Примери за принципа на д'Аламбер за механична система. Как да формулираме принципа на д'Аламбер

Когато една материална точка се движи, нейното ускорение във всеки момент от времето е такова, че дадените (активни) сили, приложени към точката, реакциите на връзките и фиктивната сила на Д'Аламбер Ф = - м образуват балансирана система от сили.

Доказателство.Нека разгледаме движението на несвободна материална точка с маса Tв инерциална отправна система. Според основния закон на динамиката и принципа на освобождаване от връзките имаме:

където F е резултантната на дадените (активни) сили; N е резултатът от реакциите на всички връзки, наложени върху точката.

Лесно е да се трансформира (13.1) във формата:

Вектор Ф = - ченаречена сила на инерцията на д'Аламбер, сила на инерцията или просто Силата на Д'Аламбер.По-долу ще използваме само последния термин.

Уравнение (13.3), изразяващо принципа на д'Аламбер в символна форма, се нарича кинетостатично уравнениематериална точка.

Лесно е да се получи обобщение на принципа на д'Аламбер за механична система (система Пматериални точки).

За всеки Да сеточка на механичната система, равенството (13.3) е изпълнено:

Където ? Да се ​​-резултатна от дадени (активни) сили, действащи върху Да сета точка; н Да се ​​-резултат от реакциите на връзките, наложени върху к-тоточка; Е k = - така че k- Силата на Д'Аламбер Да сета точка.

Очевидно е, че ако условията на равновесие (13.4) са изпълнени за всяка тройка сили F*, N* : , Ф* (Да се = 1,. .., П), след това цялата система 3 Псила

е балансиран.

Следователно, когато една механична система се движи във всеки момент от времето, активните сили, приложени към нея, реакциите на връзките и силите на Даламберт на точките на системата образуват балансирана система от сили.

Силите на системата (13.5) вече не са конвергентни, следователно, както е известно от статиката (раздел 3.4), необходимите и достатъчни условия за нейното равновесие имат следния вид:

Уравнения (13.6) се наричат ​​кинетостатични уравнения на механична система. За изчисления се използват проекции на тези векторни уравнения върху оси, минаващи през моментната точка ОТНОСНО.

Забележка 1. Тъй като сумата от всички вътрешни сили на системата, както и сумата от техните моменти спрямо всяка точка са равни на нула, тогава в уравнения (13.6) е достатъчно да се вземат предвид само реакциите външенвръзки.

Кинетостатичните уравнения (13.6) обикновено се използват за определяне на реакциите на връзките на механична система, когато е дадено движението на системата и следователно са известни ускоренията на точките на системата и силите на Даламбер, които зависят от тях .

Пример 1.Намерете реакции на подкрепа АИ INвал, когато се върти равномерно с честота 5000 об./мин.

Точковите маси са здраво свързани към вала личен лекар= 0,1 кг, t 2 = 0,2 кг. Известни размери AC - CD - DB = 0,4 м, ч= 0,01 м. Масата на вала се счита за незначителна.

Решение.За да използваме принципа на Д'Аламбер за механична система, състояща се от две точкови маси, ние посочваме в диаграмата (фиг. 13.2) дадените сили (сили на гравитацията) Gi, G 2, реакционните реакции N4, N# и силите на Даламбер Ф |, Ф 2.

Посоките на силите на Д'Аламбсров са противоположни на ускоренията на точкови маси T b t 2uкоито равномерно описват окръжности с радиус чоколо оста ABвал

Намираме величините на гравитацията и силите на Даламбров:

Тук ъгловата скорост на вала съ- 5000* l/30 = 523,6 s Проектиране на кинетостатичните уравнения (13.6) върху декартови оси А, да, Аз, получаваме условията за равновесие на плоска система от успоредни сили Gi, G 2, 1Чд, N tf, Фь Ф 2:

От моментното уравнение, което намираме N в = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w „

272 N, и от проекционното уравнение върху

ос Да: Нa = -N B +G,+G 2 +F,-F 2 = 272 + 0,98 +1,96 + 274-548 =0,06 N.

Кинетостатичните уравнения (13.6) могат да се използват и за получаване на диференциални уравнения на движение на системата, ако са съставени по такъв начин, че да се елиминират реакциите на принуда и в резултат на това става възможно да се получи зависимостта на ускоренията от дадено сили.

Принципът на Д'Аламбер ни позволява да сведем процеса на съставяне на динамични уравнения до съставяне на статични уравнения.

Този принцип, който ще представим тук за свободна материална точка и за точка, движеща се по повърхност или по крива, е приложим за всяка задача в динамиката. Това ще ни позволи да обобщим цялата теория за движението на точката.

Да разгледаме материална точка M с маса, която е под въздействието на сили, чиято резултантна има проекции.Уравненията на движението на тази точка могат да бъдат записани по следния начин:

Ще разгледаме заедно с векторите, представляващи сили, приложени към точка М, вектор с проекции - Този вектор, числено равен на произведението на масата и ускорението и насочен противоположно на ускорението, се нарича сила на инерцията, въпреки че това по никакъв начин да бъде сила, приложена към точката. Тогава уравненията изразяват, че геометричната сума на векторите и е равна на нула или че във всеки момент от време има равновесие между силата на инерцията и силите, действително приложени към точката.

Извеждане на уравненията на движението от принципа на д'Аламбер. Въз основа на току-що казаното, за да се намерят уравненията на движение на точка при всякакви условия, е достатъчно да се изрази, че има равновесие между всички сили, приложени към точката, и силата на инерцията. Но това може да се направи с помощта на статични методи. Можете например да приложите теоремата за възможностите за работа. За да направите това, е необходимо да се прави разлика между силите, приложени към дадена точка, посочените сили и реакциите на връзките. Нека обозначим проекциите на дадени сили.

За да напишем, че има равновесие между силите, действащи върху дадена точка, и силата на инерцията, е достатъчно да напишем, че при

всички възможни движения, позволени от връзките, съществуващи в момента, сумата от работата на дадените сили и инерционната сила е равна на нула:

Трябва да се разграничат три случая:

1°. Безплатна точка. произволен. Ако, както в параграф 282, се използва произволна координатна система, тогава, замествайки с вариации, получаваме:

където са произволни.

Замествайки в равенство (2) и приравнявайки резултата на нула за произволно, получаваме уравненията на движение във формата, посочена в параграф 282, от които изведехме уравненията на Лагранж за свободна точка.

2°. Точка на повърхността. Позволявам

е уравнението на повърхност, която за общо взето се приема, че се движи. Като даваме на променлива конкретна стойност, виждаме, че трябва да изпълним условието

изразявайки, че възможното движение е позволено от връзката, съществуваща в момента.Ако, както в параграф 263, изразим координатите на повърхностна точка във функции на два параметъра, тогава получаваме

и връзката (2) трябва да се осъществи, независимо какви са.По този начин ще се получат уравненията на движението във формата (4) на параграф 263. 3°. Точка на крива. Позволявам

Определение 1

Принципът на Д'Аламбер е един от основните принципи на динамиката в теоретичната механика. Съгласно този принцип, при условие че силата на инерцията се добави към силите, активно действащи върху точките на механичната система и реакциите на насложените връзки, се получава балансирана система.

Този принцип е кръстен на френския учен Ж. д'Аламбер, който за първи път предлага неговата формулировка в работата си "Динамика".

Дефиниция на принципа на д'Аламбер

Бележка 1

Принципът на Д'Аламбер е следният: ако към активната сила, действаща върху тялото, се приложи допълнителна инерционна сила, тялото ще остане в равновесно състояние. В този случай общата стойност на всички сили, действащи в системата, допълнена от вектора на инерцията, ще получи нулева стойност.

Съгласно този принцип за всяка i-та точка на системата равенството става вярно:

$F_i+N_i+J_i=0$, където:

• $F_i$ е силата, действаща активно в тази точка,
• $N_i$ - реакция на връзката, наложена върху точката;
• $J_i$ е инерционната сила, определена по формулата $J_i=-m_ia_i$ (насочена е противоположно на това ускорение).

Всъщност отделно за всяка разглеждана материална точка $ma$ се прехвърля отдясно наляво (вторият закон на Нютон):

$F=ma$, $F-ma=0$.

$ma$ в този случай се нарича инерционна сила на д'Аламбер.

Понятието инерционна сила е въведено от Нютон. Според разсъжденията на учения, ако една точка се движи под въздействието на сила $F=ma$, тялото (или системата) става източник на тази сила. В този случай, съгласно закона за равенство на действието и реакцията, ускорената точка ще въздейства върху ускоряващото я тяло със сила $Ф=-ma$. Нютон дава на тази сила името на инерционната система на точка.

Силите $F$ и $Ф$ ще бъдат равни и противоположни, но приложени към различни тела, което изключва тяхното събиране. Инерционната сила не засяга пряко точката, тъй като за нея тя представлява фиктивна сила. В този случай точката ще остане в покой, ако освен силата $F$ върху точката действа и силата $Ф$.

Бележка 2

Принципът на D'Alembert позволява да се използват по-опростени статични методи при решаване на проблеми с динамиката, което обяснява широкото му използване в инженерната практика. На този принцип се основава кинетостатичният метод. Особено удобно е да се използва с цел установяване на реакциите на връзките в ситуация, когато законът на протичащото движение е известен или се получава чрез решаване на съответните уравнения.

Разновидност на принципа на д’Аламбер е принципът на Херман-Ойлер, който всъщност е форма на този принцип, но е открит преди публикуването на работата на учения през 1743 г. В същото време принципът на Ойлер не се разглежда от неговия автор (за разлика от принципа на д'Аламбер) като основа за общ метод за решаване на проблемите на движението на механични системи с ограничения. Принципът на D'Alembert се счита за по-подходящ за използване, когато е необходимо да се определят неизвестни сили (за решаване на първия проблем на динамиката).

Принцип на Д'Аламбер за материална точка

Разнообразието от видове проблеми, решавани в механиката, изисква разработването на ефективни методи за съставяне на уравнения на движение на механични системи. Един от тези методи, който позволява да се опише движението на произволни системи чрез уравнения, се счита за принципа на д'Аламбер в теоретичната механика.

Въз основа на втория закон на динамиката, за несвободна материална точка записваме формулата:

$m\bar(a)=\bar(F)+\bar(R)$,

където $R$ представлява реакцията на свързване.

Вземане на стойността:

$\bar(Ф)=-m\bar(a)$, където $Ф$ е инерционната сила, получаваме:

$\bar(F)+\bar(R)+\bar(Ф)=0$

Тази формула е израз на принципа на д'Аламбер за материална точка, според който за точка, движеща се във всеки момент от времето, геометричната сума на активните сили, действащи върху нея, и силата на инерцията получава нулева стойност. Този принцип ви позволява да пишете статични уравнения за движеща се точка.

Принцип на Д'Аламбер за механична система

За механична система, състояща се от $n$-точки, можем да напишем $n$-уравнения от вида:

$\bar(F_i)+ \bar(R_i)+\bar(Ф_i)=0$

Чрез сумиране на всички тези уравнения и въвеждане на следната нотация:

които са главните вектори съответно на външните сили, реакциите на свързване и инерционните сили, получаваме:

$\sum(F_i)+\sum(R_i)+\sum(Ф_i)=0$, т.е.

$FE + R + Ф = 0$

Условието за равновесно състояние на твърдо тяло е нулевата стойност на главния вектор и момент на действащите сили. Като вземем предвид тази позиция и теоремата на Вариньон за момента на резултата, в резултат записваме следната връзка:

$\sum(riF_i)+\sum(riR_i)+\sum(riФ_i) = 0$

Нека приемем следната нотация:

$\sum(riF_i)=MOF$

$\sum(riR_i)=MOR$

$\sum(riФ_i)=MOФ$

основните моменти на външните сили, реакцията на връзките и съответно инерционните сили.

В резултат получаваме:

$\bar(F^E)+\bar(R)+\bar(Ф)=0$

$\bar(M_0^F)+\bar(M_0^R)+\bar(M_0^Ф)=0$

Тези две формули са израз на принципа на д'Аламбер за механична система. Във всеки момент за движеща се механична система геометричната сума на главния вектор на реакциите на връзките, външните сили и инерционните сили получава нулева стойност. Геометричната сума на основните моменти от силите на инерцията, външните сили и съединителните реакции също ще бъде нула.

Получените формули са диференциални уравнения от втори ред поради наличието във всяка от тях на ускорение в силите на инерцията (втората производна на закона за движение на точка).

Принципът на Д'Аламбер позволява да се решават динамични проблеми с помощта на статични методи. За една механична система уравненията на движението могат да бъдат записани под формата на уравнения на равновесие. От такива уравнения е възможно да се определят неизвестни сили, по-специално реакциите на връзките (първият проблем на динамиката).

Преглед:тази статия е прочетена 44027 пъти

Pdf Изберете език... Руски Украински Английски

Кратък преглед

Целият материал се изтегля по-горе, след избор на език

Общи принципи на динамиката

Принцип на Херман-Ойлер-Д'Аламбер

Инерционна сила

Принципът на Д'Аламбер (принципът на кинетостатиката) е един от общите принципи на механиката, с помощта на който уравненията на динамиката се придават под формата на уравнения на статиката. Принципът е предложен от Херман през 1716 г. и обобщен от Ойлер през 1737 г.

Материална точка Мсе движи с ускорение под въздействието на приложени сили. Третият закон на динамиката отразява двустранния характер на механичните процеси в природата. Когато две тела си взаимодействат, силите, приложени към всяко от тях, са еднакви по големина и противоположно насочени. Тъй като тези сили се прилагат към различни тела, те не са балансирани. Например, когато някакво тяло взаимодейства Аи точки М, което има маса м, точката получава ускорение. Тяло Адейства върху точка Мсъс сила F=-ma. Според закона за действието и реакцията материална точка Мвлияе на тялото Асъс сила Ф=-F=-ma, което се нарича сила на инерцията.

Инерционна сила или сила на д'Аламбер- векторна величина, която има размерността на силата, е равна по големина на произведението на масата на точка и нейното ускорение и е насочена срещу това ускорение.

Принцип на Д'Аламбер за материална точка

Ако във всеки един момент добавим силата на инерцията към силите, действително действащи върху материална точка, тогава получената система от сили ще бъде балансирана.

Това означава, че за да се реши проблемът с динамиката според принципа на Херман-Ойлер-Д'Аламберт, трябва, в допълнение към силите, приложени към дадена точка, условно да се приложи инерционна сила към тази точка. прилагането на инерционна сила към точка е конвенционална техника, която намалява проблема с динамиката само под формата на решение на проблем със статиката.

Принцип на Д'Аламбер за система от материални точки

Ако във всеки момент към всяка от точките на системата се приложат съответните инерционни сили, в допълнение към действително действащите върху нея външни и вътрешни сили, тогава получената система от сили ще бъде в равновесие и всички статични уравнения могат да бъдат приложен към него.

Принцип на Д'Аламбер за ограничена механична система

Във всеки момент от времето, за всяка точка от несвободна механична система, в допълнение към силите, действително действащи върху нея, добавете съответните инерционни сили, тогава получената система от сили ще бъде балансирана и всички статични уравнения могат да бъдат приложени към то.

Тоест във всеки момент за всяка точка от несвободна механична система геометричната сума на главните вектори на дадените сили, реакциите на опорите и инерционните сили на материалните точки на системата е равна на нула.

Във всеки момент от време, за всяка точка на несвободна механична система, геометричната сума на главните моменти на дадените сили, реакциите на опорите и силите на инерцията на материалните точки на системата спрямо всеки фиксиран център е нула.

Обобщена форма на уравненията на равновесието според принципа на д'Аламбер

Намаляване на инерционните сили на точки на твърдо тяло до най-простата форма.

Случаи на редуциране на системата от инерционни сили на твърдо тяло до най-простата форма.

Движение напред

По време на постъпателно движение инерционните сили на твърдо тяло се свеждат до една резултатна, минаваща през центъра на масата на тялото и равна по модул на произведението на масата на тялото от модула на ускорението на неговия център на масата и насочен обратно на това ускорение.

Няма въртене около центъра на масата, така че инерционният момент е нула.

Въртеливото движение на тялото около ос, минаваща през центъра на масата на тялото.

Ако тялото се върти около фиксирана ос, минаваща през центъра на масата на тялото, тогава инерционните сили се свеждат до една двойка сили, разположени в равнина, перпендикулярна на оста на въртене.

Тъй като центърът на масата не се движи, главният вектор на инерционните сили е нула.

Плоскопаралелно движение

Когато тялото се движи в равнина, системата от инерционни сили се свежда до сила, приложена в центъра на масата на тялото, и двойка сили. Посоката на инерционния момент е противоположна на ъгловото ускорение на тялото.

Принципът на възможните движения

Принципът на възможните премествания като цяло определя условията на равновесие на всяка механична система, т.е. позволява решаването на проблемите на статиката като проблеми на динамиката.

Движението на точки в несвободна механична система е ограничено от съществуващите връзки. Позицията на системните точки се определя чрез задаване на независими координати.

Независимите величини, чрез задаването на които може еднозначно да се определи положението на всички точки на механичната система, се наричат обобщени координатитази система. По правило броят на обобщените координати на механичната система е равен на броя на степените на свобода на тази система. Например, позицията на всички точки на коляновия механизъм се определя чрез определяне на ъгъла на въртене на манивелата.

Възможни или виртуални движения

Възможни или виртуални движения на системата- това са въображаеми безкрайно малки движения на точки от системата, позволени в момента от връзките, наложени на системата.

Криволинейните движения на точки се заменят с прави сегменти, нанесени тангенциално на траекториите на точките.

Броят на взаимно независимите възможни движения на системата се нарича брой степени на свободатази система.

Възможна или виртуална работа

Възможна (или виртуална) работа− това е елементарната работа, която сила, действаща върху материална точка, би могла да извърши върху преместване, съвпадащо с възможното преместване на тази точка.

Принципът на възможните движения за механична система

За равновесието на механична система с идеални връзки е необходимо и достатъчно сумата от всички действащи сили за всяко възможно движение на системата да е равна на нула.

Уравнението на възможната работа е математически израз на необходимите и достатъчни условия за равновесие на всяка механична система.

Общо уравнение на динамиката

Общо уравнение на динамиката (принцип на Д'Аламбер - Лагранж)

Принципът на възможните премествания, който осигурява общ метод за решаване на статични проблеми, може да се приложи и за решаване на динамични проблеми. Въз основа на принципа на Херман-Ойлер-Д'Аламберт за несвободна механична система, във всеки един момент геометричната сума от резултанта на определените сили, резултата от реакциите на връзките и инерционната сила за всяка точка Mn на механичната система е равно на нула.

Ако системата получи възможно изместване, при което всяка точка има възможно изместване, тогава сумата от работата, извършена от тези сили върху изместването, трябва да бъде равна на нула.

Общо динамично уравнение за система с идеални връзки

Да приемем, че всички връзки в разглежданата механична система са двупосочни и идеални (силите на триене, ако има такива, са включени сред посочените сили). Тогава сумата от работата, извършена от реакциите на връзките върху възможните премествания на системата, е равна на нула.

Когато механична система с идеални връзки се движи във всеки даден момент от времето, сумата от елементарните сили на всички активни (заложени) сили и всички инерционни сили при всяко възможно движение на системата е равна на нула.

Общите уравнения на динамиката позволяват да се съставят диференциални уравнения на движението на всяка механична система. Ако една механична система се състои от отделни твърди тела, тогава инерционните сили на точките на всяко тяло могат да бъдат намалени до сила, приложена в дадена точка на тялото, и двойка сили. Силата е равна на главния вектор на силите на инерцията на точките на това тяло, а моментът на двойката е равен на главния момент на тези сили спрямо центъра на редукция. За да се възползва от принципа на възможните премествания, към всяко тяло се прилагат определени сили, действащи върху него, а също така условно се прилагат сила и двойка, съставени от силите на инерцията на точките на тялото. След това системата се информира за възможно изместване и за целия набор от определени сили и намалени инерционни сили се съставя общо уравнение на динамиката

Формат: pdf

Размер: 600KV

Език: руски, украински

Пример за изчисление на цилиндрично зъбно колело
Пример за изчисляване на цилиндрично зъбно колело. Извършен е избор на материал, изчисляване на допустимите напрежения, изчисляване на контактна и якост на огъване.

Пример за решаване на задача за огъване на лъч
В примера са построени диаграми на напречни сили и огъващи моменти, намерено е опасно сечение и е избран I-лъч. Проблемът анализира изграждането на диаграми с помощта на диференциални зависимости и извърши сравнителен анализ на различни напречни сечения на гредата.

Пример за решаване на задача с усукване на вал
Задачата е да се тества якостта на стоманен вал при даден диаметър, материал и допустимо напрежение. По време на решението се изграждат диаграми на въртящи моменти, напрежения на срязване и ъгли на усукване. Собственото тегло на вала не се взема предвид

Пример за решаване на задача за опън-натиск на прът
Задачата е да се тества якостта на стоманен прът при определени допустими напрежения. По време на решението се изграждат диаграми на надлъжни сили, нормални напрежения и премествания. Собственото тегло на пръта не се взема предвид

Приложение на теоремата за запазване на кинетичната енергия
Пример за решаване на задача с помощта на теоремата за запазване на кинетичната енергия на механична система

Принципът на Д'Аламбер ни позволява да формулираме проблемите на динамиката на механичните системи като проблеми на статиката. В този случай динамичните диференциални уравнения на движение се дават под формата на уравнения на равновесие. Този метод се нарича кинетостатичен метод .

Принципът на Д'Аламбер за материална точка: « Във всеки момент от време движението на материална точка, активните сили, действително действащи върху нея, реакциите на връзките и силата на инерцията, условно приложена към точката, образуват балансирана система от сили»

Чрез инерционната сила на точка наречено векторно количество, което има измерение на сила, равно по големина на произведението на масата на точка и нейното ускорение и насочено противоположно на вектора на ускорението

. (3.38)

Разглеждайки една механична система като набор от материални точки, всяка от които се въздейства, съгласно принципа на Д'Аламбер, от балансирана система от сили, ние имаме последствия от този принцип, приложен към системата. Главният вектор и главният момент спрямо който и да е център на външни сили, приложени към системата, и инерционните сили на всички нейни точки са равни на нула:

(3.39)

Тук външните сили са активните сили и реакции на връзките.

Главен вектор на инерционните силимеханична система е равна на произведението на масата на системата и ускорението на нейния център на масата и е насочена в посока, обратна на това ускорение

. (3.40)

Основен момент на инерционните силисистеми спрямо произволен център ОТНОСНОе равна на производната по време, взета с противоположния знак на нейния ъглов момент спрямо същия център

. (3.41)

За твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос Оз, нека намерим главния момент на инерционните сили спрямо тази ос

. (3.42)

3.8. Елементи на аналитичната механика

Разделът „Аналитична механика“ разглежда общи принципи и аналитични методи за решаване на проблеми в механиката на материалните системи.

3.8.1 Възможни движения на системата. Класификация

някои връзки

Възможни движения на точки
на механична система са всякакви въображаеми, безкрайно малки движения, позволени от връзките, наложени на системата във фиксирана точка във времето. A-приори, брой степени на свобода Механична система се нарича броят на нейните независими възможни движения.

Връзките, наложени на системата, се наричат идеален , ако сумата от елементарните работи на техните реакции върху някое от възможните премествания на точките на системата е равна на нула

. (3. 43)

Извикват се връзки, за които ограниченията, които налагат, се запазват във всяка позиция на системата холдинг . Отношения, които не се променят с времето и чиито уравнения не включват изрично време, се наричат стационарен . Наричат ​​се връзки, които ограничават само движенията на точки в системата геометричен , а граничните скорости са кинематичен . По-нататък ще разгледаме само геометричните връзки и тези кинематични, които чрез интегриране могат да бъдат сведени до геометрични.

3.8.2. Принципът на възможните движения

За равновесието на механична система с поддържащи идеални и стационарни връзки е необходимо и достатъчно, че

сумата от елементарните работи на всички активни сили, действащи върху нея, за всякакви възможни премествания на системата, беше равна на нула

. (3.44)

В проекции върху координатните оси:

. (3.45)

Принципът на възможните премествания позволява да се установят в обща форма условията на равновесие на всяка механична система, без да се отчита равновесието на отделните й части. В този случай се вземат предвид само активните сили, действащи върху системата. Неизвестните реакции на идеални връзки не са включени в тези условия. В същото време този принцип позволява да се определят неизвестни реакции на идеални връзки чрез изхвърляне на тези връзки и въвеждане на техните реакции в броя на активните сили. При отхвърляне на връзки, чиито реакции трябва да бъдат определени, системата придобива допълнителен съответен брой степени на свобода.

Пример 1 . Намерете връзката между силите И жак, ако се знае, че при всяко завъртане на дръжката AB = l, винт СЪСсе разширява със сумата ч(фиг. 3.3).

Решение

Възможните движения на механизма са завъртане на дръжката  и преместване на товара  ч. Условието елементарната работа на силите да е равна на нула:

Пл–Вh = 0;

Тогава
. Тъй като ч 0, тогава

3.8.3. Общо уравнение на вариационната динамика

Разгледайте движението на система, състояща се от нточки. Върху него действат активни сили и реакциите на връзките .(к = 1,…,н) Ако към действащите сили добавим инерционните сили на точките
, тогава, съгласно принципа на д’Аламбер, получената система от сили ще бъде в равновесие и следователно е валиден изразът, написан на базата на принципа на възможните премествания (3.44):

. (3.46)

Ако всички връзки са идеални, тогава втората сума е равна на нула и в проекциите върху координатните оси равенството (3.46) ще изглежда така:

Последното равенство е общо вариационно уравнение на динамиката в проекции върху координатните оси, което ни позволява да съставяме диференциални уравнения на движение на механична система.

Общото вариационно уравнение на динамиката е математически израз принцип на д'Аламбер-Лагранж: « Когато една система се движи, подчинена на стационарни, идеални, задържащи връзки, във всеки даден момент от времето, сумата от елементарните работи на всички активни сили, приложени към системата, и инерционните сили при всяко възможно движение на системата е нула.».

Пример 2 . За механична система (фиг. 3.4), състояща се от три тела, определете ускорението на товара 1 и напрежението на кабела 1-2, ако: м 1 = 5м; м 2 = 4м; м 3 = 8м; r 2 = 0,5Р 2 ; радиус на въртене на блок 2 аз = 1,5r 2. Ролка 3 е непрекъснат хомогенен диск.

Решение

Нека изобразим силите, които извършват елементарна работа върху възможно преместване  стовар 1:

Нека запишем възможните движения на всички тела чрез възможното движение на товар 1:

Нека изразим линейните и ъгловите ускорения на всички тела чрез желаното ускорение на товар 1 (връзките са същите, както при възможните премествания):

.

Общото вариационно уравнение за тази задача има формата:

Замествайки предварително получените изрази за активни сили, инерционни сили и възможни премествания, след прости трансформации получаваме

Тъй като  с 0, следователно изразът в скоби, съдържащ ускорението, е равен на нула А 1 , където а 1 = 5ж/8,25 = 0,606ж.

За да определим напрежението на кабела, държащ товара, освобождаваме товара от кабела, замествайки неговото действие с желаната реакция . Под въздействието на дадени сили ,и инерционната сила, приложена към товара
той е в баланс. Следователно принципът на д’Аламбер е приложим към въпросния товар (точка), т.е. нека запишем това
. Оттук
.

3.8.4. Уравнение на Лагранж от 2-ри род

Обобщени координати и обобщени скорости. Всички взаимно независими параметри, които еднозначно определят позицията на механична система в пространството, се наричат обобщени координати . Тези координати, означени р 1 ,....рмога да имам всяко измерение. По-специално, обобщените координати могат да бъдат измествания или ъгли на завъртане.

За разглежданите системи броят на обобщените координати е равен на броя на степените на свобода. Позиция на всяка точка от системата е еднозначна функция от обобщени координати

По този начин движението на системата в обобщени координати се определя от следните зависимости:

Първите производни на обобщените координати се наричат обобщени скорости :
.

Обобщени сили.Израз за елементарна работа на сила при евентуално преместване
има формата:

.

За елементарното действие на силовата система пишем

Използвайки получените зависимости, този израз може да се запише като:

,

където е обобщената сила, съответстваща на азта обобщена координата,

. (3.49)

По този начин, обобщена сила съответстваща азта обобщена координата, е коефициентът на вариация на тази координата в израза на сумата от елементарните работи на активните сили върху възможното изместване на системата . За да се изчисли обобщената сила, е необходимо да се информира системата за възможно изместване, по време на което се променя само обобщената координата р аз. Коефициент при
и ще бъде желаната обобщена сила.

Уравнения на движение на система в обобщени координати. Нека ни бъде дадена механична система с сстепени на свобода. Познавайки силите, действащи върху него, е необходимо да се съставят диференциални уравнения на движение в обобщени координати
. Нека приложим процедурата за съставяне на диференциални уравнения на движение на системата - уравнения на Лагранж от 2-ри род - по аналогия с извеждането на тези уравнения за свободна материална точка. Въз основа на 2-рия закон на Нютон, ние пишем

Нека получим аналог на тези уравнения, използвайки нотацията за кинетичната енергия на материална точка,

Частична производна на кинетичната енергия по отношение на проекцията на скоростта върху оста
равна на проекцията на импулса върху тази ос, т.е.

За да получим необходимите уравнения, изчисляваме производните по време:

Получената система от уравнения е уравненията на Лагранж от 2-ри род за материална точка.

За механична система представяме уравненията на Лагранж от 2-ри род под формата на уравнения, в които вместо проекции на активни сили П х , П г , П zизползвайте обобщени сили Q 1 , Q 2 ,...,Q i и като цяло отчитат зависимостта на кинетичната енергия от обобщените координати.

Уравненията на Лагранж от 2-ри род за механична система имат формата:

. (3.50)

Те могат да се използват за изследване на движението на всяка механична система с геометрични, идеални и ограничаващи ограничения.

Пример 3 . За механична система (фиг. 3.5), данните за която са дадени в предишния пример, създайте диференциално уравнение на движение, използвайки уравнението на Лагранж от 2-ри вид,

Решение

Механичната система има една степен на свобода. Нека вземем линейното движение на товара като обобщена координата р 1 = s; обобщена скорост – . Като вземем това предвид, ние пишем уравнението на Лагранж от 2-ри род

.

Нека създадем израз за кинетичната енергия на системата

.

Нека изразим всички ъглови и линейни скорости чрез обобщената скорост:

Сега получаваме

Нека изчислим обобщената сила, като съставим израз за елементарната работа върху възможното преместване  свсички активни сили. Без да се вземат предвид силите на триене, работата в системата се извършва само от силата на гравитацията на товара 1
Нека запишем обобщената сила при  с, като коефициент при елементарна работа Q 1 = 5мг. След това ще намерим

И накрая, диференциалното уравнение на движението на системата ще има формата: