Funkcija distribucije kontinuirane vrijednosti. Slučajna varijabla

Neka je kontinuirana slučajna varijabla X specificirana funkcijom distribucije f(x). Pretpostavimo da sve moguće vrijednosti slučajne varijable pripadaju segmentu [ a,b].

Definicija. Matematičko očekivanje kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju segmentu, naziva se definitivnim integralom

Ako se moguće vrijednosti slučajne varijable razmatraju na cijeloj numeričkoj osi, tada se matematičko očekivanje nalazi po formuli:

U ovom slučaju, naravno, pretpostavlja se da nepravilni integral konvergira.

Definicija. Varijanca kontinuirane slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadrata njenog odstupanja.

Po analogiji s varijansom diskretne slučajne varijable, za praktično izračunavanje varijanse koristi se formula:

Definicija. Standardna devijacija zove se kvadratni korijen varijanse.

Definicija. Moda M 0 diskretne slučajne varijable naziva se njena najvjerovatnija vrijednost. Za kontinuiranu slučajnu varijablu, mod je vrijednost slučajne varijable na kojoj gustina distribucije ima maksimum.

Ako poligon distribucije za diskretnu slučajnu varijablu ili krivulja distribucije za kontinuiranu slučajnu varijablu ima dva ili više maksimuma, tada se takva raspodjela naziva bimodal ili multimodalni. Ako distribucija ima minimum, ali nema maksimum, onda se poziva antimodal.

Definicija. Medijan M D slučajne varijable X je njena vrijednost u odnosu na koju je jednako vjerovatno da će se dobiti veća ili manja vrijednost slučajne varijable.

Geometrijski gledano, medijana je apscisa tačke u kojoj je područje ograničeno krivom distribucije podijeljeno na pola. Imajte na umu da ako je distribucija unimodalna, tada se mod i medijan poklapaju sa matematičkim očekivanjem.

Definicija. Početni trenutak red k slučajna varijabla X je matematičko očekivanje vrijednosti X k.

Početni trenutak prvog reda jednak je matematičkom očekivanju.

Definicija. Centralni trenutak red k slučajna varijabla X je matematičko očekivanje vrijednosti

Za diskretnu slučajnu varijablu: .

Za kontinuiranu slučajnu varijablu: .

Centralni moment prvog reda je uvijek nula, a središnji moment drugog reda jednak je disperziji. Centralni moment trećeg reda karakteriše asimetriju distribucije.

Definicija. Zove se omjer centralnog momenta trećeg reda prema standardnoj devijaciji na treći stepen koeficijent asimetrije.

Definicija. Za karakterizaciju vršnosti i ravnosti distribucije, veličina tzv višak.

Pored razmatranih veličina, koriste se i takozvani apsolutni momenti:

Apsolutni početni trenutak: . Apsolutna centralna tačka: . Apsolutni centralni moment prvog reda naziva se aritmetička srednja devijacija.

Primjer. Za primjer o kojem se gore govori, odredite matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable X.

Primjer. U urni se nalazi 6 bijelih i 4 crne kuglice. Iz nje se pet puta uzastopno vadi loptica i svaki put se uklonjena loptica vraća nazad i loptice se miješaju. Uzimajući broj izvađenih bijelih kuglica kao slučajnu varijablu X, nacrtajte zakon raspodjele za ovu vrijednost, odredite njeno matematičko očekivanje i disperziju.

Jer loptice u svakom eksperimentu se vraćaju nazad i miješaju, tada se testovi mogu smatrati nezavisnim (rezultat prethodnog eksperimenta ne utječe na vjerovatnoću pojave ili nenastupanja događaja u drugom eksperimentu).

Dakle, vjerovatnoća pojave bijele kuglice u svakom eksperimentu je konstantna i jednaka

Dakle, kao rezultat pet uzastopnih pokušaja, bijela lopta se možda neće uopće pojaviti ili se pojaviti jednom, dvaput, tri, četiri ili pet puta. Da biste sastavili zakon raspodjele, morate pronaći vjerovatnoće svakog od ovih događaja.

1) Bijela lopta se uopće nije pojavila:

2) Bijela lopta se pojavila jednom:

3) Bijela kugla će se pojaviti dva puta: .

Funkcija distribucije slučajne varijable X je funkcija F(x), koja za svaki x izražava vjerovatnoću da će slučajna varijabla X uzeti vrijednost, manji x

Primjer 2.5. Dat je niz distribucije slučajne varijable

Pronađite i grafički opišite njegovu funkciju distribucije. Rješenje. Prema definiciji

F(jc) = 0 at X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 na 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 pri X > 5.

Dakle (vidi sliku 2.1):

Svojstva funkcije distribucije:

1. Funkcija distribucije slučajne varijable je nenegativna funkcija između nule i jedan:

2. Funkcija raspodjele slučajne varijable je neopadajuća funkcija na cijeloj numeričkoj osi, tj. at X 2 >x

3. Na minus beskonačnosti, funkcija raspodjele je jednaka nuli, na plus beskonačno jednaka je jedan, tj.

4. Vjerovatnoća pogađanja slučajne varijable X u intervalu jednak je određenom integralu njegove gustine vjerovatnoće u rasponu od A prije b(vidi sliku 2.2), tj.

Rice. 2.2

3. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable (vidi sliku 2.3) može se izraziti kroz gustinu vjerovatnoće prema formuli:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Nepravilan integral u beskonačnim granicama gustine vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable jednak je jedinici:

Geometrijska svojstva / i 4 gustoće vjerovatnoće znače da je njegov graf kriva distribucije - ne leži ispod x-ose, i ukupnu površinu figure, ograničen krivuljom distribucije i x-osom, jednako jedan.

Za kontinuiranu slučajnu varijablu X očekivanu vrijednost M(X) i varijansu D(X) određuju se formulama:

(ako je integral apsolutno konvergentan); ili

(ako se gornji integrali konvergiraju).

Zajedno sa gore navedenim numeričkim karakteristikama, koncept kvantila i procentnih poena koristi se za opisivanje slučajne varijable.

Kvantilni nivo q(ili q-kvantil) je takva vrijednostx qslučajna varijabla, na kojoj njena funkcija distribucije poprima vrijednost, jednako q, tj.

100Tačka q%-ou je kvantil X~ q.
? Primjer 2.8.

Na osnovu podataka iz primjera 2.6, pronađite kvantil xqj i tačku slučajne varijable od 30%. X.

Rješenje. Po definiciji (2.16) F(xo t3)= 0,3, tj.

~Y~ = 0.3, odakle dolazi kvantil? x 0 3 = 0,6. 30% slučajne varijabilne tačke X, ili kvantil X)_o,z = xoj"nalazi se na sličan način iz jednačine ^ = 0,7. gdje je *,= 1.4. ?

Među numeričkim karakteristikama slučajne varijable postoje početni v* i centralno R* momenti k-tog reda, određena za diskretne i kontinuirane slučajne varijable po formulama:

4. Gustoća vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable

Kontinuirana slučajna varijabla može se specificirati korištenjem funkcije distribucije F(x) . Ova metoda dodjele nije jedina. Kontinuirana slučajna varijabla se također može specificirati korištenjem druge funkcije koja se zove gustina distribucije ili gustina vjerovatnoće (ponekad se naziva diferencijalna funkcija).

Definicija 4.1: Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable X pozovite funkciju f (x) - prvi izvod funkcije distribucije F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

Iz ove definicije slijedi da je funkcija distribucije antiderivat gustine raspodjele. Imajte na umu da gustina distribucije nije primjenjiva za opisivanje distribucije vjerovatnoće diskretne slučajne varijable.

Vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla padne u dati interval

Poznavajući gustinu distribucije, možete izračunati vjerovatnoću da će kontinuirana slučajna varijabla uzeti vrijednost koja pripada datom intervalu.

Teorema: Vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla X uzeti vrijednosti koje pripadaju intervalu (a, b), jednak je određenom integralu gustine raspodjele, uzetom u rasponu odaprijeb :

dokaz: Koristimo omjer

P(a ≤ Xb) = F(b) – F(a).

Prema Newton-Leibnizovoj formuli,

dakle,

Jer P(a ≤ X b)= P(a X b) , onda konačno dobijamo

Geometrijski, dobijeni rezultat se može protumačiti na sljedeći način: vjerovatnoća da će kontinuirana slučajna varijabla uzeti vrijednost koja pripada intervalu (a, b), jednako površini krivolinijskog trapeza omeđenog osomOx, kriva distribucijef(x) i ravnox = aIx = b.

komentar: Konkretno, ako f(x) – funkcija je parna i krajevi intervala su simetrični u odnosu na ishodište, dakle

Primjer. Zadana je gustina vjerovatnoće slučajne varijable X

Pronađite vjerovatnoću da kao rezultat testa Xće uzeti vrijednosti koje pripadaju intervalu (0,5, 1).

Rješenje: Potrebna vjerovatnoća

Pronalaženje funkcije raspodjele iz poznate gustine raspodjele

Poznavanje gustine distribucije f(x) , možemo pronaći funkciju distribucije F(x) prema formuli

stvarno, F(x) = P(X x) = P(-∞ X x) .

dakle,

dakle, Poznavajući gustinu distribucije, možete pronaći funkciju distribucije. Naravno, iz poznate funkcije raspodjele može se pronaći gustina raspodjele, naime:

f(x) = F"(x).

Primjer. Pronađite funkciju distribucije za datu gustinu distribucije:

Rješenje: Koristimo formulu

Ako x ≤ a, To f(x) = 0 , dakle, F(x) = 0 . Ako a , onda f(x) = 1/(b-a),

dakle,

Ako x > b, To

Dakle, potrebna funkcija distribucije

komentar: Dobili smo funkciju raspodjele ravnomjerno raspoređene slučajne varijable (vidi uniformnu distribuciju).

Svojstva gustine distribucije

Nekretnina 1: Gustoća distribucije je nenegativna funkcija:

f ( x ) ≥ 0 .

Nekretnina 2: Nepravilan integral gustine distribucije u rasponu od -∞ do ∞ jednak je jedinici:

komentar: Poziva se graf gustine distribucije kriva distribucije.

komentar: Gustoća raspodjele kontinuirane slučajne varijable se također naziva zakon raspodjele.

Primjer. Gustoća distribucije slučajne varijable ima sljedeći oblik:

Pronađite konstantni parametar a.

Rješenje: Gustoća raspodjele mora zadovoljiti uvjet , pa ćemo zahtijevati da jednakost bude zadovoljena

Odavde
. Nađimo neodređeni integral:

Izračunajmo nepravilan integral:

Dakle, traženi parametar

Vjerovatno značenje gustine distribucije

Neka F(x) – funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X. Po definiciji gustine distribucije, f(x) = F"(x) , ili

Razlika F(x+∆x) -F(x) određuje vjerovatnoću da Xće uzeti vrijednost koja pripada intervalu (x, x+∆x). Dakle, granica omjera vjerovatnoće da će kontinuirana slučajna varijabla uzeti vrijednost koja pripada intervalu (x, x+∆x), na dužinu ovog intervala (at ∆x→0) jednak je vrijednosti gustine raspodjele u tački X.

Dakle, funkcija f(x) određuje gustinu distribucije vjerovatnoće za svaku tačku X. Iz diferencijalnog računa je poznato da je prirast funkcije približno jednak diferencijalu funkcije, tj.

Jer F"(x) = f(x) I dx = ∆ x, To F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

Vjerojatnostno značenje ove jednakosti je: vjerovatnoća da će slučajna varijabla uzeti vrijednost koja pripada intervalu (x, x+∆ x) je približno jednak proizvodu gustine vjerovatnoće u tački x i dužine intervala ∆x.

Geometrijski, ovaj rezultat se može protumačiti na sljedeći način: vjerovatnoća da će slučajna varijabla uzeti vrijednost koja pripada intervalu (x, x+∆ x) je približno jednaka površini pravougaonika sa osnovom ∆h i visinomf(x).

5. Tipične distribucije diskretnih slučajnih varijabli

5.1. Bernulijeva distribucija

Definicija 5.1: Slučajna vrijednost X, uzimajući dvije vrijednosti 1 I 0 sa vjerovatnoćama ("uspjeh") str i (“neuspjeh”) q, zvao Bernoullievskaya:

, Gdje k=0,1.

5.2. Binomna distribucija

Neka se proizvede n nezavisnih suđenja, u svakom od kojih događaj A može se pojaviti ili ne mora. Vjerovatnoća da se neki događaj dogodi u svim ispitivanjima je konstantna i jednaka str(dakle vjerovatnoća da se ne dogodi q = 1 - str).

Uzmite u obzir slučajnu varijablu X– broj pojavljivanja događaja A u ovim testovima. Slučajna vrijednost X preuzima vrijednosti 0,1,2,… n sa vjerovatnoćama izračunatim korištenjem Bernoullijeve formule: , Gdje k = 0,1,2,… n.

Definicija 5.2: Binom naziva se raspodjela vjerovatnoće određena Bernoullijevom formulom.

Primjer. U metu se ispaljuju tri hica, a vjerovatnoća da se pogodi svaki hitac je 0,8. Razmotrite slučajnu varijablu X– broj pogodaka u metu. Pronađite njegovu distribucijsku seriju.

Rješenje: Slučajna vrijednost X preuzima vrijednosti 0,1,2,3 sa vjerovatnoćama izračunatim korištenjem Bernoullijeve formule, gdje je n = 3, str = 0,8 (vjerovatnoća pogotka), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (vjerovatnoća nestanka).

Dakle, serija distribucije ima sljedeći oblik:

Koristite Bernoullijevu formulu za velike vrijednosti n prilično teško, stoga, izračunati odgovarajuće vjerovatnoće, koristite lokalnu Laplaceovu teoremu, koja vam omogućava da približno pronađete vjerovatnoću pojave događaja tačno k jednom svaki n testova, ako je broj testova dovoljno velik.

Lokalna Laplaceova teorema: Ako je vjerovatnoća str pojava događaja A
da događaj A će se pojaviti u n tačno testira k puta, približno jednako (što tačnije, to više n) vrijednost funkcije
, Gdje
,
.

Napomena1: Tablice koje sadrže vrijednosti funkcija
, su dati u Dodatku 1, i
. Funkcija je gustina standardne normalne distribucije (vidi normalnu distribuciju).

primjer: Nađite vjerovatnoću da će događaj A doći će tačno 80 jednom svaki 400 pokušaja ako je vjerovatnoća pojave ovog događaja u svakom ispitivanju jednaka 0,2.

Rješenje: Po stanju n = 400, k = 80, str = 0,2 , q = 0,8 . Izračunajmo vrijednost koju određuju podaci zadatka x:
. Iz tabele u Dodatku 1 nalazimo
. Tada će tražena vjerovatnoća biti:

Ako trebate izračunati vjerovatnoću da će neki događaj Aće se pojaviti u n testovi ništa manje k 1 jednom i ne više k 2 puta, onda morate koristiti Laplaceov integralni teorem:

Laplasova integralna teorema: Ako je vjerovatnoća str pojava događaja A u svakom pokušaju je konstantna i različita od nule i jedan, tada je vjerovatnoća
da događaj A će se pojaviti u n testovi iz k 1 prije k 2 puta, približno jednako određenom integralu

, Gdje
I
.

Drugim riječima, vjerovatnoća da će neki događaj A će se pojaviti u n testovi iz k 1 prije k 2 puta, približno jednako

Gdje
, I .

Napomena 2: Funkcija
nazvana Laplaceova funkcija (vidi normalnu distribuciju). Tablice koje sadrže vrijednosti funkcija , date su u Dodatku 2, i
.

primjer: Pronađite vjerovatnoću da među 400 slučajno odabrani dijelovi će se pokazati netestiranim od 70 do 100 dijelova, ako je vjerovatnoća da dio nije prošao inspekciju kontrole kvaliteta jednaka 0,2.

Rješenje: Po stanju n = 400, str = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Izračunajmo donju i gornju granicu integracije:

;
.

Tako imamo:

Iz tabele u Dodatku 2 to nalazimo
I . Tada je tražena vjerovatnoća:

Napomena 3: U nizu nezavisnih pokušaja (kada je n veliko, p je malo), Poissonova formula se koristi za izračunavanje vjerovatnoće da će se događaj desiti tačno k puta (pogledajte Poissonovu distribuciju).

5.3. Poissonova distribucija

Definicija 5.3: Poziva se diskretna slučajna varijabla Poisson, ako njegov zakon raspodjele ima sljedeći oblik:

, Gdje
I
(konstantna vrijednost).

Primjeri Poissonovih slučajnih varijabli:

Broj poziva na automatsku stanicu u određenom vremenskom periodu T.

Broj čestica raspada neke radioaktivne supstance u određenom vremenskom periodu T.

Broj televizora koji stignu u radionicu u određenom vremenskom periodu T u velikom gradu .

Broj automobila koji će stići na zaustavnu liniju raskrsnice u velikom gradu .

Napomena1: Posebne tabele za izračunavanje ovih vjerovatnoća date su u Dodatku 3.

Napomena 2: U nizu nezavisnih testova (kada n sjajno, str nije dovoljno) za izračunavanje vjerovatnoće da će se događaj tačno dogoditi k puta koristeći Poissonovu formulu:
, Gdje
, odnosno prosječan broj pojavljivanja događaja ostaje konstantan.

Napomena 3: Ako postoji slučajna varijabla koja je raspoređena prema Poissonovom zakonu, onda nužno postoji slučajna varijabla koja je raspoređena prema eksponencijalnom zakonu i, obrnuto (vidi Eksponencijalna distribucija).

Primjer. Biljka poslata u bazu 5000 dobar kvalitet proizvoda. Vjerovatnoća da će se proizvod oštetiti u transportu jednaka je 0,0002 . Nađite vjerovatnoću da tačno tri neupotrebljiva proizvoda stignu u bazu.

Rješenje: Po stanju n = 5000, str = 0,0002, k = 3. Naći ćemo λ: λ = n.p.= 5000·0,0002 = 1.

Prema Poissonovoj formuli, željena vjerovatnoća je jednaka:

, gdje je slučajna varijabla X– broj neupotrebljivih proizvoda.

5.4. Geometrijska distribucija

Neka se izvrše nezavisni testovi, u svakom od kojih je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi A jednak str(0 str

q = 1 - str. Izazovi se završavaju čim se događaj pojavi A. Dakle, ako je događaj A pojavio se u k-tom testu, zatim u prethodnom k – 1 nije se pojavio na testovima.

Označimo sa X diskretna slučajna varijabla - broj pokušaja koji se moraju provesti prije prvog pojavljivanja događaja A. Očigledno, moguće vrijednosti X su prirodni brojevi x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Neka prvo k-1 događaj testiranja A nije došao, nego je ušao k-ti test se pojavio. Vjerovatnoća ovog “složenog događaja”, prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja, P (X = k) = q k -1 str.

Definicija 5.4: Diskretna slučajna varijabla ima geometrijska distribucija, ako njegov zakon raspodjele ima sljedeći oblik:

P ( X = k ) = q k -1 str , Gdje
.

Napomena1: Believing k = 1,2,… , dobijamo geometrijsku progresiju sa prvim članom str i imenilac q (0q. Iz tog razloga, distribucija se naziva geometrijska.

Napomena 2: Red
konvergira i njen zbir je jednak jedan. Zaista, zbir serije je jednak
.

Primjer. Iz pištolja se puca na metu sve dok se ne izvrši prvi pogodak. Verovatnoća pogađanja mete str = 0,6 . Nađite vjerovatnoću da će se pogoditi treći hitac.

Rješenje: Po stanju str = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Tražena vjerovatnoća je:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Hipergeometrijska distribucija

Hajde da razmotrimo sledeći problem. Pusti žurku N dostupni proizvodi M standard (MN). Nasumično uzeto iz serije n proizvode (svaki proizvod se može izdvojiti sa istom vjerovatnoćom), a odabrani proizvod se ne vraća u seriju prije odabira sljedećeg (dakle, Bernoullijeva formula ovdje nije primjenjiva).

Označimo sa X slučajna varijabla - broj m standardni proizvodi među n odabrano. Zatim moguće vrijednosti X biće 0, 1, 2,…, min ; Označimo ih i... By vrijednosti nezavisne varijable (Fonds) koristite dugme ( poglavlje ...

Edukativno-metodološki kompleks za disciplinu „Opća psihološka radionica“

Trening i metodološki kompleks

... metodološki instrukcije By izvođenje praktičnog rada 5.1 Metodički preporuke By realizacija obrazovnih projekata 5.2 Metodički preporuke By... osjetljivost), jednodimenzionalni i višedimenzionalni... nasumično komponenta u veličina... Sa odjeljak"Performans...

Nastavno-metodički kompleks za disciplinu fizika (naslov)

Trening i metodološki kompleks

... sekcije u udžbenicima. Rješavanje problema By svaku temu. Razrada metodološki instrukcije za laboratorijske radove By ... nasumično i instrumentalna mjerna greška 1.8 Predmeti ispitivanja i metodološki instrukcije By...Čestice unutra jednodimenzionalni potencijalna rupa. ...

Smjernice za laboratorijski rad iz discipline računarstvo

Smjernice

... Metodički instrukcije za LABORATORIJSKI RAD By ... veličina, i najveći iznos količine... niz nasumično brojevi... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 a) jednodimenzionalni niz b) dvodimenzionalni niz Sl. 2– Fajlovi... su opisani u odjeljak implementacija nakon...

Kontinuirane slučajne varijable imaju beskonačan broj mogućih vrijednosti. Stoga je nemoguće uvesti distributivnu seriju za njih.

Umjesto vjerovatnoće da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost jednaku x, tj. p(X = x), razmotrite vjerovatnoću da će X uzeti vrijednost manju od x, tj. P(X< х).

Hajde da uvedemo novu karakteristiku slučajnih varijabli - funkciju distribucije i razmotrimo njena svojstva.

Funkcija distribucije je najuniverzalnija karakteristika slučajne varijable. Može se definirati i za diskretne i za kontinuirane slučajne varijable:

F(x) = p(X< x).

Svojstva funkcije distribucije.

Funkcija distribucije je neopadajuća funkcija svog argumenta, tj. ako:

Na minus beskonačnosti, funkcija distribucije je nula:

Na plus beskonačno, funkcija distribucije je jednaka jedan:

Vjerojatnost slučajne varijable koja pada unutar datog intervala određena je formulom:

Funkcija f(x), jednaka izvodu funkcije distribucije, naziva se gustoća vjerovatnoće slučajne varijable X ili gustina distribucije:

Izrazimo vjerovatnoću da dođemo do sekcije b do c kroz f(x). Jednaka je zbiru elemenata vjerovatnoće u ovom dijelu, tj. integral:

Odavde možemo izraziti funkciju distribucije u smislu gustine vjerovatnoće:

Svojstva gustine vjerovatnoće.

Gustoća vjerovatnoće je nenegativna funkcija (pošto je funkcija distribucije neopadajuća funkcija):

Gustina vjerovatno

je kontinuirana funkcija.

Beskonačni integral gustine vjerovatnoće jednak je 1:

Gustoća vjerovatnoće ima dimenziju slučajne varijable.

Očekivanje i varijansa kontinuirane slučajne varijable

Značenje matematičkog očekivanja i varijanse ostaje isto kao iu slučaju diskretnih slučajnih varijabli. Tip formula za njihovo pronalaženje se mijenja zamjenom:

Tada dobijamo formule za izračunavanje matematičkog očekivanja i varijanse kontinuirane slučajne varijable:

Primjer. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable data je izrazom:

Odrediti vrijednost a, gustinu vjerovatnoće, vjerovatnoću pogađanja lokacije (0,25-0,5), matematičko očekivanje i disperziju.

Pošto je funkcija distribucije F(x) kontinuirana, onda je pri x = 1 ax2 = 1, dakle, a = 1.

Gustoća vjerovatnoće se nalazi kao derivacija funkcije distribucije:

Izračunavanje vjerovatnoće da se pogodi dato područje može se izvršiti na dva načina: korištenjem funkcije raspodjele i korištenjem gustine vjerovatnoće.

1. metoda. Koristimo formulu za pronalaženje vjerovatnoće kroz funkciju distribucije:
2. metoda. Koristimo formulu za pronalaženje vjerovatnoće kroz gustinu vjerovatnoće:

Pronalazimo matematičko očekivanje:

Pronalaženje varijanse:

Ujednačena distribucija

Razmotrimo kontinuiranu slučajnu varijablu X čije moguće vrijednosti leže u određenom intervalu i jednako su vjerojatne.

Gustoća vjerovatnoće takve slučajne varijable će imati oblik:

gdje je c neka konstanta.

Grafikon gustine vjerovatnoće će izgledati ovako:

Izrazimo parametar c u terminima b i c. Da bismo to učinili, koristimo činjenicu da integral gustoće vjerovatnoće za cijelo područje mora biti jednak 1:

Gustoća distribucije jednoliko raspoređene slučajne varijable

Nađimo funkciju distribucije:

Funkcija distribucije jednoliko raspoređene slučajne varijable

Nacrtajmo funkciju distribucije:

Izračunajmo matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable koja podliježe uniformnoj distribuciji.

Tada će standardna devijacija izgledati ovako:

Normalna (Gausova) distribucija

Kontinuirana slučajna varijabla X naziva se normalno raspoređena s parametrima a, y > 0 ako ima gustinu vjerovatnoće:

Kriva distribucije slučajne varijable ima oblik:

Test 2

Zadatak 1. Nacrtati zakon raspodjele za diskretnu slučajnu varijablu X, izračunati matematičko očekivanje, disperziju i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 1

Odjel za kontrolu kvalitete provjerava standardnost proizvoda. Vjerovatnoća da je proizvod standardan je 0,7. Testirano 20 proizvoda. Naći zakon raspodjele slučajne varijable X - broj standardnih proizvoda među testiranim. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 2

U urni se nalaze 4 kuglice, koje označavaju tačke 2; 4; 5; 5. Lopta se izvlači nasumično. Pronađite zakon raspodjele slučajne varijable X - broj tačaka na njoj. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 3

Lovac puca na divljač dok ne pogodi, ali ne može ispaliti više od tri hica. Vjerovatnoća da ćete pogoditi svaki metak je 0,6. Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj hitaca koje je strijelac ispalio. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 4

Verovatnoća prekoračenja navedene tačnosti tokom merenja je 0,4. Napraviti zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj grešaka u 10 mjerenja. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 5

Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,45. Ispaljeno 20 hitaca. Napraviti zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj pogodaka. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 6

Proizvodi nekih biljaka sadrže 5% nedostataka. Sastavite zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj neispravnih proizvoda između pet uzetih za sreću. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 7

Dijelovi koji su potrebni asembleru nalaze se u tri od pet kutija. Sastavljač otvara kutije dok ne pronađe dijelove koji su mu potrebni. Napraviti zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj otvorenih kutija. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 8

U urni se nalaze 3 crne i 2 bijele kuglice. Kuglice se uklanjaju uzastopno bez vraćanja dok se ne pojavi crna. Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj izvučenih loptica. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 9

Učenik zna 15 pitanja od 20. Na listiću su 3 pitanja. Sastaviti zakon raspodjele slučajne varijable X - broj pitanja poznatih učeniku u listiću. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 10

Postoje 3 sijalice, od kojih svaka ima kvar sa vjerovatnoćom 0,4. Kada se uključi, neispravna sijalica pregori i zamjenjuje se drugom. Napraviti zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj testiranih lampi. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Zadatak 2. Slučajna varijabla X određena je funkcijom distribucije F(X). Naći gustinu distribucije, matematičko očekivanje, disperziju, kao i vjerovatnoću da slučajna varijabla padne u interval (b, c). Nacrtajte grafove funkcija F(X) i f(X).

Opcija 1

Opcija 2

Opcija 3

Opcija 4

Opcija 5

Opcija 6

Opcija 7

Opcija 8

Opcija 9

Opcija 10

Pitanja za ispit

Klasična definicija vjerovatnoće.

Elementi kombinatorike. Smještaj. Primjeri.

Elementi kombinatorike. Preuređenje. Primjeri.

Elementi kombinatorike. Kombinacije. Primjeri.

Teorema o zbiru vjerovatnoća.

Teorema množenja vjerovatnoće.

Operacije na događajima.

Formula ukupne vjerovatnoće.

Bayesova formula.

Ponavljanje testova. Bernulijeva formula.

Diskretne slučajne varijable. Serija distribucije. Primjer.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable.

Disperzija diskretne slučajne varijable.

Binomna distribucija slučajne varijable.

Poissonova distribucija.

Distribucija prema zakonu geometrijske progresije.

Kontinuirane slučajne varijable. Funkcija distribucije i njena svojstva.

Gustoća vjerovatnoće i njena svojstva.

Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable.

Varijanca kontinuirane slučajne varijable.

Uniformna distribucija kontinuirane slučajne varijable.

Zakon normalne distribucije.

Koncepti matematičkog očekivanja M(X) i varijansu D(X), uveden ranije za diskretnu slučajnu varijablu, može se proširiti na kontinuirane slučajne varijable.

· Matematičko očekivanje M(X) kontinuirana slučajna varijabla X određena je jednakošću:

pod uslovom da ovaj integral konvergira.

· Varijanca D(X) kontinuirana slučajna varijabla X određuje se jednakošću:

· Standardna devijacijaσ( X) kontinuirana slučajna varijabla određena je jednakošću:

Sva svojstva matematičkog očekivanja i disperzije, o kojima smo ranije govorili za diskretne slučajne varijable, vrijede i za kontinuirane.

Problem 5.3. Slučajna vrijednost X dato diferencijalnom funkcijom f(x):

Nađi M(X), D(X), σ( X), i P(1 < X< 5).

Rješenje:

M(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P 1 =

Zadaci

5.1. X

f(x), i

R(‒1/2 < X< 1/2).

5.2. Kontinuirana slučajna varijabla X dato funkcijom distribucije:

Nađite funkciju diferencijalne distribucije f(x), i

R(2π /9< X< π /2).

5.3. Kontinuirana slučajna varijabla X

Pronađite: a) broj With; b) M(X), D(X).

5.4. Kontinuirana slučajna varijabla X dato gustinom distribucije:

Pronađite: a) broj With; b) M(X), D(X).

5.5. X:

Pronaci) F(X) i izgradi njegov graf; b) M(X), D(X), σ( X); c) vjerovatnoća da će u četiri nezavisna ispitivanja vrijednost Xće uzeti tačno 2 puta vrednost koja pripada intervalu (1;4).

5.6. Zadana je gustina raspodjele vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X:

Pronaci) F(X) i izgradi njegov graf; b) M(X), D(X), σ( X); c) vjerovatnoća da će u tri nezavisna ispitivanja vrijednost Xće uzeti točno 2 puta vrijednost koja pripada segmentu .

5.7. Funkcija f(X) je dat u obliku:

With X; b) funkcija distribucije F(x).

5.8. Funkcija f(x) je dat u obliku:

Pronađite: a) vrijednost konstante With, pri čemu će funkcija biti gustoća vjerovatnoće neke slučajne varijable X; b) funkcija distribucije F(x).

5.9. Slučajna vrijednost X, koncentriran na interval (3;7), specificiran je funkcijom raspodjele F(X)= Xće imati vrijednost: a) manju od 5, b) ne manju od 7.

5.10. Slučajna vrijednost X, sa središtem na intervalu (-1;4), specificirano je funkcijom distribucije F(X)= . Pronađite vjerovatnoću da je slučajna varijabla Xće uzeti vrijednost: a) manju od 2, b) manju od 4.

5.11.

Pronađite: a) broj With; b) M(X); c) vjerovatnoća R(X > M(X)).

5.12. Slučajna varijabla je određena funkcijom diferencijalne distribucije:

Pronaci) M(X); b) vjerovatnoća R(X ≤ M(X)).

5.13. Rem distribucija je data gustinom vjerovatnoće:

Dokaži to f(x) je zaista funkcija gustoće vjerovatnoće.

5.14. Zadana je gustina raspodjele vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X:

Nađi broj With.

5.15. Slučajna vrijednost X raspoređeni prema Simpsonovom zakonu (jednakokraki trougao) na segmentu [-2;2] (slika 5.4). Pronađite analitički izraz za gustinu vjerovatnoće f(x) na cijeloj brojevnoj pravoj.

Rice. 5.4 Sl. 5.5

5.16. Slučajna vrijednost X raspoređeni prema zakonu “pravouglog trougla” u intervalu (0;4) (slika 5.5). Pronađite analitički izraz za gustinu vjerovatnoće f(x) na cijeloj brojevnoj pravoj.

Odgovori

P (-1/2<X<1/2)=2/3.

P(2π /9<X< π /2)=1/2.

5.3. A) With=1/6, b) M(X)=3 , c) D(X)=26/81.

5.4. A) With=3/2, b) M(X)=3/5, c) D(X)=12/175.

b) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( X)= /3.

b) M(X)=2 , D(X)= 3 , σ( X)= 1,893.

5.7. a) c = ; b)

5.8. A) With=1/2; b)

5.9. a)1/4; b) 0.

5.10. a)3/5; b) 1.

5.11. A) With= 2; b) M(X)= 2; u 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.