تطبيقات الوظائف الأولية إذا. وظيفة ابتدائية

1) مجال الوظيفة ونطاق الوظيفة.

مجال الدالة هو مجموعة كافة قيم الوسيطات الصالحة س(عامل س)، والتي الوظيفة ص = و(س)عازم. مدى الدالة هو مجموعة القيم الحقيقية ذ، والتي تقبلها الدالة.

في الرياضيات الابتدائية، تتم دراسة الوظائف فقط على مجموعة الأعداد الحقيقية.

2) الأصفار الوظيفية.

الدالة صفر هي قيمة الوسيطة التي تكون عندها قيمة الدالة تساوي صفرًا.

3) فترات الإشارة الثابتة للدالة.

فترات الإشارة الثابتة للدالة هي مجموعات من قيم الوسيطات التي تكون فيها قيم الدالة موجبة فقط أو سالبة فقط.

4) رتابة الوظيفة.

الدالة المتزايدة (في فترة زمنية معينة) هي دالة تكون فيها القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أكبر للدالة.

الدالة المتناقصة (في فترة زمنية معينة) هي دالة تكون فيها القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أصغر للدالة.

5) الدالة الزوجية (الفردية)..

الدالة الزوجية هي دالة يكون مجال تعريفها متماثلًا بالنسبة إلى الأصل ولأي Xمن مجال تعريف المساواة و(-س) = و(خ). الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول الإحداثي.

الدالة الفردية هي دالة يكون مجال تعريفها متماثلًا بالنسبة إلى الأصل ولأي Xمن مجال التعريف المساواة صحيحة و(-س) = - و(س). الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل.

6) وظائف محدودة وغير محدودة.

تسمى الدالة مقيدة إذا كان هناك رقم موجب M مثل |f(x)| ≥ M لجميع قيم x. إذا لم يكن هذا الرقم موجودا، فإن الوظيفة غير محدودة.

7) دورية الوظيفة.

تكون الدالة f(x) دورية إذا كان هناك رقم غير الصفر T بحيث يكون لأي x من مجال تعريف الدالة ما يلي: f(x+T) = f(x). ويسمى هذا الرقم الأصغر فترة الدالة. جميع الدوال المثلثية دورية. (الصيغ المثلثية).

19. الوظائف الأساسية الأساسية وخصائصها ورسومها البيانية. تطبيق الوظائف في الاقتصاد.

الوظائف الأولية الأساسية. خصائصها والرسوم البيانية

1. وظيفة خطية.

دالة خطية تسمى دالة من النموذج حيث x متغير وa وb أرقام حقيقية.

رقم أويسمى ميل الخط، وهو يساوي ظل زاوية ميل هذا الخط إلى الاتجاه الموجب للمحور السيني. الرسم البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم. يتم تعريفه بنقطتين.

خصائص الدالة الخطية

1. مجال التعريف - مجموعة جميع الأعداد الحقيقية: D(y)=R

2. مجموعة القيم هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية: E(y)=R

3. تأخذ الدالة قيمة صفر عندما أو.

4. تزيد (تتناقص) الدالة على نطاق التعريف بأكمله.

5. دالة خطية مستمرة على كامل مجال التعريف، قابلة للتفاضل و.

2. الدالة التربيعية.

يتم استدعاء دالة من النموذج، حيث x متغير، والمعاملات a، b، c هي أرقام حقيقية من الدرجة الثانية

تعد الوظائف الأولية الأساسية وخصائصها المتأصلة والرسوم البيانية المقابلة إحدى أساسيات المعرفة الرياضية، وتشبه في أهميتها جدول الضرب. الوظائف الأولية هي الأساس والدعم لدراسة جميع القضايا النظرية.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

توفر المقالة أدناه مادة أساسية حول موضوع الوظائف الأولية الأساسية. سوف نقدم المصطلحات، ونعطيها تعريفات؛ دعونا ندرس كل نوع من الوظائف الأولية بالتفصيل ونحلل خصائصها.

تتميز الأنواع التالية من الوظائف الأولية الأساسية:

التعريف 1

وظيفة ثابتة (ثابت)؛
الجذر ن؛
وظيفة الطاقة
الدالة الأسية
دالة لوغاريتمية
الدوال المثلثية؛
الدوال المثلثية الأخوية.

يتم تعريف الدالة الثابتة بالصيغة: y = C (C هو رقم حقيقي معين) ولها أيضًا اسم: ثابت. تحدد هذه الوظيفة مدى توافق أي قيمة حقيقية للمتغير المستقل x مع نفس قيمة المتغير y - قيمة C.

الرسم البياني للثابت هو خط مستقيم موازي لمحور الإحداثي السيني ويمر عبر نقطة ذات إحداثيات (0، C). من أجل الوضوح، نقدم رسومًا بيانية للوظائف الثابتة y = 5، y = - 2، y = 3، y = 3 (المشار إليها بالألوان الأسود والأحمر والأزرق في الرسم، على التوالي).

التعريف 2

يتم تعريف هذه الوظيفة الأولية بالصيغة y = x n (n هو عدد طبيعي أكبر من واحد).

دعونا نفكر في نوعين مختلفين من الوظيفة.

الجذر ن، ن - عدد زوجي

وللتوضيح، نشير إلى رسم يوضح الرسوم البيانية لهذه الوظائف: ص = س، ص = س 4 و ص = س8. هذه الميزات مرمزة بالألوان: الأسود والأحمر والأزرق على التوالي.

الرسوم البيانية للدالة ذات الدرجة الزوجية لها مظهر مماثل للقيم الأخرى للأس.

التعريف 3

خصائص الدالة الجذرية n، n هو رقم زوجي

مجال التعريف – مجموعة جميع الأعداد الحقيقية غير السالبة [ 0 , + ∞) ;
عندما س = 0، الدالة y = x n له قيمة تساوي الصفر؛
هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (وهي ليست زوجية ولا فردية)؛
النطاق: [ 0 , + ∞) ;
هذه الدالة y = x n ذات الأسس الجذرية الزوجية تزداد في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله؛
تحتوي الوظيفة على تحدب باتجاه تصاعدي في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله؛
لا توجد نقاط انعطاف.
لا توجد الخطوط المقاربة.
الرسم البياني للدالة حتى n يمر عبر النقطتين (0؛ 0) و (1؛ 1).

الجذر ن، ن - عدد فردي

يتم تعريف هذه الوظيفة على مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. من أجل الوضوح، النظر في الرسوم البيانية للوظائف ص = س 3 , ص = س 5 و × 9 . يُشار إليها في الرسم بالألوان: الأسود والأحمر والأزرق هي ألوان المنحنيات على التوالي.

القيم الفردية الأخرى للأس الجذر للدالة y = x n ستعطي رسمًا بيانيًا من نوع مماثل.

التعريف 4

خصائص الدالة الجذرية n، n هو رقم فردي

مجال التعريف - مجموعة جميع الأعداد الحقيقية؛
هذه الوظيفة غريبة.
نطاق القيم - مجموعة جميع الأعداد الحقيقية؛
الدالة y = x n للأسس الجذرية الفردية تزداد على نطاق التعريف بأكمله؛
تحتوي الدالة على تقعر على الفاصل الزمني (- ∞ ; 0 ] وتحدب على الفاصل الزمني [ 0 , + ∞);
نقطة الانعطاف لها إحداثيات (0؛ 0)؛
لا توجد الخطوط المقاربة.
الرسم البياني للدالة الفردية n يمر عبر النقاط (- 1 ; - 1) و (0 ; 0) و (1 ; 1).

وظيفة الطاقة

التعريف 5

يتم تعريف دالة الطاقة بالصيغة y = x a.

يعتمد مظهر الرسوم البيانية وخصائص الدالة على قيمة الأس.

عندما يكون لدالة القوة أسًا صحيحًا a، فإن نوع الرسم البياني لدالة القوة وخصائصها يعتمد على ما إذا كان الأس زوجيًا أم فرديًا، بالإضافة إلى الإشارة التي يحملها الأس. دعونا ننظر في كل هذه الحالات الخاصة بمزيد من التفصيل أدناه؛
يمكن أن يكون الأس كسريًا أو غير نسبي - اعتمادًا على ذلك، يختلف أيضًا نوع الرسوم البيانية وخصائص الدالة. سنقوم بتحليل الحالات الخاصة من خلال وضع عدة شروط: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
يمكن أن يكون لدالة القوة أس صفر، وسنقوم أيضًا بتحليل هذه الحالة بمزيد من التفاصيل أدناه.

دعونا نحلل وظيفة الطاقة y = x a، عندما يكون a رقمًا موجبًا فرديًا، على سبيل المثال، a = 1، 3، 5...

من أجل الوضوح، نشير إلى الرسوم البيانية لوظائف الطاقة هذه: y = x (لون الرسم أسود)، ص = × 3 (اللون الأزرق للرسم البياني)، ص = س 5 (اللون الأحمر للرسم البياني)، ص = × 7 (لون الرسم أخضر). عندما يكون a = 1، نحصل على الدالة الخطية y = x.

التعريف 6

خصائص دالة القوة عندما يكون الأس موجبًا فرديًا

الدالة تزايدية ل x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
الدالة لها تحدب لـ x ∈ (- ∞ ; 0 ] وتقعر لـ x ∈ [ 0 ; + ∞) (باستثناء الدالة الخطية)؛
نقطة الانعطاف لها إحداثيات (0؛ 0) (باستثناء الوظيفة الخطية)؛
لا توجد الخطوط المقاربة.
نقاط مرور الدالة: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

دعونا نحلل وظيفة الطاقة y = x a، عندما يكون a رقمًا موجبًا، على سبيل المثال، a = 2، 4، 6...

من أجل الوضوح، نشير إلى الرسوم البيانية لوظائف الطاقة هذه: ص = × 2 (لون الرسم أسود)، ص = × 4 (اللون الأزرق للرسم البياني)، ص = × 8 (اللون الأحمر للرسم البياني). عندما تكون a = 2، نحصل على دالة تربيعية، ورسمها البياني عبارة عن قطع مكافئ تربيعي.

التعريف 7

خصائص دالة القوة عندما يكون الأس موجبًا:

مجال التعريف: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
التناقص ل x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
تحتوي الدالة على تقعر لـ x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
لا توجد نقاط انعطاف.
لا توجد الخطوط المقاربة.
نقاط مرور الدالة: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

يوضح الشكل أدناه أمثلة على الرسوم البيانية لوظائف الطاقة y = x a عندما يكون a رقمًا سالبًا فرديًا: ص = س - 9 (لون الرسم أسود)؛ y = x - 5 (اللون الأزرق للرسم البياني)؛ y = x - 3 (اللون الأحمر للرسم البياني)؛ ص = س - 1 (لون الرسم أخضر). عندما تكون a = - 1، نحصل على تناسب عكسي، ويكون الرسم البياني له زائدًا.

التعريف 8

خصائص دالة القوة عندما يكون الأس سالبا فرديا:

عندما x = 0، نحصل على انقطاع من النوع الثاني، حيث أن lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ لـ a = - 1, - 3, - 5, …. وبالتالي، فإن الخط المستقيم x = 0 هو خط مقارب رأسي؛

النطاق: ص ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
الدالة فردية لأن y (- x) = - y (x);
الدالة تتناقص لـ x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
تحتوي الدالة على تحدب لـ x ∈ (- ∞ ; 0) وتقعر لـ x ∈ (0 ; + ∞) ؛
لا توجد نقاط انعطاف.

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0، عندما تكون a = - 1، - 3، - 5، . . . .

نقاط مرور الدالة: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

يوضح الشكل أدناه أمثلة على الرسوم البيانية لدالة الطاقة y = x a عندما يكون a رقمًا سلبيًا: ص = س - 8 (لون الرسم أسود)؛ y = x - 4 (اللون الأزرق للرسم البياني)؛ y = x - 2 (اللون الأحمر للرسم البياني).

التعريف 9

خصائص دالة القوة عندما يكون الأس سالبًا:

مجال التعريف: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

عندما x = 0، نحصل على انقطاع من النوع الثاني، حيث أن lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ لـ a = - 2, - 4, - 6, …. وبالتالي، فإن الخط المستقيم x = 0 هو خط مقارب رأسي؛

الدالة زوجية لأن y(-x) = y(x);
الدالة تزايدية لـ x ∈ (- ∞ ; 0) وتتناقص لـ x ∈ 0; + ∞ ؛
تقعر الدالة عند x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
لا توجد نقاط انعطاف.
الخط المقارب الأفقي – الخط المستقيم y = 0، لأن:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 عندما a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

نقاط مرور الدالة: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

منذ البداية، انتبه إلى الجانب التالي: في الحالة التي يكون فيها a كسرًا موجبًا بمقام فردي، يأخذ بعض المؤلفين الفترة - ∞ كمجال تعريف لدالة القوة هذه؛ + ∞ ، شرط أن الأس a هو كسر غير قابل للاختزال. في الوقت الحالي، لا يحدد مؤلفو العديد من المنشورات التعليمية حول الجبر ومبادئ التحليل وظائف القوة، حيث يكون الأس كسرًا ذو مقام فردي للقيم السالبة للحجة. علاوة على ذلك، سوف نلتزم بهذا الموقف بالضبط: سنأخذ المجموعة [ 0 ; + ∞) . توصية للطلاب: تعرف على وجهة نظر المعلم في هذه النقطة لتجنب الخلافات.

لذا، دعونا نلقي نظرة على وظيفة الطاقة y = x a ، عندما يكون الأس عددًا نسبيًا أو غير نسبي، بشرط أن يكون 0< a < 1 .

دعونا نوضح وظائف الطاقة بالرسوم البيانية y = x a عندما يكون a = 11 12 (لون الرسم أسود)؛ أ = 5 7 (اللون الأحمر للرسم البياني)؛ أ = 1 3 (اللون الأزرق للرسم البياني)؛ أ = 2 5 (اللون الأخضر للرسم البياني).

القيم الأخرى للأس (شريطة 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

التعريف 10

خصائص وظيفة الطاقة عند 0< a < 1:

النطاق: ص ∈ [ 0 ; + ∞) ؛
الدالة تزايدية ل x ∈ [ 0 ; + ∞) ؛
الدالة محدبة لـ x ∈ (0 ; + ∞);
لا توجد نقاط انعطاف.
لا توجد الخطوط المقاربة.

دعونا نحلل وظيفة الطاقة y = x a، عندما يكون الأس عددًا عقلانيًا أو غير صحيح، بشرط أن يكون a > 1.

دعونا نوضح بالرسوم البيانية وظيفة الطاقة y = x a في ظل ظروف معينة باستخدام الوظائف التالية كمثال: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (أسود، أحمر، أزرق، أخضر اللون للرسوم البيانية، على التوالى).

القيم الأخرى للأس a، بشرط أن تكون > 1، ستعطي رسمًا بيانيًا مشابهًا.

التعريف 11

خصائص دالة الطاقة لـ > 1:

مجال التعريف: x ∈ [ 0 ; + ∞) ؛
النطاق: ص ∈ [ 0 ; + ∞) ؛
هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (وهي ليست فردية ولا زوجية)؛
الدالة تزايدية ل x ∈ [ 0 ; + ∞) ؛
تحتوي الدالة على تقعر لـ x ∈ (0 ; + ∞) (متى 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
لا توجد نقاط انعطاف.
لا توجد الخطوط المقاربة.
نقاط تمرير الدالة: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

يرجى ملاحظة أنه عندما يكون a كسرًا سالبًا بمقام فردي، يوجد في أعمال بعض المؤلفين رأي مفاده أن مجال التعريف في هذه الحالة هو الفاصل الزمني - ∞؛ 0 ∪ (0 ; + ∞) مع التنبيه على أن الأس a هو كسر غير قابل للاختزال. في الوقت الحالي، لا يحدد مؤلفو المواد التعليمية حول الجبر ومبادئ التحليل وظائف القوة ذات الأس في شكل كسر ذي مقام فردي للقيم السالبة للحجة. علاوة على ذلك، نحن نتمسك بوجهة النظر هذه على وجه التحديد: نحن نأخذ المجموعة (0 ; + ∞) كمجال لتعريف دوال القوة ذات الأسس السالبة الكسرية. توصية للطلاب: قم بتوضيح رؤية معلمك في هذه المرحلة لتجنب الخلافات.

دعنا نواصل الموضوع ونحلل وظيفة الطاقة ص = س أ بشرط: - 1< a < 0 .

دعونا نقدم رسمًا بيانيًا للدوال التالية: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (أسود، أحمر، أزرق، أخضر اللون) السطور على التوالي).

التعريف 12

خصائص دالة القدرة عند -1< a < 0:

ليم س → 0 + 0 س أ = + ∞ عندما - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

النطاق: ص ∈ 0 ; + ∞ ؛
هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (وهي ليست فردية ولا زوجية)؛
لا توجد نقاط انعطاف.

يوضح الرسم أدناه الرسوم البيانية لوظائف الطاقة y = x - 5 4، y = x - 5 3، y = x - 6، y = x - 24 7 (ألوان المنحنيات الأسود والأحمر والأزرق والأخضر، على التوالي).

التعريف 13

خواص دالة القدرة لـ أ< - 1:

مجال التعريف: x ∈ 0 ; + ∞ ؛

ليم x → 0 + 0 x a = + ∞ عندما a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

النطاق: ص ∈ (0 ; + ∞) ;
هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (وهي ليست فردية ولا زوجية)؛
الدالة تتناقص لـ x ∈ 0; + ∞ ؛
الدالة لديها تقعر ل x ∈ 0; + ∞ ؛
لا توجد نقاط انعطاف.
الخط المقارب الأفقي – الخط المستقيم y = 0;
نقطة مرور الدالة : (1 ؛ 1) .

عندما a = 0 و x ≠ 0 نحصل على الدالة y = x 0 = 1 التي تحدد الخط الذي تستبعد منه النقطة (0; 1) (تم الاتفاق على أن التعبير 0 0 لن يعطى أي معنى) ).

الدالة الأسية لها الشكل y = a x، حيث a > 0 وa ≠ 1، ويبدو الرسم البياني لهذه الدالة مختلفًا بناءً على قيمة الأساس a. دعونا ننظر في حالات خاصة.

أولاً، دعونا نلقي نظرة على الموقف عندما يكون لأساس الدالة الأسية قيمة من صفر إلى واحد (0< a < 1) . من الأمثلة الجيدة على ذلك الرسوم البيانية للدوال a = 1 2 (اللون الأزرق للمنحنى) وa = 5 6 (اللون الأحمر للمنحنى).

سيكون للرسوم البيانية للدالة الأسية مظهر مماثل للقيم الأساسية الأخرى تحت الشرط 0< a < 1 .

التعريف 14

خصائص الدالة الأسية عندما يكون الأساس أقل من واحد:

النطاق: ص ∈ (0 ; + ∞) ;
هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (وهي ليست فردية ولا زوجية)؛
الدالة الأسية التي قاعدتها أقل من واحد تتناقص على نطاق التعريف بأكمله؛
لا توجد نقاط انعطاف.
الخط المقارب الأفقي – خط مستقيم y = 0 مع متغير x يميل إلى + ∞؛

الآن فكر في الحالة التي يكون فيها أساس الدالة الأسية أكبر من واحد (a > 1).

دعونا نوضح هذه الحالة الخاصة من خلال رسم بياني للدوال الأسية y = 3 2 x (اللون الأزرق للمنحنى) وy = e x (اللون الأحمر للرسم البياني).

القيم الأخرى للقاعدة، الوحدات الأكبر، ستعطي مظهرًا مشابهًا للرسم البياني للدالة الأسية.

التعريف 15

خصائص الدالة الأسية عندما يكون الأساس أكبر من واحد:

مجال التعريف - المجموعة الكاملة للأعداد الحقيقية؛
النطاق: ص ∈ (0 ; + ∞) ;
هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (وهي ليست فردية ولا زوجية)؛
الدالة الأسية التي قاعدتها أكبر من واحد تتزايد مثل x ∈ - ∞؛ + ∞ ؛
الدالة لها تقعر عند x ∈ - ∞; + ∞ ؛
لا توجد نقاط انعطاف.
الخط المقارب الأفقي – خط مستقيم y = 0 مع متغير x يميل إلى - ∞؛
نقطة مرور الدالة : (0;1) .

الدالة اللوغاريتمية لها الصيغة y = log a (x)، حيث a > 0، a ≠ 1.

يتم تعريف هذه الوظيفة فقط للقيم الإيجابية للوسيطة: for x ∈ 0; + ∞ .

الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية له مظهر مختلف، بناءً على قيمة الأساس a.

دعونا نفكر أولاً في الموقف عندما يكون 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

القيم الأخرى للقاعدة، وليس الوحدات الأكبر، ستعطي نوعًا مشابهًا من الرسم البياني.

التعريف 16

خصائص الدالة اللوغاريتمية عندما يكون أساسها أقل من واحد:

مجال التعريف: x ∈ 0 ; + ∞ . بما أن x تميل إلى الصفر من اليمين، فإن قيم الدالة تميل إلى +∞؛
نطاق القيم: y ∈ - ∞ ; + ∞ ؛
هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (وهي ليست فردية ولا زوجية)؛
لوغاريتمي
الدالة لديها تقعر ل x ∈ 0; + ∞ ؛
لا توجد نقاط انعطاف.
لا توجد الخطوط المقاربة.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالة الخاصة عندما يكون أساس الدالة اللوغاريتمية أكبر من واحد: a > 1 . يوضح الرسم أدناه الرسوم البيانية للوظائف اللوغاريتمية y = log 3 2 x و y = ln x (اللونان الأزرق والأحمر للرسوم البيانية، على التوالي).

القيم الأخرى للقاعدة الأكبر من الواحد ستعطي نوعًا مشابهًا من الرسم البياني.

التعريف 17

خصائص الدالة اللوغاريتمية عندما يكون أساسها أكبر من واحد:

مجال التعريف: x ∈ 0 ; + ∞ . بما أن x تميل إلى الصفر من اليمين، فإن قيم الدالة تميل إلى - ∞ ;
نطاق القيم: y ∈ - ∞ ; + ∞ (مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها)؛
هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (وهي ليست فردية ولا زوجية)؛
الدالة اللوغاريتمية تزايدية لـ x ∈ 0; + ∞ ؛
الدالة محدبة لـ x ∈ 0; + ∞ ؛
لا توجد نقاط انعطاف.
لا توجد الخطوط المقاربة.
نقطة مرور الدالة : (1; 0) .

الدوال المثلثية هي جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام. دعونا نلقي نظرة على خصائص كل منها والرسومات المقابلة لها.

بشكل عام، تتميز جميع الدوال المثلثية بخاصية الدورية، أي. عندما تتكرر قيم الدوال لقيم مختلفة للوسيطة، تختلف عن بعضها البعض بالفترة f (x + T) = f (x) (T هي الفترة). وبذلك يضاف بند "أصغر فترة موجبة" إلى قائمة خصائص الدوال المثلثية. بالإضافة إلى ذلك، سنشير إلى قيم الوسيطة التي تصبح فيها الدالة المقابلة صفرًا.

دالة الجيب: y = sin(x)

الرسم البياني لهذه الوظيفة يسمى موجة جيبية.

التعريف 18

خصائص وظيفة الجيب:

مجال التعريف: المجموعة الكاملة للأعداد الحقيقية x ∈ - ∞ ; + ∞ ؛
تختفي الوظيفة عندما x = π · k، حيث k ∈ Z (Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة)؛
الدالة تزايدية ل x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z وتناقص لـ x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · ك، ك ∈ ض؛
دالة الجيب لها حد أقصى محلي عند النقاط π 2 + 2 π · k; 1 والحد الأدنى المحلي عند النقاط - π 2 + 2 π · k; - 1، ك ∈ ض؛
تكون دالة الجيب مقعرة عندما x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z ومحدبة عندما x ∈ 2 π · k; π + 2 π ك، ك ∈ ض؛
لا توجد الخطوط المقاربة.

وظيفة جيب التمام: ص = كوس (س)

الرسم البياني لهذه الوظيفة يسمى موجة جيب التمام.

التعريف 19

خصائص وظيفة جيب التمام:

مجال التعريف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ؛
أصغر فترة إيجابية: T = 2 π؛
نطاق القيم: y ∈ - 1 ; 1 ؛
هذه الدالة زوجية، لأن y (- x) = y (x);
الدالة تزايدية ل x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z وتناقص لـ x ∈ 2 π · k; π + 2 π ك، ك ∈ ض؛
دالة جيب التمام لها حد أقصى محلي عند النقاط 2 π · k ; 1, k ∈ Z والحد الأدنى المحلي عند النقاط π + 2 π · k; - 1، ك ∈ ض؛
تكون دالة جيب التمام مقعرة عندما x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ومحدبة عندما x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · ك، ك ∈ ض؛
نقاط الانعطاف لها إحداثيات π 2 + π · k; 0 , ك ∈ ض
لا توجد الخطوط المقاربة.

وظيفة الظل: ص = ر ز (س)

يسمى الرسم البياني لهذه الوظيفة الظل.

التعريف 20

خصائص دالة الظل:

مجال التعريف: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k، حيث k ∈ Z (Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة)؛
سلوك دالة الظل على حدود مجال التعريف lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . وبالتالي، فإن الخطوط المستقيمة x = π 2 + π · k k ∈ Z هي خطوط مقاربة رأسية؛
تختفي الوظيفة عندما x = π · k لـ k ∈ Z (Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة)؛
نطاق القيم: y ∈ - ∞ ; + ∞ ؛
هذه الدالة غريبة، لأن y (- x) = - y (x) ;
الدالة تتزايد مثل - π 2 + π · k ; π 2 + π · ك، ك ∈ ض؛
دالة الظل مقعرة لـ x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z ومحدبة لـ x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
نقاط الانعطاف لها إحداثيات π · k ; 0 , ك ∈ ض ;

وظيفة ظل التمام: ص = ج تي ز (س)

الرسم البياني لهذه الوظيفة يسمى ظل التمام. .

التعريف 21

خصائص وظيفة ظل التمام:

مجال التعريف: x ∈ (π · k ; π + π · k) حيث k ∈ Z (Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة)؛

سلوك دالة ظل التمام على حدود مجال التعريف lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . وبالتالي، فإن الخطوط المستقيمة x = π · k k ∈ Z هي خطوط مقاربة رأسية؛

أصغر فترة إيجابية: T = π؛
تختفي الوظيفة عندما x = π 2 + π · k لـ k ∈ Z (Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة)؛
نطاق القيم: y ∈ - ∞ ; + ∞ ؛
هذه الدالة غريبة، لأن y (- x) = - y (x) ;
الدالة تتناقص لـ x ∈ π · k ; π + π ك، ك ∈ ض؛
دالة ظل التمام مقعرة لـ x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z ومحدبة لـ x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
نقاط الانعطاف لها إحداثيات π 2 + π · k; 0 , ك ∈ ض ;
لا توجد خطوط مقاربة مائلة أو أفقية.

الدوال المثلثية العكسية هي أركسين، أركوسين، ظل قوسي وظل قوسي. في كثير من الأحيان، بسبب وجود البادئة "قوس" في الاسم، تسمى الدوال المثلثية العكسية دوال القوس .

دالة جيب القوس: y = a r c sin (x)

التعريف 22

خصائص وظيفة أركسين:

هذه الدالة غريبة، لأن y (- x) = - y (x) ;
تحتوي دالة قوس الجيب على تقعر لـ x ∈ 0؛ 1 والتحدب لـ x ∈ - 1 ; 0 ;
نقاط الانعطاف لها إحداثيات (0؛ 0)، وهي أيضًا صفر الدالة؛
لا توجد الخطوط المقاربة.

وظيفة قوس جيب التمام: ص = أ ص ج كوس (س)

التعريف 23

خصائص وظيفة قوس جيب التمام:

مجال التعريف: x ∈ - 1 ; 1 ؛
النطاق: ص ∈ 0 ; π؛
وهذه الوظيفة ذات شكل عام (ليست زوجية ولا فردية)؛
الدالة تتناقص على نطاق التعريف بأكمله؛
دالة جيب التمام القوسية لها تقعر عند x ∈ - 1؛ 0 والتحدب لـ x ∈ 0; 1 ؛
نقاط انعطاف لها إحداثيات 0؛ π 2;
لا توجد الخطوط المقاربة.

دالة الظل القوسية: y = a r c t g (x)

التعريف 24

خصائص الدالة القوسية:

مجال التعريف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ؛
نطاق القيم: y ∈ - π 2 ; π 2;
هذه الدالة غريبة، لأن y (- x) = - y (x) ;
الدالة تتزايد على نطاق التعريف بأكمله؛
دالة الظل القوسي لها تقعر لـ x ∈ (- ∞ ; 0 ] وتحدب لـ x ∈ [ 0 ; + ∞);
نقطة الانعطاف لها إحداثيات (0؛ 0)، وهي أيضًا صفر الدالة؛
الخطوط المقاربة الأفقية هي خطوط مستقيمة y = - π 2 مثل x → - ∞ و y = π 2 مثل x → + ∞ (في الشكل، الخطوط المقاربة هي خطوط خضراء).

دالة الظل القوسي: ص = أ ص ج ج ر ز (س)

التعريف 25

خصائص وظيفة ظل التمام:

مجال التعريف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ؛
المدى: ص ∈ (0; π) ;
وهذه الوظيفة ذات شكل عام؛
الدالة تتناقص على نطاق التعريف بأكمله؛
تحتوي دالة ظل التمام القوسية على تقعر لـ x ∈ [ 0 ; + ∞) والتحدب لـ x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
نقطة الانعطاف لها إحداثيات 0؛ π 2;
الخطوط المقاربة الأفقية هي خطوط مستقيمة y = π عند x → - ∞ (الخط الأخضر في الرسم) و y = 0 عند x → + ∞.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

قائمة كاملة من الوظائف الأولية الأساسية

تتضمن فئة الوظائف الأساسية الأساسية ما يلي:

الدالة الثابتة $y=C$، حيث $C$ هو ثابت. تأخذ مثل هذه الوظيفة نفس القيمة $C$ لأي $x$.
دالة الطاقة $y=x^(a) $، حيث الأس $a$ هو رقم حقيقي.
الدالة الأسية $y=a^(x) $، حيث الأساس هو الدرجة $a>0$، $a\ne 1$.
الدالة اللوغاريتمية $y=\log _(a) x$، حيث أساس اللوغاريتم هو $a>0$، $a\ne 1$.
الدوال المثلثية $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ ثانية \، س $.
الدوال المثلثية العكسية $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ ، س$.

وظائف الطاقة

سننظر في سلوك دالة القوة $y=x^(a) $ لتلك الحالات الأبسط عندما يحدد أسها الأس الصحيح واستخراج الجذر.

حالة 1

أس الدالة $y=x^(a) $ هو عدد طبيعي، أي $y=x^(n) $, $n\in N$.

إذا كان $n=2\cdot k$ رقمًا زوجيًا، فإن الدالة $y=x^(2\cdot k) $ زوجية وتزداد إلى ما لا نهاية كما لو كانت الوسيطة $\left(x\to +\infty \ right )$وبالنقصان غير المحدود $\left(x\to -\infty \right)$. يمكن وصف سلوك الوظيفة هذا من خلال التعبيرات $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ و $\mathop(\lim )\ Limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $، مما يعني أن الدالة في كلتا الحالتين تزيد بدون حد ($\lim $ هو الحد). مثال: رسم بياني للدالة $y=x^(2) $.

إذا كان $n=2\cdot k-1$ رقمًا فرديًا، فإن الدالة $y=x^(2\cdot k-1) $ فردية، وتزداد إلى ما لا نهاية مع زيادة الوسيطة إلى ما لا نهاية، وتتناقص إلى ما لا نهاية مع زيادة الوسيطة يتناقص إلى أجل غير مسمى. يمكن وصف سلوك الوظيفة هذا من خلال التعبيرات $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ و $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. مثال: رسم بياني للدالة $y=x^(3) $.

الحالة 2

أس الدالة $y=x^(a) $ هو عدد صحيح سالب، أي $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$.

إذا كان $n=2\cdot k$ رقمًا زوجيًا، فإن الدالة $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ زوجية وغير مقاربة (تدريجيًا) تقترب من الصفر كما هو الحال مع وسيطة الزيادة غير المحدودة ، وبنقصانه غير المحدود. يمكن وصف سلوك الوظيفة هذا بتعبير واحد $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$، مما يعني أن مع زيادة غير محدودة في الوسيطة في القيمة المطلقة، يكون حد الدالة صفرًا. بالإضافة إلى ذلك، نظرًا لأن الوسيطة تميل إلى الصفر على اليسار $\left(x\to 0-0\right)$ وعلى اليمين $\left(x\to 0+0\right)$، فإن الدالة تزيد بدون حد. ولذلك، فإن التعبيرات $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ و $\mathop(\lim )\ حدود_ صالحة (x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k)) =+\infty $، مما يعني أن الدالة $y=\frac(1)(x^(2 \cdot k ) ) $ في كلتا الحالتين له حد لا نهائي يساوي $+\infty $. مثال: الرسم البياني للدالة $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

إذا كان $n=2\cdot k-1$ رقمًا فرديًا، فإن الدالة $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ عدد فردي ويقترب بشكل غير مقارب من الصفر كما لو كان كلاهما عندما وتزيد الحجة وعندما تنقص بلا حدود. يمكن وصف سلوك الوظيفة هذا بتعبير واحد $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. بالإضافة إلى ذلك، عندما تقترب الوسيطة من الصفر على اليسار، تقل الدالة بلا حدود، وعندما تقترب الوسيطة من الصفر على اليمين، تزيد الدالة بلا حدود، أي $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ و $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. مثال: الرسم البياني للدالة $y=\frac(1)(x) $.

الحالة 3

أس الدالة $y=x^(a) $ هو معكوس العدد الطبيعي، أي $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\in N$.

إذا كان $n=2\cdot k$ رقمًا زوجيًا، فإن الدالة $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ ذات قيمتين ويتم تعريفها فقط من أجل $x\ge 0 $. مع زيادة غير محدودة في الوسيطة، تزيد قيمة الدالة $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ بشكل غير محدود، وقيمة الدالة $y=-\sqrt[(2\ cdot k)](x) $ يتناقص بشكل غير محدود، أي $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ و $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. مثال: رسم بياني للدالة $y=\pm \sqrt(x) $.

إذا كان $n=2\cdot k-1$ رقمًا فرديًا، فإن الدالة $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ عدد فردي، وتزداد بشكل غير محدود مع زيادة غير محدودة في الوسيطة ويتناقص بشكل غير محدود عندما يكون غير محدود، فهو يتناقص، أي $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ و $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. مثال: رسم بياني للدالة $y=\sqrt[(3)](x) $.

الدوال الأسية واللوغاريتمية

الدالتان الأسي $y=a^(x) $ والدالتان اللوغاريتمية $y=\log _(a) x$ معكوستان بشكل متبادل. رسومهم البيانية متناظرة بالنسبة للمنصف المشترك لزاويتي الإحداثيات الأولى والثالثة.

عندما تزيد الوسيطة $\left(x\to +\infty \right)$ إلى أجل غير مسمى، فإن الدالة الأسية أو $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty يزداد $ إلى أجل غير مسمى، إذا كان $a>1$، أو يقترب بشكل غير مقارب من الصفر $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$، إذا كان $a1$، أو $\mathop يزيد بلا حدود (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $، إذا $a

القيمة المميزة للدالة $y=a^(x) $ هي القيمة $x=0$. في هذه الحالة، جميع الدوال الأسية، بغض النظر عن $a$، تتقاطع بالضرورة مع محور $Oy$ عند $y=1$. أمثلة: الرسوم البيانية للوظائف $y=2^(x) $ و$y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $.

يتم تعريف الدالة اللوغاريتمية $y=\log _(a) x$ فقط لـ $x > 0$.

مع زيادة الوسيطة $\left(x\to +\infty \right)$ إلى أجل غير مسمى، فإن الدالة اللوغاريتمية أو $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ يزيد إلى أجل غير مسمى infty $، إذا كان $a>1$، أو ينقص بلا حدود $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $، إذا $a1 $، أو بدون حد $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ يزيد إذا $a

القيمة المميزة للدالة $y=\log _(a) x$ هي القيمة $y=0$. في هذه الحالة، جميع الدوال اللوغاريتمية، بغض النظر عن $a$، تتقاطع بالضرورة مع محور $Ox$ عند $x=1$. أمثلة: الرسوم البيانية للوظائف $y=\log _(2) x$ و$y=\log _(1/2) x$.

بعض الدوال اللوغاريتمية لها تدوين خاص. على وجه الخصوص، إذا كان أساس اللوغاريتم هو $a=10$، فإن هذا اللوغاريتم يسمى عشري، ويتم كتابة الدالة المقابلة كـ $y=\lg x$. وإذا تم اختيار الرقم غير العقلاني $e=2.7182818\ldots $ كأساس للوغاريتم، فإن هذا اللوغاريتم يسمى طبيعي، ويتم كتابة الدالة المقابلة كـ $y=\ln x$. معكوسها هو الدالة $y=e^(x) $، والتي تسمى الأس.

يحتوي القسم على مواد مرجعية حول الوظائف الأولية الرئيسية وخصائصها. ويرد تصنيف للوظائف الأولية. فيما يلي روابط للأقسام الفرعية التي تناقش خصائص وظائف محددة - الرسوم البيانية، والصيغ، والمشتقات، والمشتقات العكسية (التكاملات)، وتوسيعات السلسلة، والتعبيرات من خلال المتغيرات المعقدة.

محتوى

الصفحات المرجعية للوظائف الأساسية

تصنيف الوظائف الأولية

دالة جبريةهي دالة تحقق المعادلة:
,
حيث هو متعدد الحدود في المتغير التابع y والمتغير المستقل x. يمكن كتابتها على النحو التالي:
,
أين كثيرات الحدود.

تنقسم الدوال الجبرية إلى متعددات الحدود (وظائف عقلانية كاملة)، ووظائف عقلانية، ووظائف غير عقلانية.

وظيفة عقلانية كاملة، والذي يسمى أيضًا متعدد الحدودأو متعدد الحدود، يتم الحصول عليها من المتغير x وعدد محدود من الأرقام باستخدام العمليات الحسابية من الجمع (الطرح) والضرب. بعد فتح الأقواس، يتم تقليل كثير الحدود إلى الشكل القانوني:
.

دالة عقلانية كسرية، أو ببساطة وظيفة عقلانية، يتم الحصول عليها من المتغير x وعدد محدود من الأرقام باستخدام العمليات الحسابية من الجمع (الطرح) والضرب والقسمة. يمكن اختزال الوظيفة العقلانية إلى النموذج
,
أين و هي كثيرات الحدود.

وظيفة غير عقلانيةهي دالة جبرية ليست عقلانية. كقاعدة عامة، تُفهم الوظيفة غير العقلانية على أنها جذور وتركيباتها ذات وظائف عقلانية. يتم تعريف جذر الدرجة n كحل للمعادلة
.
تم تعيينه على النحو التالي:
.

وظائف متعاليةتسمى الدوال غير الجبرية. هذه هي الدوال الأسية والمثلثية والزائدية ودوالها العكسية.

نظرة عامة على الوظائف الأولية الأساسية

يمكن تمثيل جميع الوظائف الأولية بعدد محدود من عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة التي يتم إجراؤها على تعبير من النموذج:
ض ر .
يمكن أيضًا التعبير عن الوظائف العكسية من حيث اللوغاريتمات. الوظائف الأولية الأساسية مذكورة أدناه.

وظيفة الطاقة:
ص(س) = س ع ,
حيث p هو الأس. ذلك يعتمد على قاعدة الدرجة x.
معكوس دالة القدرة هو أيضًا دالة القدرة:
.
بالنسبة للقيمة الصحيحة غير السالبة للأس p، فهي كثيرة الحدود. للحصول على قيمة عددية p - دالة عقلانية. بمعنى عقلاني - وظيفة غير عقلانية.

وظائف متعالية

الدالة الأسية :
ص(س) = أ س ,
حيث a هو أساس الدرجة. ذلك يعتمد على الأس x.
الدالة العكسية هي اللوغاريتم للأساس a:
س = سجل ذ.

الأس، e إلى القوة x:
ص(س) = ه س ,
هذه دالة أسية مشتقتها تساوي الدالة نفسها:
.
أساس الأس هو الرقم e:
≈ 2,718281828459045... .
الدالة العكسية هي اللوغاريتم الطبيعي - اللوغاريتم لأساس الرقم e:
س = ln y ≡ سجل e y.

الدوال المثلثية:
جيب: ;
جيب التمام: ;
الظل: ;
ظل التمام: ;
هنا i هي الوحدة التخيلية، i 2 = -1.

الدوال المثلثية العكسية:
أركسين: س = أرسين ذ, ;
قوس جيب التمام: س = أركوس ذ, ;
ظل قوس قزح: س = اركتان ذ, ;
ظل القوس: س = arcctg ذ, .