X 3 3x 2 10x 24

х 32 х 2

24 10 х

х2 х12

ax 2 bx c , където a , b и c са дадени числа, а a 0 .

Нека трансформираме квадратния трином ax 2 bx c по следния начин.

х2:

коефициент

x ):a x

което е квадрат на число

В резултат получаваме:

Забелязвайки сега, че

Получаваме

4а 2

Пример. Изберете цял квадрат.

2 х 12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2 x 2 2 x 1 15

a r 1a r 2a r 1r 2,

3. a r 1r 2 a r 1r 2,

4. abr 1 ar 1 br 1,

a r 1

ар 1

br 1

1. Умножете 8

х 3 12 х 7.

24 х 23.

8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24

2. Факторизиране

2x 3

3 y 3 ;

4 3 85

16 6

2 520 9 519

16 0,25

16 0,25

Онлайн калкулатор.
Поставяне на бином на квадрат и разлагането му на множители квадратен тричлен.

Тези. проблемите се свеждат до намирането на числата \(p, q\) и \(n, m\)

Програмата не само дава отговор на проблема, но и показва процеса на решаване.

Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията средни училищав подготовка за тестовеи изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да купите нови учебници? Или просто искате да го направите възможно най-бързо? домашна работапо математика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробни решения.

По този начин можете да похарчите своите собствено обучениеи/или обучението им по-малки братяили сестри, докато нивото на образование в областта на решаваните проблеми се повишава.

Ако не сте запознати с правилата за въвеждане на квадратен тричлен, препоръчваме ви да се запознаете с тях.

Правила за въвеждане на квадратен многочлен

Всяка латинска буква може да действа като променлива.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) и т.н.

Числата могат да се въвеждат като цели или дробни числа.
Освен това, дробни числаможе да се въведе не само като десетична, но и като обикновена дроб.

Правила за въвеждане на десетични дроби.
При десетичните дроби дробната част може да бъде отделена от цялата част с точка или запетая.
Например можете да въведете десетични знацитака: 2,5x - 3,5x^2

Правила за въвеждане на обикновени дроби.
Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част от дроб.

Знаменателят не може да бъде отрицателен.

При влизане числова дробЧислителят се отделя от знаменателя със знак за деление: /
Цяла частразделени от дробта с амперсанд: &
Вход: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Резултат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

При въвеждане на израз можете да използвате скоби. В този случай при решаването въведеният израз първо се опростява.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Пример подробно решение

Изолиране на квадрата на бином.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Отговор:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Факторизация.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\наляво(x^2+x-2 \надясно) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Отговор:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Беше открито, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

защото Има много хора, желаещи да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Изолиране на квадрата на бином от квадратен трином

Ако квадратният трином ax 2 +bx+c е представен като a(x+p) 2 +q, където p и q са реални числа, тогава казват, че от квадратен трином, квадратът на бинома е подчертан.

От тринома 2x 2 +12x+14 извличаме квадрата на бинома.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

За да направите това, представете си 6x като произведение на 2*3*x и след това добавете и извадете 3 2. Получаваме:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Че. Ние извлечете квадратния бином от квадратния триноми показа, че:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Факторизиране на квадратен трином

Ако квадратният трином ax 2 +bx+c е представен във формата a(x+n)(x+m), където n и m са реални числа, тогава се казва, че операцията е извършена факторизация на квадратен трином.

Нека покажем с пример как се извършва тази трансформация.

Нека разложим на множители квадратния трином 2x 2 +4x-6.

Нека извадим коефициента a извън скоби, т.е. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Нека трансформираме израза в скоби.
За да направите това, представете си 2x като разликата 3x-1x и -3 като -1*3. Получаваме:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Че. Ние факторизира квадратния триноми показа, че:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Имайте предвид, че факторизирането на квадратен трином е възможно само когато, квадратно уравнение, съответстващ на този тричлен има корени.
Тези. в нашия случай е възможно триномът 2x 2 +4x-6 да бъде факторизиран, ако квадратното уравнение 2x 2 +4x-6 =0 има корени. В процеса на факторизиране установихме, че уравнението 2x 2 + 4x-6 = 0 има два корена 1 и -3, т.к. с тези стойности уравнението 2(x-1)(x+3)=0 се превръща в истинско равенство.

На този урокще си припомним всички по-рано изучавани методи за факторизиране на полином и ще разгледаме примери за тяхното приложение, освен това ще изучаваме нов метод- метод за идентифициране на пълен квадрат и научете как да го прилагате при решаване на различни проблеми.

Предмет:Факторизиране на полиноми

Урок:Факторизиране на полиноми. Метод за избор на пълен квадрат. Комбинация от методи

Нека си припомним основните методи за факторизиране на полином, които бяха изучавани по-рано:

Методът за поставяне на общ фактор извън скоби, т.е. фактор, който присъства във всички членове на полинома. Да разгледаме един пример:

Спомнете си, че мономът е произведение на степени и числа. В нашия пример и двата термина имат някои общи, идентични елементи.

И така, нека извадим общия множител извън скобите:

;

Нека ви напомним, че като умножите извадения множител по скоба, можете да проверите правилността на извадения множител.

Метод на групиране. Не винаги е възможно да се извлече общ множител в полином. В този случай трябва да разделите членовете му на групи по такъв начин, че във всяка група да можете да извадите общ фактор и да се опитате да го разбиете, така че след като извадите факторите в групите, общ фактор да се появи в целия израз и можете да продължите разлагането. Да разгледаме един пример:

Нека групираме първия член с четвъртия, втория с петия и третия с шестия:

Нека извадим общите фактори в групите:

Изразът вече има общ множител. Нека го извадим:

Приложение на формули за съкратено умножение. Да разгледаме един пример:

;

Нека напишем израза подробно:

Очевидно имаме пред себе си формулата за квадратната разлика, тъй като тя е сумата от квадратите на два израза и техният удвоен продукт се изважда от нея. Нека използваме формулата:

Днес ще научим друг метод - методът за избиране на пълен квадрат. Основава се на формулите на квадрата на сбора и квадрата на разликата. Да им напомним:

Формула за квадрат на сбора (разликата);

Особеността на тези формули е, че съдържат квадратите на два израза и тяхното двойно произведение. Да разгледаме един пример:

Нека запишем израза:

И така, първият израз е , а вторият е .

За да се създаде формула за квадрат на сбор или разлика, два пъти произведението на изразите не е достатъчно. Трябва да се добавят и изваждат:

Нека завършим квадрата на сумата:

Нека трансформираме получения израз:

Нека приложим формулата за разликата на квадратите, припомнете си, че разликата на квадратите на два израза е произведение от и сумата на тяхната разлика:

Така, този методсе състои преди всичко в това, че е необходимо да се идентифицират изразите a и b, които са в квадрата, тоест да се определи кои квадрати на израза са в в този пример. След това трябва да проверите за наличието на двойно произведение и ако го няма, да го добавите и извадите, това няма да промени смисъла на примера, но полиномът може да бъде факторизиран с помощта на формулите за квадрат на сумата или разликата и разликата на квадратите, ако е възможно.

Да преминем към решаване на примери.

Пример 1 - факторизиране:

Нека намерим изрази, които са на квадрат:

Нека запишем какво трябва да бъде двойното им произведение:

Нека съберем и извадим удвоения продукт:

Нека завършим квадрата на сумата и да дадем подобни:

Нека го запишем с формулата за разликата на квадратите:

Пример 2 - решаване на уравнението:

;

От лявата страна на уравнението е тричлен. Трябва да го разделите на фактори. Използваме формулата за квадратна разлика:

Имаме квадрат на първия израз и двойното произведение, квадратът на втория израз липсва, нека го съберем и извадим:

Нека сгънем пълен квадрат и дадем подобни условия:

Нека приложим формулата за разликата на квадратите:

Така че имаме уравнението

Знаем, че продуктът е равен на нула само ако поне един от факторите е равен на нула. Нека създадем следните уравнения въз основа на това:

Нека решим първото уравнение:

Нека решим второто уравнение:

Отговор: или

;

Продължаваме подобно на предишния пример - избираме квадрата на разликата.

Определение

Изрази от формата 2 x 2 + 3 x + 5 се наричат ​​квадратни тричлени. IN общ случайквадратният тричлен е израз на формата a x 2 + b x + c, където a, b, c a, b, c са произволни числа и a ≠ 0.

Помислете за квадратния трином x 2 - 4 x + 5. Нека го запишем в следния вид: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Нека добавим 2 2 към този израз и извадим 2 2, получаваме: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Обърнете внимание, че x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, така че x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Трансформацията, която направихме, се нарича „изолиране на перфектен квадрат от квадратен трином“.

Определете перфектния квадрат от квадратния тричлен 9 x 2 + 3 x + 1.

Обърнете внимание, че 9 x 2 = (3 x) 2, `3x=2*1/2*3x`. Тогава '9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1'. Добавете и извадете `(1/2)^2` към получения израз, получаваме

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Ще покажем как методът за изолиране на перфектен квадрат от квадратен тричлен се използва за факторизиране на квадратен трином.

Разложете на множители квадратния трином 4 x 2 - 12 x + 5.

Избираме перфектния квадрат от квадратния трином: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Сега прилагаме формулата a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , получаваме: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ) .

Разложете на множители квадратния трином - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Сега забелязваме, че 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Добавяме термина 2 2 към израза 9 x 2 - 12 x, получаваме:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Прилагаме формулата за разликата на квадратите, имаме:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Разложете на множители квадратния трином 3 x 2 - 14 x - 5 .

Не можем да представим израза 3 x 2 като квадрат на някакъв израз, защото все още не сме учили това в училище. Ще преминете през това по-късно, а в задача № 4 ще учим квадратни корени. Нека покажем как можете да факторизирате даден квадратен трином:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Ще ви покажем как да използвате метода на идеалния квадрат, за да намерите най-голямата или най-малката стойност на квадратен трином.
Помислете за квадратния трином x 2 - x + 3. Изберете пълен квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Обърнете внимание, че когато `x=1/2` стойността на квадратния трином е `11/4`, а когато `x!=1/2` се добавя стойността на `11/4` положително число, така че получаваме число, по-голямо от „11/4“. По този начин, най-малка стойностквадратен трином е „11/4“ и се получава, когато „x=1/2“.

Намерете най-голямата стойност на квадратния тричлен - 16 2 + 8 x + 6.

Избираме точен квадрат от квадратен трином: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

При `x=1/4` стойността на квадратния трином е 7, а при `x!=1/4` от числото 7 се изважда положително число, тоест получаваме число по-малко от 7. Значи числото 7 е най-висока стойностквадратен трином и се получава, когато `x=1/4`.

Разложете на множители числителя и знаменателя на дробта `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` и намалете дробта.

Обърнете внимание, че знаменателят на дробта x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Нека разложим на множители числителя на дробта, използвайки метода за изолиране на пълен квадрат от квадратен тричлен. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Тази фракциядоведе до формата `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` след намаляване с (x - 3) получаваме `(x+5)/(x-3)`.

Разложете полинома на множители x 4 - 13 x 2 + 36.

Нека приложим метода за изолиране на пълен квадрат към този полином. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

Както вече отбелязах, в интегрално смятаненяма удобна формула за интегриране на дроб. И следователно има тъжна тенденция: колкото по-сложна е дробта, толкова по-трудно е да се намери нейният интеграл. В тази връзка трябва да прибягвате до различни трикове, за които сега ще ви разкажа. Подготвените читатели могат веднага да се възползват от съдържание:

• Метод за добавяне на диференциалния знак за прости дроби

Метод за преобразуване на изкуствен числител

Пример 1

Между другото, разглежданият интеграл може да бъде решен и чрез промяна на метода на променливата, обозначаващ , но писането на решението ще бъде много по-дълго.

Пример 2

намирам неопределен интеграл. Извършете проверка.

Това е пример за независимо решение. Трябва да се отбележи, че методът за заместване на променливи вече няма да работи тук.

Внимание, важно! Примери № 1, 2 са типични и се срещат често. По-специално, такива интеграли често възникват по време на решаването на други интеграли, по-специално при интегриране на ирационални функции (корени).

Разглежданата техника работи и в случая ако най-високата степен на числителя е по-голяма от най-високата степен на знаменателя.

Пример 3

Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.

Започваме да избираме числителя.

Алгоритъмът за избор на числителя е нещо подобно:

1) В числителя трябва да организирам, но там. Какво да правя? Слагам го в скоби и умножавам по: .

2) Сега се опитвам да отворя тези скоби, какво се случва? . Хм... така е по-добре, но първоначално няма две в числителя. Какво да правя? Трябва да умножите по:

3) Отново отварям скобите: . И ето го първият успех! Оказа се точно! Но проблемът е, че се появи допълнителен срок. Какво да правя? За да предотвратя промяната на израза, трябва да добавя същото към моята конструкция:
. Животът стана по-лесен. Възможно ли е да се организира отново в числителя?

4) Възможно е. Да опитаме: . Отворете скобите на втория член:
. Съжалявам, но в предишната стъпка всъщност имах , а не . Какво да правя? Трябва да умножите втория член по:

5) Отново, за да проверя, отварям скобите във втория член:
. Сега е нормално: получено от окончателната конструкция на точка 3! Но отново има едно малко „но“, появи се допълнителен термин, което означава, че трябва да добавя към израза си:

Ако всичко е направено правилно, тогава когато отворим всички скоби, трябва да получим оригиналния числител на интегранта. Ние проверяваме:
Качулка.

По този начин:

Готов. В последния термин използвах метода за подреждане на функция под диференциал.

Ако намерим производната на отговора и намалим израза до общ знаменател, тогава получаваме точно оригиналната интегрална функция. Разглежданият метод за разлагане в сума не е нищо повече от обратното действие на привеждане на израз към общ знаменател.

Алгоритъм за избор на числител в подобни примериПо-добре е да го направите в чернова. С някои умения ще работи психически. Спомням си един рекорден случай, когато извършвах селекция за 11-та степен и разширяването на числителя зае почти два реда от Verd.

Пример 4

Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.

Това е пример, който можете да решите сами.

Метод за добавяне на диференциалния знак за прости дроби

Нека да преминем към разглеждане на следващия тип дроби.
, , , (коефициенти и не са равни на нула).

Всъщност няколко случая с арксинус и арктангенс вече бяха споменати в урока Метод на промяна на променлива в неопределен интеграл. Такива примери се решават чрез поставяне на функцията под диференциалния знак и допълнително интегриране с помощта на таблица. Ето още типични примери с дълги и високи логаритми:

Пример 5

Пример 6

Тук е препоръчително да вземете таблица с интеграли и да видите какви формули и какнастъпва трансформация. Забележка, как и защоКвадратите в тези примери са осветени. По-специално, в пример 6 първо трябва да представим знаменателя във формата , след това го поставете под диференциалния знак. И всичко това трябва да се направи, за да се използва стандартната таблична формула .

Защо да гледате, опитайте се да решите сами примери № 7, 8, особено след като са доста кратки:

Пример 7

Пример 8

Намерете неопределения интеграл:

Ако успеете да проверите и тези примери, тогава голямо уважение - вашите умения за диференциране са отлични.

Метод за избор на пълен квадрат

Интеграли на формата (коефициенти и не са равни на нула) се решават метод за пълно квадратно извличане, който вече се появи в урока Геометрични трансформации на графики.

Всъщност такива интеграли се свеждат до един от четирите таблични интеграла, които току-що разгледахме. И това се постига с помощта на познати съкратени формули за умножение:

Формулите се прилагат именно в тази насока, тоест идеята на метода е изкуствено да организира изразите или в знаменателя, след което да ги преобразува съответно в едно или друго.

Пример 9

Намерете неопределения интеграл

Това най-прост пример, в който с термина – единичен коеф(а не някакво число или минус).

Нека погледнем знаменателя, тук цялата работа явно се свежда до случайността. Нека започнем да преобразуваме знаменателя:

Очевидно трябва да добавите 4. И за да не се промени изразът, извадете същите четири:

Сега можете да приложите формулата:

След завършване на преобразуването ВИНАГИпрепоръчително е да се изпълни обратен ход: , всичко е наред, няма грешки.

Крайният дизайн на въпросния пример трябва да изглежда по следния начин:

Готов. Обобщавайки "безплатно" сложна функцияпод диференциалния знак: , по принцип, може да се пренебрегне

Пример 10

Намерете неопределения интеграл:

Това е пример, който трябва да решите сами, отговорът е в края на урока

Пример 11

Намерете неопределения интеграл:

Какво да правим, когато има минус отпред? В този случай трябва да извадим минуса от скобите и да подредим термините в реда, от който се нуждаем: . Константа(„две“ в в такъв случай) не пипай!

Сега добавяме един в скоби. Анализирайки израза, стигаме до извода, че трябва да добавим един извън скобите:

Тук получаваме формулата, прилагаме:

ВИНАГИПроверяваме черновата:
, което трябваше да се провери.

Чистият пример изглежда така:

Усложняване на задачата

Пример 12

Намерете неопределения интеграл:

Тук терминът вече не е единичен коефициент, а „петица“.

(1) Ако има константа при, веднага я изваждаме от скоби.

(2) По принцип винаги е по-добре да преместите тази константа извън интеграла, така че да не пречи.

(3) Очевидно всичко ще се свежда до формулата. Трябва да разберем термина, а именно да вземем „двете“

(4) Да, . Това означава, че добавяме към израза и изваждаме една и съща дроб.

(5) Сега изберете цял квадрат. В общия случай също трябва да изчислим , но тук имаме формулата дълъг логаритъм , и няма смисъл да се извършва действието, защо ще стане ясно по-долу.

(6) Всъщност можем да приложим формулата , само че вместо “X” имаме , което не отменя валидността на табличния интеграл. Строго погледнато, една стъпка е пропусната - преди интегрирането функцията трябва да бъде включена под диференциалния знак: , но, както многократно съм отбелязвал, това често се пренебрегва.

(7) В отговора под корена е препоръчително да разширите всички скоби назад:

Труден? Това не е най-трудната част от интегралното смятане. Въпреки това, разглежданите примери не са толкова сложни, колкото изискват добри изчислителни техники.

Пример 13

Намерете неопределения интеграл:

Това е пример, който можете да решите сами. Отговорът е в края на урока.

Има интеграли с корени в знаменателя, които чрез заместване се редуцират до интеграли от разглеждания тип; можете да прочетете за тях в статията Комплексни интеграли, но е предназначен за много подготвени ученици.

Подреждане на числителя под диференциалния знак

Това е последната част от урока, но интегралите от този тип са доста често срещани! Ако сте уморени, може би е по-добре да прочетете утре? ;)

Интегралите, които ще разгледаме, са подобни на интегралите от предишния параграф, те имат формата: или (коефициенти , и не са равни на нула).

Тоест в числителя, който имаме линейна функция. Как се решават такива интеграли?

Не намерихте отговор на въпроса си? Вижте тук

Какво е морфологичен анализ на дума: пример за всички части на речта

Кои съществителни имена нямат род?

Правила за писане не с кратки причастия