Правилото за умножение на цяло число по десетичен знак. Умножаване на десетичен знак по естествено число

В този урок ще разгледаме преобразуването на дроби в общ знаменатели решаване на проблеми по тази тема. Нека дефинираме понятието общ знаменател и допълнителен фактор, припомнете си взаимния прости числа. Нека да дефинираме концепцията за най-малкия общ знаменател (LCD) и да решим редица задачи, за да го намерим.

Тема: Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели

Урок: Намаляване на дроби до общ знаменател

Повторение. Основно свойство на дроб.

Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат или разделят на същото естествено число, тогава получавате равна на него дроб.

Например, числителят и знаменателят на дроб могат да бъдат разделени на 2. Получаваме дроб. Тази операция се нарича намаляване на фракцията. Може да се направи и обратна трансформация, умножавайки числителя и знаменателя на дроба по 2. В този случай казваме, че сме намалили дробта до нов знаменател. Числото 2 се нарича допълнителен фактор.

Заключение.Една дроб може да бъде намалена до всеки знаменател, който е кратен на знаменателя на дадената дроб. За да доведем дроб до нов знаменател, нейният числител и знаменател се умножават с допълнителен фактор.

1. Доведете дроба до знаменателя 35.

Числото 35 е кратно на 7, тоест 35 се дели на 7 без остатък. Така че тази трансформация е възможна. Нека намерим допълнителен фактор. За да направите това, разделяме 35 на 7. Получаваме 5. Умножаваме числителя и знаменателя на първоначалната дроб по 5.

2. Доведете дроба до знаменателя 18.

Нека намерим допълнителен фактор. За да направите това, разделяме новия знаменател на оригиналния. Получаваме 3. Умножаваме числителя и знаменателя на тази дроб по 3.

3. Доведете дроба до знаменателя 60.

Като разделим 60 на 15, получаваме допълнителен множител. Равно е на 4. Нека умножим числителя и знаменателя по 4.

4. Доведете дроба до знаменателя 24

В прости случаи редуцирането до нов знаменател се извършва в ума. Обичайно е да се посочи само допълнителен фактор зад скобата малко вдясно и над оригиналната фракция.

Една дроб може да бъде намалена до знаменател 15, а една дроб може да бъде намалена до знаменател 15. Дробите имат общ знаменател 15.

Общият знаменател на дробите може да бъде всяко общо кратно на техните знаменатели. За простота дробите се редуцират до най-малкия общ знаменател. То е равно на най-малкото общо кратно на знаменателите на дадените дроби.

Пример. Намалете до най-малкия общ знаменател на дроба и .

Първо, намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби. Това число е 12. Нека намерим допълнителен множител за първата и втората дроб. За да направите това, разделяме 12 на 4 и на 6. Три е допълнителен фактор за първата дроб, а две за втората. Довеждаме дробите до знаменателя 12.

Сведохме дробите до общ знаменател, тоест намерихме дроби, които са им равни и имат един и същ знаменател.

Правило.За да доведем дробите до най-малкия общ знаменател,

Първо, намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби, което ще бъде техният най-малък общ знаменател;

Второ, разделете най-малкия общ знаменател на знаменателите на тези дроби, тоест намерете допълнителен фактор за всяка дроб.

Трето, умножете числителя и знаменателя на всяка дроб по нейния допълнителен фактор.

а) Намалете дробите и до общ знаменател.

Най-малкият общ знаменател е 12. Допълнителният фактор за първата дроб е 4, за втората - 3. Довеждаме дробите до знаменателя 24.

б) Намалете дробите и до общ знаменател.

Най-малкият общ знаменател е 45. Като разделим 45 на 9 на 15, получаваме съответно 5 и 3. Довеждаме дробите до знаменателя 45.

в) Намалете дробите и до общ знаменател.

Общият знаменател е 24. Допълнителните фактори са съответно 2 и 3.

Понякога е трудно устно да се намери най-малкото общо кратно за знаменателите на дадени дроби. Тогава общият знаменател и допълнителните фактори се намират чрез разширяване в първични фактори.

Намалете до общ знаменател на дроба и .

Нека разложим числата 60 и 168 на прости множители. Нека напишем разширението на числото 60 и да добавим липсващите множители 2 и 7 от второто разширение. Умножете 60 по 14 и получите общ знаменател 840. Допълнителният фактор за първата дроб е 14. Допълнителният фактор за втората дроб е 5. Нека намалим дробите до общ знаменател 840.

Библиография

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Математика 6 клас. - Гимназия, 2006г.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задачи за курса по математика 5-6 клас. - ЗШ МИФИ, 2011г.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Ръководство за ученици от 6 клас на задочно училище МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011г.

6. Шеврин L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. и др. Математика: Учебник събеседник за 5-6 клас гимназия. Библиотека на учителя по математика. - Просвещение, 1989г.

Можете да изтеглите книгите, посочени в точка 1.2. този урок.

Домашна работа

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М .: Мнемозина, 2012. (виж линк 1.2)

Домашна работа: No 297, No 298, No 300.

Други задачи: #270, #290

За да разберем как да умножаваме десетичните знаци, нека разгледаме конкретни примери.

Правило за десетично умножение

1) Умножаваме, игнорирайки запетаята.

2) В резултат на това ние отделяме толкова цифри след запетаята, колкото има след запетаите и в двата фактора заедно.

Примери.

Намерете произведението на десетичните знаци:

За да умножим десетичните знаци, ние умножаваме, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест ние не умножаваме 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В резултат на това разделяме толкова цифри след десетичната запетая, колкото има след запетаите и в двата фактора заедно. В първия фактор след десетичната запетая има една цифра, във втория също има една. Като цяло разделяме две цифри след десетичната запетая и така получихме крайния отговор: 6.8∙3.4=23.12.

Умножаване на десетичните знаци без отчитане на запетаята. Тоест всъщност вместо да умножаваме 36,85 по 1,14, ние умножаваме 3685 по 14. Получаваме 51590. Сега в този резултат трябва да разделим със запетая толкова цифри, колкото има в двата фактора заедно. Първото число има две цифри след десетичната запетая, второто има една. Общо разделяме три цифри със запетая. Тъй като в края на записа след десетичната запетая има нула, ние не го записваме в отговор: 36,85∙1,4=51,59.

За да умножим тези десетични знаци, ние умножаваме числата, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест умножаваме естествените числа 2315 и 7. Получаваме 16205. В това число четири цифри трябва да бъдат разделени след десетичната запетая - толкова, колкото има в двата фактора заедно (по две във всеки). Краен отговор: 23,15∙0,07=1,6205.

Умножаването на десетична дроб по естествено число се извършва по същия начин. Умножаваме числата, без да обръщаме внимание на запетаята, тоест умножаваме 75 по 16. В получения резултат след запетаята трябва да има толкова знаци, колкото има и в двата фактора заедно - едно. Така 75∙1.6=120.0=120.

Започваме умножението на десетичните дроби с умножаване на естествени числа, тъй като не обръщаме внимание на запетаи. След това разделяме толкова цифри след запетаята, колкото има в двата фактора заедно. Първото число има два знака след десетичната запетая, а второто - два знака след десетичната запетая. В резултат на това трябва да има четири цифри след десетичната запетая: 4,72∙5,04=23,7888.

Десетично умножениепротича на три етапа.

Десетичните числа се записват в колона и се умножават като обикновени числа.

Преброяваме броя на десетичните знаци за първия и втория знак след десетичната запетая. Добавяме техния номер.

В получения резултат броим отдясно наляво толкова цифри, колкото се оказаха в параграфа по-горе, и поставяме запетая.

Как да умножаваме десетичните

Записваме десетични дроби в колона и ги умножаваме като естествени числа, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест считаме 3,11 за 311 и 0,01 за 1.

Получено 311 . Сега броим броя на знаците (цифри) след десетичната запетая и за двете дроби. Първият десетичен знак има две цифри, а вторият - две. Общ брой цифри след запетаи:

Отдясно наляво броим 4 знака (числа) от полученото число. В резултата има по-малко цифри, отколкото трябва да ги разделите със запетая. В такъв случай имате нужда налявозадайте липсващия брой нули.

Липсва ни една цифра, така че приписваме една нула вляво.

При умножение на произволна десетична дробна 10; 100; 1000 и др. десетичната запетая се премества надясно на толкова цифри, колкото има нули след единицата.

70,1 10 = 701

0,023 100 = 2,3

5,6 1000 = 5600

За да умножите десетичната запетая по 0,1; 0,01; 0,001 и т.н., е необходимо да преместите запетаята наляво в тази дроб с толкова цифри, колкото има нули пред единицата.

Ние броим нула цели числа!

12 0,1 = 1,2
0,05 0,1 = 0,005
1,256 0,01 = 0,012 56

За да разберем как да умножаваме десетичните знаци, нека разгледаме конкретни примери.

Правило за десетично умножение

1) Умножаваме, игнорирайки запетаята.

Намерете произведението на десетичните знаци:

За да умножим десетичните знаци, ние умножаваме, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест ние не умножаваме 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В резултат на това разделяме толкова цифри след десетичната запетая, колкото има след запетаите и в двата фактора заедно. В първия множител има една цифра след десетичната запетая, във втория също има една. Като цяло разделяме две цифри след десетичната запетая и така получихме крайния отговор: 6.8∙3.4=23.12.

Умножаване на десетичните знаци без отчитане на запетаята. Тоест, всъщност, вместо да умножаваме 36,85 по 1,14, ние умножаваме 3685 по 14. Получаваме 51590. Сега в този резултат трябва да разделим със запетая толкова цифри, колкото има и в двата фактора заедно. Първото число има две цифри след десетичната запетая, второто има една. Общо разделяме три цифри със запетая. Тъй като в края на записа след десетичната запетая има нула, ние не го записваме в отговор: 36,85∙1,4=51,59.

И още няколко примера за умножаване на десетични дроби:

www.for6cl.uznateshe.ru

Умножение на десетични дроби, правила, примери, решения.

Нека да преминем към следващата стъпка с десетични знаци, сега ще разгледаме по-отблизо умножаване на десетичните знаци. Нека първо да обсъдим основни принципиумножаване на десетичните знаци. След това нека да преминем към умножаване на десетична дроб по десетична дроб, да покажем как се извършва умножението на десетични дроби по колона, да разгледаме решенията на примерите. След това ще анализираме умножението на десетичните дроби по естествени числа, по-специално по 10, 100 и т.н. В заключение, нека поговорим за умножаването на десетични дроби по обикновени дроби и смесени числа.

Да кажем веднага, че в тази статия ще говорим само за умножаване на положителни десетични дроби (вижте положителни и отрицателни числа). Останалите случаи са разгледани в умножението на статиите рационални числаи умножение на реални числа.

Навигация в страницата.

Общи принципи за умножение на десетичните знаци

Нека обсъдим общите принципи, които трябва да се следват при извършване на умножение с десетични дроби.

Тъй като последващите десетични дроби и безкрайните периодични дроби са десетичната форма на обикновените дроби, умножаването на такива десетични дроби по същество е умножение на обикновени дроби. С други думи, умножение на крайните десетични знаци, умножение на крайни и периодични десетични дроби, както и умножаване на периодични десетични знацисе свежда до умножаване на обикновени дроби след преобразуване на десетични дроби в обикновени.

Помислете за примери за прилагане на звучния принцип за умножение на десетични дроби.

Извършете умножението на десетичните десетични числа 1,5 и 0,75.

Нека заменим умножените десетични дроби със съответните обикновени дроби. Тъй като 1,5=15/10 и 0,75=75/100, тогава. Можете да намалите фракцията и след това да изберете цялата част от неправилна дроб, но се получава по-удобно обикновена дроб 1 125/1 000 запишете като десетична дроб 1,125.

Трябва да се отбележи, че е удобно да се умножават крайните десетични дроби в колона, ще говорим за този метод за умножение на десетични дроби в следващия параграф.

Помислете за пример за умножаване на периодични десетични дроби.

Изчислете произведението на периодичните десетични знаци 0,(3) и 2,(36) .

Нека преобразуваме периодичните десетични дроби в обикновени дроби:

Тогава. Можете да преобразувате получената обикновена дроб в десетична дроб:

Ако сред умножените десетични дроби има безкрайни непериодични дроби, тогава всички умножени дроби, включително крайни и периодични, трябва да се закръглят нагоре до определена цифра (вж. закръгляване на числата), и след това извършете умножението на крайните десетични дроби, получени след закръгляване.

Умножете десетичните 5,382… и 0,2.

Първо, закръгляваме безкрайна непериодична десетична дроб, закръгляването може да се извърши до стотни, имаме 5,382 ... ≈5,38. Крайната десетична дроб 0,2 не е необходимо да се закръглява до стотни. Така 5,382… 0,2≈5,38 0,2. Остава да се изчисли продуктът на крайните десетични дроби: 5,38 0,2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1,076/1,000 \u003d 1,076.

Умножение на десетични дроби по колона

Умножението на крайните десетични дроби може да се извърши чрез колона, подобно на умножението по колона от естествени числа.

Да формулираме правило за умножение на десетични дроби. За да умножите десетичните дроби по колона, трябва:

игнорирайки запетаи, извършвайте умножение според всички правила за умножение по колона от естествени числа;
в полученото число отделете толкова цифри вдясно с десетична запетая, колкото има десетични цифри и в двата фактора заедно, и ако няма достатъчно цифри в продукта, тогава трябва да добавите отляво точната суманули.

Помислете за примери за умножаване на десетични дроби по колона.

Умножете десетичните 63,37 и 0,12.

Нека извършим умножението на десетичните дроби по колона. Първо, умножаваме числата, игнорирайки запетаите:

Остава да поставите запетая в получения продукт. Тя трябва да отдели 4 цифри вдясно, тъй като има четири знака след десетичната запетая във факторите (две във дроб 3,37 и две във дроб 0,12). Там има достатъчно числа, така че не е нужно да добавяте нули вляво. Нека завършим записа:

В резултат на това имаме 3,37 0,12 = 7,6044.

Изчислете произведението на десетичните десетични числа 3,2601 и 0,0254.

След като извършихме умножение по колона, без да вземаме предвид запетаи, получаваме следната картина:

Сега в работата трябва да разделите 8-те цифри вдясно със запетая, тъй като обща сумазнакът след десетичната запетая на умножените дроби е осем. Но в продукта има само 7 цифри, следователно трябва да зададете толкова нули вляво, така че 8 цифри да могат да бъдат разделени със запетая. В нашия случай трябва да зададем две нули:

Това завършва умножението на десетичните дроби по колона.

Умножаване на десетичните знаци по 0,1, 0,01 и т.н.

Доста често трябва да умножавате десетичните по 0,1, 0,01 и т.н. Ето защо е препоръчително да се формулира правило за умножение на десетична дроб по тези числа, което следва от принципите на умножение на десетични дроби, разгледани по-горе.

Така, умножаване на даден десетичен знак по 0,1, 0,01, 0,001 и т.н.дава дроб, която се получава от оригиналната, ако в нейния запис запетаята се премести наляво с 1, 2, 3 и т.н. цифри, съответно, и ако няма достатъчно цифри за преместване на запетаята, тогава вие трябва да добавите необходимата суманули.

Например, за да умножите десетичната дроб 54,34 по 0,1, трябва да преместите десетичната запетая наляво с 1 цифра в дроб 54,34 и ще получите дроб 5,434, тоест 54,34 0,1 = 5,434. Да вземем друг пример. Умножете десетичната дроб 9,3 по 0,0001. За да направите това, трябва да преместим запетаята с 4 цифри наляво в умножената десетична дроб 9.3, но записът на дроб 9.3 не съдържа такъв брой знаци. Следователно трябва да добавим толкова нули в записа на дроб 9.3 вляво, за да можем лесно да прехвърлим запетаята на 4 цифри, имаме 9,3 0,0001 = 0,00093.

Имайте предвид, че обявеното правило за умножение на десетична дроб по 0,1, 0,01, ... е валидно и за безкрайни десетични дроби. Например 0,(18) 0,01=0,00(18) или 93,938… 0,1=9,3938… .

Умножаване на десетичен знак по естествено число

В основата си умножаване на десетичните по естествени числане се различава от умножаването на десетичен знак по десетичен знак.

Най-удобно е да умножите крайна десетична дроб по естествено число по колона, докато трябва да следвате правилата за умножение по колона от десетични дроби, разгледани в един от предишните параграфи.

Изчислете произведението 15 2.27 .

Нека извършим умножението на естествено число с десетична дроб в колона:

При умножаване на периодична десетична дроб по естествено число, периодична фракциятрябва да се замени с обикновена дроб.

Умножете десетичната дроб 0,(42) по естественото число 22.

Първо, нека преобразуваме периодичния десетичен знак в обикновена дроб:

Сега нека направим умножението: . Този десетичен резултат е 9,(3) .

И когато умножавате безкрайна непериодична десетична дроб по естествено число, първо трябва да я закръглите нагоре.

Направете умножението 4 2,145….

Закръглявайки до стотни първоначалната безкрайна десетична дроб, ще стигнем до умножението на естествено число и крайна десетична дроб. Имаме 4 2,145…≈4 2,15=8,60.

Умножаване на десетичен знак по 10, 100, ...

Доста често се налага да умножавате десетичните дроби по 10, 100, ... Ето защо е препоръчително да се спрем на тези случаи подробно.

Да озвучим правило за умножаване на десетичен знак по 10, 100, 1000 и т.н.Когато умножавате десетична дроб по 10, 100, ... в нейния запис, трябва да преместите запетаята вдясно съответно с 1, 2, 3, ... цифри и да изхвърлите допълнителните нули отляво; ако няма достатъчно цифри в записа на умножената дроб, за да прехвърлите запетаята, тогава трябва да добавите необходимия брой нули вдясно.

Умножете десетичната запетая 0,0783 по 100.

Нека прехвърлим дроб 0,0783 две цифри вдясно в записа и ще получим 007,83. Изпускайки две нули вляво, получаваме десетичната дроб 7.38. Така 0,0783 100=7,83.

Умножете десетичната дроб 0,02 по 10 000.

За да умножим 0,02 по 10 000, трябва да преместим запетаята с 4 цифри вдясно. Очевидно в записа на дроб 0.02 няма достатъчно цифри, за да прехвърлим запетаята на 4 цифри, така че ще добавим няколко нули вдясно, за да може запетайката да се прехвърли. В нашия пример е достатъчно да добавим три нули, имаме 0,02000. След преместване на запетаята получаваме запис 00200.0. Изпускайки нулите вляво, имаме числото 200.0, което е равно на естественото число 200, което е резултат от умножаването на десетичната дроб 0.02 по 10 000.

Посоченото правило е валидно и за умножаване на безкрайни десетични дроби по 10, 100, ... Когато умножавате периодични десетични дроби, трябва да внимавате с периода на дроба, който е резултат от умножението.

Умножете периодичния десетичен 5,32(672) по 1000 .

Преди умножението записваме периодична десетична дроб като 5,32672672672 ..., това ще ни позволи да избегнем грешки. Сега нека преместим запетаята вдясно с 3 цифри, имаме 5 326.726726 ... . Така след умножение се получава периодична десетична дроб 5 326, (726) .

5,32 (672) 1000 = 5326, (726) .

При безкрайно умножение непериодични дробис 10, 100, ... трябва първо да заобиколите безкрайна дробдо определена цифра, след което да се извърши умножение.

Умножаване на десетична дроб по обикновена дроб или смесено число

За да умножите краен десетичен знак или безкраен периодичен десетичен знак по дроб или смесено число, трябва да представите десетичната дроб като обикновена дроб и след това да извършите умножението.

Умножете десетичната дроб 0,4 по смесеното число.

Тъй като 0,4=4/10=2/5 и след това. Полученото число може да бъде записано като периодична десетична дроб 1.5(3) .

При умножаване на безкрайна непериодична десетична дроб с обикновена дроб или смесено число, обикновената дроб или смесеното число трябва да се заменят с десетична дроб, след това да се закръглят умножените дроби и да се завърши изчислението.

Тъй като 2/3 \u003d 0,6666 ..., тогава. След закръгляне на умножените дроби до хилядни, стигаме до произведението на две крайни десетични дроби 3,568 и 0,667. Нека направим умножението в колона:

Полученият резултат трябва да се закръгли до хилядни, тъй като умножените дроби са взети с точност до хилядни, имаме 2,379856≈2,380.

www.cleverstudents.ru

29. Умножение на десетични дроби. правила

Намерете площта на правоъгълник с равни страни
1,4 dm и 0,3 dm. Преобразуване на дециметри в сантиметри:

1,4 dm = 14 см; 0,3 dm = 3 cm.

Сега нека изчислим площта в сантиметри.

S = 14 3 = 42 см 2.

Преобразувайте квадратни сантиметри в квадрат
дециметри:

d m 2 \u003d 0,42 d m 2.

Следователно, S = 1,4 dm 0,3 dm = 0,42 dm 2.

Умножаването на два знака след десетичната запетая става по следния начин:
1) числата се умножават без да се вземат предвид запетаи.
2) запетаята в произведението е поставена така, че да се раздели вдясно
толкова признаци, колкото са разделени и в двата фактора
взети заедно. Например:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Примери за умножаване на десетични дроби в колона:

Вместо да умножавате произволно число по 0,1; 0,01; 0,001
можете да разделите това число на 10; 100 ; или съответно 1000.
Например:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Когато умножаваме десетична дроб по естествено число, трябва:

1) умножете числата, игнорирайки запетаята;

2) в получения продукт поставете запетая, така че отдясно
от него имаше толкова цифри, колкото в десетична дроб.

Нека намерим продукта 3.12 10 . Според горното правило
първо умножете 312 по 10. Получаваме: 312 10 \u003d 3120.
И сега разделяме двете цифри вдясно със запетая и получаваме:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

И така, когато умножаваме 3,12 по 10, преместихме запетаята с едно
номер вдясно. Ако умножим 3,12 по 100, получаваме 312, т.е
запетаята е преместена с две цифри вдясно.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Когато умножавате десетична дроб по 10, 100, 1000 и т.н., трябва да
в тази дроб преместете запетаята вдясно толкова знака, колкото има нули
е в множителя. Например:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Задачи на тема "Умножение на десетични дроби"

school-assistant.ru

Събиране, изваждане, умножение и деление на десетичните знаци

Добавянето и изваждането на десетичните знаци е подобно на събирането и изваждането на естествени числа, но с определени условия.

Правило. се прави от цифрите на целочислената и дробната част като естествени числа.

Когато е написано събиране и изваждане на десетични знацизапетаята, разделяща целочислената част от дробната част, трябва да бъде в членовете и сбора или в минуса, изваждането и разликата в една колона (запетая под запетая от условието до края на изчислението).

Събиране и изваждане на десетични знацикъм реда:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Събиране и изваждане на десетични знацив колона:

Добавянето на десетични дроби изисква горен допълнителен ред за запис на числа, когато сборът от цифрата минава през десет. Изваждането на десетичните знаци изисква горният допълнителен ред да маркира цифрата, в която 1 се заема.

Ако няма достатъчно цифри от дробната част вдясно от члена или намалени, тогава вдясно в дробната част могат да се добавят толкова нули (увеличете битовата дълбочина на дробната част), колкото има цифри в друг член или намалена.

Десетично умножениесе извършва по същия начин като умножението на естествените числа, по същите правила, но в произведението се поставя запетая според сбора от цифрите на факторите в дробната част, като се брои от дясно на ляво (сборът от цифрите на факторите е броят на цифрите след десетичната запетая за факторите, взети заедно).

В умножаване на десетичните знацив колона първата значима цифра вдясно се подписва под първата значаща цифра вдясно, както в естествените числа:

Записване умножаване на десетичните знацив колона:

Записване десетично делениев колона:

Подчертаните знаци са знаци за обвиване на запетая, тъй като делителят трябва да е цяло число.

Правило. В разделяне на дробиделителят на десетична дроб се увеличава с толкова цифри, колкото има цифри в дробната й част. За да не се промени дробът, делимото се увеличава със същия брой цифри (в делителя и делителя запетаята се прехвърля на същия брой знаци). Запетаята се поставя в частното на етапа на деление когато цяла частфракциите са разделени.

За десетичните дроби, както и за естествените числа, се запазва правилото: Не можете да разделите десетичната запетая на нула!

В последния урок научихме как да събираме и изваждаме десетични дроби (вижте урока „Добавяне и изваждане на десетични дроби“). В същото време те оцениха колко са опростени изчисленията в сравнение с обичайните „двуетажни“ дроби.

За съжаление, при умножение и деление на десетични дроби този ефект не се получава. В някои случаи десетичната нотация дори усложнява тези операции.

Първо, нека представим нова дефиниция. Ще го срещаме доста често и не само в този урок.

Значителната част от числото е всичко между първата и последната ненулева цифра, включително ремаркетата. Това е засамо за числата, десетичната запетая не се взема предвид.

Цифрите, включени в значителната част на числото, се наричат значими цифри. Те могат да се повтарят и дори да са равни на нула.

Например, разгледайте няколко десетични дроби и запишете съответните им значими части:

91,25 → 9125 (значими цифри: 9; 1; 2; 5);
0,008241 → 8241 (значими цифри: 8; 2; 4; 1);
15.0075 → 150075 (значими цифри: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
0,0304 → 304 (значими цифри: 3; 0; 4);
3000 → 3 (има само една значима цифра: 3).

Моля, обърнете внимание: нулите в значителната част от числото не отиват никъде. Вече се сблъскахме с нещо подобно, когато се научихме да преобразуваме десетични дроби в обикновени (вижте урока „Десетични дроби“).

Този момент е толкова важен и тук се допускат толкова често грешки, че ще публикувам тест по тази тема в близко бъдеще. Не пропускайте да практикувате! И ние, въоръжени с концепцията за значителна част, всъщност ще преминем към темата на урока.

Десетично умножение

Операцията за умножение се състои от три последователни стъпки:

За всяка дроб запишете значимата част. Ще получите две обикновени цели числа - без знаменатели и десетични точки;
Умножете тези числа по всеки удобен начин. Директно, ако числата са малки, или в колона. Получаваме значителната част от желаната фракция;
Разберете къде и с колко цифри се измества десетичната запетая в оригиналните дроби, за да се получи съответната значима част. Извършете обратни смени върху значителната част, получена в предишната стъпка.

Нека ви напомня още веднъж, че нулите от страните на значимата част никога не се вземат предвид. Пренебрегването на това правило води до грешки.

0,28 12,5;

6,3 1,08;

132,5 0,0034;

0,0108 1600,5;

5,25 10 000.

Работим с първия израз: 0.28 12.5.

Нека изпишем значимите части за числата от този израз: 28 и 125;
Техният продукт: 28 125 = 3500;
При първия множител десетичната запетая се измества с 2 цифри вдясно (0,28 → 28), а във втория - с още 1 цифра. Като цяло е необходимо преместване наляво с три цифри: 3500 → 3.500 = 3.5.

Сега нека се заемем с израза 6.3 1.08.

Нека изпишем значимите части: 63 и 108;
Техният продукт: 63 108 = 6804;
Отново две измествания вдясно: съответно с 2 и 1 цифра. Общо - отново 3 цифри вдясно, така че обратното изместване ще бъде 3 цифри наляво: 6804 → 6.804. Този път няма нули в края.

Стигнахме до третия израз: 132,5 0,0034.

Значими части: 1325 и 34;
Техният продукт: 1325 34 = 45 050;
В първата дроб десетичната запетая отива вдясно с 1 цифра, а във втората - с цели 4. Общо: 5 вдясно. Извършваме изместване с 5 наляво: 45050 → .45050 = 0,4505. Нулата беше премахната в края и добавена отпред, за да не остане „гола“ десетична запетая.

Следният израз: 0,0108 1600,5.

Пишем значими части: 108 и 16 005;
Умножаваме ги: 108 16 005 = 1 728 540;
Преброяваме числата след десетичната запетая: в първото число има 4, във второто - 1. Общо - отново 5. Имаме: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. В крайна сметка „допълнителната“ нула беше премахната.

И накрая, последният израз: 5,25 10 000.

Значими части: 525 и 1;
Умножаваме ги: 525 1 = 525;
Първата дроб се измества с 2 цифри вдясно, а втората фракция се измества с 4 цифри наляво (10 000 → 1,0000 = 1). Общо 4 − 2 = 2 цифри вляво. Извършваме обратно изместване с 2 цифри вдясно: 525, → 52 500 (трябваше да добавим нули).

обърни внимание на последен пример: тъй като десетичната запетая се движи в различни посоки, общото изместване е през разликата. Това е много важен момент! Ето още един пример:

Да разгледаме числата 1,5 и 12 500. Имаме: 1,5 → 15 (изместване с 1 надясно); 12 500 → 125 (изместване 2 наляво). Ние „стъпваме“ с 1 цифра вдясно и след това с 2 цифри наляво. В резултат на това направихме стъпка 2 − 1 = 1 цифра вляво.

Десетично деление

Разделението е може би най-много сложна операция. Разбира се, тук можете да действате по аналогия с умножението: разделете значимите части и след това „преместете“ десетичната запетая. Но в този случай има много тънкости, които отричат потенциалните спестявания.

Така че нека разгледаме общ алгоритъм, който е малко по-дълъг, но много по-надежден:

Преобразувайте всички десетични дроби в обикновени дроби. С малко практика тази стъпка ще ви отнеме няколко секунди;
Разделете получените фракции по класическия начин. С други думи, умножете първата дроб по "обърнатата" втора (вижте урока "Умножение и деление на числови дроби");
Ако е възможно, върнете резултата като десетичен знак. Тази стъпка също е бърза, защото често знаменателят вече има степен десет.

Задача. Намерете стойността на израза:

3,51: 3,9;

1,47: 2,1;

6,4: 25,6:

0,0425: 2,5;

0,25: 0,002.

Разглеждаме първия израз. Първо, нека преобразуваме оби дроби в десетични:

Правим същото с втория израз. Числителят на първата дроб отново се разлага на фактори:

В третия и четвъртия пример има важен момент: след като се отървете от десетичната нотация, се появяват отменяеми дроби. Ние обаче няма да извършим това намаление.

Последният пример е интересен, защото числителят на втората дроб е просто число. Тук просто няма какво да се разлага на множители, така че го считаме за „празно“:

Понякога разделянето води до цяло число (говоря за последния пример). В този случай третата стъпка изобщо не се извършва.

Освен това при разделяне често се появяват „грозни“ дроби, които не могат да бъдат преобразувани в десетични. Това е мястото, където разделянето се различава от умножението, където резултатите винаги се изразяват в десетична форма. Разбира се, в този случай последната стъпка отново не се изпълнява.

Обърнете внимание и на 3-ти и 4-ти пример. В тях умишлено не намаляваме обикновени дробиполучени от десетичните знаци. В противен случай ще стане по-трудно обратен проблем- представяне на крайния отговор отново в десетична форма.

Запомнете: основното свойство на дроб (като всяко друго правило в математиката) само по себе си не означава, че трябва да се прилага навсякъде и винаги, при всяка възможност.