Mathcad е софтуерен инструмент, среда за извършване на различни математически и технически изчисления на компютър, оборудван с лесен за научаване и лесен за използване графичен интерфейс, който предоставя на потребителя инструменти за работа с формули, числа, графики и текстове. Повече от сто оператори и логически функции са налични в средата на Mathcad, предназначени за числено и символно решаване на математически задачи с различна сложност.

За автоматизиране на математически, инженерни и научни изчисления се използват различни изчислителни инструменти – от програмируеми микрокалкулатори до суперкомпютри. И въпреки това подобни изчисления за мнозина остават труден въпрос. Освен това използването на компютри за изчисления въведе нови трудности: преди да започне изчисления, потребителят трябва да овладее основите на алгоритмизацията, да научи един или повече езици за програмиране, както и числени методи за изчисление. Ситуацията се промени значително след пускането на специализирани софтуерни системи за автоматизация на математически и инженерни изчисления.

Такива комплекси включват софтуерни пакети Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive и др. Mathcad заема специално място в тази серия.

Mathcad е интегрирана система за решаване на математически, инженерни и научни проблеми. Той съдържа редактор на текст и формули, калкулатор, научни и бизнес графични инструменти, както и огромна база данни с референтна информация, математическа и инженерна, проектирана като справочник, вграден в Mathcad, набор от електронни книги и обикновена "хартия". “ книги, включително и на руски език

Текстовият редактор се използва за въвеждане и редактиране на текстове. Текстовете са коментари и математическите изрази, включени в тях, не се изпълняват. Текстът може да се състои от думи, математически символи, изрази и формули.

Процесорът за формули предоставя естествен "многоетажен" набор от формули в познати математически обозначения (деление, умножение, квадратен корен, интеграл, сбор и т.н.). Най-новата версия на Mathcad напълно поддържа кирилица в коментари, формули и графики.

Калкулаторът предоставя изчисления с помощта на сложни математически формули, има голям набор от вградени математически функции, позволява ви да изчислявате серии, суми, произведения, интеграли, производни, да работите със комплексни числа, да решавате линейни и нелинейни уравнения, както и диференциални уравнения и системи, минимизиране и максимизиране на функциите, извършване на векторни и матрични операции, статистически анализ и др. Можете лесно да промените битовата дълбочина и основата на числата (двоични, осмични, десетични и шестнадесетични), както и грешката на итеративните методи. Автоматичен контрол на размерите и преизчисление в различни измервателни системи (SI, GHS, англо-американски, както и по поръчка).

Mathcad има вградени символни математически инструменти, които ви позволяват да решавате проблеми чрез компютърни аналитични трансформации.

Графичният процесор се използва за създаване на графики и диаграми. Той съчетава лекота на комуникация с потребителя със силата на бизнес и научна графика. Графиката е фокусирана върху решаването на типични математически задачи. Възможно е бързо да променяте вида и размера на графиките, да наслагвате текстови етикети върху тях и да ги премествате на всяко място в документа.

Mathcad е универсална система, т.е. може да се използва във всяка област на науката и технологиите - навсякъде, където се прилагат математическите методи. Писането на команди в системата Mathcad на език, много близък до стандартния език за математически изчисления, опростява формулирането и решаването на задачи.

Mathcad е интегриран с всички други компютърни системи за точкуване.

Mathcad улеснява решаването на проблеми като:

въвеждане на различни математически изрази на компютър (за по-нататъшни изчисления или създаване на документи, презентации, уеб страници или електронни и обикновени "хартиени" книги);

извършване на математически изчисления (както аналитични, така и числени методи);

изготвяне на графики (както двумерни, така и триизмерни) с резултатите от изчисленията;

въвеждане на изходни данни и извеждане на резултати в текстови файлове или файлове с бази данни в други формати;

изготвяне на отчети за работа под формата на печатни документи;

Изготвяне на уеб страници и публикуване на резултати в интернет;

получаване на разнообразна справочна информация

и много други задачи.

От версия 14 Mathcad е интегриран с Pro/ENGINEER (както и със SolidWorks). Интеграцията на Mathcad и Pro/ENGINEER се основава на двупосочна комуникация между тези приложения. Техните потребители могат лесно да свържат всеки файл Mathcad с част и монтаж на Pro/ENGINEER, използвайки функцията за анализ на характеристиките на Pro/ENGINEER.

Mathcad създава удобна изчислителна среда за голямо разнообразие от математически изчисления и документиране на резултатите от работата в рамките на одобрените стандарти. Mathcad ви позволява да създавате корпоративни и сертифицирани от индустрията инструменти за изчисление в различни области на науката и технологиите, предоставяйки единна методология за всички организации, които са част от корпорация или индустрия

Най-новата версия на Mathcad поддържа 9 езика, позволява по-мощни и по-ясни изчисления.

НИЙДЪМ (Масачузетс). На 12 февруари 2007 г. PTC (в списъка на Nasdaq: PMTC), компания за разработка на CAD/CAM/CAE/PLM системи, обяви пускането на Mathcad 14.0, най-новата версия на популярната система за автоматизация на инженерни изчисления. След придобиването на Mathsoft през април 2006 г., PTC фокусира усилията си за по-нататъшно разширяване на географския обхват на технологията Mathcad и значително увеличаване на своята потребителска база. Mathcad 14.0 значително разширява възможностите на потребителя при решаване на постоянно нарастващи изчислителни проблеми, подобрява съгласуваността на изчислителните документи по време на целия процес на разработка на продукта.

В днешното глобално разделение на процеса на разработване на продукти научните и технически изчисления стават изключително важни. С пускането на Mathcad 14.0, PTC предоставя пълна поддръжка на Unicode и скоро ще предложи продукта на девет езика. Нови сред тях ще бъдат езици като италиански, испански, корейски и двата китайски - традиционни и опростен. Разширената езикова поддръжка в Mathcad 14.0 ще позволи на географски разпръснати екипи да извършват и документират изчисления на техния местен език и в резултат на това ще повиши производителността чрез увеличаване на неговата скорост и точност, както и намаляване на грешките, които възникват при превод от един език на друг.

Mathcad 14.0 също така ви позволява да извършвате по-сложни изчисления, като същевременно поддържате тяхната яснота с новите функции на WorkSheet (документ, отворен в средата на Mathcad), допълнителни онлайн инструменти за числена оценка и разширен набор от знаци. Това ще помогне на потребителите при извличане на формули, показване на изчислителния процес и документиране на изчисленията. В крайна сметка, специалните добавки ще позволят на потребителите да работят върху по-широк спектър от инженерни задачи.

Интеграцията на Mathcad и Pro/ENGINEER се основава на двупосочна комуникация между тези приложения. Техните потребители могат лесно да свържат всеки файл на Mathcad с част и монтаж на Pro/ENGINEER, използвайки функцията за анализ на характеристиките Pro/ENGINEER. Основните стойности, изчислени в системата Mathcad, могат да бъдат преведени в параметри и размери на CAD модел за управление на геометричен обект. Параметри от модела Pro/ENGINEER могат също да бъдат въведени в Mathcad за последващи инженерни изчисления. При промяна на параметри, взаимната интеграция на двете системи ви позволява динамично да актуализирате изчисленията и чертежа на обекта. Освен това, управляваните от Mathcad модели Pro/ENGINEER вече могат да бъдат валидирани с помощта на модули за симулация Pro/ENGINEER като Pro/ENGINEER Mechanica®, Структурна и термична симулация, опция Fatique Advisor и опция за динамика на механизма.

Какво е новото в Mathcad 14.0?

Нов тандем от интерфейсни оператори („Две в едно“)

Формат на числата в диаграми

Намери/замени промени в командата

Сравнете команда

Ново в решаването на ODE

Нови средства на символната математика

Поддръжка на Unicode кодова таблица

Потребителски интерфейс

Потребителският интерфейс означава набор от инструменти за графична обвивка Math CAD, които осигуряват лесно управление на системата, както от клавиатурата, така и с мишката. Под управление се разбира просто набор от необходими символи, формули, текстови коментари и т.н. и възможността за цялостна подготовка на документи (Работни листове) и електронни книги в среда MathCAD с последващото им стартиране в реално време. Потребителският интерфейс на системата е проектиран така, че потребител с основни умения за работа с Windows приложения може незабавно да започне работа с MathCAD.

Прозорец за редактиране.

Главно меню на системата.

Вторият ред на прозореца на системата е главното меню. Целта на неговите команди е дадена по-долу:

Файл (File) - работа с файлове, интернет и електронна поща;

РАЗДЕЛИТЕЛ НА СТРАНИЦА--

Падащото меню съдържа команди, които са стандартни за приложенията на Windows.

Edit (Editing) - редактиране на документи;

Падащото меню съдържа и стандартни за Windows приложения команди.Повечето от тях са достъпни само ако в документа са избрани една или повече области (текст, формула, графика и т.н.).

Преглед (Преглед) - промяна на средствата за преглед;

Ленти с инструменти (Панели) - ви позволява да показвате или скривате лентите с инструменти Standard (Стандарт), Formatting (Форматиране), Math (Математика).

Лента на състоянието - Активирайте или деактивирайте показването на лентата на състоянието на системата.

Линийка (линийка) - активиране/деактивиране на линийката.

Региони (Граници) - Прави видими границите на регионите (текст, графики, формули).

Увеличаване (увеличение).

Опресняване - Обновява съдържанието на екрана.

Animate (Animation) – Командата ви позволява да създадете анимация.

Възпроизвеждане (плейър) – Възпроизвеждане на анимация, съхранена във файл с разширение AVI.

Предпочитания (Настройки) - Един от разделите на изскачащия прозорец (Общи) ви позволява да зададете някои параметри на програмата, които не влияят на изчисленията, другият раздел (Интернет) се използва за въвеждане на информация при работа съвместно с MathCAD -документи през интернет.

Insert (Insert) – Командите в това меню ви позволяват да поставяте графики, функции, хипервръзки, компоненти и вграждане на обекти в документа MathCAD.

Формат - промяна на формата на обектите

Уравнение - Форматиране на формули и създаване на собствени стилове за представяне на данни

Резултат(Резултат) - Позволява ви да зададете формата за представяне на резултатите от изчисленията (Вижте раздел 1.4 от тази лекция)

Text(Text) - Форматиране на текстов фрагмент (шрифт, размер, стил)

Paragraf (Параграф) - Промяна на формата на текущия параграф (отстъпи, подравняване).

Tabs (Tabulation) - Задаване на позициите на маркерите за табулиране.

Стил (Стил) - Форматиране на текстови абзаци.

Properties (Свойства) - Раздел Display (Display) ви позволява да зададете цвета на фона за най-важните текстови и графични области; вмъкнатата в документа картина (Вмъкване -> Картина) ви позволява да я затворите в рамка, да я върнете в оригиналния й размер. Vkvadka Calculation (Изчисление) ви позволява да активирате и деактивирате изчислението за избраната формула; в последния случай в горния десен ъгъл на областта на формулата се появява малък черен правоъгълник и формулата става коментар.

Graf (Графика) - Позволява ви да променяте параметрите за показване на графики

Отделни региони – Позволява ви да разширявате припокриващи се региони.

Подравняване на региони - Подравнява избраните региони хоризонтално или вертикално.

Headers/Footers (Headers and Flooters) - създаване и редактиране на горни и долни колонтитули.

Repaganite сега (преномериране на страници) - Произвежда разбивка на текущия документ на страници.

Математика (Математика) - управление на процеса на изчисление; В MathCAD има два режима на изчисление: автоматичен и ръчен. В автоматичен режим резултатите от изчисленията се актуализират напълно, когато има някаква промяна във формулата.

Автоматично изчисление - Позволява ви да превключвате режимите на изчисление.

Изчисляване - В режим на ръчно изчисление ви позволява да преизчислите видимата част на екрана.

Оптимизация (Оптимизация) - Използвайки тази команда, можете да принудите MathCAD да извършва символни изчисления преди числената оценка на израза и, когато намерите по-компактна форма на израза, да го използвате. Ако изразът е оптимизиран, вдясно от него се появява малка червена звездичка. Двойното щракване върху него отваря прозорец, съдържащ оптимизирания резултат.

Опции - позволява ви да зададете опции за изчисление

Symbolik (Символи) - избор на символни операции на процесора;

Позициите на това меню са разгледани подробно в Лекция 6, посветена на символните изчисления в системата MathCAD.

Window (Прозорец) - управление на системни прозорци;

Помощ (?) – работа с референтната база данни за системата;

Mathcad Help (Помощ за MathCAD) – съдържа три раздела: Съдържание – Помощта е организирана по теми; Индекс - предметен указател; Търсене - намира желаното понятие при въвеждането му във формата.

Ресурсен център - Информационен център, съдържащ преглед на изчислителните възможности на MathCAD (Преглед и Уроци), бърза помощ под формата на примери от различни области на математиката (Бързи листове и справочни таблици).

Съвет на деня - изскачащи прозорци с полезни съвети (показват се, когато системата се стартира).

Open Book - позволява ви да отворите справочника за системата MathCAD.

За Mathcad (За програмата Mathcad) - информация за версията на програмата, авторски права и потребител.

Всеки елемент от главното меню може да бъде активиран. За да направите това, просто го посочете с курсора - стрелката на мишката и натиснете левия й бутон. Можете също да натиснете клавиша F10 и да използвате десния и левия клавиш за навигация. След това изборът се фиксира чрез натискане на клавиша Enter. Ако някоя позиция на главното меню е активна, то показва падащо подменю със списък на наличните и недостъпни (но възможни в бъдеще) операции. Придвижването през списъка с подменюта и избора на желаната операция става по същия начин, както е описано за главното меню.

Стандартна лента с инструменти.

Третият ред на прозореца на системата е зает от Toolbox. Той съдържа няколко групи бутони за управление с икони, всяка от които дублира една от най-важните операции на главното меню. Веднага след като спрете курсора на мишката върху някоя от тези икони, в жълтото поле ще се появи текст, обясняващ функциите на иконите. Помислете за действието на бутоните за бързо управление на системата.

Бутони за работа с файлове.

Документите на системата MathCAD са файлове, т.е. именувани единици за съхранение на магнитни дискове. Файловете могат да се създават, изтеглят (отворят), записват и отпечатват на принтер. Възможните операции с файлове са представени в лентата с инструменти от първата група от три бутона:

Нов работен лист (Създаване) - създаване на нов документ с изчистване на прозореца за редактиране;

Open Worksheet (Open) - зареждане на предварително създаден документ от диалогов прозорец;

Save Worksheet - запис на текущия документ с неговото име.

Печат и контрол на документи.

Print Worksheet (Печат) - разпечатка на документа на принтера;

Print Preview (Преглед) - предварителен преглед на документа;

Проверка на правописа - проверете правописа на документа.

Бутони за операции по редактиране.

При подготовката на документите те трябва да бъдат редактирани, т.е. модифицира и допълва.

Продължение
--РАЗДЕЛИТЕЛ НА СТРАНИЦА--

Cut (Cut) - прехвърляне на избраната част от документа в клипборда с изчистване на тази част от документа;

Копиране (Копиране) - копиране на избраната част от документа в клипборда при запазване на избраната част от документа;

Поставяне (Вмъкване) - прехвърляне на съдържанието на клипборда в прозореца за редактиране на мястото, посочено от курсора на мишката;

Отмяна - отмяна на предишната операция за редактиране;

Последните три операции са свързани с използването на клипборда. Предназначен е за временно съхранение на данни и прехвърлянето им от една част на документа в друга или за организиране на обмен на данни между различни приложения.

Блокиране на бутони за поставяне.

Документите се състоят от различни блокове: текстови, официални, графични и др. Блоковете се преглеждат от системата, интерпретират се и се изпълняват. Прегледът е от дясно на ляво и отдолу нагоре.

/>- Подравняване напречно (Подравняване хоризонтално) - блоковете се подравняват хоризонтално.

/>- Подравняване надолу - блоковете са подравнени вертикално, отгоре надолу.

Пиктограмите на тези бутони изобразяват блоковете и посочените опции за тяхното разположение.

Бутони за работа с изрази

Блоковете с формули често са изчислени изрази или изрази, които са част от дефинирани от потребителя нови функции. Иконите се използват за работа с изрази.

Следните групи бутони са специфични за системата MathCAD.

/>Вмъкване на функция - вмъкване на функция от списъка, който се появява в диалоговия прозорец;

/>Insert Unit (Insert units) - вмъкване на мерни единици;

Достъп до нови функции на MathCAD.

Започвайки от версия MathCAD 7.0, се появиха нови бутони, които дават достъп до нови функции на системата:

/>Component Wizard - отваря прозореца Wizard, като дава лесен достъп до всички компоненти на системата;

/>Ran Math Connex (Изпълнение на системата Math Connex) - стартира системата, за да стимулира блоковите устройства.

Бутони за управление на ресурсите.

/>Ресурсен център - дава достъп до ресурсния център;

/>Помощ (Помощ) - дава достъп до ресурсите на помощната база данни на системата.

Панел за форматиране.

Четвъртият ред в горната част на екрана съдържа типични контроли за шрифтове:

Стил - Превключвател за избор на стил;

Шрифт - Превключвател за избор на набор от символи;

Point Size - Превключвател за избор на размери на знаци;

Bold - Задайте удебелен шрифт;

Italik - Задаване на курсивни знаци;

Подчертаване - Задаване на подчертани знаци;

Подравняване вляво - Задаване на ляво подравняване;

Center Align - Задайте подравняването към центъра;

Подравняване вдясно - Задаване на правилното подравняване.

До стартирането на набора от елементи на документа някои от описаните бутони и други обекти на потребителския интерфейс са в пасивно състояние. По-специално, няма етикети в превключвателите на лентата за форматиране. Иконите и превключвателите стават активни веднага щом има нужда да ги използвате.

В долната част на екрана, освен хоризонталната лента за превъртане, има още един ред - лентата на състоянието. Показва сервизна информация, кратки коментари, номер на страница и т.н. Тази информация е полезна за бърза оценка на състоянието на системата по време на работа с нея.

Набиране на математически ленти с инструменти.

За въвеждане на математически символи в MathCAD се използват удобни подвижни табла за набор със знаци. Те служат за извеждане на заготовки - шаблони на математически знаци (числа, знаци на аритметични операции, матрици, знаци на интеграли, производни и др.). За да покажете панела Math, изпълнете командата View -> Toolbar -> Math. Панелите за набиране се появяват в прозореца за редактиране на документи, когато съответните икони са активирани - първият ред на иконите за управление на системата. С помощта на общ панел за набор можете да покажете или всички панели наведнъж, или само тези, които са необходими за работа. За да зададете желания шаблон с тяхна помощ, достатъчно е да поставите курсора на желаното място на прозореца за редактиране (червен кръст на цветния дисплей) и след това да активирате иконата на желания шаблон, като поставите курсора на мишката върху него и натиснете левия му бутон.

Много от функциите и операциите, които се вмъкват в документ с помощта на математически набори, могат да бъдат поставени в документ с помощта на клавишни комбинации. В същото време работата в системата MathCAD става по-продуктивна. Препоръчваме ви да запомните клавишните комбинации за поне някои от най-често използваните команди.

Повече подробности за работата с допълнителни панели, активирани от бутоните на панела Math, ще бъдат описани в съответните раздели.

1. Работен прозорец на MathCAD

· Панел математика(фиг. 1.4).

Ориз. 1.4. Математически панел

Щракването върху бутона на лентата с инструменти за математика отваря допълнителна лента с инструменти:

2. Елементи на езика MathCAD

Основните елементи на математическите изрази на MathCAD включват оператори, константи, променливи, масиви и функции.

2.1 Оператори

Оператори -- елементи на MathCAD, с които можете да създавате математически изрази. Те например включват символи за аритметични операции, знаци за изчисляване на суми, произведения, производни, интеграли и др.

Операторът дефинира:

а) действието, което трябва да се извърши при наличието на определени стойности на операндите;

б) колко, къде и какви операнди трябва да бъдат въведени в оператора.

Операнд -- числото или изразът, върху който действа операторът. Например в израза 5!+3 числата 5! и 3 са операндите на оператора "+" (плюс), а числото 5 е операндът на факториала (!).

Всеки оператор в MathCAD може да бъде въведен по два начина:

чрез натискане на клавиш (комбинация от клавиши) на клавиатурата;

с помощта на математическия панел.

Следните изрази се използват за присвояване или показване на съдържанието на местоположението на паметта, свързано с променлива:

Знак за присвояване (въвежда се с натискане на клавиша : на клавиатурата (двоеточие в английската клавиатурна подредба) или чрез натискане на съответния бутон на панела Калкулатор );

Това задание се нарича местен. Преди това присвояване променливата не е дефинирана и не може да се използва.

Оператор на глобално присвояване. Това задание може да се направи навсякъде в документа. Например, ако на променлива се присвои стойност по този начин в самия край на документа, тогава тя ще има същата стойност в началото на документа.

Приблизителен оператор за равенство (x1). Използва се при решаване на системи от уравнения. Влиза се с натискане на клавиш ; на клавиатурата (точка и запетая в английската клавиатурна подредба) или чрез натискане на съответния бутон Булев панел.

Оператор (просто равно), запазен за извеждане на стойността на константа или променлива.

Най-простите изчисления

Процесът на изчисление се извършва с помощта на:

Калкулаторни панели, калкулационни панели и панели за оценка.

внимание. Ако е необходимо да се раздели целият израз в числителя, той първо трябва да бъде избран чрез натискане на интервала на клавиатурата или като се постави в скоби.

2.2 Константи

Константи -- именувани обекти, които съдържат някаква стойност, която не може да бъде променена.

Например = 3,14.

Размерни константи са обичайни мерни единици. Например метри, секунди и т.н.

За да запишете размерната константа, трябва да въведете знака * (умножете) след числото, изберете елемента от менюто Вмъкванеалинея Мерна единица. В измерванията най-известните ви категории: Дължина - дължина (m, km, cm); Маса -- тегло (g, kg, t); Време -- време (мин, сек, час).

2.3 Променливи

Променливи са наименувани обекти, които имат някаква стойност, която може да се промени, докато програмата работи. Променливите могат да бъдат числови, низови, символни и т.н. На променливите се присвояват стойности с помощта на знака за присвояване (:=).

внимание. MathCAD третира главните и малките букви като различни идентификатори.

Системни променливи

AT MathCADсъдържа малка група специални обекти, които не могат да бъдат приписани нито към класа на константите, нито към класа на променливите, чиито стойности се определят веднага след стартиране на програмата. По-добре е да ги преброим системни променливи.Това е например TOL - грешката на числените изчисления, ORIGIN - долната граница на стойността на индексния индекс на вектори, матрици и т.н. Ако е необходимо, можете да зададете други стойности за тези променливи.

Класирани променливи

Тези променливи имат серия от фиксирани стойности, или цели числа, или вариращи в определена стъпка от първоначалната стойност до крайната.

Използва се израз за създаване на променлива с диапазон:

Име=N започнете ,(Н започнете +Стъпка).N край ,

където Name е името на променливата;

N начало -- начална стойност;

Step -- определената стъпка за промяна на променливата;

N край -- крайна стойност.

Класираните променливи се използват широко в графиката. Например, за да начертаете графика на някаква функция е(х) на първо място, трябва да създадете серия от стойности на променливи х-- трябва да е променлива с диапазон, за да работи.

внимание.Ако не посочите стъпка в диапазона на променливите, програмата автоматично ще я приеме за равна на 1.

Пример . Променлива хварира в диапазона от -16 до +16 на стъпки от 0,1

За да напишете променлива с диапазон, трябва да въведете:

- име на променлива ( х);

- знак за присвояване (:=)

- първата стойност на диапазона (-16);

- запетая;

- втората стойност на диапазона, която е сумата от първата стойност и стъпката (-16 + 0,1);

- многоточие ( . ) -- промяна на променливата в дадените граници (въвежда се многоточие с натискане на точка и запетая в английската клавиатурна подредба);

— последната стойност на диапазона (16).

В резултат на това ще получите: х := -16,-16+0.1.16.

Изходни таблици

Всеки израз с класирани променливи след знака за равенство инициира изходната таблица.

Можете да вмъквате числови стойности в изходните таблици и да ги коригирате.

Променлива с индекс

Променлива с индекс-- е променлива, на която се присвоява набор от несвързани числа, всяко от които има свой собствен номер (индекс).

Индексът се въвежда чрез натискане на лявата квадратна скоба на клавиатурата или с помощта на бутона х нна панела Калкулатор.

Можете да използвате или константа, или израз като индекс. За да инициализирате променлива с индекс, трябва да въведете елементите на масива, като ги разделите със запетаи.

Пример. Въвеждане на индексни променливи.

Числовите стойности се въвеждат в таблицата, разделени със запетаи;

Извеждане на стойността на първия елемент на вектора S;

Извеждане на стойността на нулевия елемент на вектора S.

2.4 Масиви

масив -- колекция с уникално име от краен брой числови или символни елементи, подредени по някакъв начин и имащи специфични адреси.

В опаковката MathCADсе използват масиви от двата най-често срещани типа:

едномерни (вектори);

двумерни (матрици).

Можете да изведете матрица или векторен шаблон по един от следните начини:

изберете елемент от менюто Вмъкване - Матрица;

натиснете клавишната комбинация ctrl + М;

натиснете бутона за включване панел и вектори и матрици.

В резултат на това ще се появи диалогов прозорец, в който се задава необходимия брой редове и колони:

Редове-- брой редове

колони-- брой колони Ако на матрица (вектор) трябва да се даде име, тогава първо се въвежда името на матрицата (вектора), след това операторът за присвояване и след това шаблонът на матрицата.

например:

Матрица -- двуизмерен масив с име M n , m , състоящ се от n реда и m колони.

Можете да извършвате различни математически операции върху матрици.

2.5 Функции

Функция -- израз, според който някои изчисления се извършват с аргументи и се определя неговата числена стойност. Примери за функции: грях(х), тен(х) и т.н.

Функциите в пакета MathCAD могат да бъдат вградени или дефинирани от потребителя. Начини за вмъкване на вградена функция:

Изберете елемент от менюто Вмъкване — Функция.

Натиснете клавишната комбинация ctrl + Е.

Щракнете върху бутона в лентата с инструменти.

Въведете името на функцията на клавиатурата.

Потребителските функции обикновено се използват, когато един и същ израз се оценява няколко пъти. За да зададете потребителска функция:

Въведете името на функцията със задължителното посочване на аргумента в скоби, например f (x);

Въведете оператора за присвояване (:=);

Въведете изчислен израз.

Пример. е (z) := sin(2 z 2)

3. Форматиране на числа

В MathCAD можете да промените изходния формат на числата. Обикновено изчисленията се правят с точност до 20 цифри, но не се показват всички значими цифри. За да промените формата на числата, щракнете двукратно върху желания числов резултат. Ще се появи прозорецът за форматиране на числа, отворен в раздела номер Форматиране (Числов формат) със следните формати:

о Общ (Основно) -- е по подразбиране. Числата се показват в ред (например 1,2210 5). Броят на знаците на мантисата се определя на полето Експоненциална Праг(Праг на експоненциална нотация). Когато прагът е надвишен, числото се показва по ред. Броят на цифрите след десетичната запетая се променя в полето номер на десетичен места.

о Десетична (Decimal) -- Десетичното представяне на числата с плаваща запетая (например 12.2316).

о Научен (Научно) -- Числата се показват само в ред.

о Инженерство (Инженеринг) -- числата се показват само кратни на три (например 1,2210 6).

внимание. Ако след като зададете желания формат в прозореца за форматиране на числа, изберете бутона Добре, форматът ще бъде зададен само за избрания номер. И ако изберете бутона Задаване по подразбиране, форматът ще бъде приложен към всички числа в този документ.

Числата се закръгляват автоматично до нула, ако са по-малки от зададения праг. Прагът се задава за целия документ, а не за конкретен резултат. За да промените прага на закръгляване на нула, изберете елемента от менюто Форматиране - Резултати в табл толерантност , в полето нула праг въведете необходимата прагова стойност.

4. Работа с текст

Текстовите фрагменти са части от текст, които потребителят би искал да види в своя документ. Това могат да бъдат обяснения, връзки, коментари и т.н. Те се вмъкват с помощта на елемента от менюто Вмъкване — Текстова област.

Можете да форматирате текста: да промените шрифта, неговия размер, стил, подравняване и т.н. За да направите това, трябва да го изберете и да изберете подходящите опции в панела за шрифтове или в менюто Форматиране — Текст.

5. Работа с графики

При решаване на много задачи, където се изучава функция, често се налага да се начертае нейната графика, която ясно да отразява поведението на функцията на определен интервал.

В системата MathCAD е възможно да се изграждат различни видове графики: в декартова и полярна координатна система, триизмерни графики, повърхности на тела на въртене, полиедри, пространствени криви, графики на векторни полета. Ще разгледаме как да изградим някои от тях.

5.1 Начертаване на 2D графики

За да изградите двуизмерна графика на функция, трябва:

задайте функция

· поставете курсора на мястото, където трябва да се изгради графиката, на математическия панел изберете бутона Graph (графика), а в панела, който се отваря, бутона X-Y Plot (двумерна графика);

В появилия се шаблон на двуизмерна графика, който представлява празен правоъгълник с етикети за данни, въведете името на променливата в централния етикет с данни по абсцисната ос (ос X) и въведете името на функцията на мястото на централният етикет с данни по оста на ординатите (ос Y) (фиг. 2.1);

Ориз. 2.1. Шаблон за 2D сюжет

щракнете извън шаблона на графиката - графиката на функцията ще бъде начертана.

Диапазонът на аргументите се състои от 3 стойности: начална, втора и крайна.

Нека е необходимо да се начертае функционална графика на интервала [-2,2] със стъпка 0,2. Променливи стойности тса посочени като диапазон, както следва:

т:= —2, - 1.8 . 2 ,

където: -2 -- началната стойност на диапазона;

1,8 (-2 + 0,2) -- стойност на втория диапазон (първоначална стойност плюс стъпка);

2 е крайната стойност на диапазона.

внимание. Многоточие се въвежда чрез натискане на точка и запетая в английската клавиатурна подредба.

Пример. Начертаване на функция г = х 2 на интервала [-5,5] със стъпка 0,5 (фиг. 2.2).

Ориз. 2.2. Начертаване на функция г = х 2

Когато изчертавате графики, имайте предвид следното:

° Ако диапазонът на стойностите на аргумента не е посочен, тогава по подразбиране графиката се изгражда в диапазона [-10,10].

° Ако е необходимо да се поставят няколко графики в един шаблон, тогава имената на функциите се посочват, разделени със запетаи.

° Ако две функции имат различни аргументи, например f1(x) и f2(y), тогава имената на функциите са посочени по оста на ординатата (Y), разделени със запетаи, а по оста на абсцисата (X), имената на двете променливи също са разделени със запетаи.

° Екстремните знаци за данни на шаблона за графика служат за посочване на граничните стойности на абсцисите и ординатите, т.е. определят мащаба на графика. Ако оставите тези етикети празни, мащабът ще се настрои автоматично. Автоматичната скала не винаги отразява графиката в желаната форма, така че граничните стойности на абсцисата и ординатите трябва да се редактират, като се променят ръчно.

Забележка.Ако след начертаването графиката не приеме желаната форма, можете:

Намалете стъпката.

· промяна на интервала на начертаване.

Намалете граничните стойности на абсцисите и ординатите на графиката.

Пример. Построяване на окръжност с център в точка (2,3) и радиус Р = 6.

Уравнението на окръжност, центрирана в точка с координати ( х 0 ,г 0) и радиус Рсе записва като:

Изразете от това уравнение г:

По този начин, за да построите кръг, е необходимо да зададете две функции: горен и долен полукръг. Диапазонът на аргумента се изчислява, както следва:

- начална стойност на диапазона = х 0 — Р;

- крайна стойност на диапазона = х 0 + Р;

- по-добре е да вземете стъпката, равна на 0,1 (фиг. 2.3.).

Ориз. 2.3. Построяване на кръг

Параметрична графика на функция

Понякога е по-удобно вместо линейно уравнение, свързващо правоъгълни координати хи г, разгледайте така наречените параметрични линейни уравнения, които дават изрази за текущите координати x и y като функции на някаква променлива т(параметър): х(т) и г(т). При конструиране на параметрична графика имената на функциите на един аргумент се посочват върху осите на ординатата и абсцисите.

Пример. Построяване на окръжност с център в точка с координати (2,3) и радиус Р= 6. За конструкцията се използва параметричното уравнение на окръжността

х = х 0 + Р cos( т) г = г 0 + Ргрях( т) (фиг. 2.4.).

Ориз. 2.4. Построяване на кръг

Форматиране на диаграма

За да форматирате графика, щракнете двукратно върху областта на графиката. Ще се отвори диалоговият прозорец Форматиране на графика. Разделите в прозореца за форматиране на диаграмата са изброени по-долу:

§ х- Й брадви-- форматиране на координатните оси. Като поставите отметка в съответните квадратчета, можете:

· Дневник Мащаб-- представляват числови стойности по осите в логаритмична скала (по подразбиране числовите стойности се изобразяват в линейна скала)

· Решетка линии-- начертайте мрежа от линии;

· номериран-- Подредете числата по координатните оси;

· Автоматичен Мащаб-- автоматичен избор на гранични числови стойности по осите (ако това поле не е отметнато, максималните изчислени стойности ще бъдат ограничени);

· шоу маркер-- маркиране на графиката под формата на хоризонтални или вертикални пунктирани линии, съответстващи на посочената стойност на оста, а самите стойности се показват в края на редовете (на всяка ос се появяват 2 места за въвеждане, в които можете въведете числови стойности, не въвеждайте нищо, въведете едно число или буквено обозначение на константи);

· Автоматичен гизбави се-- автоматичен избор на броя на решетъчните линии (ако това поле не е отметнато, трябва да посочите броя на линиите в полето Брой на решетките);

· кръстосани-- оста на абсцисата минава през нула на ординатата;

· В кутия-- оста x минава по долния ръб на графиката.

§ Следи-- линейно форматиране на функционални графики. За всяка графика поотделно можете да промените:

символ (Символ) на диаграмата за възлови точки (кръг, кръст, правоъгълник, ромб);

тип линия (Пълна - плътна, Точка - пунктирана линия, Тире - щрихи, Дадот - пунктирана линия);

цвят на линията (Color);

Тип (Ture) на диаграмата (Lines - линия, Points - точки, Var или Solidbar - барове, Step - стъпкова диаграма и т.н.);

дебелина на линията (тегло).

§ етикет --заглавие в областта на графиката. В полето Заглавие (Заглавие) можете да напишете текста на заглавието, да изберете неговата позиция - в горната или долната част на графиката ( По-горе -- Горна част, По-долу -- по-долу). Можете да въведете, ако е необходимо, имената на аргумента и функцията ( Етикети за оси ).

§ По подразбиране --като използвате този раздел, можете да се върнете към изгледа на диаграмата по подразбиране (Промяна на по подразбиране) или да използвате промените, които сте направили на диаграмата по подразбиране за всички диаграми в този документ (Използване за настройки по подразбиране).

5.2 Изграждане на полярни парцели

За да изградите полярна графика на функция, трябва:

· задаване на диапазона на стойностите на аргументите;

задайте функция

· поставете курсора на мястото, където трябва да се изгради графиката, на математическия панел изберете бутона Graph (графика), а в панела, който се отваря, бутона Polar Plot (полярна графика);

· в полетата за въвеждане на шаблона, който се появява, трябва да въведете ъгловия аргумент на функцията (отдолу) и името на функцията (вляво).

Пример. Построяване на лемниската на Бернули: (фиг. 2.6.)

Ориз. 2.6. Пример за изграждане на полярен парцел

5.3 Начертаване на повърхности (3D или 3D графики)

При конструиране на триизмерни графики се използва панелът графика(Графика) математически панел. Можете да изградите триизмерна графика с помощта на съветника, извикан от главното меню; можете да изградите графика, като създадете матрица от стойности на функция от две променливи; можете да използвате ускорения метод на строителство; можете да извикате специалните функции CreateMech и CreateSpase, предназначени да създават масив от стойности на функциите и графика. Ще разгледаме ускорен метод за изграждане на триизмерна графика.

Бърза графика

За да създадете бързо триизмерна графика на функция, трябва:

задайте функция

поставете курсора на мястото, където трябва да бъде построена графиката, изберете бутона на математическия панел графика(графика) и в отворения панел бутона ( повърхностна графика);

· на единственото място на шаблона въведете името на функцията (без да указвате променливи);

· щракнете извън шаблона на диаграмата -- функционалната графика ще бъде изградена.

Пример. Начертаване на функция z(х,г) = х 2 + г 2 - 30 (фиг. 2.7).

Ориз. 2.7. Пример за графика за бърза повърхност

Изградената диаграма може да се контролира:

° завъртането на графиката се извършва след задържане на курсора на мишката върху нея с натиснат ляв бутон на мишката;

° мащабирането на диаграмата се извършва след задържане на курсора на мишката върху нея чрез едновременно натискане на левия бутон на мишката и клавиша Ctrl (ако преместите мишката, диаграмата се увеличава или намалява);

° анимацията на диаграмата се изпълнява по същия начин, но с допълнително натиснат клавиш Shift. Необходимо е само да започнете да въртите графиката с мишката, след което анимацията ще се извърши автоматично. За да спрете въртенето, щракнете с левия бутон на мишката в областта на графиката.

В един чертеж е възможно да се изградят няколко повърхности наведнъж. За да направите това, трябва да зададете и двете функции и да посочите имената на функциите в шаблона на диаграмата, разделени със запетаи.

При бързо начертаване стойностите по подразбиране и за двата аргумента са между -5 и +5, а броят на контурните линии е 20. За да промените тези стойности, трябва:

· щракнете двукратно върху графиката;

· изберете раздела Quick Plot Data в отворения прозорец;

· въведете нови стойности в областта на прозореца Range1 -- за първия аргумент и Range2 -- за втория аргумент (начало -- начална стойност, край -- крайна стойност);

· в полето # of Grids променете броя на линиите на мрежата, покриващи повърхността;

· Щракнете върху бутона OK.

Пример. Начертаване на функция z(х,г) = -грях ( х 2 + г 2) (фиг. 2.9).

При конструирането на тази графика е по-добре да изберете границите на промяна в стойностите на двата аргумента от -2 до +2.

Ориз. 2.9. Пример за начертаване на функционална графика z(х,г) = -грях ( х 2 + г 2)

преденматиране на 3D графики

За да форматирате графиката, щракнете двукратно върху областта на графиката - ще се появи прозорец за форматиране с няколко раздела: Външен вид, Общ, брадви, осветление, Заглавие, Задни платки, Специален, Разширено, Бързо парцел Данни.

Предназначение на раздела Бързо парцел Даннибеше обсъдено по-горе (23, "https://site").

Раздел Външен видви позволява да промените външния вид на графиката. Поле Напълнете Настроикиви позволява да промените параметрите на запълване, поле линия Опция-- параметри на линията, точка Настроики-- точкови параметри.

В раздела Общ (общо) в групата изгледможете да изберете ъглите на завъртане на изобразената повърхност около трите оси; в група дисплей катоМожете да промените типа на диаграмата.

В раздела осветление(осветление) можете да управлявате осветлението, като поставите отметка в квадратчето активиране осветление(включете осветлението) и превключете На(включи). От списъка се избира една от 6 възможни схеми на осветление осветление схема(осветителна схема).

6. Начини за решаване на уравнения в MathCAD

В този раздел ще научим как най-простите уравнения от формата F ( х) = 0. Да решим едно уравнение аналитично означава да намерим всички негови корени, тоест такива числа, като ги заместим в оригиналното уравнение, получаваме правилното равенство. Да решиш уравнението графично означава да намериш пресечните точки на графиката на функцията с оста x.

6. 1 Решаване на уравнения с функция root(f(x), x)

За решения на уравнение с една неизвестна от вида F ( х) = 0 има специална функция

корен(е(х), х) ,

където е(х) е израз, равен на нула;

х-- аргумент.

Тази функция връща, с дадена прецизност, стойността на променлива, за която изразът е(х) е равно на 0.

вниманиед.Ако дясната страна на уравнението е 0, тогава е необходимо да го приведете в нормална форма (прехвърлете всичко в лявата страна).

Преди да използвате функцията корентрябва да се даде на аргумента хпървоначално приближение. Ако има няколко корена, тогава за да намерите всеки корен, трябва да посочите първоначалното си приближение.

внимание. Преди решаването е желателно да се начертае графика на функцията, за да се провери дали има корени (пресича ли графиката оста Ox) и ако да, колко. Първоначалното приближение може да бъде избрано според графиката по-близо до пресечната точка.

Пример.Решаване на уравнение с помощта на функция коренпоказано на фигура 3.1. Преди да преминем към решението в системата MathCAD, в уравнението ще прехвърлим всичко в лявата страна. Уравнението ще има формата: .

Ориз. 3.1. Решаване на уравнение с помощта на корен функция

6. 2 Решаване на уравнения с функцията Polyroots (v).

За да намерите едновременно всички корени на полином, използвайте функцията многокорени(v), където v е векторът на коефициентите на полинома, започвайки от свободния член . Нулевите коефициенти не могат да бъдат пропуснати. За разлика от функцията коренфункция Пolyrootsне изисква първоначално приближение.

Пример. Решаване на уравнение с помощта на функция многокоренипоказано на фигура 3.2.

Ориз. 3.2. Решаване на уравнение с помощта на функцията Polyroots

6.3 Решаване на уравнения с функция Find (x).

Функцията Find работи във връзка с ключовата дума Given. Дизайн Дадено — намирам

Ако е дадено уравнението е(х) = 0, то може да се реши по следния начин с помощта на блока Дадено - намирам:

— задаване на първоначалното приближение

— въведете служебна дума

- напишете уравнението, като използвате знака смели равни

- напишете функция за намиране с неизвестна променлива като параметър

В резултат на това след знака за равенство ще се покаже намереният корен.

Ако има няколко корена, те могат да бъдат намерени чрез промяна на първоначалното приближение x0 на едно, близко до желания корен.

Пример.Решението на уравнението с помощта на функцията за намиране е показано на фигура 3.3.

Ориз. 3.3. Решаване на уравнение с функция за намиране

Понякога се налага да маркирате някои точки на графиката (например точките на пресичане на функция с оста Ox). За това ви трябва:

Посочете стойността на x на дадена точка (по оста Ox) и стойността на функцията в тази точка (по оста Oy);

щракнете двукратно върху графиката и в прозореца за форматиране в раздела следиза съответната линия изберете типа на графиката - точки, дебелина на линията - 2 или 3.

Пример.Графиката показва пресечната точка на функцията с оста x. Координирайте хтази точка беше намерена в предишния пример: х= 2,742 (корен на уравнението ) (фиг. 3.4).

Ориз. 3.4. Графика на функция с маркирана пресечна точка В прозореца за форматиране на графиката, в раздела следиза следа2 променен: тип диаграма - точки, дебелина на линията - 3, цвят - черен.

7. Решаване на системи от уравнения

7.1 Решаване на системи от линейни уравнения

Системата от линейни уравнения може да бъде решена м матричен метод (или чрез обратната матрица, или с помощта на функцията решавам(A, B)) и използвайки две функции намирами функции Minerr.

Матричен метод

Пример.Системата от уравнения е дадена:

Решението на тази система от уравнения по матричния метод е показано на фигура 4.1.

Ориз. 4.1. Решаване на система от линейни уравнения по матричен метод

Използване на функция решавам(А, Б)

Лреши(A, B) е вградена функция, която връща вектор X за система от линейни уравнения, дадена на матрица от коефициенти, A, и вектор от свободни термини, B .

Пример. Системата от уравнения е дадена:

Начинът за решаване на тази система с помощта на функцията lsolve (A, B) е показан на Фигура 4.2.

Ориз. 4.2. Решаване на система от линейни уравнения с помощта на функцията lsolve

Решаване на система от линейни уравнения чрез функциии намирам

С този метод уравненията се въвеждат без използване на матрици, т.е. в "естествен вид". Първо е необходимо да се посочат първоначалните приближения на неизвестните променливи. Може да бъде произволно число в обхвата на дефиницията. Често те се бъркат за колона от свободни членове.

За да се реши система от линейни уравнения с помощта на изчислителна единица Дадено - намирам, необходимо:

2) въведете служебна дума Дадено;

смели равни();

4) напишете функция намирам,

Пример.Системата от уравнения е дадена:

Решението на тази система с помощта на изчислителен блок Дадено - намирампоказано на фигура 4.3.

Ориз. 4.3. Решаване на система от линейни уравнения с помощта на функцията Find

Приблизително pрешение на система от линейни уравнения

Решаване на система от линейни уравнения с помощта на функция Minerrподобно на решението, използващо функцията намирам(използвайки същия алгоритъм), функция само намирамдава точното решение и Minerr-- приблизително. Ако в резултат на търсенето не може да се получи по-нататъшно прецизиране на текущото приближение към решението, миньорrвръща това приближение. Функция намирамв този случай връща съобщение за грешка.

Можете да изберете друго първоначално приближение.

· Можете да увеличите или намалите точността на изчислението. За да направите това, изберете от менюто математика > Настроики(Математика - Опции), раздел построен- В Променливи(Вградени променливи). В раздела, който се отваря, трябва да намалите допустимата грешка при изчисление (Толерантност на конвергенция (TOL)). TOL по подразбиране = 0,001.

ATвнимание. При метода на матричното решение е необходимо да се пренаредят коефициентите според увеличаването на неизвестните х 1, х 2, х 3, х 4.

7.2 Решаване на системи от нелинейни уравнения

Системите от нелинейни уравнения в MathCAD се решават с помощта на изчислителна единица Дадено - намирам.

Дизайн Дадено - намирамизползва изчислителна техника, базирана на намиране на корен близо до начална точка на приближение, посочена от потребителя.

За да решите система от уравнения с помощта на блока Дадено - намирамнеобходимо:

1) задайте начални приближения за всички променливи;

2) въведете служебна дума Дадено;

3) запишете системата от уравнения, използвайки знака смели равни();

4) напишете функция намирам, чрез изброяване на неизвестни променливи като параметри на функцията.

В резултат на изчисленията ще се покаже векторът на решението на системата.

Ако системата има няколко решения, алгоритъмът трябва да се повтори с други първоначални предположения.

Забележка. Ако се решава система от две уравнения с две неизвестни, преди решаването й е желателно да се начертаят функционални графики, за да се провери дали системата има корени (дали графиките на дадени функции се пресичат) и ако да, колко. Първоначалното приближение може да бъде избрано според графиката по-близо до пресечната точка.

Пример. Дадена е система от уравнения

Преди да решим системата, ние изграждаме графики на функции: параболи (първото уравнение) и права линия (второто уравнение). Построяването на графика на права линия и парабола в една координатна система е показано на фигура 4.5:

Ориз. 4.5. Начертаване на две функции в една и съща координатна система. Правата и параболата се пресичат в две точки, което означава, че системата има две решения. Според графиката избираме началните приближения на неизвестните хи гза всяко решение. Намирането на корените на системата от уравнения е показано на фигура 4.6.

Ориз. 4.6. Намиране на корените на система от нелинейни уравнения х ) и по оста Oy (стойности в ) разделени със запетаи. В прозореца за форматиране на диаграмата, в таб следиза следа3 и следа4 промяна: тип диаграма - точки, дебелина на линията - 3, цвят - черен (фиг. 4.7).

Ориз. 4.7. Функционални графики с маркирани пресечни точки

8 . Примери за използване на ключови функции MathCAD за решаване на някои математически задачи

Този раздел предоставя примери за решаване на задачи, които изискват решаване на уравнение или система от уравнения.

8. 1 Намиране на локални екстремуми на функции

Необходимото условие за екстремум (максимум и/или минимум) на непрекъсната функция се формулира по следния начин: екстремумите могат да се осъществят само в онези точки, където производната е или равна на нула, или не съществува (по-специално, тя става безкрайност) . За да намерите екстремумите на непрекъсната функция, първо намерете точките, които отговарят на необходимото условие, тоест намерете всички реални корени на уравнението.

Ако се изгради функционална графика, веднага се вижда - максимумът или минимумът е достигнат в дадена точка х. Ако няма графика, тогава всеки от намерените корени се разглежда по един от начините.

1-во с надбавка . С изравнявам д признаци на производната . Знакът на производната се определя в близост до точката (в точки, които са отделени от екстремума на функцията от противоположните страни на малки разстояния). Ако знакът на производната се промени от "+" на "-", тогава в този момент функцията има максимум. Ако знакът се промени от "-" на "+", тогава в този момент функцията има минимум. Ако знакът на производната не се промени, тогава няма екстремуми.

2-ри с надбавка . AT изчисления д второ производно . В този случай втората производна се изчислява в точката на екстремум. Ако е по-малко от нула, тогава в този момент функцията има максимум, ако е по-голяма от нула, тогава минимум.

Пример. Намиране на екстремуми (минимуми/максимуми) на функция.

Първо, нека построим графика на функцията (фиг. 6.1).

Ориз. 6.1. Начертаване на функция

Нека определим от графиката първоначалните приближения на стойностите хсъответстващи на локални екстремуми на функцията е(х). Нека намерим тези екстремуми, като решим уравнението. За решението използваме блока Given - Find (фиг. 6.2.).

Ориз. 6.2. Намиране на локални екстремуми

Нека дефинираме вида на екстремумите первначин, като се изследва промяната в знака на производната в близост до намерените стойности (фиг. 6.3).

Ориз. 6.3. Определяне на вида на екстремума

От таблицата със стойностите на производната и от графиката може да се види, че знакът на производната в близост до точката х 1 се променя от плюс на минус, така че функцията достига своя максимум в този момент. И в близост до точката х 2, знакът на производната се е променил от минус на плюс, така че в този момент функцията достига минимум.

Нека дефинираме вида на екстремумите второначин, като се изчислява знакът на втората производна (фиг. 6.4).

Ориз. 6.4. Определяне на вида на екстремума с помощта на втората производна

Вижда се, че в точката х 1 втората производна е по-малка от нула, така че точката х 1 съответства на максимума на функцията. И в точката х 2 втората производна е по-голяма от нула, така че точката х 2 съответства на минимума на функцията.

8.2 Определяне на площите на фигурите, ограничени от непрекъснати линии

Площ на криволинеен трапец, ограничен от графика на функция е(х) , сегмент по оста Ox и две вертикали х = аи х = б, а < б, се определя по формулата: .

Пример. Намиране на площта на фигура, ограничена от линии е(х) = 1 — х 2 и г = 0.

Ориз. 6.5. Намиране на площта на фигура, ограничена от линии е(х) = 1 — х 2 и г = 0

Площта на фигурата, затворена между графиките на функциите е1(х) и е2(х) и директно х = аи х = б, се изчислява по формулата:

внимание. За да се избегнат грешки при изчисляване на площта, разликата на функциите трябва да се вземе по модул. Така зоната винаги ще бъде положителна.

Пример. Намиране на площта на фигура, ограничена от линии и. Решението е показано на фигура 6.6.

1. Изграждаме графика на функциите.

2. Намираме пресечните точки на функции с помощта на функцията корен. Ще определим началните приближения от графиката.

3. Намерени стойности х се заместват във формулата като граници на интегриране.

8. 3 Построяване на криви по дадени точки

Построяване на права, минаваща през две дадени точки

Да се ​​състави уравнението на права линия, минаваща през две точки A ( х 0,г 0) и B ( х 1,г 1), се предлага следният алгоритъм:

където аи бса коефициентите на правата, които трябва да намерим.

2. Тази система е линейна. Той има две неизвестни променливи: аи б

Пример.Построяване на права линия, преминаваща през точки A (-2, -4) и B (5.7).

Заместваме преките координати на тези точки в уравнението и получаваме системата:

Решението на тази система в MathCAD е показано на Фигура 6.7.

Ориз. 6.7 Системно решение

В резултат на решаването на системата получаваме: а = 1.57, б= -0,857. Така че уравнението на права линия ще изглежда така: г = 1.57х- 0,857. Нека построим тази права линия (фиг. 6.8).

Ориз. 6.8. Изграждане на права линия

Построяване на парабола, преминаване през три дадени точки

Да се ​​построи парабола, минаваща през три точки A ( х 0,г 0), B ( х 1,г 1) и C ( х 2,г 2), алгоритъмът е както следва:

1. Параболата се дава от уравнението

г = брадва 2 + бх + с, където

а, би сса коефициентите на параболата, които трябва да намерим.

Заместваме дадените координати на точките в това уравнение и получаваме системата:

2. Тази система е линейна. Той има три неизвестни променливи: а, би с. Системата може да бъде решена по матричен начин.

3. Заместваме получените коефициенти в уравнението и изграждаме парабола.

Пример.Построяване на парабола, преминаваща през точки A (-1,-4), B (1,-2) и C (3,16).

Заместваме дадените координати на точките в уравнението на параболата и получаваме системата:

Решението на тази система от уравнения в MathCAD е показано на фигура 6.9.

Ориз. 6.9. Решаване на система от уравнения

В резултат на това се получават коефициентите: а = 2, б = 1, ° С= -5. Получаваме уравнението на параболата: 2 х 2 +х -5 = г. Нека построим тази парабола (фиг. 6.10).

Ориз. 6.10. Построяване на парабола

Построяване на окръжност, минаваща през три дадени точки

Да се ​​построи окръжност, минаваща през три точки A ( х 1,г 1), Б ( х 2,г 2) и C ( х 3,г 3), можете да използвате следния алгоритъм:

1. Кръгът е даден от уравнението

където x0, y0 са координатите на центъра на окръжността;

R е радиусът на окръжността.

2. Заместете дадените координати на точките в уравнението на окръжността и получете системата:

Тази система е нелинейна. Той има три неизвестни променливи: х 0, г 0 и R. Системата се решава с помощта на изчислителния блок Дадено - намирам.

Пример. Построяване на окръжност, преминаваща през три точки A (-2.0), B (6.0) и C (2.4).

Заместваме дадените координати на точките в уравнението на окръжността и получаваме системата:

Решението на системата в MathCAD е показано на Фигура 6.11.

Ориз. 6.11. Системно решение

В резултат на решаването на системата се получава следното: х 0 = 2, г 0 = 0, R = 4. Заместете получените координати на центъра на окръжността и радиуса в уравнението на окръжността. Получаваме:. Експресно от тук г и построете кръг (фиг. 6.12).

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ

Държавно образователно заведение за висше професионално образование

"КАЗАНСКИ Държавен енергиен университет"

Л.Р. БЕЛЯЕВА, Р.С. ЗАРИПОВА, Р.А. ИШМУРАТОВ

ОСНОВИ НА РАБОТАТА В MATHCAD

Методически указания за практически упражнения

Казан 2012г

УДК 621.37 LBC 32.811.3

Рецензенти:

Доктор на физико-математическите науки, професор в Казанския държавен енергиен университет E.A. Попов;

Кандидат на техническите науки, доцент на Казанския национален изследователски технологичен университет М.Ю. Василиев

		Беляева Л.Р.
		Основи на работата в MathCAD. Методически указания за практически упражнения
		/ Л.Р. Беляева, Р.С. Зарипова, Р.А. Ишмуратов – Казан: Казан. състояние енергия un-t, 2012 г.
		Първата част на ръководството предоставя основна информация за
		Mathcad 13 и как да работим с неговия текст, формула и графики
		редактори. Въвеждането на различни видове данни, основите на числените и
		символни изчисления, изобразяване на математически функции, трикове
		интеграция и диференциране с помощта на MathCAD.
		Втората част предоставя пример за практическото използване на софтуера
		Пакет MathCAD при решаване на задача за проектиране със скорост „Трансформация
		измервателни сигнали". Необходимата теоретична информация за
		решение на изчислителната задача, пример за изчисление и индивидуални задачи за
		студенти.
		Методическото помагало съдържа и контролни въпроси по
		изучаван материал и самостоятелни задачи за затвърждаване на основите на работата в
		Работилницата е предназначена за студенти от специалност „Информация и
		измервателна техника и технологии" направление 200100 - Измервателна техника, и
		както и студенти от други специалности и направления на KSUE, обучаващи се
		дисциплини "Информатика" и "Информационни технологии".

© Казански държавен енергиен университет, 2012 г

Въведение

MathCAD е компютърна математическа система, която ви позволява да извършвате различни научни и инженерни изчисления, вариращи от елементарна аритметика до сложни реализации на числени методи. Потребителите на MathCAD са студенти, учени, инженери, техници.

MathCAD, за разлика от повечето други съвременни математически приложения, е изграден на принципа

WYSIWYG („Каквото виждаш, това получаваш“). Следователно, той е много лесен за използване, по-специално, защото няма нужда първо да пишете програма, която изпълнява определени математически изчисления, и след това да я стартирате за изпълнение. Вместо това просто въведете математически изрази с помощта на вградения редактор на формули и веднага получете резултата.

MathCAD 13 включва няколко компонента, интегрирани един с друг, комбинацията от които създава удобна изчислителна среда за различни математически изчисления и в същото време документиране на резултатите от работата:

− мощен текстов редактор, който ви позволява да въвеждате, редактирате

и форматирайте както текстови, така и математически изрази;

− изчислителен процесор, способен да извършва изчисления по въведените формули с помощта на вградени числени методи;

− символен процесор, който е система с изкуствен интелект;

− огромно хранилище на референтна информация, както математическа, така и инженерна, проектирана като библиотека от интерактивни електронни книги.

За да работите ефективно с редактора MathCAD, достатъчно е да имате основни потребителски умения. Според проблемите в реалния живот инженерите трябва да решат една или повече от следните задачи:

− въвеждане на различни математически изрази на компютър (за по-нататъшни изчисления или създаване на документи, презентации,уеб страници или електронни книги);

− извършване на математически изчисления;

− изготвяне на графики с резултатите от изчисленията;

− въвеждане на изходни данни и извеждане на резултати в текстови файлове или файлове с бази данни в други формати;

− изготвяне на отчети за работа под формата на печатни документи;

− подготовка на уеб страници и публикуване на резултати в интернет;

− получаване на разнообразна справочна информация от областта на математиката.

MathCAD 13 успешно се справя с всички тези задачи:

− математическите изрази и текст се въвеждат с помощта на редактора на формули MathCAD, който по отношение на възможностите и лекотата на използване не отстъпва, например, на редактора на формули, вграден в

− математическите изчисления се правят незабавно, в съответствие с въведените формули;

− графики с различни видове потребителски избор с богати опции за форматиране се вмъкват директно в документи;

− възможно е въвеждане и извеждане на данни във файлове с различни формати;

− Документите могат да бъдат отпечатани директно в MathCAD във формата, която потребителят вижда на екрана на компютъра, или записани

в RTF формат за последващо редактиране в текстови редактори;

− възможно е пълното запазване на MathCAD документи във формата RTF документи, както и уеб страници в HTML и XML формати;

− има опция за комбиниране на разработени от потребителя документи в електронни книги;

− символичните изчисления ви позволяват да извършвате аналитични трансформации, както и незабавно да получавате разнообразна референтна математическа информация.

Истинският скъпоценен камък на MathCAD, наличен още в първите версии, беше поддръжката на дискретни променливи, която позволяваше едновременно изчисляване на функции за редица стойности на аргументи, което направи възможно изграждането на таблици и графики без използване на оператори за програмиране. Инструментите за изобразяване на повърхността са доведени почти до съвършенство, което ви позволява да създавате произведения на изкуството от графики. Сложните инженерни и технологични изчисления в средата на MathCAD са много по-прости, по-ясни и няколко пъти по-бързи, отколкото в други програми.

Част 1. ТЕОРЕТИЧНА ИНФОРМАЦИЯ

Глава 1. ИНТЕРФЕЙС НА MATHCAD

Интерфейсът на MathCAD е подобен на този на други Windows приложения. След стартирането на екрана се появява работният прозорец на MathCAD с главното меню и три ленти с инструменти: Стандартно (Стандартно), Форматиране (Форматиране)и Математика (математически).

Лентата с менюта се намира в най-горната част на прозореца на MathCAD. Той съдържа девет заглавия, като щракването върху всяко от тях извежда

да се появата на съответното меню със списък с команди:

- Файл (File) - команди, свързани със създаване, отваряне, запазване, изпращане по e-mail и отпечатване на принтера на файлове с документи;

− Редактиране (Редактиране) – команди, свързани с редактиране на текст (копиране, поставяне, изтриване на фрагменти и др.);

- View (Преглед) - команди, които контролират външния вид на документа в прозореца на редактора на MathCAD, както и команди, които създават анимационни файлове;

− Вмъкване (Insert) - команди за вмъкване на различни обекти в документи;

− Формат (Format) - команди за форматиране на текст, формули, графики;

− Инструменти (Услуга) – команди за управление на изчислителния процес и допълнителни функции;

− Символи (Symbols) – команди за символни изчисления;

− Window (Прозорец) – команди за управление на подреждането на прозорци с различни документи на екрана;

− Помощ – команди за достъп до контекстно-чувствителна помощна информация, информация за версията на програмата и достъп до ресурси и електронни книги.

За да изберете команда, трябва да щракнете върху менюто, което я съдържа, и отново върху съответния елемент от менюто. Някои команди не са в самите менюта, а в подменюта, както е показано на фиг. 1.1. За да изпълните такава команда, например командата за извикване на символната лента с инструменти на екрана, трябва да задържите курсора на мишката върху елемента Toolbars от падащото меню View и да изберете Symbolic от подменюто, което се показва.

Ориз. 1.1. Работа с менюто

В допълнение към горното меню подобни функции изпълняват изскачащите менюта (фиг. 1.2). Те се появяват, когато щракнете с десния бутон някъде в документа. В същото време съставът на тези менюта зависи от мястото на тяхното извикване, поради което те се наричат ​​още контекстни менюта. Самият MathCAD „предполага”, в зависимост от контекста, какви операции може да са необходими в момента и поставя съответните команди в менюто. Следователно използването на контекстното меню е по-лесно от горното.

Ориз. 1.2. Контекстно меню

1.2. Ленти с инструменти

Лентите с инструменти се използват за бързо (с едно щракване) изпълнение на най-често използваните команди. Всички действия, които могат да бъдат извършени с помощта на лентите с инструменти, също са достъпни чрез

Топ меню. На фиг. 1.3 показва прозореца на MathCAD с пет основни ленти с инструменти, разположени непосредствено под лентата с менюта. Бутоните в панелите са групирани според подобно действие на командите:

- Standard (Standard) - служи за извършване на повечето операции, като действия с файлове, редакционно редактиране, вмъкване на обекти, достъп до помощни системи;

− Форматиране (Форматиране) – служи за форматиране (промяна на вида и размера на шрифта, подравняване и др.) на текст и формули;

− Математика (Математика) – използва се за вмъкване на математически символи

и оператори в документи;

- Ресурси (Resources) - служи за извикване на ресурсите на MathCAD;

− Контроли (Controls) – служи за вмъкване на контроли на стандартен потребителски интерфейс в документи;

− Отстраняване на грешки – използва се за управление на отстраняване на грешки на програми на MathCAD.

Ориз. 1.3. Основни ленти с инструменти

Групи от бутони на лентите с инструменти са разделени по значение с вертикални линии - разделители. Когато задържите курсора на мишката върху някой от бутоните, до бутона се появява подсказка (фиг. 1.4). Заедно с подсказка, по-подробно обяснение на предстоящата операция може да бъде намерено в лентата на състоянието.

Ориз. 1.4. Използване на лентите с инструменти по математика и калкулатор

Панелът Math (Математика) е предназначен за извикване на екрана на още девет панела (фиг. 1.5), с помощта на които се вмъкват математически операции в документи. За да покажете някой от тях, трябва да щракнете върху съответния бутон в панела Math (фиг. 1.4).

Ориз. 1.5. Математически ленти с инструменти

Изброяваме предназначението на математическите панели:

- Калкулатор (Калкулатор) - използва се за вмъкване на основни математически операции, получи името си поради сходството на набора от бутони с бутоните на типичен калкулатор;

− Graph (Graph) - за вмъкване на графики;

− Матрица (Matrix) - за вмъкване на матрици и матрични оператори;

− Оценка – за вмъкване на отчети за контрол на оценката;

− Изчисление (математически анализ) – за вмъкване на оператори на интегриране, диференциране, сумиране и др.;

− Булеви (булеви оператори) - за вмъкване на логически (булеви) оператори;

− Програмиране (Programming) - за програмиране с помощта на MathCAD;

− Гръцки (гръцки знаци) - за вмъкване на гръцки знаци;

− Symbolic – за вмъкване на символни оператори. Важно е да се отбележи, че когато задържите курсора на мишката над много от

бутони на математически панели, се появява подсказка, съдържаща и комбинация от "горещи клавиши", натискането на които ще доведе до еквивалентно действие.

1.3. Лента за състоянието

AT в долната част на прозореца на MathCAD, под хоризонталната лента за превъртане, е лентата на състоянието. Показва основна информация за режима на редактиране (фиг. 1.6), ограничена от разделители (отляво надясно):

− контекстно-чувствителен намек за предстоящото действие;

− режим на изчисление: автоматично (AUTO) или ръчно зададено (Calc F9);

− текущ режим на клавиатурната подредба на CAP; − текущ режим на клавиатурна подредба NUM; − номер на страницата, на която се намира курсорът.

Ориз. 1.6. Лента за състоянието

Глава 2. ОСНОВИ НА РАБОТАТА В MATHCAD

2.1. Навигация по документи

Удобно е да преглеждате документа нагоре-надолу и надясно-наляво с помощта на вертикалните и хоризонталните ленти за превъртане, като премествате плъзгачите им (в този случай е осигурено плавно движение по документа) или като щракнете върху една от двете страни на плъзгача (в този случай придвижването през документа ще бъде прикачено). Можете също да използвате клавишите за завъртане на страници, за да местите курсора около документа. И Във всички тези случаи позицията на курсора не се променя, но се преглежда съдържанието на документа. Освен това, ако документът е голям, е удобно да видите съдържанието му с помощта на менюто

Редактиране | Отидете на страница (Редактиране | Отидете на страница). Когато изберете този елемент, ще се отвори диалогов прозорец, който ви позволява да отидете на страницата с посочения номер.

За да се движите нагоре и надолу и надясно и наляво през документа, премествайки курсора, трябва да натиснете съответните клавиши на курсора. Влизайки в областта на регионите с формули и текст, курсорът се превръща в два реда за въвеждане - вертикален и хоризонтален син. Тъй като курсорът се движи по-нататък в рамките на региона, входните редове се преместват с един знак в съответната посока. Когато напуснете региона, курсорът отново се превръща във входен курсор под формата на червен кръст. Можете също да преместите курсора, като щракнете върху подходящото място. Ако щракнете върху празно пространство, тогава в него ще се появи курсор за въвеждане, а ако е в рамките на региона, тогава въведете редове.

2.2. Въвеждане и редактиране на формули

Редакторът на формули MathCAD ви позволява бързо и ефективно да въвеждате и променяте математически изрази.

Нека изброим още веднъж елементите на интерфейса на редактора MathCAD:

− показалец на мишката - играе обичайната роля за Windows приложенията, следвайки движенията на мишката;

− курсорът трябва да бъде в един от трите типа:

– курсорът за въвеждане е червен кръст, който маркира празно място в документа, където можете да въведете текст или формула;

– линии за въвеждане - хоризонтални и вертикални сини линии, които подчертават определена част в текста или формулата;

– ред за въвеждане на текст - вертикална линия, аналогична на реда за въвеждане на текстови области;

− заместители - се появяват в непълни формули на места, които трябва да бъдат попълнени със символ или оператор:

− заместващият символ е черен правоъгълник;

− заместителят на оператора е черна правоъгълна кутия. Можете да въведете математически израз във всяко празно пространство

MathCAD документ. За да направите това, трябва да поставите курсора за въвеждане на желаното място в документа, като щракнете върху него с мишката, и въведете формулата, като натискате клавишите. Това създава математическа област в документа, която е предназначена да съхранява формули, интерпретирани от процесора MathCAD. Нека демонстрираме последователността от действия, използвайки примера за въвеждане на израза x 5 + x (фиг. 2.1):

1. Щракнете с мишката, за да маркирате входната точка.

1. Работен прозорец на MathCAD

· Панел математика(фиг. 1.4).

Ориз. 1.4. Математически панел

Щракването върху бутона на лентата с инструменти за математика отваря допълнителна лента с инструменти:

2. Елементи на езика MathCAD

Основните елементи на математическите изрази на MathCAD включват оператори, константи, променливи, масиви и функции.

2.1 Оператори

Оператори -- елементи на MathCAD, с които можете да създавате математически изрази. Те например включват символи за аритметични операции, знаци за изчисляване на суми, произведения, производни, интеграли и др.

Операторът дефинира:

а) действието, което трябва да се извърши при наличието на определени стойности на операндите;

б) колко, къде и какви операнди трябва да бъдат въведени в оператора.

Операнд -- числото или изразът, върху който действа операторът. Например в израза 5!+3 числата 5! и 3 са операндите на оператора "+" (плюс), а числото 5 е операндът на факториала (!).

Всеки оператор в MathCAD може да бъде въведен по два начина:

чрез натискане на клавиш (комбинация от клавиши) на клавиатурата;

с помощта на математическия панел.

Следните изрази се използват за присвояване или показване на съдържанието на местоположението на паметта, свързано с променлива:

Знак за присвояване (въвежда се с натискане на клавиша : на клавиатурата (двоеточие в английската клавиатурна подредба) или чрез натискане на съответния бутон на панела Калкулатор );

Това задание се нарича местен. Преди това присвояване променливата не е дефинирана и не може да се използва.

Оператор на глобално присвояване. Това задание може да се направи навсякъде в документа. Например, ако на променлива се присвои стойност по този начин в самия край на документа, тогава тя ще има същата стойност в началото на документа.

Приблизителен оператор за равенство (x1). Използва се при решаване на системи от уравнения. Влиза се с натискане на клавиш ; на клавиатурата (точка и запетая в английската клавиатурна подредба) или чрез натискане на съответния бутон Булев панел.

Оператор (просто равно), запазен за извеждане на стойността на константа или променлива.

Най-простите изчисления

Процесът на изчисление се извършва с помощта на:

Калкулаторни панели, калкулационни панели и панели за оценка.

внимание. Ако е необходимо да се раздели целият израз в числителя, той първо трябва да бъде избран чрез натискане на интервала на клавиатурата или като се постави в скоби.

2.2 Константи

Константи -- именувани обекти, които съдържат някаква стойност, която не може да бъде променена.

Например = 3,14.

Размерни константи са обичайни мерни единици. Например метри, секунди и т.н.

За да запишете размерната константа, трябва да въведете знака * (умножете) след числото, изберете елемента от менюто Вмъкванеалинея Мерна единица. В измерванията най-известните ви категории: Дължина - дължина (m, km, cm); Маса -- тегло (g, kg, t); Време -- време (мин, сек, час).

2.3 Променливи

Променливи са наименувани обекти, които имат някаква стойност, която може да се промени, докато програмата работи. Променливите могат да бъдат числови, низови, символни и т.н. На променливите се присвояват стойности с помощта на знака за присвояване (:=).

внимание. MathCAD третира главните и малките букви като различни идентификатори.

Системни променливи

AT MathCADсъдържа малка група специални обекти, които не могат да бъдат приписани нито към класа на константите, нито към класа на променливите, чиито стойности се определят веднага след стартиране на програмата. По-добре е да ги преброим системни променливи.Това, например, TOL - грешката на числените изчисления, ORIGIN - долната граница на стойността на индекса на вектори, матрици и т.н. Ако е необходимо, можете да зададете други стойности за тези променливи.

Класирани променливи

Тези променливи имат серия от фиксирани стойности, или цели числа, или вариращи в определена стъпка от първоначалната стойност до крайната.

Използва се израз за създаване на променлива с диапазон:

Име=N започнете ,(Н започнете +Стъпка)..N край ,

където Name е името на променливата;

N начало -- начална стойност;

Step -- определената стъпка за промяна на променливата;

N край -- крайна стойност.

Класираните променливи се използват широко в графиката. Например, за да начертаете графика на някаква функция е(х) на първо място, трябва да създадете серия от стойности на променливи х-- трябва да е променлива с диапазон, за да работи.

внимание.Ако не посочите стъпка в диапазона на променливите, програмата автоматично ще я приеме за равна на 1.

Пример . Променлива хварира в диапазона от -16 до +16 на стъпки от 0,1

За да напишете променлива с диапазон, трябва да въведете:

Име на променлива ( х);

Знак за задание (:=)

Първата стойност на диапазона (-16);

запетая;

Втората стойност на диапазона, която е сумата от първата стойност и стъпката (-16+0,1);

многоточие ( .. ) -- промяна на променливата в дадените граници (въвежда се многоточие с натискане на точка и запетая в английската клавиатурна подредба);

Последна стойност на диапазона (16).

В резултат на това ще получите: х := -16,-16+0.1..16.

Изходни таблици

Всеки израз с класирани променливи след знака за равенство инициира изходната таблица.

Можете да вмъквате числови стойности в изходните таблици и да ги коригирате.

Променлива с индекс

Променлива с индекс-- е променлива, на която се присвоява набор от несвързани числа, всяко от които има свой собствен номер (индекс).

Индексът се въвежда чрез натискане на лявата квадратна скоба на клавиатурата или с помощта на бутона х нна панела Калкулатор.

Можете да използвате или константа, или израз като индекс. За да инициализирате променлива с индекс, трябва да въведете елементите на масива, като ги разделите със запетаи.

Пример. Въвеждане на индексни променливи.

Числовите стойности се въвеждат в таблицата, разделени със запетаи;

Извеждане на стойността на първия елемент на вектора S;

Извеждане на стойността на нулевия елемент на вектора S.

2.4 Масиви

масив -- колекция с уникално име от краен брой числови или символни елементи, подредени по някакъв начин и имащи специфични адреси.

В опаковката MathCADсе използват масиви от двата най-често срещани типа:

едномерни (вектори);

двумерни (матрици).

Можете да изведете матрица или векторен шаблон по един от следните начини:

изберете елемент от менюто Вмъкване - Матрица;

натиснете клавишната комбинация ctrl + М;

натиснете бутона за включване панел и вектори и матрици.

В резултат на това ще се появи диалогов прозорец, в който се задава необходимия брой редове и колони:

Редове-- брой редове

колони-- брой колони

Ако на матрица (вектор) трябва да се даде име, тогава първо се въвежда името на матрицата (вектора), след това операторът за присвояване и след това шаблонът на матрицата.

например:

Матрица -- двуизмерен масив с име M n , m , състоящ се от n реда и m колони.

Можете да извършвате различни математически операции върху матрици.

2.5 Функции

Функция -- израз, според който някои изчисления се извършват с аргументи и се определя неговата числена стойност. Примери за функции: грях(х), тен(х) и т.н.

Функциите в пакета MathCAD могат да бъдат вградени или дефинирани от потребителя. Начини за вмъкване на вградена функция:

Изберете елемент от менюто Вмъкване - Функция.

Натиснете клавишната комбинация ctrl + Е.

Щракнете върху бутона в лентата с инструменти.

Въведете името на функцията на клавиатурата.

Потребителските функции обикновено се използват, когато един и същ израз се оценява няколко пъти. За да зададете потребителска функция:

· въведете името на функцията със задължителното посочване на аргумента в скоби, например f(x);

Въведете оператора за присвояване (:=);

Въведете изчислен израз.

Пример. е (z) := sin(2 z 2)

3. Форматиране на числа

В MathCAD можете да промените изходния формат на числата. Обикновено изчисленията се правят с точност до 20 цифри, но не се показват всички значими цифри. За да промените формата на числата, щракнете двукратно върху желания числов резултат. Ще се появи прозорецът за форматиране на числа, отворен в раздела номер Форматиране (Числов формат) със следните формати:

о Общ (Основно) -- е по подразбиране. Числата се показват в ред (например 1,2210 5). Броят на знаците на мантисата се определя на полето Експоненциална Праг(Праг на експоненциална нотация). Когато прагът е надвишен, числото се показва по ред. Броят на цифрите след десетичната запетая се променя в полето номер на десетичен места.

о Десетична (Decimal) -- Десетичното представяне на числата с плаваща запетая (например 12.2316).

о Научен (Научно) -- Числата се показват само в ред.

о Инженерство (Инженеринг) -- числата се показват само кратни на три (например 1,2210 6).

внимание. Ако след като зададете желания формат в прозореца за форматиране на числа, изберете бутона Добре, форматът ще бъде зададен само за избрания номер. И ако изберете бутона Задаване по подразбиране, форматът ще бъде приложен към всички числа в този документ.

Числата се закръгляват автоматично до нула, ако са по-малки от зададения праг. Прагът се задава за целия документ, а не за конкретен резултат. За да промените прага на закръгляване на нула, изберете елемента от менюто Форматиране - Резултати в табл толерантност , в полето нула праг въведете необходимата прагова стойност.

4. Работа с текст

Текстовите фрагменти са части от текст, които потребителят би искал да види в своя документ. Това могат да бъдат обяснения, връзки, коментари и т.н. Те се вмъкват с помощта на елемента от менюто Вмъкване - Текстова област.

Можете да форматирате текста: да промените шрифта, неговия размер, стил, подравняване и т.н. За да направите това, изберете го и изберете подходящите опции на панела с шрифтове или в менюто Форматиране - Текст.

5. Работа с графики

При решаване на много задачи, където се изучава функция, често се налага да се начертае нейната графика, която ясно да отразява поведението на функцията на определен интервал.

В системата MathCAD е възможно да се изграждат различни видове графики: в декартова и полярна координатна система, триизмерни графики, повърхности на тела на въртене, полиедри, пространствени криви, графики на векторни полета. Ще разгледаме как да изградим някои от тях.

5.1 Начертаване на 2D графики

За да изградите двуизмерна графика на функция, трябва:

задайте функция

· поставете курсора на мястото, където трябва да се изгради графиката, на математическия панел изберете бутона Graph (графика), а в панела, който се отваря, бутона X-Y Plot (двумерна графика);

В появилия се шаблон на двуизмерна графика, който представлява празен правоъгълник с етикети за данни, въведете името на променливата в централния етикет с данни по абсцисната ос (ос X) и въведете името на функцията на мястото на централният етикет с данни по оста на ординатите (ос Y) (фиг. 2.1);

Ориз. 2.1. Шаблон за 2D сюжет

щракнете извън шаблона на графиката - графиката на функцията ще бъде начертана.

Диапазонът на аргументите се състои от 3 стойности: начална, втора и крайна.

Нека е необходимо да се начертае функционална графика на интервала [-2,2] със стъпка 0,2. Променливи стойности тса посочени като диапазон, както следва:

т:= -2, - 1.8 .. 2 ,

където: -2 -- началната стойност на диапазона;

1,8 (-2 + 0,2) -- стойност на втория диапазон (първоначална стойност плюс стъпка);

2 е крайната стойност на диапазона.

внимание. Многоточие се въвежда чрез натискане на точка и запетая в английската клавиатурна подредба.

Пример. Начертаване на функция г = х 2 на интервала [-5,5] със стъпка 0,5 (фиг. 2.2).

Ориз. 2.2. Начертаване на функция г = х 2

Когато изчертавате графики, имайте предвид следното:

° Ако диапазонът на стойностите на аргумента не е посочен, тогава по подразбиране графиката се изгражда в диапазона [-10,10].

° Ако е необходимо да се поставят няколко графики в един шаблон, тогава имената на функциите се посочват, разделени със запетаи.

° Ако две функции имат различни аргументи, например f1(x) и f2(y), тогава имената на функциите са посочени по оста на ординатата (Y), разделени със запетаи, а по оста на абсцисата (X), имената на двете променливи също са разделени със запетаи.

° Крайните етикети на данните в шаблона на диаграмата се използват за обозначаване на граничните стойности на абсцисата и ординатата, т.е. те задават мащаба на графиката. Ако оставите тези етикети празни, мащабът ще се настрои автоматично. Автоматичната скала не винаги отразява графиката в желаната форма, така че граничните стойности на абсцисата и ординатите трябва да се редактират, като се променят ръчно.

Забележка.Ако след начертаването графиката не приеме желаната форма, можете:

Намалете стъпката.

· промяна на интервала на начертаване.

Намалете граничните стойности на абсцисите и ординатите на графиката.

Пример. Построяване на окръжност с център в точка (2,3) и радиус Р = 6.

Уравнението на окръжност, центрирана в точка с координати ( х 0 ,г 0) и радиус Рсе записва като:

Изразете от това уравнение г:

По този начин, за да построите кръг, е необходимо да зададете две функции: горен и долен полукръг. Диапазонът на аргумента се изчислява, както следва:

Начална стойност на диапазона = х 0 - Р;

Крайна стойност на диапазона = х 0 + Р;

По-добре е да вземете стъпката, равна на 0,1 (фиг. 2.3.).

Ориз. 2.3. Построяване на кръг

Параметрична графика на функция

Понякога е по-удобно вместо линейно уравнение, свързващо правоъгълни координати хи г, разгледайте така наречените параметрични линейни уравнения, които дават изрази за текущите координати x и y като функции на някаква променлива т(параметър): х(т) и г(т). При конструиране на параметрична графика имената на функциите на един аргумент се посочват върху осите на ординатата и абсцисите.

Пример. Построяване на окръжност с център в точка с координати (2,3) и радиус Р= 6. За конструкцията се използва параметричното уравнение на окръжността

х = х 0 + Р cos( т) г = г 0 + Ргрях( т) (фиг. 2.4.).

Фиг.2.4. Построяване на кръг

Форматиране на диаграма

За да форматирате графика, щракнете двукратно върху областта на графиката. Ще се отвори диалоговият прозорец Форматиране на графика. Разделите в прозореца за форматиране на диаграмата са изброени по-долу:

§ х- Й брадви-- форматиране на координатните оси. Като поставите отметка в съответните квадратчета, можете:

· Дневник Мащаб-- представляват числови стойности по осите в логаритмична скала (по подразбиране числовите стойности се изобразяват в линейна скала)

· Решетка линии-- начертайте мрежа от линии;

· номериран-- Подредете числата по координатните оси;

· Автоматичен Мащаб-- автоматичен избор на гранични числови стойности по осите (ако това поле не е отметнато, максималните изчислени стойности ще бъдат ограничени);

· шоу маркер-- маркиране на графиката под формата на хоризонтални или вертикални пунктирани линии, съответстващи на посочената стойност на оста, а самите стойности се показват в края на редовете (на всяка ос се появяват 2 места за въвеждане, в които можете въведете числови стойности, не въвеждайте нищо, въведете едно число или буквено обозначение на константи);

· Автоматичен гизбави се-- автоматичен избор на броя на решетъчните линии (ако това поле не е отметнато, трябва да посочите броя на линиите в полето Брой на решетките);

· кръстосани-- оста на абсцисата минава през нула на ординатата;

· В кутия-- оста x минава по долния ръб на графиката.

§ Следи-- линейно форматиране на функционални графики. За всяка графика поотделно можете да промените:

символ (Символ) на диаграмата за възлови точки (кръг, кръст, правоъгълник, ромб);

тип линия (Пълна - плътна, Точка - пунктирана линия, Тире - щрихи, Дадот - пунктирана линия);

цвят на линията (Color);

Тип (Ture) на диаграмата (Lines - линия, Points - точки, Var или Solidbar - барове, Step - стъпкова диаграма и т.н.);

дебелина на линията (тегло).

§ етикет --заглавие в областта на графиката. В полето Заглавие (Заглавие) можете да напишете текста на заглавието, да изберете неговата позиция - в горната или долната част на графиката ( По-горе -- Горна част, По-долу -- по-долу). Можете да въведете, ако е необходимо, имената на аргумента и функцията ( Етикети за оси ).

§ По подразбиране --като използвате този раздел, можете да се върнете към изгледа на диаграмата по подразбиране (Промяна на по подразбиране) или да използвате промените, които сте направили на диаграмата по подразбиране за всички диаграми в този документ (Използване за настройки по подразбиране).

5.2 Изграждане на полярни парцели

За да изградите полярна графика на функция, трябва:

· задаване на диапазона на стойностите на аргументите;

задайте функция

· поставете курсора на мястото, където трябва да се изгради графиката, на математическия панел изберете бутона Graph (графика), а в панела, който се отваря, бутона Polar Plot (полярна графика);

· в полетата за въвеждане на шаблона, който се появява, трябва да въведете ъгловия аргумент на функцията (отдолу) и името на функцията (вляво).

Пример. Построяване на лемниската на Бернули: (фиг. 2.6.)

Фиг.2.6. Пример за изграждане на полярен парцел

5.3 Начертаване на повърхности (3D или 3D графики)

При конструиране на триизмерни графики се използва панелът графика(Графика) математически панел. Можете да изградите триизмерна графика с помощта на съветника, извикан от главното меню; можете да изградите графика, като създадете матрица от стойности на функция от две променливи; можете да използвате ускорения метод на строителство; можете да извикате специалните функции CreateMech и CreateSpase, предназначени да създават масив от стойности на функциите и графика. Ще разгледаме ускорен метод за изграждане на триизмерна графика.

Бърза графика

За да създадете бързо триизмерна графика на функция, трябва:

задайте функция

поставете курсора на мястото, където трябва да бъде построена графиката, изберете бутона на математическия панел графика(графика) и в отворения панел бутона ( повърхностна графика);

· на единственото място на шаблона въведете името на функцията (без да указвате променливи);

· щракнете извън шаблона на диаграмата -- функционалната графика ще бъде изградена.

Пример. Начертаване на функция z(х,г) = х 2 + г 2 - 30 (фиг. 2.7).

Ориз. 2.7. Пример за графика за бърза повърхност

Изградената диаграма може да се контролира:

° завъртането на графиката се извършва след задържане на курсора на мишката върху нея с натиснат ляв бутон на мишката;

° мащабирането на диаграмата се извършва след задържане на курсора на мишката върху нея чрез едновременно натискане на левия бутон на мишката и клавиша Ctrl (ако преместите мишката, диаграмата се увеличава или намалява);

° анимацията на диаграмата се изпълнява по същия начин, но с допълнително натиснат клавиш Shift. Необходимо е само да започнете да въртите графиката с мишката, след което анимацията ще се извърши автоматично. За да спрете въртенето, щракнете с левия бутон на мишката в областта на графиката.

В един чертеж е възможно да се изградят няколко повърхности наведнъж. За да направите това, трябва да зададете и двете функции и да посочите имената на функциите в шаблона на диаграмата, разделени със запетаи.

При бързо начертаване стойностите по подразбиране и за двата аргумента са между -5 и +5, а броят на контурните линии е 20. За да промените тези стойности, трябва:

· щракнете двукратно върху графиката;

· изберете раздела Quick Plot Data в отворения прозорец;

· въведете нови стойности в областта на прозореца Range1 -- за първия аргумент и Range2 -- за втория аргумент (начало -- начална стойност, край -- крайна стойност);

· в полето # of Grids променете броя на линиите на мрежата, покриващи повърхността;

· Щракнете върху бутона OK.

Пример. Начертаване на функция z(х,г) = -sin( х 2 + г 2) (фиг. 2.9).

При конструирането на тази графика е по-добре да изберете границите на промяна в стойностите на двата аргумента от -2 до +2.

Ориз. 2.9. Пример за начертаване на функционална графика z(х,г) = -sin( х 2 + г 2)

преденматиране на 3D графики

За да форматирате графиката, щракнете двукратно върху областта на графиката - ще се появи прозорец за форматиране с няколко раздела: Външен вид, Общ, брадви, осветление, Заглавие, Задни платки, Специален, Разширено, Бързо парцел Данни.

Предназначение на раздела Бързо парцел Даннибеше обсъдено по-горе.

Раздел Външен видви позволява да промените външния вид на графиката. Поле Напълнете Настроикиви позволява да промените параметрите на запълване, поле линия Опция-- параметри на линията, точка Настроики-- точкови параметри.

В раздела Общ (общо) в групата изгледможете да изберете ъглите на завъртане на изобразената повърхност около трите оси; в група дисплей катоМожете да промените типа на диаграмата.

В раздела осветление(осветление) можете да управлявате осветлението, като поставите отметка в квадратчето активиране осветление(включете осветлението) и превключете На(включи). От списъка се избира една от 6 възможни схеми на осветление осветление схема(осветителна схема).

6. Начини за решаване на уравнения в MathCAD

В този раздел ще научим как най-простите уравнения от формата F( х) = 0. Да решиш едно уравнение аналитично означава да намериш всичките му корени, т.е. такива числа, когато ги заменим в оригиналното уравнение, получаваме правилното равенство. Да решиш уравнението графично означава да намериш пресечните точки на графиката на функцията с оста x.

6. 1 Решаване на уравнения с помощта на функция root(f(x),x)

За решения на уравнение с една неизвестна от вида F( х) = 0 има специална функция

корен(е(х), х) ,

където е(х) е израз, равен на нула;

х-- аргумент.

Тази функция връща, с дадена прецизност, стойността на променлива, за която изразът е(х) е равно на 0.

вниманиед.Ако дясната страна на уравнението е 0, тогава е необходимо да го приведете в нормална форма (прехвърлете всичко в лявата страна).

Преди да използвате функцията корентрябва да се даде на аргумента хпървоначално приближение. Ако има няколко корена, тогава за да намерите всеки корен, трябва да посочите първоначалното си приближение.

внимание. Преди решаването е желателно да се начертае графика на функцията, за да се провери дали има корени (пресича ли графиката оста Ox) и ако да, колко. Първоначалното приближение може да бъде избрано според графиката по-близо до пресечната точка.

Пример.Решаване на уравнение с помощта на функция коренпоказано на фигура 3.1. Преди да преминем към решението в системата MathCAD, в уравнението ще прехвърлим всичко в лявата страна. Уравнението ще има формата: .

Ориз. 3.1. Решаване на уравнение с помощта на корен функция

6. 2 Решаване на уравнения с функцията Polyroots(v).

За да намерите едновременно всички корени на полином, използвайте функцията многокорени(v), където v е векторът на коефициентите на полинома, започвайки от свободния член . Нулевите коефициенти не могат да бъдат пропуснати. За разлика от функцията коренфункция Пolyrootsне изисква първоначално приближение.

Пример. Решаване на уравнение с помощта на функция многокоренипоказано на фигура 3.2.

Ориз. 3.2. Решаване на уравнение с помощта на функцията Polyroots

6.3 Решаване на уравнения с Find(x)

Функцията Find работи във връзка с ключовата дума Given. Дизайн Дадено - намирамизползва изчислителна техника, базирана на търсене на корен близо до първоначалната точка на приближение, посочена от потребителя.

Ако е дадено уравнението е(х) = 0, то може да се реши по следния начин с помощта на блока Дадено - намирам:

Задайте начално приближение

Въведете служебна дума

Напишете уравнението, като използвате знака смели равни

Напишете функция за намиране с неизвестна променлива като параметър

В резултат на това след знака за равенство ще се покаже намереният корен.

Ако има няколко корена, те могат да бъдат намерени чрез промяна на първоначалното приближение x0 на едно, близко до желания корен.

Пример.Решението на уравнението с помощта на функцията за намиране е показано на фигура 3.3.

Ориз. 3.3. Решаване на уравнение с функция за намиране

Понякога се налага да маркирате някои точки на графиката (например точките на пресичане на функция с оста Ox). За това ви трябва:

Посочете стойността на x на дадена точка (по оста Ox) и стойността на функцията в тази точка (по оста Oy);

щракнете двукратно върху графиката и в прозореца за форматиране в раздела следиза съответната линия изберете типа на графиката - точки, дебелина на линията - 2 или 3.

Пример.Графиката показва пресечната точка на функцията с оста x. Координирайте хтази точка беше намерена в предишния пример: х= 2,742 (корен на уравнението ) (фиг. 3.4).

Ориз. 3.4. Графика на функция с маркирана пресечна точка

В прозореца за форматиране на диаграмата, в таб следиза следа2 променен: тип диаграма - точки, дебелина на линията - 3, цвят - черен.

7. Решаване на системи от уравнения

7.1 Решаване на системи от линейни уравнения

Системата от линейни уравнения може да бъде решена м матричен метод (или чрез обратната матрица, или с помощта на функцията решавам(A,B)) и използвайки две функции намирами функции Minerr.

Матричен метод

Пример.Системата от уравнения е дадена:

Решението на тази система от уравнения по матричния метод е показано на фигура 4.1.

Ориз. 4.1. Решаване на система от линейни уравнения по матричен метод

Използване на функция решавам(А, Б)

Лреши(A,B) е вградена функция, която връща вектор X за система от линейни уравнения, дадена на матрица от коефициенти A и вектор от свободни термини B .

Пример. Системата от уравнения е дадена:

Начинът за решаване на тази система с помощта на функцията lsolve(A,B) е показан на Фигура 4.2.

Ориз. 4.2. Решаване на система от линейни уравнения с помощта на функцията lsolve

Решаване на система от линейни уравнения чрез функциии намирам

При този метод се въвеждат уравнения без използване на матрици, т.е. в "естествена форма". Първо е необходимо да се посочат първоначалните приближения на неизвестните променливи. Може да бъде произволно число в обхвата на дефиницията. Често те се бъркат за колона от свободни членове.

За да се реши система от линейни уравнения с помощта на изчислителна единица Дадено - намирам, необходимо:

2) въведете служебна дума Дадено;

смели равни();

4) напишете функция намирам,

Пример.Системата от уравнения е дадена:

Решението на тази система с помощта на изчислителен блок Дадено - намирампоказано на фигура 4.3.

Ориз. 4.3. Решаване на система от линейни уравнения с помощта на функцията Find

Приблизително pрешение на система от линейни уравнения

Решаване на система от линейни уравнения с помощта на функция Minerrподобно на решението, използващо функцията намирам(използвайки същия алгоритъм), функция само намирамдава точното решение и Minerr-- приблизително. Ако в резултат на търсенето не може да се получи по-нататъшно прецизиране на текущото приближение към решението, миньорrвръща това приближение. Функция намирамв този случай връща съобщение за грешка.

Можете да изберете друго първоначално приближение.

· Можете да увеличите или намалите точността на изчислението. За да направите това, изберете от менюто математика > Настроики(Математика - Опции), раздел построен- В Променливи(Вградени променливи). В раздела, който се отваря, трябва да намалите допустимата грешка при изчисление (Толерантност на конвергенция (TOL)). TOL по подразбиране = 0,001.

ATвнимание. При метода на матричното решение е необходимо да се пренаредят коефициентите според увеличаването на неизвестните х 1, х 2, х 3, х 4.

7.2 Решаване на системи от нелинейни уравнения

Системите от нелинейни уравнения в MathCAD се решават с помощта на изчислителна единица Дадено - намирам.

Дизайн Дадено - намирамизползва изчислителна техника, базирана на намиране на корен близо до начална точка на приближение, посочена от потребителя.

За да решите система от уравнения с помощта на блока Дадено - намирамнеобходимо:

1) задайте начални приближения за всички променливи;

2) въведете служебна дума Дадено;

3) запишете системата от уравнения, използвайки знака смели равни();

4) напишете функция намирам, чрез изброяване на неизвестни променливи като параметри на функцията.

В резултат на изчисленията ще се покаже векторът на решението на системата.

Ако системата има няколко решения, алгоритъмът трябва да се повтори с други първоначални предположения.

Забележка. Ако се решава система от две уравнения с две неизвестни, преди решаването й е желателно да се начертаят функционални графики, за да се провери дали системата има корени (дали графиките на дадени функции се пресичат) и ако да, колко. Първоначалното приближение може да бъде избрано според графиката по-близо до пресечната точка.

Пример. Дадена е система от уравнения

Преди да решим системата, ние изграждаме графики на функции: параболи (първото уравнение) и права линия (второто уравнение). Построяването на графика на права линия и парабола в една координатна система е показано на фигура 4.5:

Ориз. 4.5. Начертаване на две функции в една и съща координатна система

Правата и параболата се пресичат в две точки, което означава, че системата има две решения. Според графиката избираме началните приближения на неизвестните хи гза всяко решение. Намирането на корените на системата от уравнения е показано на фигура 4.6.

Ориз. 4.6. Намиране на корените на система от нелинейни уравнения

За да отбележим на графиката точките на пресичане на параболата и правата, въвеждаме координатите на точките, намерени при решаване на системата по оста Ox (стойности х ) и по оста Oy (стойности в ) разделени със запетаи. В прозореца за форматиране на диаграмата, в таб следиза следа3 и следа4 промяна: тип диаграма - точки, дебелина на линията - 3, цвят - черен (фиг. 4.7).

Ориз. 4.7. Функционални графики с маркирани пресечни точки

8 . Примери за използване на ключови функции MathCAD за решаване на някои математически задачи

Този раздел предоставя примери за решаване на задачи, които изискват решаване на уравнение или система от уравнения.

8. 1 Намиране на локални екстремуми на функции

Необходимото условие за екстремум (максимум и/или минимум) на непрекъсната функция се формулира по следния начин: екстремумите могат да се осъществят само в онези точки, където производната е или равна на нула, или не съществува (по-специално, тя става безкрайност) . За да намерите екстремумите на непрекъсната функция, първо намерете точките, които отговарят на необходимото условие, тоест намерете всички реални корени на уравнението.

Ако се изгради функционална графика, веднага се вижда - максимумът или минимумът е достигнат в дадена точка х. Ако няма графика, тогава всеки от намерените корени се разглежда по един от начините.

1-во с надбавка . С изравнявам д признаци на производната . Знакът на производната се определя в близост до точката (в точки, които са отделени от екстремума на функцията от различни страни на малки разстояния). Ако знакът на производната се промени от "+" на "-", тогава в този момент функцията има максимум. Ако знакът се промени от "-" на "+", тогава в този момент функцията има минимум. Ако знакът на производната не се промени, тогава няма екстремуми.

2-ри с надбавка . AT изчисления д второ производно . В този случай втората производна се изчислява в точката на екстремум. Ако е по-малко от нула, тогава в този момент функцията има максимум, ако е по-голяма от нула, тогава минимум.

Пример. Намиране на екстремуми (минимуми/максимуми) на функция.

Първо, нека построим графика на функцията (фиг. 6.1).

Ориз. 6.1. Начертаване на функция

Нека определим от графиката първоначалните приближения на стойностите хсъответстващи на локални екстремуми на функцията е(х). Нека намерим тези екстремуми, като решим уравнението. За решаване използваме блока Given - Find (фиг. 6.2.).

Ориз. 6.2. Намиране на локални екстремуми

Нека дефинираме вида на екстремумите первначин, като се изследва промяната в знака на производната в близост до намерените стойности (фиг. 6.3).

Ориз. 6.3. Определяне на вида на екстремума

От таблицата със стойностите на производната и от графиката може да се види, че знакът на производната в близост до точката х 1 се променя от плюс на минус, така че функцията достига своя максимум в този момент. И в близост до точката х 2, знакът на производната се е променил от минус на плюс, така че в този момент функцията достига минимум.

Нека дефинираме вида на екстремумите второначин, като се изчислява знакът на втората производна (фиг. 6.4).

Ориз. 6.4. Определяне на вида на екстремума с помощта на втората производна

Вижда се, че в точката х 1 втората производна е по-малка от нула, така че точката х 1 съответства на максимума на функцията. И в точката х 2 втората производна е по-голяма от нула, така че точката х 2 съответства на минимума на функцията.

8.2 Определяне на площите на фигурите, ограничени от непрекъснати линии

Площ на криволинеен трапец, ограничен от графика на функция е(х) , сегмент по оста Ox и две вертикали х = аи х = б, а < б, се определя по формулата: .

Пример. Намиране на площта на фигура, ограничена от линии е(х) = 1 - х 2 и г = 0.

Ориз. 6.5. Намиране на площта на фигура, ограничена от линии е(х) = 1 - х 2 и г = 0

Площта на фигурата, затворена между графиките на функциите е1(х) и е2(х) и директно х = аи х = б, се изчислява по формулата:

внимание. За да се избегнат грешки при изчисляване на площта, разликата на функциите трябва да се вземе по модул. Така зоната винаги ще бъде положителна.

Пример. Намиране на площта на фигура, ограничена от линии и. Решението е показано на фигура 6.6.

1. Изграждаме графика на функциите.

2. Намираме пресечните точки на функции с помощта на функцията корен. Ще определим началните приближения от графиката.

3. Намерени стойности х се заместват във формулата като граници на интегриране.

8. 3 Построяване на криви по дадени точки

Построяване на права, минаваща през две дадени точки

За да напишете уравнението на права линия, минаваща през две точки A( х 0,г 0) и B( х 1,г 1), се предлага следният алгоритъм:

където аи бса коефициентите на правата, които трябва да намерим.

2. Тази система е линейна. Той има две неизвестни променливи: аи б

Пример.Построяване на права линия, преминаваща през точки A(-2,-4) и B(5,7).

Заместваме преките координати на тези точки в уравнението и получаваме системата:

Решението на тази система в MathCAD е показано на Фигура 6.7.

Ориз. 6.7 Системно решение

В резултат на решаването на системата получаваме: а = 1.57, б= -0,857. Така че уравнението на права линия ще изглежда така: г = 1.57х- 0,857. Нека построим тази права линия (фиг. 6.8).

Ориз. 6.8. Изграждане на права линия

Построяване на парабола, преминаване през три дадени точки

Да се ​​построи парабола, минаваща през три точки A( х 0,г 0), B( х 1,г 1) и C( х 2,г 2), алгоритъмът е както следва:

1. Параболата се дава от уравнението

г = брадва 2 + бх + с, където

а, би сса коефициентите на параболата, които трябва да намерим.

Заместваме дадените координати на точките в това уравнение и получаваме системата:

2. Тази система е линейна. Той има три неизвестни променливи: а, би с. Системата може да бъде решена по матричен начин.

3. Заместваме получените коефициенти в уравнението и изграждаме парабола.

Пример.Построяване на парабола, преминаваща през точките A(-1,-4), B(1,-2) и C(3,16).

Заместваме дадените координати на точките в уравнението на параболата и получаваме системата:

Решението на тази система от уравнения в MathCAD е показано на фигура 6.9.

Ориз. 6.9. Решаване на система от уравнения

В резултат на това се получават коефициентите: а = 2, б = 1, ° С= -5. Получаваме уравнението на параболата: 2 х 2 +х -5 = г. Нека построим тази парабола (фиг. 6.10).

Ориз. 6.10. Построяване на парабола

Построяване на окръжност, минаваща през три дадени точки

За да се построи окръжност, минаваща през три точки A( х 1,г 1), B( х 2,г 2) и C( х 3,г 3), можете да използвате следния алгоритъм:

1. Кръгът е даден от уравнението

където x0,y0 са координатите на центъра на окръжността;

R е радиусът на окръжността.

2. Заместете дадените координати в уравнението на окръжността.........

Изпратете вашата добра работа в базата от знания е лесно. Използвайте формуляра по-долу

Студенти, специализанти, млади учени, които използват базата от знания в своето обучение и работа, ще Ви бъдат много благодарни.

1. Работен прозорец MathCAD

· Панел математика(фиг. 1.4).

Ориз. 1.4. Математически панел

Щракването върху бутона на лентата с инструменти за математика отваря допълнителна лента с инструменти:

2. Елементи на езика MathCAD

Основните елементи на математическите изрази на MathCAD включват оператори, константи, променливи, масиви и функции.

2.1 Оператори

Оператори -- елементи на MathCAD, с които можете да създавате математически изрази. Те например включват символи за аритметични операции, знаци за изчисляване на суми, произведения, производни, интеграли и др.

Операторът дефинира:

а) действието, което трябва да се извърши при наличието на определени стойности на операндите;

б) колко, къде и какви операнди трябва да бъдат въведени в оператора.

Операнд -- числото или изразът, върху който действа операторът. Например в израза 5!+3 числата 5! и 3 са операндите на оператора "+" (плюс), а числото 5 е операндът на факториала (!).

Всеки оператор в MathCAD може да бъде въведен по два начина:

чрез натискане на клавиш (комбинация от клавиши) на клавиатурата;

с помощта на математическия панел.

Следните изрази се използват за присвояване или показване на съдържанието на местоположението на паметта, свързано с променлива:

-- знак за присвояване (въвежда се с натискане на клавиш : на клавиатурата (двоеточие в английската клавиатурна подредба) или чрез натискане на съответния бутон на панела Калкулатор );

Това задание се нарича местен. Преди това присвояване променливата не е дефинирана и не може да се използва.

-- глобален оператор за присвояване. Това задание може да се направи навсякъде в документа. Например, ако на променлива се присвои стойност по този начин в самия край на документа, тогава тя ще има същата стойност в началото на документа.

-- приблизителен оператор за равенство (x1). Използва се при решаване на системи от уравнения. Влиза се с натискане на клавиш ; на клавиатурата (точка и запетая в английската клавиатурна подредба) или чрез натискане на съответния бутон Булев панел.

= -- оператор (прости равни), запазен за извеждане на стойността на константа или променлива.

Най-простите изчисления

Процесът на изчисление се извършва с помощта на:

Калкулаторни панели, калкулационни панели и панели за оценка.

внимание. Ако е необходимо да се раздели целият израз в числителя, той първо трябва да бъде избран чрез натискане на интервала на клавиатурата или като се постави в скоби.

2.2 Константи

Константи -- именувани обекти, които съдържат някаква стойност, която не може да бъде променена.

Например = 3,14.

Размерни константи са обичайни мерни единици. Например метри, секунди и т.н.

За да запишете размерната константа, трябва да въведете знака * (умножете) след числото, изберете елемента от менюто Вмъкванеалинея Мерна единица. В измерванията най-известните ви категории: Дължина - дължина (m, km, cm); Маса -- тегло (g, kg, t); Време -- време (мин, сек, час).

2.3 Променливи

Променливи са наименувани обекти, които имат някаква стойност, която може да се промени, докато програмата работи. Променливите могат да бъдат числови, низови, символни и т.н. На променливите се присвояват стойности с помощта на знака за присвояване (:=).

внимание. MathCAD третира главните и малките букви като различни идентификатори.

Системни променливи

AT MathCADсъдържа малка група специални обекти, които не могат да бъдат приписани нито към класа на константите, нито към класа на променливите, чиито стойности се определят веднага след стартиране на програмата. По-добре е да ги преброим системни променливи.Това е например TOL - грешката на числените изчисления, ORIGIN - долната граница на стойността на индексния индекс на вектори, матрици и т.н. Ако е необходимо, можете да зададете други стойности за тези променливи.

Класирани променливи

Тези променливи имат серия от фиксирани стойности, или цели числа, или вариращи в определена стъпка от първоначалната стойност до крайната.

Използва се израз за създаване на променлива с диапазон:

Име=N започнете,(Н започнете+Стъпка)..N край,

където Name е името на променливата;

N начало -- начална стойност;

Step -- определената стъпка за промяна на променливата;

N край -- крайна стойност.

Класираните променливи се използват широко в графиката. Например, за да начертаете графика на някаква функция е(х) на първо място, трябва да създадете серия от стойности на променливи х-- трябва да е променлива с диапазон, за да работи.

внимание. Ако стъпката не е посочена в диапазона на променливата, тогава грам автоматично ще го вземе равно на 1.

Пример . Променлива хварира в диапазона от -16 до +16 на стъпки от 0,1

За да напишете променлива с диапазон, трябва да въведете:

Име на променлива ( х);

Знак за задание (:=)

Първата стойност на диапазона (-16);

запетая;

Втората стойност на диапазона, която е сумата от първата стойност и стъпката (-16+0,1);

многоточие ( .. ) -- промяна на променливата в дадените граници (въвежда се многоточие с натискане на точка и запетая в английската клавиатурна подредба);

Последна стойност на диапазона (16).

В резултат на това ще получите: х := -16,-16+0.1..16.

Изходни таблици

Всеки израз с класирани променливи след знака за равенство инициира изходната таблица.

Можете да вмъквате числови стойности в изходните таблици и да ги коригирате.

Променлива с индекс

Променлива с индекс-- е променлива, на която се присвоява набор от несвързани числа, всяко от които има свой собствен номер (индекс).

Индексът се въвежда чрез натискане на лявата квадратна скоба на клавиатурата или с помощта на бутона х нна панела Калкулатор.

Можете да използвате или константа, или израз като индекс. За да инициализирате променлива с индекс, трябва да въведете елементите на масива, като ги разделите със запетаи.

Пример. Въвеждане на индексни променливи.

Числовите стойности се въвеждат в таблицата, разделени със запетаи;

Извеждане на стойността на първия елемент на вектора S;

Извеждане на стойността на нулевия елемент на вектора S.

2.4 Масиви

масив -- колекция с уникално име от краен брой числови или символни елементи, подредени по някакъв начин и имащи специфични адреси.

В опаковката MathCADсе използват масиви от двата най-често срещани типа:

едномерни (вектори);

двумерни (матрици).

Можете да изведете матрица или векторен шаблон по един от следните начини:

изберете елемент от менюто Вмъкване - Матрица;

натиснете клавишната комбинация ctrl+ М;

натиснете бутона за включване панел и вектори и матрици.

В резултат на това ще се появи диалогов прозорец, в който се задава необходимия брой редове и колони:

Редове-- брой редове

колони-- брой колони

Ако на матрица (вектор) трябва да се даде име, тогава първо се въвежда името на матрицата (вектора), след това операторът за присвояване и след това шаблонът на матрицата.

например:

Матрица -- двуизмерен масив с име M n , m , състоящ се от n реда и m колони.

Можете да извършвате различни математически операции върху матрици.

2.5 Функции

Функция -- израз, според който някои изчисления се извършват с аргументи и се определя неговата числена стойност. Примери за функции: грях(х), тен(х) и т.н.

Функциите в пакета MathCAD могат да бъдат вградени или дефинирани от потребителя. Начини за вмъкване на вградена функция:

Изберете елемент от менюто Вмъкване- Функция.

Натиснете клавишната комбинация ctrl+ Е.

Щракнете върху бутона в лентата с инструменти.

Въведете името на функцията на клавиатурата.

Потребителските функции обикновено се използват, когато един и същ израз се оценява няколко пъти. За да зададете потребителска функция:

· въведете името на функцията със задължителното посочване на аргумента в скоби, например f(x);

Въведете оператора за присвояване (:=);

Въведете изчислен израз.

Пример. е (z) := sin(2 z 2)

3. Форматиране на числа

В MathCAD можете да промените изходния формат на числата. Обикновено изчисленията се правят с точност до 20 цифри, но не се показват всички значими цифри. За да промените формата на числата, щракнете двукратно върху желания числов резултат. Ще се появи прозорецът за форматиране на числа, отворен в раздела номер Форматиране (Числов формат) със следните формати:

о Общ (Основно) -- е по подразбиране. Числата се показват в ред (например 1,2210 5). Броят на знаците на мантисата се определя на полето Експоненциална Праг(Праг на експоненциална нотация). Когато прагът е надвишен, числото се показва по ред. Броят на цифрите след десетичната запетая се променя в полето номер на десетичен места.

о Десетична (Decimal) -- Десетичното представяне на числата с плаваща запетая (например 12.2316).

о Научен (Научно) -- Числата се показват само в ред.

о Инженерство (Инженеринг) -- числата се показват само кратни на три (например 1,2210 6).

внимание. Ако след като зададете желания формат в прозореца за форматиране на числа, изберете бутона Добре, форматът ще бъде зададен само за избрания номер. И ако изберете бутона Задаване по подразбиране, форматът ще бъде приложен към всички числа в този документ.

Числата се закръгляват автоматично до нула, ако са по-малки от зададения праг. Прагът се задава за целия документ, а не за конкретен резултат. За да промените прага на закръгляване на нула, изберете елемента от менюто Форматиране - Резултати в табл толерантност , в полето нула праг въведете необходимата прагова стойност.

4 . Работете с текст

Текстовите фрагменти са части от текст, които потребителят би искал да види в своя документ. Това могат да бъдат обяснения, връзки, коментари и т.н. Те се вмъкват с помощта на елемента от менюто Вмъкване - Текстова област.

Можете да форматирате текста: да промените шрифта, неговия размер, стил, подравняване и т.н. За да направите това, изберете го и изберете подходящите опции на панела с шрифтове или в менюто Форматиране - Текст.

5. Работа с графики

При решаване на много задачи, където се изучава функция, често се налага да се начертае нейната графика, която ясно да отразява поведението на функцията на определен интервал.

В системата MathCAD е възможно да се изграждат различни видове графики: в декартова и полярна координатна система, триизмерни графики, повърхности на тела на въртене, полиедри, пространствени криви, графики на векторни полета. Ще разгледаме как да изградим някои от тях.

5.1 Построяване на двуизмерни графики

За да изградите двуизмерна графика на функция, трябва:

задайте функция

· поставете курсора на мястото, където трябва да се изгради графиката, на математическия панел изберете бутона Graph (графика), а в панела, който се отваря, бутона X-Y Plot (двумерна графика);

В появилия се шаблон на двуизмерна графика, който представлява празен правоъгълник с етикети за данни, въведете името на променливата в централния етикет с данни по абсцисната ос (ос X) и въведете името на функцията на мястото на централния етикет с данни по оста на ординатите (ос Y) (фиг. 2.1 );\

Ориз. 2.1. Шаблон за 2D сюжет

щракнете извън шаблона на графиката - графиката на функцията ще бъде начертана.

Диапазонът на аргументите се състои от 3 стойности: начална, втора и крайна.

Нека е необходимо да се начертае функционална графика на интервала [-2,2] със стъпка 0,2. Променливи стойности тса посочени като диапазон, както следва:

т:= -2, - 1.8 .. 2 ,

където: -2 -- началната стойност на диапазона;

-1,8 (-2 + 0,2) -- стойност на втория диапазон (първоначална стойност плюс инкремент);

2 -- крайна стойност на диапазона.

внимание. Многоточие се въвежда чрез натискане на точка и запетая в английската клавиатурна подредба.

Пример. Начертаване на функция г = х 2 на интервала [-5,5] със стъпка 0,5 (фиг. 2.2).

Ориз. 2.2. Начертаване на функция г = х 2

Когато изчертавате графики, имайте предвид следното:

° Ако диапазонът на стойностите на аргумента не е посочен, тогава по подразбиране графиката се изгражда в диапазона [-10,10].

° Ако е необходимо да се поставят няколко графики в един шаблон, тогава имената на функциите се посочват, разделени със запетаи.

° Ако две функции имат различни аргументи, например f1(x) и f2(y), тогава имената на функциите са посочени по оста на ординатата (Y), разделени със запетаи, а по оста на абсцисата (X), имената на двете променливи също са разделени със запетаи.

° Крайните етикети на данните в шаблона на диаграмата се използват за обозначаване на граничните стойности на абсцисата и ординатата, т.е. те задават мащаба на графиката. Ако оставите тези етикети празни, мащабът ще се настрои автоматично. Автоматичната скала не винаги отразява графиката в желаната форма, така че граничните стойности на абсцисата и ординатите трябва да се редактират, като се променят ръчно.

Забележка.Ако след начертаването графиката не приеме желаната форма, можете:

Намалете стъпката.

· промяна на интервала на начертаване.

Намалете граничните стойности на абсцисите и ординатите на графиката.

Пример. Построяване на окръжност с център в точка (2,3) и радиус Р = 6.

Уравнението на окръжност, центрирана в точка с координати ( х 0 ,г 0) и радиус Рсе записва като:

Изразете от това уравнение г:

По този начин, за да построите кръг, е необходимо да зададете две функции: горен и долен полукръг. Диапазонът на аргумента се изчислява, както следва:

Начална стойност на диапазона = х 0 - Р;

Крайна стойност на диапазона = х 0 + Р;

По-добре е да вземете стъпката, равна на 0,1 (фиг. 2.3.).

Ориз. 2.3. Построяване на кръг

Параметрична графика на функция

Понякога е по-удобно вместо линейно уравнение, свързващо правоъгълни координати хи г, разгледайте така наречените параметрични линейни уравнения, които дават изрази за текущите координати x и y като функции на някаква променлива т(параметър): х(т) и г(т). При конструиране на параметрична графика имената на функциите на един аргумент се посочват върху осите на ординатата и абсцисите.

Пример. Построяване на окръжност с център в точка с координати (2,3) и радиус Р= 6. За конструкцията се използва параметричното уравнение на окръжността

х = х 0 + Р cos( т) г = г 0 + Ргрях( т) (фиг. 2.4.).

Фиг.2.4. Построяване на кръг

Форматиране на диаграма

За да форматирате графика, щракнете двукратно върху областта на графиката. Ще се отвори диалоговият прозорец Форматиране на графика. Разделите в прозореца за форматиране на диаграмата са изброени по-долу:

§ х- Йбрадви--форматиране на координатни оси. Като поставите отметка в съответните квадратчета, можете:

· ДневникМащаб--представлява числови стойности по осите в логаритмична скала (по подразбиране числовите стойности се изобразяват в линейна скала)

· Решеткалинии--прилагане на мрежа от линии;

· номериран--подредете числата по координатните оси;

· АвтоматиченМащаб--автоматичен избор на гранични числови стойности по осите (ако това поле не е отметнато, максималните изчислени стойности ще бъдат ограничени);

· шоумаркер-- маркиране на графиката под формата на хоризонтални или вертикални пунктирани линии, съответстващи на посочената стойност на оста, а самите стойности се показват в края на редовете (на всяка ос се появяват 2 места за въвеждане, в които можете въведете числови стойности, не въвеждайте нищо, въведете едно число или буквено обозначение на константи);

· Автоматиченгизбави се-- автоматичен избор на броя на решетъчните линии (ако това поле не е отметнато, трябва да посочите броя на линиите в полето Брой на решетките);

· кръстосани- оста на абсцисата минава през нула на ординатата;

· В кутия-- оста x минава по долния ръб на графиката.

§ Следи-- линейно форматиране на функционални графики. За всяка графика поотделно можете да промените:

символ (Символ) на диаграмата за възлови точки (кръг, кръст, правоъгълник, ромб);

тип линия (Пълна - плътна, Точка - пунктирана линия, Тире - щрихи, Дадот - пунктирана линия);

цвят на линията (Color);

Тип (Ture) на диаграмата (Lines - линия, Points - точки, Var или Solidbar - барове, Step - стъпкова диаграма и т.н.);

дебелина на линията (тегло).

§ етикет --заглавие в областта на графиката. В полето Заглавие (Заглавие) можете да напишете текста на заглавието, да изберете неговата позиция - в горната или долната част на графиката ( По-горе -- Горна част, По-долу -- по-долу). Можете да въведете, ако е необходимо, имената на аргумента и функцията ( Етикети за оси ).

§ По подразбиране --като използвате този раздел, можете да се върнете към изгледа на диаграмата по подразбиране (Промяна на по подразбиране) или да използвате промените, които сте направили на диаграмата по подразбиране за всички диаграми в този документ (Използване за настройки по подразбиране).

5. 2 Строителни полярни парцели

За да изградите полярна графика на функция, трябва:

· задаване на диапазона на стойностите на аргументите;

задайте функция

· поставете курсора на мястото, където трябва да се изгради графиката, на математическия панел изберете бутона Graph (графика), а в панела, който се отваря, бутона Polar Plot (полярна графика);

· в полетата за въвеждане на шаблона, който се появява, трябва да въведете ъгловия аргумент на функцията (отдолу) и името на функцията (вляво).

Пример. Построяване на лемниската на Бернули: (фиг. 2.6.)

Фиг.2.6. Пример за изграждане на полярен парцел

5. 3 Повърхностно изобразяване (3D или 3 д - графики)

При конструиране на триизмерни графики се използва панелът графика(Графика) математически панел. Можете да изградите триизмерна графика с помощта на съветника, извикан от главното меню; можете да изградите графика, като създадете матрица от стойности на функция от две променливи; можете да използвате ускорения метод на строителство; можете да извикате специалните функции CreateMech и CreateSpase, предназначени да създават масив от стойности на функциите и графика. Ще разгледаме ускорен метод за изграждане на триизмерна графика.

Бърза графика

За да създадете бързо триизмерна графика на функция, трябва:

задайте функция

поставете курсора на мястото, където трябва да бъде построена графиката, изберете бутона на математическия панел графика(графика) и в отворения панел бутона ( повърхностна графика);

· на единственото място на шаблона въведете името на функцията (без да указвате променливи);

· щракнете извън шаблона на диаграмата -- функционалната графика ще бъде изградена.

Пример. Начертаване на функция z(х,г) = х 2 + г 2 - 30 (фиг. 2.7).

Ориз. 2.7. Пример за графика за бърза повърхност

Изградената диаграма може да се контролира:

° завъртането на графиката се извършва след задържане на курсора на мишката върху нея с натиснат ляв бутон на мишката;

° мащабирането на диаграмата се извършва след задържане на курсора на мишката върху нея чрез едновременно натискане на левия бутон на мишката и клавиша Ctrl (ако преместите мишката, диаграмата се увеличава или намалява);

° анимацията на диаграмата се изпълнява по същия начин, но с допълнително натиснат клавиш Shift. Необходимо е само да започнете да въртите графиката с мишката, след което анимацията ще се извърши автоматично. За да спрете въртенето, щракнете с левия бутон на мишката в областта на графиката.

В един чертеж е възможно да се изградят няколко повърхности наведнъж. За да направите това, трябва да зададете и двете функции и да посочите имената на функциите в шаблона на диаграмата, разделени със запетаи.

При бързо начертаване стойностите по подразбиране и за двата аргумента са между -5 и +5, а броят на контурните линии е 20. За да промените тези стойности, трябва:

· щракнете двукратно върху графиката;

· изберете раздела Quick Plot Data в отворения прозорец;

· въведете нови стойности в областта на прозореца Range1 -- за първия аргумент и Range2 -- за втория аргумент (начало -- начална стойност, край -- крайна стойност);

· в полето # of Grids променете броя на линиите на мрежата, покриващи повърхността;

· Щракнете върху бутона OK.

Пример. Начертаване на функция z(х,г) = -sin( х 2 + г 2) (фиг. 2.9).

При конструирането на тази графика е по-добре да изберете границите на промяна в стойностите на двата аргумента от -2 до +2.

Ориз. 2.9. Пример за начертаване на функционална графика z(х,г) = -sin( х 2 + г 2)

преденматиране на 3D графики

За да форматирате графиката, щракнете двукратно върху областта на графиката - ще се появи прозорец за форматиране с няколко раздела: Външен вид,Общ,брадви,осветление,Заглавие,Задни платки,Специален, Разширено, БързопарцелДанни.

Предназначение на раздела БързопарцелДаннибеше обсъдено по-горе.

Раздел Външен видви позволява да промените външния вид на графиката. Поле Напълнете Настроикиви позволява да промените параметрите на запълване, поле линия Опция-- параметри на линията, точка Настроики-- точкови параметри.

В раздела Общ (общо) в групата изгледможете да изберете ъглите на завъртане на изобразената повърхност около трите оси; в група дисплейкатоМожете да промените типа на диаграмата.

В раздела осветление(осветление) можете да управлявате осветлението, като поставите отметка в квадратчето активиранеосветление(включете осветлението) и превключете На(включи). От списъка се избира една от 6 възможни схеми на осветление осветлениесхема(осветителна схема).

6. Начини за решаване на уравнения в MathCAD

В този раздел ще научим как най-простите уравнения от формата F( х) = 0. Да решиш едно уравнение аналитично означава да намериш всичките му корени, т.е. такива числа, когато ги заменим в оригиналното уравнение, получаваме правилното равенство. Да решиш уравнението графично означава да намериш пресечните точки на графиката на функцията с оста x.

6. 1 Решаване на уравнения с помощта на f функции и корен ( е ( х ), х )

За решения на уравнение с една неизвестна от вида F( х) = 0 има специална функция

корен(е(х), х) ,

където е(х) е израз, равен на нула;

х-- аргумент.

Тази функция връща, с дадена прецизност, стойността на променлива, за която изразът е(х) е равно на 0.

вниманиед.Ако дясната страна на уравнението е 0, тогава е необходимо да го приведете в нормална форма (прехвърлете всичко в лявата страна).

Преди да използвате функцията корентрябва да се даде на аргумента хпървоначално приближение. Ако има няколко корена, тогава за да намерите всеки корен, трябва да посочите първоначалното си приближение.

внимание. Преди решаването е желателно да се начертае графика на функцията, за да се провери дали има корени (пресича ли графиката оста Ox) и ако да, колко. Първоначалното приближение може да бъде избрано според графиката по-близо до пресечната точка.

Пример.Решаване на уравнение с помощта на функция коренпоказано на фигура 3.1. Преди да преминем към решението в системата MathCAD, в уравнението ще прехвърлим всичко в лявата страна. Уравнението ще има формата: .

Ориз. 3.1. Решаване на уравнение с помощта на корен функция

6. 2 Решаване на уравнения с помощта на f функции и многокорени ( v )

За да намерите едновременно всички корени на полином, използвайте функцията многокорени(v), където v е векторът на коефициентите на полинома, започвайки от свободния член . Нулевите коефициенти не могат да бъдат пропуснати За разлика от функцията коренфункция Пolyrootsне изисква първоначално приближение.

Пример. Решаване на уравнение с помощта на функция многокоренипоказано на фигура 3.2.

Ориз. 3.2. Решаване на уравнение с помощта на функцията Polyroots

6. 3 Решаване на уравнения с помощта на fфункцииинамирам(х)

Функцията Find работи във връзка с ключовата дума Given. Дизайн Дадено-намирам

Ако е дадено уравнението е(х) = 0, то може да се реши по следния начин с помощта на блока Дадено - намирам:

Задайте начално приближение

Въведете служебна дума

Напишете уравнението, като използвате знака смели равни

Напишете функция за намиране с неизвестна променлива като параметър

В резултат на това след знака за равенство ще се покаже намереният корен.

Ако има няколко корена, те могат да бъдат намерени чрез промяна на първоначалното приближение x0 на едно, близко до желания корен.

Пример.Решението на уравнението с помощта на функцията за намиране е показано на фигура 3.3.

Ориз. 3.3. Решаване на уравнение с функция за намиране

Понякога се налага да маркирате някои точки на графиката (например точките на пресичане на функция с оста Ox). За това ви трябва:

Посочете стойността на x на дадена точка (по оста Ox) и стойността на функцията в тази точка (по оста Oy);

щракнете двукратно върху графиката и в прозореца за форматиране в раздела следиза съответната линия изберете типа на графиката - точки, дебелина на линията - 2 или 3.

Пример.Графиката показва пресечната точка на функцията с оста x. Координирайте хтази точка беше намерена в предишния пример: х= 2,742 (корен на уравнението ) (фиг. 3.4).

Ориз. 3.4. Графика на функция с маркирана пресечна точка

В прозореца за форматиране на диаграмата, в таб следиза следа2 променен: тип диаграма - точки, дебелина на линията - 3, цвят - черен.

7. Решаване на системи от уравнения

7. 1 Решаване на системи от линейни уравнения

Системата от линейни уравнения може да бъде решена м матричен метод (или чрез обратната матрица, или с помощта на функцията решавам(A,B)) и използвайки две функции намирами функции Minerr.

Матричен метод

Пример.Системата от уравнения е дадена:

Решението на тази система от уравнения по матричния метод е показано на фигура 4.1.

Ориз. 4.1. Решаване на система от линейни уравнения по матричен метод

Използване на функциярешавам(А, Б)

Лреши(A,B) е вградена функция, която връща вектор X за система от линейни уравнения, дадена на матрица от коефициенти A и вектор от свободни термини B .

Пример. Системата от уравнения е дадена:

Начинът за решаване на тази система с помощта на функцията lsolve(A,B) е показан на Фигура 4.2.

Ориз. 4.2. Решаване на система от линейни уравнения с помощта на функцията lsolve

Решаване на система от линейни уравнениячрезфункцииинамирам

При този метод се въвеждат уравнения без използване на матрици, т.е. в "естествена форма". Първо е необходимо да се посочат първоначалните приближения на неизвестните променливи. Може да бъде произволно число в обхвата на дефиницията. Често те се бъркат за колона от свободни членове.

За да се реши система от линейни уравнения с помощта на изчислителна единица Дадено - намирам, необходимо:

2) въведете служебна дума Дадено;

смели равни();

4) напишете функция намирам,

Пример.Системата от уравнения е дадена:

Решението на тази система с помощта на изчислителен блок Дадено - намирампоказано на фигура 4.3.

Ориз. 4.3. Решаване на система от линейни уравнения с помощта на функцията Find

Приблизително pрешение на система от линейни уравнения

Решаване на система от линейни уравнения с помощта на функция Minerrподобно на решението, използващо функцията намирам(използвайки същия алгоритъм), функция само намирамдава точното решение и Minerr-- приблизително. Ако в резултат на търсенето не може да се получи по-нататъшно прецизиране на текущото приближение към решението, миньорrвръща това приближение. Функция намирамв този случай връща съобщение за грешка.

Можете да изберете друго първоначално приближение.

· Можете да увеличите или намалите точността на изчислението. За да направите това, изберете от менюто математика > Настроики(Математика - Опции), раздел построен- ВПроменливи(Вградени променливи). В раздела, който се отваря, трябва да намалите допустимата грешка при изчисление (Толерантност на конвергенция (TOL)). TOL по подразбиране = 0,001.

ATвнимание. При метода на матричното решение е необходимо да се пренаредят коефициентите според увеличаването на неизвестните х 1, х 2, х 3, х 4.

7. 2 Решаване на системи от нелинейни уравнения

Системите от нелинейни уравнения в MathCAD се решават с помощта на изчислителна единица Дадено - намирам.

Дизайн Дадено - намирамизползва изчислителна техника, базирана на намиране на корен близо до начална точка на приближение, посочена от потребителя.

За да решите система от уравнения с помощта на блока Дадено - намирамнеобходимо:

1) задайте начални приближения за всички променливи;

2) въведете служебна дума Дадено;

3) запишете системата от уравнения, използвайки знака смели равни();

4) напишете функция намирам, чрез изброяване на неизвестни променливи като параметри на функцията.

В резултат на изчисленията ще се покаже векторът на решението на системата.

Ако системата има няколко решения, алгоритъмът трябва да се повтори с други първоначални предположения.

Забележка. Ако се решава система от две уравнения с две неизвестни, преди решаването й е желателно да се начертаят функционални графики, за да се провери дали системата има корени (дали графиките на дадени функции се пресичат) и ако да, колко. Първоначалното приближение може да бъде избрано според графиката по-близо до пресечната точка.

Пример. Дадена е система от уравнения

Преди да решим системата, ние изграждаме графики на функции: параболи (първото уравнение) и права линия (второто уравнение). Построяването на графика на права линия и парабола в една координатна система е показано на фигура 4.5:

Ориз. 4.5. Начертаване на две функции в една и съща координатна система

Правата и параболата се пресичат в две точки, което означава, че системата има две решения. Според графиката избираме началните приближения на неизвестните хи гза всяко решение. Намирането на корените на системата от уравнения е показано на фигура 4.6.

Ориз. 4.6. Намиране на корените на система от нелинейни уравнения

За да отбележим на графиката точките на пресичане на параболата и правата, въвеждаме координатите на точките, намерени при решаване на системата по оста Ox (стойности х ) и по оста Oy (стойности в ) разделени със запетаи. В прозореца за форматиране на диаграмата, в таб следиза следа3 и следа4 промяна: тип диаграма - точки, дебелина на линията - 3, цвят - черен (фиг. 4.7).

Ориз. 4.7. Функционални графики с маркирани пресечни точки

8 . Примери за използване на ключови функции MathCAD за решаване на някои математически задачи

Този раздел предоставя примери за решаване на задачи, които изискват решаване на уравнение или система от уравнения.

8. 1 Намиране на локални екстремуми на функции

Необходимото условие за екстремум (максимум и/или минимум) на непрекъсната функция се формулира по следния начин: екстремумите могат да се осъществят само в онези точки, където производната е или равна на нула, или не съществува (по-специално, тя става безкрайност) . За да намерите екстремумите на непрекъсната функция, първо намерете точките, които отговарят на необходимото условие, тоест намерете всички реални корени на уравнението.

Ако се изгради функционална графика, веднага се вижда - максимумът или минимумът е достигнат в дадена точка х. Ако няма графика, тогава всеки от намерените корени се разглежда по един от начините.

1-во с надбавка . С изравнявам д признаци на производната . Определя се знакът на производната на околността на точката (в точки, които са отделени от екстремума на функцията от различни страни на малки разстояния). Ако знакът на производната се промени от "+" на "-", тогава в този момент функцията има максимум. Ако знакът се промени от "-" на "+", тогава в този момент функцията има минимум. Ако знакът на производната не се промени, тогава няма екстремуми.

2-ри с надбавка . AT изчисления д второ производно . В този случай втората производна се изчислява в точката на екстремум. Ако е по-малко от нула, тогава в този момент функцията има максимум, ако е по-голяма от нула, тогава минимум.

Пример. Намиране на екстремуми (минимуми/максимуми) на функция.

Първо, нека построим графика на функцията (фиг. 6.1).

Ориз. 6.1. Начертаване на функция

Нека определим от графиката първоначалните приближения на стойностите хсъответстващи на локални екстремуми на функцията е(х). Нека намерим тези екстремуми, като решим уравнението. За решаване използваме блока Given - Find (фиг. 6.2.).

Ориз. 6.2. Намиране на локални екстремуми

Нека дефинираме вида на екстремумите первначин, като се изследва промяната в знака на производната в близост до намерените стойности (фиг. 6.3).

Ориз. 6.3. Определяне на вида на екстремума

От таблицата със стойностите на производната и от графиката може да се види, че знакът на производната в близост до точката х 1 се променя от плюс на минус, така че функцията достига своя максимум в този момент. И в близост до точката х 2, знакът на производната се е променил от минус на плюс, така че в този момент функцията достига минимум.

Нека дефинираме вида на екстремумите второначин, като се изчислява знакът на втората производна (фиг. 6.4).

Ориз. 6.4. Определяне на вида на екстремума с помощта на втората производна

Вижда се, че в точката х 1 втората производна е по-малка от нула, така че точката х 1 съответства на максимума на функцията. И в точката х 2 втората производна е по-голяма от нула, така че точката х 2 съответства на минимума на функцията.

8.2 Определяне на площите на фигурите, ограничени от непрекъснати линии

Площ на криволинеен трапец, ограничен от графика на функция е(х) , сегмент по оста Ox и две вертикали х = аи х = б, а < б, се определя по формулата: .

Пример. Намиране на площта на фигура, ограничена от линии е(х) = 1 - х 2 и г = 0.

Ориз. 6.5. Намиране на площта на фигура, ограничена от линии е(х) = 1 - х 2 и г = 0

Площта на фигурата, затворена между графиките на функциите е1(х) и е2(х) и директно х = аи х = б, се изчислява по формулата:

внимание. За да се избегнат грешки при изчисляване на площта, разликата на функциите трябва да се вземе по модул. Така зоната винаги ще бъде положителна.

Пример. Намиране на площта на фигура, ограничена от линии и. Решението е показано на фигура 6.6.

1. Изграждаме графика на функциите.

2. Намираме пресечните точки на функции с помощта на функцията корен. Ще определим началните приближения от графиката.

3. Намерени стойности х се заместват във формулата като граници на интегриране.

8. 3 Построяване на криви по дадени точки

Построяване на права, минаваща през две дадени точки

За да напишете уравнението на права линия, минаваща през две точки A( х 0,г 0) и B( х 1,г 1), се предлага следният алгоритъм:

1. Правата линия се дава от уравнението г = брадва + б,

където аи бса коефициентите на правата, които трябва да намерим.

2. Тази система е линейна. Той има две неизвестни променливи: аи б

Пример.Построяване на права линия, преминаваща през точки A(-2,-4) и B(5,7).

Заместваме преките координати на тези точки в уравнението и получаваме системата:

Решението на тази система в MathCAD е показано на Фигура 6.7.

Ориз. 6.7 Системно решение

В резултат на решаването на системата получаваме: а = 1.57, б= -0,857. Така че уравнението на права линия ще изглежда така: г = 1.57х- 0,857. Нека построим тази права линия (фиг. 6.8).

Ориз. 6.8. Изграждане на права линия

Построяване на парабола, преминаване през три дадени точки

Да се ​​построи парабола, минаваща през три точки A( х 0,г 0), B( х 1,г 1) и C( х 2,г 2), алгоритъмът е както следва:

1. Параболата се дава от уравнението

г = брадва 2 + бх + с, където

а, би сса коефициентите на параболата, които трябва да намерим.

Заместваме дадените координати на точките в това уравнение и получаваме системата:

.

2. Тази система е линейна. Той има три неизвестни променливи: а, би с. Системата може да бъде решена по матричен начин.

3. Заместваме получените коефициенти в уравнението и изграждаме парабола.

Пример.Построяване на парабола, преминаваща през точките A(-1,-4), B(1,-2) и C(3,16).

Заместваме дадените координати на точките в уравнението на параболата и получаваме системата:

Решението на тази система от уравнения в MathCAD е показано на фигура 6.9.

Ориз. 6.9. Решаване на система от уравнения

В резултат на това се получават коефициентите: а = 2, б = 1, ° С= -5. Получаваме уравнението на параболата: 2 х 2 +х -5 = г. Нека построим тази парабола (фиг. 6.10).

Ориз. 6.10. Построяване на парабола

Построяване на окръжност, минаваща през три дадени точки

За да се построи окръжност, минаваща през три точки A( х 1,г 1), B( х 2,г 2) и C( х 3,г 3), можете да използвате следния алгоритъм:

1. Кръгът е даден от уравнението

,

където x0,y0 са координатите на центъра на окръжността;

R е радиусът на окръжността.

2. Заместете дадените координати на точките в уравнението на окръжността и получете системата:

.

Тази система е нелинейна. Той има три неизвестни променливи: х 0, г 0 и R. Системата се решава с помощта на изчислителния блок Дадено - намирам.

Пример. Построяване на окръжност, преминаваща през три точки A(-2.0), B(6.0) и C(2.4).

Заместваме дадените координати на точките в уравнението на окръжността и получаваме системата:

Решението на системата в MathCAD е показано на Фигура 6.11.

Ориз. 6.11. Системно решение

В резултат на решаването на системата се получава следното: х 0 = 2, г 0 = 0, R = 4. Заместете получените координати на центъра на окръжността и радиуса в уравнението на окръжността. Получаваме: . Експресно от тук г и построете кръг (фиг. 6.12).

Ориз. 6.12. Построяване на кръг

Подобни документи

Използване на класирани променливи в софтуерния пакет Mathcad. Създаване на матрици без използване на матрични шаблони, описание на оператори за работа с вектори и матрици. Решаване на системи от линейни и нелинейни уравнения с помощта на Mathcad функции.

контролна работа, добавена 06.03.2011г


Общ изглед на прозореца на MathCad, менюто на лентата с инструменти на изучаваната програма. Документ на MathCad, неговите общи характеристики и методи за редактиране. Разделяне на области и контекстно меню, изрази. Дефиниране на дискретен аргумент, променливи и константи.

презентация, добавена на 29.09.2013


Концепцията за математически модел и моделиране. Обща информация за системата MathCad. Структурен анализ на проблема в MathCAD. Режим на непрекъснати символни трансформации. Оптимизиране на цифрови табулатори чрез символни преобразувания. Изчисляване на опорната реакция.

курсова работа, добавена на 06.03.2014


Предназначение и състав на системата MathCAD. Основните обекти на езика за въвеждане и езика за изпълнение. Характеристики на елементите на потребителския интерфейс, настройка на състава на лентите с инструменти. Задачи на линейната алгебра и решаване на диференциални уравнения в MathCAD.

курс на лекции, добавен на 13.11.2010г


Обща информация за системата Mathcad. Прозорец на програмата Mathcad и ленти с инструменти. Изчисляване на алгебрични функции. Интерполация на функции чрез кубични сплайни. Изчисляване на квадратния корен. Анализ на численото диференциране и интегриране.

курсова работа, добавена на 25.12.2014


Изучаване на структурата на работния документ MathCad - програма, предназначена да автоматизира математическите изчисления. Работа с променливи, функции и матрици. Приложение на MathCad за начертаване, решаване на уравнения и символни изчисления.

презентация, добавена на 03/07/2013


Понятието за математически модел, свойства и класификация. Характеристики на елементите на системата Mathcad. Алгоритмичен анализ на задачата: описание на математическия модел, графична схема на алгоритъма. Внедряване на основния модел и описание на MathCAD изследвания.

резюме, добавен на 20.03.2014


Mathcad и неговите основни понятия. Възможности и функции на системата в матричното смятане. Най-простите операции с матрици. Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения. Собствени вектори. Разлагане на Холецки. Елементарна теория на линейните оператори.

курсова работа, добавена на 25.11.2014


Основните елементи на системата MathCAD, преглед на нейните възможности. Системен интерфейс, концепция за изграждане на документ. Типове данни, език за въвеждане на системата. Класификация на стандартните функции. Графични възможности на системата MathCAD. Решение на системни уравнения.

курс на лекции, добавен на 01.03.2015


Въведение в текстовите редактори на Windows. Настройка на редактора на Microsoft Word. Разработване на MS Excel документ. Създаване на Web-страници в средата на MS Word. Строителни рамки. Управление на опциите за шрифтове. Построяване в математическия пакет MathCad.