Причини за загуба на корени при решаване на уравнения. Външни корени на уравнението, отсяване на външни корени

Основни методи за решаване на уравнения

Какво е решение на уравнение?

Трансформация на идентичността. Основен

видове тъждествени трансформации.

чужд корен. Загуба на корен.

Решение на уравнението е процес, състоящ се главно в замяна на дадено уравнение с друго уравнение, което е еквивалентно на него . Такава замяна се наричатрансформация на идентичността . Основните трансформации на идентичността са следните:

Замяна на един израз с друг, тъждествено равен на него. Например уравнението (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 може да се замени със следния еквивалент:9 х 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10 .

Прехвърляне на членове на уравнението от едната страна в другата с противоположни знаци. И така, в предишното уравнение можем да прехвърлим всички негови членове от дясната страна в лявата страна със знака „-“: 9 х 2 + 12 x + 4 – 15 х- 10 = 0, след което получаваме:9 х 2 – 3 х- 6 = 0 .

Умножение или деление на двете страни на уравнение с един и същи израз (число), различен от нула. Това е много важно, т.кновото уравнение може да не е еквивалентно на предишното, ако изразът, с който умножаваме или делим, може да е равен на нула.

ПРИМЕР Уравнениетох- 1 = 0 има един коренx= 1.

Умножавайки двете страни пох- 3 , получаваме уравнението

( х- 1)( х- 3) = 0, което има два корена:x= 1 их = 3.

Последната стойност не е коренът на даденото уравнение

х- 1 = 0. Това е т.нарвъншен корен .

Обратно, разделението може да доведе дозагуба на корен . Така

в нашия случай, акох- 1 )( х- 3 ) = 0 е оригиналът

уравнение, след това коренътx= 3 ще бъдат загубени при разделяне

двете страни на уравнениетох- 3 .

В последното уравнение (точка 2) можем да разделим всичките му членове на 3 (не на нула!) и накрая да получим:

3 х 2 - х - 2 = 0 .

Това уравнение е еквивалентно на оригиналното:

(3 x+ 2) 2 = 15 x + 10 .

Могаповдигнете двете страни на уравнението на нечетна степен илиизвлечете нечетен корен от двете страни на уравнението . Трябва да се помни, че:

а) ерекциядори степен може да причинидо придобиване на външни корени ;

б)грешно екстракциядори корен може да доведе дозагуба на корени .

ПРИМЕРИ. Уравнение 7х = 35 има един коренх = 5 .

Като повдигнем на квадрат двете страни на това уравнение, получаваме

уравнението:

49 х 2 = 1225 .

с два корена:х = 5 Их = – 5. Последна стойност

е чужд корен.

погрешно вземане на корен квадратен от двете

части от уравнение 49х 2 = 1225 води до 7х = 35,

и губим коренах = – 5.

Правилно вземането на корен квадратен води до

уравнение: | 7х | = 35, А следователно два случая:

1) 7 х = 35, Тогавах = 5 ; 2) – 7 х = 35, Тогавах = – 5 .

Следователно, когатоправилно извличане на квадрат

корен не губим корените на уравнението.

Какво означававярно екстракт корен? Тук се срещаме

с много важна концепцияаритметичен корен

(см. ).

ЗЪБИ. Зъбите на гръбначните животни по своята структура и развитие са напълно подобни на плакоидните люспи, които покриват цялата кожа на акулите. Тъй като цялата устна кухина и отчасти фарингеалната кухина са облицовани с ектодермален епител, типичен плакоид ... ...

БЕЛОДРОБНА ТУБЕРКУЛОЗА- БЕЛОДРОБНА ТУБЕРКУЛОЗА. Съдържание: I. Патологична анатомия ........... 110 II. Класификация на белодробната туберкулоза.... 124 III. Клиника ..................... 128 IV. Диагноза .................. 160 V. Прогноза .................. 190 VI. Лечение... Голяма медицинска енциклопедия

ОТРАВЯНЕ- ОТРАВЯНЕ. Под отравяне се разбират „разстройства на функциите на животните. организми, причинени от екзогенни или ендогенни, химически или физикохимично активни вещества, които са чужди по отношение на качество, количество или концентрация ... ... Голяма медицинска енциклопедия

Нодулни бактерии на бобови растения- Палеонтологичните данни показват, че най-старите бобови растения, които са имали нодули, са някои растения, принадлежащи към групата Eucaesalpinioideae. В съвременните видове бобови растения са открити възли ... Биологична енциклопедия

Списък с епизоди на анимационния сериал "Luntik"- В тази статия липсват връзки към източници на информация. Информацията трябва да може да се провери, в противен случай може да бъде поставена под съмнение и премахната. Можете да ... Уикипедия

РАСТЕНИЕ И ОКОЛНА СРЕДА- Животът на растението, както на всеки друг жив организъм, е сложен набор от взаимосвързани процеси; най-значимият от тях, както е известно, е обменът на вещества с околната среда. Околната среда е източникът, от който ... ... Биологична енциклопедия

Списък на епизодите от поредицата "Luntik"- Основна статия: Приключенията на Лунтик и неговите приятели Съдържание 1 Брой епизоди 2 Списък с епизоди на анимационния сериал Лунтик и неговите приятели ... Уикипедия

Болести по овощните дървета- Овощните дървета, поради постоянните грижи на човек, би трябвало да достигнат много по-стара възраст от техните некултивирани роднини, ако не бяха противодействащите влияния на много условия на самата култура, а именно изискванията, които налагаме ... .. .

изсичане на гори- V. гори, или извличането на горски доход под формата на дървесина и кора, може да се извърши по два начина: чрез изкопаване или изкореняване на цели дървета, тоест стволове заедно с корени, или отделно, на части, първо паднали , или са премахнати от ... ... Енциклопедичен речник F.A. Brockhaus и I.A. Ефрон

пени- (полски grosz, от немски Groschen, от латински grossus (dēnārius) "дебел денарий") монета от различни страни и времена. Съдържание 1 Появата на стотинка ... Wikipedia

американски монети- 20 долара St. Gaudens е най-красивата и скъпа монета на САЩ. Американските монети се секат в монетния двор на САЩ. Издава се от 1792 ... Wikipedia

Книги

Основните причини за косопад при жените, Алексей Мичман, Шест от десет жени страдат от проблема с косопада в някакъв момент от живота си. Косопадът може да възникне поради редица причини като наследственост, хормонални промени в... Категория:

§ 1. ИЗГУБЕНИ И ЧУЖДИ КОРЕНИ ПРИ РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ (ЧРЕЗ ПРИМЕРИ)

МАТЕРИАЛ ЗА СПРАВКА

1. В двете теореми от раздел 3 на глава VII беше казано кои действия върху уравненията не нарушават тяхната еквивалентност.

2. Помислете сега за такива операции върху уравнения, които могат да доведат до ново уравнение, което не е еквивалентно на първоначалното уравнение. Вместо общи съображения, ние се ограничаваме да разгледаме само конкретни примери.

3. Пример 1. Дадено е уравнение. Нека отворим скобите в това уравнение, преместим всички членове в лявата страна и решим квадратното уравнение. Корените му са

Ако намалим двете части на уравнението с общ множител, тогава получаваме уравнение, което не е еквивалентно на оригиналното, тъй като има само един корен

По този начин намаляването на двете страни на уравнението с фактор, съдържащ неизвестното, може да доведе до загуба на корените на уравнението.

4. Пример 2. Дадено е уравнение. Това уравнение има един корен. Повдигаме на квадрат двете части на това уравнение, получаваме Решавайки това уравнение, намираме два корена:

Виждаме, че новото уравнение не е еквивалентно на първоначалното уравнение. Коренът е коренът на уравнението, което след повдигане на квадрат на двете части води до уравнението

5. Външни корени могат да се появят и когато двете страни на уравнението се умножат по фактор, съдържащ неизвестното, ако този фактор изчезне за реални стойности на x.

Пример 3. Ако умножим двете части на уравнението по тогава, получаваме ново уравнение, което след прехвърляне на члена от дясната страна в лявата страна и разлагането му на множители, дава уравнение, откъдето или

Коренът не удовлетворява уравнение, което има един корен

От това заключаваме: при квадратиране на двете части на уравнението (като цяло до равна степен), както и при умножаване с фактор, съдържащ неизвестното и изчезване при реалните стойности на неизвестното, могат да се появят външни корени.

Всички съображения, изразени тук по въпроса за загубата и появата на външни корени на уравнение, се отнасят еднакво за всякакви уравнения (алгебрични, тригонометрични и т.н.).

6. Уравнението се нарича алгебрично, ако върху неизвестното се извършват само алгебрични операции - събиране, изваждане, умножение, деление, повдигане на степен и извличане на корен с естествен показател (още повече, че броят на тези операции е краен).

Така например уравненията

са алгебрични, а уравненията

Темата за тригонометричните уравнения започва с училищна лекция, която е изградена под формата на евристичен разговор. В лекцията се разглежда теоретичен материал и примери за решаване на всички типични задачи по план:

Най-простите тригонометрични уравнения.
Основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.
Хомогенни уравнения.

В следващите уроци започва самостоятелно развитие на умения, основано на прилагането на принципа на съвместната дейност на учителя и ученика. Първо се поставят цели на учениците, т.е. определя се кой иска да знае не повече от това, което се изисква от държавния стандарт, и кой е готов да направи повече.

Крайната диагностика се създава, като се вземе предвид диференциацията на нивата, което позволява на учениците съзнателно да определят минималните знания, необходими за получаване на оценка „3“. Въз основа на това се избират многостепенни материали за диагностика на знанията на учениците. Такава работа позволява да се извърши индивидуален подход към учениците, да се включат всички в съзнателни учебни дейности, да се формират умения за самоорганизация и самообучение и да се осигури преход към активно, независимо мислене.

Семинарът се провежда след отработване на основните умения за решаване на тригонометрични уравнения. Няколко часа преди семинара на студентите се задават въпроси, които ще бъдат разгледани на него.

Семинарът се състои от три части.

1. В уводната част се разглежда целият теоретичен материал, включително въведение в проблемите, които ще възникнат при решаването на сложни уравнения.

2. Във втората част разглеждаме решението на уравнения от вида:

и cosx + bsinx = c.
a(sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
уравнения, решени чрез понижаване на степента.

В тези уравнения се използват универсално заместване, формули за намаляване на степента и методът на спомагателния аргумент.

3. Третата част се занимава с проблемите на загубата на корени и придобиването на чужди корени. Показва как да изберете корените.

Учениците работят по групи. За решаване на примерите се викат добре обучени момчета, които могат да покажат и обяснят материала.

Семинарът е предназначен за добре подготвен студент, т.к. той се занимава с въпроси, които донякъде са извън обхвата на програмния материал. Той включва уравнения от по-сложен вид, като специално внимание се отделя на проблемите, които възникват при решаването на сложни тригонометрични уравнения.

Семинарът се проведе за ученици от 10-11 клас. Всеки ученик имаше възможност да разшири и задълбочи знанията си по тази тема, да сравни нивото на своите знания не само с изискванията за завършил училище, но и с изискванията за кандидатите за V.U.Z.

СЕМИНАР

Предмет:"Решение на тригонометрични уравнения"

Цели:

Обобщете знанията за решаване на тригонометрични уравнения от всички видове.
Съсредоточете се върху проблемите: загуба на корени; външни корени; избор на корен.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА.

Въведение

1. Основни методи за решаване на тригонометрични уравнения

Факторизация.
Въвеждане на нова променлива.
Функционално-графичен метод.

2. Някои видове тригонометрични уравнения.

Уравнения, които се свеждат до квадратни уравнения по отношение на cos x \u003d t, sin x \u003d t.

Asin 2x + Bcosx + C = 0; Acos 2x + Bsinx + C = 0.

Те се решават чрез въвеждане на нова променлива.

Хомогенни уравнения от първа и втора степен

Уравнение от първа степен: Asinx + Bcosx = 0 делено на cos x, получаваме Atg x + B = 0

Уравнение от втора степен: Като 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 делено на cos 2 x, получаваме Atg 2 x + Btgx + C = 0

Те се решават чрез метода на факторизация и метода на въвеждане на нова променлива.

Прилагат се всички методи.

Понижаване:

1). Acos2x + Bcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2x = C.

Те се решават по метода на факторизацията.

2). Asin2x + Bsin2x = C; Asin2x + Bcos 2x = C.

Тип уравнение: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Приведено до квадрат по отношение на t = sinx + cosx; sin2x \u003d t 2 - 1.

3. Формули.

х + 2n; Необходима е проверка!

Понижаване: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 - cos 2x): 2
Метод на спомагателни аргументи.

Нека заменим Acosx + Bsinx с Csin (x +), където sin = a/C; cos=w/c;

е спомагателен аргумент.

4. Правила.

Видях квадрат - намалете градуса.
Видях работата - направете сумата.
Видях сумата - свършете работата.

5. Загуба на корени, допълнителни корени.

Загуба на корен: разделете на g(x); опасни формули (универсално заместване). Тези операции стесняват областта на дефиниране.

Допълнителни корени: повишаване на четна степен; умножете по g (x) (отърваваме се от знаменателя). С тези операции разширяваме областта на дефиницията.

II. Примери за тригонометрични уравнения

1. Уравнения от формата Asinx + Bcosx = C

1) Универсално заместване.O.D.Z. x е всяко.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tg x = –1/3, x = arctg (–1/3) + k, k Z.

Преглед: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 - 1 + 1 = 0.

x \u003d / 2 + n, n e Z. Е коренът на уравнението.

Отговор: x \u003d arctg (-1/3) + k, k Z. x \u003d / 2 + n, n Z.

2) Функционално-графичен метод. О.Д.З. x е всяко.

sinx - cosx = 1
sinx = cosx + 1.

Нека изградим графики на функции: y = sinx, y = cosx + 1.

Отговор: x \u003d / 2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Въвеждане на спомагателен аргумент. O.D.Z.: x - произволен.

8 cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, защото (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, тогава съществува такова, че sin = 8/17,

cos \u003d 15/17, тогава sin cosx + sinx cos \u003d 1; = arcsin 8/17.

Отговор: x = /2 + 2n - , x = /2 + 2n - arcsin 8/17, n Z.

2. Понижаване: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z .: x - произволен.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x=0, cos3x=0, cosx=0.

Отговор: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

При

k = 1 и m = 0
k = 4 и m = 1.

сериен мач.

3. Свеждане до еднородното. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x - произволен.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x - 5 sin 2 x - 5 cos 2 x \u003d 0
3 sinxcosx + cos 2 x \u003d 0 (1) не може да бъде разделено на cos 2 x, тъй като губим корените.
cos 2 x = 0 удовлетворява уравнението.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0, 3 sinx + cosx = 0.
x \u003d / 2 + k, k Z. tgx \u003d -1/3, x \u003d - / 6 + n, n Z.

Отговор: x \u003d / 2 + k, k Z. , x \u003d - / 6 + n, n Z

4. Уравнение във формата: A (sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x - 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x е всяко.
sinx + cosx \u003d t, sin2x \u003d t 2 - 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 - 5t + 2 \u003d 0. t 1 \u003d 2, t 2 \u003d S.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx + sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(-/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 \u003d (–1) k arcsin (1/2 O 2) + k, k Z.

Отговор: x \u003d (-1) k arcsin (1/22) - / 4 + k, k Z.

5. Разлагане на множители.

1) cos 2 x - 2 cosx \u003d 4 sinx - sin2x
cosx(cosx - 2) = 2 sinx (2 - cosx),
(cosx - 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, няма корени.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Отговор: x = arctg(1/2) + n, nZ.

III. Проблеми, възникващи при решаване на тригонометрични уравнения

1. Загуба на корени: разделете на g(x); използвайте опасни формули.

1) Намерете грешката.

1 - cosx = sinx * sinx / 2,
1 - cosx \u003d 2sin 2 x / 2 формула.
2 sin 2 x / 2 \u003d 2 sinx / 2 * cosx / 2 * sinx / 2 делено на 2 sin 2 x / 2,
1 = cosx/2
x / 2 \u003d 2n, x \u003d 4n, n "Z.
Загубени корени sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Правилно решение: 2sin 2 x / 2 (1 - cosx / 2) \u003d 0.

sin 2 x/2 = 0
x = 2k, kZ.

1 – cosx /2 = 0
x = 4p n, n Z.

2. Външни корени: отървете се от знаменателя; повдигнат на четна степен.

1). (sin4x - sin2x - cos3x + 2sinx - 1) : (2sin2x - 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2.

2cos3x sinx - cos3x + 2sinx - 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx - 1) = 0

1). cos3x + 1 = 0
x \u003d / 3 + 2n / 3, n Z.

2). 2sinx - 1 = 0
x = (–1) k /6 + k, k Z.