Намиране на първоизводната функция. Антипроизводен и неопределен интеграл - Хипермаркет на знанието

Има три основни правила за намиране на първообразни функции. Те са много подобни на съответните правила за диференциация.

Правило 1

Ако F е антипроизводна за някаква функция f, а G е антипроизводна за някаква функция g, тогава F + G ще бъде антипроизводна за f + g.

По дефиниция на антипроизводното F' = f. G' = g. И тъй като тези условия са изпълнени, тогава според правилото за изчисляване на производната за сумата от функции ще имаме:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Правило 2

Ако F е антипроизводна за някаква функция f и k е някаква константа. Тогава k*F е първоизводната за функцията k*f. Това правило следва от правилото за изчисляване на производната на сложна функция.

Имаме: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3

Ако F(x) е някаква антипроизводна на f(x) и k и b са някои константи и k е различно от нула, тогава (1/k)*F*(k*x+b) ще бъде антипроизводна на f (k*x+b).

Това правило следва от правилото за изчисляване на производната на сложна функция:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Нека да разгледаме няколко примера за това как се прилагат тези правила:

Пример 1. Намерете общия вид на първоизводните за функцията f(x) = x^3 +1/x^2. За функцията x^3 една от първопроизводните ще бъде функцията (x^4)/4, а за функцията 1/x^2 една от първопроизводните ще бъде функцията -1/x. Използвайки първото правило, имаме:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Пример 2. Нека намерим общата форма на първоизводните за функцията f(x) = 5*cos(x). За функцията cos(x) една от първоизводните ще бъде функцията sin(x). Ако сега използваме второто правило, ще имаме:

F(x) = 5*sin(x).

Пример 3Намерете една от първоизводните за функцията y = sin(3*x-2). За функцията sin(x) една от антипроизводните ще бъде функцията -cos(x). Ако сега използваме третото правило, получаваме израз за антипроизводното:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Пример 4. Намерете първоизводната за функцията f(x) = 1/(7-3*x)^5

Първоизводната за функцията 1/x^5 ще бъде функцията (-1/(4*x^4)). Сега, използвайки третото правило, получаваме.

Решаването на интеграли е лесна задача, но само за елита. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интегралите, но знаят малко или нищо за тях. Интеграл... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво представляват определени и неопределени интеграли? Ако единственото приложение на интеграла, което знаете, е да вземете нещо полезно от труднодостъпни места с кука във формата на интегрална икона, тогава добре дошли! Научете как да решавате интеграли и защо не можете без това.

Ние изучаваме понятието "интеграл"

Интеграцията е била известна още в древен Египет. Разбира се, не в модерна форма, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по темата. Особено отличен нютон и Лайбниц но същността на нещата не се е променила. Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все пак ще ви трябват основни познания за основите на математическия анализ. Информация за , която също е необходима за разбирането на интегралите, вече е в нашия блог.

Неопределен интеграл

Нека имаме някаква функция f(x) .

Неопределеният интеграл на функцията f(x) се нарича такава функция F(x) , чиято производна е равна на функцията f(x) .

С други думи, интегралът е обратна производна или антипроизводна. Между другото, за това как да прочетете в нашата статия.

Съществува първоизводна за всички непрекъснати функции. Също така към антипроизводното често се добавя постоянен знак, тъй като производните на функции, които се различават по константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграл се нарича интегриране.

Прост пример:

За да не се изчисляват постоянно антипроизводните на елементарни функции, е удобно да ги поставите в таблица и да използвате готови стойности.

Пълна таблица на интегралите за ученици

Определен интеграл

Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигурата, масата на нехомогенно тяло, пътя, изминат по време на неравномерно движение, и много други. Трябва да се помни, че интегралът е сумата от безкрайно голям брой безкрайно малки членове.

Като пример, представете си графика на някаква функция. Как да намерим площта на фигура, ограничена от графика на функция?

С помощта на интеграл! Нека разделим криволинейния трапец, ограничен от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. Така фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сумата от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определеният интеграл, който се записва по следния начин:

Точките a и b се наричат граници на интегриране.

Бари Алибасов и групата "Интеграл"

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от

Правила за изчисляване на интеграли за манекени

Свойства на неопределения интеграл

Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме свойствата на неопределения интеграл, които ще бъдат полезни при решаването на примери.

Производната на интеграла е равна на интеграла:

Константата може да бъде извадена от знака за интеграл:

Интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Също вярно за разликата:

Свойства на определения интеграл

Линейност:

Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране са обърнати:

При всякаквиточки а, bи с:

Вече разбрахме, че определеният интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретна стойност при решаване на пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:

Примери за решаване на интеграли

По-долу разглеждаме няколко примера за намиране на неопределени интеграли. Предлагаме ви самостоятелно да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задавайте въпроси в коментарите.

За затвърждаване на материала гледайте видео как се решават на практика интеграли. Не се отчайвайте, ако интегралът не бъде даден веднага. Обърнете се към професионална студентска служба и всеки троен или криволинеен интеграл върху затворена повърхност ще бъде по силите ви.

Този урок е първият от поредица видеоклипове за интеграция. В него ще анализираме какво е първоизводната на функция, а също така ще изучаваме елементарните методи за изчисляване на тези много производни.

Всъщност тук няма нищо сложно: по същество всичко се свежда до концепцията за производна, с която вече трябва да сте запознати. :)

Веднага отбелязвам, че тъй като това е първият урок в новата ни тема, днес няма да има сложни изчисления и формули, но това, което ще изучаваме днес, ще формира основата на много по-сложни изчисления и структури при изчисляване на сложни интеграли и площи .

Освен това, когато започваме да изучаваме интегриране и интеграли в частност, ние имплицитно предполагаме, че ученикът вече е поне запознат с концепциите за производната и има поне елементарни умения за изчисляването им. Без ясно разбиране на това, няма какво да се прави в интеграцията.

Тук обаче се крие един от най-често срещаните и коварни проблеми. Факт е, че започвайки да изчисляват първите си антипроизводни, много ученици ги бъркат с производни. В резултат на това се допускат глупави и обидни грешки на изпитите и самостоятелната работа.

Затова сега няма да дам ясна дефиниция на антипроизводното. И в замяна ви предлагам да погледнете как се разглежда на прост конкретен пример.

Какво е примитивно и как се разглежда

Знаем тази формула:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Тази производна се счита за елементарна:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Нека разгледаме отблизо получения израз и изразим $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Но можем да го запишем и по този начин, според дефиницията на производната:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

А сега внимание: това, което току-що записахме, е дефиницията на първоизводната. Но за да го напишете правилно, трябва да напишете следното:

Нека напишем следния израз по същия начин:

Ако обобщим това правило, можем да изведем следната формула:

\[((x)^(n))\до \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Сега можем да формулираме ясна дефиниция.

Антипроизводна на функция е функция, чиято производна е равна на оригиналната функция.

Въпроси за антипроизводната функция

Изглежда доста проста и разбираема дефиниция. Въпреки това, след като го чуе, внимателният ученик веднага ще има няколко въпроса:

Да кажем, че тази формула е правилна. В този случай обаче, когато $n=1$, имаме проблеми: в знаменателя се появява „нула“ и е невъзможно да се раздели на „нула“.
Формулата е ограничена само до правомощия. Как се изчислява първоизводната, например синус, косинус и всяка друга тригонометрия, както и константи.
Един екзистенциален въпрос: винаги ли е възможно изобщо да се намери антипроизводно? Ако е така, какво ще кажете за сбора, разликата, произведението и т.н.?

Веднага ще отговоря на последния въпрос. За съжаление антипроизводното, за разлика от производното, не винаги се взема предвид. Няма такава универсална формула, според която от всяка начална конструкция ще получим функция, която да е равна на тази подобна конструкция. Що се отнася до степените и константите, ще говорим за това сега.

Решаване на задачи със степенни функции

\[((x)^(-1))\до \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Както можете да видите, тази формула за $((x)^(-1))$ не работи. Възниква въпросът: какво тогава работи? Не можем ли да преброим $((x)^(-1))$? Разбира се, че можем. Нека просто започнем с това:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Сега нека помислим: производната на коя функция е равна на $\frac(1)(x)$. Очевидно всеки студент, който поне малко се е занимавал с тази тема, ще запомни, че този израз е равен на производната на естествения логаритъм:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Следователно можем уверено да напишем следното:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\до \ln x\]

Тази формула трябва да се знае, точно както производната на степенна функция.

И така, какво знаем досега:

За степенна функция — $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
За константа - $=const\to \cdot x$
Специален случай на степенна функция - $\frac(1)(x)\to \ln x$

И ако започнем да умножаваме и делим най-простите функции, как тогава да изчислим първоизводната на произведение или частно. За съжаление аналогиите с производната на продукт или частно не работят тук. Няма стандартна формула. За някои случаи има трудни специални формули - ще се запознаем с тях в бъдещи видео уроци.

Запомнете обаче: няма обща формула, подобна на формулата за изчисляване на производната на частно и произведение.

Решаване на реални проблеми

Задача №1

Нека изчислим всяка от степенните функции поотделно:

\[((x)^(2))\до \frac(((x)^(3)))(3)\]

Връщайки се към нашия израз, пишем общата конструкция:

Задача №2

Както вече казах, примитивните работи и частните "празни през" не се разглеждат. Тук обаче можете да направите следното:

Разделихме дробта на сумата от две дроби.

Нека изчислим:

Добрата новина е, че след като знаете формулите за изчисляване на антипроизводни, вече сте в състояние да изчислявате по-сложни структури. Нека обаче да продължим и да разширим още малко познанията си. Факт е, че много конструкции и изрази, които на пръв поглед нямат нищо общо с $((x)^(n))$, могат да бъдат представени като степен с рационален показател, а именно:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Всички тези техники могат и трябва да се комбинират. Силовите изрази могат

умножение (степените се добавят);
деление (степените се изваждат);
умножете по константа;
и т.н.

Решаване на изрази на степен с рационален показател

Пример #1

Нека преброим всеки корен поотделно:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\до \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\до \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Общо цялата ни конструкция може да бъде написана по следния начин:

Пример #2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Следователно ще получим:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Като цяло, събирайки всичко в един израз, можем да напишем:

Пример #3

Първо, имайте предвид, че вече сме изчислили $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\до \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\до \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Нека пренапишем:

Надявам се, че няма да изненадам никого, ако кажа, че това, което току-що изучавахме, е само най-простите изчисления на първоизводни, най-елементарните конструкции. Нека сега разгледаме малко по-сложни примери, в които в допълнение към табличните антипроизводни все още трябва да запомните училищната програма, а именно съкратените формули за умножение.

Решаване на по-сложни примери

Задача №1

Спомнете си формулата за квадрат на разликата:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Нека пренапишем нашата функция:

Сега трябва да намерим първоизводната на такава функция:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\до \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\до \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Ние събираме всичко в общ дизайн:

Задача №2

В този случай трябва да отворим куба на разликата. Да си припомним:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Като се има предвид този факт, може да се напише по следния начин:

Нека модифицираме малко нашата функция:

Разглеждаме, както винаги, за всеки термин поотделно:

\[((x)^(-3))\до \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\до \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\до \ln x\]

Нека напишем получената конструкция:

Задача №3

Отгоре имаме квадрат на сбора, нека го отворим:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\до \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Нека напишем крайното решение:

А сега внимание! Много важно нещо, което е свързано с лъвския дял от грешки и недоразумения. Факт е, че досега, броейки антипроизводни с помощта на производни, давайки трансформации, ние не мислихме на какво е равно производното на константа. Но производната на константа е равна на "нула". И това означава, че можете да напишете следните опции:

$((x)^(2))\до \frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\до \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\до \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Това е много важно да се разбере: ако производната на една функция винаги е една и съща, тогава същата функция има безкраен брой антипроизводни. Можем просто да добавим всякакви постоянни числа към нашите примитиви и да получим нови.

Неслучайно в обяснението на задачите, които току-що решихме, беше написано „Запишете общия вид на противопроизводните“. Тези. вече се предполага, че не е един, а цяло множество от тях. Но всъщност те се различават само по константата $C$ в края. Затова в нашите задачи ще коригираме това, което не сме свършили.

Още веднъж пренаписваме нашите конструкции:

В такива случаи трябва да се добави, че $C$ е константа — $C=const$.

Във втората ни функция получаваме следната конструкция:

И последното:

И сега наистина получихме това, което се искаше от нас в първоначалното условие на проблема.

Решаване на задачи за намиране на първоизводни с дадена точка

Сега, когато знаем за константите и за особеностите на записване на първоизводни, съвсем логично възникват следния тип проблеми, когато от множеството на всички първоизводни се изисква да се намери една и само една, която да минава през дадена точка. Каква е тази задача?

Факт е, че всички първоизводни на дадена функция се различават само по това, че са изместени вертикално с някакво число. И това означава, че без значение коя точка от координатната равнина вземем, една първоизводна определено ще премине и освен това само една.

И така, задачите, които сега ще решим, са формулирани по следния начин: не е лесно да се намери първоизводната, знаейки формулата на първоначалната функция, а да се избере точно една от тях, която минава през дадена точка, чиито координати ще да бъдат дадени в условието на проблема.

Пример #1

Първо, нека просто изчислим всеки член:

\[((x)^(4))\до \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\до \frac(((x)^(4)))(4)\]

Сега заместваме тези изрази в нашата конструкция:

Тази функция трябва да премине през точката $M\left(-1;4 \right)$. Какво означава, че минава през точка? Това означава, че ако вместо $x$ поставим $-1$ навсякъде, а вместо $F\left(x \right)$ - $-4$, тогава трябва да получим правилното числово равенство. Да го направим:

Виждаме, че имаме уравнение за $C$, така че нека се опитаме да го решим:

Нека запишем самото решение, което търсихме:

Пример #2

На първо място, е необходимо да отворите квадрата на разликата, като използвате съкратената формула за умножение:

\[((x)^(2))\до \frac(((x)^(3)))(3)\]

Оригиналната структура ще бъде написана, както следва:

Сега нека намерим $C$: заместваме координатите на точката $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Изразяваме $C$:

Остава да се покаже крайният израз:

Решаване на тригонометрични задачи

Като последен акорд към това, което току-що анализирахме, предлагам да разгледаме две по-сложни задачи, които съдържат тригонометрия. В тях по същия начин ще е необходимо да се намерят първоизводни за всички функции, след което да се избере от този набор единствената, която минава през точката $M$ на координатната равнина.

Гледайки напред, бих искал да отбележа, че техниката, която сега ще използваме, за да намерим първоизводните на тригонометрични функции, всъщност е универсална техника за самопроверка.

Задача №1

Нека си припомним следната формула:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Въз основа на това можем да напишем:

Нека заместим координатите на точка $M$ в нашия израз:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Нека пренапишем израза, имайки предвид този факт:

Задача №2

Тук ще бъде малко по-трудно. Сега ще видите защо.

Нека си припомним тази формула:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

За да се отървете от "минуса", трябва да направите следното:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Ето нашия дизайн

Заместете координатите на точката $M$:

Нека запишем крайната конструкция:

Това е всичко, което исках да ти кажа днес. Изучихме самия термин първоизводни, как да ги броим от елементарни функции, както и как да намерим първоизводна, минаваща през определена точка на координатната равнина.

Надявам се този урок да ви помогне поне малко да разберете тази сложна тема. Във всеки случай върху първоизводните се изграждат неопределени и неопределени интеграли, така че е абсолютно необходимо да ги разгледаме. Това е всичко за мен. Ще се видим скоро!

Определение.Функцията F (x) се нарича антипроизводна за функцията f (x) на даден интервал, ако за всеки x от дадения интервал F "(x) \u003d f (x).

Основното свойство на примитивите.

Ако F (x) е първоизводната на f (x), тогава функцията F (x) + C , където C е произволна константа, също е първоизводната на f (x) (т.е. всички първоизводни на f (x) се записват във формата F(x) + C).

Геометрична интерпретация.

Графиките на всички първоизводни на дадена функция f (x) се получават от графиката на всяка една първоизводна чрез паралелни прехвърляния по оста Oy.

Таблица на примитивите.

Правила за намиране на антипроизводни .

Нека F(x) и G(x) са първообразните на функциите f(x) и g(x), съответно. Тогава:

1.F( х)±G( х) е противопроизводно на f(х) ± ж(х);

2. а F( х) е противопроизводно на аf(х);

3. - противопроизводно за аf(kx +b).

Задачи и тестове по темата "Антипримитив"

антипроизводно
Уроци: 1 Задачи: 11 Тестове: 1
Производно и антипроизводно - Подготовка за изпит по математика
Работни места: 3
Интеграл - Първопроизводно и интеграл 11 клас
Уроци: 4 Задачи: 13 Тестове: 1
Изчисляване на площи с помощта на интеграли - Първопроизводно и интеграл 11 клас
Уроци: 1 Задачи: 10 Теста: 1

След като сте изучавали тази тема, трябва да знаете какво се нарича антидериват, неговото основно свойство, геометрична интерпретация, правила за намиране на антидеривати; да може да намира всички първоизводни на функции с помощта на таблица и правила за намиране на първоизводни, както и първоизводна, минаваща през дадена точка. Помислете за решаване на задачи по тази тема, като използвате примери. Обърнете внимание на дизайна на решенията.

Примери.

1. Разберете дали функцията F ( х) = х 3 – 3х+ 1 антипроизводно за функцията f(х) = 3(х 2 – 1).

решение: F"( х) = (х 3 – 3х+ 1)′ = 3 х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(х), т.е. F"( х) = f(х), следователно F(x) е първоизводна за функцията f(x).

2. Намерете всички първоизводни функции f(x) :

а) f(х) = х 4 + 3х 2 + 5

решение:Използвайки таблицата и правилата за намиране на антипроизводни, получаваме:

Отговор:

б) f(х) = sin(3 х – 2)

решение:

Видяхме, че производната има многобройни приложения: производната е скоростта на движение (или, по-общо, скоростта на всеки процес); производната е наклонът на допирателната към графиката на функцията; използвайки производната, можете да изследвате функцията за монотонност и екстремуми; Производната помага за решаване на проблеми с оптимизацията.

Но в реалния живот трябва да се решават и обратни задачи: например, наред с проблема за намиране на скоростта по известен закон за движение, съществува и проблемът за възстановяване на закона за движение по известна скорост. Нека разгледаме един от тези проблеми.

Пример 1Материална точка се движи по права линия, скоростта на нейното движение в момент t се дава по формулата u = tg. Намерете закона за движение.

Решение.Нека s = s(t) е желаният закон на движение. Известно е, че s"(t) = u"(t). Така че, за да разрешим проблема, трябва да изберем функция s = s(t), чиято производна е равна на tg. Лесно е да се досетите за това

Веднага отбелязваме, че примерът е решен правилно, но непълно. Получихме, че всъщност проблемът има безкрайно много решения: всяка функция на формата произволна константа, може да служи като закон на движение, т.к

За да направим задачата по-конкретна, трябваше да фиксираме първоначалната ситуация: да посочим координатата на движещата се точка в някакъв момент от времето, например при t=0. Ако, да речем, s (0) \u003d s 0, тогава от равенството получаваме s (0) \u003d 0 + C, т.е. S 0 \u003d C. Сега законът на движението е еднозначно дефиниран:
В математиката на взаимно обратните операции се дават различни имена, измислени са специални обозначения: например повдигане на квадрат (x 2) и извличане на корен квадратен по синус (sinx) и арксинус(arcsin x) и т.н. Процесът на намиране на производната по дадена функция се нарича диференциране, а обратната операция, т.е. процесът на намиране на функция по дадена производна - чрез интегриране.
Самият термин „производно“ може да бъде оправдан „по светски начин“: функцията y - f (x) „произвежда в света“ нова функция y "= f" (x) Функцията y \u003d f (x) действа сякаш като "родител", но математиците, разбира се, не го наричат "родител" или "производител", те казват, че това е, по отношение на функцията y "=f" (x), първичното изображение , или накратко, антипроизводното.

Определение 1.Функцията y \u003d F (x) се нарича антипроизводна за функцията y \u003d f (x) на даден интервал X, ако за всички x от X равенството F "(x) \u003d f (x) е вярно .

На практика интервалът X обикновено не се посочва, а се подразбира (като естествен домейн на функцията).

Ето няколко примера:

1) Функцията y \u003d x 2 е антипроизводна за функцията y \u003d 2x, тъй като за всички x равенството (x 2) "\u003d 2x е вярно.
2) функцията y - x 3 е първоизводната за функцията y-3x 2, тъй като за всички x равенството (x 3)" \u003d 3x 2 е вярно.
3) Функцията y-sinx е антипроизводна на функцията y=cosx, тъй като за всички x е валидно равенството (sinx) "=cosx.
4) Функцията е антипроизводна за функцията на интервала, тъй като за всички x > 0 равенството е вярно
Като цяло, знаейки формулите за намиране на производни, не е трудно да се състави таблица с формули за намиране на антипроизводни.

Надяваме се, че разбирате как се съставя тази таблица: производната на функцията, която е записана във втората колона, е равна на функцията, която е записана в съответния ред на първата колона (проверете, не бъдете мързеливи, това е много полезно). Например, за функцията y \u003d x 5, антипроизводното, както установявате, е функцията (вижте четвъртия ред на таблицата).

Бележки: 1. По-долу доказваме теоремата, че ако y = F(x) е първоизводна за функция y = f(x), тогава функцията y = f(x) има безкрайно много първоизводни и всички те имат формата y = F (x ) + C. Следователно би било по-правилно да добавите термина C навсякъде във втората колона на таблицата, където C е произволно реално число.
2. За краткост понякога вместо фразата "функцията y = F(x) е първоизводната за функцията y = f(x)", те казват, че F(x) е първоизводната за f(x) ".

2. Правила за намиране на противопроизводни

При търсене на противопроизводни, както и при търсене на производни, се използват не само формули (изброени са в таблицата на стр. 196), но и някои правила. Те са пряко свързани със съответните правила за изчисляване на производни.

Знаем, че производната на даден сбор е равна на сбора на производните. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.

Правило 1Първопроизводната на сбор е равна на сбора от първопроизводните.

Обръщаме внимание на известна "лекота" на тази формулировка. Всъщност би било необходимо да се формулира теорема: ако функциите y = f(x) и y=g(x) имат първоизводни на интервала X, y-F(x) и y-G(x), съответно, тогава сумата на функциите y = f(x) + g(x) има първоизводна на интервала X и тази първоизводна е функцията y = F(x) + G(x). Но обикновено, когато се формулират правила (а не теореми), се оставят само ключови думи - това е по-удобно за прилагане на правилото на практика.

Пример 2Намерете първоизводната за функцията y = 2x + cos x.

Решение.Първоизводната за 2x е x "; първоизводната за cosx е sin x. Следователно, първоизводната за функцията y \u003d 2x + cos x ще бъде функцията y \u003d x 2 + sin x (и като цяло всяка функция на форма Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Знаем, че постоянният множител може да бъде изваден от знака на производната. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.

Правило 2Константният фактор може да бъде изваден от първоизводния знак.

Пример 3

Решение.а) Първоизводната за sin x е -cos x; следователно, за функцията y \u003d 5 sin x, първоизводната ще бъде функцията y \u003d -5 cos x.

b) Първоизводната за cos x е sin x; следователно, за антипроизводната функция ще има функция
c) Първоизводната за x 3 е първоизводната за x е първоизводната за функцията y \u003d 1 е функцията y \u003d x. Използвайки първото и второто правило за намиране на първоизводни, получаваме, че първоизводната за функцията y \u003d 12x 3 + 8x-1 е функцията
Коментирайте.Както знаете, производната на продукт не е равна на произведението на производните (правилото за диференциране на продукт е по-сложно), а производната на частното не е равно на частното на производните. Следователно няма правила за намиране на първоизводната на произведението или на първоизводната на частното на две функции. Бъди внимателен!
Получаваме още едно правило за намиране на противопроизводни. Знаем, че производната на функцията y \u003d f (kx + m) се изчислява по формулата

Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.
Правило 3Ако y \u003d F (x) е първоизводната за функцията y \u003d f (x), тогава първоизводната за функцията y \u003d f (kx + m) е функцията

Наистина,

Това означава, че е антипроизводна за функцията y \u003d f (kx + m).
Смисълът на третото правило е следният. Ако знаете, че антипроизводната за функцията y = f (x) е функцията y = F (x) и трябва да намерите антипроизводната на функцията y = f (kx + m), тогава продължете както следва: вземете същата функция F, но вместо аргумента x, заместете израза xx+m; освен това не забравяйте да напишете „коефициента на корекция“ преди знака на функцията
Пример 4Намерете противопроизводни за дадени функции:

Решение, а) Първоизводната за sin x е -cos x; това означава, че за функцията y \u003d sin2x, първоизводната ще бъде функцията
b) Първоизводната за cos x е sin x; следователно, за антипроизводната функция ще има функция

c) Следователно първоизводната за x 7 е, за функцията y \u003d (4-5x) 7, първоизводната ще бъде функцията

3. Неопределен интеграл

Вече отбелязахме по-горе, че проблемът за намиране на първоизводна за дадена функция y = f(x) има повече от едно решение. Нека обсъдим този въпрос по-подробно.

Доказателство. 1. Нека y \u003d F (x) е първоизводната за функцията y \u003d f (x) на интервала X. Това означава, че за всички x от X равенството x "(x) \u003d f (x) е вярно Намерете производната на всяка функция от формата y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).

И така, (F(x)+C) = f(x). Това означава, че y \u003d F (x) + C е антипроизводна за функцията y \u003d f (x).
По този начин доказахме, че ако функцията y \u003d f (x) има антипроизводна y \u003d F (x), тогава функцията (f \u003d f (x) има безкрайно много антипроизводни, например всяка функция форма y \u003d F (x) +C е антипроизводна.
2. Нека сега докажем, че цялото множество от първоизводни се изчерпва от посочения тип функции.

Нека y=F 1 (x) и y=F(x) са две първоизводни за функцията Y = f(x) на интервала X. Това означава, че за всички x от интервала X са валидни следните отношения: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).

Помислете за функцията y \u003d F 1 (x) -.F (x) и намерете нейната производна: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Известно е, че ако производната на функция на интервал X е идентично равна на нула, тогава функцията е постоянна на интервала X (виж теорема 3 в § 35). Следователно, F 1 (x) -F (x) \u003d C, т.е. Fx) \u003d F (x) + C.

Теоремата е доказана.

Пример 5Заложен е законът за изменение на скоростта от време v = -5sin2t. Намерете закона за движение s = s(t), ако е известно, че в момента t=0 координатата на точката е била равна на числото 1,5 (т.е. s(t) = 1,5).

Решение.Тъй като скоростта е производна на координатата като функция на времето, първо трябва да намерим първоизводната на скоростта, т.е. първоизводна за функцията v = -5sin2t. Една от тези първоизводни е функцията , а наборът от всички първоизводни има формата:

За да намерим конкретна стойност на константата C, използваме началните условия, според които s(0) = 1,5. Замествайки във формула (1) стойностите t=0, S = 1,5, получаваме:

Замествайки намерената стойност C във формула (1), получаваме закона за движение, който ни интересува:

Определение 2.Ако функция y = f(x) има първоизводна y = F(x) на интервала X, тогава множеството от всички първоизводни, т.е. множеството от функции под формата y \u003d F (x) + C, се нарича неопределен интеграл на функцията y \u003d f (x) и се обозначава:

(те гласят: „неопределеният интеграл ef от x de x“).
В следващия раздел ще разберем какво е скритото значение на тази нотация.
Въз основа на таблицата с антипроизводни, налични в този параграф, ще съставим таблица с основни неопределени интеграли:

Въз основа на горните три правила за намиране на антипроизводни, можем да формулираме съответните правила за интегриране.

Правило 1Интегралът от сумата на функциите е равен на сумата от интегралите на тези функции:

Правило 2Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:

Правило 3Ако

Пример 6Намерете неопределени интеграли:

Решение, а) Използвайки първото и второто правило за интегриране, получаваме:

Сега използваме формулите за 3-та и 4-та интеграция:

В резултат на това получаваме:

б) Използвайки третото правило за интегриране и формула 8, получаваме:

в) За директното определяне на дадения интеграл нямаме нито съответната формула, нито съответното правило. В такива случаи понякога помагат предварителните идентични трансформации на израза, съдържащ се под интегралния знак.

Нека използваме тригонометричната формула за намаляване на степента:

След това последователно намираме:

А.Г. Мордкович алгебра 10 клас

Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн , Математика в училище