Периодични десетични знаци. Обикновени и десетични дроби и операции с тях. Как изглежда крайната десетична дроб

Тази статия е за десетични знаци. Тук ще разберем десетичния запис на дробните числа, ще въведем концепцията за десетична дроб и ще дадем примери за десетични дроби. След това ще говорим за цифрите на десетичните дроби и ще дадем имената на цифрите. След това ще се съсредоточим върху безкрайни десетични дроби, нека поговорим за периодични и непериодични дроби. След това изброяваме основните операции с десетични дроби. В заключение, нека установим позицията на десетичните дроби върху координатния лъч.

Навигация в страницата.

Десетичен запис на дробно число

Четене на десетични числа

Нека кажем няколко думи за правилата за четене на десетични дроби.

Десетичните дроби, които съответстват на правилните обикновени дроби, се четат по същия начин като тези обикновени дроби, само че първо се добавя „нулево цяло число“. Например десетичната дроб 0,12 съответства на обикновената дроб 12/100 (да се чете „дванадесет стотни“), следователно 0,12 се чете като „нула точка и дванадесет стотни“.

Десетичните дроби, които съответстват на смесени числа, се четат точно по същия начин като тези смесени числа. Например десетичната дроб 56.002 съответства на смесено число, така че десетичната дроб 56.002 се чете като „петдесет и шест цяло и две хилядни“.

Места в десетични знаци

При записване на десетични дроби, както и при записване на естествени числа, значението на всяка цифра зависи от нейната позиция. Наистина числото 3 в десетичната дроб 0,3 означава три десети, в десетичната дроб 0,0003 - три десетхилядни, а в десетичната дроб 30 000,152 - три десетки хиляди. Така че можем да говорим за десетични знаци, както и за цифрите в естествените числа.

Имената на цифрите в десетичната дроб до десетичната запетая напълно съвпадат с имената на цифрите в естествените числа. А имената на десетичните знаци след десетичната запетая могат да се видят от следващата таблица.

Например в десетичната дроб 37.051 цифрата 3 е на мястото на десетиците, 7 е на мястото на единиците, 0 е на мястото на десетите, 5 е на мястото на стотните и 1 е на мястото на хилядните.

Местата в десетичните дроби също се различават по приоритет. Ако при писане на десетична дроб се движим от цифра на цифра отляво надясно, тогава ще се движим от възрастни хораДа се младши чинове. Например мястото на стотните е по-старо от мястото на десетите, а мястото на милионите е по-ниско от мястото на стотните. В дадена последна десетична дроб можем да говорим за големи и второстепенни цифри. Например в десетична дроб 604.9387 старши (най-висок)мястото е мястото на стотиците и младши (най-нисък)- десетхилядна цифра.

За десетични дроби се извършва разгъване в цифри. Подобно е на разлагането на естествени числа в цифри. Например, разширяването в десетични знаци на 45.6072 е както следва: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. И свойствата на добавяне от разлагането на десетична дроб в цифри ви позволяват да преминете към други представяния на тази десетична дроб, например 45,6072=45+0,6072, или 45,6072=40,6+5,007+0,0002, или 45,6072= 45,0072+ 0,6.

Крайни десетични знаци

До тук говорихме само за десетични дроби, в записа на които има краен брой цифри след десетичната запетая. Такива дроби се наричат ​​крайни десетични дроби.

Определение.

Крайни десетични знаци- Това са десетични дроби, чиито записи съдържат краен брой знаци (цифри).

Ето няколко примера за крайни десетични дроби: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.

Въпреки това, не всяка дроб може да бъде представена като краен десетичен знак. Например дробта 5/13 не може да бъде заменена с равна дроб с един от знаменателите 10, 100, ..., следователно не може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб. Ще говорим повече за това в теоретичния раздел, превръщайки обикновените дроби в десетични.

Безкрайни десетични дроби: периодични дроби и непериодични дроби

Когато пишете десетична дроб след десетичната точка, можете да приемете възможността за безкраен брой цифри. В този случай ще разгледаме така наречените безкрайни десетични дроби.

Определение.

Безкрайни десетични знаци- Това са десетични дроби, които съдържат безкраен брой цифри.

Ясно е, че не можем да запишем безкрайни десетични дроби в пълна форма, така че при записването им се ограничаваме само до определен краен брой цифри след десетичната запетая и поставяме многоточие, което означава безкрайно продължаваща последователност от цифри. Ето няколко примера за безкрайни десетични дроби: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Ако се вгледате внимателно в последните две безкрайни десетични дроби, тогава в дробта 2.111111111... ясно се вижда безкрайно повтарящото се число 1, а в дробта 69.74152152152..., започвайки от третия десетичен знак, повтаряща се група числа 1, 5 и 2 се вижда ясно. Такива безкрайни десетични дроби се наричат ​​периодични.

Определение.

Периодични десетични знаци(или просто периодични дроби) са безкрайни десетични дроби, при записването на които, започвайки от определен знак след десетичната запетая, се повтаря безкрайно някакво число или група числа, което се т.нар. период на фракцията.

Например периодът на периодичната дроб 2.111111111... е цифрата 1, а периодът на дробта 69.74152152152... е група от цифри от вида 152.

За безкрайни периодични десетични дроби се приема специална форма на запис. За краткост се съгласихме да запишем точката веднъж, като я поставим в скоби. Например, периодичната дроб 2.111111111... се записва като 2,(1) , а периодичната дроб 69.74152152152... се записва като 69.74(152) .

Струва си да се отбележи, че за една и съща периодична десетична дроб можете да посочите различни периоди. Например, периодичната десетична дроб 0,73333... може да се разглежда като дроб 0,7(3) с период 3, а също и като дроб 0,7(33) с период 33 и така нататък 0,7(333), 0,7 (3333), ... Можете също така да разгледате периодичната дроб 0,73333 ... така: 0,733(3) или така 0,73(333) и т.н. Тук, за да избегнем двусмислие и несъответствия, ние се съгласяваме да считаме за период на десетична дроб най-кратката от всички възможни последователности от повтарящи се цифри и започвайки от най-близката позиция до десетичната запетая. Тоест периодът на десетичната дроб 0,73333... ще се счита за последователност от една цифра 3, а периодичността започва от втората позиция след десетичната запетая, тоест 0,73333...=0,7(3). Друг пример: периодичната дроб 4.7412121212... има период 12, периодичността започва от третата цифра след десетичната запетая, тоест 4.7412121212...=4.74(12).

Безкрайните десетични периодични дроби се получават чрез преобразуване в десетични дроби на обикновени дроби, чиито знаменатели съдържат прости множители, различни от 2 и 5.

Тук си струва да споменем периодични дроби с период 9. Нека дадем примери за такива дроби: 6.43(9) , 27,(9) . Тези дроби са друга нотация за периодични дроби с период 0 и обикновено се заменят с периодични дроби с период 0. За да направите това, период 9 се заменя с период 0 и стойността на следващата най-висока цифра се увеличава с единица. Например, дроб с период 9 от формата 7,24(9) се заменя с периодична дроб с период 0 от формата 7,25(0) или равна крайна десетична дроб 7,25. Друг пример: 4,(9)=5,(0)=5. Равенството на дроб с период 9 и съответстващата й дроб с период 0 се установява лесно след замяна на тези десетични дроби с равни обикновени дроби.

И накрая, нека разгледаме по-отблизо безкрайните десетични дроби, които не съдържат безкрайно повтаряща се поредица от цифри. Те се наричат ​​непериодични.

Определение.

Неповтарящи се десетични знаци(или просто непериодични дроби) са безкрайни десетични дроби, които нямат период.

Понякога непериодичните дроби имат форма, подобна на тази на периодичните дроби, например 8,02002000200002... е непериодична дроб. В тези случаи трябва да сте особено внимателни, за да забележите разликата.

Имайте предвид, че непериодичните дроби не се преобразуват в обикновени дроби; безкрайните непериодични десетични дроби представляват ирационални числа.

Операции с десетични знаци

Една от операциите с десетични дроби е сравнението, като са дефинирани и четирите основни аритметични функции операции с десетични знаци: събиране, изваждане, умножение и деление. Нека разгледаме отделно всяко от действията с десетични дроби.

Сравнение на десетични дробипо същество се основава на сравнение на обикновени дроби, съответстващи на сравняваните десетични дроби. Преобразуването на десетични дроби в обикновени дроби обаче е доста трудоемък процес и безкрайните непериодични дроби не могат да бъдат представени като обикновени дроби, така че е удобно да се използва поместно сравнение на десетични дроби. Поместното сравнение на десетични дроби е подобно на сравнението на естествени числа. За по-подробна информация препоръчваме да изучите статията: сравнение на десетични дроби, правила, примери, решения.

Да преминем към следващата стъпка - умножение на десетични знаци. Умножението на крайни десетични дроби се извършва подобно на изваждането на десетични дроби, правила, примери, решения за умножение по колона от естествени числа. При периодичните дроби умножението може да се сведе до умножение на обикновени дроби. От своя страна умножението на безкрайни непериодични десетични дроби след тяхното закръгляне се свежда до умножаване на крайни десетични дроби. Препоръчваме за по-нататъшно изучаване на материала в статията: умножение на десетични дроби, правила, примери, решения.

Десетични знаци върху координатен лъч

Има едно към едно съответствие между точки и десетични знаци.

Нека да разберем как се конструират точки от координатния лъч, които съответстват на дадена десетична дроб.

Можем да заменим крайните десетични дроби и безкрайните периодични десетични дроби с равни обикновени дроби и след това да конструираме съответните обикновени дроби върху координатния лъч. Например десетичната дроб 1.4 съответства на обикновената дроб 14/10, така че точката с координата 1.4 се отдалечава от началото в положителна посока с 14 сегмента, равни на една десета от единичен сегмент.

Десетичните дроби могат да бъдат отбелязани върху координатен лъч, като се започне от разлагането на дадена десетична дроб на цифри. Например, нека трябва да изградим точка с координата 16.3007, тъй като 16.3007=16+0.3+0.0007, тогава можем да стигнем до тази точка чрез последователно полагане на 16 единични сегмента от началото на координатите, 3 сегмента, чиято дължина е равна на една десета от единица и 7 сегмента, чиято дължина е равна на десет хилядна от единичен сегмент.

Този метод за конструиране на десетични числа върху координатен лъч ви позволява да се приближите колкото искате до точката, съответстваща на безкрайна десетична дроб.

Понякога е възможно да се начертае точно точката, съответстваща на безкрайна десетична дроб. Например, , тогава тази безкрайна десетична дроб 1,41421... съответства на точка от координатния лъч, отдалечена от началото на координатите с дължината на диагонала на квадрат със страна 1 единичен сегмент.

Обратният процес на получаване на десетичната дроб, съответстваща на дадена точка от координатен лъч, е т.нар. десетично измерване на сегмент. Нека да разберем как се прави.

Нека нашата задача е да стигнем от началото до дадена точка на координатната линия (или да я приближим безкрайно, ако не можем да стигнем до нея). С десетичното измерване на сегмент можем последователно да отделим от началото произволен брой единични сегменти, след това сегменти, чиято дължина е равна на една десета от единицата, след това сегменти, чиято дължина е равна на стотна от единицата и т.н. Като записваме броя на сегментите от всяка дължина, оставени настрана, получаваме десетичната дроб, съответстваща на дадена точка от координатния лъч.

Например, за да стигнете до точка М на горната фигура, трябва да отделите 1 единичен сегмент и 4 сегмента, чиято дължина е равна на една десета от единицата. Така точка М съответства на десетичната дроб 1,4.

Ясно е, че точките на координатния лъч, които не могат да бъдат достигнати в процеса на десетично измерване, съответстват на безкрайни десетични дроби.

Библиография.

• Математика: учебник за 5 клас. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21 изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 клас: учебен. за общо образование институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро издание, рев. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Помните ли как в първия урок за десетични знаци казах, че има числови дроби, които не могат да бъдат представени като десетични знаци (вижте урока „Десетични знаци“)? Научихме също как да разлагаме знаменателите на дроби, за да видим дали има други числа освен 2 и 5.

И така: излъгах. И днес ще научим как да преобразуваме абсолютно всяка числова дроб в десетична. В същото време ще се запознаем с цял клас дроби с безкрайна значима част.

Периодичен десетичен знак е всеки десетичен знак, който:

1. Значимата част се състои от безкраен брой цифри;
2. На определени интервали числата в значимата част се повтарят.

Наборът от повтарящи се цифри, които съставляват значимата част, се нарича периодична част на дроб, а броят на цифрите в този набор се нарича период на дробта. Останалият сегмент от значимата част, който не се повтаря, се нарича непериодична част.

Тъй като има много определения, струва си да разгледаме подробно някои от тези фракции:

Тази фракция се появява най-често в задачи. Непериодична част: 0; периодична част: 3; продължителност на периода: 1.

Непериодична част: 0,58; периодична част: 3; продължителност на периода: отново 1.

Непериодична част: 1; периодична част: 54; продължителност на периода: 2.

Непериодична част: 0; периодична част: 641025; дължина на периода: 6. За удобство повтарящите се части са разделени една от друга с интервал - това не е необходимо в това решение.

Непериодична част: 3066; периодична част: 6; продължителност на периода: 1.

Както можете да видите, дефиницията на периодична дроб се основава на концепцията значителна част от число. Ето защо, ако сте забравили какво е, препоръчвам да го повторите - вижте урока “”.

Преход към периодична десетична дроб

Да разгледаме обикновена дроб от формата a /b. Нека разложим знаменателя му на прости множители. Има две възможности:

1. Разширението съдържа само фактори 2 и 5. Тези дроби лесно се преобразуват в десетични знаци - вижте урока „Десетични знаци“. Ние не се интересуваме от такива хора;
2. Има нещо друго в разширението, различно от 2 и 5. В този случай дробта не може да бъде представена като десетична, но може да бъде преобразувана в периодична десетична.

За да определите периодична десетична дроб, трябва да намерите нейните периодични и непериодични части. как? Преобразувайте дробта в неправилна дроб и след това разделете числителя на знаменателя с помощта на ъгъл.

Ще се случи следното:

1. Първо ще се раздели цяла част, ако съществува;
2. Може да има няколко числа след десетичната запетая;
3. След известно време ще започнат номерата повторете.

Това е всичко! Повтарящите се числа след десетичната запетая се означават с периодичната част, а тези отпред - с непериодичната част.

Задача. Преобразувайте обикновени дроби в периодични десетични знаци:

Всички дроби без цяло число, така че просто разделяме числителя на знаменателя с „ъгъл“:

Както можете да видите, остатъците се повтарят. Нека напишем дробта в „правилната“ форма: 1,733 ... = 1,7(3).

Резултатът е дроб: 0,5833 ... = 0,58(3).

Записваме го в нормална форма: 4.0909 ... = 4,(09).

Получаваме дробта: 0,4141 ... = 0.(41).

Преход от периодична десетична дроб към обикновена дроб

Да разгледаме периодичната десетична дроб X = abc (a 1 b 1 c 1). Необходимо е да се превърне в класически "двуетажен". За да направите това, следвайте четири прости стъпки:

1. Намерете периода на дробта, т.е. пребройте колко цифри има в периодичната част. Нека това е числото k;
2. Намерете стойността на израза X · 10 k. Това е еквивалентно на изместване на десетичната запетая надясно с цяла точка – вижте урока „Умножение и деление на десетични знаци“;
3. Първоначалният израз трябва да се извади от полученото число. В този случай периодичната част се „изгаря“ и остава обикновена дроб;
4. Намерете X в полученото уравнение. Преобразуваме всички десетични дроби в обикновени дроби.

Задача. Преобразувайте числото в обикновена неправилна дроб:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Работим с първата дроб: X = 9,(6) = 9,666 ...

Скобите съдържат само една цифра, така че периодът е k = 1. След това умножаваме тази дроб по 10 k = 10 1 = 10. Имаме:

10X = 10 9,6666... ​​​​= 96,666...

Извадете първоначалната дроб и решете уравнението:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9Х = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Сега нека разгледаме втората дроб. Значи X = 32,(39) = 32,393939...

Период k = 2, така че умножете всичко по 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Извадете първоначалната дроб отново и решете уравнението:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99Х = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Нека да преминем към третата дроб: X = 0,30(5) = 0,30555... Диаграмата е същата, така че просто ще дам изчисленията:

Период k = 1 ⇒ умножете всичко по 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

И накрая, последната дроб: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Отново, за удобство, периодичните части са разделени една от друга с интервали. Ние имаме:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475 : 9999 = 25/101.

дробно число.

Десетичен запис на дробно числое набор от две или повече цифри от $0$ до $9$, между които има т. нар. \textit (десетична точка).

Пример 1

Например $35,02$; $100,7 $; $123\456,5$; $54,89 $.

Най-лявата цифра в десетичния запис на число не може да бъде нула, като единственото изключение е, когато десетичната запетая е непосредствено след първата цифра $0$.

Пример 2

Например $0,357$; $0,064 $.

Често десетичната точка се заменя с десетична точка. Например $35,02$; $100,7 $; $123\456,5$; $54,89 $.

Десетично определение

Определение 1

Десетични знаци-- това са дробни числа, които са представени в десетична система.

Например $121,05; $67,9 $; $345,6700 $.

Десетичните дроби се използват за по-компактно записване на правилни дроби, чиито знаменатели са числата $10$, $100$, $1\000$ и т.н. и смесени числа, чиито знаменатели на дробната част са числата $10$, $100$, $1\000$ и др.

Например обикновената дроб $\frac(8)(10)$ може да се запише като десетичен знак $0,8$, а смесеното число $405\frac(8)(100)$ може да бъде записан като десетичен знак $405,08$.

Четене на десетични числа

Десетичните дроби, които съответстват на обикновените дроби, се четат по същия начин като обикновените дроби, само фразата „нулево цяло число“ се добавя отпред. Например обикновената дроб $\frac(25)(100)$ (да се чете „двадесет и пет стотни“) съответства на десетичната дроб $0,25$ (да се чете „нула точка двадесет и пет стотни“).

Десетичните дроби, които съответстват на смесени числа, се четат по същия начин като смесените числа. Например смесеното число $43\frac(15)(1000)$ съответства на десетичната дроб $43,015$ (да се чете „четиридесет и три кома и петнадесет хилядни“).

Места в десетични знаци

При писане на десетична дроб значението на всяка цифра зависи от нейната позиция. Тези. в десетичните дроби концепцията също се прилага категория.

Местата в десетичните дроби до десетичната запетая се наричат ​​по същия начин като местата в естествените числа. Десетичните знаци след десетичната запетая са посочени в таблицата:

Снимка 1.

Пример 3

Например в десетичната дроб $56.328$ цифрата $5$ е на мястото на десетиците, $6$ е на мястото на единиците, $3$ е на мястото на десетите, $2$ е на мястото на стотните, $8$ е на мястото на хилядните място.

Местата в десетичните дроби се разграничават по приоритет. Когато четете десетична дроб, преместете отляво надясно - от Старширанг към по-млад.

Пример 4

Например в десетичната дроб $56,328$ най-значимото (най-високото) място е мястото на десетките, а най-ниското (най-ниското) място е мястото на хилядните.

Десетична дроб може да бъде разширена в цифри подобно на разлагането на цифри на естествено число.

Пример 5

Например, нека разбием десетичната дроб $37,851$ на цифри:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Крайни десетични знаци

Определение 2

Крайни десетични знацисе наричат ​​десетични дроби, чиито записи съдържат краен брой знаци (цифри).

Например $0,138$; $5,34 $; $56,123456 $; 350 972,54 долара.

Всяка крайна десетична дроб може да бъде преобразувана в дроб или смесено число.

Пример 6

Например крайната десетична дроб $7,39$ съответства на дробното число $7\frac(39)(100)$, а крайната десетична дроб $0,5$ съответства на правилната обикновена дроб $\frac(5)(10)$ (или всяка дроб, която е равна на него, например $\frac(1)(2)$ или $\frac(10)(20)$.

Преобразуване на дроб в десетичен знак

Преобразуване на дроби със знаменатели $10, 100, \dots$ в десетични знаци

Преди да конвертирате някои правилни дроби в десетични знаци, те първо трябва да бъдат „подготвени“. Резултатът от такава подготовка трябва да бъде същият брой цифри в числителя и същия брой нули в знаменателя.

Същността на „предварителната подготовка“ на правилните обикновени дроби за преобразуване в десетични дроби е добавянето на такъв брой нули отляво в числителя, че общият брой цифри да стане равен на броя на нулите в знаменателя.

Пример 7

Например, нека подготвим дробта $\frac(43)(1000)$ за преобразуване в десетична и да получим $\frac(043)(1000)$. А обикновената дроб $\frac(83)(100)$ не се нуждае от подготовка.

Да формулираме правило за преобразуване на правилна обикновена дроб със знаменател $10$, или $100$, или $1\000$, $\dots$ в десетична дроб:

напишете $0$;

след него поставете десетична точка;

запишете числото от числителя (заедно с добавени нули след подготовка, ако е необходимо).

Пример 8

Преобразувайте правилната дроб $\frac(23)(100)$ в десетична.

Решение.

Знаменателят съдържа числото $100$, което съдържа $2$ и две нули. Числителят съдържа числото $23$, което се записва с $2$.цифри. Това означава, че няма нужда да подготвяте тази дроб за преобразуване в десетична.

Нека запишем $0$, поставим десетична запетая и запишем числото $23$ от числителя. Получаваме десетичната дроб $0,23$.

Отговор: $0,23$.

Пример 9

Запишете правилната дроб $\frac(351)(100000)$ като десетичен знак.

Решение.

Числителят на тази дроб съдържа $3$ цифри, а броят на нулите в знаменателя е $5$, така че тази обикновена дроб трябва да бъде подготвена за преобразуване в десетична. За да направите това, трябва да добавите $5-3=2$ нули отляво в числителя: $\frac(00351)(100000)$.

Сега можем да образуваме желаната десетична дроб. За да направите това, запишете $0$, след това добавете запетая и запишете числото от числителя. Получаваме десетичната дроб $0,00351$.

Отговор: $0,00351$.

Да формулираме правило за преобразуване на неправилни дроби със знаменатели $10$, $100$, $\dots$ в десетични дроби:

запишете числото от числителя;

Използвайте десетична точка, за да отделите толкова цифри отдясно, колкото нули има в знаменателя на оригиналната дроб.

Пример 10

Преобразувайте неправилната дроб $\frac(12756)(100)$ в десетична.

Решение.

Нека запишем числото от числителя $12756$, след което разделим цифрите $2$ отдясно с десетична запетая, т.к. знаменателят на оригиналната дроб $2$ е нула. Получаваме десетичната дроб $127,56$.

В тази статия ще разберем какво е десетична дроб, какви характеристики и свойства има. Отивам! 🙂

Десетичната дроб е специален случай на обикновените дроби (където знаменателят е кратен на 10).

Определение

Десетичните знаци са дроби, чиито знаменатели са числа, състоящи се от единица и няколко нули след нея. Тоест, това са дроби със знаменател 10, 100, 1000 и т.н. В противен случай десетичната дроб може да се характеризира като дроб със знаменател 10 или една от степените на десет.

Примери за дроби:

, ,

Десетичните дроби се записват по различен начин от обикновените дроби. Операциите с тези дроби също са различни от операциите с обикновените. Правилата за работа с тях до голяма степен са подобни на правилата за работа с цели числа. Това по-специално обяснява тяхното търсене на решаване на практически проблеми.

Представяне на дроби в десетичен запис

Десетичната дроб няма знаменател, тя показва числото на числителя. Най-общо десетичната дроб се записва по следната схема:

където X е цялата част от дробта, Y е нейната дробна част, "," е десетичната запетая.

За правилното представяне на дроб като десетична дроб, тя трябва да бъде обикновена дроб, тоест с маркирана цяло число (ако е възможно) и числител, който е по-малък от знаменателя. Тогава в десетичния запис цялата част се записва пред десетичната запетая (X), а числителят на обикновената дроб се записва след десетичната запетая (Y).

Ако числителят съдържа число с по-малко цифри от броя на нулите в знаменателя, тогава в част Y липсващият брой цифри в десетичния запис се запълва с нули пред цифрите на числителя.

Пример:

Ако една обикновена дроб е по-малка от 1, т.е. няма цяла част, тогава за X в десетична форма напишете 0.

В дробната част (Y) след последната значима (ненулева) цифра може да се въведе произволен брой нули. Това не влияе на стойността на фракцията. Обратно, всички нули в края на дробната част на десетичната запетая могат да бъдат пропуснати.

Четене на десетични числа

Част X обикновено се чете, както следва: „X цели числа“.

Частта Y се чете според числото в знаменателя. За знаменател 10 трябва да прочетете: „Y десети“, за знаменател 100: „Y стотни“, за знаменател 1000: „Y хилядни“ и така нататък... 😉

Друг подход към четенето, базиран на преброяването на броя на цифрите на дробната част, се счита за по-правилен. За да направите това, трябва да разберете, че дробните цифри са разположени в огледален образ по отношение на цифрите на цялата част от фракцията.

Имената за правилно четене са дадени в таблицата:

Въз основа на това четенето трябва да се основава на съответствие с името на цифрата на последната цифра на дробната част.

• 3.5 се чете "три точка пет"
• 0,016 чете "нула цяло шестнадесет хилядни"

Преобразуване на произволна дроб в десетична

Ако знаменателят на обикновена дроб е 10 или някаква степен на десет, тогава преобразуването на дробта се извършва, както е описано по-горе. В други ситуации са необходими допълнителни трансформации.

Има 2 метода за превод.

Първи метод на прехвърляне

Числителят и знаменателят трябва да бъдат умножени по такова цяло число, че знаменателят да произвежда числото 10 или една от степените на десет. И след това дробта се представя в десетична система.

Този метод е приложим за дроби, чийто знаменател може да бъде разширен само до 2 и 5. И така, в предишния пример . Ако разширението съдържа други прости множители (например ), тогава ще трябва да прибегнете до втория метод.

Втори метод на превод

Вторият метод е да разделите числителя на знаменателя в колона или на калкулатор. Цялата част, ако има такава, не участва в трансформацията.

Правилото за дълго деление, което води до десетична дроб, е описано по-долу (вижте Деление на десетични дроби).

Преобразуване на десетична дроб в обикновена дроб

За да направите това, трябва да запишете неговата дробна част (вдясно от десетичната запетая) като числител, а резултатът от прочитането на дробната част като съответното число в знаменателя. След това, ако е възможно, трябва да намалите получената фракция.

Крайна и безкрайна десетична дроб

Десетична дроб се нарича крайна дроб, чиято дробна част се състои от краен брой цифри.

Всички примери по-горе съдържат крайни десетични дроби. Въпреки това, не всяка обикновена дроб може да бъде представена като крайна десетична дроб. Ако първият метод на преобразуване не е приложим за дадена дроб и вторият метод показва, че делението не може да бъде завършено, тогава може да се получи само безкрайна десетична дроб.

Невъзможно е да се напише безкрайна дроб в пълна форма. В непълна форма такива фракции могат да бъдат представени:

1. в резултат на намаляване до желания брой десетични знаци;
2. като периодична дроб.

Дроб се нарича периодична, ако след десетичната запетая е възможно да се разграничи безкрайно повтаряща се поредица от цифри.

Останалите дроби се наричат ​​непериодични. За непериодични дроби е разрешен само първият метод на представяне (закръгляване).

Пример за периодична дроб: 0,8888888... Тук има повтарящо се число 8, което очевидно ще се повтаря безкрайно, тъй като няма причина да се предполага друго. Тази фигура се нарича период на фракцията.

Периодичните фракции могат да бъдат чисти или смесени. Чиста десетична дроб е тази, чийто период започва веднага след десетичната запетая. Смесената дроб има 1 или повече цифри преди десетичната запетая.

54.33333… – периодична чиста десетична дроб

2.5621212121… – периодична смесена дроб

Примери за писане на безкрайни десетични дроби:

Вторият пример показва как правилно да форматирате точка в запис на периодична дроб.

Преобразуване на периодични десетични дроби в обикновени дроби

За да преобразувате чиста периодична дроб в обикновен период, запишете го в числителя и запишете число, състоящо се от деветки в количество, равно на броя на цифрите в периода, в знаменателя.

Смесената периодична десетична дроб се превежда, както следва:

1. трябва да образувате число, състоящо се от числото след десетичната запетая преди точката и първата точка;
2. От полученото число извадете числото след десетичната запетая преди точката. Резултатът ще бъде числителят на обикновената дроб;
3. в знаменателя трябва да въведете число, състоящо се от число деветки, равно на броя на цифрите на периода, последвано от нули, чийто брой е равен на броя на цифрите на числото след десетичната запетая преди 1-во Период.

Сравнение на десетични дроби

Десетичните дроби се сравняват първоначално с целите им части. Дробта, чиято цяла част е по-голяма, е по-голяма.

Ако целите части са еднакви, тогава сравнете цифрите на съответните цифри на дробната част, като започнете от първата (от десетите). Тук важи същият принцип: по-голямата дроб е тази с повече десети; ако цифрите на десетите са равни, цифрите на стотните се сравняват и т.н.

Тъй като

, тъй като при равни цели части и равни десети в дробната част, 2-рата дроб има по-голяма цифра на стотните.

Събиране и изваждане на десетични знаци

Десетичните знаци се добавят и изваждат по същия начин като целите числа, като съответните цифри се записват една под друга. За да направите това, трябва да имате десетични точки една под друга. Тогава единиците (десетките и т.н.) на цялата част, както и десетите (стотните и т.н.) на дробната част ще бъдат в съответствие. Липсващите цифри на дробната част се попълват с нули. Директно Процесът на събиране и изваждане се извършва по същия начин, както при цели числа.

Умножаване на десетични числа

За да умножите десетичните числа, трябва да ги напишете един под друг, подравнени с последната цифра и без да обръщате внимание на местоположението на десетичните точки. След това трябва да умножите числата по същия начин, както когато умножавате цели числа. След получаване на резултата трябва да преизчислите броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби и да разделите общия брой дробни цифри в полученото число със запетая. Ако няма достатъчно цифри, те се заменят с нули.

Умножение и деление на десетични знаци с 10n

Тези действия са прости и се свеждат до преместване на десетичната запетая. П При умножаване десетичната запетая се премества надясно (дробта се увеличава) с брой цифри, равен на броя на нулите в 10n, където n е произволна цяло число. Тоест, определен брой цифри се прехвърлят от дробната част към цялата част. При разделяне, съответно, запетаята се премества наляво (числото намалява), а някои от цифрите се прехвърлят от целочислената част към дробната част. Ако няма достатъчно числа за прехвърляне, тогава липсващите битове се запълват с нули.

Деление на десетична запетая и цяло число на цяло число и десетична запетая

Разделянето на десетична запетая на цяло число е подобно на деленето на две цели числа. Освен това трябва да вземете предвид само позицията на десетичната запетая: когато премахвате цифрата на място, последвана от запетая, трябва да поставите запетая след текущата цифра на генерирания отговор. След това трябва да продължите да делите, докато получите нула. Ако в дивидента няма достатъчно знаци за пълно деление, като тях трябва да се използват нули.

По същия начин 2 цели числа се разделят в колона, ако всички цифри на дивидента са премахнати и пълното деление все още не е завършено. В този случай, след премахване на последната цифра от дивидента, в получения отговор се поставя десетична запетая, а нулите се използват като премахнати цифри. Тези. дивидентът тук по същество е представен като десетична дроб с нулева дробна част.

За да разделите десетична дроб (или цяло число) на десетично число, трябва да умножите делителя и делителя по числото 10 n, в което броят на нулите е равен на броя на цифрите след десетичната запетая в делителя. По този начин се отървавате от десетичната запетая в дробта, на която искате да разделите. Освен това процесът на разделяне съвпада с описания по-горе.

Графично представяне на десетични дроби

Десетичните дроби се представят графично с помощта на координатна линия. За да направите това, отделните сегменти се разделят допълнително на 10 равни части, точно както сантиметрите и милиметрите се маркират едновременно на линийка. Това гарантира, че десетичните знаци се показват точно и могат да бъдат сравнени обективно.

За да бъдат еднакви разделенията на отделните сегменти, трябва внимателно да прецените дължината на самия сегмент. Тя трябва да бъде такава, че да може да се осигури удобството за допълнително разделяне.

Ще посветим този материал на такава важна тема като десетичните дроби. Първо, нека дефинираме основните дефиниции, да дадем примери и да се спрем на правилата на десетичната нотация, както и какви са цифрите на десетичните дроби. След това подчертаваме основните типове: крайни и безкрайни, периодични и непериодични дроби. В последната част ще покажем как точките, съответстващи на дробни числа, са разположени върху координатната ос.

Какво е десетично записване на дробни числа

Така нареченият десетичен запис на дробните числа може да се използва както за естествени, така и за дробни числа. Изглежда като набор от две или повече числа със запетая между тях.

Десетичната точка е необходима, за да се отдели цялата част от дробната част. По правило последната цифра на десетичната дроб не е нула, освен ако десетичната запетая не се появява непосредствено след първата нула.

Кои са някои примери за дробни числа в десетична система? Това може да бъде 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11 231 552, 9 и т.н.

В някои учебници можете да намерите използването на точка вместо запетая (5. 67, 6789. 1011 и т.н.) Тази опция се счита за еквивалентна, но е по-характерна за англоезичните източници.

Дефиниция на десетичните знаци

Въз основа на горната концепция за десетична нотация, можем да формулираме следната дефиниция на десетични дроби:

Определение 1

Десетичните знаци представляват дробни числа в десетичен запис.

Защо трябва да пишем дроби в тази форма? Той ни дава някои предимства пред обикновените, например по-компактен запис, особено в случаите, когато знаменателят съдържа 1000, 100, 10 и т.н., или смесено число. Например, вместо 6 10 можем да посочим 0.6, вместо 25 10000 - 0.0023, вместо 512 3 100 - 512.03.

Как правилно да представим обикновени дроби с десетки, стотици, хиляди в знаменателя в десетична форма ще обсъдим в отделен материал.

Как да четем правилно десетичните знаци

Има някои правила за четене на десетични обозначения. По този начин онези десетични дроби, които съответстват на техните редовни обикновени еквиваленти, се четат почти по същия начин, но с добавянето на думите „нула десети“ в началото. По този начин записът 0, 14, който съответства на 14 100, се чете като „нула точка и четиринадесет стотни“.

Ако десетична дроб може да бъде свързана със смесено число, тогава тя се чете по същия начин като това число. Така че, ако имаме дроб 56 002, което съответства на 56 2 1000, ние четем този запис като „петдесет и шест кома две хилядни“.

Значението на цифрата в десетичната дроб зависи от това къде се намира (същото като при естествените числа). И така, в десетичната дроб 0,7 седем са десети, в 0,0007 са десет хилядни, а в дробта 70 000,345 означава седем десетки хиляди цели единици. По този начин в десетичните дроби има и понятието стойност на място.

Имената на цифрите, разположени преди десетичната запетая, са подобни на тези, които съществуват в естествените числа. Имената на разположените след тях са ясно представени в таблицата:

Нека разгледаме един пример.

Пример 1

Имаме десетичната дроб 43 098. Тя има четири на мястото на десетките, тройка на мястото на единиците, нула на мястото на десетите, 9 на мястото на стотните и 8 на мястото на хилядните.

Обичайно е да се разграничават редовете на десетичните дроби по приоритет. Ако се движим през числата отляво надясно, тогава ще преминем от най-значимото към най-малко значимото. Оказва се, че стотните са по-стари от десетките, а частите на милион са по-млади от стотните. Ако вземем последната десетична дроб, която цитирахме като пример по-горе, тогава най-високото или най-високото място в нея ще бъде мястото на стотните, а най-ниското или най-ниското място ще бъде 10-хилядната позиция.

Всяка десетична дроб може да бъде разширена в отделни цифри, тоест представена като сума. Това действие се извършва по същия начин, както при естествените числа.

Пример 2

Нека се опитаме да разгънем дробта 56, 0455 на цифри.

Ще получим:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Ако си спомним свойствата на добавянето, можем да представим тази дроб в други форми, например като сумата 56 + 0, 0455 или 56, 0055 + 0, 4 и т.н.

Какво представляват десетичните знаци в края?

Всички дроби, за които говорихме по-горе, са крайни десетични числа. Това означава, че броят на цифрите след десетичната запетая е краен. Нека изведем определението:

Определение 1

Задните десетични знаци са вид десетична дроб, която има краен брой десетични знаци след десетичния знак.

Примери за такива дроби могат да бъдат 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49 и т.н.

Всяка от тези дроби може да бъде преобразувана или в смесено число (ако стойността на тяхната дробна част е различна от нула), или в обикновена дроб (ако цялата част е нула). Посветихме отделна статия на това как се прави това. Тук само ще посочим няколко примера: например, можем да намалим крайната десетична дроб 5, 63 до формата 5 63 100, а 0, 2 съответства на 2 10 (или всяка друга дроб, равна на нея, за например 4 20 или 1 5.)

Но обратният процес, т.е. записването на обикновена дроб в десетична форма не винаги е възможно. И така, 5 13 не може да се замени с равна дроб със знаменател 100, 10 и т.н., което означава, че от нея не може да се получи крайна десетична дроб.

Основни видове безкрайни десетични дроби: периодични и непериодични дроби

По-горе посочихме, че крайните дроби се наричат ​​така, защото имат краен брой цифри след десетичната запетая. Въпреки това може да е безкрайно, в който случай самите дроби също ще се наричат ​​безкрайни.

Определение 2

Безкрайните десетични дроби са тези, които имат безкраен брой цифри след десетичната запетая.

Очевидно такива числа просто не могат да бъдат записани изцяло, затова посочваме само част от тях и след това добавяме многоточие. Този знак показва безкрайно продължение на последователността от десетични знаци. Примери за безкрайни десетични дроби включват 0, 143346732…, ​​​​3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. и т.н.

„Опашката“ на такава фракция може да съдържа не само привидно произволни поредици от числа, но и постоянно повторение на един и същи знак или група от знаци. Дроби с редуващи се числа след десетичната запетая се наричат ​​периодични.

Определение 3

Периодичните десетични дроби са тези безкрайни десетични дроби, в които една цифра или група от няколко цифри се повтаря след десетичната запетая. Повтарящата се част се нарича период на дробта.

Например за дроб 3, 444444…. периодът ще бъде числото 4, а за 76, 134134134134... - групата 134.

Какъв е минималният брой знаци, които могат да бъдат оставени в записа на периодична дроб? За периодични дроби ще бъде достатъчно да напишете целия период веднъж в скоби. И така, дроб 3, 444444…. Правилно би било да го напишем като 3, (4), а 76, 134134134134... – като 76, (134).

Като цяло, записи с няколко периода в скоби ще имат абсолютно същото значение: например периодичната дроб 0,677777 е същата като 0,6 (7) и 0,6 (77) и т.н. Записи под формата 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) и т.н. също са приемливи.

За да избегнем грешки, въвеждаме еднаквост на нотацията. Нека се съгласим да запишем само една точка (най-кратката възможна последователност от числа), която е най-близо до десетичната запетая и да я поставим в скоби.

Тоест, за горната дроб ще считаме, че основният запис е 0, 6 (7) и, например, в случая на дробта 8, 9134343434, ще напишем 8, 91 (34).

Ако знаменателят на обикновена дроб съдържа прости множители, които не са равни на 5 и 2, тогава, когато се преобразуват в десетична система, те ще доведат до безкрайни дроби.

По принцип можем да запишем всяка крайна дроб като периодична. За да направим това, просто трябва да добавим безкраен брой нули отдясно. Как изглежда на запис? Да кажем, че имаме крайна дроб 45, 32. В периодична форма ще изглежда като 45, 32 (0). Това действие е възможно, защото добавянето на нули отдясно на всяка десетична дроб води до дроб, равна на нея.

Специално внимание трябва да се обърне на периодичните фракции с период 9, например 4, 89 (9), 31, 6 (9). Те са алтернативен запис за подобни дроби с период 0, така че често се заменят, когато се записват с дроби с нулев период. В този случай единица се добавя към стойността на следващата цифра и (0) се посочва в скоби. Равенството на получените числа може лесно да се провери, като се представят като обикновени дроби.

Например дробта 8, 31 (9) може да бъде заменена със съответната дроб 8, 32 (0). Или 4, (9) = 5, (0) = 5.

Безкрайните десетични периодични дроби се класифицират като рационални числа. С други думи, всяка периодична дроб може да бъде представена като обикновена дроб и обратно.

Има и дроби, които нямат безкрайно повтаряща се последователност след десетичната запетая. В този случай те се наричат ​​непериодични дроби.

Определение 4

Непериодичните десетични дроби включват онези безкрайни десетични дроби, които не съдържат точка след десетичната запетая, т.е. повтаряща се група от числа.

Понякога непериодичните дроби изглеждат много подобни на периодичните. Например 9, 03003000300003 ... на пръв поглед изглежда, че има точка, но подробен анализ на десетичните знаци потвърждава, че това все още е непериодична дроб. Трябва да сте много внимателни с такива числа.

Непериодичните дроби се класифицират като ирационални числа. Те не се преобразуват в обикновени дроби.

Основни операции с десетични знаци

Следните операции могат да се извършват с десетични дроби: сравнение, изваждане, събиране, деление и умножение. Нека разгледаме всеки от тях поотделно.

Сравняването на десетични числа може да се сведе до сравняване на дроби, които съответстват на оригиналните десетични знаци. Но безкрайните непериодични дроби не могат да бъдат приведени до тази форма и превръщането на десетични дроби в обикновени често е трудоемка задача. Как можем бързо да извършим действие за сравнение, ако трябва да направим това, докато решаваме проблем? Удобно е да сравняваме десетични дроби по цифри по същия начин, както сравняваме естествените числа. Ще посветим отделна статия на този метод.

За да добавите някои десетични дроби с други, е удобно да използвате метода за събиране на колони, както при естествените числа. За да добавите периодични десетични дроби, първо трябва да ги замените с обикновени и да броите според стандартната схема. Ако според условията на задачата трябва да съберем безкрайни непериодични дроби, тогава трябва първо да ги закръглим до определена цифра и след това да ги съберем. Колкото по-малка е цифрата, до която закръгляме, толкова по-висока ще бъде точността на изчислението. За изваждане, умножение и деление на безкрайни дроби също е необходимо предварително закръгляване.

Намирането на разликата между десетичните дроби е обратното на събирането. По същество, използвайки изваждане, можем да намерим число, чиято сума с дробта, която изваждаме, ще ни даде дробта, която минимизираме. Ще говорим за това по-подробно в отделна статия.

Умножаването на десетични дроби се извършва по същия начин, както при естествените числа. Методът за изчисляване на колоната също е подходящ за това. Отново свеждаме това действие с периодични дроби до умножение на обикновени дроби по вече изучените правила. Безкрайните дроби, както си спомняме, трябва да бъдат закръглени преди изчисленията.

Процесът на деление на десетични числа е обратен на умножението. При решаване на задачи използваме и колонни изчисления.

Можете да установите точно съответствие между крайната десетична дроб и точка на координатната ос. Нека да разберем как да маркираме точка на оста, която точно ще съответства на необходимата десетична дроб.

Вече проучихме как да конструираме точки, съответстващи на обикновени дроби, но десетичните дроби могат да бъдат сведени до тази форма. Например обикновената дроб 14 10 е същата като 1, 4, така че съответната точка ще бъде отстранена от началото в положителна посока на точно същото разстояние:

Можете да направите, без да замените десетичната дроб с обикновена, но използвайте метода на разширяване с цифри като основа. Така че, ако трябва да маркираме точка, чиято координата ще бъде равна на 15, 4008, тогава първо ще представим това число като сбора 15 + 0, 4 +, 0008. Като начало нека отделим 15 цели единични сегмента в положителната посока от началото на обратното броене, след това 4 десети от един сегмент и след това 8 десетхилядни от един сегмент. В резултат на това получаваме координатна точка, която съответства на фракцията 15, 4008.

За безкрайна десетична дроб е по-добре да използвате този метод, тъй като той ви позволява да се приближите колкото искате до желаната точка. В някои случаи е възможно да се изгради точно съответствие на безкрайна фракция на координатната ос: например 2 = 1, 41421. . . , и тази част може да се свърже с точка от координатния лъч, отдалечена от 0 с дължината на диагонала на квадрата, чиято страна ще бъде равна на единичен сегмент.

Ако намерим не точка на оста, а десетична дроб, съответстваща на нея, тогава това действие се нарича десетично измерване на сегмент. Нека да видим как да направим това правилно.

Да речем, че трябва да стигнем от нула до дадена точка на координатната ос (или да се приближим възможно най-близо в случай на безкрайна дроб). За да направим това, ние постепенно отлагаме единичните сегменти от началото, докато стигнем до желаната точка. След цели сегменти, ако е необходимо, измерваме десети, стотни и по-малки дроби, така че съвпадението да е възможно най-точно. В резултат на това получихме десетична дроб, която съответства на дадена точка на координатната ос.

По-горе показахме чертеж с точка М. Погледнете го отново: за да стигнете до тази точка, трябва да измерите един единичен сегмент и четири десети от него от нулата, тъй като тази точка съответства на десетичната дроб 1, 4.

Ако не можем да стигнем до точка в процеса на десетично измерване, това означава, че тя съответства на безкрайна десетична дроб.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter