Как да решаваме графично уравнения с параметър. Графичен метод за решаване на уравнения с параметри

Уравненията с параметри се считат за едни от най-много предизвикателни задачиЗнам училищна математика. Именно тези задачи попадат от година на година в списъка на задачите от тип B и C в единната държава USE изпит. Въпреки това сред Голям бройуравненията с параметри са тези, които могат лесно да бъдат решени графично. Нека разгледаме този метод на примера за решаване на няколко задачи.

Намерете сумата от целите стойности на a, за които уравнението |x 2 – 2x – 3| = a има четири корена.

Решение.

За да отговорим на въпроса за проблема, ние надграждаме върху един координатна равнинафункционални графики

y = |x 2 – 2x – 3| и y = a.

Графика на първата функция y = |x 2 – 2x – 3| ще се получи от графиката на параболата y = x 2 - 2x - 3 чрез показване симетрично спрямо абсцисната ос на частта от графиката, която е под оста Ox. Частта от графиката над оста x ще остане непроменена.

Нека го направим стъпка по стъпка. Графиката на функцията y \u003d x 2 - 2x - 3 е парабола, чиито клонове са насочени нагоре. За да изградим неговата графика, намираме координатите на върха. Това може да стане с помощта на формулата x 0 = -b / 2a. По този начин x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. За да намерим координатата на върха на параболата по оста y, заместваме получената стойност за x 0 в уравнението на разглежданата функция. Получаваме, че y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. Следователно върхът на параболата има координати (1; -4).

След това трябва да намерите точките на пресичане на клоните на параболата с координатните оси. В точките на пресичане на клоновете на параболата с абсцисната ос стойността на функцията е нула. Следователно ние решаваме квадратно уравнение x 2 - 2x - 3 = 0. Корените му ще бъдат желаните точки. По теоремата на Vieta имаме x 1 = -1, x 2 = 3.

В точките на пресичане на клоновете на параболата с оста y стойността на аргумента е нула. Така точката y = -3 е точката на пресичане на клоновете на параболата с оста y. Получената графика е показана на фигура 1.

За да получим графиката на функцията y = |x 2 - 2x - 3|, ще покажем частта от графиката, която е под оста x, симетрично спрямо оста x. Получената графика е показана на фигура 2.

Графиката на функцията y = a е права линия, успоредна на оста x. Показано е на фигура 3. Използвайки фигурата и намираме, че графиките имат четири общи точки (и уравнението има четири корена), ако a принадлежи на интервала (0; 4).

Целочислени стойности на число a от получения интервал: 1; 2; 3. За да отговорим на въпроса от задачата, нека намерим сбора на тези числа: 1 + 2 + 3 = 6.

Отговор: 6.

Намерете средноаритметичната стойност на целите стойности на числото a, за които уравнението |x 2 – 4|x| – 1| = a има шест корена.

Нека започнем с начертаване на функцията y = |x 2 – 4|x| – 1|. За целта използваме равенството a 2 = |a| 2 и изберете пълен квадратв израз на подмодул, написан от дясната страна на функцията:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

Тогава оригиналната функция ще изглежда като y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

За да изградим графика на тази функция, изграждаме последователно графики на функции:

1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - парабола с връх в точка с координати (2; -5); (Фиг. 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - частта от параболата, построена в параграф 1, която се намира вдясно от ординатната ос, се показва симетрично вляво от оста Oy; (фиг. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - частта от графиката, построена в параграф 2, която е под оста x, се показва симетрично спрямо абсцисната ос нагоре. (фиг. 3).

Помислете за получените чертежи:

Графиката на функцията y = a е права линия, успоредна на оста x.

С помощта на фигурата заключаваме, че графиките на функциите имат шест общи точки(уравнението има шест корена), ако a принадлежи на интервала (1; 5).

Това може да се види на следната фигура:

Намерете средната аритметична стойност на целочислените стойности на параметъра a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Отговор: 3.

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

За да разкрием напълно възможностите на този метод, ще разгледаме основните видове проблеми.

Примерни задачи за формиране на знания и умения за решаване на задачи с параметри по графичен метод (координатна равнина)

Упражнение 1.

На какви стойностиауравнение = има два корена?

Решение.

Да преминем към еквивалентна система:

Тази система дефинира крива в координатната равнина (;). Ясно е, че всички точки от тази дъга на параболата (и само те) имат координати, които удовлетворяват първоначалното уравнение. Следователно броят на решенията на уравнението за всяка фиксирана стойност на параметъра, е равен на броя точки на пресичане на кривата с хоризонталната линия, съответстваща на тази стойност на параметъра.

Очевидно за посочените линии пресичат графиката в две точки, което е еквивалентно на оригиналното уравнение с два корена.

Отговор:при.

Задача 2.

Намерете всички стойности на a, за които системата има уникално решение.

Решение.

Нека пренапишем оригиналната система в тази форма:

Всички решения на тази система (изгледни двойки) образуват зоната, показана на фигурата, чрез щриховка. Изискването за уникалност на решението на тази система на графичен език се превежда по следния начин: хоризонталните линии трябва да имат само една обща точка с получената площ. Лесно се вижда, че само прави линиии отговарят на заявеното изискване.

Отговор:или.

Двата току-що анализирани проблема ни позволяват да дадем по-конкретни препоръки в сравнение с тези, дадени по-рано:

опитайте се да изразите параметъра чрез променлива, т.е. вземете равенства на формата, тогава

начертайте графика на функция върху равнина.

Задача 3.

На какви стойностиА има ли уравнението точно три корена?

Решение.

Ние имаме

Графиката на това множество е обединението на „ъгъла“ и параболата. Очевидно само правата пресича полученото обединение в три точки.

Отговор: .

коментар: Параметърът обикновено се разглежда като фиксиран, но непознат номер. Междувременно, от формална гледна точка, параметърът е променлива, освен това „равен“ с другите, присъстващи в задачата. С този изглед на параметъра на формата функциите се дефинират не с една, а с две променливи.

Задача 4.

Намерете всички стойности на параметрите, за които уравнението има едно решение.

Решение.

Една дроб е нула тогава и само ако числителят на дробта е нула, а знаменателят е различен от нула.

Намиране на корени квадратен тричлен:

С помощта на получената система е лесно да се начертае първоначалното уравнение. Именно наличието на "пробивки" в тази графика позволява и = да има уникално решение на уравнението. Това е определящият фактор при решението.

Отговор: И.

Задача 5.

При какви стойности на параметъра,А уравнението има уникално решение.

Решение.

Нека напишем система, еквивалентна на първоначалното уравнение

От тук получаваме

Изграждаме графика и ще начертаем прави линии, перпендикулярни на остаА .

Първите две неравенства на системата определят набор от точки, показани чрез щриховка, и този набор не включва хиперболи и.

След това отсечка и лъч, отсечка и лъч, лежащи съответно на правите и , са графиката на първоначалното уравнение. Едно решение ще бъде, ако 2< < или < или = .

Отговор : 2 < < или < или = .

Задача 6.

Намерете всички стойности на параметритеА , за което уравнението

има точно две различни решения

Решение.

Помислете за набор от две системи

Ако , Че.

Ако < , Че.

Оттук

или

Параболите и правата линия имат две общи точки:А (-2; - 2), IN(-1; -1), освен това, IN е върхът на първата парабола,д - горната част на втория. И така, графиката на първоначалното уравнение е показана на фигурата.

Трябва да има точно две различни решения. Това се прави с или.

Отговор:или.

Задача 7.

Намерете множеството от всички числа, за всяко от които уравнението

има само два различни корена.

Решение.

Нека пренапишем това уравнение във формата

Корените на уравнението, при условие че.

Изграждане на графика дадено уравнение. IN този случайУдобно е да се изгради графика, като се присвои на променливата оста y. Тук „четем“ отговора с вертикални линии, получаваме, че това уравнение има само два различни корена при = -1 или или.

Пунктираните линии казват това.

Отговор:при = -1 или или.

Задача 8.

За което множеството от решения на неравенството съдържа пропуск.

Решение.

Нека напишем набора от две системи, който е еквивалентен на оригиналното уравнение:

или

Тъй като в решението на първата система нито едното, нито друготоА сегмент не може да бъде включен, тогава ще извършим необходимите проучвания за втората система.

Ние имаме

Обозначете . Тогава второто неравенство на системата приема формата< - и определя множеството, показано на фигурата в координатната равнина.

С помощта на фигурата установяваме, че за получения набор съдържа всички точки, абсцисите в които преминават през всички стойности на интервала

Тогава, от тук.

Отговор : .

Задача 9.

Намерете всички неотрицателни числа, за които съществува единствено число, удовлетворяващи системата

Решение.

Ние имаме

Първото уравнение на координатната равнина определя група от вертикални линии. Правите линии и разделят равнините на четири области. Някои от тях са решения на неравенството на системата. По-конкретно, кои могат да бъдат установени чрез вземане на пробна точка от всяка област. Областта, чиято точка удовлетворява неравенството, е неговото решение (тази техника е свързана с метода на интервалите при решаване на неравенства с една променлива). Изграждаме прави линии

Например, вземаме точка и я заместваме в Координатите на точката удовлетворяват неравенството.

Получаваме две области (аз) И ( II), но като се има предвид, че по условие, ние вземаме само областта (аз). Изграждаме прави линии , к .

И така, оригиналната система е удовлетворена от всички точки (и само тях), лежащи върху лъчите и подчертани в чертежа с удебелени линии (т.е. изграждаме точки в дадена област).

Сега трябва да намерим единствения за фиксиран. Начертайте успоредни линии, пресичащи оста. и намерете къде ще има една пресечна точка с линията.

От фигурата намираме, че изискването за уникалност на решението се постига, ако (за вече 2 точки),

където е ординатата на пресечната точка на линиите и,

където е ординатата на пресечната точка на правите и.

Така че получаваме< .

Отговор: < .

Задача 10.

При какви стойности на параметъра a системата има решения?

Решение.

Разлагаме лявата страна на неравенството на системата, имаме

Изграждаме прави линии и Ние показваме на фигурата чрез защриховане множеството от точки на равнината, което удовлетворява неравенството на системата.

Изграждаме хипербола = .

Тогава абсцисите на разграничените дъги на хиперболата са решения на първоначалната система.М , П , н , Q - възлови точки. Нека намерим техните абсциси.

За точки П , Q ние имаме

Остава да запиша отговора: или.

Отговор:или.

Задача 11.

Намерете всички стойности, за които всяко решение на неравенството не надвишава две по абсолютна стойност ().

Решение .

Нека пренапишем това неравенство в този вид. Построяваме графики на уравнения и =.

Използвайки „интервалния метод“, установяваме, че защрихованите области ще бъдат решението на първоначалното неравенство.

Сега изграждаме района и вижте коя част от него попада в защрихованата област.

Тези. сега, ако за някаква фиксирана стойност, линията в пресечната точка с получената област дава само точки, чиито абциси отговарят на условието < 2, тогава е една от необходимите стойности на параметъра.

Така че виждаме това.

Отговор: .

Задача 12.

За какви стойности на параметъра наборът от решения на неравенството съдържа най-много четири цели числа?

Решение.

Нека трансформираме това неравенство във формата Това неравенство е еквивалентно на комбинацията от две системи

или

Използвайки този набор, изобразяваме решението на първоначалното неравенство.

Нека начертаем прави линии, където. Тогава стойността, за която правата пресича правите най-много в четири точки от маркираното множество, ще бъде желаната. Така че виждаме, че или или.

Отговор:или или.

Задача 13.

При какви стойности на параметъраА има система за решение

Решение.

Корените на квадратния тричлен i.

Тогава

Изграждаме прави линии и

Използвайки метода "интервали", намираме решението на системното неравенство (защрихована област).

Тази част от окръжността с център в началото и радиус 2, която попада в защрихованата област и ще бъде решението на тази система. .

Стойности и намерете от системата

Стойности и - от системата.

Отговор:

Задача 14.

В зависимост от стойностите на параметритеА решаване на неравенство > .

Решение.

Нека пренапишем това неравенство във формата и разгледаме функцията, което, разширявайки модулите, записваме както следва:

Изграждаме диаграма. Графиката разделя координатната равнина на две области. Вземайки m (0; 0) и замествайки и в първоначалното неравенство, получаваме, че 0 > 1 и следователно първоначалното неравенство е изпълнено в областта, разположена над графиката.

Директно от фигурата получаваме:

няма решения;

при ;

при.

Отговор: няма решения;

при ;

при.

Задача 15.

Намерете всички стойности на параметъра, за които системата от неравенства

само един е доволен.

Решение.

Да пренапишем тази системав тази форма:

Нека построим областта, определена от тази система.

1) , е върхът на параболата.

2) е права линия, минаваща през точките и.

Изискването за уникалност на решението се превежда на графичен език по следния начин: хоризонталните линии с получената площ трябва да имат само една обща точка. Горното изискване се удовлетворява от правите и, където е ординатата на пресечната точка на параболата и правата.

Нека намерим стойността:

= (не е подходящ за смисъл на задачата),

Намираме ординатата:

Отговор: ,

Задача 16.

Намерете всички стойности на параметритеа, при които системата от неравенства

удовлетворява само за едно x.

Решение .

Нека да построим параболи и да покажем решението на последната система чрез защриховане.

1) , .

2) , .

От фигурата се вижда, че условието на задачата е изпълнено за или.

Отговор:или.

Задача 17.

За какви стойности уравнението има точно три корена?

Решение.

Това уравнение е еквивалентно на множеството

Графиката на населението е обединението на графиките на парабола и ъгъл.

Правите пресичат получения съюз в три точки.

Отговор:при.

Задача 18.

За какви стойности уравнението има точно три решения?

Решение.

Нека трансформираме лявата страна на това уравнение. Получаваме квадратно уравнение за.

Получаваме уравнението

което е еквивалентно на съвкупността

Обединението на графиките на параболите е решението на множеството.

Намерете ординатата на точките на пресичане на параболите:

Прочитаме необходимата информация от фигурата: това уравнение има три решения за или

Отговор:при или

Задача 19.

В зависимост от параметъра определете броя на корените на уравнението

Решение .

Разгледайте това уравнение като квадратно по отношение на a.

,

.

Получаваме комплекта

Изграждаме графики на уравненията на множеството и отговаряме на въпроса на задачата.

Отговор:: няма решения;

: едно решение;

: две решения;

или: три решения;

или: четири решения.

Задача 20.

Колко решения има системата

Решение.

Ясно е, че броят на корените на второто уравнение на системата е равен на броя на решенията на самата система.

Ние имаме .

Разглеждайки това уравнение като квадратно, получаваме множеството.

Сега позоваването на координатната равнина прави задачата проста. Намираме координатите на пресечните точки чрез решаване на уравнението

Оттук

Върховете на параболите и.

Отговор: : четири решения;

: две решения;

: едно решение;

: няма решения.

Задача 21.

Намерете всички реални стойности на параметъра, за които уравнението има само два различни корена. Запишете тези корени.

Решение .

Нека намерим корените на квадратния трином в скоби:

Изобразяваме множеството от решения на това уравнение в координатната равнина чрез начертаване на графики, при условие че

Ние четем необходимата информация от снимката. И така, това уравнение има два различни корена при (u) и при (u)

Отговор: с (и) и

при (и).

Задача 2 2 .

Решете системата от неравенства:

Решение.

Построяваме в равнината графики на парабола и права линия.

Всички точки от защрихованата област са решението на системата. Нека разделим изградената площ на две части.

Ако и, тогава няма решения.

Ако, тогава абсцисите на точките от защрихованата област ще бъдат по-големи от абсцисите на точките на правата линия, но по-малки от абсцисите (по-големия корен на уравнението) на параболата.

Ние изразяваме чрез от уравнението на права линия:

Нека намерим корените на уравнението:

Тогава.

Ако, тогава.

Отговор: за и 1 няма решения;

при;

при.

Задача 23.

Решете системата от неравенства

Решение.

– върха на параболата.

Върхът на параболата.

Намерете абсцисите на пресечните точки на параболите:

Засенчената зона е решението на системата. Нека го разделим на две части.

В уравненията на параболите изразяваме чрез:

Записваме отговор:

ако и, тогава няма решения;

ако, тогава< ;

ако, тогава.

Задача 24.

При какви стойности и уравнението няма решения?

Решение.

Уравнението е еквивалентно на системата

Нека конструираме набор от решения на системата.

Три части от парабола са решението на това уравнение.

Нека намерим под кое и да го изключим.

Така че, защото няма решения;

когато няма решения;

(забележка: за останалотоАима едно или две решения).

Отговор: ; .

Задача 25.

За какви реални стойности на параметъра има поне един, който отговаря на условията:

Решение.

Нека решим графично неравенството при използване на "интервалния метод" и построим графика. Нека да видим каква част от графиката попада в конструираната област за решаване на неравенството и да намерим съответните стойностиА.

Изграждаме графики на прави и

Те разделят координатната равнина на 4 области.

Нека решим графично последното неравенство с помощта на "интервалния метод".

Засенчената зона е нейното решение. Част от графиката на параболата попада в тази област. На интервала; (по условие неравенството на системата е строго) съществуват, които удовлетворяват условията на дадената система.

Отговор:

Задача 26.

Намерете всички стойности на параметъра, за всяка от които наборът от решения на неравенството не съдържа никакви решения на неравенството.

Решение.

Нека построим набор от решения на неравенството („по метода на интервалите“). След това ще изградим "лента" Желаните стойности на параметърар тези, при които никоя от точките от посочените области не принадлежи към "ивицата"

Отговор:или.

Задача 27.

За какви стойности на параметъра уравнението има уникално решение.

Решение.

Нека разложим на множители числителя на дробта.

Това уравнение е еквивалентно на системата:

Нека построим графика на населението в координатната равнина.

или

– точка на пресичане на линии и. Графиката на населението е обединение на линии.

„Избиваме“ точките на графиката с абсцисите.

Начертаваме прави линии и виждаме къде има една пресечна точка с графиката.

Очевидно е, че само за или това уравнение има единствено решение.

Отговор:или.

Задача 28.

За какви реални стойности на параметъра системата от неравенства няма решения.

Решение.

Множеството от точки в равнината на защрихованата област удовлетворява дадената система от неравенства.

Изграждаме прави линии. От фигурата определяме, че за (- абсцисата на пресечната точка на хиперболата и правата) линиите не пресичат защрихованата област.

Отговор:при.

Задача 29.

При какви стойности на параметъраА системата има уникално решение.

Решение.

Да преминем към система, еквивалентна на дадената.

В координатната равнина начертаваме графиките на параболите и върховете на параболите, съответно точките и.

Изчислете абсцисите на пресечните точки на параболите, като решите уравнението

Защрихованата област е решението на системата от неравенства. Директен и

има една обща точка със защрихованата област.

Отговор:при i.

Задача 30.

Решете неравенството:

Решение.

В зависимост от параметъра намираме стойността.

Ще решим неравенството с помощта на „интервалния метод“.

Нека изградим параболи

: .

Изчислете координатите на пресечната точка на параболите:

Точките на защрихованата област удовлетворяват това неравенство. Като начертаем права линия, разделяме тази област на три части.

1) Ако, тогава няма решения.

2) Ако, тогава в уравнението, което изразяваме чрез:

По този начин в районааз ние имаме.

Ако, тогава вижте:

а) регион II .

Изразяваме в уравнението чрез.

по-малък корен,

По-голям корен.

И така, в района II ние имаме.

б) площ III : .

Отговор: когато няма решения;

при

при, .

Литература:

Галицки М. Л., Голдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задачи по алгебра за 8 - 9 клас: Урокза ученици от училища и класове с задълбочено проучванеМатематика - 2-ро изд. – М.: Просвещение, 1994.

П. И. Горщейн, В. Б. Полонски, М. С. Якир. Задачи с параметри. 3-то издание, разширено и преработено. - М .: Илекса, Харков: Гимназия, 2003.

Фаддеев Д. К. Алгебра 6 - 8. - М .: Образование, 1983 (b - ka учител по математика).

А. Х. Шахмайстер. Уравнения и неравенства с параметри. Под редакцията на B. G. Ziva. C - Петербург. Москва. 2004 г.

В. В. Амелкин, В. Л. Рабцевич. Задачи с параметри Минск "Асар", 2002г.

А. Х. Шахмайстер. Задачи с параметри в изпита. Издателство на Московския университет, CheRo on the Neva MCNMO.

Отделкина Олга, ученичка от 9 клас

Тази тема е неразделна част от изследването училищен курсалгебра. Целта на тази работа е да проучи тази тема по-задълбочено, да идентифицира най-много рационално решениеводещи бързо до отговор. Това есе ще помогне на други ученици да разберат използването на графичния метод за решаване на уравнения с параметри, да научат за произхода, развитието на този метод.

Изтегли:

Преглед:

Въведение2

Глава 1

Историята на появата на уравнения с параметър 3

Теорема на Виета4

Основни понятия5

Глава 2. Видове уравнения с параметри.

Линейни уравнения6

Квадратни уравнения………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………...7

Глава 3

Аналитичен метод………………………………………………….......8

Графичен метод. История на възникване……………………………9

Алгоритъм за графично решение ..…………….....…………….10

Решаване на уравнение с модул……………………………………………….11

Практическа част……………………………………………………………………12

Заключение……………………………………………………………………………….19

Използвана литература……………………………………………………………………20

Въведение.

Избрах тази тема, защото е неразделна част от изучаването на училищния курс по алгебра. готвене тази работа, поставих за цел по-задълбочено проучване на тази тема, като идентифицирам най-рационалното решение, което бързо води до отговор. Моето есе ще помогне на други ученици да разберат използването на графичния метод за решаване на уравнения с параметри, да научат за произхода, развитието на този метод.

IN модерен животпроучване на мн физически процесии геометричните модели често водят до решаване на проблеми с параметри.

За решаване на такива уравнения графичният метод е много ефективен, когато е необходимо да се установи колко корена има уравнението в зависимост от параметъра α.

Проблемите с параметрите са от чисто математически интерес, допринасят за интелектуално развитиеученици, служат като добър материал за практикуване на умения. Те имат диагностична стойност, тъй като могат да се използват за проверка на знанията по основните раздели на математиката, нивото на математически и логично мислене, начални умения изследователска дейности перспективни възможности за успешно усвояване на курса по математика във висшите учебни заведения.

В моето резюме са разгледани често срещани видове уравнения и се надявам, че знанията, които придобих в процеса на работа, ще ми помогнат при преминаването училищни изпити, след всичкоуравнения с параметрис право се счита за една от най-трудните задачи в курса на училищната математика. Именно тези задачи попадат в списъка със задачи на един държавен изпитИЗПОЛЗВАНЕ.

Историята на появата на уравнения с параметър

Задачи за уравнения с параметър вече се срещат в астрономическия трактат "Aryabhattam", съставен през 499 г. от индийския математик и астроном Aryabhatta. Друг индийски учен, Брахмагупта (7-ми век), излага общо правилорешения на квадратни уравнения, сведени до едно канонична форма:

αх 2 + bx = c, α>0

В уравнението коефициентите, с изключение на параметъра, може да бъде и отрицателен.

Квадратни уравнения в ал-Хорезми.

Алгебричният трактат на Ал-Хорезми дава класификация на линейни и квадратни уравнения с параметър. Авторът изброява 6 вида уравнения, като ги изразява по следния начин:

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. αx 2 = bx.

2) „Квадратите са равни на число“, т.е. αx 2 = c.

3) „Корените са равни на числото“, т.е. αx = c.

4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. αx 2 + c = bx.

5) „Квадратите и корените са равни на число“, т.е. αx 2 + bx = c.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c = αx 2 .

Формулите за решаване на квадратни уравнения според ал-Хорезми в Европа са изложени за първи път в "Книгата на абака", написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи.

Извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение с параметър в общ изглед Vieta има, но Vieta призна само положителни корени. Италианските математици Тарталия, Кардано, Бомбели са сред първите през XII век. вземете предвид, в допълнение към положителното, и отрицателни корени. Едва през XVII век. благодарение на трудовете на Жирар, Декарт, Нютон и др учени начинрешаването на квадратни уравнения придоби съвременна форма.

Теорема на Виета

Теорема, изразяваща връзката между параметрите, коефициентите на квадратно уравнение и неговите корени, носеща името на Виета, е формулирана от него за първи път през 1591 г. Както следва: „Ако b + d умножено по α минус α 2 е равно на bc, тогава α е равно на b и е равно на d.

За да разберете Vieta, трябва да запомните, че α, както всяка гласна, означава неизвестното (нашето x), докато гласните b, d са коефициенти за неизвестното. На езика на съвременната алгебра горната формулировка на Vieta означава:

Ако има

(α + b)x - x 2 \u003d αb,

Тоест x 2 - (α -b)x + αb \u003d 0,

тогава x 1 = α, x 2 = b.

Изразяване на връзката между корените и коефициентите на уравненията общи формули, написан с помощта на символи, Виета установява еднаквост в методите за решаване на уравнения. Въпреки това, символиката на Vieta е все още далеч модерен вид. Той не призна отрицателни числаи следователно, когато решава уравнения, той разглежда само случаите, когато всички корени са положителни.

Основни понятия

Параметър - независима променлива, чиято стойност се счита за фиксирано или произволно число или число, принадлежащо към интервала, определен от условието на проблема.

Уравнение с параметър- математическиуравнението, външен види чието решение зависи от стойностите на един или повече параметри.

Реши уравнение със средни параметри за всяка стойностнамерете x стойности, които отговарят на това уравнение, а също и:

1. 1. Проучете за какви стойности на параметрите има корени уравнението и на колко от тях различни значенияпараметри.
2. 2. Намерете всички изрази за корените и посочете за всеки от тях стойностите на параметрите, за които този израз наистина определя корена на уравнението.

Да разгледаме уравнението α(х+k)= α +c, където α, c, k, x са променливи.

Системата от допустими стойности на променливите α, c, k, xсе нарича всяка система от стойности на променливи, в която както лявата, така и дясната част на това уравнение приемат реални стойности.

Нека A е множеството от всички допустими стойности на α, K - множеството от всички допустими стойности на k, X - множеството от всички допустими стойности на x, C - множеството от всички допустими стойности от c. Ако за всяко от множествата A, K, C, X изберем и фиксираме съответно по една стойност α, k, c и ги заместим в уравнението, тогава получаваме уравнение за x, т.е. уравнение с едно неизвестно.

Променливите α, k, c, които се считат за постоянни при решаването на уравнението, се наричат ​​параметри, а самото уравнение се нарича уравнение, съдържащо параметри.

Параметрите се обозначават с първите букви латиница: α, b, c, d, …, k , l, m, n, и неизвестни - с букви x, y, z.

Извикват се две уравнения, съдържащи еднакви параметриеквивалентно, ако:

а) имат смисъл при еднакви стойности на параметрите;

б) всяко решение на първото уравнение е решение на второто и обратно.

Видове уравнения с параметри

Уравненията с параметри са: линейнии квадрат.

1) Линейно уравнение. Обща форма:

α x = b, където x е неизвестно;α , b - параметри.

За това уравнение специалната или контролна стойност на параметъра е тази, при която коефициентът се равнява на нула в неизвестното.

При решаване линейно уравнениес параметър се разглеждат случаите, когато параметърът е равен и различен от специалната си стойност.

Специалната стойност на параметъра α е стойносттаα = 0.

1.Ако, а ≠0 , тогава за всяка двойка параметриα и b има уникално решение x = .

2.Ако, а =0, тогава уравнението приема формата: 0 x = b . В този случай стойността b = 0 е особено значениепараметър b.

2.1. За б ≠ 0 уравнението няма решения.

2.2. За б =0 уравнението ще приеме формата: 0х=0.

Решението на това уравнение е всяко реално число.

Квадратно уравнение с параметър.

Обща форма:

α x 2 + bx + c = 0

където параметърът α ≠ 0, b и c - произволни числа

Ако α =1, тогава уравнението се нарича намалено квадратно уравнение.

Корените на квадратното уравнение се намират по формулите

Израз D = b 2 - 4 α c наречен дискриминант.

1. Ако D> 0 - уравнението има два различни корена.

2. Ако Д< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Ако D = 0 - уравнението има два еднакви корена.

Методи за решаване на уравнения с параметър:

1. Аналитичен - начин директно решение, повтаряйки стандартните процедури за намиране на отговор в уравнение без параметри.
2. Графичен - в зависимост от условието на задачата, позицията на графиката на съответния квадратична функцияв координатната система.

Аналитичен метод

Алгоритъм за решение:

1. Преди да пристъпите към решаване на проблема с параметри аналитичен метод, трябва да разберете ситуацията за конкретна числова стойностпараметър. Например вземете стойността на параметъра α =1 и отговорете на въпроса: стойността на параметъра α =1 ли е необходимата стойност за тази задача.

Пример 1: Решете зах линейно уравнение с параметър m:

Според смисъла на задачата (m-1)(x+3) = 0, тоест m= 1, x = -3.

Умножавайки двете страни на уравнението по (m-1)(x+3), получаваме уравнението

Получаваме

Следователно при m = 2,25.

Сега е необходимо да проверите дали няма такива стойности на m, за които

намерената стойност на x е -3.

решавайки това уравнение, получаваме, че х е -3, когато m = -0,4.

Отговор: при m=1, m=2,25.

Графичен метод. История на възникване

Изследването на общите зависимости започва през 14 век. средновековна наукабеше схоластичен. При такъв характер нямаше място за изследване на количествени зависимости, ставаше дума само за качествата на обектите и техните взаимоотношения помежду си. Но сред схоластиците възниква школа, която твърди, че качествата могат да бъдат повече или по-малко интензивни (роклята на човек, който е паднал в реката, е по-мокра от тази на някой, който току-що е бил хванат от дъжда)

Френски учен НиколайОрезъм започва да представя интензитета на дължините на сегментите. Когато подрежда тези сегменти перпендикулярно на някаква права линия, краищата им образуват линия, която той нарича "линия на интензитетите" или "линия на горния ръб" (графика на съответната функционална зависимост). Орезъм изучава дори "равнината" и "телесни" качества, т.е. функции, зависещи от две или три променливи.

Важно постижение на Oresmes е опитът за класифициране на получените графики. Той отделя три типа качества: еднородни (с постоянен интензитет), равномерно неравномерни (с постоянна скоростпромени в интензитета) и неравномерно-неравномерно (всички останали), както и характерни свойстваграфики на такива качества.

Да създам математически апаратза изучаване на графиките на функциите беше необходимо понятието променлива. Това понятие е въведено в науката от френския философ и математик Рене Декарт (1596-1650). Идеите за единството на алгебрата и геометрията и за ролята на променливи, Декарт въвежда фиксиран единичен сегмент и започва да разглежда отношението на други сегменти към него.

По този начин графиките на функциите през целия период на тяхното съществуване са преминали през серия от фундаментални трансформации, които са ги довели до формата, към която сме свикнали. Всеки етап или стъпка в развитието на графики на функции е неразделна част от историята на съвременната алгебра и геометрия.

Графичният метод за определяне на броя на корените на уравнение в зависимост от параметъра, включен в него, е по-удобен от аналитичния.

Алгоритъм за графично решение

Функционална графика е набор от точки, къдетоабсцисатаса валидни стойностиаргумент, А ординати- съответните стойностифункции.

Алгоритъм графично решениеуравнения с параметър:

1. Намерете областта на уравнението.
2. Изразяваме α като функция на x.
3. В координатната система изграждаме графика на функциятаα (x) за тези стойности на x, които са в областта на даденото уравнение.
4. Намиране на пресечните точки на праватаα =c, с функционална графика

a(x). Ако правата α =c пресича графикатаα (x), тогава определяме абсцисите на пресечните точки. За да направите това, достатъчно е да решите уравнението c = α (x) спрямо x.

1. Запишете отговора

Решаване на уравнения с модул

При графично решаване на уравнения с модул, съдържащ параметър, е необходимо да се построят графики на функции и за различни стойностипараметър за разглеждане на всички възможни случаи.

Например │х│= a,

Отговор: ако a < 0, то нет корней, a > 0, тогава x \u003d a, x = - a, ако a \u003d 0, тогава x \u003d 0.

Разрешаване на проблем.

Задача 1. Колко корена има уравнението| | x | - 2 | = а в зависимост от параметъраа?

Решение. В координатната система (x; y) начертаваме графиките на функциите y = | | x | - 2 | и y=а . Графика на функцията y = | | x | - 2 | показано на фигурата.

Графика на функцията y =α a = 0).

От графиката се вижда, че:

Ако a = 0, тогава правата y = a съвпада с оста Ox и има с графиката на функцията y = | | x | - 2 | две общи точки; следователно оригиналното уравнение има два корена (в този случай корените могат да бъдат намерени: x 1,2 = + 2).
Ако 0< a < 2, то прямая y = α има с графиката на функцията y = | | x | - 2 | четири общи точки и, следователно, оригиналното уравнение има четири корена.
Акоа = 2, то правата y = 2 има три общи точки с графиката на функцията. Тогава първоначалното уравнение има три корена.
Ако a > 2, тогава правата y = a ще има две точки с графиката на оригиналната функция, тоест това уравнение ще има два корена.

Отговор: ако a < 0, то корней нет;
ако a = 0, a > 2, тогава два корена;
ако a = 2, тогава три корена;
ако 0< a < 2, то четыре корня.

Задача 2. Колко корена има уравнението| x 2 - 2| x | - 3 | = а в зависимост от параметъраа?

Решение. В координатната система (x; y) начертаваме графиките на функциите y = | х 2 - 2| x | - 3 | и y = a.

Графика на функцията y = | х 2 - 2| x | - 3 | показано на фигурата. Графика на функцията y =α е права, успоредна на Ox или съвпадаща с нея (когатоа = 0).

От графиката можете да видите:

Ако a = 0, тогава правата y = a съвпада с оста Ox и има с графиката на функцията y = | x2 - 2| x | - 3 | две общи точки, както и права y =а ще има с графиката на функцията y = | х 2 - 2| x | - 3 | две общи точки a > 4. Следователно за a = 0 и a > 4 първоначалното уравнение има два корена.
Ако 0< а< 3, то прямая y = a има с графиката на функцията y = | х 2 - 2| x | - 3 | четири общи точки, както и права y=а ще има четири общи точки с графиката на построената функция при a = 4. Следователно при 0< a < 3, a = 4 оригиналното уравнение има четири корена.
Ако a = 3, тогава правата y = a пресича графиката на функцията в пет точки; следователно уравнението има пет корена.
Ако 3< а< 4, прямая y = α пресича графиката на построената функция в шест точки; следователно, за тези стойности на параметъра, оригиналното уравнение има шест корена.
Акоа < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α не пресича графиката на функцията y = | х 2 - 2| x | - 3 |.

Отговор: ако a < 0, то корней нет;
ако a = 0, a > 4, тогава два корена;
ако 0< a < 3, a = 4, тогава четири корена;

ако = 3, след това пет корена;
ако 3< a < 4, то шесть корней.

Задача 3. Колко корена има уравнението

в зависимост от параметъраа?

Решение. Построяваме в координатната система (x; y) графиката на функцията

но първо нека го поставим във формата:

Правите x = 1, y = 1 са асимптотите на графиката на функцията. Графика на функцията y = | x | +а получена от графиката на функцията y = | x | изместен с единици по оста Oy.

Функционални графики пресичат се в една точка ва > - 1; следователно уравнение (1) за тези стойности на параметъра има едно решение.

За a = - 1, a = - 2 графики се пресичат в две точки; следователно, за тези стойности на параметъра, уравнение (1) има два корена.
На - 2< а< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Отговор: ако a > - 1, след това едно решение;
ако a = - 1, a = - 2, след това две решения;
ако - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Коментирайте. При решаването на уравнението на задачата трябва да се обърне специално внимание на случая, когатоа = - 2, тъй като точката (- 1; - 1) не принадлежи на графиката на функциятано принадлежи на графиката на функцията y = | x | +а.

Задача 4. Колко корена има уравнението

x + 2 = a | x - 1 |

в зависимост от параметъраа?

Решение. Обърнете внимание, че x = 1 не е корен на това уравнение, тъй като равенството 3 =а 0 не може да бъде вярно за нито една стойност на параметъра . Разделяме двете страни на уравнението на | x - 1 |(| x - 1 |0), тогава уравнението ще приеме форматаВ координатната система xOy изобразяваме функцията

Графиката на тази функция е показана на фигурата. Графика на функцията y =а е права линия, успоредна на оста Ox или съвпадаща с нея (напра = 0).

Уравненията с параметри с право се считат за една от най-трудните задачи в курса на училищната математика. Именно тези задачи попадат от година на година в списъка на задачите от тип B и C на единния държавен изпит на Единния държавен изпит. Въпреки това сред големия брой уравнения с параметри има и такива, които лесно могат да бъдат решени графично. Нека разгледаме този метод на примера за решаване на няколко задачи.

Намерете сумата от целите стойности на a, за които уравнението |x 2 – 2x – 3| = a има четири корена.

Решение.

За да отговорим на въпроса на проблема, изграждаме графики на функции в една координатна равнина

y = |x 2 – 2x – 3| и y = a.

Графика на първата функция y = |x 2 – 2x – 3| ще се получи от графиката на параболата y = x 2 - 2x - 3 чрез показване симетрично спрямо абсцисната ос на частта от графиката, която е под оста Ox. Частта от графиката над оста x ще остане непроменена.

Нека го направим стъпка по стъпка. Графиката на функцията y \u003d x 2 - 2x - 3 е парабола, чиито клонове са насочени нагоре. За да изградим неговата графика, намираме координатите на върха. Това може да стане с помощта на формулата x 0 = -b / 2a. По този начин x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. За да намерим координатата на върха на параболата по оста y, заместваме получената стойност за x 0 в уравнението на разглежданата функция. Получаваме, че y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. Следователно върхът на параболата има координати (1; -4).

След това трябва да намерите точките на пресичане на клоните на параболата с координатните оси. В точките на пресичане на клоновете на параболата с абсцисната ос стойността на функцията е нула. Следователно решаваме квадратното уравнение x 2 - 2x - 3 \u003d 0. Корените му ще бъдат желаните точки. По теоремата на Vieta имаме x 1 = -1, x 2 = 3.

В точките на пресичане на клоновете на параболата с оста y стойността на аргумента е нула. Така точката y = -3 е точката на пресичане на клоновете на параболата с оста y. Получената графика е показана на фигура 1.

За да получим графиката на функцията y = |x 2 - 2x - 3|, ще покажем частта от графиката, която е под оста x, симетрично спрямо оста x. Получената графика е показана на фигура 2.

Графиката на функцията y = a е права линия, успоредна на оста x. Показано е на фигура 3. Използвайки фигурата и намираме, че графиките имат четири общи точки (и уравнението има четири корена), ако a принадлежи на интервала (0; 4).

Целочислени стойности на число a от получения интервал: 1; 2; 3. За да отговорим на въпроса от задачата, нека намерим сбора на тези числа: 1 + 2 + 3 = 6.

Отговор: 6.

Намерете средноаритметичната стойност на целите стойности на числото a, за които уравнението |x 2 – 4|x| – 1| = a има шест корена.

Нека започнем с начертаване на функцията y = |x 2 – 4|x| – 1|. За целта използваме равенството a 2 = |a| 2 и изберете пълния квадрат в израза на подмодула, написан от дясната страна на функцията:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

Тогава оригиналната функция ще изглежда като y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

За да изградим графика на тази функция, изграждаме последователно графики на функции:

1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - парабола с връх в точка с координати (2; -5); (Фиг. 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - частта от параболата, построена в параграф 1, която се намира вдясно от ординатната ос, се показва симетрично вляво от оста Oy; (фиг. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - частта от графиката, построена в параграф 2, която е под оста x, се показва симетрично спрямо абсцисната ос нагоре. (фиг. 3).

Помислете за получените чертежи:

Графиката на функцията y = a е права линия, успоредна на оста x.

Използвайки фигурата, заключаваме, че графиките на функциите имат шест общи точки (уравнението има шест корена), ако a принадлежи на интервала (1; 5).

Това може да се види на следната фигура:

Намерете средната аритметична стойност на целочислените стойности на параметъра a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Отговор: 3.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.