = 0

حل: تطبيق طريقة Gauss. نقوم بتصغير المصفوفة الممتدة للنظام إلى شكل مثلث.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
× 1	x2	× 3	x4	x5

اضرب الصف الأول في (-11). اضرب الصف الثاني ب (13). دعنا نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول:

	-2		-2	-3

اضرب الصف الثاني في (-5). اضرب الصف الثالث ب (11). دعنا نضيف السطر الثالث إلى السطر الثاني:

اضرب الصف الثالث في (-7). اضرب الصف الرابع ب (5). دعنا نضيف السطر الرابع إلى السطر الثالث:

المعادلة الثانية هي مزيج خطي من الباقي

أوجد مرتبة المصفوفة.

	-18	-24	-18	-27
× 1	x2	× 3	x4	x5

القاصر الموقر له أعلى ترتيب(من القاصرين المحتملين) ويختلف عن الصفر (هو يساوي المنتجالعناصر الموجودة على القطر العكسي) ، لذا رن (أ) = 2.

هذا القاصر أساسي. وهي تتضمن معاملات للمجهول x 1 ، x 2 ، مما يعني أن المجهول x 1 ، x 2 تابع (أساسي) ، و x 3 ، x 4 ، x 5 مجانية.

النظام الذي يحتوي على معاملات هذه المصفوفة يكافئ النظام الأصلي وله الشكل:

18 × 2 = 24 × 3 + 18 × 4 + 27 × 5

7 × 1 + 2 × 2 = - 5 × 3 - 2 × 4 - 3 × 5

بطريقة القضاء على المجهول نجد قرار مشترك:

× 2 = - 4/3 × 3 - × 4 - 3/2 × 5

× 1 = - 1/3 × 3

نجد النظام الأساسي للحلول (FSR) ، والذي يتكون من حلول (n-r). في حالتنا ، n = 5 ، r = 2 ، لذلك ، يتكون نظام الحلول الأساسي من 3 حلول ، ويجب أن تكون هذه الحلول مستقلة خطيًا.

لكي تكون الصفوف مستقلة خطيًا ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة المكونة من عناصر الصفوف مساوية لعدد الصفوف ، أي 3.

يكفي إعطاء قيم المجهول المجانية x 3 ، x 4 ، x 5 من صفوف المحدد من الرتبة الثالثة ، تختلف عن الصفر ، وحساب x 1 ، x 2.

أبسط محدد غير صفري هو مصفوفة الوحدة.

ولكن هنا هو أكثر ملاءمة لاتخاذها

نجد باستخدام الحل العام:

أ) × 3 = 6 ، × 4 = 0 ، × 5 = 0 × 1 = - 1/3 × 3 = -2 ، × 2 = - 4/3 × 3 - × 4 - 3/2 × 5 = - 4 Þ

قرار FSR: (-2؛ -4؛ 6؛ 0؛ 0)

ب) × 3 = 0 ، × 4 = 6 ، × 5 = 0 × 1 = - 1/3 × 3 = 0 ، × 2 = - 4/3 × 3 - × 4 - 3/2 × 5 = - 6 ذ

II قرار FSR: (0؛ -6؛ 0؛ 6؛ 0)

ج) × 3 = 0 ، × 4 = 0 ، × 5 = 6 Þ × 1 = - 1/3 × 3 = 0 ، × 2 = - 4/3 × 3 - × 4 - 3/2 × 5 = -9 ذ

قرار FSR III: (0 ؛ - 9 ؛ 0 ؛ 0 ؛ 6)

Þ FSR: (-2؛ -4؛ 6؛ 0؛ 0)، (0؛ -6؛ 0؛ 6؛ 0)، (0؛ - 9؛ 0؛ 0؛ 6)

6. معطى: z 1 \ u003d -4 + 5i ، z 2 \ u003d 2-4i. أوجد: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

حل: أ) ض 1 - 2 ز 2 = -4 + 5 ط + 2 (2-4 ط) = -4 + 5 ط + 4-8 ط = -3 ط

ب) z 1 z 2 = (-4 + 5i) (2-4i) = -8 + 10i + 16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

الجواب: أ) -3 ط ب) 12 + 26 ط ج) -1.4 - 0.3 ط

نظام متجانس من المعادلات الخطية على المجال

تعريف. النظام الأساسي للحلول لنظام المعادلات (1) هو خطي غير فارغ نظام مستقلحلولها ، التي يتطابق امتدادها الخطي مع مجموعة جميع حلول النظام (1).

لاحظ أن النظام المتجانس من المعادلات الخطية الذي يحتوي على حل صفري فقط لا يحتوي على نظام أساسي للحلول.

مقترح 3.11. يتكون أي نظامين أساسيين من حلول نظام متجانس من المعادلات الخطية نفس العددحلول.

دليل. في الواقع ، أي نظامين أساسيين من حلول نظام المعادلات المتجانس (1) متكافئان ومستقلان خطيًا. لذلك ، من خلال الاقتراح 1.12 ، فإن رتبهم متساوية. لذلك ، فإن عدد الحلول المضمنة في نظام أساسي واحد يساوي عدد الحلول المضمنة في أي نظام أساسي آخر للحلول.

إذا كانت المصفوفة الرئيسية A للنظام المتجانس من المعادلات (1) هي صفر ، فإن أي متجه من هو حل للنظام (1) ؛ في هذه الحالة ، أي مجموعة من النواقل المستقلة خطيًا من هي نظام أساسي للحلول. إذا كانت رتبة عمود المصفوفة A ، فإن النظام (1) له حل واحد فقط - صفر ؛ لذلك ، في هذه الحالة ، لا يحتوي نظام المعادلات (1) على نظام أساسي للحلول.

نظرية 3.12. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية لنظام متجانس من المعادلات الخطية (1) أقل من عدد المتغيرات ، فإن النظام (1) لديه نظام أساسي من الحلول يتكون من الحلول.

دليل. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية A للنظام المتجانس (1) تساوي صفرًا أو ، فقد تم توضيح أن النظرية صحيحة. لذلك ، من المفترض أدناه هذا بافتراض أن الأعمدة الأولى من المصفوفة A مستقلة خطيًا. في هذه الحالة ، المصفوفة A تعادل في اتجاه الصف المخفض صعدت المصفوفة، والنظام (1) مكافئ لنظام المعادلات التدريجي المختزل التالي:

من السهل التحقق من أن أي نظام لقيم المتغيرات الحرة للنظام (2) يتوافق مع حل واحد فقط للنظام (2) وبالتالي للنظام (1). على وجه الخصوص ، الحل الصفري للنظام (2) والنظام (1) يتوافق مع نظام القيم الصفرية.

في النظام (2) ، سنقوم بتعيين واحد مجاني قيمة متغيرة، يساوي 1 ، وبقية المتغيرات - قيم فارغة. نتيجة لذلك ، نحصل على حلول لنظام المعادلات (2) ، والتي نكتبها كصفوف من المصفوفة التالية C:

نظام الصف لهذه المصفوفة مستقل خطيًا. في الواقع ، لأي عددي من المساواة

يتبع المساواة

وبالتالي المساواة

دعنا نثبت أن الامتداد الخطي لنظام صفوف المصفوفة C يتطابق مع مجموعة جميع حلول النظام (1).

الحل التعسفي للنظام (1). ثم المتجه

هو أيضًا حل للنظام (1) ، و