حل نظام من متباينتين خطيتين. أنظمة عدم المساواة الخطية

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لكيفية حل نظام من المتباينات الخطية.

4x + 29 \end(array) \right.\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com)">!}

لحل النظام، تحتاج إلى كل من المتباينات المكونة له. فقط تم اتخاذ القرار بعدم الكتابة بشكل منفصل، ولكن معًا، والجمع بينهما بقوس مجعد.

في كل من متباينات النظام، نقوم بنقل المجهولات إلى جهة، والمعلومة إلى الجهة الأخرى بإشارة معاكسة:

Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}

بعد التبسيط، يجب قسمة طرفي المتراجحة على الرقم الموجود أمام X. نقسم المتباينة الأولى على عدد موجب، حتى لا تتغير إشارة المتباينة. ونقسم المتباينة الثانية على عدد سالب، لذا يجب عكس علامة المتباينة:

Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}

نحدد حل المتباينات على خطوط الأعداد:

وفي الإجابة على ذلك، نكتب تقاطع الحلول، أي الجزء الذي يوجد فيه تظليل على كلا الخطين.

الإجابة: x∈[-2;1).

في المتباينة الأولى، دعونا نتخلص من الكسر. للقيام بذلك، نضرب كلا الطرفين حدًا تلو الآخر في المقام المشترك الأصغر 2. عند الضرب بعدد موجب، لا تتغير علامة المتباينة.

في المتباينة الثانية نفتح الأقواس. حاصل ضرب مجموع التعبيرين والفرق بينهما يساوي الفرق بين مربعي هذين التعبيرين. على الجانب الأيمن يوجد مربع الفرق بين التعبيرين.

Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}

ننقل المجهولات إلى جهة، والمعلومة إلى جهة أخرى بإشارة معاكسة ونبسط:

نقسم طرفي المتراجحة على الرقم الموجود أمام X. في المتباينة الأولى نقسم على عدد سالب، فتنعكس إشارة المتراجحة. وفي الثانية نقسم على عدد موجب لا تتغير علامة المتباينة:

Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}

كلا المتباينتين لهما علامة "أقل من" (لا يهم أن تكون إحدى العلامتين "أقل من" بشكل صارم، والأخرى فضفاضة، "أقل من أو يساوي"). لا يمكننا تحديد كلا الحلين، ولكن استخدم القاعدة "". الأصغر هو 1، وبالتالي فإن النظام يقلل من عدم المساواة

نحدد حلها على خط الأعداد:

الإجابة: x∈(-∞;1).

فتح الأقواس. في عدم المساواة الأولى - . وهو يساوي مجموع مكعبات هذه التعبيرات.

وفي الثاني: حاصل ضرب مجموع التعبيرين والفرق بينهما، وهو ما يساوي الفرق بين المربعين. نظرًا لوجود علامة ناقص أمام الأقواس، فمن الأفضل فتحها على مرحلتين: استخدم الصيغة أولاً، وبعد ذلك فقط افتح الأقواس، مع تغيير إشارة كل حد إلى العكس.

نحرك المجهولات في اتجاه والمعلومات في الاتجاه الآخر بالإشارة المعاكسة:

Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}

وكلاهما أعظم من العلامات. باستخدام قاعدة "أكثر من أكثر"، نقوم باختزال نظام المتباينات إلى متباينة واحدة. أكبر الرقمين هو 5، وبالتالي،

Title=" تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com">!}

نحدد حل المتباينة على خط الأعداد ونكتب الإجابة:

الإجابة: س∈(5;∞).

نظرًا لأن عدم المساواة الخطية في أنظمة الجبر لا تحدث فقط كمهام مستقلة، ولكن أيضًا أثناء حل أنواع مختلفة من المعادلات والمتباينات وما إلى ذلك، فمن المهم إتقان هذا الموضوع في الوقت المناسب.

في المرة القادمة سنلقي نظرة على أمثلة لحل أنظمة المتباينات الخطية في حالات خاصة عندما لا يكون لإحدى المتباينات حلول أو يكون حلها أي رقم.

التصنيف: |

راجع أيضًا حل مشكلة البرمجة الخطية بيانيًا، الشكل القانوني لمشاكل البرمجة الخطية

يتكون نظام القيود لمثل هذه المشكلة من عدم المساواة في متغيرين:
والوظيفة الموضوعية لها الشكل F = ج 1 س + ج 2 ذالذي يحتاج إلى تعظيمه.

دعنا نجيب على السؤال: ما هي أزواج الأرقام ( س; ذ) هل حلول نظام المتباينات، أي تحقق كل من المتباينات في وقت واحد؟ وبعبارة أخرى، ماذا يعني حل النظام بيانيا؟
عليك أولاً أن تفهم ما هو حل متباينة خطية ذات مجهولين.
حل متباينة خطية ذات مجهولين يعني تحديد جميع أزواج القيم المجهولة التي تنطبق عليها المتباينة.
على سبيل المثال، عدم المساواة 3 س – 5ذ≥ 42 زوجًا مرضيًا ( س , ذ) : (100، 2)؛ (3، -10)، وما إلى ذلك. والمهمة هي العثور على كل هذه الأزواج.
دعونا نفكر في متباينتين: فأس + بواسطة≤ ج, فأس + بواسطة≥ ج. مستقيم فأس + بواسطة = جيقسم المستوى إلى نصفين مستويين بحيث تحقق إحداثيات نقاط أحدهما المتراجحة فأس + بواسطة >ج، وغير ذلك من عدم المساواة فأس + +بواسطة <ج.
في الواقع، دعونا نأخذ نقطة مع الإحداثيات س = س 0 ; ثم نقطة ملقاة على الخط ولها الإحداثي السيني س 0، لديه الإحداثي

دع اليقين أ& لتر 0، ب>0, ج>0. جميع النقاط مع الإحداثيات س 0 الكذب أعلاه ص(على سبيل المثال، نقطة م)، يملك ي م>ذ 0 وجميع النقاط تحت النقطة ص، مع الإحداثي السيني س 0، لديك ذ ن<ذ 0 . بسبب ال س 0 هي نقطة تعسفية، فستكون هناك دائمًا نقاط على أحد جانبي الخط فأس+ بواسطة > ج، وتشكيل نصف الطائرة، وعلى الجانب الآخر - النقاط التي فأس + بواسطة< ج.

الصورة 1

تعتمد علامة عدم المساواة في نصف المستوى على الأرقام أ, ب , ج.
يتضمن هذا الطريقة التالية لحل أنظمة المتباينات الخطية بيانيًا في متغيرين. لحل النظام تحتاج:

1. لكل متباينة، اكتب المعادلة المقابلة لهذه المتباينة.
2. أنشئ خطوطًا مستقيمة عبارة عن رسوم بيانية للدوال المحددة بالمعادلات.
3. في كل سطر، حدد نصف المستوى المعطى من المتباينة. للقيام بذلك، خذ نقطة عشوائية لا تقع على خط مستقيم واستبدل إحداثياتها في المتراجحة. إذا كانت المتراجحة صحيحة، فإن نصف المستوى الذي يحتوي على النقطة المختارة هو الحل للمتراجحة الأصلية. إذا كانت المتباينة خاطئة، فإن نصف المستوى الموجود على الجانب الآخر من الخط هو مجموعة حلول هذه المتباينة.
4. لحل نظام من المتباينات، من الضروري إيجاد مساحة تقاطع جميع أنصاف المستويات التي تمثل الحل لكل متباينة في النظام.

قد يتبين أن هذه المنطقة فارغة، وبالتالي فإن نظام المتباينات ليس له حلول وهو غير متسق. وبخلاف ذلك، يقال إن النظام متسق.
يمكن أن يكون هناك عدد محدود أو عدد لا حصر له من الحلول. يمكن أن تكون المنطقة مضلعًا مغلقًا أو غير محدود.

دعونا نلقي نظرة على ثلاثة أمثلة ذات صلة.

مثال 1. حل النظام بيانيا:
س + ذ – 1 ≤ 0;
–2س - 2ذ + 5 ≤ 0.

• خذ بعين الاعتبار المعادلتين x+y–1=0 و –2x–2y+5=0 الموافقتين للمتباينات؛
• دعونا نبني خطوطًا مستقيمة تعطيها هذه المعادلات.

الشكل 2

دعونا نحدد أنصاف المستويات التي تحددها المتباينات. لنأخذ نقطة اعتباطية، دعونا (0؛ 0). دعونا نفكر س+ ذ– 1 0، استبدل النقطة (0; 0): 0 + 0 – 1 ≥ 0. وهذا يعني أنه في نصف المستوى الذي تقع فيه النقطة (0; 0)، س + ذ – 1 ≥ 0، أي. نصف المستوى الواقع أسفل الخط هو حل للمتباينة الأولى. باستبدال هذه النقطة (0; 0) في الثانية نحصل على: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≥ 0، أي. في نصف المستوى حيث تقع النقطة (0; 0)، –2 س – 2ذ+ 5≥ 0، وسُئلنا أين -2 س – 2ذ+ 5 ≥ 0، لذلك في النصف الآخر من المستوى - في النصف الموجود فوق الخط المستقيم.
دعونا نجد تقاطع هذين المستويين النصفيين. الخطوط متوازية، وبالتالي لا تتقاطع المستويات في أي مكان، مما يعني أن نظام هذه المتباينات ليس له حلول وغير متسق.

مثال 2. ابحث عن حلول بيانية لنظام عدم المساواة:

الشكل 3
1. دعونا نكتب المعادلات المقابلة للمتباينات وننشئ خطوطًا مستقيمة.
س + 2ذ– 2 = 0

س	2	0
ذ	0	1

ذ – س – 1 = 0

س	0	2
ذ	1	3

ذ + 2 = 0;
ذ = –2.
2. بعد اختيار النقطة (0؛ 0)، نحدد علامات عدم المساواة في أنصاف المستويات:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≥ 0، أي. س + 2ذ- 2 ≥ 0 في نصف المستوى أسفل الخط المستقيم؛
0 – 0 – 1 ≥ 0، أي ذ –س- 1 ≥ 0 في نصف المستوى أسفل الخط المستقيم؛
0 + 2 =2 ≥ 0، أي. ذ+ 2 ≥ 0 في نصف المستوى فوق الخط المستقيم.
3. سيكون تقاطع هذه المستويات الثلاثة عبارة عن منطقة مثلث. ليس من الصعب العثور على رؤوس المنطقة كنقاط تقاطع للخطوط المقابلة


هكذا، أ(–3; –2), في(0; 1), مع(6; –2).

لنفكر في مثال آخر لا يقتصر فيه مجال الحل الناتج للنظام.

التعريف 1 . مجموعة من النقاط في الفضاء ر n ، التي تحقق إحداثياتها المعادلة أ 1 X 1 + أ 2 X 2 +…+ أن سن = ب، مُسَمًّى ( ن - 1 )-الأبعاد المفرطة في ن-مساحة الأبعاد.

النظرية 1. يقسم المستوى الزائد كل المساحة إلى نصفين. نصف المساحة عبارة عن مجموعة محدبة.

تقاطع عدد محدود من أنصاف المساحات هو مجموعة محدبة.

النظرية 2 . حل المتباينة الخطية باستخدام نمجهول

أ 1 X 1 + أ 2 X 2 +…+ أن سن ب

هي إحدى أنصاف المساحات التي يتم تقسيم المساحة بأكملها إليها بواسطة مستوى مفرط

أ 1 X 1 + أ 2 X 2 +…+أن سن = ب.

النظر في نظام معدم المساواة الخطية مع نمجهول.

الحل لكل متباينة في النظام هو نصف مساحة معينة. الحل للنظام سيكون تقاطع جميع الـ Half-spaces. ستكون هذه المجموعة مغلقة ومحدبة.

حل أنظمة عدم المساواة الخطية

مع متغيرين

السماح لنظام معدم المساواة الخطية مع متغيرين.

سيكون حل كل متباينة هو أحد أنصاف المستويات التي يقسم إليها المستوى بأكمله بالخط المستقيم المقابل. سيكون حل النظام هو تقاطع هذه المستويات النصفية. يمكن حل هذه المشكلة بيانياً على المستوى X 1 0 X 2 .

37. تمثيل متعدد السطوح محدب

التعريف 1. مغلق محدبمجموعة محدودة في ر n وجود عدد محدود نقاط الزاوية، ويسمى محدب نمتعدد السطوح - الأبعاد.

التعريف 2 . مجموعة محدبة مغلقة غير محدودة رن التي لها عدد محدود من نقاط الزاوية تسمى منطقة متعددة السطوح محدبة.

التعريف 3 . مجموعة من أر n يسمى يحدها إذا كان هناك نكرة ذات أبعاد تحتوي على هذه المجموعة.

التعريف 4. مجموعة خطية محدبة من النقاط هي التعبير حيث t i , .

نظرية (نظرية حول تمثيل متعدد السطوح المحدب).يمكن تمثيل أي نقطة من متعدد السطوح المحدب كمجموعة خطية محدبة من نقاط الزاوية.

38. منطقة الحلول المقبولة لنظام المعادلات والمتباينات.

السماح لنظام مالمعادلات الخطية والمتباينات نمجهول.

التعريف 1 . نقطة ريُسمى n حلاً محتملاً للنظام إذا كانت إحداثياته ​​تلبي معادلات النظام ومتبايناته. تسمى مجموعة جميع الحلول الممكنة منطقة الحلول الممكنة (PSA) للنظام.

التعريف 2. الحل المحتمل الذي تكون إحداثياته ​​غير سالبة يسمى الحل الممكن للنظام. تسمى مجموعة جميع الحلول الممكنة مجال الحل الممكن (ADA) للنظام.

النظرية 1 . ODR عبارة عن مجموعة فرعية مغلقة أو محدبة أو محدودة (أو غير محدودة). رن.

النظرية 2. ويكون الحل المقبول للنظام هو الحل المرجعي إذا كانت هذه النقطة هي نقطة ركن في نظام الوثائق الرسمية وفقط إذا كانت هذه النقطة.

النظرية 3 (نظرية تمثيل ODR).إذا كان نظام الوثائق الرسمية عبارة عن مجموعة محددة، فيمكن تمثيل أي حل ممكن على شكل مجموعة خطية محدبة من نقاط زاوية المواد المستنفدة للأوزون (على شكل مجموعة خطية محدبة من حلول دعم النظام).

النظرية 4 (نظرية وجود حل داعم للنظام). إذا كان لدى النظام حل مقبول واحد على الأقل (ADS)، فمن بين الحلول المقبولة يوجد حل مرجعي واحد على الأقل.

لا يوجد سوى "X's" والمحور x فقط، ولكن الآن تمت إضافة "Y's" ويتوسع مجال النشاط إلى المستوى الإحداثي بأكمله. وفي النص أيضًا، تُفهم عبارة "التفاوت الخطي" بمعنى ثنائي الأبعاد، والذي سيتضح في غضون ثوانٍ.

بالإضافة إلى الهندسة التحليلية، فإن المادة ذات صلة بعدد من المسائل في التحليل الرياضي والنمذجة الاقتصادية والرياضية، لذا أنصح بدراسة هذه المحاضرة بكل جدية.

المتباينات الخطية

هناك نوعان من عدم المساواة الخطية:

1) حازمعدم المساواة: .

2) التراخيعدم المساواة: .

ما هو المعنى الهندسي لهذه المتباينات؟إذا كانت المعادلة الخطية تحدد خطًا، فإن المتباينة الخطية تحدد نصف الطائرة.

لفهم المعلومات التالية، عليك أن تعرف أنواع الخطوط الموجودة على المستوى وأن تكون قادرًا على إنشاء خطوط مستقيمة. إذا كان لديك أي صعوبات في هذا الجزء، اقرأ المساعدة الرسوم البيانية وخصائص الوظائف- فقرة عن الدالة الخطية.

لنبدأ بأبسط المتباينات الخطية. حلم كل طالب فقير هو مستوى إحداثي لا يوجد فيه شيء:

كما تعلم، يتم تحديد المحور السيني بالمعادلة - حيث يكون "y" دائمًا (لأي قيمة لـ "x") يساوي الصفر

دعونا ننظر في عدم المساواة. كيف نفهم ذلك بشكل غير رسمي؟ "Y" دائمًا (لأي قيمة "x") موجبة. من الواضح أن عدم المساواة هذا يحدد النصف العلوي من المستوى - ففي النهاية، توجد جميع النقاط ذات "الألعاب" الإيجابية هناك.

في حالة أن عدم المساواة ليست صارمة، إلى النصف العلوي من الطائرة بالإضافة إلى ذلكيتم إضافة المحور نفسه.

وبالمثل: يتم تحقيق المتباينة من خلال جميع نقاط نصف المستوى السفلي؛ وتتوافق المتباينة غير الصارمة مع المحور ونصف المستوى السفلي.

نفس القصة النثرية مع المحور ص:

- تحدد المتباينة نصف المستوى الأيمن؛
- تحدد المتباينة نصف المستوى الأيمن، بما في ذلك المحور الإحداثي؛
- تحدد المتباينة نصف المستوى الأيسر؛
- تحدد المتباينة نصف المستوى الأيسر، بما في ذلك المحور الإحداثي.

في الخطوة الثانية، سنتناول المتباينات التي يكون فيها أحد المتغيرات مفقودًا.

"Y" مفقود:

أو لا يوجد "x":

ويمكن معالجة هذه التفاوتات بطريقتين: يرجى النظر في كلا النهجين. على طول الطريق، دعونا نتذكر وندمج الإجراءات المدرسية مع عدم المساواة، التي تمت مناقشتها بالفعل في الفصل مجال الوظيفة.

مثال 1

حل المتباينات الخطية:

ماذا يعني حل عدم المساواة الخطية؟

حل المتباينة الخطية يعني إيجاد نصف المستوى، التي تحقق نقاطها هذه المتباينة (بالإضافة إلى الخط نفسه، إذا لم تكن المتباينة صارمة). حل، عادة، رسم بياني.

من الملائم أكثر تنفيذ الرسم فورًا ثم التعليق على كل شيء:

أ) حل عدم المساواة

الطريقة الأولى

تشبه الطريقة إلى حد كبير القصة ذات المحاور الإحداثية التي ناقشناها أعلاه. والفكرة هي تحويل المتراجحة - بترك متغير واحد على الجانب الأيسر دون أي ثوابت، وهو في هذه الحالة المتغير "x".

قاعدة: في المتراجحة تنتقل الحدود من جزء إلى جزء مع تغيير الإشارة، بينما إشارة المتراجحة نفسها لم يتغير(على سبيل المثال، إذا كانت هناك علامة "أقل من"، فستظل "أقل من").

ننقل "الخمسة" إلى الجانب الأيمن مع تغيير الإشارة:

قاعدة إيجابي لم يتغير.

الآن ارسم خطًا مستقيمًا (خط منقط أزرق). يتم رسم الخط المستقيم كخط منقط بسبب عدم المساواة حازم، وبالتأكيد لن يتم تضمين النقاط التي تنتمي إلى هذا الخط في الحل.

ما هو معنى عدم المساواة ؟ "X" دائمًا (لأي قيمة "Y") أقل من . من الواضح أن هذا البيان راضٍ عن جميع نقاط النصف الأيسر من المستوى. يمكن تظليل هذا المستوى النصفي من حيث المبدأ، لكنني سأقتصر على الأسهم الزرقاء الصغيرة حتى لا أحول الرسم إلى لوحة فنية.

الطريقة الثانية

هذه طريقة عالمية. اقرأ بعناية شديدة!

أولا نرسم خطا مستقيما. وللتوضيح، بالمناسبة، من المستحسن تقديم المعادلة في النموذج .

الآن حدد أي نقطة على المستوى، لا تنتمي إلى المباشرة. في معظم الحالات، النقطة الحلوة هي بالطبع. لنعوض بإحداثيات هذه النقطة في المتراجحة:

تلقى عدم المساواة الزائفة(بكلمات بسيطة لا يمكن أن يكون هذا) يعني أن النقطة لا تحقق المتباينة.

القاعدة الأساسية لمهمتنا:
لا يرضيعدم المساواة إذن الجميعنقاط نصف الطائرة المعطاة لا ترضيهذا عدم المساواة.
– إذا كانت هناك أي نقطة من نصف المستوى (لا تنتمي إلى الخط) استوفيعدم المساواة إذن الجميعنقاط نصف الطائرة المعطاة رضاهذا عدم المساواة.

يمكنك اختبار: أي نقطة على يمين الخط لن تحقق المتراجحة.

ما هو الاستنتاج من التجربة مع هذه النقطة؟ لا يوجد مكان تذهب إليه، يتم تلبية عدم المساواة بجميع نقاط النصف الآخر - النصف الأيسر (يمكنك أيضًا التحقق).

ب) حل عدم المساواة

الطريقة الأولى

دعونا نحول عدم المساواة:

قاعدة: يمكن ضرب طرفي المتراجحة (تقسيمهما) على سلبيالرقم مع علامة عدم المساواة تغييرإلى العكس (على سبيل المثال، إذا كانت هناك علامة "أكبر من أو يساوي"، فسوف تصبح "أقل من أو يساوي").

نضرب طرفي المتراجحة في:

دعونا نرسم خطًا مستقيمًا (أحمر)، ونرسم خطًا متصلًا، نظرًا لأن لدينا متباينة غير صارمةومن الواضح أن الخط المستقيم ينتمي إلى الحل.

بعد تحليل المتباينة الناتجة، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن حلها هو النصف السفلي من المستوى (+ الخط المستقيم نفسه).

نقوم بتظليل أو وضع علامة على نصف المستوى المناسب بالسهام.

الطريقة الثانية

لنرسم خطًا مستقيمًا. دعونا نختار نقطة عشوائية على المستوى (لا تنتمي إلى خط مستقيم)، على سبيل المثال، ونستبدل إحداثياتها في المتباينة لدينا:

تلقى عدم المساواة الحقيقيةمما يعني أن النقطة تحقق المتراجحة، وبشكل عام فإن جميع نقاط النصف السفلي من المستوى تحقق هذه المتراجحة.

هنا، مع النقطة التجريبية، "نصل" إلى نصف المستوى المطلوب.

يشار إلى حل المشكلة بخط أحمر وأسهم حمراء.

أنا شخصياً أفضل الحل الأول، لأن الثاني أكثر رسمية.

مثال 2

حل المتباينات الخطية:

هذا مثال لك لحله بنفسك. حاول حل المشكلة بطريقتين (بالمناسبة، هذه طريقة جيدة للتحقق من الحل). الإجابة في نهاية الدرس ستحتوي فقط على الرسم النهائي.

أعتقد أنه بعد كل الإجراءات الموضحة في الأمثلة، سيتعين عليك الزواج منهم، ولن يكون من الصعب حل أبسط المتباينة مثل، وما إلى ذلك.

دعونا ننتقل إلى النظر في الحالة العامة الثالثة، عندما يكون كلا المتغيرين موجودين في المتراجحة:

وبدلاً من ذلك، قد يكون المصطلح الحر "ce" صفرًا.

مثال 3

أوجد أنصاف المستويات المقابلة للمتباينات التالية:

حل: يتم هنا استخدام طريقة الحل الشامل مع استبدال النقاط.

أ) لنقم بإنشاء معادلة للخط المستقيم، وينبغي رسم الخط كخط منقط، حيث أن المتباينة صارمة والخط المستقيم نفسه لن يدخل في الحل.

نختار نقطة تجريبية من المستوى لا تنتمي إلى خط معين، على سبيل المثال، ونعوض بإحداثياتها في المتباينة لدينا:

تلقى عدم المساواة الزائفة، مما يعني أن النقطة وجميع النقاط في نصف المستوى المعطى لا تحقق المتراجحة. سيكون حل عدم المساواة هو نصف مستوى آخر، ونحن نعجب بالبرق الأزرق:

ب) دعونا نحل عدم المساواة. أولا، دعونا نبني خطا مستقيما. وهذا ليس بالأمر الصعب؛ فلدينا التناسب المباشر القانوني. نرسم الخط بشكل مستمر، لأن المتباينة ليست صارمة.

دعونا نختار نقطة عشوائية من المستوى لا تنتمي إلى الخط المستقيم. أود استخدام الأصل مرة أخرى، ولكن للأسف، فهو غير مناسب الآن. لذلك، سيكون عليك العمل مع صديق آخر. من المربح أكثر أن تأخذ نقطة ذات قيم إحداثيات صغيرة، على سبيل المثال، . دعونا نعوض بإحداثياتها في المتباينة لدينا:

تلقى عدم المساواة الحقيقيةمما يعني أن النقطة وجميع نقاط نصف المستوى المعطى تحقق المتراجحة. يتم تمييز نصف المستوى المطلوب بأسهم حمراء. وبالإضافة إلى ذلك، فإن الحل يشمل الخط المستقيم نفسه.

مثال 4

ابحث عن أنصاف المستويات المقابلة للمتباينات:

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل وعينة تقريبية للتصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس.

دعونا ننظر إلى المشكلة العكسية:

مثال 5

أ) إعطاء خط مستقيم. يُعرِّف نصف المستوى الذي تقع فيه النقطة، في حين يجب تضمين الخط المستقيم نفسه في الحل.

ب) إعطاء خط مستقيم. يُعرِّف نصف المستوى الذي تقع فيه النقطة. الخط المستقيم نفسه غير متضمن في الحل.

حل: لا داعي للرسم هنا والحل سيكون تحليليا. لا شيء صعب:

أ) لنقم بتكوين كثيرة الحدود المساعدة ونحسب قيمتها عند النقطة:
. وبالتالي، فإن المتباينة المطلوبة ستكون لها علامة "أقل من". بالشرط، يتم تضمين الخط المستقيم في الحل، وبالتالي فإن عدم المساواة لن تكون صارمة:

ب) لنقم بتكوين كثيرة الحدود ونحسب قيمتها عند النقطة:
. وبالتالي، فإن المتباينة المطلوبة ستكون لها علامة "أكبر من". بالشرط، لا يدخل الخط المستقيم في الحل، وبالتالي ستكون المتراجحة صارمة: .

إجابة:

مثال إبداعي للدراسة الذاتية:

مثال 6

نظرا للنقاط وخط مستقيم. من بين النقاط المدرجة، ابحث عن تلك التي تقع مع أصل الإحداثيات على نفس الجانب من الخط المحدد.

تلميح بسيط: تحتاج أولاً إلى إنشاء متباينة تحدد نصف المستوى الذي يقع فيه أصل الإحداثيات. الحل التحليلي والإجابة في نهاية الدرس.

أنظمة عدم المساواة الخطية

نظام المتباينات الخطية هو، كما تفهم، نظام يتكون من عدة متباينات. لول، حسنًا، لقد قدمت التعريف =) القنفذ هو قنفذ، والسكين هو سكين. ولكن هذا صحيح - فقد تبين أنه بسيط ويمكن الوصول إليه! لا، بجدية، لا أريد أن أعطي أي أمثلة عامة، فلننتقل مباشرة إلى القضايا الملحة:

ماذا يعني حل نظام من المتباينات الخطية؟

حل نظام من عدم المساواة الخطية- هذا يعنى أوجد مجموعة النقاط على المستوى، الذي يرضي لكلعدم المساواة في النظام.

كأبسط الأمثلة، فكر في أنظمة عدم المساواة التي تحدد الأرباع الإحداثية لنظام الإحداثيات المستطيل ("صورة الطلاب الفقراء" في بداية الدرس):

يحدد نظام المتباينات الربع الإحداثي الأول (أعلى اليمين). إحداثيات أي نقطة في الربع الأول، على سبيل المثال، إلخ. رضا لكلعدم المساواة في هذا النظام.

على نفس المنوال:
- نظام المتباينات يحدد الربع الإحداثي الثاني (أعلى اليسار)؛
- يحدد نظام المتباينات الربع الإحداثي الثالث (أسفل اليسار)؛
- يحدد نظام المتباينات الربع الإحداثي الرابع (أسفل اليمين).

قد لا يكون لنظام المتباينات الخطية أي حلولأي أن يكون غير مشترك. مرة أخرى أبسط مثال: . من الواضح تمامًا أن "x" لا يمكن أن يكون أكثر من ثلاثة وأقل من اثنين في نفس الوقت.

يمكن أن يكون حل نظام المتباينات بخط مستقيم، على سبيل المثال: . بجعة، جراد البحر، بدون رمح، تسحب العربة في اتجاهين مختلفين. نعم، لا تزال الأمور قائمة، والحل لهذا النظام هو الخط المستقيم.

لكن الحالة الأكثر شيوعًا هي عندما يكون هناك حل للنظام منطقة الطائرة. منطقة الحلربما غير محدود(على سبيل المثال، تنسيق الأرباع) أو محدود. منطقة الحل المحدود تسمى نظام حل المضلع.

مثال 7

حل نظام من عدم المساواة الخطية

من الناحية العملية، يتعين علينا في معظم الحالات أن نتعامل مع حالات عدم المساواة الضعيفة، لذلك سيكونون هم من يقودون الرقصات المستديرة لبقية الدرس.

حل: حقيقة أن هناك الكثير من عدم المساواة لا ينبغي أن تكون مخيفة. كم عدد حالات عدم المساواة التي يمكن أن توجد في النظام؟نعم، بقدر ما تريد. الشيء الرئيسي هو الالتزام بخوارزمية عقلانية لبناء منطقة الحل:

1) أولا نتعامل مع أبسط المتباينات. تحدد المتباينات الربع الإحداثي الأول، بما في ذلك حدود محاور الإحداثيات. لقد أصبح الأمر بالفعل أسهل بكثير، حيث أن منطقة البحث ضاقت بشكل كبير. في الرسم، نحدد على الفور أنصاف المستويات المقابلة باستخدام الأسهم (الأسهم الحمراء والزرقاء)

2) ثاني أبسط متباينة هي أنه لا يوجد "Y" هنا. أولاً، نبني الخط المستقيم نفسه، وثانيًا، بعد تحويل المتباينة إلى الشكل، يصبح من الواضح على الفور أن جميع "X" أقل من 6. ونضع علامة على نصف المستوى المقابل بأسهم خضراء. حسنا، أصبحت منطقة البحث أصغر - مثل هذا المستطيل غير محدود من الأعلى.

3) في الخطوة الأخيرة نحل المتباينات "بذخيرة كاملة": . لقد ناقشنا خوارزمية الحل بالتفصيل في الفقرة السابقة. باختصار: أولاً نبني خطًا مستقيمًا، ثم باستخدام نقطة تجريبية نجد نصف المستوى الذي نحتاجه.

قفوا أيها الأطفال، قفوا في دائرة:


منطقة الحل للنظام هي مضلع، في الرسم يتم تحديده بخط قرمزي ومظلل. لقد بالغت في ذلك قليلاً =) في دفتر الملاحظات، يكفي إما تظليل منطقة الحل أو تحديدها بشكل أكثر جرأة باستخدام قلم رصاص بسيط.

أي نقطة في مضلع معين تلبي جميع متباينات النظام (يمكنك التحقق من ذلك من أجل المتعة).

إجابة: حل النظام هو المضلع.

عند التقدم بطلب للحصول على نسخة نظيفة، سيكون من الجيد أن تصف بالتفصيل النقاط التي استخدمتها لإنشاء خطوط مستقيمة (انظر الدرس الرسوم البيانية وخصائص الوظائف)، وكيف تم تحديد أنصاف المستويات (انظر الفقرة الأولى من هذا الدرس). ومع ذلك، من الناحية العملية، في معظم الحالات، سيتم منحك الرسم الصحيح فقط. يمكن إجراء الحسابات نفسها على مسودة أو حتى شفهيًا.

بالإضافة إلى مضلع الحل للنظام، في الممارسة العملية، وإن كان ذلك بشكل أقل، هناك منطقة مفتوحة. حاول أن تفهم المثال التالي بنفسك. على الرغم من أنه من أجل الدقة، لا يوجد تعذيب هنا - خوارزمية البناء هي نفسها، فقط المنطقة لن تكون محدودة.

مثال 8

حل النظام

الحل والجواب في نهاية الدرس . من المرجح أن يكون لديك أحرف مختلفة لرؤوس المنطقة الناتجة. هذا ليس مهمًا، الشيء الرئيسي هو العثور على القمم بشكل صحيح وبناء المنطقة بشكل صحيح.

ليس من غير المألوف أن تتطلب المشكلات ليس فقط إنشاء مجال حل النظام، ولكن أيضًا العثور على إحداثيات رؤوس المجال. في المثالين السابقين كانت إحداثيات هذه النقاط واضحة، لكن عمليا كل شيء بعيد عن الجليد:

مثال 9

حل النظام وأوجد إحداثيات رؤوس المنطقة الناتجة

حل: دعونا نصور في الرسم منطقة الحل لهذا النظام. تحدد عدم المساواة نصف المستوى الأيسر مع المحور الإحداثي، وليس هناك المزيد من الهدية الترويجية هنا. بعد إجراء العمليات الحسابية على النسخة/المسودة النهائية أو عمليات التفكير العميق، نحصل على مجال الحلول التالي: