كيفية إيجاد مساحة معروفة الأضلاع الثلاثة. مساحة المثلث

في بعض الأحيان توجد مواقف في الحياة يتعين عليك فيها الخوض في ذاكرتك بحثًا عن معرفة مدرسية منسية منذ زمن طويل. على سبيل المثال ، تحتاج إلى تحديد مساحة قطعة أرض ذات شكل مثلث ، أو أن دور الإصلاح التالي في شقة أو منزل خاص قد حان ، وتحتاج إلى حساب كمية المواد التي ستستغرقها لسطح ذو شكل مثلث. كان هناك وقت يمكنك فيه حل مثل هذه المشكلة في دقيقتين ، والآن تحاول يائسًا أن تتذكر كيفية تحديد مساحة المثلث؟

لا داعي للقلق بشأن هذا! بعد كل شيء ، من الطبيعي تمامًا أن يقرر العقل البشري نقل المعرفة التي لم يتم استخدامها منذ فترة طويلة في مكان ما في زاوية نائية ، والتي يصعب أحيانًا استخلاصها منها. حتى لا تضطر إلى المعاناة من البحث عن المعرفة المدرسية المنسية لحل مثل هذه المشكلة ، تحتوي هذه المقالة على طرق مختلفة تجعل من السهل العثور على المنطقة المرغوبة من المثلث.

من المعروف أن المثلث هو نوع من المضلعات مقيد بأقل عدد ممكن من الأضلاع. من حيث المبدأ ، يمكن تقسيم أي مضلع إلى عدة مثلثات من خلال ربط رؤوسه بأجزاء لا تتقاطع مع جوانبها. لذلك ، بمعرفة المثلث ، يمكنك حساب مساحة أي شكل تقريبًا.

من بين جميع المثلثات الممكنة التي تحدث في الحياة ، يمكن تمييز الأنواع التالية: والمستطيل.

أسهل طريقة لحساب مساحة المثلث هي عندما يكون أحد أركانه على اليمين ، أي في حالة المثلث القائم. من السهل أن نرى أنه نصف مستطيل. إذن ، مساحته تساوي نصف حاصل ضرب الأضلاع ، التي تشكل الزاوية القائمة بينهما.

إذا علمنا ارتفاع المثلث ، بعد خفضه من أحد رءوسه إلى الضلع المقابل ، وطول هذا الضلع الذي يسمى القاعدة ، فإن المساحة تُحسب على أنها نصف حاصل ضرب الارتفاع والقاعدة. هذا مكتوب باستخدام الصيغة التالية:

S = 1/2 * ب * ح ، حيث

S هي المنطقة المرغوبة من المثلث ؛

ب ، ح - على التوالي ، ارتفاع وقاعدة المثلث.

من السهل جدًا حساب مساحة المثلث متساوي الساقين ، لأن الارتفاع سينقسم إلى نصفين في الجانب المقابل ، ويمكن قياسه بسهولة. إذا تم تحديد المنطقة ، فمن الملائم أخذ طول أحد الجوانب لتشكيل الزاوية اليمنى كالارتفاع.

كل هذا جيد بالتأكيد ، لكن كيف تحدد ما إذا كانت إحدى زوايا المثلث صحيحة أم لا؟ إذا كان حجم الشكل صغيرًا ، فيمكنك استخدام زاوية بناء أو مثلث رسم أو بطاقة بريدية أو أي كائن آخر مستطيل الشكل.

ولكن ماذا لو كان لدينا قطعة أرض مثلثة الشكل؟ في هذه الحالة ، تابع ما يلي: من أعلى الزاوية اليمنى المزعومة على أحد الجانبين ، تقاس مسافة مضاعف 3 (30 سم ، 90 سم ، 3 م) ، وعلى الجانب الآخر ، مسافة مضاعفة 4 (40 سم ، 160 سم ، 4 م). أنت الآن بحاجة إلى قياس المسافة بين نقطتي نهاية هذين المقطعين. إذا كانت القيمة من مضاعفات 5 (50 سم ، 250 سم ، 5 م) ، فيمكن القول إن الزاوية صحيحة.

إذا كانت قيمة طول كل جانب من الجوانب الثلاثة لشكلنا معروفة ، فيمكن تحديد مساحة المثلث باستخدام صيغة هيرون. من أجل الحصول على شكل أبسط ، يتم استخدام قيمة جديدة تسمى شبه المحيط. هذا هو مجموع كل أضلاع المثلث مقسومة على نصفين. بعد حساب نصف المحيط ، يمكنك البدء في تحديد المنطقة باستخدام الصيغة:

S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)) ، أين

الجذر التربيعي - الجذر التربيعي ؛

p هي قيمة نصف المحيط (p = (a + b + c) / 2) ؛

أ ، ب ، ج - حواف (جوانب) المثلث.

لكن ماذا لو كان للمثلث شكل غير منتظم؟ هناك طريقتان ممكنتان هنا. أولهما محاولة تقسيم هذا الشكل إلى مثلثين قائم الزاوية ، يتم حساب مجموع مساحتهما بشكل منفصل ، ثم إضافتهما. أو ، إذا كانت الزاوية بين الجانبين وحجم هذه الأضلاع معروفة ، فقم بتطبيق الصيغة:

S = 0.5 * ab * sinC ، أين

أ ، ب - جوانب المثلث ؛

c هي الزاوية بين هذين الجانبين.

الحالة الأخيرة نادرة في الممارسة ، ولكن مع ذلك ، كل شيء ممكن في الحياة ، وبالتالي فإن الصيغة المذكورة أعلاه لن تكون غير ضرورية. حظا سعيدا مع حساباتك!

لتحديد مساحة المثلث ، يمكنك استخدام صيغ مختلفة. من بين جميع الطرق ، أسهل الطرق وأكثرها استخدامًا هي ضرب الارتفاع في طول القاعدة ، ثم قسمة الناتج على اثنين. ومع ذلك ، فإن هذه الطريقة ليست الوحيدة. يمكنك أدناه قراءة كيفية العثور على مساحة المثلث باستخدام صيغ مختلفة.

بشكل منفصل ، سننظر في طرق لحساب مساحة أنواع معينة من المثلث - المستطيل ، متساوي الساقين ومتساوي الأضلاع. نرافق كل صيغة بشرح قصير يساعدك على فهم جوهرها.

طرق عالمية لإيجاد مساحة المثلث

تستخدم الصيغ أدناه تدوينًا خاصًا. سنقوم بفك رموز كل منهم:

• أ ، ب ، ج هي أطوال الجوانب الثلاثة للشكل الذي ندرسه ؛
• r هو نصف قطر الدائرة التي يمكن نقشها في مثلثنا ؛
• R هو نصف قطر الدائرة التي يمكن وصفها حولها ؛
• α - قيمة الزاوية التي شكلها الجانبان ب وج ؛
• β هي الزاوية بين أ و ج ؛
• γ - قيمة الزاوية التي شكلها الجانبان أ و ب ؛
• h هو ارتفاع المثلث ، مخفضًا من الزاوية α إلى الجانب a ؛
• p تساوي نصف مجموع الأضلاع a و b و c.

من الواضح منطقيًا لماذا يمكنك إيجاد مساحة المثلث بهذه الطريقة. يكتمل المثلث بسهولة ليصبح متوازي أضلاع ، حيث يعمل أحد أضلاع المثلث كقطر. يمكن إيجاد مساحة متوازي الأضلاع بضرب طول أحد أضلاعه في قيمة الارتفاع المرسومة إليه. يقسم القطر متوازي الأضلاع الشرطي هذا إلى مثلثين متطابقين. لذلك ، من الواضح تمامًا أن مساحة المثلث الأصلي يجب أن تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع المساعد هذا.

S = ½ a b sin γ

وفقًا لهذه الصيغة ، يتم حساب مساحة المثلث بضرب أطوال ضلعيه ، أي أ وب ، في جيب الزاوية التي يشكلانها. هذه الصيغة مستمدة منطقيًا من الصيغة السابقة. إذا خفضنا الارتفاع من الزاوية β إلى الضلع b ، فوفقًا لخصائص المثلث القائم الزاوية ، عند ضرب طول الضلع a في جيب الزاوية γ ، نحصل على ارتفاع المثلث ، أي h.

يمكن العثور على مساحة الشكل قيد النظر بضرب نصف نصف قطر الدائرة التي يمكن كتابتها بها في محيطها. بعبارة أخرى ، نجد حاصل ضرب نصف القطر ونصف قطر الدائرة المذكورة.

S = أ ب ج / 4R

وفقًا لهذه الصيغة ، يمكن إيجاد القيمة التي نحتاجها بقسمة حاصل ضرب جانبي الشكل على 4 أنصاف أقطار من الدائرة التي تحيط به.

هذه الصيغ عالمية ، لأنها تجعل من الممكن تحديد مساحة أي مثلث (مقياس ، متساوي الساقين ، متساوي الأضلاع ، الزاوية اليمنى). يمكن القيام بذلك بمساعدة حسابات أكثر تعقيدًا ، والتي لن نتعمق فيها بالتفصيل.

مناطق مثلثات ذات خصائص محددة

كيف تجد مساحة المثلث القائم؟ من سمات هذا الشكل أن وجهيه هما ارتفاعاته في نفس الوقت. إذا كان a و b أرجل ، وأصبح c هو الوتر ، فسيتم العثور على المنطقة على النحو التالي:

كيف تجد مساحة مثلث متساوي الساقين؟ لها جانبان بطول أ وضلع واحد بطول ب. لذلك ، يمكن تحديد مساحتها بقسمة 2 حاصل ضرب مربع الضلع a على جيب الزاوية γ.

كيف تجد مساحة مثلث متساوي الأضلاع؟ في ذلك ، يكون طول جميع الجوانب أ ، وقيمة جميع الزوايا هي α. ارتفاعه يساوي نصف حاصل ضرب طول الضلع أ في الجذر التربيعي للرقم 3. لإيجاد مساحة المثلث المنتظم ، تحتاج إلى تربيع الضلع أ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ 3 ومقسومًا على 4.

المثلث هو أحد الأشكال الهندسية الأكثر شيوعًا ، والتي نعرفها بالفعل في المدرسة الابتدائية. يواجه كل طالب في دروس الهندسة مسألة كيفية العثور على مساحة المثلث. إذن ، ما هي ميزات العثور على مساحة يمكن تمييز الشكل المعطى؟ في هذه المقالة ، سننظر في الصيغ الأساسية اللازمة لإكمال هذه المهمة ، وكذلك تحليل أنواع المثلثات.

أنواع المثلثات

يمكنك إيجاد مساحة المثلث بطرق مختلفة تمامًا ، لأنه في الهندسة يوجد أكثر من نوع واحد من الأشكال يحتوي على ثلاث زوايا. تشمل هذه الأنواع:

• منفرج الزاوية.
• متساوي الأضلاع (صحيح).
• مثلث قائم.
• متساوي الساقين.

دعنا نلقي نظرة فاحصة على كل نوع من أنواع المثلثات الموجودة.

يعتبر هذا الشكل الهندسي الأكثر شيوعًا في حل المشكلات الهندسية. عندما يصبح من الضروري رسم مثلث عشوائي ، فإن هذا الخيار ينقذ.

في المثلث الحاد ، كما يوحي الاسم ، تكون جميع الزوايا حادة ويصل مجموعها إلى 180 درجة.

مثل هذا المثلث شائع جدًا أيضًا ، ولكنه أقل شيوعًا إلى حد ما من المثلث ذي الزاوية الحادة. على سبيل المثال ، عند حل المثلثات (أي أنك تعرف العديد من جوانبها وزواياها وتحتاج إلى إيجاد العناصر المتبقية) ، تحتاج أحيانًا إلى تحديد ما إذا كانت الزاوية منفرجة أم لا. جيب التمام رقم سالب.

تتجاوز قيمة إحدى الزوايا 90 درجة ، لذلك يمكن أن تأخذ الزاويتان المتبقيتان قيمًا صغيرة (على سبيل المثال ، 15 درجة أو حتى 3 درجات).

للعثور على مساحة مثلث من هذا النوع ، تحتاج إلى معرفة بعض الفروق الدقيقة التي سنتحدث عنها بعد ذلك.

مثلثات منتظمة ومتساوية الساقين

المضلع المنتظم هو شكل يحتوي على عدد n من الزوايا ، حيث تكون جميع الأضلاع والزوايا متساوية. هذا هو المثلث القائم. بما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة ، فإن كل زاوية من الزوايا الثلاث تساوي 60 درجة.

يسمى المثلث القائم ، بسبب خاصيته ، أيضًا بالشكل متساوي الأضلاع.

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أنه يمكن إدراج دائرة واحدة فقط في مثلث عادي ويمكن حصر دائرة واحدة فقط حولها ، وتقع مراكزها عند نقطة واحدة.

بالإضافة إلى النوع متساوي الأضلاع ، يمكن للمرء أيضًا التمييز بين مثلث متساوي الساقين ، والذي يختلف قليلاً عنه. في مثل هذا المثلث ، ضلعان وزاويتان متساويتان مع بعضهما البعض ، والضلع الثالث (الذي تجاور زاويتان متساويتان) هو القاعدة.

يوضح الشكل مثلث متساوي الساقين DEF ، الزاويتان D و F متساويتان ، و DF هو القاعدة.

مثلث قائم

سمي المثلث القائم على هذا النحو لأن إحدى زواياه هي الزاوية القائمة ، أي تساوي 90 درجة. مجموع الزاويتين الأخريين يصل إلى 90 درجة.

أكبر ضلع في مثل هذا المثلث ، والذي يقع مقابل زاوية 90 درجة ، هو الوتر ، بينما الضلعان الآخران هما الضلعان. بالنسبة لهذا النوع من المثلثات ، فإن نظرية فيثاغورس قابلة للتطبيق:

مجموع مربعات أطوال الساقين يساوي مربع طول الوتر.

يوضح الشكل مثلث قائم الزاوية BAC به وتر المثلث AC والأرجل AB و BC.

لإيجاد مساحة المثلث بزاوية قائمة ، تحتاج إلى معرفة القيم العددية لأرجله.

دعنا ننتقل إلى الصيغ لإيجاد مساحة الشكل المعطى.

الصيغ الأساسية لإيجاد المنطقة

في الهندسة ، يمكن التمييز بين صيغتين مناسبتين لإيجاد مساحة معظم أنواع المثلثات ، وهما المثلثات الحادة الزاوية والمثلثات المنفرجة الزاوية والمثلثات العادية والمتساوية الساقين. دعونا نحلل كل واحد منهم.

بالجانب والارتفاع

هذه الصيغة عالمية لإيجاد مساحة الشكل الذي ندرسه. للقيام بذلك ، يكفي معرفة طول الضلع وطول الارتفاع المرسوم عليه. الصيغة نفسها (نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع) هي كما يلي:

حيث A هو جانب المثلث المحدد و H هو ارتفاع المثلث.

على سبيل المثال ، لإيجاد مساحة مثلث حاد الزاوية ACB ، عليك ضرب جانبه AB في ارتفاع CD وقسمة القيمة الناتجة على اثنين.

ومع ذلك ، ليس من السهل دائمًا العثور على مساحة المثلث بهذه الطريقة. على سبيل المثال ، لاستخدام هذه الصيغة لمثلث منفرج الزاوية ، عليك الاستمرار في أحد أضلاعه ثم رسم ارتفاع له فقط.

في الممارسة العملية ، يتم استخدام هذه الصيغة في كثير من الأحيان أكثر من غيرها.

جانبان وزاوية

هذه الصيغة ، مثل الصيغة السابقة ، مناسبة لمعظم المثلثات ومعناها هي نتيجة لصيغة إيجاد المساحة بجانب المثلث وارتفاعه. أي أن الصيغة قيد الدراسة يمكن استنتاجها بسهولة من الصيغة السابقة. تبدو صياغته كما يلي:

S = ½ * sinO * A * B ،

حيث A و B هما جانبي المثلث و O هي الزاوية بين الضلع A و B.

تذكر أنه يمكن عرض جيب الزاوية في جدول خاص سمي على اسم عالم الرياضيات السوفيتي البارز في إم براديس.

والآن دعنا ننتقل إلى الصيغ الأخرى المناسبة فقط لأنواع استثنائية من المثلثات.

مساحة المثلث القائم

بالإضافة إلى الصيغة العامة ، والتي تتضمن الحاجة إلى رسم ارتفاع في مثلث ، يمكن العثور على مساحة المثلث الذي يحتوي على زاوية قائمة من ساقيه.

إذن ، مساحة المثلث التي تحتوي على زاوية قائمة هي نصف حاصل ضرب رجليه ، أو:

حيث أ و ب هي أرجل مثلث قائم الزاوية.

مثلث قائم

يتميز هذا النوع من الأشكال الهندسية بحقيقة أنه يمكن العثور على مساحته بالقيمة المحددة لواحد فقط من جوانبها (نظرًا لأن جميع جوانب المثلث العادي متساوية). لذلك ، بعد أن قمت بمهمة "إيجاد مساحة المثلث عندما تكون الأضلاع متساوية" ، تحتاج إلى استخدام الصيغة التالية:

S = A 2 * √3 / 4 ،

حيث A هو جانب مثلث متساوي الأضلاع.

صيغة هيرون

الخيار الأخير لإيجاد مساحة المثلث هو صيغة هيرون. لاستخدامها ، تحتاج إلى معرفة أطوال الأضلاع الثلاثة للشكل. تبدو صيغة هيرون كما يلي:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c) ،

حيث أ ، ب ، ج هي أضلاع المثلث المعطى.

في بعض الأحيان يتم إعطاء المهمة: "مساحة المثلث العادي هي إيجاد طول ضلعه". في هذه الحالة ، تحتاج إلى استخدام الصيغة المعروفة لدينا لإيجاد مساحة المثلث المنتظم واشتقاق قيمة الضلع (أو مربعه) منها:

أ 2 \ u003d 4S / √3.

مشاكل الامتحان

هناك العديد من الصيغ في مهام GIA في الرياضيات. بالإضافة إلى ذلك ، غالبًا ما يكون من الضروري العثور على مساحة المثلث على ورق متقلب.

في هذه الحالة ، من الأنسب رسم الارتفاع إلى أحد جانبي الشكل وتحديد طوله بالخلايا واستخدام الصيغة العامة لإيجاد المنطقة:

لذلك ، بعد دراسة الصيغ الواردة في المقالة ، لن تواجهك مشاكل في العثور على منطقة مثلث من أي نوع.

يوفر المنهج المدرسي لتعليم الهندسة للأطفال من سن مبكرة. واحدة من أبسط المعارف في هذا المجال هي العثور على منطقة الشخصيات المختلفة. سنحاول في هذه المقالة إعطاء كل الطرق الممكنة للحصول على هذه القيمة ، من أبسطها إلى أكثرها تعقيدًا.

الاساسيات

تتضمن الصيغة الأولى التي يتعلمها الأطفال في المدرسة إيجاد مساحة المثلث من حيث طول ارتفاعه وقاعدته. الارتفاع جزء مرسوم من رأس المثلث بزاوية قائمة على الجانب المقابل ، والذي سيكون القاعدة. كيف تجد مساحة المثلث من هذه القيم؟

إذا كان V هو الارتفاع و O هي القاعدة ، فإن المنطقة تكون S = V * O: 2.

هناك خيار آخر للحصول على القيمة المرغوبة يتطلب منا معرفة أطوال الضلعين ، وكذلك الزاوية بينهما. إذا كان لدينا L و M - أطوال الجانبين ، و Q - الزاوية بينهما ، فيمكنك الحصول على المساحة باستخدام الصيغة S = (L * M * sin (Q)) / 2.

صيغة هيرون

بالإضافة إلى جميع الإجابات الأخرى على السؤال المتعلق بكيفية حساب مساحة المثلث ، هناك معادلة تسمح لنا بالحصول على القيمة التي نحتاجها ، بمعرفة أطوال الأضلاع فقط. أي إذا عرفنا أطوال كل الأضلاع ، فلا داعي لرسم الارتفاع وحساب طوله. يمكننا استخدام ما يسمى بصيغة هيرون.

إذا كانت M ، N ، L هي أطوال الأضلاع ، فيمكننا إيجاد مساحة المثلث ، على النحو التالي. P \ u003d (M + N + L) / 2 ، ثم القيمة التي نحتاجها S 2 \ u003d P * (P-M) * (P-L) * (P-N). نتيجة لذلك ، علينا فقط حساب الجذر.

بالنسبة للمثلث القائم ، تكون صيغة هيرون مبسطة قليلاً. إذا كانت M ، L أرجل ، فإن S = (P-M) * (P-L).

الدوائر

هناك طريقة أخرى لإيجاد مساحة المثلث وهي استخدام الدوائر المنقوشة والمحدودة. للحصول على القيمة التي نحتاجها باستخدام الدائرة المحيطية ، علينا معرفة نصف قطرها. دعنا نسميها "r". بعد ذلك ، ستتخذ الصيغة التي سنجري بها الحسابات الشكل التالي: S \ u003d r * P ، حيث P هي نصف مجموع أطوال جميع الجوانب.

في المثلث القائم ، تتغير هذه الصيغة قليلاً. بالطبع يمكنك استخدام ما سبق ، لكن من الأفضل استخدام تعبير مختلف للحسابات. S = E * W ، حيث E و W هما أطوال المقاطع التي يقسم إليها الوتر على نقطة الظل في الدائرة.

عند الحديث عن الدائرة المقيدة ، فإن العثور على منطقة المثلث ليس بالأمر الصعب أيضًا. بإدخال التسمية R كنصف قطر الدائرة المحددة ، يمكنك الحصول على الصيغة التالية اللازمة لحساب القيمة المطلوبة: S = (M * N * L) :( 4 * R). حيث تكون الكميات الثلاث الأولى هي أضلاع المثلث.

عند الحديث عن مثلث متساوي الأضلاع ، بسبب عدد من التحولات الرياضية البسيطة ، يمكن للمرء الحصول على صيغ معدلة قليلاً:

S = (3 1/2 * M 2) / 4 ؛

S = (3 * 3 1/2 * R 2) / 4 ؛

S = 3 * 3 1/2 * r2.

في أي حال ، يمكن تغيير أي معادلة تسمح لك بإيجاد مساحة المثلث وفقًا للمسألة المحددة. لذا فإن كل التعبيرات المكتوبة ليست مطلقة. عند حل المشكلات ، فكر في إيجاد الطريقة الأنسب لحلها.

إحداثيات

عند دراسة محاور الإحداثيات ، تصبح المهام التي تواجه الطلاب أكثر تعقيدًا. ومع ذلك ، لا يكفي للذعر. لإيجاد مساحة المثلث بإحداثيات الرؤوس ، يمكنك استخدام صيغة Heron نفسها ، لكن معدلة قليلاً. للإحداثيات يأخذ الشكل التالي:

S = ((x 2 -x 1) 2 * (y 2 -y 1) 2 * (z 2 -z 1) 2) 1/2.

ومع ذلك ، لا أحد يمنع ، باستخدام الإحداثيات ، حساب أطوال أضلاع المثلث ، وبعد ذلك ، باستخدام الصيغ المكتوبة أعلاه ، حساب المنطقة. لتحويل الإحداثيات إلى طول ، استخدم الصيغة التالية:

ل = ((س 2-س 1) 2 + (ص 2-ص 1) 2) 1/2.

ملحوظات

استخدمت المقالة الترميز القياسي للكميات المستخدمة في ظروف معظم المسائل. في هذه الحالة ، تعني الدرجة "1/2" أنك بحاجة إلى استخراج الجذر من التعبير بالكامل أسفل الأقواس.

عند اختيار الصيغة ، كن حذرا. يفقد البعض منهم أهميته اعتمادًا على الظروف الأولية. على سبيل المثال ، صيغة الدائرة المقيدة. إنه قادر على حساب النتيجة نيابة عنك في أي حال ، ومع ذلك ، قد يكون هناك موقف قد لا يوجد فيه مثلث مع المعلمات المحددة على الإطلاق.

إذا كنت جالسًا في المنزل وتقوم بأداء واجبك ، فيمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت. توفر العديد من المواقع القدرة على حساب القيم المختلفة لمعلمات معينة ، ولا يهم أي منها. يمكنك ببساطة إدخال البيانات الأولية في الحقول ، وسيقوم الكمبيوتر (موقع الويب) بحساب النتيجة نيابة عنك. وبالتالي ، يمكنك تجنب الأخطاء التي يرتكبها عدم الانتباه.

نأمل أن يكون مقالنا قد أجاب على جميع أسئلتك المتعلقة بحساب مساحة المثلثات المختلفة ، ولست بحاجة للبحث عن معلومات إضافية في مكان آخر. حظا موفقا في دراستك!