اكتب النظام الأساسي لحلول المعادلات التفاضلية. أنظمة متجانسة من المعادلات الجبرية الخطية

انظر أيضًا حل المعادلات التفاضلية الخطية عبر الإنترنت
يبحث النظام الأساسيفي القرارات الحالة العامةهي مهمة صعبة نوعًا ما. ومع ذلك ، هناك فئة من المعادلات يمكن من خلالها حل هذه المشكلة بسهولة. لنبدأ بهذا الفصل.
(*)

خطي المعادلة التفاضلية(*) سوف نسمي المعادلة بـ معاملات ثابتة، إذا كانت المعاملات في هذه المعادلة ثابتة ، أي أ i (س) = ثوابت. ثم المعادلة المتجانسة المقابلة L (y) = 0 سيكون لها الشكل
. (6)
سيتم البحث عن حل المعادلة (6) بالصيغة y = e rx. ثم y "= r e rx، y" "= r 2 e rx،…، y (n) = r n e rx. بالتعويض في (6) ، نحصل على

بما أن e rx لا يتلاشى في أي مكان ، إذن
. (7)
المعادلة (7) تسمى المعادلة المميزة لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة.
وهكذا قدمنا ​​نظرية التالية. نظرية.الدالة y = e rx هي حل لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة (6) إذا وفقط إذا كان r هو جذر المعادلة المميزة (7).
الحالات التالية ممكنة.
1. جميع جذور كثير الحدود المميزة حقيقية ومتميزة. دعنا نشير إليهم r 1 ، r 2 ، ... ، r n. ثم نحصل على حلول مختلفة
y 1 = e r1x ، y 2 = e r2x ، ... ، y n = e rnx (8)
المعادلات (6). دعنا نثبت أن نظام الحلول الناتج مستقل خطيًا. ضع في اعتبارك محدد فرونسكي الخاص به

.

العامل e (r 1+ r 2 + .. + rn) x على الجانب الأيمن من W (e r 1 x، e r 2 x،…، e rnx) لا يختفي في أي مكان. لذلك ، يبقى إظهار أن العامل الثاني (المحدد) لا يساوي الصفر. لنفترض ذلك

ثم تعتمد صفوف هذا المحدد خطيًا ، أي أن هناك أرقام α 1 ، α 2 ، ... ، α n بحيث
وهكذا ، حصلنا على أن r i ، i = 1،2 ، .. ، n هي n جذور مختلفةكثير الحدود (n-1) من الدرجة ، وهو أمر مستحيل. لذلك ، المحدد على الجانب الأيمن W (er 1 x، er 2 x،…، e rnx) لا يساوي الصفر ويشكل نظام الوظائف (8) نظامًا أساسيًا لحلول المعادلة (6) في الحالة عندما تختلف جذور المعادلة المميزة.

مثال. بالنسبة للمعادلة y "" - 3y "+ 2y = 0 ، جذور المعادلة المميزة r 2 - 3r + 2 = 0 تساوي r 1 = 1 ، r 2 = 2 (تم العثور على الجذور من خلال خدمة إيجاد المميز). لذلك ، فإن النظام الأساسي للحلول هو الدوال y 1 \ u003d e x ، y 2 \ u003d e 2 x ، و قرار مشتركمكتوب بالصيغة y = C 1 e x + C 2 e 2 x.
2. هناك عدة جذور للمعادلة المميزة. افترض أن r 1 لها تعددية α وأن كل الآخرين متميزون. خذ بعين الاعتبار الحالة r 1 = 0. ثم معادلة مميزةلديه الشكل

لأنه بخلاف ذلك لن يكون جذرًا للتعددية α. لذلك ، فإن المعادلة التفاضلية لها الشكل
وهذا يعني أنه لا يحتوي على مشتقات ترتيب أقل من α. يتم استيفاء هذه المعادلة من خلال جميع الوظائف التي تكون مشتقاتها من الرتبة α وما فوقها مساوية للصفر. على وجه الخصوص ، جميع كثيرات الحدود من الدرجة على الأكثر α-1 هي مثل ، على سبيل المثال ،
1 ، x ، x 2 ، ... ، x α-1. (9)
دعونا نظهر ذلك هذا النظاممستقل خطيا. تجميع المحدد الخاطئ لنظام الوظائف هذا ، نحصل عليه

.

هذا هو المحدد الثلاثيمع إدخالات غير صفرية على القطر الرئيسي. لذلك ، فهو يختلف عن الصفر ، مما يثبت الاستقلال الخطي لنظام الوظائف (9). لاحظ أنه في أحد أمثلة القسم السابق ، أثبتنا الاستقلال الخطي لنظام الوظائف (9) بطريقة مختلفة. دع الآن جذر المعادلة المميزة للتعددية α هو الرقم r 1 0. دعونا نجعل التغيير y = ze r 1 x = z exp (r 1 x) في المعادلة (6) L (y) = 0. ثم

وما إلى ذلك وهلم جرا. باستبدال القيم التي تم الحصول عليها من المشتقات في المعادلة الأصلية ، نحصل مرة أخرى على معادلة خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة
(0)
مع معادلة مميزة
. (1)
لاحظ أنه إذا كان k هو جذر المعادلة المميزة (1) ، فإن z = e kx هو حل للمعادلة (0) ، و y = ye r 1 x = e (k + r 1) x هو حل للمعادلة (6). ثم r = k + r 1 هو جذر المعادلة المميزة (7). من ناحية أخرى ، يمكن الحصول على المعادلة (6) من المعادلة (0) عن طريق الاستبدال العكسي z = ye - r 1 x وبالتالي فإن كل جذر من المعادلة المميزة (7) يتوافق مع الجذر k = r - r 1 من المعادلة المميزة (1). وهكذا ، تم إنشاء تطابق واحد لواحد بين جذور المعادلات المميزة (7) و (1) ، والجذور المختلفة لمعادلة واحدة تتوافق مع جذور مختلفةآخر. نظرًا لأن r = r 1 هو جذر التعددية α للمعادلة (7) ، فإن المعادلة (1) تحتوي على k = 0 جذر التعددية α. كما تم إثباته سابقًا ، تحتوي المعادلة (0) على حلول α مستقلة خطيًا
والتي تتوافق مع حلول α المستقلة خطيًا
(2)
المعادلات (7). بإرفاق نظام الحلول الناتج (2) بالحلول n-α المقابلة للجذور المتبقية للمعادلة المميزة ، نحصل على النظام الأساسي للحلول لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة في حالة الجذور المتعددة.
مثال. بالنسبة للمعادلة y "" "- 4y" "+ 4y" = 0 ، فإن المعادلة المميزة r 3-4r 2 + 4r = 0 لها جذور r = 0 من التعددية 1 و r = 2 للتعددية 2 ، منذ r 3 -4r 2 + 4r = r (r-2) 2 ، إذن النظام الأساسي لحلول المعادلة الأصلية هو نظام الدوال y 1 = 1 ، y 2 = e 2 x ، y 3 = xe 2 x ، والحل العام هو y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 xe 2 x.
3. من بين جذور المعادلة المميزة هناك جذور معقدة. يمكن النظر في الحلول المعقدة ، ولكن بالنسبة للمعادلات ذات المعاملات الحقيقية ، فإن هذا ليس مناسبًا للغاية. دعونا نجد حلول حقيقية تتوافق مع الجذور المعقدة. نظرًا لأننا نفكر في معادلة ذات معاملات حقيقية ، فبالنسبة لكل جذر معقد r j = a + bi من التعددية α للمعادلة المميزة ، فإن رقم اقترانها المعقد r k = a-bi هو أيضًا جذر تعدد α لهذه المعادلة. أزواج الحلول المقابلة لهذه الجذور هي الوظائف و ، l = 0،1 ، .. ، α-1. بدلاً من هذه الحلول ، ضع في اعتبارك توليفاتها الخطية. r 4 + 8r 2 + 16 = (r 2 + 4) 2 ، لذا فإن النظام الأساسي لحلول المعادلة الأصلية هو نظام الدوال y 1 = cos2x ، y 2 = sin2x ، y 3 = xcos2x، y 4 = xsin2x، والحل العام له الصيغة y = C 1 cos2x + C 2 sin2x + C 3 xcos2x + C 4 xsin2x.

المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية

المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية لها الشكل.

تعريف.الحل العام لمعادلة من الدرجة الثانية هو وظيفة ، لأي قيم ، هي حل لهذه المعادلة.

تعريف.تسمى المعادلة الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية معادلة. إذا كانت المعاملات ثابتة ، أي لا تعتمد عليها ، فهذه المعادلة تسمى معادلة ذات معاملات ثابتة وتتم كتابتها على النحو التالي:.

المعادلة ستسمى معادلة خطية غير متجانسة.

تعريف.المعادلة التي يتم الحصول عليها من الخطي معادلة متجانسةيُطلق على استبدال الوظيفة بالوحدة ، و- بالقوى المقابلة لـ ، المعادلة المميزة.

من المعروف أن المعادلة التربيعية لها حل يعتمد على المميز: ، أي. إذا ، فإن الجذور حقيقية أعداد مختلفة. اذا ثم . إذا ، أي ، فسيكون عددًا وهميًا ، والجذور و- ارقام مركبة. في هذه الحالة ، سوف نشير.

مثال 4حل المعادلة.

حل.تميز هذا معادلة من الدرجة الثانية، لهذا .

دعونا نوضح كيفية إيجاد الحل العام لمعادلة خطية متجانسة من الدرجة الثانية من شكل جذور المعادلة المميزة.

إذا كانت الجذور الحقيقية للمعادلة المميزة ، إذن .

إذا كانت جذور المعادلة المميزة هي نفسها ، أي ، ثم يتم البحث عن الحل العام للمعادلة التفاضلية بواسطة الصيغة أو .

إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور معقدة ، إذن.

مثال 5أوجد الحل العام للمعادلة.

حل.دعونا نجعل المعادلة المميزة للمعادلة التفاضلية المحددة:. جذوره صالحة ومتميزة. لذلك الحل العام .

النظام الأساسي لحلول المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة. نظرية حول بنية الحل العام لحلول المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة. في هذا القسم ، سوف نثبت أن أي مجموعة من ن حلولها المستقلة خطيًا.
ديف. 14.5.5.1. نظام القرار الأساسي. نظام القرار الأساسيمعادلة تفاضلية خطية متجانسة ن الترتيب هو أي خطي نظام مستقل ذ 1 (x ), ذ 2 (x ), …, ذ ن (x ) له ن قرارات خاصة.
النظرية 14.5.5.1.1 حول بنية الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة. قرار مشترك ذ (x ) من المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة هي مجموعة خطية من الوظائف من النظام الأساسي للحلول لهذه المعادلة:
ذ (x ) = ج 1 ذ 1 (x ) + ج 2 ذ 2 (x ) + …+ ج ن ذ ن (x ).
وثيقة في. يترك ذ 1 (x ), ذ 2 (x ), …, ذ ن (x ) هو النظام الأساسي لحلول المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة. مطلوب إثبات أن أي حل معين ذ تشو ( x ) من هذه المعادلة واردة في الصيغة ذ (x ) = ج 1 ذ 1 (x ) + ج 2 ذ 2 (x ) + …+ ج ن ذ ن (x ) لمجموعة من الثوابت ج 1 , ج 2 , …, ج ن . خذ أي نقطة ، واحسب الأرقام في هذه المرحلة ، وابحث عن الثوابت ج 1 , ج 2 , …, ج ن كحل لخطي نظام متجانس المعادلات الجبرية

مثل هذا الحل موجود وفريد ​​من نوعه ، لأن محدد هذا النظام هو. ضع في اعتبارك توليفة خطية ذ (x ) = ج 1 ذ 1 (x ) + ج 2 ذ 2 (x ) + …+ ج ن ذ ن (x ) وظائف من نظام الحلول الأساسي مع قيم الثوابت هذه ج 1 , ج 2 , …, ج ن ومقارنتها بالوظيفة ذ تشو ( x ). المهام ذ (x ) و ذ تشو ( x ) تفي بنفس المعادلة ونفس الشيء الشروط الأوليةفي هذه النقطة x 0 ، لذلك ، من خلال تفرد حل مشكلة كوشي ، فإنها تتطابق: ذ تشو ( x ) = ج 1 ذ 1 (x ) + ج 2 ذ 2 (x ) + … + ج ن ذ ن (x ). لقد تم إثبات النظرية.
ويترتب على هذه النظرية أن أبعاد الفضاء الخطي للحلول الجزئية لمعادلة متجانسة ذات معاملات مستمرة لا تتجاوز ن . يبقى إثبات أن هذا البعد على الأقل ن .
النظرية 14.5.5.1.2 حول وجود نظام أساسي من الحلول لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة. أي معادلة تفاضلية خطية متجانسة ن النظام مع المعاملات المستمرة له نظام أساسي من الحلول ، أي نظام من ن حلول مستقلة خطيًا.
وثيقة في. خذ أي محددات رقمية ن من الدرجة الثالثة ، لا تساوي الصفر

سنستمر في صقل التقنية التحولات الأولية على نظام متجانس المعادلات الخطية .
وفقًا للفقرات الأولى ، قد تبدو المادة مملة وعادية ، لكن هذا الانطباع خادع. بالإضافة إلى مزيد من التطوير التقنياتسيكون هناك الكثير معلومات جديدة، لذا يرجى محاولة عدم إهمال الأمثلة الواردة في هذه المقالة.

ما هو نظام متجانس من المعادلات الخطية؟

الجواب يقترح نفسه. نظام المعادلات الخطية متجانس إذا كان المصطلح الحر الجميعمعادلة النظام هي صفر. على سبيل المثال:

من الواضح أن النظام المتجانس ثابت دائمًا، أي أنه دائمًا ما يكون له حل. وقبل كل شيء ، ما يسمى ب تافهحل . تافهة ، بالنسبة لأولئك الذين لا يفهمون معنى الصفة على الإطلاق ، تعني bespontovoe. ليس أكاديميًا بالطبع ، ولكن بشكل واضح =) ... لماذا تتغلب على الأدغال ، دعنا نكتشف ما إذا كان هذا النظام لديه أي حلول أخرى:

مثال 1

حل: لحل نظام متجانس لا بد من الكتابة مصفوفة النظاموبمساعدة التحولات الأولية تجلبها إلى عرض صعدت. لاحظ أنه ليست هناك حاجة لكتابة الشريط الرأسي والعمود الصفري للأعضاء الأحرار هنا - بعد كل شيء ، مهما فعلت مع الأصفار ، فإنها ستبقى صفرًا:

(1) تمت إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث ، مضروبًا في -3.

(2) تم إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث ، مضروبًا في -1.

لا معنى لتقسيم الصف الثالث على 3.

نتيجة للتحولات الأولية ، يتم الحصول على نظام متجانس مكافئ ، والتطبيق عكس السكتة الدماغيةطريقة Gauss ، من السهل التحقق من أن الحل فريد من نوعه.

إجابة:

دعونا نصوغ معيارا واضحا: نظام متجانس من المعادلات الخطية فقط حل تافه ، لو رتبة مصفوفة النظام(الخامس هذه القضية 3) يساوي عدد المتغيرات (3 قطع في هذه الحالة).

نقوم بإحماء جهاز الراديو الخاص بنا وضبطه على موجة من التحولات الأولية:

مثال 2

حل نظامًا متجانسًا من المعادلات الخطية

لإصلاح الخوارزمية أخيرًا ، دعنا نحلل المهمة النهائية:

مثال 7

حل نظامًا متجانسًا ، واكتب الإجابة في شكل متجه.

حل: نكتب مصفوفة النظام ، وباستخدام التحولات الأولية ، نحولها إلى شكل متدرج:

(1) تم تغيير علامة السطر الأول. مرة أخرى ، ألفت الانتباه إلى الأسلوب الذي تم التقيد به بشكل متكرر ، والذي يسمح لك بتبسيط الإجراء التالي بشكل كبير.

(1) تمت إضافة السطر الأول إلى الخطين الثاني والثالث. تمت إضافة السطر الأول مضروبًا في 2 إلى السطر الرابع.

(3) الأسطر الثلاثة الأخيرة متناسبة ، وقد تم حذف اثنين منها.

والنتيجة هي المعيار مصفوفة الخطوة، ويستمر الحل على طول مسار الإبهام:

- المتغيرات الأساسية ؛
متغيرات مجانية.

نعبر عن المتغيرات الأساسية من حيث المتغيرات الحرة. من المعادلة الثانية:

- استبدل في المعادلة الأولى:

لذا فإن الحل العام هو:

نظرًا لوجود ثلاثة متغيرات مجانية في المثال قيد الدراسة ، فإن النظام الأساسي يحتوي على ثلاثة متجهات.

دعنا نستبدل بثلاث قيم في الحل العام والحصول على متجه إحداثياته ​​تفي بكل معادلة من النظام المتجانس. ومرة أخرى ، أكرر أنه من المستحسن للغاية التحقق من كل متجه مستلم - لن يستغرق الأمر الكثير من الوقت ، ولكنه سيوفر مائة بالمائة من الأخطاء.

لثلاثية القيم ابحث عن المتجه

وأخيرًا للثلاثي نحصل على المتجه الثالث:

إجابة: ، أين

الرغبة في الهروب قيم كسريةيمكن النظر في ثلاثة توائم واحصل على الإجابة بالشكل المعادل:

الحديث عن الكسور. لنلقِ نظرة على المصفوفة التي تم الحصول عليها في المسألة وطرح السؤال - هل من الممكن تبسيط الحل الإضافي؟ بعد كل شيء ، قمنا هنا أولاً بالتعبير عن المتغير الأساسي من حيث الكسور ، ثم المتغير الأساسي من حيث الكسور ، ويجب أن أقول إن هذه العملية لم تكن الأسهل وليست الأكثر متعة.

الحل الثاني:

الفكرة هي المحاولة اختر المتغيرات الأساسية الأخرى. لنلقِ نظرة على المصفوفة ونلاحظ وجود اثنين في العمود الثالث. فلماذا لا تحصل على الصفر في القمة؟ لنقم بتحويل أولي آخر:

LDE من الترتيب n - ur-e ، خطي فيما يتعلق بالمجهول f-ii ومشتقاته وله الشكل

a 0 (x) y (n) + a 1 (x) y (n-1) +… + a n-1 (x) y '+ a n (x) y = φ (x) |: a 0 (x) )

φ (x) ≠ 0- LNO

y (n) + p 1 (x) y (n -1) + ... + p n -1 (x) y ’+ p n (x) y = g (x) - (1) ur-e في شكل مخفض

* إذا كانت y 1 حلاً لـ LOU ، فإن С y 1 ، حيث С هو ثابت تعسفي ، هو أيضًا حل لهذه المعادلة.

* مجموع y 1 + y 2 من حلول LOU هو حل نفس المعادلة.

1 0 تركيبة خطية مع ثوابت عشوائية للحل y 1، y 2،…، y m LOU هو حل نفس المعادلة.

* إذا كان LOU (1) مع معاملات حقيقية p i (x) ∈R لديه الحل الكامل y (x) = u (x) + iv (x) ، ثم الجزء الحقيقي من هذا الحل Rey = u (x) والجزء التخيلي Imy = v (x) هما حلان منفصلان لنفس المعادلة.

تسمى الدوال y 1 (x) ، y 2 (x) ، ... ، y n (x) تعتمد خطيافي بعض الفترات (أ ، ب) ، إذا كان هناك الثوابت a1، a2، ...، ≠ 0 بحيث أنه بالنسبة لكل x للفاصل الزمني (a، b) الهوية a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) + ... + a n -1 (x) y ' + a n y n (x) = 0. إذا كانت الدوال تعتمد خطيًا ، فإن واحدة منها على الأقل هي مزيج خطي من الوظائف الأخرى.

إذا كانت الهوية صالحة فقط لـ a1 = a2 =… = an = 0 ، فسيتم استدعاء الوظائف y 1 (x) ، y 2 (x) ، ... ، y n (x) مستقل خطيافي الفترة (أ ، ب).

* إذا كانت الدوال y 1 (x) ، y 2 (x) ، ... ، y n (x) تعتمد خطيافي الفترة (أ ، ب) ، ثم المحدد (لفرونسكي)

W (x) = W = = 0 في هذا الفاصل الزمني.

حالة الاستقلال الخطيحلول خاصة:

* إذا كانت f-ii y 1 (x) ، y 2 (x) ، ... ، y n (x) هي حلول LOU (1) مع معاملات p i (x) متصلة على الفترة (a ، b) ، ثم يتم تجميعها بالنسبة لهم ، لا يساوي المحدد Wronsky 0 في أي نقطة من الفاصل الزمني (أ ، ب).

الحل العام لـ LSE (1) مع المعاملات p i (x) (i = 1،2، ...، n) المستمر على (أ ، ب) هو مزيج خطي من y oo = n مستقل خطيًا على نفس الفترة الزمنية للحلول الجزئية y i مع معاملات ثابتة عشوائية.

1 0 الحد الأقصى لعدد الحلول المستقلة خطيًا لـ LOE يساوي ترتيبها.

FSR-أي حلول جزئية مستقلة من الترتيب n من الدرجة LOU.

* y on \ u003d y oo + y h

هيكل الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة. طريقة تغيير الثوابت التعسفية لإيجاد حل معين لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الرتبة n.

يتم حل LIDE من خلال طريقة اختلاف الثوابت التعسفية. أولاً ، ابحث عن الحل العام معادلة متجانسة ، الذي له نفس الجانب الأيسر مثل الأصل معادلة غير متجانسة. ثم يكون حل المعادلة بالصيغة ، أي من المفترض أن الثوابت C هي f-mi متغير مستقل x. في هذه الحالة ، يمكن الحصول على f و C 1 (x) و C 2 (x) كحل للنظام

U هو \ u003d u oo + u ch

الحد الأقصى لعدد حلول المعادلة يساوي ترتيبها.

قرار مشترك

44 *. المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة. معادلة كثير الحدود المميزة والمميزة. بناء نظام أساسي للحلول في القضية جذور بسيطةكثير الحدود المميز (حقيقي ومعقد).

معادلة بالصيغة y "+ p (x) y \ u003d f (x) ، حيث p (x) ، f (x) هي وظائف مستمرة على الفاصل a

إذا كانت f (x) = 0 ، فإن المعادلة تسمى متجانسة.

إذا كان في معادلة LO y (n) + p 1 (x) y (n -1) +… + p n-1 (x) y ’+ p n (x) y = 0

جميع المعاملات pi ثابتة ، ثم يمكن إيجاد حلولها الخاصة بالصيغة y = e kx ، حيث k ثابت. الاستبدال في ur-e

(k n + p 1 k n -1 +…. + p n-1 k + p n) e kx = 0

التخفيض بواسطة e kx نحصل على ما يسمى. خصائص مكافئ.

ك ن + ص 1 ك ن -1 +…. + ف ن -1 ك + ع ن = 0

هذا ur-e من الدرجة n يحدد قيم k ، حيث y = e kx هو حل DE الأصلي مع معاملات ثابتة.

1.k 1، k 2،…، k n حقيقية ومميزة

FSR: e k 1 x، e k 2 x،…، e knx

2. ك 1 \ u003d ك 2 \ u003d ... \ u003d ك م \ u003d ك ~ ،

k ~ - m - جذر ur-i ، وجميع جذور n - m مختلفة

FSR: e k ~ x، x e k ~ x،…، x m -1 e k ~ x، e km +1 x، e k n x

يمكنك طلب حل مفصل لمشكلتك !!!

لفهم ما هو نظام القرار الأساسييمكنك مشاهدة الفيديو التعليمي لنفس المثال بالنقر فوق. الآن دعنا ننتقل إلى وصف كل الأعمال الضرورية. سيساعدك هذا على فهم جوهر هذه المشكلة بمزيد من التفصيل.

كيف تجد النظام الأساسي لحلول المعادلة الخطية؟

خذ على سبيل المثال نظام المعادلات الخطية التالي:

لنجد حلاً لنظام المعادلات الخطي هذا. بادئ ذي بدء ، نحن اكتب مصفوفة معامل النظام.

لنحول هذه المصفوفة إلى مصفوفة مثلثة.نعيد كتابة السطر الأول بدون تغييرات. وجميع العناصر التي تقل عن $ a_ (11) $ يجب أن تكون صفرًا. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (21) $ ، عليك طرح الأول من السطر الثاني ، وكتابة الفرق في السطر الثاني. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (31) $ ، عليك طرح الأول من الصف الثالث وكتابة الفرق في الصف الثالث. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (41) $ ، عليك طرح أول مضروب في 2 من السطر الرابع وكتابة الفرق في السطر الرابع. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (31) $ ، اطرح أول مضروب في 2 من السطر الخامس واكتب الفرق في السطر الخامس.

نعيد كتابة الخطين الأول والثاني بدون تغييرات. وجميع العناصر التي تقل عن $ a_ (22) $ يجب أن تكون صفرًا. للحصول على صفر بدلاً من العنصر $ a_ (32) $ ، من الضروري طرح العنصر الثاني مضروبًا في 2 من الصف الثالث وكتابة الفرق في الصف الثالث. للحصول على صفر بدلاً من العنصر $ a_ (42) $ ، من الضروري طرح الثاني مضروبًا في 2 من السطر الرابع وكتابة الفرق في السطر الرابع. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (52) $ ، اطرح الثاني مضروبًا في 3 من السطر الخامس واكتب الفرق في السطر الخامس.

نحن نرى ذلك الأسطر الثلاثة الأخيرة هي نفسها، لذلك إذا طرحت الثالث من الرابع والخامس ، فسيصبحان صفرًا.

لهذه المصفوفة اكتب نظام معادلات جديد.

نرى أن لدينا ثلاث معادلات مستقلة خطيًا فقط ، وخمسة مجاهيل ، لذا سيتكون نظام الحلول الأساسي من متجهين. لذلك نحن نقل آخر مجهولين إلى اليمين.

الآن ، نبدأ في التعبير عن تلك المجهولات الموجودة على الجانب الأيسر من خلال تلك الموجودة على الجانب الأيمن. نبدأ بالمعادلة الأخيرة ، أولاً نعبر عن $ x_3 $ ، ثم نعوض بالنتيجة التي تم الحصول عليها في المعادلة الثانية ونعبر عن $ x_2 $ ، ثم في المعادلة الأولى وهنا نعبر عن $ x_1 $. وهكذا ، عبرنا عن جميع المجهول الموجودة في الجانب الأيسر من خلال المجهول الموجودة في الجانب الأيمن.

بعد ذلك ، بدلاً من $ x_4 $ و $ x_5 $ ، يمكنك استبدال أي أرقام والعثور على $ x_1 $ و $ x_2 $ و $ x_3 $. كل هذه الأعداد الخمسة ستكون جذور نظام المعادلات الأصلي. للعثور على المتجهات التي تم تضمينها في FSRنحتاج إلى استبدال 1 بدلاً من $ x_4 $ ، واستبدال 0 بدلاً من $ x_5 $ ، أوجد $ x_1 $ و $ x_2 $ و $ x_3 $ ، ثم العكس بالعكس $ x_4 = 0 $ و $ x_5 = 1 $.