Формула на Ойлер за устойчивост на компресирани пръти при критично напрежение. Формула на Ойлер за критична сила

Надлъжно огъване

При изчисляване на якостта беше прието, Какво структурен баланспод въздействието на външни сили е устойчиво. Въпреки това може да възникне структурна повреда поради факта, че равновесиеструктури по една или друга причина се оказва нестабилна. В много случаи, в допълнение към проверката на здравината, е необходимо също да се извърши проверка на стабилносттаструктурни елементи.

Разглежда се състоянието на равновесие устойчиви, ако за всяко възможно отклонение на системата от равновесното положение възникват сили, които се стремят да го върнат в първоначалното му положение.

Нека разгледаме известните видове равновесие.

Нестабилнаравновесие състояниеще бъде в случай, когато по време на поне едно от възможните отклонения на системата от равновесното положение възникнат сили, опитвайки се да го отстрани от първоначалното му положение.

Състоянието на равновесие ще бъде безразличен, ако при различни отклонения на системата от равновесното положение възникват сили, които се стремят да я върнат в първоначалното положение, но при поне едно от възможните отклонения системата продължава да остава в равновесие при липса на сили, стремящи се да се върнат в първоначалното положение или го извадете от това положение.

При загуба на стабилност, промени в естеството на работата на конструкцията,тъй като този вид деформация се трансформира в друга, по-опасна, способна да доведе до разрушаване при натоварване, значително по-малко от очакваното от якостното изчисление. Много показателно е, че загубата на стабилност е придружена от увеличаване на големите деформации, следователно това явление има катастрофален характер.

При прехода от стабилно равновесно състояние към нестабилно структурата преминава през състояние на безразлично равновесие. Ако на структура в това състояние се даде известно леко отклонение от първоначалната позиция, тогава след прекратяване на действието на причината, която е причинила това отклонение, конструкцията вече няма да се върне в първоначалната си позиция, но ще може да поддържа новата позиция, зададена към него поради отклонението.

Състоянието на безразлично равновесие, което представлява като че ли границата между две основни състояния - устойчиво и нестабилно, се нарича критично състояние.Натоварването, при което конструкцията поддържа състояние на безразлично равновесие, се нарича критично натоварване.

Експериментите показват, че обикновено е достатъчно леко да се увеличи натоварването спрямо критичната му стойност, за да може конструкцията да загуби своята носеща способност поради големи деформации и да се разруши. В строителната техника загубата на стабилност дори на един конструктивен елемент води до преразпределение на силите в цялата конструкция и често води до злополука.

Огъването на пръта, свързано със загуба на стабилност, се нарича надлъжно огъване.

Критична сила. Критично напрежение

Най-малката стойност на силата на натиск, при която първоначалната форма на равновесие на пръта - праволинейна - става нестабилна - извита - се нарича критична.

В изследването на устойчивостта на равновесните форми на еластичните системи бяха направени първите стъпки Ойлер.

IN еластичен етапдеформация на пръта под напрежение, не надхвърля границата на пропорционалност, критичната сила се изчислява от Формула на Ойлер:

Където Аз съм в – минимален инерционен момент на сечението на пръта(поради факта, че огъването на пръта се извършва в равнината с най-малка твърдост), но изключения могат да бъдат само в случаите, когато условията за закрепване на краищата на пръта са различни в различните равнини, ℓ - геометрични дължинапрът, μ – или (в зависимост от методите за закрепване на краищата на пръта), Стойности μ са дадени под съответната схема за закрепване на прътите

Критично напрежениесе изчислява по следния начин

, Където гъвкавостпрът,

А радиус на въртене на сечението.

Нека представим концепцията изключителна гъвкавост.

величина λ преди зависи само от вида на материала:

Ако стомана 3 д=2∙10 11 Pa, и σ pts =200 MPa, Че изключителна гъвкавост

За дърво (бор, смърч) изключителна гъвкавостλ пред=70, за чугун λ пред=80

По този начин, за силно гъвкави пръти λ≥λ преди критичната сила се определя от Формула на Ойлер.

В еластопластичния етап на деформация на пръта, когато стойността на гъвкавостта е в диапазона λ 0 ≤λ≤λ pr,(пръчки със средна гъвкавост) изчислението се извършва съгласно емпирични формули, например, можете да използвате формулата на Yasinsky F.S. Стойностите на въведените в него параметри се определят емпирично за всеки материал.

σ к =а-bλ,или F кр= А(а— bλ)

Където аИ b– константи, определени експериментално () Така за стомана3 А=310MPa, b=1,14 MPa.

При стойности на гъвкавостта на пръта 0≤λ≤λ 0(въдици с ниска гъвкавост) не се наблюдава загуба на стабилност.

По този начин границите на приложимост Формули на Ойлер — Използва се само в зоната на еластични деформации.

Условие на стабилност. Видове задачи при изчисляване на устойчивост.

Условие на стабилносткомпресиран прът е неравенството:

Тук допустимо напрежение на устойчивост [σ устата] не е постоянна стойност, както беше при условия на здравина, но в зависимост от следното фактори:

1) по дължината на пръта, по размерите и дори по формата на напречните сечения,

2) относно метода за закрепване на краищата на пръта,

3) върху материала на пръта.

Като всяка допустима стойност, [σ устата] се определя от съотношението на напрежението, опасно за компресиран прът, към коефициента на безопасност. За компресиран прът, т.нар критичен стрес σ кр, при което прътът губи стабилността на първоначалната форма на равновесие.

Ето защо

Стойността на коефициента на безопасност при проблеми със стабилността се приема малко по-голяма от стойността, т.е. ако к=1÷2, тогава кустата=2÷5.

Допустимото напрежение за стабилност може да бъде свързано с допустимото напрежение за якост:

В такъв случай ,

Където σт– напрежение, което е опасно от гледна точка на якостта (за пластмасовите материали това е границата на провлачване, а за крехките материали това е якостта на натиск σ слънце ).

Коефициент φ<1 и затова се нарича коефициент на намаляване на основното допустимо напрежение, тоест [σ] по отношение на силата, или иначе

С това казано условие за стабилност на компресиран прътприема формата:

Избират се числени стойности на коефициента φ от таблиците в зависимост от материала и степента на гъвкавостпрът, където:

μ – намален коефициент на дължина(зависи от методите за закрепване на краищата на пръта), ℓ - геометрични дължинапрът,

аз – радиус на въртененапречно сечение спрямо една от главните централни оси на сечението, около което напречните сечения ще се въртят, след като натоварването достигне критична стойност.

Коефициент φ варира в диапазона 0≤φ≤1, зависи, както вече беше споменато, както от физичните и механичните свойства на материала, така и от гъвкавостта λ. Връзки между φ и λза различни материали обикновено се представят в таблична форма на стъпки ∆λ=10.

При изчисляване на стойностите на φ за пръти със стойности на гъвкавост, които не се делят на 10, приложете правило за линейна интерполация.

Стойности на коефициента φ в зависимост от гъвкавостта λ за материалите

Въз основа на условията за стабилност решаваме три вида задачи:

1. Проверка на стабилността.
2. Избор на секция.
3. Определяне на допустимото натоварване(или безопасно натоварване, или капацитет на натоварване на пръта: [Е]=φ[σ] А .

Най-трудният проблем е решаването на проблема с избора на раздел, тъй като необходимата площ на напречното сечение е включена както в лявата, така и в дясната страна на условието за стабилност:

Само от дясната страна на това неравенство е площта на напречното сечение в неявна форма: тя е включена във формулата за радиус на въртене, който от своя страна е включен във формулата за гъвкавост, от която зависи стойността на коефициента на изкълчване φ . Затова тук трябва да използваме метода проба-грешка, изразен във формата метод на последователни приближения:

1 опит: чудим се φ1 от средната зона на масата, намираме, определяме размерите на сечението, изчисляваме, след това гъвкавостта, определяме от таблицата и сравняваме със стойността φ1. Ако , тогава.

Иркутски държавен транспортен университет

Лабораторна работа №16

по дисциплина "Съпротивление на материалите"

ЕКСПЕРИМЕНТАЛНО ОПРЕДЕЛЯНЕ НА КРИТИЧНИТЕ СИЛИ

С НАДЪЛЖНО ОГЪВАНЕ

Катедра PM

Лабораторна работа №16

Експериментално определяне на критичните сили при надлъжно огъване

Цел на работата:изследване на явлението загуба на стабилност на компресиран стоманен прът в еластичен

етапи. Експериментално определяне на стойностите на критичните компресирани натоварвания

пръти с различни методи на закрепване и сравнението им с теоретичните

стойности.

Общи положения

Не е достатъчно да се тестват компресирани пръти за якост според известно състояние:

,

където [σ] е допустимото напрежение за материала на пръта, П – сила на натиск, Е – площ на напречното сечение.

На практика инженерите се занимават с гъвкави пръти, тънки компресирани плочи и тънкостенни конструкции, подложени на компресия, чиято повреда е причинена не от загуба на носеща способност, а от загуба на стабилност.

Загубата на стабилност се отнася до загубата на първоначалната форма на баланс.

Якостта на материалите разглежда стабилността на структурните елементи, работещи при компресия.

Помислете за дълъг тънък прът (фиг. 1), натоварен с аксиална сила на натиск П .

П< П кр П > Пкр

Ориз. 1.Прът, натоварен с аксиална сила на натиск П .

При ниски стойности на сила Епръчката се свива, докато остава права. Освен това, ако прътът се отклони от това положение с малък напречен товар, той ще се огъне, но когато се отстрани, прътът се връща в изправено състояние. Това означава, че за дадена сила П праволинейната форма на равновесие на пръта е стабилна.

Ако продължите да увеличавате силата на натиск П , тогава при определена стойност праволинейната форма на равновесие става нестабилна и възниква нова форма на равновесие на пръта - криволинейна (фиг. 1, б) . Поради огъването на пръта, в неговите секции ще се появи момент на огъване, което ще причини допълнително напрежение и прътът може внезапно да се провали.

Кривината на дълъг прът, компресиран от надлъжна сила, се нарича надлъжно огъване .

Най-голямата стойност на силата на натиск, при която праволинейната форма на равновесие на пръта е стабилна, се нарича критичен - П кр.

При достигане на критичното натоварване настъпва рязка качествена промяна в изходната форма на равновесие, което води до разрушаване на конструкцията. Следователно критичната сила се счита за натоварване при скъсване.

Формули на Ойлер и Ясински

Проблемът за определяне на критичната сила на компресиран прът е решен за първи път от Л. Ойлер, член на Академията на науките в Санкт Петербург, през 1744 г. Формулата на Ойлер има формата

(1)

Където д – модул на еластичност на материала на пръта; Джмин- най-малкият инерционен момент на напречното сечение на пръта (тъй като кривината на пръта по време на загуба на стабилност възниква в равнината на най-малка твърдост, т.е. напречните сечения на пръта се въртят около оста, спрямо която моментът на инерцията е минимална, т.е. или около оста х , или около оста г );

(μ· л ) – намалена дължина на пръта, това е произведението на дължината на пръта л чрез коефициента μ, който зависи от методите за закрепване на краищата на пръта.

Коефициент μ Наречен фактор на намаляване на дължината ; стойността му за най-често срещаните случаи на закрепване на краищата на пръта е показана на фиг. 2:

А- двата края на пръта са шарнирно закрепени и могат да се приближат един до друг;

b- единият край е здраво захванат, другият е свободен;

V- единият край е шарнирен, вторият е с "напречно плаващо уплътнение";

Ж - единият край е здраво захванат, вторият има „напречно плаващо уплътнение“;

д- единият край е фиксиран неподвижно, от другата има шарнирна и подвижна опора;

д- двата края са здраво притиснати, но могат да се приближат един до друг.

От тези примери става ясно, че коеф μ е реципрочната стойност на броя на полувълните на еластичната линия на пръта при загуба на стабилност.

Ориз. 2.Коефициент μ за най-често

случаи на закрепване на краищата на пръта.

Нормалното напрежение в напречното сечение на компресиран прът, съответстващо на критичната стойност на силата на натиск, също се нарича критично.

Нека го определим въз основа на формулата на Ойлер:

(2)

Геометрични характеристики на сечението азмин, определена по формулата

Наречен радиус на въртене на сечението (спрямо оста c Джмин). За правоъгълно сечение

Като се вземе предвид (3), формула (2) ще приеме формата:

(4)

Съотношението на намалената дължина на пръта към минималния радиус на въртене на неговото напречно сечение според предложението на професора от Санкт Петербургския институт на железопътните инженери F.S. Ясински (1856-1899) се нарича гъвкавост на пръта и се обозначава с буквата λ :

Тази безразмерна стойност отразява едновременно следните параметри: дължината на пръта, метода на неговото закрепване и характеристиките на напречното сечение.

Накрая, замествайки (5) във формула (4), получаваме

При извеждането на формулата на Ойлер се приема, че материалът на пръта е еластичен и следва закона на Хук. Следователно формулата на Ойлер може да се приложи само при напрежения, по-малки от границата на пропорционалност σ настолен компютър, тоест когато

Това условие определя границата на приложимост на формулата на Ойлер:

Количеството от дясната страна на това неравенство се нарича изключителна гъвкавост :

стойността му зависи от физичните и механичните свойства на материала на пръта.

За нисковъглеродна стомана чл. 3, за които σ настолен компютър= 200 MPa, д = 2· 10 5 MPa:

По същия начин можете да изчислите стойността на максималната гъвкавост за други материали: за чугун λ преди= 80, за бор λ преди = 110.

По този начин формулата на Ойлер е приложима за пръти, чиято гъвкавост е по-голяма или равна на крайната гъвкавост, т.е.

λ ≥ λ преди

Това трябва да се разбира по следния начин: ако гъвкавостта на пръта е по-голяма от максималната гъвкавост, тогава критичната сила трябва да се определи с помощта на формулата на Ойлер.

При λ < λ предиФормулата на Ойлер за пръти не е приложима. В тези случаи, когато гъвкавостта на прътите е по-малка от максималната, при изчисленията се използват емпирични стойности. Формулата на Ясински :

σ кр = а – b· λ , (7)

Където А И b - експериментално определени коефициенти, които са постоянни за даден материал; те имат измерението на напрежението.

При някаква стойност на гъвкавост λ Онапрежение σ кр, изчислена по формула (7), става равна на пределното напрежение на натиск, т.е. границата на провлачване σ Tза пластмасови материали или якост на натиск σ слънце– за чупливи материали. Пръчки с ниска гъвкавост ( λ < λ О) не се разчитат на стабилност, а на здравина при проста компресия.

По този начин, в зависимост от гъвкавостта, изчисленията на стабилността на компресирани пръти се извършват по различен начин.

За да се намерят критичните напрежения, е необходимо да се изчисли критичната сила, т.е. най-малката аксиална сила на натиск, способна да поддържа леко извит сгъстен прът в равновесие.

Този проблем е решен за първи път от академика на Петербургската академия на науките Л. Ойлер през 1744 г.

Обърнете внимание, че самата формулировка на проблема е различна от тази във всички разгледани преди това раздели на курса. Ако по-рано определихме деформацията на прът при определени външни натоварвания, тогава тук поставяме обратната задача: като се има предвид кривината на оста на компресирания прът, трябва да определим при каква стойност на аксиалната сила на натиск Ртакова изкривяване е възможно.

Нека разгледаме прав прът с постоянно напречно сечение, шарнирно поддържан в краищата; една от опорите позволява надлъжно движение на съответния край на пръта (фиг. 3). Пренебрегваме собственото тегло на пръта.

Фиг.3.Схема за изчисление в "проблема на Ойлер"

Нека натоварим пръта с централно приложени надлъжни сили на натиск и му придадем много лека кривина в равнината на най-малка твърдост; прътът се поддържа в извито състояние, което е възможно поради .

Приема се, че деформацията на огъване на пръта е много малка, така че за решаване на поставения проблем може да се използва приблизителното диференциално уравнение за извитата ос на пръта. Чрез избор на началото на координатите в точката Аи посоката на координатните оси, както е показано на фиг. 3, имаме:

(1)

Да вземем разрез от разстояние хот произхода; ординатата на кривата ос в този участък ще бъде при, а огъващият момент е равен на

Според оригиналната схема огъващият момент се оказва отрицателен, но ординатите за избраната посока на оста са присе оказват положителни. (Ако прътът беше огънат с изпъкналост надолу, тогава моментът би бил положителен и при- отрицателен и .)

Току-що даденото диференциално уравнение приема формата:

разделяйки двете страни на уравнението на EJи обозначавайки дробта чрез, ние го привеждаме във формата:

Общият интеграл на това уравнение има формата:

Това решение включва три неизвестни: константи на интегриране АИ bи стойността, тъй като големината на критичната сила не ни е известна.

Граничните условия в краищата на пръта дават две уравнения:

в точка А при x = 0 отклонение при = 0,

IN х= 1 при = 0.

Това следва от първото условие (тъй като cos kx =1)

Така че кривата ос е синусоида с уравнението

(2)

Прилагайки второто условие, заместваме в това уравнение

при= 0 и х = л

получаваме:

От това следва, че или Аили клса равни на нула.

Ако Ае равно на нула, тогава от уравнение (2) следва, че отклонението във всяко сечение на пръта е равно на нула, т.е. прътът остава прав. Това противоречи на първоначалните предпоставки на нашето заключение. Следователно грях кл= 0 и количеството може да има следната безкрайна серия от стойности:

къде е всяко цяло число.

От тук и от тогава

С други думи, товарът, способен да поддържа баланс на леко извит прът, теоретично може да има няколко стойности. Но тъй като ние търсим и това е интересно от практическа гледна точка, най-малката стойност на аксиалната сила на натиск, при която надлъжното огъване става възможно, трябва да приемем .

Първият корен =0 изисква той да е равен на нула, което не отговаря на началните данни на задачата; следователно този корен трябва да се изхвърли и стойността да се приеме като най-малкия корен. Тогава получаваме израза за критичната сила:

Следователно, колкото повече точки на огъване има синусоидално извитата ос на пръта, толкова по-голяма трябва да бъде критичната сила. По-пълни изследвания показват, че формите на равновесие, определени по формули (1), са нестабилни; те се трансформират в стабилни форми само при наличието на междинни опори в точки INИ СЪС(Фиг. 1).

Фиг. 1

Така задачата е решена; за нашия прът най-малката критична сила се определя по формулата

а извитата ос представлява синусоида

Стойността на интеграционната константа Аостана недефиниран; физическият му смисъл ще стане ясен, ако поставим ; тогава (т.е. в средата на дължината на пръта) ще получи стойността:

означава, А- това е отклонението на пръта в напречното сечение в средата на дължината му. Тъй като при критична стойност на силата Рравновесието на извит прът е възможно с различни отклонения от неговата праволинейна форма, стига тези отклонения да са малки, естествено е отклонението fостана несигурно.

В този случай то трябва да е толкова малко, че да имаме право да приложим приблизителното диференциално уравнение на кривата ос, т.е. така че да е все още малко в сравнение с единица.

След като получихме стойността на критичната сила, сега можем да намерим стойността на критичното напрежение, като разделим силата на площта на напречното сечение на пръта Е; тъй като величината на критичната сила е определена чрез отчитане на деформациите на пръта, върху които локалното отслабване на площта на напречното сечение има изключително слаб ефект, формулата за включва инерционния момент; следователно, при изчисляване на критичните напрежения, както и при изготвяне на условието за стабилност е обичайно да се въвежда пълната, а не отслабената площ на напречното сечение на пръта в изчислението. Тогава ще е равно

По този начин, ако площта на компресиран прът с такава гъвкавост е избрана само според състоянието на якост, тогава прътът ще се срути поради загуба на стабилност на неговата праволинейна форма.

ДЪЛЖИНА НА ПРЪТА РЕВИЗИРАНА условна дължина на компресиран прът с определени условия за закрепване на краищата му, дължината на която по отношение на стойността на критичната сила е еквивалентна на дължината на прът с шарнирни краища

(български език; български) - дадената дължина е дадена

(чешки език; Čeština) - vzpěrná delka prutu

(немски; немски) - reduzierte Stablänge; ideelle Stablänge

(унгарски; маджарски) - rúd kihajlas! hossza

(монголски) - tuivangiin khorvulsen urt

(полски език; Polska) - długość sprowadzona pręta

(румънски език; Român) - lungime convenţională a barei

(сръбскохърватски език; сръбски език; хърватски език) - редукована дължинана щапа

(испански; Español) - luz efectiva de una barra

(английски език; английски) - намалена дължина на шината

(френски; Français) - longueur réduite d'une barre

Строителен речник.

Вижте какво е „Условна дължина на пръта“ в други речници:

намалена дължина на пръта- Условна дължина на сгъстен прът с определени условия за закрепване на краищата му, дължината на който по отношение на стойността на критичната сила е еквивалентна на дължината на прът с шарнирни краища [Терминологичен речник за конструиране на 12 езика ​(ВНИИИС... ...

намалена дължина на пръта- Условната дължина на прът с един участък, чиято критична сила, когато краищата му са шарнирно закрепени, е същата като за даден прът. [Сборник с препоръчителни термини. Брой 82. Строителна механика. Академия на науките на СССР. Научна комисия... ... Ръководство за технически преводач

Модели и коефициенти на деформация при различни условия на закрепване и метод на прилагане на натоварване Гъвкавост на съотношението на пръта към проектната дължина на пръта ... Wikipedia

- (силомер). Това име се дава на пружинните везни в курсовете по физика, а в механиката на инструментите за измерване на механична работа (cm). Най-старото изображение на пружинна везна, според Карстен, е отпечатано през 1726 г., без описание, в книгата: Leupold, ... ... Енциклопедичен речник F.A. Brockhaus и I.A. Ефрон

МЕРКИ- МЕРКИ, определени от физ величини, с които се сравняват други величини, за да се измерят последните. Основни мерки на най-разпространената метрична система: метър дължина при 0° на платинен прът, съхраняван от Международното бюро за мерки и... ... Голяма медицинска енциклопедия

Нека разгледаме прът с постоянно напречно сечение, двата края на който са шарнирно свързани (фиг. 12.3). Пръчката се компресира с критична сила. Разглеждаме малки движения на секциите на пръта. След като даваме отклонението на оста на пръта в определен участък, намираме стойността на аксиалната сила на натиск, при която е възможно такова отклонение. Ще приемем, че напрежението в пръта не надвишава границата на пропорционалност.

Ориз. 12.3. Схема на огъване на прът с критична сила F кр.

Нека поставим началото на координатите в точката ОТНОСНО, ос zнасочена по оста на пръта, ос г– вляво от началото. Нека определим отклонението на пръта в произволно сечение z.

Нека използваме приблизителното диференциално уравнение за извитата ос на пръта:

Нека определим огъващия момент в произволно сечение на пръта:

Последният израз е хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти.

Решението на това уравнение може да бъде записано като хармонична функция:

y = Aгрях kz +B cos kz.

Константи на интегриране АИ INсе намират от граничните условия:

при z = 0, y = 0,B = 0 и диференциалното уравнение приема следната форма:

y = Aгрях kz.

Прътът се огъва по синусоида.

При z= л, у= 0 Агрях кл = 0.

Известно е, че произведението на два фактора е равно на нула само ако един от факторите е равен на нула. Нека разгледаме и двата случая.

Позволявам А = 0, Че y(z)винаги е нула и изобщо няма отклонение. Това решение противоречи на приетото предположение, че пръчката се е огънала, т.е. А 0. Следователно условието sin трябва да бъде изпълнено кл= 0, от където:

кл= 0, , 2 , 3 , …, н

Където П– произволно цяло число.

Нека да определим каква стойност Псе доближава до решаването на този проблем. Обмислете състоянието

От последния израз следва, че ако к= 0, тогава F кр=0, т.е. прътът не е натоварен, а това противоречи на условията на задачата. Следователно стойността к= 0 могат да бъдат изключени от решението. В общия случай имаме:

Приравняване Е = F кр, получаваме израза

където е най-малката стойност на силата на натиск, при която

има надлъжен завой, така че трябва да вземете n = 1.

Тогава уравнението за определяне на критичната сила ще приеме формата

По този начин прътът се огъва по синусоида с една полувълна.

При z = л/2 Деформацията на пръта има максимална стойност.

При н= 2 и н= 3 прътът се огъва съответно по две и три полувълни на синусоидата (фиг. 12.4, b, c).

Деформацията на прът в произволно сечение под въздействието на сила на натиск може да се определи по формулата

Загубата на стабилност на пръта възниква в равнините с най-малка твърдост, т.е. Дж = Дж min , следователно при определяне на критичната сила трябва да се вземе предвид най-малкият аксиален момент на инерция на сечението, след което накрая:

Така имаме Формула на Ойлер(1744) за определяне на критичната сила за прът с два шарнирни края (основен случай).

Ориз. 12.4. Схема на извитата ос на пръта при различни стойности н

Големината на критичната сила е право пропорционална на най-малката твърдост на сечението и обратно пропорционална на квадрата на дължината на пръта.

Както се вижда от формулата на Ойлер, големината на критичната сила зависи от геометричните характеристики на пръта и модула на еластичност на материала, но не зависи от якостните характеристики на материала.

Например критичната сила F крпрактически не зависи от марката стомана.

Крайната сила на опън зависи от якостните характеристики (в зависимост от марката стомана тя ще бъде различна) и не зависи от дължината на пръта. По този начин може да се твърди, че има значителна разлика между работата на пръта при опън и компресия.

Така нареченият основен случайзакрепване на краищата на компресиран прът, когато двата края на пръта са шарнирни. На практика се използват други методи за закрепване на краищата на пръта.

Нека разгледаме как условията за закрепване на пръта влияят върху големината на критичната сила.

Втори случай: единият край на пръта е здраво закрепен, вторият е свободен (фиг. 12.5, а).

Ориз. 12.5. Схема за фиксиране на пръта за втория случай

Ако стабилността се загуби, горният край на пръта ще се отклони с определена стойност и ще се завърти, докато долният притиснат край ще остане вертикален. Извитата ос ще бъде същата като за едната половина на пръта в първия случай (фиг. 12.5, b).

За да постигнем пълно съответствие с първия случай, нека продължим мислено извитата ос на пръта надолу. Тогава формата на загубата на стабилност напълно ще съвпадне с първия случай. От това можем да заключим, че критичната сила за този случай ще бъде същата като за прът с дължина 2 м, пропорционално фиксиран в краищата.

Трети случай:двата края на пръта са твърдо фиксирани (фиг. 12.6).

След загуба на стабилност краищата на пръта не се въртят. Средната част на дължината на пръта л/2, поради симетрия, ще работи при същите условия като пръчка с шарнирно закрепени краища, но с дължина л. Тогава въз основа на формулата получаваме:

Ориз. 12.6. Схема за закрепване на пръта

на третия път

Четвърти случай:единият край на пръта е здраво закрепен, а другият е шарнирен. В този случай горната част на пръта е приблизително 2 л/3 има формата на полувълнова синусоида и е в същите условия като прът с шарнирни опори в краищата (фиг. 12.7).

Ориз. 12.7. Схема за закрепване на пръта

на четвъртия път

Анализирайки последните изрази за определяне на критичната сила, стигаме до извода, че колкото по-твърдо са фиксирани краищата на пръта, толкова по-голямо натоварване може да поеме този прът.

Следователно зависимостите за определяне на критичната сила при различни условия на закрепване на пръта могат да бъдат комбинирани в една формула:

където е намалената дължина на пръта;

Коефициент на намаляване на дължината на пръта в зависимост от метода

закрепване на краищата на пръта;

Реална дължина на пръта.

Концепцията на дадена дължинаПръчката е въведена за първи път от професора на Санкт Петербургския железопътен институт Ф. С. Ясински през 1892 г.

Трябва също да се отбележи, че при изготвянето на формули за определяне на критичните сили в пръти с различни условия на закрепване в краищата е използвана аналогия във формите на изкълчване на техните отделни секции.

Тези решения обаче могат да бъдат получени и строго математически. За да направите това, е необходимо да запишете за всеки случай диференциалното уравнение на еластичната линия на пръта по време на изкълчване и да го решите, като използвате гранични условия.

Коефициентът на надлъжната дължина на пръта, в зависимост от условията на неговото закрепване, е представен на фиг. 12.8.

Фиг. 12.8. Коефициент на намаляване на дължината за различни случаи

закрепване на краищата на пръта