• درس تعليمي

الجميع يوم جيد. في هذه المقالة أريد أن أعرض إحدى طرق البناء الرسومية النماذج الرياضيةللأنظمة الديناميكية، وهو ما يسمى الرسم البياني للسندات("السندات" - الاتصالات، "الرسم البياني" - الرسم البياني). في الأدب الروسي، وجدت أوصافًا لهذه الطريقة فقط في كتاب تومسكي المدرسي جامعة العلوم التطبيقية، أ.ف. فورونين "نمذجة الأنظمة الميكاترونيكية" 2008 أظهر أيضًا الطريقة الكلاسيكية من خلال معادلة لاغرانج من النوع الثاني.

طريقة لاغرانج

لن أصف النظرية، سأعرض مراحل الحسابات مع بعض التعليقات. شخصيًا، من الأسهل بالنسبة لي أن أتعلم من الأمثلة بدلاً من قراءة النظرية 10 مرات. بدا لي أن شرح هذه الطريقة في الأدب الروسي، وفي الواقع الرياضيات أو الفيزياء بشكل عام، غني جدًا الصيغ المعقدة، الأمر الذي يتطلب بالتالي خلفية رياضية جادة. أثناء دراستي لطريقة لاغرانج (أدرس في جامعة البوليتكنيك في تورينو بإيطاليا)، قمت بدراسة الأدب الروسي لمقارنة طرق الحساب، وكان من الصعب علي متابعة تقدم حل هذه الطريقة. حتى أن نتذكر دورات عرض الأزياء في خاركوف معهد الطيران"، وكان اشتقاق مثل هذه الأساليب مرهقًا للغاية، ولم يكلف أحد نفسه عناء محاولة فهم هذه القضية. هذا ما قررت أن أكتبه، دليل لبناء النماذج الرياضية حسب لاغرانج، حيث اتضح أنه ليس بالأمر الصعب على الإطلاق، يكفي معرفة كيفية حساب المشتقات فيما يتعلق بالوقت والمشتقات الجزئية. بالنسبة للنماذج الأكثر تعقيدا، تتم إضافة مصفوفات التناوب أيضا، ولكن لا يوجد شيء معقد فيها أيضا.

ميزات طرق النمذجة:

• نيوتن أويلر: المعادلات المتجهة على أساس التوازن الديناميكي قوةو لحظات
• لاغرانج: المعادلات العددية المبنية على دوال الحالة المرتبطة بالحركية والإمكانات الطاقات
• عدد السندات: الطريقة القائمة على التدفق قوةبين عناصر النظام

دعنا نبدء ب مثال بسيط. كتلة مع الربيع والمثبط. نحن نتجاهل قوة الجاذبية.

رسم بياني 1. كتلة مع الربيع والمثبط

في البداية نحدد:

• النظام الأوليالإحداثيات(NSK) أو sk ثابت R0(i0,j0,k0). أين؟ يمكنك أن تشير بإصبعك إلى السماء، لكن من خلال تحريك أطراف الخلايا العصبية في الدماغ، تمر الفكرة لوضع NSC على خط حركة الجسم M1.
• نظم الإحداثيات لكل جسم له كتلة(لدينا M1 R1(i1,j1,k1))، يمكن أن يكون التوجه تعسفيًا، ولكن لماذا تعقد حياتك، اضبطه بأقل قدر من الاختلاف عن NSC
• الإحداثيات المعممة q_i (الحد الأدنى من المبلغالمتغيرات التي يمكن أن تصف الحركة)، في في هذا المثالإحداثيات معممة واحدة، والحركة فقط على طول المحور j

الصورة 2. نضع أنظمة الإحداثيات والإحداثيات المعممة

تين. 3. موضع وسرعة الجسم M1

ثم سنجد الطاقات الحركية (C) وطاقة الوضع (P) والدالة التبددية (D) للمخمد باستخدام الصيغ:

الشكل 4. صيغة كاملةالطاقة الحركية

في مثالنا لا يوجد دوران، المكون الثاني هو 0.

الشكل 5. حساب الحركية، الطاقة الكامنةووظيفة تبديد

معادلة لاغرانج لها الشكل التالي:

الشكل 6. معادلة لاغرانج ولاغرانج

دلتا W_iهذا عمل افتراضيتم تحسينه من خلال القوى واللحظات المطبقة. فلنجدها:

الشكل 7. حساب العمل الافتراضي

أين دلتا q_1الحركة الافتراضية.

نعوض بكل شيء في معادلة لاغرانج:

الشكل 8. النموذج الشامل الناتج مع الربيع والمثبط

هذا هو المكان الذي انتهت فيه طريقة لاغرانج. كما ترون، الأمر ليس بهذا التعقيد، لكنه لا يزال مثالًا بسيطًا للغاية، ومن المرجح أن تكون طريقة نيوتن-أويلر أبسط منه. بالنسبة للأنظمة الأكثر تعقيدًا، حيث سيكون هناك عدة أجسام تدور بالنسبة لبعضها البعض بزوايا مختلفة، ستكون طريقة لاغرانج أسهل.

طريقة الرسم البياني للسندات

سأوضح لك على الفور كيف يبدو النموذج في الرسم البياني الرابط كمثال مع كتلة وزنبرك ومخمد:

الشكل 9. كتل الرسم البياني السندات مع الربيع والمثبط

هنا سيتعين عليك إخبار القليل من النظرية، والتي ستكون كافية لبناء نماذج بسيطة. إذا كان أي شخص مهتم، يمكنك قراءة الكتاب ( منهجية الرسم البياني بوند) أو ( فورونين أ.ف. نمذجة الأنظمة الميكاترونيكية: درس تعليمي. - تومسك: دار النشر بجامعة تومسك البوليتكنيك، 2008).

دعونا أولا تحديد ذلك أنظمة معقدةتتكون من عدة مجالات. على سبيل المثال، يتكون المحرك الكهربائي من أجزاء أو مجالات كهربائية وميكانيكية.

الرسم البياني للسنداتعلى أساس تبادل السلطة بين هذه المجالات والأنظمة الفرعية. لاحظ أن تبادل الطاقة، بأي شكل من الأشكال، يتم تحديده دائمًا بواسطة متغيرين ( قوة متغيرة) والتي يمكننا من خلالها دراسة التفاعل الأنظمة الفرعية المختلفةكجزء من نظام ديناميكي (انظر الجدول).

وكما يتبين من الجدول، فإن التعبير عن السلطة هو نفسه تقريبًا في كل مكان. في ملخص، قوة- هذا العمل " التدفق - ف" على " جهد - ه».

محاولة(إنجليزي) جهد) في المجال الكهربائي هو الجهد (e)، في المجال الميكانيكي هو القوة (F) أو عزم الدوران (T)، في الهيدروليكية هو الضغط (p).

تدفق(إنجليزي) تدفق) في المجال الكهربائي هو التيار (i)، في المجال الميكانيكي هو السرعة (v) أو السرعة الزاوية(أوميغا)، في الهيدروليكية – تدفق السوائل أو معدل التدفق (Q).

وبأخذ هذه الرموز نحصل على تعبير عن القوة:

الشكل 10. صيغة القوة من خلال متغيرات الطاقة

في لغة الرسم البياني للسندات، يتم تمثيل العلاقة بين نظامين فرعيين يتبادلان الطاقة بواسطة رابطة. رابطة). لهذا السبب يطلق عليه هذه الطريقة رسم بياني للسنداتأو ز اتصالات راف، الرسم البياني متصل. دعونا نفكر مخطط الكتلةالتوصيلات في نموذج بمحرك كهربائي (هذا ليس رسمًا بيانيًا للربط حتى الآن):

الشكل 11. مخطط كتلة لتدفق الطاقة بين المجالات

إذا كان لدينا مصدر جهد، فإنه يولد جهدًا وينقله إلى المحرك لللف (ولهذا السبب يتم توجيه السهم نحو المحرك)، اعتمادًا على مقاومة اللف، يظهر تيار وفقًا لقانون أوم (موجه من المحرك إلى المصدر). وفقا لذلك، متغير واحد هو مدخلات للنظام الفرعي، والثاني يجب أن يكون مخرجمن النظام الفرعي. هنا الجهد ( جهد) - المدخلات الحالية ( تدفق) - مخرج.

إذا كنت تستخدم مصدرًا حاليًا، كيف سيتغير الرسم التخطيطي؟ يمين. سيتم توجيه التيار إلى المحرك والجهد إلى المصدر. ثم التيار ( تدفق) - مساهمة الجهد ( جهد) - مخرج.

دعونا نلقي نظرة على مثال في الميكانيكا. القوة المؤثرة على الكتلة .

الشكل 12. القوة المطبقة على الكتلة

سيكون مخطط الكتلة كما يلي:

الشكل 13. مخطط الكتلة

في هذا المثال، القوة ( جهد) - متغير الإدخال للكتلة. (القوة المطبقة على الكتلة)
ووفقا لقانون نيوتن الثاني:

تستجيب الكتلة بسرعة:

في هذا المثال، إذا كان هناك متغير واحد ( قوة - جهد) يكون مدخلفي المجال الميكانيكي، ثم متغير طاقة آخر ( سرعة - تدفق) - يصبح تلقائيا مخرج.

لتمييز مكان الإدخال ومكان الإخراج يستخدم خط عمودي في نهاية السهم (الاتصال) بين العناصر، يسمى هذا الخط علامة السببية أو التسبب بالشىء (السببية). اتضح أن القوة المطبقة هي السبب، والسرعة هي النتيجة. هذه العلامة مهمة جدًا بالنسبة البناء الصحيحنموذج للنظام، لأن السببية هي نتيجة السلوك الجسديوتبادل صلاحيات نظامين فرعيين، وبالتالي فإن اختيار موقع علامة السببية لا يمكن أن يكون تعسفيا.

الشكل 14. تحديد السببية

يوضح هذا الخط العمودي النظام الفرعي الذي يستقبل القوة ( جهد) ونتيجة لذلك تنتج تدفق ( تدفق). في المثال مع الكتلة سيكون مثل هذا:

الشكل 14. العلاقة السببية للقوة المؤثرة على الكتلة

يتضح من السهم أن مدخلات الكتلة هي - قوة، والإخراج هو سرعة. يتم ذلك حتى لا يتم تشويش الرسم التخطيطي بالسهام وتنظيم بناء النموذج.

التالي نقطة مهمة. دفعة معممة(كمية الحركة) و متحرك(متغيرات الطاقة).

جدول متغيرات الطاقة والطاقة في المجالات المختلفة

يقدم الجدول أعلاه كميتين فيزيائيتين إضافيتين مستخدمتين في طريقة الرسم البياني للسندات. انهم يسمى دفعة معممة (ر) و حركة معممة (س) أو متغيرات الطاقة، ويمكن الحصول عليها من خلال دمج متغيرات الطاقة مع مرور الوقت:

الشكل 15. العلاقة بين متغيرات القوة والطاقة

في المجال الكهربائي :

بناءً على قانون فاراداي، الجهد االكهربىفي نهايات الموصل يساوي مشتق الفيض المغناطيسيمن خلال هذا الموصل.

أ القوة الحالية - الكمية المادية، تساوي نسبة كمية الشحنة Q التي تمر خلال فترة زمنية t المقطع العرضيموصل، لقيمة هذه الفترة من الزمن.

المجال الميكانيكي:

من قانون نيوتن الثاني، قوة- المشتق الزمني للنبض

وبالمقابل، سرعة- المشتقة الزمنية للإزاحة:

دعونا نلخص:

العناصر الأساسية

جميع العناصر في الأنظمة الديناميكية، يمكن تقسيمها إلى مكونات ثنائية القطب وأربعة أقطاب.
دعونا نفكر مكونات ثنائية القطب:

مصادر
هناك مصادر لكل من الجهد والتدفق. القياس في المجال الكهربائي: مصدر الجهد – مصدر الجهد, مصدر الدفق – المصدر الحالي. يجب أن تكون العلامات السببية للمصادر هكذا فقط.

الشكل 16. الروابط السببية وتحديد المصادر

المكون ر - عنصر تبديد

المكون الأول - عنصر بالقصور الذاتي

المكون ج - عنصر بالسعة

كما يتبين من الأرقام، عناصر مختلفة من نفسه اكتب R، C، Iالموصوفة بنفس المعادلات. هناك فرق فقط في السعة الكهربائية، كل ما عليك فعله هو تذكره!

مكونات رباعية:

دعونا نلقي نظرة على مكونين: محول وجيراتور.

آخر مكونات مهمةفي طريقة الرسم البياني السندات، يتم استخدام الاتصالات. هناك نوعان من العقد:

هذا كل شيء مع المكونات.

الخطوات الرئيسية لإقامة العلاقات السببية بعد إنشاء الرسم البياني للسندات:

1. إعطاء روابط سببية للجميع مصادر
2. قم بمراجعة جميع العقد وحدد العلاقات السببية بعد النقطة 1
3. ل المكونات أناتعيين علاقة سببية للمدخلات (يتم تضمين الجهد في هذا المكون)، ل المكونات جتعيين سببية الإخراج (الجهد يخرج من هذا المكون)
4. كرر النقطة 2
5. أدخل الروابط السببية لـ مكونات R

وبهذا تنتهي الدورة المصغرة حول النظرية. الآن لدينا كل ما نحتاجه لبناء النماذج.
دعونا نحل بعض الأمثلة. دعنا نبدء ب دائرة كهربائيةفمن الأفضل أن نفهم تشبيه إنشاء رسم بياني للسندات.

مثال 1

لنبدأ في بناء رسم بياني للسندات بمصدر جهد. فقط اكتب Se ثم ضع سهما.

انظر، كل شيء بسيط! دعونا ننظر أبعد من ذلك، R و L متصلان في سلسلة، مما يعني أن نفس التدفقات الحالية فيهما، إذا تحدثنا في متغيرات الطاقة - نفس التدفق. أي عقدة لها نفس التدفق؟ الإجابة الصحيحة هي 1-عقدة. نقوم بتوصيل المصدر والمقاومة (المكون - R) والحث (المكون - I) بالعقدة 1.

بعد ذلك، لدينا السعة والمقاومة موصلتين على التوازي، وهو ما يعني أن لهما نفس الجهد أو القوة. 0-العقدة مناسبة لا مثيل لها. نقوم بتوصيل السعة (المكون C) والمقاومة (المكون R) بالعقدة 0.

نقوم أيضًا بتوصيل العقدتين 1 و0 ببعضهما البعض. يتم اختيار اتجاه الأسهم بشكل تعسفي، ويؤثر اتجاه الاتصال فقط على الإشارة الموجودة في المعادلات.

سوف تحصل على الرسم البياني الاتصال التالي:

الآن نحن بحاجة إلى إقامة علاقات سببية. باتباع التعليمات الخاصة بتسلسل موضعها، لنبدأ بالمصدر.

1. لدينا مصدر للجهد (الجهد)، مثل هذا المصدر له متغير واحد فقط من السببية - الإخراج. دعونا نرتديها.
2. بعد ذلك، هناك المكون الأول، دعونا نرى ما يوصون به. نضع
3. لقد وضعناها في مكان واحد للعقدة. يأكل
4. يجب أن تحتوي العقدة 0 على مدخل واحد وجميع الاتصالات السببية للمخرجات. لدينا يوم عطلة واحد في الوقت الراهن. نحن نبحث عن المكونات C أو I. لقد وجدناها. نضع
5. دعونا قائمة ما تبقى

هذا كل شئ. تم بناء الرسم البياني للسندات. مرحا أيها الرفاق!

كل ما تبقى هو كتابة المعادلات التي تصف نظامنا. للقيام بذلك، قم بإنشاء جدول مكون من 3 أعمدة. الأول سيحتوي على جميع مكونات النظام، والثاني سيحتوي على متغير الإدخال لكل عنصر، والثالث سيحتوي على متغير الإخراج لنفس المكون. لقد قمنا بالفعل بتعريف المدخلات والمخرجات من خلال العلاقات السببية. لذلك لا ينبغي أن يكون هناك أي مشاكل.

دعونا نرقم كل اتصال لسهولة تسجيل المستويات. نأخذ المعادلات لكل عنصر من قائمة المكونات C، R، I.

بعد تجميع جدول، نحدد متغيرات الحالة، في هذا المثال يوجد اثنان منهم، p3 وq5. بعد ذلك تحتاج إلى كتابة معادلات الحالة:

هذا كل شيء، النموذج جاهز.

مثال 2. أود أن أعتذر على الفور عن جودة الصورة، الشيء الرئيسي هو أنه يمكنك القراءة

دعونا نحل مثالا آخر ل نظام ميكانيكيوهي نفس المشكلة التي قمنا بحلها باستخدام طريقة لاغرانج. سأعرض الحل بدون تعليق. دعونا نتحقق من أي من هذه الطرق أبسط وأسهل.

في مابالا، تم تجميع كلا النموذجين الرياضيين بنفس المعلمات، وتم الحصول عليهما بطريقة لاغرانج والرسم البياني للسندات. والنتيجة هي أدناه: إضافة العلامات

طريقة لاغرانج

طريقة الصب شكل تربيعيإلى مجموع المربعات، المشار إليها في عام 1759 من قبل ج. لاغرانج. دعها تعطى

من المتغيرات × 0 ، س 1 ،...، س ن. مع معاملات من الميدان كالخصائص مطلوب إحضار هذا النموذج إلى النموذج القانوني. عقل

باستخدام غير تتحلل التحول الخطيالمتغيرات. L. م يتكون مما يلي. يمكننا أن نفترض أن معاملات الشكل (1) ليست كلها تساوي صفرًا. لذلك، هناك حالتان ممكنتان.

1) بالنسبة للبعض ز،قطري ثم

حيث لا يحتوي النموذج f 1 (x) على متغير س ز . 2) إذا كان كل شيء لكن الذي - التي

حيث لا يحتوي النموذج f 2 (x) على متغيرين س زو س ح .الأشكال الموجودة تحت العلامات المربعة في (4) مستقلة خطيًا. بتطبيق تحويلات النموذج (3) و (4) النموذج (1) بعد عدد محدوديتم تقليل الخطوات إلى مجموع مربعات الأشكال الخطية المستقلة خطيًا. باستخدام المشتقات الجزئية، يمكن كتابة الصيغتين (3) و (4) في النموذج

أشعل.: G a n t m a k h e r F. ر.،نظرية المصفوفات، الطبعة الثانية، م.، 1966؛ كوروش إيه جي، دورة الجبر العالي، الطبعة الحادية عشرة، م، 1975؛ ألكسندروف ب.س، محاضرات في الهندسة التحليلية...، م، 1968. آي في بروسكورياكوف.

الموسوعة الرياضية. - م: الموسوعة السوفيتية. آي إم فينوغرادوف. 1977-1985.

انظر ما هي "طريقة لاغرانج" في القواميس الأخرى:

طريقة لاغرانج- طريقة لاغرانج - طريقة لحل عدد من فئات المشاكل البرمجة الرياضيةمن خلال إيجاد نقطة السرج (x*, π*) لدالة لاغرانج، والتي يتم تحقيقها من خلال معادلة صفر المشتقات الجزئية لهذه الدالة بالنسبة إلى... ... القاموس الاقتصادي الرياضي

طريقة لاغرانج- طريقة لحل عدد من فئات مسائل البرمجة الرياضية من خلال إيجاد نقطة السرج (x*, ?*) لدالة لاغرانج، ويتم تحقيق ذلك من خلال مساواة المشتقات الجزئية لهذه الدالة بالنسبة إلى xi و?i بالصفر . انظر لاغرانجيان. )