في الواقع ، من أجل العثور على مساحة الشكل ، لا تحتاج إلى الكثير من المعرفة بالتكامل غير المحدد والمؤكد. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا إنشاء رسم، اكثر بكثير قضايا الساعةستكون معرفتك ومهاراتك في الرسم. في هذا الصدد ، من المفيد الاطلاع على الرسومات الرئيسية وظائف الابتدائية، وعلى الأقل ، تكون قادرًا على بناء خط مستقيم وقطع زائد.

شبه المنحرف المنحني الخطي هو شكل مسطح يحده محور وخطوط مستقيمة ورسم بياني لوظيفة مستمرة على مقطع لا يغير العلامة على هذا الفاصل. دع هذا الرقم يقع ليس أقلالإحداثي السيني:

ثم مربع منحني الأضلاع شبه منحرفيساوي عدديًا التكامل المحدد. أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا.

من حيث الهندسة لا يتجزأ- هذه منطقة.

إنه،التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل ما. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التكامل المحدد. يُحدد التكامل المحدد منحنى على المستوى الذي يقع فوق المحور (أولئك الذين يرغبون في إكمال الرسم) ، والتكامل المحدد نفسه عدديًا مساوية للمنطقةشبه منحني منحني الخط المقابل.

مثال 1

هذا بيان مهمة نموذجي. أولا و اللحظة الحاسمةالحلول - بناء الرسم. علاوة على ذلك ، يجب بناء الرسم يمين.

عند بناء مخطط ، أوصي بالترتيب التالي: في البدايهمن الأفضل إنشاء جميع الخطوط (إن وجدت) وفقط ثم- القطع المكافئ ، القطوع الزائدة ، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. تعد الرسوم البيانية الوظيفية أكثر ربحية للبناء بإتجاه.

في هذه المشكلة ، قد يبدو الحل هكذا.
لنقم برسم (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

على المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة على المحور، لهذا السبب:

إجابة:

بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه القضية"بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 ، ويبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أننا إذا كان لدينا ، على سبيل المثال ، الإجابة: 20 وحدات مربعةإذن ، من الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الرقم المعني ، على الأكثر اثنتي عشرة خلية. إذا كانت الإجابة سلبية ، فقد تم حل المهمة أيضًا بشكل غير صحيح.

مثال 3

احسب مساحة الشكل تحدها خطوط، وتنسيق المحاور.

حل: لنرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع يقع تحت المحور(أو على الأقل ليس أعلىمحور معين) ، فيمكن العثور على مساحته بالصيغة:

في هذه الحالة:

انتباه! لا تخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد دون أي تكامل المعنى الهندسي، فيمكن أن تكون سلبية.

2) إذا طُلب منك إيجاد مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد ، فإن المنطقة تكون دائمًا موجبة! هذا هو السبب في ظهور علامة الطرح في الصيغة التي تم النظر فيها للتو.

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون الشكل موجودًا في كل من المستويات النصفية العلوية والسفلية ، وبالتالي ، من أبسط مشاكل المدرسة ، ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحًا.

مثال 4

منطقة البحث شخصية مسطحة، تحدها خطوط ،.

حل: تحتاج أولاً إلى إكمال الرسم. بشكل عام ، عند إنشاء رسم في مشاكل المنطقة ، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. لنجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:

إذن ، الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلىاندماج .

من الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن..

إن بناء الخطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع بكثير ، بينما يتم اكتشاف حدود التكامل كما لو كانت "من تلقاء نفسها". ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان إذا كان الرسم البياني ، على سبيل المثال ، كبيرًا بدرجة كافية ، أو لم يكشف البناء المترابط عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.

نعود إلى مهمتنا: من المنطقي أكثر أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطع مكافئ. لنرسم رسمًا:

والآن صيغة العمل: إذا كان هناك بعض الوظائف المستمرة في الفترة الزمنية أكبر من أو يساويبعض وظيفة مستمرة، ثم مساحة الشكل المحدد بالرسوم البيانية لهذه الوظائف والخطوط المستقيمة ، يمكن العثور عليها بالصيغة:

هنا لم يعد من الضروري التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور ، وبشكل تقريبي ، يهم الرسم البياني أعلاه(نسبة إلى رسم بياني آخر) ، وأي واحد أدناه.

في المثال قيد النظر ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من الضروري طرحه من

قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:

الشكل المطلوب محدد بقطع مكافئ من أعلى وخط مستقيم من أسفل.
في المقطع ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابة:

مثال 4

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ، ، ،.

حل: لنرسم أولاً:

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق.(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). لكن في الممارسة العملية ، بسبب عدم الانتباه ، غالبًا ما يحدث "خلل" ، تحتاج إلى العثور على منطقة الشكل المظللة بالأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا في أنه يتم حساب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين.

حقًا:

1) يوجد رسم بياني بخط مستقيم على المقطع فوق المحور ؛

2) على المقطع فوق المحور يوجد رسم بياني للقطع الزائد.

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:

في هذه المقالة ، ستتعلم كيفية العثور على مساحة الشكل المحدد بخطوط باستخدام حسابات متكاملة. لأول مرة ، نواجه صياغة مثل هذه المشكلة في المدرسة الثانوية ، عندما تم الانتهاء للتو من دراسة تكاملات معينة وحان الوقت لبدء التفسير الهندسي للمعرفة المكتسبة في الممارسة.

إذن ما هو المطلوب حل ناجحمشاكل إيجاد مساحة الشكل باستخدام التكاملات:

• القدرة على رسم الرسومات بشكل صحيح ؛
• القدرة على حل تكامل محدد باستخدام الصيغة المعروفةنيوتن ليبنيز
• القدرة على "رؤية" حل أكثر ربحية - أي لفهم كيف سيكون تنفيذ الدمج أكثر ملاءمة في هذه الحالة أو تلك؟ على طول المحور السيني (OX) أو المحور الصادي (OY)؟
• حسنًا ، أين بدون الحسابات الصحيحة؟) وهذا يشمل فهم كيفية حل هذا النوع الآخر من التكاملات وإجراء الحسابات العددية الصحيحة.

خوارزمية لحل مشكلة حساب مساحة الشكل المحدد بخطوط:

1. نبني رسم. من المستحسن القيام بذلك على قطعة من الورق في قفص ، على نطاق واسع. نوقع بقلم رصاص فوق كل رسم بياني اسم هذه الوظيفة. تم التوقيع على الرسوم البيانية فقط لتسهيل المزيد من العمليات الحسابية. بعد استلام الرسم البياني للشكل المطلوب ، سيكون من الواضح في معظم الحالات على الفور حدود التكامل التي سيتم استخدامها. وهكذا نحل المشكلة طريقة الرسم. ومع ذلك ، يحدث أن تكون قيم الحدود كسرية أو غير منطقية. لذلك ، يمكنك إجراء حسابات إضافية ، انتقل إلى الخطوة الثانية.

2. إذا لم يتم تعيين حدود التكامل بشكل صريح ، فسنجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية مع بعضها البعض ، ونرى ما إذا كان حل رسوميمع التحليل.

3. بعد ذلك ، تحتاج إلى تحليل الرسم. اعتمادًا على كيفية وجود الرسوم البيانية للوظائف ، هناك مقاربات مختلفةللعثور على مساحة الشكل. يعتبر أمثلة مختلفةلإيجاد مساحة الشكل باستخدام التكاملات.

3.1. الإصدار الأكثر كلاسيكية وأبسط من المشكلة هو عندما تحتاج إلى العثور على منطقة شبه منحرف منحني الأضلاع. ما هو شبه منحرف منحني الأضلاع؟ هذا شكل مسطح يحده المحور السيني (ص = 0)، مستقيم س = أ ، س = بوأي منحنى مستمر على الفترة من أقبل ب. في الوقت نفسه ، هذا الرقم غير سالب ولا يقع في أدنى من المحور السيني. في هذه الحالة ، مساحة شبه منحني منحني الأضلاع تساوي عدديًا التكامل المحدد المحسوب باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:

مثال 1 ص = س 2 - 3 س + 3 ، س = 1 ، س = 3 ، ص = 0.

ما الخطوط التي تحدد الشكل؟ لدينا قطع مكافئ ص = س 2 - 3 س + 3التي تقع فوق المحور أوه، هو غير سلبي ، لأن جميع نقاط هذا القطع المكافئ لها القيم الإيجابية. بعد ذلك ، إعطاء خطوط مستقيمة س = 1و س = 3التي تعمل بالتوازي مع المحور OU، هي الخطوط المحيطة بالشكل على اليسار واليمين. حسنًا ص = 0، إنها المحور السيني ، الذي يحدد الشكل من الأسفل. الشكل الناتج مظلل ، كما هو موضح في الشكل الموجود على اليسار. في هذه الحالة ، يمكنك البدء على الفور في حل المشكلة. أمامنا مثال بسيط على شبه منحني منحني الأضلاع ، والذي قمنا بحله بعد ذلك باستخدام صيغة Newton-Leibniz.

3.2. في الفقرة السابقة 3.1 ، تم تحليل الحالة عندما يقع شبه المنحني المنحني فوق المحور السيني. الآن ضع في اعتبارك الحالة التي تكون فيها شروط المشكلة متطابقة ، باستثناء أن الوظيفة تقع تحت المحور x. ل الصيغة القياسيةتمت إضافة Newton-Leibniz ناقص. كيفية حل مثل هذه المشكلة ، سننظر في المزيد.

مثال 2 . احسب مساحة شكل محدد بخطوط ص = س 2 + 6 س + 2 ، س = -4 ، س = -1 ، ص = 0.

في هذا المثاللدينا قطع مكافئ ص = س 2 + 6 س + 2الذي ينشأ من تحت المحور أوه، مستقيم س = -4 ، س = -1 ، ص = 0. هنا ص = 0يحد من الشكل المطلوب أعلاه. مباشر س = -4و س = -1هذه هي الحدود التي سيتم من خلالها حساب التكامل المحدد. يتطابق مبدأ حل مشكلة إيجاد مساحة الشكل تقريبًا تمامًا مع المثال رقم 1. والفرق الوحيد هو أن وظيفة معينةليس موجبًا ، وكل شيء مستمر أيضًا على الفترة [-4; -1] . ماذا لا يعني الايجابي؟ كما يتضح من الشكل ، فإن الشكل الذي يقع داخل x المعطى له إحداثيات "سالبة" حصريًا ، وهو ما نحتاج إلى رؤيته وتذكره عند حل المشكلة. نحن نبحث عن مساحة الشكل باستخدام صيغة Newton-Leibniz ، فقط بعلامة ناقص في البداية.

المقال لم يكتمل.

دعنا ننتقل إلى التطبيقات حساب متكامل. في هذا الدرس ، سنقوم بتحليل المهمة النموذجية والأكثر شيوعًا. حساب مساحة الشكل المسطح باستخدام تكامل محدد. أخيرا كل شيء تبحث عن المعنىالخامس رياضيات أعلى- دعهم يجدوه. أنت لا تعرف أبدا. في الحياة الواقعية ، سيتعين عليك تقريب كوخ صيفي بوظائف أولية وإيجاد مساحته باستخدام جزء تكامل معين.

لإتقان المادة بنجاح ، يجب عليك:

1) فهم تكامل غير محددعلى الأقل بمستوى متوسط. وبالتالي ، يجب على الدمى قراءة الدرس أولاً لا.

2) أن تكون قادرًا على تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز وحساب التكامل المحدد. يمكنك إقامة علاقات ودية دافئة مع تكاملات معينة على الصفحة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا إنشاء رسملذلك ، ستكون معرفتك ومهاراتك في الرسم مشكلة ملحة أيضًا. كحد أدنى ، يجب أن يكون المرء قادرًا على بناء خط مستقيم ، وقطع مكافئ ، وقطع زائد.

لنبدأ مع شبه منحرف منحني الأضلاع. شبه المنحرف المنحني الخطي هو شكل مسطح يحده رسم بياني لبعض الوظائف ذ = F(x) ، المحور ثوروالخطوط x = أ; x = ب.

مساحة شبه منحرف منحني الخطوط تساوي عدديًا تكاملًا معينًا

أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الدرس واضح لا يتجزأ. أمثلة الحلقلنا أن التكامل المحدد هو رقم. والآن حان الوقت لذكر آخر حقيقة مفيدة. من وجهة نظر الهندسة ، التكامل المحدد هو المنطقة. إنه، التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل ما. ضع في اعتبارك التكامل المحدد

انتجراند

يحدد منحنى على المستوى (يمكن رسمه إذا رغبت في ذلك) ، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحني المنحني المقابل.

مثال 1

, , , .

هذا بيان مهمة نموذجي. أهم نقطة في القرار هي بناء الرسم. علاوة على ذلك ، يجب بناء الرسم يمين.

عند بناء مخطط ، أوصي بالترتيب التالي: في البدايهمن الأفضل إنشاء جميع الخطوط (إن وجدت) وفقط ثم- القطع المكافئ ، القطوع الزائدة ، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. يمكن العثور على تقنية البناء النقطي في المواد المرجعية الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية. هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا فيما يتعلق بالدرس - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.

في هذه المشكلة ، قد يبدو الحل هكذا.

لنقم برسم (لاحظ أن المعادلة ذ= 0 يحدد المحور ثور):

لن نفقس شبه منحني منحني الأضلاع ، فمن الواضح هنا أي منطقة في السؤال. يستمر الحل على هذا النحو:

في الفترة [-2 ؛ 1] وظيفة الرسم البياني ذ = x 2 + 2 موجود على المحورثور، لهذا السبب:

إجابة: .

من لديه صعوبة في حساب التكامل المحدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز

,

الرجوع إلى المحاضرة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل. بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة ، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 ، ويبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا كان لدينا ، على سبيل المثال ، الإجابة: 20 وحدة مربعة ، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني ، على الأكثر دزينة. إذا كانت الإجابة سلبية ، فقد تم حل المهمة أيضًا بشكل غير صحيح.

مثال 2

احسب مساحة شكل محدد بخطوط س ص = 4, x = 2, x= 4 والمحور ثور.

هذا مثال على حل مستقل. الحل الكاملوالجواب في نهاية الدرس.

ماذا تفعل إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تحت المحورثور?

مثال 3

احسب مساحة شكل محدد بخطوط ذ = السابق, x= 1 وتنسيق المحاور.

الحل: لنرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تماما تحت المحور ثور ، ثم يمكن العثور على مساحتها من خلال الصيغة:

في هذه الحالة:

.

انتباه! لا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد فقط دون أي معنى هندسي ، فيمكن أن يكون سالبًا.

2) إذا طُلب منك إيجاد مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد ، فإن المنطقة تكون دائمًا موجبة! هذا هو السبب في ظهور علامة الطرح في الصيغة التي تم النظر فيها للتو.

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون الشكل موجودًا في كل من المستويات النصفية العلوية والسفلية ، وبالتالي ، من أبسط مشاكل المدرسة ، ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحًا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المستوي المحدد بخطوط ذ = 2x – x 2 , ذ = -x.

الحل: تحتاج أولاً إلى عمل رسم. عند إنشاء رسم في مشاكل المنطقة ، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. أوجد نقاط تقاطع القطع المكافئ ذ = 2x – x 2 ومباشرة ذ = -x. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:

إذن ، الحد الأدنى للتكامل أ= 0 ، الحد الأعلى للتكامل ب= 3. غالبًا ما يكون إنشاء خطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع ، بينما يتم اكتشاف حدود التكامل كما لو كانت "من تلقاء نفسها". ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان إذا كان الرسم البياني ، على سبيل المثال ، كبيرًا بدرجة كافية ، أو لم يكشف البناء المترابط عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). نعود إلى مهمتنا: من المنطقي أكثر أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطع مكافئ. لنرسم رسمًا:

نكرر أنه في البناء النقطي ، غالبًا ما يتم اكتشاف حدود التكامل "تلقائيًا".

والآن صيغة العمل:

إذا كان في الفاصل الزمني [ أ; ب] بعض الوظائف المستمرة F(x) أكبر من أو يساويبعض الوظائف المستمرة ز(x) ، ثم يمكن العثور على مساحة الشكل المقابل بالصيغة:

هنا لم يعد من الضروري التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور ، ولكن يهم الرسم البياني أعلاه(نسبة إلى رسم بياني آخر) ، وأي واحد أدناه.

في المثال قيد الدراسة ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من 2 x – xيجب طرح 2 - x.

قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:

يتم تحديد الرقم المطلوب بواسطة القطع المكافئ ذ = 2x – x 2 قمة ومباشرة ذ = -xمن الأسفل.

في الجزء 2 x – x 2 ≥ -x. وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابة: .

في الواقع ، الصيغة المدرسية لمنطقة شبه منحرف منحني الخطوط في نصف المستوى السفلي (انظر المثال رقم 3) هي حالة خاصةالصيغ

.

منذ المحور ثورمن المعادلة ذ= 0 ، والرسم البياني للوظيفة ز(x) يقع أسفل المحور ثور، الذي - التي

.

والآن بعض الأمثلة لقرار مستقل

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة شكل محدد بخطوط

أثناء حل المشكلات لحساب المساحة باستخدام تكامل معين ، يحدث أحيانًا حادث مضحك. تم الرسم بشكل صحيح ، وكانت الحسابات صحيحة ، ولكن بسبب عدم الانتباه ، ... وجدت منطقة الرقم الخطأ.

مثال 7

لنرسم أولاً:

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق.(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). لكن من الناحية العملية ، بسبب عدم الانتباه ، غالبًا ما يقررون أنهم بحاجة إلى العثور على مساحة الشكل المظللة باللون الأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا في أنه يتم حساب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقًا:

1) على المقطع [-1 ؛ 1] فوق المحور ثورالرسم البياني مستقيم ذ = x+1;

2) في المقطع فوق المحور ثوريقع الرسم البياني للقطع الزائد ذ = (2/x).

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:

إجابة:

المثال 8

احسب مساحة شكل محدد بخطوط

دعونا نقدم المعادلات في شكل "المدرسة"

ونفّذ الرسم الخطي:

يمكن أن نرى من الرسم أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد": ب = 1.

لكن ما هو الحد الأدنى؟ من الواضح أن هذا ليس عددًا صحيحًا ، لكن ماذا؟

ربما، أ= (- 1/3)؟ ولكن أين هو الضمان أن الرسم مصنوع بدقة كاملة ، فقد يتضح ذلك أ= (- 1/4). ماذا لو لم نحصل على الرسم البياني بشكل صحيح على الإطلاق؟

في مثل هذه الحالات ، يتعين على المرء قضاء وقت إضافي وتحسين حدود التكامل بشكل تحليلي.

أوجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية

للقيام بذلك ، نحل المعادلة:

.

لذلك، أ=(-1/3).

الحل الإضافي تافه. الشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين التبديلات والعلامات. الحسابات هنا ليست أسهل. على الجزء

, ,

وفقًا للصيغة المقابلة:

في ختام الدرس ، سننظر في مهمتين أكثر صعوبة.

المثال 9

احسب مساحة شكل محدد بخطوط

الحل: ارسم هذا الشكل في الرسم.

للرسم نقطة بنقطة ، عليك أن تعرف مظهرأشباه الجيوب. بشكل عام ، من المفيد معرفة الرسوم البيانية لجميع الوظائف الأولية ، بالإضافة إلى بعض قيم الجيب. يمكن العثور عليها في جدول القيم الدوال المثلثية . في بعض الحالات (على سبيل المثال ، في هذه الحالة) ، يُسمح بإنشاء رسم تخطيطي ، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل من حيث المبدأ بشكل صحيح.

لا توجد مشاكل في حدود التكامل هنا ، فهي تتبع مباشرة من الشرط:

- يتغير "x" من صفر إلى "pi". نتخذ قرارًا آخر:

على المقطع ، الرسم البياني للوظيفة ذ= الخطيئة 3 xتقع فوق المحور ثور، لهذا السبب:

(1) يمكنك أن ترى كيف يتم دمج الجيب وجيب التمام في قوى فردية في الدرس تكاملات الدوال المثلثية. نحن نقرص جيب واحد.

(2) نستخدم الهوية المثلثية الأساسية في النموذج

(3) دعونا نغير المتغير ر= كوس xثم: تقع فوق المحور ، لذلك:

.

.

ملحوظة:لاحظ كيف يتم أخذ تكامل الظل في المكعب ، وهنا نتيجة الرئيسي الهوية المثلثية

.

رقم المهمة 3. قم بعمل رسم وحساب مساحة الشكل المحدد بخطوط

تطبيق التكامل على الحل المهام التطبيقية

حساب المنطقة

التكامل المحدد للدالة المستمرة غير السالبة f (x) يساوي عدديًامساحة شبه منحني منحني الخطي يحدها المنحنى y \ u003d f (x) والمحور O x والخطوط المستقيمة x \ u003d a و x \ u003d b. وفقًا لذلك ، تتم كتابة معادلة المساحة على النحو التالي:

ضع في اعتبارك بعض الأمثلة لحساب مساحات الأشكال المستوية.

رقم المهمة 1. احسب المنطقة التي تحدها الخطوط y \ u003d x 2 +1، y \ u003d 0، x \ u003d 0، x \ u003d 2.

حل.لنقم ببناء شكل ، علينا حساب مساحته.

y \ u003d x 2 + 1 عبارة عن قطع مكافئ يتم توجيه فروعه لأعلى ، ويتم إزاحة القطع المكافئ لأعلى بمقدار وحدة واحدة بالنسبة لمحور O y (الشكل 1).

الشكل 1. رسم بياني للدالة y = x 2 + 1

رقم المهمة 2. احسب المنطقة المحددة بالخطوط y \ u003d x 2-1 ، y \ u003d 0 في النطاق من 0 إلى 1.

حل.الرسم البياني لهذه الوظيفة هو القطع المكافئ للفرع ، والذي يتم توجيهه لأعلى ، ويتم إزاحة القطع المكافئ لأسفل بمقدار وحدة واحدة بالنسبة لمحور O y (الشكل 2).

الشكل 2. رسم بياني للدالة y \ u003d x 2-1

رقم المهمة 3. قم بعمل رسم وحساب مساحة الشكل المحدد بخطوط

ص = 8 + 2 س - س 2 وص = 2 س - 4.

حل.أول هذين الخطين هو قطع مكافئ له فروع تتجه لأسفل ، لأن المعامل عند x 2 سالب ، والخط الثاني خط مستقيم يقطع محوري الإحداثيات.

لإنشاء القطع المكافئ ، لنجد إحداثيات رأسه: y '= 2 - 2x؛ 2 - 2x = 0 ، x = 1 - السداسي السداسي للرأس ؛ y (1) = 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 = 9 هو إحداثيته ، N (1 ؛ 9) هو رأسه.

الآن نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط عن طريق حل نظام المعادلات:

معادلة الجوانب اليمنى من المعادلة التي يكون جوانبها اليسرى متساوية.

نحصل على 8 + 2x - x 2 \ u003d 2x - 4 أو x 2-12 \ u003d 0 ، من أين .

لذا ، فإن النقاط هي نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم (الشكل 1).

الشكل 3 بياني للدوال y = 8 + 2x - x 2 و y = 2x - 4

لنقم ببناء خط مستقيم y = 2x - 4. يمر عبر النقاط (0 ؛ -4) ، (2 ؛ 0) على محاور الإحداثيات.

لبناء القطع المكافئ ، يمكنك أيضًا الحصول على نقاط تقاطعها مع المحور 0x ، أي جذور المعادلة 8 + 2x - x 2 = 0 أو x 2 - 2x - 8 = 0. من السهل إيجاد جذوره: x 1 = 2 ، x 2 = 4.

يوضح الشكل 3 شكلًا (الجزء المكافئ M 1 N M 2) يحده هذه الخطوط.

الجزء الثاني من المشكلة هو إيجاد مساحة هذا الشكل. يمكن إيجاد مساحتها باستخدام تكامل محدد باستخدام الصيغة .

وأما هذا الشرط فنحصل على التكامل:

2 حساب حجم جسم الثورة

يتم حساب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من دوران المنحنى y \ u003d f (x) حول محور O x بالصيغة:

عند الدوران حول محور O y ، تبدو الصيغة كما يلي:

رقم المهمة 4. حدد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من دوران شبه منحني منحني الخطوط يحده خطوط مستقيمة x \ u003d 0 x \ u003d 3 ومنحنى y \ u003d حول محور O x.

حل.لنقم ببناء رسم (الشكل 4).

الشكل 4. رسم بياني للدالة y =

الحجم المطلوب يساوي

رقم المهمة 5. احسب حجم الجسم الناتج عن دوران شبه منحني منحني الخط يحده منحنى y = x 2 والخطوط المستقيمة y = 0 و y = 4 حول المحور O y.

حل.لدينا:

راجع الأسئلة

واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل

ننتقل الآن إلى النظر في تطبيقات حساب التفاضل والتكامل. في هذا الدرس ، سنقوم بتحليل المهمة النموذجية والأكثر شيوعًا. كيفية استخدام تكامل محدد لحساب مساحة الشكل المستوي. أخيرًا ، أولئك الذين يبحثون عن معنى في الرياضيات العليا - ربما يجدونها. أنت لا تعرف أبدا. في الحياة الواقعية ، سيتعين عليك تقريب كوخ صيفي بوظائف أولية وإيجاد مساحته باستخدام جزء تكامل معين.

لإتقان المادة بنجاح ، يجب عليك:

1) فهم التكامل غير المحدد على الأقل عند المستوى المتوسط. وبالتالي ، يجب على الدمى قراءة الدرس أولاً لا.

2) أن تكون قادرًا على تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز وحساب التكامل المحدد. يمكنك إقامة علاقات ودية دافئة مع تكاملات معينة على الصفحة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل.

في الواقع ، من أجل العثور على مساحة الشكل ، لا تحتاج إلى الكثير من المعرفة بالتكامل غير المحدد والمؤكد. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا إنشاء رسم، لذلك ستكون معرفتك ومهاراتك في الرسم مسألة أكثر صلة. في هذا الصدد ، من المفيد تحديث ذاكرة الرسوم البيانية للوظائف الأولية الرئيسية ، وكحد أدنى ، لتكون قادرًا على بناء خط مستقيم ، وقطع مكافئ ، وقطع زائد. يمكن القيام بذلك (يحتاج الكثير) بمساعدة المواد المنهجيةومقالات عن التحولات الهندسية للرسوم البيانية.

في الواقع ، الجميع على دراية بمشكلة إيجاد المنطقة باستخدام جزء متكامل محدد منذ المدرسة ، وسنتقدم قليلاً المناهج الدراسية. قد لا توجد هذه المقالة على الإطلاق ، ولكن الحقيقة هي أن المشكلة تحدث في 99 حالة من أصل 100 ، عندما يعذب الطالب من قبل برج مكروه بحماس يتقن دورة في الرياضيات العليا.

يتم تقديم مواد هذه الورشة ببساطة ، بالتفصيل وبأقل قدر من النظرية.

لنبدأ مع شبه منحرف منحني الأضلاع.

منحني الشكل شبه منحرفيسمى الشكل المسطح الذي يحده المحور ، والخطوط المستقيمة ، والرسم البياني لوظيفة متصلة على مقطع لا يغير علامة على هذا الفاصل. دع هذا الرقم يقع ليس أقلالإحداثي السيني:

ثم مساحة شبه منحرف منحني الخطي تساوي عدديًا تكاملًا معينًا. أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الدرس واضح لا يتجزأ. أمثلة الحلقلت أن العدد المحدد هو العدد. والآن حان الوقت لذكر حقيقة أخرى مفيدة. من وجهة نظر الهندسة ، التكامل المحدد هو المنطقة.

إنه، التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل ما. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التكامل المحدد. يُحدد التكامل المنحنى على المستوى الموجود فوق المحور (أولئك الذين يرغبون في إكمال الرسم) ، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحني المقابل.

مثال 1

هذا بيان مهمة نموذجي. أول وأهم لحظة في القرار هي بناء الرسم. علاوة على ذلك ، يجب بناء الرسم يمين.

عند بناء مخطط ، أوصي بالترتيب التالي: في البدايهمن الأفضل إنشاء جميع الخطوط (إن وجدت) وفقط ثم- القطع المكافئ ، القطوع الزائدة ، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. تعد الرسوم البيانية الوظيفية أكثر ربحية للبناء نقطة بنقطة، مع تقنية البناء النقطي يمكن العثور عليها في المادة المرجعية الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية. هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا فيما يتعلق بالدرس - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.

في هذه المشكلة ، قد يبدو الحل هكذا.
لنقم برسم (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

لن أفقس شبه منحني منحني الأضلاع ، فمن الواضح ما هي المنطقة التي نتحدث عنها هنا. يستمر الحل على هذا النحو:

على المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة على المحور، لهذا السبب:

إجابة:

من لديه صعوبة في حساب التكامل المحدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز راجع المحاضرة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل.

بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة ، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 ، ويبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا كان لدينا ، على سبيل المثال ، الإجابة: 20 وحدة مربعة ، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني ، على الأكثر دزينة. إذا كانت الإجابة سلبية ، فقد تم حل المهمة أيضًا بشكل غير صحيح.

مثال 2

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط والمحور

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ماذا تفعل إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تحت المحور؟

مثال 3

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط وقم بتنسيق المحاور.

حل: لنرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع يقع تحت المحور(أو على الأقل ليس أعلىمحور معين) ، فيمكن العثور على مساحته بالصيغة:
في هذه الحالة:

انتباه! لا تخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد فقط دون أي معنى هندسي ، فيمكن أن يكون سالبًا.

2) إذا طُلب منك إيجاد مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد ، فإن المنطقة تكون دائمًا موجبة! هذا هو السبب في ظهور علامة الطرح في الصيغة التي تم النظر فيها للتو.

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون الشكل موجودًا في كل من المستويات النصفية العلوية والسفلية ، وبالتالي ، من أبسط مشاكل المدرسة ، ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحًا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده خطوط.

حل: تحتاج أولاً إلى إكمال الرسم. بشكل عام ، عند إنشاء رسم في مشاكل المنطقة ، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. لنجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:

ومن ثم ، فإن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.
من الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن..

إن بناء الخطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع بكثير ، بينما يتم اكتشاف حدود التكامل كما لو كانت "من تلقاء نفسها". تتم مناقشة تقنية البناء نقطة بنقطة لمختلف المخططات بالتفصيل في المساعدة الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية. ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان إذا كان الرسم البياني ، على سبيل المثال ، كبيرًا بدرجة كافية ، أو لم يكشف البناء المترابط عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.

نعود إلى مهمتنا: من المنطقي أكثر أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطع مكافئ. لنرسم رسمًا:

أكرر أنه مع البناء النقطي ، غالبًا ما يتم اكتشاف حدود التكامل "تلقائيًا".

والآن صيغة العمل: إذا كان هناك بعض الوظائف المستمرة في الفترة الزمنية أكبر من أو يساوييمكن العثور على بعض الوظائف المستمرة ، ثم مساحة الشكل المحصورة برسوم بيانية لهذه الوظائف والخطوط المستقيمة ، بواسطة الصيغة:

هنا لم يعد من الضروري التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور ، وبصورة تقريبية ، يهم الرسم البياني أعلاه(نسبة إلى رسم بياني آخر) ، وأي واحد أدناه.

في المثال قيد النظر ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من الضروري طرحه من

قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:

الشكل المطلوب محدد بقطع مكافئ من أعلى وخط مستقيم من أسفل.
في المقطع ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابة:

في الواقع ، الصيغة المدرسية لمنطقة شبه منحرف منحني الخطوط في النصف السفلي من المستوى (انظر المثال البسيط رقم 3) هي حالة خاصة للصيغة . نظرًا لأن المحور معطى بالمعادلة ، ويقع الرسم البياني للوظيفة ليس أعلىالمحاور إذن

والآن بعض الأمثلة لقرار مستقل

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة الشكل المحاطة بالخطوط.

أثناء حل المشكلات لحساب المساحة باستخدام تكامل معين ، يحدث أحيانًا حادث مضحك. تم الرسم بشكل صحيح ، والحسابات كانت صحيحة ، ولكن بسبب عدم الانتباه ... وجدت منطقة الرقم الخطأ، هكذا أخطأ خادمك المطيع عدة مرات. هنا حالة حقيقيةمن الحياة:

مثال 7

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ، ، ،.

حل: لنرسم أولاً:

... آه ، خرج الرسم هراء ، لكن كل شيء يبدو مقروءًا.

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق.(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). ولكن من الناحية العملية ، بسبب عدم الانتباه ، غالبًا ما يحدث "خلل" ، تحتاج إلى العثور على منطقة الشكل المظللة باللون الأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا في أنه يتم حساب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقًا:

1) يوجد رسم بياني بخط مستقيم على المقطع فوق المحور ؛

2) على المقطع فوق المحور يوجد رسم بياني للقطع الزائد.

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:

إجابة:

دعنا ننتقل إلى مهمة أخرى ذات مغزى.

المثال 8

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ،
دعنا نقدم المعادلات في شكل "مدرسة" ، ونقوم برسم نقطة بنقطة:

يتضح من الرسم أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد":.
لكن ما هو الحد الأدنى؟ من الواضح أن هذا ليس عددًا صحيحًا ، لكن ماذا؟ ربما ؟ ولكن أين هو ضمان أن الرسم مصنوع بدقة كاملة ، فقد يتضح ذلك. أو الجذر. ماذا لو لم نحصل على الرسم البياني بشكل صحيح على الإطلاق؟

في مثل هذه الحالات ، يتعين على المرء قضاء وقت إضافي وتحسين حدود التكامل بشكل تحليلي.

لنجد نقاط تقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ.
للقيام بذلك ، نحل المعادلة:


,

حقًا، .

الحل الإضافي بسيط ، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات ، فالحسابات هنا ليست أسهل.

على الجزء ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابة:

حسنًا ، في ختام الدرس ، سننظر في مهمتين أكثر صعوبة.

المثال 9

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط ،

حل: ارسم هذا الشكل في الرسم.

لعنة ، لقد نسيت أن أوقع على الجدول ، وأعيد الصورة ، آسف ، ليس hotz. ليس رسمًا ، باختصار ، اليوم هو يوم =)

بالنسبة للبناء التفصيلي ، من الضروري معرفة مظهر الجيوب الأنفية (وبشكل عام من المفيد معرفة الرسوم البيانية لجميع الوظائف الابتدائية) ، بالإضافة إلى بعض قيم الجيب ، يمكن العثور عليها في الجدول المثلثي. في بعض الحالات (كما في هذه الحالة) ، يُسمح بإنشاء رسم تخطيطي ، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل من حيث المبدأ بشكل صحيح.

لا توجد مشاكل في حدود التكامل هنا ، فهي تنبع مباشرة من الشرط: - يتغير "x" من صفر إلى "pi". نتخذ قرارًا آخر:

في المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة فوق المحور ، لذلك: