طريقة الظل. الحل التقريبي للمعادلات باستخدام أدوات مختلفة

نوع الدرس: دراسة وتعزيز المعرفة الجديدة.

نوع الدرس: عمل عملي باستخدام الحاسوب.

مدة الدرس: درسين.

الهدف: تعلم كيفية حل المعادلات بدقة معينة في فترة زمنية معينة.

• تطوير الأنشطة البحثية والمعرفية للطلاب ؛
• تطوير القدرة على استخدام أدوات برمجية مختلفة لحل مشكلة واحدة؛
• تطوير مهارات التواصلطلاب.

طرق التدريس: بصرية، بحثية، عملية.

معدات:

• حاسوب؛
• الشبكة المحلية؛
• كشاف ضوئي.

برمجة:

1. نظام تشغيل ويندوز؛
2. مايكروسوفت اكسلمن حزمة مايكروسوفت أوفيس؛
3. مايكروسوفت فيجوال بيسك 6.0.

خطة الدرس:

1. تنظيم الوقت.
2. خلق موقف إشكالي.
3. الاستخدام طريقة الرسملحل تقريبي للمعادلات في جداول البيانات.
4. دراسة الطريقة نصف الانقسامعند حل المعادلات.
5. نمذجة ورقة جدولية لتقريب حل المعادلة بطريقة التنصيف.
6. نمذجة مشروع "الحل التقريبي للمعادلة" في لغة كائنية التوجه Visual Basic 6.0.
7. تجربة الكمبيوتر.
8. تحليل النتائج التي تم الحصول عليها.
9. تلخيص الدرس.

خلال الفصول الدراسية

1. اللحظة التنظيمية.

تحية من المعلم.

2. خلق موقف إشكالي.

– اليوم علينا حل مشكلة إيجاد الجذر التقريبي للمعادلة كوس(س)=س باستخدام أدوات البرمجيات المختلفة. اكتب موضوع الدرس: "الحل التقريبي للمعادلات باستخدام أدوات مختلفة".

– رغم أنك لا تعرف أي تقنيات رياضية لحل هذه المعادلة، إلا أنك تعرف برنامجًا يمكنك من خلاله حلها تقريبًا بيانيا. أي برنامج هذا؟ (مايكروسوفت اكسل.)

3. استخدام الطريقة الرسومية لحل المعادلات في جداول البيانات بشكل تقريبي.

- ما معنى الطريقة؟ (تحتاج إلى رسم الوظيفة ص = كوس (س) –س في مقطع معين، يكون الإحداثي الإحداثي لنقطة تقاطع الرسم البياني مع محور OX هو جذر المعادلة كوس(س)=س .)

– ما الذي يجب تحديده لبناء الرسم البياني؟ (الجزء الذي يوجد عليه الجذر.)

- افعل ذلك رياضيا. (مجموعة قيم الجانب الأيسر من المعادلة، الدالة ص = كوس (س) ، هو الجزء [-1؛ 1]. لذلك، يمكن أن يكون للمعادلة جذر على هذا الجزء فقط.)

- إذن أوجد الجذر التقريبي للمعادلة كوس(س)=س على الجزء [-1؛ 1] بخطوات، على سبيل المثال، 0.1 فولت برنامج مايكروسوفتاكسل.

الصورة 1

- الجذر التقريبي للمعادلة x=0.75. ومع ذلك، لا يوجد هذا التقريب دقة عالية. للعثور على الجذر التقريبي للمعادلة بدقة محددة مسبقًا، يتم استخدام الطرق الرياضية، على وجه الخصوص، طريقة النصفين.

4. دراسة طريقة الأنصاف عند حل المعادلات.

دعونا نفكر وظيفة مستمرة f(x)، بحيث يكون جذر هذه المعادلة هو نقطة تقاطع الرسم البياني لهذه الدالة مع محور OX.

فكرة طريقة القسمة النصفية هي تصغير المقطع الأصلي [a; ب]، الذي يوجد عليه جذر المعادلة، إلى مقطع بدقة معينة ح.

تتلخص العملية في تقسيم المقطع إلى نصفين بالتسلسل حسب النقطة c = (a+b)/2 والتخلص من نصف المقطع ( أو ) الذي لا يوجد عليه جذر. حدد المقطع الذي تأخذ الدالة في نهايته قيم علامات مختلفة، أي. منتج هذه القيم سلبي. الدالة في هذا الجزء تتقاطع مع المحور السيني. يتم تعيين نهايات هذا الجزء مرة أخرى بالتسميات أ، ب.

ويستمر هذا التقسيم حتى يصبح طول المقطع أقل من ضعف الدقة، أي. حتى تتحقق المتباينة (b-a)/2

(اعرض الصورة الناتجة للرسم البياني من خلال جهاز العرض على الشاشة، وناقش الأجزاء التي يجب تحديدها بدقة معينة تبلغ 0.5. الاستنتاج: تم العثور على الجذر التقريبي للمعادلة x = 0.75 بدقة 0.5.)

- الآن دعونا نجد جذر المعادلة كوس(س)=س بدقة 0.001. دعونا نحل المشكلة باستخدام Microsoft Excel.

5. نمذجة ورقة جدولية لتقريب حل المعادلة بطريقة التنصيف.

(يتم إنشاء تخطيط الورقة بالاشتراك مع الطلاب)

سنكتب القيم الأولية لحدود المقطع a وb في الخلايا A4 وB4، في الخلية C4 سنحصل على منتصف المقطع المحدد، في الخلايا D4 وE4 سنحصل على قيم الدالة f(x) في نهايات المقطع، في الخلية F4 سنحدد طول المقطع [a؛ ب]، نشير إلى الدقة المطلوبة في الخلية H4. في الخلية G4، سنكتب صيغة العثور على الجذر وفقًا للقاعدة: إذا كان طول المقطع الحالي يتوافق مع الدقة المطلوبة، فسنأخذ قيمة منتصف هذا المقطع كجذر للمعادلة. نحن نعلم بالفعل أنه في حالتنا لا يمكن العثور على الجذر في خطوة واحدة، لذلك عند نسخ صيغة من الخلية G4، لا يتغير عنوان الخلية H4، نستخدم العنونة المطلقة.

في السطر الخامس نكتب القيم التي تم الحصول عليها بعد الخطوة الأولى وهي تقسيم القطعة الأصلية إلى النصف. في الخلايا A5 وB5، تحتاج إلى إدخال صيغ لتحديد حدود المقطع الجديد. يتم نسخ الصيغ إلى الخلايا C4، وD4، وE4، وF4، وG4 من الخلايا C5، وD5، وE5، وF5، وG5، على التوالي.

وبالتالي، في وضع الصيغة، ستبدو ورقة جدول البيانات كما يلي:

6. نمذجة مشروع "الحل التقريبي للمعادلة" باللغة الشيئية Visual Basic 6.0.

(يتم تنفيذ تخطيط النموذج وكتابة كود البرنامج من قبل الطلاب بشكل مستقل: بشكل فردي أو في مجموعات)

الشكل 3

كود البرنامج للزر جذر المعادلة cos(x)=x:

أمر فرعي خاص1_Click()

بينما (ب - أ) / 2 >= ه

إذا اتحاد كرة القدم * FC< 0 Then b = c Else a = c

النص4 = (أ + ب) / 2

7. تجربة الكمبيوتر.

(يكمل الطلاب المشروع في جداول البيانات، ويكتبون النتيجة في دفتر ملاحظات. ثم يكملون المشروع في Visual Basic، ويكتبون النتيجة في دفتر ملاحظات.)

المشروع في جداول البيانات - الملحق 1.

8. تحليل النتائج التي تم الحصول عليها.

(يستنتج الطلاب أن نتائج حل المعادلة cos(x)=x التي تم الحصول عليها باستخدام أدوات مختلفة هي نفسها.)

9. تلخيص الدرس.

مدرسة MBOU الثانوية رقم 6

درس علوم الحاسوب

موضوعاكسل»

الصف: التاسع (التعليم العام)

المعلم: إن كوليك

موضوع الدرس: "الحل التقريبي للمعادلات باستخدام معالج جداول البياناتاكسل»

نوع الدرس : الدرس - توحيد ما تم تعلمه

نوع الدرس: درس - ورشة عمل

تكنولوجيا : بحث المشكلة

معدات : فئة الكمبيوتر مجهزة التقنية الحديثةوالبرمجيات

أهداف الدرس:

تكوين المهارات والقدرات التي تحملها الظروف الحديثةالشخصية العلمية العامة والفكرية العامة.

تطوير النظرية لأطفال المدارس ، تفكير ابداعىوكذلك تكوين التفكير التشغيلي الذي يهدف إلى اختيار الحلول المثلى.

تعليم تلاميذ المدارس استخدام الحديث برمجةفي حل المشاكل غير القياسية.

أهداف الدرس:

التعليمية - تطوير الفائدة المعرفية، تعليم ثقافة المعلومات.

التعليمية - تعلم وتعزيز المهارات الأساسية في العمل مع جداول البيانات.

التنموية - تطوير التفكير المنطقي، توسيع آفاقك.

خطة الدرس.

مسح أمامي للتحقق من مستوى استعداد الطلاب لإتقان المواد الجديدة.

شرح المواد الجديدة و عمل مستقلالطلاب على أجهزة الكمبيوتر.

أداء المهام الفردية المتمايزة (العمل في مجموعات).

طباعة تقارير الورشة والدرجات.

العمل في المنزل.

انعكاس.

خلال الفصول الدراسية

أنا. نبذة مختصرة عن السلامة في معمل الحاسوب.

مرحبا يا شباب! اليوم نحن نعقد درس عمليعلى جداول البيانات في معمل الكمبيوتر. لضمان التشغيل الآمن، يجب اتباع القواعد التالية:

لا يمكنك تشغيل وإيقاف تشغيل الكمبيوتر بشكل مستقل، دون إذن المعلم؛

لا تلمس الجزء الخلفي من الكمبيوتر والأسلاك؛

لا تضغط على المفاتيح بقلم أو قلم رصاص؛

لا يمكنك التجول في الفصل الدراسي أو النهوض من مقعدك؛

إذا تعطل جهاز الكمبيوتر أو إذا لاحظت رائحة احتراق، اتصل بالمعلم.

مسح أمامي.

في الدرس النظري الأخير تحدثنا عنه بالفعل ميزات إضافيةبرامج اكسل.

دعونا نتذكر لماذا هناك حاجة لهذا البرنامج؟ ( استخدم مكتبة المخططات الغنية لإنشاء المخططات والرسوم البيانية أنواع مختلفة: دائري، المخططات الشريطية، الرسومات؛ يمكنك تقديم العناوين والشروحات، ويمكنك ضبط لون ونوع التظليل في المخططات؛ الطباعة على الورق، وتغيير الحجم والموقع على الورقة وإدراج المخططات في المكان المطلوب على الورقة)

كيف تفهم مصطلح "رسومات الأعمال"؟ ( ويقصد بهذا المصطلح عادة الرسوم البيانية والرسوم البيانية التي تمثل بوضوح ديناميكيات تطور إنتاج وصناعة معينة وأي بيانات رقمية أخرى.

ما أمر القائمة الذي يمكن استخدامه لإنشاء المخططات والرسوم البيانية في Excel؟ (يمكن إنشاء المخططات والرسوم البيانية باستخدام زر معالج المخططات)

كيفية ضبط الحساب التلقائي لقيم الخلايا في الجدول بواسطة صيغة معينة? (لتعيين الحساب التلقائي للقيم في الجدول باستخدام صيغة معينة، يجب عليك إدخال علامة "="، ثم تنشيط الخلية المطلوبة وإدخال العلامات المقابلة للعمليات الحسابية)

هل من الممكن التحكم في إدخال الصيغة؟ (يمكنك التحكم في إدخال الصيغة باستخدام نافذة إدخال الصيغة)

كيف يمكنك إدخال صيغة في عدة خلايا، أي: نسخه؟ (لإدخال صيغة في عدة خلايا، تحتاج إلى وضع المؤشر على علامة الخلية السفلية اليمنى واسحبها إلى الخلية الأخيرة في النطاق المطلوب)

ماذا عن عرض المؤشر الذي تم ضبطه على علامة الخلية اليمنى السفلية؟

ثالثا. عرض مواد جديدة وعمل مستقل للطلاب على أجهزة الكمبيوتر.

موضوع الدرس "الحل التقريبي للمعادلات باستخدام معالج جداول البياناتاكسل»

من مقرر الرياضيات لنتذكر ماذا يعني حل المعادلة؟ ( حل المعادلة يعني إيجاد جذورها أو إثبات عدم وجود جذور)

ما هي طرق حل المعادلات التي تعرفها؟ ( هناك طريقتان لحل المعادلات: التحليلية والرسومية)

دعونا نتناول الطريقة الرسومية للعثور على الجذور. بناءً على هذه الطريقة، من فضلك أخبرني ما هي جذور المعادلة؟ ( جذور المعادلة هي قيم نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثي.

إذا حللنا نظام معادلات، ما هو حله؟ (حل نظام المعادلات سيكون إحداثيات نقاط تقاطع الرسوم البيانية للدالة).

في الدرس الأخير، تعلمنا أنه باستخدام برنامج Excel يمكنك إنشاء أي رسم بياني تقريبًا.

دعونا نستخدم هذه المعرفة للعثور على جذور نظام المعادلات باستخدام الطريقة الرسومية.

ما الذي يجب فعله لحل نظام المعادلات هذا؟ ( يتحول هذا النظامفي ما سبق)

نحصل على: x 2 = 2x+9

لتقييم الحلول، سنستخدم رسمًا تخطيطيًا سنعرض عليه الرسوم البيانية لكلتا الدالتين في نفس نظام الإحداثيات.

أولا، دعونا نجهز الطاولة.

السطر الأول هو خط الرأس

عند ملء العمود A: أدخل في الخلية A2 القيمة البدائيةالحجة س. يا رفاق، اقترحوا القيمة الأولية لـ x (___).

لماذا يمكننا أن نأخذ القيمة الأولية التي تساوي ____؟ ( لأن مجال كلتا الدالتين هو كل الأعداد الحقيقية).

لملء العمود بأكمله تلقائيا، تحتاج إلى إدخال الصيغة في الخلية A3:

A2+1، حيث +1 هي خطوة تغيير الوسيطة وانسخها إلى الخلية A23.

عند ملء العمود B، في الخلية B2، نقوم بإدخال الصيغة A2*A2، والتي ننسخها أيضًا إلى الخلية B23.

عند ملء العمود C، في الخلية C2 نقوم بإدخال الصيغة 2*A2+9 ويتم نسخها أيضًا إلى C23.

حدد الجدول الناتج.

في اللوحة القياسية، انقر فوق الزر "Chart Wizard"، سيتم فتح نافذة "Chart Wizard"، انقر فوق النوع "Scatter"، ثم حدد طريقة العرض "Scatter Chart مع القيم المتصلة بواسطة خطوط ناعمة" وقم بإنشاء مخطط مخطط تقييم القرار

ماذا نرى في الرسم البياني؟ ( يوضح الرسم البياني أن كلا الرسمين البيانيين لهما نقطتي تقاطع)

ماذا يمكن أن يقال عن نقاط التقاطع هذه؟( إحداثيات نقاط التقاطع هي حلول النظام)

من الرسم البياني يمكنك تحديد الإحداثيات تقريبًا

دعونا نتذكر مرة أخرى كيفية إيجاد حل المعادلة بيانياً؟

(يمكن القيام بذلك عن طريق رسم الدالةذ= س^3-2 س^2+4 س-12 وتحديد الإحداثيات x لنقاط التقاطع مع محور OX.

أو تخيل معادلة معينةمثلس^3=2 س^2-4 س+12 وبناء رسمين بيانيينذ= س^3 ذ=2 س^2-4 س+12 وتحديد حدود نقاط تقاطع الرسوم البيانية للدالة وستكون قيم الحدود الفاصلة هي جذور المعادلة)

لقد نظرنا بالفعل في إنشاء رسمين بيانيين. لنجد حل هذه المعادلة عن طريق تحديد الإحداثي x لنقاط تقاطعها مع محور OX.

نبدأ بملء الجدول.

في سطر العنوان ندخل النص:

X y=x^3-2x^2+4x-12

أقترح أن تأخذ القيمة الأولية للوسيطة 0، وأدخلها في الخلية A2.

في الخلية A3 ندخل الصيغة =A2+0.15 وننسخها إلى الخلية A20.

في الخلية B2، ندخل الصيغة =A2^3-2*A2^2+4*A2-12 وننسخها أيضًا إلى B20.

كيف نحدد حل المعادلة؟ ( تحديد إحداثي x لنقاط تقاطع الرسم البياني مع محور OX)

كم عدد هذه النقاط؟ (واحد)

ما هو الإحداثي يساوي؟ (س = 2.4)

أداء المهام الفردية المتمايزة (العمل في مجموعات)

وهكذا، نرى أنه باستخدام برنامج Excel، يمكنك حل أي معادلة تقريبًا بيانيًا، وهو ما سنفعله الآن.

سوف تتلقى كل مجموعة مهمة فردية. بعد الانتهاء من المهمة، يجب على المجموعة طباعة الجداول والرسوم البيانية الخاصة بمهمتهم.

يوجد مستشارين في كل مجموعة وسأأخذ رأيه بعين الاعتبار عند تحديد الدرجات. لديك 10 دقائق للعمل.

2x+y=-3 2y=34-x^2 x^2+y^2=25

2x^2=-22+5x+y y=x^2+11 3y=4x

لا توجد حلول (-2;15)، (2;15) (3;4)، (-3;-4)

(كلمة المستشارين)

الخامس. العمل في المنزل:تحليل المهام والتحقق منها وإعداد التقارير في دفاتر الملاحظات.

السادس.انعكاس.

اليوم في الصف نظرنا إلى...

باستخدام برنامج Excel يمكنك إنشاء...

قبل هذا الدرس لم أكن أعرف...

كنت غاضبة من نفسي في الصف بسبب...

أستطيع أن أشيد اليوم... ، لحقيقة أن...

اليوم في الصف تعلمت...

طوال الدرس شعرت...

موضوع : تقريبي الحل الرسوميالمعادلات.

الهدف: تعزيز تنمية مهارة حل المعادلات بيانياً باستخدام جداول البيانات.

خلال الفصول الدراسية:

1. 
   اللحظة التنظيمية (دقيقتان)
2. 
   تحديث المعرفة (8 دقائق)

2) تحديد جدول.

1. 
   عنوان الخلية.
2. 
   
3. 
   
4. 
   إدخال الصيغ
5. 
   
6. 
   
7. 
   
8. 
   وظائف المنطق

1. 
   تعلم مواد جديدة (10 دقائق)

لنجد جذر المعادلة x 3 – sin x = 0 بيانياً في جداول البيانات. ندخل قيم الوسيطة – 1.4 إلى 1.4 بزيادات قدرها 0.2

1. 
   العمل التطبيقيرقم 51 (20 دقيقة)

2) باستخدام جدول بيانات، حل المعادلة بيانيًا sin(x)=1/x على مقطع بدقة 0.1

1. 
   الواجب المنزلي (دقيقتان)

تحضير المعادلات لحلها بيانيا

1. 
   ملخص الدرس (3 دقائق)

موضوع:

المعدات: فئة الكمبيوتر، جهاز العرض
خلال الفصول الدراسية:

1) تطبيق جداول البيانات

1. 
   عنوان الخلية.
2. 
   أنواع بيانات جداول البيانات الأساسية.
3. 
   النص في جداول البيانات.
4. 
   إدخال الصيغ
5. 
   الروابط النسبية والمطلقة والمختلطة.
6. 
   ما هي فئات الوظائف المضمنة التي تعرفها؟
7. 
   أعط أمثلة على الوظائف الرياضية.
8. 
   وظائف المنطق

3. تعلم مواد جديدة (10 دقائق)

لنجد جذر المعادلة x 3 – cos x = 0 في جداول البيانات باستخدام طريقة اختيار المعلمة. ندخل قيم الوسيطة – 1.4 إلى 1.4 بزيادات قدرها 0.2
4. العمل العملي رقم 51 (20 دقيقة)

2) باستخدام جدول البيانات، حل المعادلة cos(x)=1/(x+1) على مقطع بدقة 1 بيانياً وباستخدام طريقة اختيار المعلمة.
5. الواجب المنزلي (دقيقتان)

قم بإعداد المعادلات للحل بيانياً وباختيار المعلمة.

1. 
   ملخص الدرس (3 دقائق)

موضوع: الحل التقريبي للمعادلات عن طريق طريقة اختيار المعلمة.

الهدف: تعزيز تنمية مهارة حل المعادلات باستخدام طريقة اختيار المعلمات.

المعدات: فئة الكمبيوتر، جهاز العرض
خلال الفصول الدراسية:

1. اللحظة التنظيمية (دقيقتان)

2. تحديث المعرفة (8 دقائق)

1) تطبيق جداول البيانات

2) تحديد جدول البيانات.

1. 
   عنوان الخلية.
2. 
   أنواع بيانات جداول البيانات الأساسية.
3. 
   النص في جداول البيانات.
4. 
   إدخال الصيغ
5. 
   الروابط النسبية والمطلقة والمختلطة.
6. 
   ما هي فئات الوظائف المضمنة التي تعرفها؟
7. 
   أعط أمثلة على الوظائف الرياضية.
8. 
   وظائف المنطق

3. العمل العملي رقم 51 (30 دقيقة)

1) ابحث عن جذر المعادلة x 2 = cos x في جداول البيانات باستخدام طريقة اختيار المعلمة. نقوم بإدخال قيم الوسيطة – من 3 إلى 3 بزيادات 0، 2

1. 
   حل المعادلة sinx - 2x = 0 باستخدام طريقة اختيار المعلمة. قيم الوسيطة – من -3 إلى 3 بزيادات قدرها 0.5

3) باستخدام جدول بيانات، حل المعادلة sin(x)=1/
على مقطع بدقة 1 بيانياً وباستخدام طريقة اختيار المعلمة.
5. الواجب المنزلي (دقيقتان)

على سبيل المثال:

دعونا نحدد المهمة للعثور عليها صالحجذور هذه المعادلة

وهناك بالتأكيد! - من المقالات حول الرسوم البيانية الوظيفيةو معادلات الرياضيات العلياأنت تعرف جيدًا ما هو الجدول الزمني الدالة متعددة الحدود درجة غريبةيتقاطع مع المحور مرة واحدة على الأقل، وبالتالي فإن المعادلة لدينا على الأقلجذر حقيقي واحد. واحد. او اثنين. أو ثلاثة.

أولا، فإنه يطرح للتحقق من توافرها عاقِلجذور وفق النظرية المقابلة، الأرقام 1، -1، 3، -3 فقط هي التي يمكنها المطالبة بهذا "اللقب"، ومن خلال الاستبدال المباشر يكون من السهل التأكد من أن أيًا منها "لا يناسب". وهكذا تبقى القيم غير العقلانية. جذر غير عقلاني(جذور) كثيرة الحدود من الدرجة 3 يمكن العثور عليها بالضبط (التعبير عن طريق الجذور)باستخدام ما يسمى صيغ كاردانو ومع ذلك، هذه الطريقة مرهقة للغاية. وبالنسبة لكثيرات الحدود 5 و درجات أعلىعام المنهج التحليليغير موجود على الإطلاق، وبالإضافة إلى ذلك، في الممارسة العملية هناك العديد من المعادلات الأخرى التي القيم الدقيقةمن المستحيل الحصول على جذور حقيقية (رغم وجودها).

ومع ذلك، في التطبيقية (على سبيل المثال، الهندسة)المشاكل، فمن المقبول استخدام القيم التقريبية المحسوبة بدقة معينة.

دعونا نضبط الدقة لمثالنا. ماذا يعني ذلك؟ هذا يعني أننا بحاجة إلى إيجاد قيمة تقريبية للجذر (الجذور)فيها نحن نحن نضمن أن نكون مخطئين بما لا يزيد عن 0.001 (ألف) .

من الواضح تمامًا أنه لا يمكن بدء الحل "عشوائيًا" وبالتالي في الخطوة الأولى الجذور متفرق. يعني فصل الجذر العثور على جزء صغير بدرجة كافية (مفرد عادةً) ينتمي إليه هذا الجذر ولا توجد عليه جذور أخرى. أبسط وأكثر سهولة الطريقة الرسومية لفصل الجذر. لنبني نقطة بنقطةرسم بياني للدالة :

يتبين من الرسم أن المعادلة، على ما يبدو، لها جذر حقيقي واحد ينتمي إلى القطعة. في نهايات هذه الفترة الفاصلة الدالة يأخذ قيم علامات مختلفة: ومن الحقيقة استمرارية الوظيفة على الجزءتظهر على الفور طريقة أولية لتوضيح الجذر: قم بتقسيم الفاصل الزمني إلى نصفين وحدد المقطع الذي تأخذ الدالة في نهايته علامات مختلفة. في في هذه الحالةمن الواضح أن هذا جزء. نقسم الفاصل الزمني الناتج إلى النصف ونختار مرة أخرى مقطع "العلامة المختلفة". وما إلى ذلك وهلم جرا. تسمى هذه الإجراءات المتسلسلة التكرارات. في هذه الحالة، يجب تنفيذها حتى يصبح طول المقطع أقل من ضعف دقة الحساب، ويجب اختيار منتصف المقطع الأخير "بعلامة مختلفة" كقيمة تقريبية للجذر.

حصل المخطط المدروس على اسم طبيعي - طريقة القسمة النصفية. وعيب هذه الطريقة هو السرعة. ببطء. بطيء جدا. سيكون هناك الكثير من التكرارات قبل أن نحقق الدقة المطلوبة. مع تطور تكنولوجيا الكمبيوتر، هذه، بالطبع، ليست مشكلة، ولكن الرياضيات هي ما هو الرياضيات، للبحث عن أكثر طرق عقلانيةحلول.

وواحد من أكثر طرق فعالةالعثور على القيمة التقريبية للجذر هو على وجه التحديد طريقة الظل. مختصر جوهر هندسيالطريقة هي كما يلي: أولا، باستخدام معيار خاص (المزيد عن ذلك لاحقًا)يتم تحديد أحد طرفي المقطع. وتسمى هذه النهاية أوليتقريب الجذر، في مثالنا: . الآن نرسم مماسًا للرسم البياني للدالة عند الإحداثي السيني (النقطة الزرقاء والظل الأرجواني):

لقد عبر هذا المماس المحور السيني عند النقطة الصفراء، ولاحظ أننا في الخطوة الأولى تقريبًا "وصلنا إلى الجذر"! سيكون ذلك أولاًنهج الجذر. بعد ذلك، نقوم بخفض اللون الأصفر المتعامد على الرسم البياني للدالة و"الوصول" إلى النقطة البرتقالية. نرسم مرة أخرى مماسًا عبر النقطة البرتقالية التي ستتقاطع مع المحور بالقرب من الجذر! وما إلى ذلك وهلم جرا. ليس من الصعب أن نفهم أنه باستخدام طريقة الظل، فإننا نقترب من الهدف بسرعة فائقة، وسوف يستغرق الأمر عدة تكرارات حرفيًا لتحقيق الدقة.

منذ يتم تعريف الظل من خلال مشتق من الوظيفةثم انتهى هذا الدرس إلى قسم "المشتقات" كأحد تطبيقاته. ودون الخوض في التفاصيل التبرير النظري للطريقةسأفكر في الجانب الفني للمشكلة. من الناحية العملية، تحدث المشكلة الموضحة أعلاه تقريبًا في الصيغة التالية:

مثال 1

باستخدام الطريقة الرسومية، أوجد الفترة التي يقع فيها الجذر الحقيقي للمعادلة. باستخدام طريقة نيوتن، احصل على قيمة تقريبية للجذر بدقة 0.001

إليك "نسخة احتياطية" من المهمة، حيث يُذكر على الفور وجود جذر واحد صالح.

حل: في الخطوة الأولىيجب فصل الجذر بيانياً. يمكن القيام بذلك عن طريق التخطيط (انظر الرسوم التوضيحية أعلاه)، ولكن هذا النهج له عدد من العيوب. أولاً، ليس حقيقة أن الرسم البياني بسيط (لا نعرف مقدما)، والبرنامج ليس في متناول اليد دائمًا. وثانيا (النتيجة الطبيعية من 1)، مع احتمال كبير، لن تكون النتيجة حتى رسمًا تخطيطيًا، بل رسمًا تقريبيًا، وهو بالطبع ليس جيدًا.

حسنا لماذا ينبغي علينا صعوبات غير ضرورية؟ دعنا نتخيل المعادلةفي النموذج، قم بإنشاء الرسوم البيانية بعناية ووضع علامة على الجذر في الرسم (الإحداثي "X" لنقطة تقاطع الرسوم البيانية):

ميزة واضحة هذه الطريقةهو أن الرسوم البيانية لهذه الوظائف يتم إنشاؤها يدويًا بشكل أكثر دقة وأسرع بكثير. بالمناسبة، لاحظ ذلك مستقيمعبرت القطع المكافئ المكعبعند نقطة واحدة، مما يعني أن المعادلة المقترحة لها في الواقع جذر حقيقي واحد فقط. ثق ولكن تحقق ؛-)

لذا، فإن "عميلنا" ينتمي إلى المقطع و"بالعين" يساوي تقريبًا 0.65-0.7.

في الخطوة الثانيةبحاجة للاختيار التقريب الأوليجذر عادة ما يكون هذا أحد نهايات المقطع. يجب أن يفي التقريب الأولي الشرط التالي:

دعونا نجد أولاًو ثانيةوظائف مشتقة :

وتحقق من الطرف الأيسر للقطعة:

وبالتالي فإن الصفر "لم يكن مناسبًا".

التحقق من الطرف الأيمن للقطعة:

- كل شيء على ما يرام! نختار كتقريب أولي.

في الخطوة الثالثةالطريق إلى الجذر ينتظرنا. يتم حساب كل تقريب جذر لاحق من البيانات السابقة باستخدام ما يلي متكررالصيغ:

تنتهي العملية عند استيفاء الشرط، حيث يتم تحديد دقة حسابية محددة مسبقًا. ونتيجة لذلك، يتم أخذ التقريب "nth" كقيمة تقريبية للجذر: .

التالي هي الحسابات الروتينية:

(يتم التقريب عادة إلى 5-6 منازل عشرية)

بما أن القيمة التي تم الحصول عليها أكبر من، فإننا ننتقل إلى التقريب الأول للجذر:

نحسب:

لذلك لا بد من الانتقال إلى التقريب الثاني:

دعنا ننتقل إلى الجولة التالية:

وبذلك تكون التكرارات قد اكتملت، وينبغي اعتبار التقريب الثاني هو القيمة التقريبية للجذر، والتي، وفقًا للدقة المحددة، يجب تقريبها إلى جزء من الألف:

من الناحية العملية، من الملائم إدخال نتائج العمليات الحسابية في الجدول، من أجل تقصير الإدخال إلى حد ما، وغالبًا ما يُشار إلى الكسر بالصيغة التالية:

إذا كان ذلك ممكنا، فمن الأفضل إجراء الحسابات نفسها في Excel - فهي أكثر ملاءمة وأسرع:

إجابة: دقيقة إلى 0.001

اسمحوا لي أن أذكركم أن هذه العبارة تعني أننا ارتكبنا خطأ في تقييمنا المعنى الحقيقيالجذر بما لا يزيد عن 0.001. يمكن لأولئك الذين لديهم شك أن يلتقطوا حاسبة صغيرة ويستبدلوا مرة أخرى القيمة التقريبية 0.674 على الجانب الأيسر من المعادلة.

الآن دعونا "نقوم بمسح" العمود الأيمن من الجدول من الأعلى إلى الأسفل ونلاحظ أن القيم تتناقص بشكل مطرد في القيمة المطلقة. ويسمى هذا التأثير التقاربطريقة تسمح لنا بحساب الجذر بدقة عالية بشكل تعسفي. لكن التقارب لا يحدث دائمًا، بل هو مضمون عدد من الشروط، الذي التزمت الصمت عنه. على وجه الخصوص، يجب أن يكون الجزء الذي يتم عزل الجذر عليه صغيرة بما يكفي- وإلا ستتغير القيم بشكل عشوائي ولن نتمكن من إكمال الخوارزمية.

ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ تأكد من استيفاء الشروط المحددة (انظر الرابط أعلاه)، وإذا لزم الأمر، قم بتقليل المقطع. لذا، نسبيًا، إذا لم يكن الفاصل الزمني مناسبًا لنا في المثال الذي تم تحليله، فيجب أن نأخذ في الاعتبار، على سبيل المثال، المقطع. في الممارسة العملية، واجهت مثل هذه الحالات، وهذه التقنية تساعد حقًا! ويجب أن يتم الأمر نفسه إذا كان طرفا المقطع "الواسع" لا يستوفيان الشرط (أي أن أياً منها ليس مناسباً كتقريب أولي).

ولكن عادةً ما يعمل كل شيء مثل الساعة، ولكن ليس بدون عيوب:

مثال 2

حدد بيانياً عدد الجذور الحقيقية للمعادلة، وافصل هذه الجذور، وباستخدام طريقة نيوتن، ابحث عن القيم التقريبية للجذور بدقة

أصبحت حالة المشكلة أكثر صرامة بشكل ملحوظ: أولاً، تحتوي على إشارة قوية إلى أن المعادلة ليس لها جذر واحد، وثانيًا، زادت متطلبات الدقة، وثالثًا، مع الرسم البياني للدالة أكثر صعوبة في التعامل معها.

وبالتالي حللنبدأ بحيلة التوفير: تخيل المعادلة في النموذج وارسم الرسوم البيانية:


يتبين من الرسم أن المعادلة لها جذرين حقيقيين:

الخوارزمية، كما تفهم، تحتاج إلى "كرنك" مرتين. ولكن هذا فقط في الحالات الشديدة، في بعض الأحيان عليك فحص 3-4 جذور.

1) استخدام المعيار دعنا نتعرف على نهاية المقطع الذي يجب اختياره كتقريب أولي للجذر الأول. إيجاد مشتقات الدوال :

اختبار الطرف الأيسر من المقطع:

- خطرت!

وبالتالي، هو تقريب أولي.

سنقوم بتحسين الجذر بطريقة نيوتن باستخدام صيغة التكرار:
- حتى الكسر moduloلن تقل عن الدقة المطلوبة :

وهنا تكتسب كلمة “module” أهمية غير وهمية، إذ أن القيم سلبية:


ولنفس السبب، ينبغي إيلاء اهتمام خاص عند الانتقال إلى كل منها النهج التالي:

على الرغم من متطلبات الدقة العالية إلى حد ما، انتهت العملية مرة أخرى عند التقريب الثاني: لذلك:

دقيقة إلى 0.0001

2) دعونا نجد القيمة التقريبية للجذر.

نتحقق من الطرف الأيسر من الجزء بحثًا عن القمل:

لذا فهو غير مناسب كتقدير أولي.