Примери на Бернули. Локална теорема на Лаплас

Нека се извършат n опита по отношение на събитието A. Да въведем следните събития: Аk -- събитие А е реализирано по време на k-тия тест, $ k=1,2,\dots , n$. Тогава $\bar(A)_(k) $ е противоположното събитие (събитие A не е настъпило по време на k-тия тест, $k=1,2,\dots , n$).

Какво представляват партньорските и независимите изпитания

Определение

Извикват се тестове от същия тип по отношение на събитие A, ако вероятностите на събитията $A1, A2, \dots , An$ са еднакви: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (т.е. вероятността за възникване на събитие А в едно изпитване е постоянна във всички изпитвания).

Очевидно в този случай вероятностите противоположни събитиясъщо съвпада: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(A)_(n))$.

Определение

Опитите се наричат ​​независими по отношение на събитие A, ако събитията $A1, A2, \dots , An$ са независими.

В такъв случай

В този случай равенството се запазва, когато всяко събитие Ak се замени с $\bar(A)_(k) $.

Нека, по отношение на събитието A, серия от n подобни независими тестове. Носим обозначението: p - вероятността на събитието A в един тест; q е вероятността от противоположното събитие. Така P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ за всяко k и p+q=1.

Вероятността в поредица от n опита събитие А да се случи точно k пъти (0 ≤ k ≤ n) се изчислява по формулата:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Равенство (1) се нарича формула на Бернули.

Вероятността в поредица от n независими опита от един и същи тип събитие А да се случи поне k1 пъти и най-много k2 пъти се изчислява по формулата:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Приложение на формулата на Бернули за големи стойности n води до тромави изчисления, така че в тези случаи е по-добре да се използват други формули - асимптотични.

Обобщение на схемата на Бернули

Помислете за обобщение на схемата на Бернули. Ако в поредица от n независими опита, всяко от които има m по двойки несъвместими и възможни резултати Ak със съответните вероятности Рk= рk(Аk). Тогава формулата за полиномно разпределение е валидна:

Пример 1

Вероятността да се разболеете от грип по време на епидемия е 0,4. Намерете вероятността от 6 служители на компанията да се разболеят

1. точно 4 служители;
2. не повече от 4 служители.

Решение. 1) Очевидно за решаването на този проблем е приложима формулата на Бернули, където n=6; k=4; р=0,4; q=1-p=0,6. Прилагайки формула (1), получаваме: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \приблизително 0,138$.

За решаването на този проблем е приложима формула (2), където k1=0 и k2=4. Ние имаме:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ приблизително 0,959.) \край (масив)\]

Трябва да се отбележи, че тази задача е по-лесна за решаване, като се използва обратното събитие - повече от 4 служители се разболяха. Тогава, като вземем предвид формула (7) за вероятностите от противоположни събития, получаваме:

Отговор: $\ $0,959.

Пример 2

Една урна съдържа 20 бели и 10 черни топки. Изваждат се 4 топки и всяка извадена топка се връща в урната, преди да бъде изтеглена следващата и топките в урната да се смесят. Намерете вероятността от четирите изтеглени топки да има 2 бели топки на фигура 1.

Снимка 1.

Решение. Нека събитието А се състои в това, че - получих бяла топка. Тогава вероятностите $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Според формулата на Бернули изискваната вероятност е $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.

Отговор: $\frac(8)(27) $.

Пример 3

Определете вероятността едно семейство с 5 деца да има не повече от 3 момичета. Предполага се, че вероятността да имате момче и момиче е еднаква.

Решение. Вероятност да имате момиче $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-вероятност да имате момче. В едно семейство няма повече от три момичета, което означава, че са се родили или едно, или две, или три момичета, или всички момчета в семейството.

Намерете вероятностите в семейството да няма момичета, родени са едно, две или три момичета: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Следователно изискваната вероятност е $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

Отговор: $\frac(13)(16)$.

Пример 4

Първият стрелец с един изстрел може да уцели десетката с вероятност 0,6, деветте с вероятност 0,3 и осемте с вероятност 0,1. Каква е вероятността с 10 изстрела да уцели десет шест пъти, девет три пъти и осем осем пъти?

Преди да представи третия въпрос от лекцията, учителят посочва проблема, който налага разглеждането на теоремата за повторението на експериментите, като същевременно отбелязва, че в хода на изучаваната теория на вероятностите ще се разглежда само определена теорема, свързана с повторението независими експерименти, във всеки от които събитието А се появява с постоянна вероятност.

След това учителят показва доказателството на тази теорема (извеждането на формулата на Бернули).

За да обясни физическата същност на разглежданата теорема, учителят използва шрайбпроектор и подготвени слайдове.

В края на лекцията учителят обяснява защо разпределението на вероятностите за настъпване на събитие А в серия от n опита, в условия, когато те са несъвместими и образуват пълна група от събития, се нарича биномно и обръща внимание на важността за познаване на това разпределение за решаване на приложни проблеми.

Досега разглеждахме комбинации от сравнително малък брой събития, когато директното прилагане на правилата за събиране и умножение на вероятности не причинява големи изчислителни затруднения. Въпреки това, с увеличаване на броя на събитията или броя на опитите, в които може да се появи събитието, което ни интересува, изследваният метод на изчисление става много тромав.

В този случай проблемът беше решен съвсем просто, само ако експериментите бяха независими.

Извикват се няколко експеримента независима, ако вероятността за един или друг резултат от всеки от експериментите не зависи от това какви резултати са имали другите експерименти.

На практика има случаи, когато вероятността за настъпване на събитие Авъв всички независими експерименти могат да бъдат еднакви или да се променят от опит към опит. Например, когато коригирате огъня след всеки изстрел, вероятността за попадение в целта с всеки изстрел ще се промени.

В случай, че в независими експерименти вероятността за настъпване на събитие от опит към опит се променя, се използва общата теорема за повторението на експериментите, а когато в независими експерименти вероятността за настъпване на събитие не се променя от опита за опит се използва определена теорема за повторението на експериментите.

В курса на теорията на вероятностите, която изучаваме, ще разгледаме само конкретен термин за повторение на експерименти, когато е необходимо да се определи вероятността за настъпване на събитие Ав серия от n независими експеримента, във всеки от които събитие А се случва с еднаква вероятност.

Например, необходимо е да се изчисли вероятността при пет изстрела от пистолет при постоянни настройки да бъдат получени точно две попадения в целта, ако изстрелите са независими и вероятността за попадение в целта е известна и не се променя за всеки изстрел.

Ако направим възможни комбинации от настъпването на интересуващото ни събитие A 1, тогава получаваме:

Ще има 10 възможни комбинации, в които ще се случи събитието A = (получете 2 удара с пет удара).

Прилагайки теоремата за сумата и произведението на независими събития, ще имаме:

Увеличаването на броя на събитията, които ни интересуват, или на броя на тестовете ще доведе до още по-голямо увеличаване на обема на изчислителните операции, така че възниква проблемът с намирането на по-малко отнемащи време методи за изчисление.

Формулиране на проблема:

Нека се приеме, че при едни и същи условия се провеждат n независими теста, резултатът от всеки от които може да бъде началото или събитията А, или неговата противоположност .

Означаваме с А 1 настъпване на събитие Ана първия тест, А 2 - на втория тест, А н- на последния тест.

Поради постоянството на условията на изпитване:

P(A 1 ) = P(A 2 ) = … P(A н ) = p

Ние се интересуваме от вероятността събитие А да се случи точно веднъж по време на n опита и да не се случи в останалите n-m опита (т.е. събитието, противоположно на събитие А, ще се случи - ).

Да приемем, че събитието, което ни интересува Асе среща подред m пъти, започвайки от първия, т.е. случва се събитие д.

E=A 1 А 2 … А м -1 А м 
(1)

м н- м

Съгласно условието за повторение на теста, събитията, включени в тази комбинация, са независими, докато вероятностите за възникване на събития A 1, А 2 ,… А м -1 , А меднакви и равни p: P(A 1 ) = P(A 2 ) =…= P(A м ) = p,и вероятностите да не се случат събития
са еднакви и равни р=1-p:.

Прилагайки правилото за умножение на вероятностите за независими събития към израз 1, получаваме:

P(E) = P(A 1 ) P(A 2 ) … P(A м -1 ) P(A м ) R(
= p м (1-р) н  - м = p м р н - м

Поради постоянството на условията на теста, ние предположихме, че събитието, което ни интересува Асе появява последователно m пъти, започвайки от първия. Но събитието А V низпитанията могат да дойдат точно мпъти в различни последователности или комбинации. В същото време не ни интересува в каква точно последователност се появява събитието А мведнъж.

Броят на тези комбинации е равен на броя на комбинациите от n елемента по м.

Тъй като тези комбинации от събития (като комбинации E) са несъвместими и ние не се интересуваме от последователността на възникване на събитието Аточно в теста мпъти, след което означава вероятността да ни интересува чрез Р м, получаваме:

Р м =
Р м (1-р) н - м =
=

Където
- брой комбинации от нелементи от м.

Тази формула е кръстена на формулата на Бернули.

Формулата на Бернули ви позволява да получите отговор на въпроса: каква е вероятността, че при повтаряне на n независими опити, някакво събитие Аидва точно мпъти, ако във всяко от тези изпитания вероятността събитието да се случи е Апостоянен и равен P(A) = p.

Горната формула на Бернули е от изключително значение в теорията на вероятностите поради това, че е свързана с повторение на тестове при едни и същи условия, т.е. с такива условия, в които се проявяват законите на теорията на вероятностите.

Заключение на лекцията:

В лекцията разгледахме основните въпроси на теорията на вероятностите във връзка със случайни променливи, въведохме основния концептуален апарат, необходим за по-нататъшно изучаване на дисциплината: определението случайна величина, тяхната класификация; понятието закон за разпределение и неговата форма за различни видовеслучайна величина.

При подготовката за следващи лекции и практически упражнения, трябва самостоятелно да допълните своите лекционни бележки със задълбочено изучаване на препоръчаната литература и решаване на предложените проблеми.

Освен това в следващите уроци ще изучаваме теореми и зависимости, които ни позволяват да определим вероятността случайна променлива да се появи необходимия брой пъти или на определен интервал, например вероятността за попадение в цел.

Разгледайте:

Wentzel E.S. Теория на вероятностите. Учебник. Осмо издание, стереотипно. – М.: висше училище, 2002 г. - 575 с. – с. 67-78, 80-84

Вентцел Е.С., Овчаров Л.А. Теория на вероятностите и нейните инженерни приложения. Урок. Трето издание, преработено и допълнено. - М .: "Академия", 2003 - 464 с. – с. 73-93

Гмурман В.Е. Теория на вероятностите и математическа статистика. Урок. Десето издание, стереотипно.-М .: Висше училище, 2004 г. - 480 с. стр. 64-73

n експеримента се извършват съгласно схемата на Бернули с вероятност за успех p. Нека X е броят на успехите. Случайната променлива X има диапазон (0,1,2,...,n). Вероятностите на тези стойности могат да бъдат намерени по формулата: , където C m n е броят на комбинациите от n до m.
Серията на разпределение има формата:

х	0	1	...	м	н
стр	(1-p)n	np(1-p) n-1	...	C m n p m (1-p) n-m	p n

Този закон на разпределение се нарича бином.

Сервизно задание. За начертаване се използва онлайн калкулатор биномна серия на разпределениеи изчисляване на всички характеристики на реда: математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение. Доклад с решение се съставя във формат Word (пример).

Брой опити: n= , Вероятност p =
С малка вероятност p и голям брой n (np формула на Поасон.

Видео инструкция

Схема на теста на Бернули

Числени характеристики на случайна величина, разпределени по биномен закон

Математическото очакване на случайна променлива X, разпределена по биномния закон.
M[X]=np

Дисперсия на случайна величина X, разпределена по биномен закон.
D[X]=npq

Пример #1. Продуктът може да е дефектен с вероятност p = 0,3 всеки. От една партида се избират три елемента. X е броят на дефектните части сред избраните. Намерете (Въведете всички отговори като десетични дроби): а) разпределителна серия X; б) функция на разпределение F(x) .
Решение. Случайната променлива X има диапазон (0,1,2,3).
Нека намерим серията за разпространение X.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0,3) 3-1 = 0,44

P 3 (3) = p n = 0,3 3 = 0,027

x i	0	1	2	3
пи	0.34	0.44	0.19	0.027

Математическото очакване се намира по формулата M[X]= np = 3*0,3 = 0,9
Преглед: m = ∑ x i p i .
Математическо очакване M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Дисперсията се намира по формулата D[X]=npq = 3*0.3*(1-0.3) = 0.63
Преглед: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 0 2 *0,34 + 1 2 *0,44 + 2 2 *0,19 + 3 2 *0,027 - 0,9 2 = 0,63
Средно аритметично стандартно отклонениеσ(x).

Функция на разпределение F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3)) = 1

1. Вероятността за възникване на събитие в един опит е 0,6. Правят се 5 теста. Съставете закона за разпределение на случайна величина X - броя на случванията на дадено събитие.
2. Съставете закона за разпределение на случайната променлива X на броя на попаденията с четири изстрела, ако вероятността за поразяване на целта с един изстрел е 0,8.
3. Монета се хвърля 7 пъти. намирам очаквана стойности вариацията в броя на срещанията на герба. Забележка: тук вероятността за появата на герба е p = 1/2 (тъй като монетата има две страни).

Пример #2. Вероятността за възникване на събитие в единичен опит е 0,6. Прилагайки теоремата на Бернули, определете броя на независимите опити, започвайки от които вероятността честотата на събитие да се отклонява от неговата вероятност по отношение на абсолютна стойностпо-малко от 0,1, повече от 0,97. (Отговор: 801)

Пример #3. Учениците изпълняват теств часа по информатика. Работата се състои от три задачи. За да получите добра оценка, трябва да намерите верните отговори на поне две задачи. Всяка задача има 5 отговора, от които само един е верен. Ученикът избира произволен отговор. Каква е вероятността той да получи добра оценка?
Решение. Вероятност да се отговори правилно на въпроса: p=1/5=0.2; n=3.
Тези данни трябва да бъдат въведени в калкулатора. Вижте P(2)+P(3) за отговора.

Пример #4. Вероятността стрелецът да уцели целта с един изстрел е (m+n)/(m+n+2) . Произвеждат се n + 4 изстрела. Намерете вероятността той да пропусне не повече от два пъти.

Забележка. Вероятността той да пропусне не повече от два пъти включва следните събития: никога не пропуска P(4), пропуска веднъж P(3), пропуска два пъти P(2).

Пример номер 5. Определете вероятностното разпределение на броя на повредените самолети, ако летят 4 самолета. Вероятността за безотказна работа на самолета Р=0,99. Броят на самолетите, които са се провалили във всеки излет, се разпределя според биномния закон.

1

1. Боголюбов А.Н. Математика. Механика: биографичен справочник. - Киев: Наукова думка, 1983.

2. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Анализ и оценка на приоритета на разделите на математическите дисциплини, изучавани от студенти по икономически специалности аграрни университети// Бюлетин на агропромишления комплекс на Ставропол. - 2013. - № 1 (9). - С. 6-10.

3. Долгополова A.F., Gulay T.A., Литвин D.B. Перспективи за приложение математически методи V икономически изследвания// Аграрна наука, творчество, растеж. - 2013. - С. 255-257.

В математиката доста често има задачи, в които има голям бройповторения на едно и също състояние, тест или експеримент. Резултатът от всеки тест ще се счита за напълно различен резултат от предишния. Зависимост в резултатите също няма да се наблюдава. Като резултат от теста могат да се разграничат няколко възможности за елементарни последствия: настъпване на събитие (А) или настъпване на събитие, което допълва А.

Тогава нека се опитаме да приемем, че вероятността за настъпване на събитието Р(А) е регулярна и равна на р (0<р<1).

Примери за такова предизвикателство могат да бъдат голям брой задачи, като хвърляне на монета, изваждане на черни и бели топки от тъмна торба или раждане на черни и бели зайци.

Такъв експеримент се нарича повтаряща се независима тестова конфигурация или схема на Бернули.

Якоб Бернули е роден в семейство на фармацевт. Бащата се опитва да насочи сина си към медицината, но Й. Бернули сам започва да се интересува от математиката и по-късно тя става негова професия. Притежава различни трофеи в трудове по теми от теорията на вероятностите и числата, редовете и диференциалното смятане. След като изучава теорията на вероятностите от едно от произведенията на Хюйгенс „За изчисленията в хазарта“, Джейкъб се интересува от това. В тази книга дори нямаше ясна дефиниция на понятието „вероятност“. Дж. Бернули е този, който въвежда повечето от съвременните концепции на теорията на вероятностите в математиката. Бернули беше и първият, който изрази своята версия на закона за големите числа. Различни трудове, теореми и схеми носят името на Джейкъб: "Числа на Бернули", "Полином на Бернули", "Диференциално уравнение на Бернули", "Разпределение на Бернули" и "Уравнение на Бернули".

Да се ​​върнем на повторението. Както вече беше споменато по-горе, в резултат на различни тестове са възможни два резултата: или ще се появи събитие А, или обратното на това събитие. Самата схема на Бернули означава производството на n-тия брой типични безплатни експерименти и във всеки от тези експерименти може да се появи събитието А, от което се нуждаем (вероятността за това събитие е известна: P (A) \u003d p), вероятността за събитие, противоположно на събитие А, се обозначава с q \u003d P ( A)=1-p. Изисква се да се определи вероятността при тестване на неизвестно число събитие А да се случи точно k пъти.

Важно е да запомните основното условие при решаването на проблеми с помощта на схемата на Бернули е постоянството. Без него схемата губи всякакъв смисъл.

Тази схема може да се използва за решаване на проблеми с различни нива на сложност: от прости (една и съща монета) до сложни (лихва). Въпреки това, по-често схемата на Бернули се използва при решаването на такива проблеми, които са свързани с контрола на свойствата на различни продукти и доверието в различни механизми. Само за решаване на проблема, преди да започнете работа, всички условия и стойности трябва да бъдат известни предварително.

Не всички проблеми в теорията на вероятностите се свеждат до постоянство при условия. Дори ако вземем за пример черни и бели топки в тъмна торба: когато една топка бъде изтеглена, съотношението на броя и цветовете на топките в торбата се е променило, което означава, че самата вероятност се е променила.

Въпреки това, ако нашите условия са постоянни, тогава можем точно да определим изискваната от нас вероятност събитието А да се случи точно k пъти от n възможни.

Този факт е компилиран от Якоб Бернули в теорема, която по-късно става известна като негово име. „Теоремата на Бернули“ е една от основните теореми в теорията на вероятностите. Публикуван е за първи път в труда на Й. Бернули "Изкуството на предположенията". Каква е тази теорема? „Ако вероятността p за настъпване на събитие А във всеки опит е постоянна, тогава вероятността Pk,n събитието да се случи k пъти в n опита, които са независими едно от друго, е равна на: , където q=1-p .”

В доказателството за ефективността на формулата могат да се дават задачи.

Задача №1:

От n стъклени буркана за месец на съхранение, k се счупват. На случаен принцип взех m кутии. Намерете вероятността сред тези буркани l да не се счупи. n=250, k=10, m=8, l=4.

Решение: Имаме схема на Бернули със стойности:

p=10/250=0.04 (вероятност банките да се счупят);

n=8 (брой опити);

k=8-4=4 (брой счупени буркани).

Използваме формулата на Бернули

Има:

Отговор: 0,0141

Задача #2:

Вероятността за производство на дефектен продукт в производството е 0,2. Намерете вероятността от 10 продукта, произведени в това производствено съоръжение, точно k да са в добро състояние. Изпълнете решение за k = 0, 1, 10.

Интересуваме се от събитие А - производство на годни за експлоатация части, което се случва веднъж на час с вероятност p=1-0.2=0.8. Трябва да намерим вероятността даденото събитие да се случи k пъти. Събитие А е противоположно на събитието "не А", т.е. производство на дефектен продукт.

Следователно имаме: n=10; р=0,8; q=0,2.

В резултат на това намираме вероятността, че от 10 произведени продукта всички продукти са дефектни (k=0), че един продукт е в добро състояние (k=1), че изобщо няма дефектни (k=10) :

В заключение бих искал да отбележа, че в днешно време много учени се опитват да докажат, че "формулата на Бернули" не е в съответствие със законите на природата и че проблемите могат да бъдат решени, без да се прилага. Разбира се, това е възможно, повечето проблеми в теорията на вероятностите могат да бъдат изпълнени без формулата на Бернули, най-важното е да не се бъркате в големи обеми числа.

Библиографска връзка

Хомутова Е.А., Калиниченко В.А. ФОРМУЛАТА НА БЕРНУЛИ В ТЕОРИЯТА НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ // Международен студентски научен бюлетин. - 2015. - № 3-4 .;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (дата на достъп: 12.03.2019 г.). Предлагаме на Вашето внимание списанията, издавани от издателство "Естествонаучна академия"

Следователно вашето близко забавление ще бъде изключително полезно. Освен това ще ви кажа какво не е наред преобладаващото мнозинствоучастници в лотарии и хазартни игри. ... Не, вярата или слабата надежда за "ударяне на джакпота" няма абсолютно нищо общо с това ;-) Без дори да мигне окото, ние се гмурваме в темата:

Какво стана независими тестове ? Почти всичко е ясно от самото име. Нека направим няколко теста. Ако вероятността за настъпване на някакво събитие във всеки от тях не зависиот резултатите от останалите тестове, тогава ... завършваме фразата в хор =) Браво. В същото време фразата "независими тестове" често означава повтаря сенезависими тестове - когато се извършват една след друга.

Най-простите примери:
- монета се хвърля 10 пъти;
- Зарът се хвърля 20 пъти.

Съвсем ясно е, че вероятността да получите глави или опашки във всеки опит не зависи от резултатите от други хвърляния. Подобно твърдение, разбира се, е вярно и за куба.

Но последователното премахване на карти от тестето не е поредица от независими тестове - както си спомняте, това е верига зависими събития. Ако обаче картата се връща всеки път, тогава ситуацията ще стане „както трябва да бъде“.

Бързам да ви зарадвам - имаме още един Терминатор като наш гост, който е абсолютно безразличен към своите успехи / неуспехи и затова стрелбата му е модел на стабилност =):

Задача 1

Стрелецът стреля 4 изстрела по целта. Вероятността за попадение с всеки изстрел е постоянна и равна на . Намерете вероятността, че:

а) стрелецът ще уцели само веднъж;
б) стрелецът ще уцели 2 пъти.

Решение: формулирано условие общо взетои вероятността за попадение в целта с всеки изстрел смятан за известен. Тя е равна (ако е наистина трудно, задайте конкретна стойност на параметъра, например,) .

Веднага след като знаем, е лесно да намерим вероятността за пропуск във всеки изстрел:
, тоест "ку" също е известно количество.

а) Помислете за събитие "Стрелецът улучва само веднъж"и означете неговата вероятност с (индексите се разбират като "едно попадение от четири"). Това събитие се състои от 4 несъвместими резултата: стрелецът ще уцели 1-вия иливъв 2-ра илив 3-та илина 4-тия опит.

Намерете вероятността, когато се хвърлят 10 монети, главите да се появят на 3 монети.

Тук тестовете не се повтарят, а по-скоро се извършват едновременно, но въпреки това същата формула работи:.

Решението ще се различава по значение и някои коментари, по-специално:
начини, по които можете да изберете 3 монети, които ще паднат глави.
е вероятността да получите глави на всяка от 10-те монети
и т.н.

На практика обаче подобни проблеми не са толкова чести и очевидно поради тази причина формулата на Бернули е почти стереотипно свързана само с повтарящи се тестове. Въпреки че, както току-що беше показано, повторяемостта изобщо не е необходима.

Следната задача за самостоятелно решение:

Задача 3

Зарът се хвърля 6 пъти. Намерете вероятността 5 точки:

а) няма да изпадне (ще падне 0 пъти);
б) ще изпадне 2 пъти;
в) отпадане 5 пъти.

Закръглете резултатите до 4 знака след десетичната запетая.

Кратко решение и отговор в края на урока.

Очевидно в разглежданите примери някои събития са по-вероятни, а други по-малко вероятни. Така например при 6 хвърляния на зара, дори без никакви изчисления, е интуитивно ясно, че вероятностите за събитията от точки "а" и "бе" са много по-големи от вероятността "петицата" да падне 5 пъти. Сега нека поставим задачата да намерим

НАЙ-ГОЛЯМ брой появявания на събитие в независими опити

Отново на ниво интуиция в задача № 3 можем да заключим, че най-вероятният брой срещания на "петицата" е равен на едно - все пак лицата са общо шест и при 6 хвърляния на зара , всеки от тях трябва да падне средно веднъж. Желаещите могат да изчислят вероятността и да видят дали е по-голяма от "конкурентните" стойности и .

Нека формулираме строг критерий: за намиране на най-вероятния брой повторения на случайно събитие в независими опити (с вероятност във всеки опит)се ръководят от следното двойно неравенство:

, и:

1) ако стойността е дробна, тогава има едно най-вероятно число;
по-специално, ако е цяло число, то е най-вероятното число: ;

2) ако е цяло число, тогава съществуват двенай-вероятните числа: и .

Най-вероятният брой срещания на "пет" при 6 хвърляния на зара попада в специалния случай на първия параграф:

За да консолидираме материала, ще решим няколко проблема:

Задача 4

Вероятността баскетболист да удари коша при хвърляне на топката е 0,3. Намерете най-вероятния брой удари в 8 хвърляния и съответната вероятност.

И това е, ако не Терминатор, то поне хладнокръвен спортист =)

Решение: за да оценим най-вероятния брой попадения, използваме двойното неравенство . В такъв случай:

- общи хвърляния;
- вероятността за удряне на коша с всяко хвърляне;
е вероятността за пропуск при всяко хвърляне.

По този начин най-вероятният брой удари в 8 хвърляния е в следните граници:

Тъй като лявата граница е дробно число (артикул #1), тогава има една най-вероятна стойност и, очевидно, тя е равна на .

Използване на формулата на Бернули , изчислете вероятността за 8 хвърляния да има точно 2 попадения:

Отговор: - най-вероятният брой удари с 8 хвърляния,
е съответната вероятност.

Подобна задача за независимо решение:

Задача 5

Монетата се хвърля 9 пъти. Намерете вероятността за най-вероятния брой срещания на орел

Примерно решение и отговор в края на урока.

След едно вълнуващо отклонение, нека разгледаме още няколко проблема, а след това ще споделя тайната на правилния хазарт и лотария.

Задача 6

Сред продуктите, произведени на автоматична машина, има средно 60% продукти от първи клас. Каква е вероятността сред 6 произволно избрани елемента да има:

а) от 2 до 4 продукта от първи клас;
б) най-малко 5 продукта от първи клас;
в) поне един продукт от по-нисък клас.

Вероятността да се произведе първокласен продукт не зависи от качеството на другите произведени продукти, така че тук говорим за независими тестове. Опитайте се да не пренебрегвате анализа на състоянието, в противен случай може да се окаже, че събитията зависимИли проблемът е съвсем друг.

Решение: вероятността е криптирана като процент, който, напомням ви, трябва да бъде разделен на сто: - вероятността избраният продукт да бъде от 1-ви клас.
Тогава: - вероятността да не е първокласен.

а) Събитие „Сред 6 произволно избрани продукта ще има от 2 до 4 продукта от първи клас“се състои от три несъвместими резултата:

сред продуктите ще има 2 първокласни или 3 първи клас или 4 първи клас.

По-удобно е резултатите да се разглеждат отделно. Използваме формулата на Бернули три пъти :

- вероятността през деня поне 5 от шест компютъра да работят безотказно.

Тази стойност също няма да ни подхожда, тъй като е по-малка от необходимата надеждност на компютърния център:

Така и шест компютъра не са достатъчни. Нека добавим още едно:

3) Нека има компютри в компютърния център. Тогава 5, 6 или 7 компютъра трябва да работят безотказно. С помощта на формулата на Бернули и теорема за добавяне за вероятностите от несъвместими събития, намираме вероятността поне 5 от седем компютъра да работят безотказно през деня.