Въведение. Обработка на резултатите от измерването във физическата практика Измервания и грешки при измерване Анализ на директни резултати от измерване

Случайните грешки имат следните свойства.

При голям брой измервания грешки от една и съща величина, но противоположни по знак се срещат еднакво често.

Големите грешки са по-малко вероятно да възникнат, отколкото малките. От отношения (1), пренаписвайки ги във формата

X \u003d x 1 + x 1

X = х 2 + х 2

X = x n + x n

и като добавите в колона, можете да определите истинската стойност на измерената стойност, както следва:

или
.

(2)

тези. истинската стойност на измерената величина е равна на средноаритметичната стойност на резултатите от измерването, ако има безкраен брой от тях. При ограничен и още повече при малък брой измервания, с които обикновено се занимаваме на практика, равенството (2) е приблизително.

Нека в резултат на няколко измервания се получат следните стойности на измерената величина X: 13.4; 13.2; 13,3; 13,4; 13,3; 13.2; 13.1; 13,3; 13,3; 13.2; 13,3; 13.1. Нека изградим диаграма на разпределението на тези резултати, като начертаем показанията на инструмента по оста на абсцисата във възходящ ред. Разстоянията между съседни точки по оста на абсцисата са равни на удвоената максимална грешка при отчитане на инструмента. В нашия случай обратното броене се прави до 0,1. Това е равно на едно деление на скалата, отбелязана върху оста x. По оста на ординатите изобразяваме стойности, пропорционални на относителния брой резултати, съответстващи на конкретно отчитане на устройството. Относителното число или относителната честота на резултатите, равна на x k, ще бъде обозначена с W(x k). В нашия случай

Приписваме всяко x на

(3)

където A е коефициентът на пропорционалност.

Диаграмата, която се нарича хистограма, се различава от обикновената графика по това, че точките не са свързани с гладка извита линия, а през тях се чертаят стъпки. Очевидно е, че площта на стъпката над някаква стойност на x k е пропорционална на относителната честота на поява на този резултат. Чрез избора на коефициента на пропорционалност в израз (3) по подходящ начин, тази площ може да се направи равна на относителната честота на резултата x k. Тогава сумата от площите на всички стъпки, като сума от относителните честоти на всички резултатите трябва да са равни на единица

От тук намираме A=10. Условие (4) се нарича условие за нормализиране на функция (3).

Ако направите серия от измервания с n измервания във всяка серия, тогава с малко n относителните честоти на една и съща стойност x k, установени от различни серии, могат да се различават значително една от друга. С увеличаване на броя на измерванията в серията флуктуациите в стойностите на W(x k) намаляват и тези стойности се приближават до определено постоянно число, което се нарича вероятност за резултата x k и се обозначава с P (x k ).

Нека приемем, че докато правим експеримент, ние не отчитаме резултата на цели деления на скалата или техните дялове, но можем да фиксираме точката, в която е спряла стрелката. След това, за безкрайно голям брой измервания, стрелката ще посети всяка точка от скалата. Разпределението на резултатите от измерването в този случай придобива непрекъснат характер и се описва с непрекъсната крива y=f(x) вместо стъпаловидна хистограма. Въз основа на свойствата на случайните грешки може да се заключи, че кривата трябва да е симетрична и следователно нейният максимум пада върху средноаритметичната стойност на резултатите от измерването, която е равна на истинската стойност на измерената величина. В случай на непрекъснато разпределение на резултатите от измерването няма

има смисъл да се говори за вероятността на някоя от техните стойности, т.к има стойности, произволно близки до разглежданата. Сега вече трябва да повдигнем въпроса за вероятността по време на измерванията да се срещне резултатът в определен интервал около стойността на x k, равен на
,
. Точно както на хистограмата относителната честота на резултата x към се равнява на площта на стъпката, изградена върху този резултат, на графиката за непрекъснато разпределение вероятността за намиране на резултата в интервала (
,
) е равна на площта на криволинейния трапец, построен върху този интервал и ограничен от кривата f(x). Математическата нотация на този резултат е

ако
малко, т.е. площта на защрихования криволинеен трапец се заменя с приблизителната площ на правоъгълник със същата основа и височина, равна на f(xk). Функцията f(x) се нарича плътност на вероятността на разпределението на резултатите от измерването. Вероятността да се намери x в някакъв интервал е равна на плътността на вероятността за дадения интервал, умножена по дължината му.

Кривата на разпределение на резултатите от измерването, получени експериментално за определен участък от скалата на инструмента, ако продължи, асимптотично приближавайки оста на абсцисата отляво и отдясно, е аналитично добре описана чрез функция от вида

(5)

Точно както общата площ на всички стъпки на хистограмата беше равна на единица, цялата площ между кривата f (x) и оста на абсцисата, което има значението на вероятността да се посрещне поне някаква стойност на x по време на измервания, също е равно на единица. Разпределението, описано от тази функция, се нарича нормално разпределение. Основният параметър на нормалното разпределение е дисперсията  2 . Приблизителната стойност на дисперсията може да бъде намерена от резултатите от измерването с помощта на формулата

(6)

Тази формула дава дисперсия, близка до реалната стойност само за голям брой измервания. Например, σ2, намерен от резултатите от 100 измервания, може да има отклонение от действителната стойност от 15%, установено от 10 измервания вече 40%. Дисперсията определя формата на кривата на нормалното разпределение. Когато случайните грешки са малки, дисперсията, както следва от (6), е малка. Кривата f(x) в този случай е по-тясна и остра близо до истинската стойност на X и клони към нула по-бързо при отдалечаване от нея, отколкото при големи грешки. Следващата фигура ще покаже как се променя формата на кривата f(x) за нормално разпределение в зависимост от σ.

В теорията на вероятностите е доказано, че ако разгледаме не разпределението на резултатите от измерването, а разпределението на средноаритметичните стойности, открити от серия от n измервания във всяка серия, то също се подчинява на нормалния закон, но с дисперсия което е n пъти по-малко.

Вероятността да се намери резултатът от измерването в определен интервал (
) близо до истинската стойност на измерената стойност е равна на площта на криволинейния трапец, построен през този интервал и ограничен отгоре от кривата f(x). Стойност на интервала
обикновено се измерва в единици, пропорционални на квадратния корен от дисперсията
В зависимост от стойността на k на интервал
има криволинеен трапец с по-голяма или по-малка площ, т.е.

където F(k) е някаква функция от k. Изчисленията показват, че за

k=1,

k=2,

k=3,

Това показва, че в интервала
представлява приблизително 95% от площта под кривата f(x). Този факт е в пълно съответствие с второто свойство на случайните грешки, което гласи, че големи грешки са малко вероятни. Грешки по-големи от
, се случва с вероятност по-малка от 5%. Изразът (7), пренаписан за разпределението на средноаритметичната стойност на n измервания, приема формата

(8)

Стойност в (7) и (8) може да се определи въз основа на резултатите от измерването само приблизително по формула (6)

Заместване на тази стойност в израз (8), вдясно ще получим не F (k), а някаква нова функция, в зависимост не само от размера на разглеждания интервал от стойности X, но и от броя на направените измервания
И

защото само за много голям брой измервания формула (6) става достатъчно точна.

След като решихме системата от две неравенства в скоби от лявата страна на този израз по отношение на истинската стойност на X, можем да го пренапишем във формата

Изразът (9) определя вероятността, с която истинската стойност на X е в определен интервал от дължина относно стойността . Тази вероятност в теорията на грешките се нарича надеждност, а интервалът, съответстващ на нея за истинската стойност, се нарича доверителен интервал. Функция
изчислено в зависимост от t n и n и за него е съставена подробна таблица. Таблицата има 2 входа: pt n и n. С негова помощ за даден брой измервания n е възможно да се намери при определена стойност на надеждност Р стойността на t n , наречена коефициент на Студент.

Анализът на таблицата показва, че за определен брой измервания с изискването за повишаване на надеждността получаваме нарастващи стойности на t n , т.е. увеличаване на доверителния интервал. Надеждност, равна на единица, би съответствала на доверителен интервал, равен на безкрайност. Като се има предвид определена надеждност, можем да направим доверителния интервал за истинската стойност по-тесен, като увеличим броя на измерванията, тъй като S n не се променя много и намалява както чрез намаляване на числителя, така и чрез увеличаване на знаменателя. След като се направи достатъчен брой експерименти, е възможно да се направи доверителен интервал с всякаква малка стойност. Но за големи n, по-нататъшното увеличаване на броя на експериментите много бавно намалява доверителния интервал и обемът на изчислителната работа се увеличава много. Понякога в практическата работа е удобно да се използва приблизително правило: за да се намали няколко пъти доверителния интервал, намерен от малък брой измервания, е необходимо да се увеличи броят на измерванията със същия фактор.

ПРИМЕР ЗА ОБРАБОТКА НА РЕЗУЛТАТИТЕ ОТ ДИРЕКТНО ИЗМЕРВАНЕ

Да вземем като експериментални данни първите три резултата от 12, според които е построена хистограмата X: 13,4; 13.2; 13.3.

Нека се запитаме надеждността, която обикновено се приема в учебната лаборатория, P = 95%. От таблицата за P = 0,95 и n = 3 намираме t n = 4,3.

или

с 95% надеждност. Последният резултат обикновено се записва като равенство

Ако доверителният интервал на такава стойност не отговаря (например в случай, когато инструменталната грешка е 0,1) и искаме да го намалим наполовина, трябва да удвоим броя на измерванията.

Ако вземем, например, последните 6 стойности от същите 12 резултата (за първите шест се предлага да направите изчислението сами)

X: 13,1; 13,3; 13,3; 13.2; 13,3; 13.1,

тогава

Стойността на коефициента t n се намира от таблицата за Р = 0,95 и n = 6; tn = 2,6.

В такъв случай
Нека начертаем доверителния интервал за истинската стойност в първия и втория случай върху числовата ос.

Интервалът, изчислен от 6 измервания, е, както се очаква, в рамките на интервала, установен от три измервания.

Инструменталната грешка въвежда систематична грешка в резултатите, което разширява доверителните интервали, изобразени на оста с 0,1. Следователно резултатите, записани, като се вземе предвид инструменталната грешка, имат формата

1)
2)

В общия случай процедурата за обработка на резултатите от директните измервания е следната (приема се, че няма системни грешки).

Случай 1Броят на измерванията е по-малък от пет.

1) Съгласно формула (6) се намира средният резултат х, дефиниран като средноаритметично от резултатите от всички измервания, т.е.

2) По формула (12) се изчисляват абсолютните грешки на отделните измервания

.

3) По формула (14) се определя средната абсолютна грешка

.

4) Съгласно формула (15) се изчислява средната относителна грешка на резултата от измерването

.

5) Запишете крайния резултат в следната форма:

, при
.

Случай 2. Броят на измерванията е над пет.

1) Съгласно формула (6) се намира средният резултат

.

2) По формула (12) се определят абсолютните грешки на отделните измервания

.

3) Съгласно формулата (7) се изчислява средната квадратична грешка на едно измерване

.

4) Изчислете стандартното отклонение за средната стойност на измерената стойност по формулата (9).

.

5) Крайният резултат се записва в следната форма

.

Понякога случайните грешки при измерване могат да се окажат по-малки от стойността, която измервателният уред (инструментът) може да регистрира. В този случай за произволен брой измервания се получава един и същ резултат. В такива случаи като средна абсолютна грешка
вземете половината от мащабното деление на инструмента (инструмента). Тази стойност понякога се нарича ограничаваща или инструментална грешка и се обозначава
(за нониус инструменти и хронометър
равна на точността на инструмента).

Оценка на надеждността на резултатите от измерването

Във всеки експеримент броят на измерванията на физическа величина винаги е ограничен по една или друга причина. В следствие стова може да е задачата за оценка на надеждността на резултата. С други думи, определете с каква вероятност може да се твърди, че грешката, допусната в този случай, не надвишава предварително определената стойност ε. Тази вероятност се нарича доверителна вероятност. Нека го обозначим с буква.

Може да се постави и обратна задача: да се определят границите на интервала
така че с дадена вероятност може да се твърди, че истинската стойност на измерванията на количеството няма да надхвърли определения, така наречения доверителен интервал.

Доверителният интервал характеризира точността на получения резултат, а доверителният интервал характеризира неговата надеждност. Методи за решаване на тези две групи проблеми са налични и са разработени особено подробно за случая, когато грешките на измерването се разпределят по нормалния закон. Теорията на вероятностите също така предоставя методи за определяне на броя на експериментите (повторни измервания), които осигуряват дадена точност и надеждност на очаквания резултат. В тази работа тези методи не се разглеждат (ще се ограничим до споменаването им), тъй като такива задачи обикновено не се поставят при извършване на лабораторна работа.

От особен интерес обаче е случаят с оценка на надеждността на резултата от измервания на физически величини с много малък брой повторни измервания. Например,
. Точно такъв е случаят, с който често се срещаме при изпълнение на лабораторни работи по физика. При решаване на този вид задачи се препоръчва използването на метода, базиран на разпределението на Студент (закон).

За удобство на практическото приложение на разглеждания метод има таблици, с които можете да определите доверителния интервал
съответстващи на дадено ниво на доверие или решаване на обратната задача.

По-долу са тези части от споменатите таблици, които могат да се изискват при оценка на резултатите от измерванията в лабораторни класове.

Нека, например, произведени равни (при еднакви условия) измервания на някаква физическа величина и изчислява средната му стойност . Необходимо е да се намери доверителния интервал съответстващ на даденото ниво на доверие . Проблемът обикновено се решава по следния начин.

Съгласно формулата, като вземете предвид (7), изчислете

След това за дадени стойности ни намерете според таблицата (Таблица 2) стойността . Стойността, която търсите, се изчислява въз основа на формулата

(16)

При решаване на обратната задача параметърът първо се изчислява по формула (16). Желаната стойност на доверителната вероятност се взема от таблицата (Таблица 3) за дадено число и изчислен параметър .

Таблица 2.Стойност на параметъра за даден брой експерименти

и ниво на увереност

Таблица 3Стойността на доверителната вероятност за даден брой експерименти ни параметър ε

Основните разпоредби на методите за обработка на резултатите от директни измервания с множество наблюдения са определени в GOST 8.207-76.

Вземете като резултат от измерването средно аритметично данни ннаблюдения, от които са изключени системните грешки. Предполага се, че резултатите от наблюденията след изключване на систематични грешки от тях принадлежат към нормалното разпределение. За да се изчисли резултатът от измерването, е необходимо да се изключи систематичната грешка от всяко наблюдение и в резултат да се получи коригираният резултат и-то наблюдение. След това се изчислява средноаритметичната стойност на тези коригирани резултати и се приема като резултат от измерването. Средноаритметичната стойност е последователна, безпристрастна и ефективна оценка на измерваната величина при нормално разпределение на данните от наблюдение.

Трябва да се отбележи, че понякога в литературата вместо термина резултат от наблюдениетерминът се използва понякога единичен резултат от измерване, от което са изключени системните грешки. В същото време средноаритметичната стойност се разбира като резултат от измерването в тази серия от няколко измервания. Това не променя същността на процедурите за обработка на резултатите, представени по-долу.

При статистическа обработка на групи от резултати от наблюдение трябва да се извърши следното: операции :

1. Отстранете известната систематична грешка от всяко наблюдение и получете коригирания резултат от индивидуалното наблюдение х.

2. Изчислете средноаритметичната стойност на коригираните резултати от наблюдение, взета като резултат от измерването:

3. Изчислете оценката на стандартното отклонение

групи за наблюдение:

Провери наличността груби грешки – има ли стойности, които надхвърлят ±3 С. При нормален закон за разпределение с вероятност, практически равна на 1 (0,997), никоя от стойностите на тази разлика не трябва да надхвърля определените граници. Ако са, тогава съответните стойности трябва да бъдат изключени от разглеждане и изчисленията и оценката трябва да се повторят отново. С.

4. Изчислете RMS оценката на резултата от измерването (средно

аритметика)

5. Тествайте хипотезата за нормалното разпределение на резултатите от наблюденията.

Съществуват различни приблизителни методи за проверка на нормалността на разпределението на резултатите от наблюдение. Някои от тях са дадени в GOST 8.207-76. Ако броят на наблюденията е по-малък от 15, в съответствие с този GOST, тяхната принадлежност към нормалното разпределение не се проверява. Доверителните граници на случайната грешка се определят само ако е известно предварително, че резултатите от наблюденията принадлежат на това разпределение. Приблизително естеството на разпределението може да се прецени чрез изграждане на хистограма на резултатите от наблюденията. Математическите методи за проверка на нормалността на разпределение се обсъждат в специализираната литература.

6. Изчислете границите на доверие e на случайната грешка (случаен компонент на грешката) на резултата от измерването

където t q- Коефициент на Студент, в зависимост от броя на наблюденията и нивото на увереност. Например, когато н= 14, П= 0,95 t q= 2,16. Стойностите на този коефициент са дадени в приложението към посочения стандарт.

7. Изчислете границите на общата неизключена систематична грешка (TSE) на резултата от измерването Q (съгласно формулите в раздел 4.6).

8. Анализирайте съотношението на Q и :

Ако , тогава NSP се пренебрегва в сравнение със случайни грешки и границата на грешката на резултата D=e..Ако > 8, тогава случайната грешка може да се пренебрегне и границата на грешката на резултата D=Θ . Ако и двете неравенства не са изпълнени, тогава границата на грешка на резултата се намира чрез конструиране на композиция от разпределения на случайни грешки и NSP по формулата: , където Да се– коефициент в зависимост от съотношението на случайната грешка и NSP; S e- оценка на общото стандартно отклонение на резултата от измерването. Оценката на общото стандартно отклонение се изчислява по формулата:

.

Коефициентът K се изчислява по емпиричната формула:

.

Нивото на доверие за изчисляване и трябва да е същото.

Грешката от прилагането на последната формула за състава на равномерно (за NSP) и нормално (за случайна грешка) разпределение достига 12% при ниво на доверие 0,99.

9. Запишете резултата от измерването. Има два варианта за запис на резултата от измерването, тъй като е необходимо да се прави разлика между измервания, когато крайната цел е получаването на стойността на измерената величина, и измервания, резултатите от които ще бъдат използвани за по-нататъшни изчисления или анализ.

В първия случай е достатъчно да се знае общата грешка на резултата от измерването и със симетрична грешка на доверието резултатите от измерването се представят във формата: , където

къде е резултатът от измерването.

Във втория случай трябва да се знаят характеристиките на компонентите на грешката на измерването - оценката на стандартното отклонение на резултата от измерването, границите на NSP, броя на направените наблюдения. При липса на данни за формата на функциите на разпределение на компонентите на грешката на резултата и необходимостта от по-нататъшна обработка на резултатите или анализ на грешките, резултатите от измерването се представят във формата:

Ако границите на NSP се изчисляват в съответствие с точка 4.6, тогава се посочва допълнително доверителната вероятност P.

Оценките и производните на тяхната стойност могат да бъдат изразени както в абсолютна форма, тоест в единици на измерената величина, така и в относителна, тоест като отношение на абсолютната стойност на дадено количество към резултата от измерването. В този случай изчисленията по формулите на този раздел трябва да се извършват, като се използват количества, изразени само в абсолютна или относителна форма.

Физиката е експериментална наука, което означава, че физическите закони се установяват и тестват чрез натрупване и сравняване на експериментални данни. Целта на физическата работилница е учениците да преживеят основните физически явления, да се научат как правилно да измерват числените стойности на физическите величини и да ги сравняват с теоретични формули.

Всички измервания могат да бъдат разделени на два вида - прави непряк.

В директенПри измервания стойността на желаното количество се получава директно от показанията на измервателния уред. Така например дължината се измерва с линийка, времето по часовник и т.н.

Ако желаната физическа величина не може да бъде измерена директно от устройството, а се изразява чрез формулата чрез измерените величини, тогава такива измервания се наричат непряк.

Измерването на каквато и да е величина не дава абсолютно точна стойност на това количество. Всяко измерване винаги съдържа някаква грешка (грешка). Грешката е разликата между измерената стойност и истинската стойност.

Грешките се разделят на систематичнои произволен.

Систематичносе нарича грешка, която остава постоянна през цялата серия от измервания. Такива грешки се дължат на несъвършенството на измервателния инструмент (например нулево отместване на устройството) или на метода на измерване и по принцип могат да бъдат изключени от крайния резултат чрез въвеждане на подходяща корекция.

Към систематичните грешки се отнася и грешката на измервателните уреди. Точността на всяко устройство е ограничена и се характеризира с неговия клас на точност, който обикновено се посочва в измервателната скала.

Случаеннаречена грешка, която варира в различните експерименти и може да бъде както положителна, така и отрицателна. Случайните грешки се дължат на причини, които зависят както от измервателния уред (триене, пролуки и др.), така и от външни условия (вибрации, колебания на напрежението в мрежата и др.).

Случайните грешки не могат да бъдат изключени емпирично, но тяхното влияние върху резултата може да бъде намалено чрез многократни измервания.

Изчисляване на грешката при директни измервания, средната стойност и средната абсолютна грешка.

Да приемем, че правим серия от измервания на X. Поради наличието на случайни грешки получаваме нразлични значения:

X 1, X 2, X 3 ... X n

Като резултат от измерването обикновено се взема средната стойност

Разлика между средна стойност и резултат аз-това измерване се нарича абсолютна грешка на това измерване

Като мярка за грешката на средната стойност може да се вземе средната стойност на абсолютната грешка на едно измерване

(2)

Стойност
се нарича средноаритметична (или средна абсолютна) грешка.

След това резултатът от измерването трябва да бъде записан във формуляра

(3)

За характеризиране на точността на измерванията се използва относителната грешка, която обикновено се изразява като процент

(4)

В общия случай процедурата за обработка на резултатите от директните измервания е следната (приема се, че няма системни грешки).

Случай 1Броят на измерванията е по-малък от пет.

х, дефиниран като средноаритметично от резултатите от всички измервания, т.е.

2) По формула (12) се изчисляват абсолютните грешки на отделните измервания

3) По формула (14) се определя средната абсолютна грешка

.

4) Съгласно формула (15) се изчислява средната относителна грешка на резултата от измерването

5) Запишете крайния резултат в следната форма:

Случай 2. Броят на измерванията е над пет.

1) Съгласно формула (6) се намира средният резултат

2) По формула (12) се определят абсолютните грешки на отделните измервания

3) Съгласно формулата (7) се изчислява средната квадратична грешка на едно измерване

.

4) Изчислете стандартното отклонение за средната стойност на измерената стойност по формулата (9).

5) Крайният резултат се записва в следната форма

Понякога случайните грешки при измерване могат да се окажат по-малки от стойността, която измервателният уред (инструментът) може да регистрира. В този случай за произволен брой измервания се получава един и същ резултат. В такива случаи половината от делението на скалата на инструмента (инструмента) се приема като средна абсолютна грешка. Тази стойност понякога се нарича гранична или инструментална грешка и се обозначава (за нониус инструменти и хронометър тя е равна на точността на инструмента).

Оценка на надеждността на резултатите от измерването

Във всеки експеримент броят на измерванията на физическа величина винаги е ограничен по една или друга причина. В тази връзка може да се постави задачата да се оцени надеждността на резултата. С други думи, определете с каква вероятност може да се твърди, че грешката, допусната в този случай, не надвишава предварително определената стойност ε. Тази вероятност се нарича доверителна вероятност. Нека го обозначим с буква.

Може да се постави и обратна задача: да се определят границите на интервала, така че с дадена вероятност да може да се твърди, че истинската стойност на измерванията на количеството няма да надхвърли определения, така наречения доверителен интервал.

Доверителният интервал характеризира точността на получения резултат, а доверителният интервал характеризира неговата надеждност. Методи за решаване на тези две групи проблеми са налични и са разработени особено подробно за случая, когато грешките на измерването се разпределят по нормалния закон. Теорията на вероятностите също така предоставя методи за определяне на броя на експериментите (повторни измервания), които осигуряват дадена точност и надеждност на очаквания резултат. В тази работа тези методи не се разглеждат (ще се ограничим до споменаването им), тъй като такива задачи обикновено не се поставят при извършване на лабораторна работа.

От особен интерес обаче е случаят с оценка на надеждността на резултата от измервания на физически величини с много малък брой повторни измервания. Например, . Точно такъв е случаят, с който често се срещаме при изпълнение на лабораторни работи по физика. При решаване на този вид задачи се препоръчва използването на метода, базиран на разпределението на Студент (закон).

За удобство на практическото приложение на разглеждания метод има таблици, с които можете да определите доверителния интервал, съответстващ на дадена доверителна вероятност или да решите обратната задача.

По-долу са тези части от споменатите таблици, които могат да се изискват при оценка на резултатите от измерванията в лабораторни класове.

Нека например да се направят еднакво точни (при еднакви условия) измервания на определена физическа величина и да се изчисли нейната средна стойност. Необходимо е да се намери доверителен интервал, съответстващ на дадено ниво на доверие. Проблемът обикновено се решава по следния начин.

Съгласно формулата, като вземете предвид (7), изчислете

След това за дадени стойности ни намерете стойността според таблицата (Таблица 2). Стойността, която търсите, се изчислява въз основа на формулата

При решаване на обратната задача параметърът първо се изчислява по формула (16). Желаната стойност на доверителната вероятност се взема от таблицата (Таблица 3) за даденото число и изчисления параметър.

Таблица 2.Стойност на параметъра за даден брой експерименти

и ниво на увереност

н	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

Таблица 3Стойността на доверителната вероятност за даден брой експерименти ни параметър ε

н		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
б	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

Обработка на резултатите от косвени измервания

Много рядко съдържанието на лабораторна работа или научен експеримент се свежда до получаване на резултат от директно измерване. В по-голямата си част желаното количество е функция на няколко други количества.

Задачата на обработката на експерименти с индиректни измервания е да се изчисли най-вероятната стойност на желаната стойност и да се оцени грешката на непреките измервания въз основа на резултатите от преките измервания на определени количества (аргументи), свързани с желаната стойност чрез определена функционална зависимост.

Има няколко начина за справяне с непреките измервания. Помислете за следните два метода.

Нека по метода на косвените измервания се определи някаква физическа величина.

Резултатите от директните измервания на неговите аргументи x, y, z са дадени в табл. 4.

Таблица 4

Номер на опит	х	г	z	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
н				…

Първият начин за обработка на резултатите е както следва. Използвайки изчислената (17) формула, желаната стойност се изчислява въз основа на резултатите от всеки експеримент

(17)

Описаният метод за обработка на резултатите е приложим по принцип във всички случаи на индиректни измервания без изключение. Въпреки това, най-целесъобразно е да се използва, когато броят на повтарящите се измервания на аргументите е малък, а формулата за изчисление на косвено измерената стойност е сравнително проста.

При втория метод за обработка на резултатите от експериментите, първо, като се използват резултатите от директните измервания (Таблица 4), първо се изчисляват средноаритметичните стойности на всеки от аргументите, както и грешките при тяхното измерване. Заместване , , ,... в изчислителната формула (17), определете най-вероятната стойност на измерената величина

(17*)