Među primjeri ograničenja funkcije su uobičajene funkcije s korijenima, koje nije uvijek jasno kako ih objelodaniti. Lakše je kada postoji primjer granice s korijenskom funkcijom forme

Rješenje takvih ograničenja je jednostavno i svima razumljivo.
Poteškoće nastaju ako postoje sljedeći primjeri funkcija s korijenima.

Primjer 1. Izračunajte granicu funkcije

Kada se direktno zamjenjuje tačka x = 1, jasno je da su i brojnik i nazivnik funkcije

okrene se na nulu, odnosno imamo nesigurnost oblika 0/0.
Da biste otkrili nesigurnost, trebali biste izraz koji sadrži korijen pomnožiti njegovim konjugatom i primijeniti pravilo razlike kvadrata. Za dati primjer transformacije će biti sljedeće



Limit funkcije s korijenima jednako 6. Bez ovog pravila bi ga bilo teško pronaći.
Hajde da razmotrimo slični primjeri izračunavanje granice sa datim pravilom

Primjer 2. Pronađite granicu funkcije

Uvjereni smo da zamjenom x = 3 dobijamo nesigurnost oblika 0/0.
Proširujemo ga množenjem brojnika i nazivnika konjugatom brojnika.


Zatim širimo brojilac prema pravilu razlike kvadrata

Ovako smo jednostavno pronašli granicu funkcije s korijenima.

Primjer 3. Odredite granicu funkcije

Vidimo da imamo nesigurnost oblika 0/0.
Oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku

Ograničenje funkcije je 8.

Pogledajmo sada drugu vrstu primjera, kada varijabla u redistribuciji teži beskonačnosti.

Primjer 4. Izračunajte granicu funkcije

Mnogi od vas ne znaju kako pronaći granicu funkcije. Metodologija proračuna će biti opisana u nastavku.
Imamo ograničenje tipa beskonačnost minus beskonačnost. Pomnožite i podijelite konjugiranim faktorom i koristite pravilo razlike kvadrata

Ograničenje funkcije je -2,5.

Izračunavanje takvih granica u suštini znači otkrivanje iracionalnosti i zatim zamjenu varijable

Primjer 5. Pronađite granicu funkcije

Granica je ekvivalentna - beskonačnost minus beskonačnost
.
Pomnožite i podijelite konjugiranim izrazom i izvršite pojednostavljenje

Ovo matematički kalkulator online će vam pomoći ako vam zatreba izračunati granicu funkcije. Program granice rješenja ne samo da daje odgovor na problem, već i vodi detaljno rješenje sa objašnjenjima, tj. prikazuje proces izračuna ograničenja.

Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce srednje škole u pripremi za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, da roditelji kontrolišu rješavanje mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to obavite što je brže moguće? zadaća iz matematike ili algebre? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na ovaj način možete izvršiti svoje vlastitu obuku i/ili obučavanje njihovih mlađa braća ili sestre, dok se nivo obrazovanja iz oblasti problema koji se rješavaju povećava.

Unesite izraz funkcije

Izračunajte limit

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Granica funkcije na x->x 0

Neka je funkcija f(x) definirana na nekom skupu X i neka tačka \(x_0 \u X\) ili \(x_0 \bez X\)

Uzmimo od X niz tačaka drugačiji od x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergirajući na x*. Vrijednosti funkcije u tačkama ovog niza također formiraju numerički niz
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
i može se postaviti pitanje postojanja njegove granice.

Definicija. Broj A naziva se granica funkcije f(x) u tački x = x 0 (ili u x -> x 0), ako se za bilo koji niz (1) vrijednosti argumenta x razlikuje od x 0 konvergirajući na x 0, odgovarajući niz (2) funkcije vrijednosti konvergira na broj A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funkcija f(x) može imati samo jednu granicu u tački x 0. Ovo proizilazi iz činjenice da je sekvenca
(f(x n)) ima samo jedno ograničenje.

Postoji još jedna definicija granice funkcije.

Definicija Broj A naziva se granica funkcije f(x) u tački x = x 0 ako za bilo koji broj \(\varepsilon > 0\) postoji broj \(\delta > 0\) takav da za sve \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), zadovoljavajući nejednakost \(|x-x_0| Koristeći logičke simbole, ova definicija se može napisati kao
\((\forall \varepsilon > 0) (\postoji \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Imajte na umu da su nejednakosti \(x \neq x_0 , \ |x-x_0|. Prva definicija je zasnovana na konceptu granice numerički niz, zbog čega se često naziva definicijom "jezika sekvenci". Druga definicija se zove definicija "na jeziku \(\varepsilon - \delta \)".
Ove dvije definicije granice funkcije su ekvivalentne i možete koristiti bilo koju od njih ovisno o tome koja je pogodnija za rješavanje određenog problema.

Imajte na umu da se definicija granice funkcije “na jeziku nizova” naziva i definicija granice funkcije prema Heineu, a definicija granice funkcije “u jeziku \(\varepsilon - \delta \)” se također naziva definicijom granice funkcije prema Cauchyju.

Granica funkcije na x->x 0 - i na x->x 0 +

U nastavku ćemo koristiti koncepte jednostranih granica funkcije, koji su definirani na sljedeći način.

Definicija Broj A naziva se desna (lijeva) granica funkcije f(x) u tački x 0 ako za bilo koji niz (1) koji konvergira na x 0, čiji su elementi x n veći (manji od) x 0, odgovarajući niz (2) konvergira sa A.

Simbolično je napisano ovako:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Možemo dati ekvivalentnu definiciju jednostranih granica funkcije “na jeziku \(\varepsilon - \delta \)”:

Definicija broj A naziva se desna (lijeva) granica funkcije f(x) u točki x 0 ako za bilo koji \(\varepsilon > 0\) postoji \(\delta > 0\) takav da za sve x zadovoljava nejednakosti \(x_0 Simbolički unosi:

\((\forall \varepsilon > 0) (\postoji \delta > 0) (\forall x, \; x_0

\begin(jednačina) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(jednačina)

Primjer br. 4

Pronađite $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)$.

Pošto je $\lim_(x\to 4)\left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)=0$ i $\lim_(x\to 4)(16-x^ 2 )=0$, tada imamo posla sa nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Da biste se riješili iracionalnosti koja je uzrokovala ovu nesigurnost, potrebno je pomnožiti brojilac i imenilac izrazom koji je konjugiran s brojnikom. ovdje neće pomoći, jer će množenje sa $\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)$ dovesti do sljedećeg rezultata:

$$ \left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\desno)\left(\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)\right)=\sqrt((5x -12)^2)-\sqrt((x+4)^2) $$

Kao što vidite, takvo množenje nas neće spasiti od razlike u korijenima, što uzrokuje nesigurnost $\frac(0)(0)$. Morate pomnožiti drugim izrazom. Ovaj izraz mora biti takav da, nakon množenja njime, razlika u kubnim korijenima nestane. Ali kockasti korijen se može "ukloniti" samo do trećeg stepena, tako da morate koristiti . Zamena u desna strana ovu formulu $a=\sqrt(5x-12)$, $b=\sqrt(x+4)$, dobijamo:

$$ \left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\desno)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt( x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right)=\\ =\sqrt((5x-12)^3)-\sqrt((x+4)^3)=5x-12 -(x+4)=4x-16. $$

Dakle, nakon množenja sa $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$ razlika u kockasti korijeni su nestali. To je izraz $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$ koji će biti konjugiran na izraz $\ sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$. Vratimo se na našu granicu i pomnožimo brojilac i imenilac izrazom konjugiranim s brojnikom $\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=\left|\frac(0)(0)\right |=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(\left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\desno)\left(\sqrt((5x-12)^2 )+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \desno))((16-x^2)\left(\sqrt((5x) -12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \desno))=\\ =\lim_(x\to 4 )\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt ((x+4)^2) \desno)) $$

Problem je praktično riješen. Ostaje samo uzeti u obzir da je $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (vidi). Dodatno, $4x-16=4(x-4)$, tako da prepisujemo posljednje ograničenje u ovom obliku:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \ sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \desno))=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(4(x-4))(-(x-4 )(x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \ desno))=\\ =-4\cdot\lim_(x\to 4)\frac(1)((x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x- 12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \desno))=\\ =-4\cdot\frac(1)((4+4)\left(\ sqrt((5\cdot4-12)^2)+\sqrt(5\cdot4-12)\cdot \sqrt(4+4)+\sqrt((4+4)^2) \desno))=-\ frac(1)(24). $$

Odgovori: $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=-\frac(1)(24)$.

Razmotrimo još jedan primjer (primjer br. 5) u ovom dijelu gdje je on primjenjiv. U osnovi, shema rješenja se ne razlikuje od prethodnih primjera, osim što će konjugirani izraz imati drugačiju strukturu. Usput, vrijedno je napomenuti da u standardnim proračunima i testovima često postoje problemi kada, na primjer, brojilac sadrži izraze sa kockasti koren, a u nazivniku - s kvadratnim korijenom. U ovom slučaju morate pomnožiti i brojnik i imenilac raznim konjugiranim izrazima. Na primjer, kada se izračuna granica $\lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)$ koja sadrži nesigurnost oblika $\frac(0) (0 )$, množenje će izgledati ovako:

$$ \lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)=\left|\frac(0)(0)\right|= \lim_ (x\do 8)\frac(\left(\sqrt(x)-2\desno)\cdot \left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\desno)\cdot\left (\sqrt(x+1)+3\desno))(\left(\sqrt(x+1)-3\desno)\cdot\left(\sqrt(x+1)+3\desno)\cdot\ lijevo(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\desno))=\\= \lim_(x\to 8)\frac((x-8)\cdot\left(\sqrt( x+1)+3\desno))(\levo(x-8\desno)\cdot\left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\desno))= \lim_(x \to 8)\frac(\sqrt(x+1)+3)(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4)=\frac(3+3)(4+4+4) =\frac(1)(2). $$

O svim primijenjenim transformacijama već je bilo riječi ranije, tako da vjerujem da ovdje nema posebnih nejasnoća. Međutim, ako rješenje vašeg sličnog primjera izazove pitanja, napišite o tome na forumu.

Primjer br. 5

Pronađite $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$.

Pošto je $\lim_(x\to 2)(\sqrt(5x+6)-2)=0$ i $\lim_(x\to 2)(x^3-8)=0$, onda imamo sa nesigurnošću $\frac(0)(0)$. Da bismo otkrili ovu nesigurnost koristimo . Konjugirani izraz za brojilac ima oblik

$$\sqrt((5x+6)^3)+\sqrt((5x+6)^2)\cdot 2+\sqrt(5x+6)\cdot 2^2+2^3=\sqrt(( 5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8.$$

Množenjem brojioca i imenioca razlomka $\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$ gornjim konjugiranim izrazom dobićemo:

$$\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\ lim_(x\to 2)\frac(\left(\sqrt(5x+6)-2\right)\cdot \left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x) +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\desno))((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\ cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\desno))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x+6-16) ((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6) +8\desno))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+ 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\desno)) $$

Pošto $5x-10=5\cdot(x-2)$ i $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (vidi ) , To:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\desno))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5(x-2))((x-2 )(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+ 6 )+8\desno))=\\ \lim_(x\to 2)\frac(5)((x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3) + 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\desno))=\\ \frac(5)((2^2+2\cdot 2 + 4)\cdot\left(\sqrt((5\cdot 2+6)^3)+2\cdot\sqrt((5\cdot 2+6)^2)+4\cdot\sqrt(5\cdot 2 +6)+8\desno))=\frac(5)(384). $$

Odgovori: $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\frac(5)(384)$.

Primjer br. 6

Pronađite $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(3x-5)-1)(\sqrt(3x-5)-1)$.

Pošto je $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$ i $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$, onda imamo posla sa nesigurnošću $\frac(0)(0)$. U takvim situacijama, kada su izrazi ispod korijena isti, možete koristiti metodu zamjene. Potrebno je zamijeniti izraz ispod korijena (tj. $3x-5$) uvođenjem neke nove varijable. Međutim, jednostavno korištenje novog slova neće učiniti ništa. Zamislite da smo izraz $3x-5$ jednostavno zamijenili slovom $t$. Tada će razlomak ispod granice postati: $\frac(\sqrt(t)-1)(\sqrt(t)-1)$. Iracionalnost nije nigdje nestala; samo se donekle promijenila, što nije nimalo olakšalo zadatak.

Ovdje je prikladno zapamtiti da samo stepen može ukloniti korijen. Ali koji stepen tačno treba da koristite? Pitanje nije trivijalno, jer imamo dva korijena. Jedan je peti korijen, a drugi je treći korijen. Stepen bi trebao biti takav da se istovremeno uklanjaju oba korijena! Trebamo prirodni broj, što bi bilo istovremeno djeljivo sa $3$ i $5$. Takvi brojevi beskonačan skup, ali najmanji od njih je broj $15$. On je zvao najmanji zajednički višekratnik brojevi $3$ i $5$. A zamjena bi trebala biti ovakva: $t^(15)=3x-5$. Pogledajte šta ova zamjena radi korijenima.

Teorija granica je jedna od sekcija matematička analiza. Pitanje rješavanja granica je prilično opsežno, budući da postoje desetine metoda za rješavanje granica razne vrste. Postoje desetine nijansi i trikova koji vam omogućavaju da riješite ovu ili onu granicu. Ipak, ipak ćemo pokušati razumjeti glavne vrste ograničenja na koje se najčešće susrećemo u praksi.

Počnimo sa samim konceptom granice. Ali prvo kratko historijska referenca. U 19. vijeku živio je Francuz Augustin Louis Cauchy, koji je postavio temelje matematičke analize i dao stroge definicije, posebno definiciju granice. Mora se reći da je ovaj isti Cauchy bio, jeste i biće u noćnim morama svih studenata fizičko-matematičkih fakulteta, što je i dokazao velika količina teoreme matematičke analize, a jedna teorema je odvratnija od druge. S tim u vezi, nećemo razmatrati striktnu definiciju granice, već ćemo pokušati učiniti dvije stvari:

1. Shvatite šta je granica.
2. Naučite riješiti glavne vrste ograničenja.

Izvinjavam se na nekim nenaučnim objašnjenjima, bitno je da je materijal razumljiv i čajniku, što je, zapravo, zadatak projekta.

Dakle, koja je granica?

I samo primjer zašto čupavoj baki....

Svaki limit se sastoji od tri dijela:

1) Dobro poznata ikona ograničenja.
2) Unosi ispod ikone ograničenja, u u ovom slučaju. Unos glasi "X teži jedan." Najčešće - upravo, iako umjesto "X" u praksi postoje druge varijable. IN praktični zadaci umjesto jedan može biti apsolutno bilo koji broj, kao i beskonačnost ().
3) Funkcije pod graničnim znakom, u ovom slučaju .

Sam snimak glasi ovako: "granica funkcije kao x teži jedinstvu."

Pogledajmo sljedeću važno pitanje– šta znači izraz “x”? nastoji do jednog"? I šta uopšte znači „stremiti“?
Koncept granice je koncept, da tako kažem, dinamičan. Napravimo niz: prvo , zatim , , …, , ….
Odnosno, izraz „x nastoji do jedan” treba shvatiti na sljedeći način: “x” dosljedno poprima vrijednosti koji se jedinstvu približavaju beskonačno blizu i praktično se s njim poklapaju.

Kako riješiti gornji primjer? Na osnovu gore navedenog, samo trebate zamijeniti jednu u funkciju ispod znaka ograničenja:

Dakle, prvo pravilo: Kada dobijemo bilo koje ograničenje, prvo jednostavno pokušamo uključiti broj u funkciju.

Pregledali smo najjednostavnija granica, ali i takve se javljaju u praksi, i to ne tako rijetko!

Primjer sa beskonačnosti:

Hajde da shvatimo šta je to? To je slučaj kada se neograničeno povećava, odnosno: prvo, zatim, zatim, pa i tako dalje do beskonačnosti.

Šta se dešava sa funkcijom u ovom trenutku?
, , , …

Dakle: ako je , tada funkcija teži minus beskonačnosti:

Grubo rečeno, prema našem prvom pravilu, umjesto “X” zamjenjujemo beskonačnost u funkciju i dobivamo odgovor.

Još jedan primjer sa beskonačnošću:

Ponovo počinjemo da rastemo do beskonačnosti i gledamo ponašanje funkcije:

Zaključak: kada se funkcija neograničeno povećava:

I još jedan niz primjera:

Pokušajte sami mentalno analizirati sljedeće i zapamtiti najjednostavnije vrste ograničenja:

, , , , , , , , ,
Ako negdje sumnjate, možete uzeti kalkulator i malo vježbati.
U slučaju da , pokušajte konstruirati niz , , . Ako onda , , .

Napomena: strogo govoreći, ovaj pristup konstruiranju nizova od nekoliko brojeva je netačan, ali za razumijevanje najjednostavnijih primjera sasvim je prikladan.

Obratite pažnju i na sledeću stvar. Čak i ako je određena granica veliki broj na vrhu, čak i sa milion: sve je isto , jer će prije ili kasnije "X" poprimiti tako gigantske vrijednosti da će milion u poređenju sa njima biti pravi mikrob.

Šta trebate zapamtiti i razumjeti iz gore navedenog?

1) Kada dobijemo bilo koje ograničenje, prvo jednostavno pokušamo zamijeniti broj u funkciju.

2) Morate razumjeti i odmah riješiti najjednostavnije granice, kao npr , , itd.

Sada ćemo razmotriti grupu granica kada , a funkcija je razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže polinome

primjer:

Izračunajte limit

Prema našem pravilu, pokušat ćemo zamijeniti beskonačnost u funkciju. Šta dobijamo na vrhu? Beskonačnost. A šta se dešava ispod? Takođe beskonačnost. Dakle, imamo ono što se zove nesigurnost vrste. Čovjek bi pomislio da , i odgovor je spreman, ali opšti slučaj To uopće nije slučaj i potrebno je primijeniti neko rješenje, koje ćemo sada razmotriti.

Kako riješiti ograničenja ovog tipa?

Prvo pogledamo brojilac i pronađemo najveću snagu:

Vodeća snaga u brojiocu je dva.

Sada gledamo imenilac i takođe ga nalazimo na najveći stepen:

Najviši stepen nazivnika je dva.

Zatim biramo najveći stepen brojnika i nazivnika: in u ovom primjeru oni se poklapaju i jednaki su dva.

Dakle, metoda rješenja je sljedeća: da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je podijeliti brojilac i imenilac najvećim stepenom.

Evo ga, odgovora, a ne beskonačnosti uopšte.

Šta je suštinski važno u kreiranju odluke?

Prvo, ukazujemo na nesigurnost, ako postoji.

Drugo, preporučljivo je prekinuti rješenje radi međuobjašnjenja. Obično koristim znak, on nema nikakvo matematičko značenje, ali znači da se rješenje prekida radi srednjeg objašnjenja.

Treće, u limitu je preporučljivo označiti šta kuda ide. Kada se rad sastavlja ručno, prikladnije je to učiniti na ovaj način:

Za bilješke je bolje koristiti jednostavnu olovku.

Naravno, ne morate ništa od ovoga da radite, ali tada će, možda, nastavnik ukazati na nedostatke u rješenju ili početi pitati dodatna pitanja na zadatku. Da li ti treba?

Primjer 2

Pronađite granicu
Opet u brojniku i nazivniku nalazimo u najvišem stepenu:

Maksimalni stepen u brojiocu: 3
Maksimalni stepen u nazivniku: 4
Izaberi najveći vrijednost, u ovom slučaju četiri.
Prema našem algoritmu, da bismo otkrili nesigurnost, podijelimo brojilac i nazivnik sa .
Kompletan zadatak bi mogao izgledati ovako:

Podijelite brojilac i imenilac sa

Primjer 3

Pronađite granicu
Maksimalni stepen "X" u brojiocu: 2
Maksimalni stepen “X” u nazivniku: 1 (može se napisati kao)
Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je podijeliti brojilac i nazivnik sa . Konačno rješenje bi moglo izgledati ovako:

Podijelite brojilac i imenilac sa

Zapis ne znači dijeljenje nulom (ne možete dijeliti nulom), već dijeljenje beskonačno malim brojem.

Dakle, otkrivanjem nesigurnosti vrste, možda ćemo moći konačan broj , nula ili beskonačnost.

Ograničenja sa nesigurnošću tipa i metode za njihovo rješavanje

Sledeća grupa granice su donekle slične granicama koje smo upravo razmatrali: brojilac i nazivnik sadrže polinome, ali "x" više ne teži beskonačnosti, već konačan broj.

Primjer 4

Riješiti limit
Prvo, pokušajmo zamijeniti -1 u razlomak:

U ovom slučaju se dobija tzv. nesigurnost.

Opšte pravilo : ako brojilac i nazivnik sadrže polinome, a postoji nesigurnost oblika, onda da se to otkrije morate rastaviti brojilac i imenilac.

Da biste to učinili, najčešće trebate riješiti kvadratnu jednadžbu i/ili koristiti skraćene formule za množenje. Ako su ove stvari zaboravljene, posjetite stranicu Matematičke formule i tabele i provjerite metodološki materijal Vruće formule školski kurs matematičari. Inače, najbolje ga je ispisati vrlo često, a informacije se bolje upijaju iz papira.

Dakle, riješimo naš limit

Faktori brojilac i imenilac

Da biste faktorirali brojnik, morate riješiti kvadratnu jednačinu:

Prvo nalazimo diskriminanta:

I kvadratni korijen toga: .

Ako je diskriminanta velika, na primjer 361, koristimo kalkulator, funkciju ekstrakcije kvadratni korijen dostupno na najjednostavnijem kalkulatoru.

! Ako korijen nije u potpunosti izvađen (ispostavilo se razlomak broj sa zarezom), vrlo je vjerovatno da je diskriminanta pogrešno izračunata ili je došlo do greške u kucanju u zadatku.

Zatim nalazimo korijene:

ovako:

Sve. Brojilac je faktorizovan.

Nazivnik. Imenilac je već najjednostavniji faktor i ne postoji način da se pojednostavi.

Očigledno, može se skratiti na:

Sada zamjenjujemo -1 u izraz koji ostaje pod znakom granice:

Naravno, u testni rad, tokom testa ili ispita, rješenje nikada nije napisano tako detaljno. U konačnoj verziji dizajn bi trebao izgledati otprilike ovako:

Rastavimo brojilac na faktore.

Primjer 5

Izračunajte limit

Prvo, "finiš" verzija rješenja

Razložimo brojilac i imenilac.

Brojač:
imenilac:



,

Šta je važno u ovom primjeru?
Prvo, morate dobro razumjeti kako se brojnik otkriva, prvo smo izvadili 2 iz zagrada, a zatim koristili formulu za razliku kvadrata. Ovo je formula koju trebate znati i vidjeti.

Teorija granica je jedna od grana matematičke analize. Pitanje rješavanja granica je prilično opsežno, budući da postoje desetine metoda za rješavanje granica različitih tipova. Postoje desetine nijansi i trikova koji vam omogućavaju da riješite ovu ili onu granicu. Ipak, ipak ćemo pokušati razumjeti glavne vrste ograničenja na koje se najčešće susrećemo u praksi.

Počnimo sa samim konceptom granice. Ali prvo, kratka istorijska pozadina. U 19. veku je živeo Francuz, Augustin Louis Cauchy, koji je dao stroge definicije mnogim pojmovima matana i postavio njegove temelje. Mora se reći da je ovaj uvaženi matematičar bio, jeste i biće u noćnim morama svih studenata fizike i matematike, jer je dokazao ogroman broj teorema matematičke analize, a jedna teorema je smrtonosnija od druge. S tim u vezi, nećemo još razmatrati određivanje Cauchyjeve granice, ali hajde da pokušamo uraditi dvije stvari:

1. Shvatite šta je granica.
2. Naučite riješiti glavne vrste ograničenja.

Izvinjavam se na nekim nenaučnim objašnjenjima, bitno je da je materijal razumljiv i čajniku, što je, zapravo, zadatak projekta.

Dakle, koja je granica?

I samo primjer zašto čupavoj baki....

Svaki limit se sastoji od tri dijela:

1) Dobro poznata ikona ograničenja.
2) Unosi ispod ikone ograničenja, u ovom slučaju . Unos glasi "X teži jedan." Najčešće - upravo, iako umjesto "X" u praksi postoje druge varijable. U praktičnim zadacima, mjesto jedan može biti apsolutno bilo koji broj, kao i beskonačnost ().
3) Funkcije pod graničnim znakom, u ovom slučaju .

Sam snimak glasi ovako: "granica funkcije kao x teži jedinstvu."

Pogledajmo sljedeće važno pitanje - šta znači izraz "x"? nastoji do jednog"? I šta uopšte znači „stremiti“?
Koncept granice je koncept, da tako kažem, dinamičan. Napravimo niz: prvo , zatim , , …, , ….
Odnosno, izraz „x nastoji do jedan” treba shvatiti na sljedeći način: “x” dosljedno poprima vrijednosti koji se jedinstvu približavaju beskonačno blizu i praktično se s njim poklapaju.

Kako riješiti gornji primjer? Na osnovu gore navedenog, samo trebate zamijeniti jednu u funkciju ispod znaka ograničenja:

Dakle, prvo pravilo: Kada dobijemo bilo koje ograničenje, prvo jednostavno pokušamo uključiti broj u funkciju.

Razmotrili smo najjednostavnije granice, ali i one se javljaju u praksi, i to ne tako rijetko!

Primjer sa beskonačnosti:

Hajde da shvatimo šta je to? To je slučaj kada se neograničeno povećava, odnosno: prvo, zatim, zatim, pa i tako dalje do beskonačnosti.

Šta se dešava sa funkcijom u ovom trenutku?
, , , …

Dakle: ako je , tada funkcija teži minus beskonačnosti:

Grubo rečeno, prema našem prvom pravilu, umjesto “X” zamjenjujemo beskonačnost u funkciju i dobivamo odgovor.

Još jedan primjer sa beskonačnošću:

Opet počinjemo povećavati do beskonačnosti i gledamo ponašanje funkcije:

Zaključak: kada se funkcija neograničeno povećava:

I još jedan niz primjera:

Pokušajte sami mentalno analizirati sljedeće i zapamtiti najjednostavnije vrste ograničenja:

, , , , , , , , ,
Ako negdje sumnjate, možete uzeti kalkulator i malo vježbati.
U slučaju da , pokušajte konstruirati niz , , . Ako onda , , .

! Bilješka: Strogo govoreći, ovaj pristup konstruiranju nizova od nekoliko brojeva je netačan, ali za razumijevanje najjednostavnijih primjera sasvim je prikladan.

Obratite pažnju i na sledeću stvar. Čak i ako je ograničenje dato sa velikim brojem na vrhu, ili čak sa milionom: , onda je svejedno , jer će prije ili kasnije "X" početi poprimati takve gigantske vrijednosti da će milion u poređenju biti pravi mikrob.

Šta trebate zapamtiti i razumjeti iz gore navedenog?

1) Kada dobijemo bilo koje ograničenje, prvo jednostavno pokušamo zamijeniti broj u funkciju.

2) Morate razumjeti i odmah riješiti najjednostavnije granice, kao npr , , itd.

Štaviše, limit ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Za bolje razumijevanje temama, preporučujem da se upoznate sa metodološkim materijalom Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Nakon čitanja ovog članka, ne samo da ćete konačno shvatiti što je granica, već ćete se i upoznati zanimljivi slučajevi, kada je granica funkcije općenito ne postoji!

U praksi je, nažalost, malo poklona. Stoga prelazimo na razmatranje složenijih ograničenja. Usput, na ovu temu postoji intenzivni kurs u pdf formatu, što je posebno korisno ako imate VRLO malo vremena za pripremu. Ali materijali stranice, naravno, nisu ništa lošiji:

Sada ćemo razmotriti grupu granica kada , a funkcija je razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže polinome

primjer:

Izračunajte limit

Prema našem pravilu, pokušat ćemo zamijeniti beskonačnost u funkciju. Šta dobijamo na vrhu? Beskonačnost. A šta se dešava ispod? Takođe beskonačnost. Dakle, imamo ono što se zove nesigurnost vrste. Moglo bi se pomisliti da je , i odgovor je spreman, ali u općem slučaju to uopće nije slučaj i potrebno je primijeniti neku tehniku ​​rješenja, koju ćemo sada razmotriti.

Kako riješiti limite ovog tipa?

Prvo pogledamo brojilac i pronađemo najveću snagu:

Vodeća snaga u brojiocu je dva.

Sada gledamo imenilac i takođe ga nalazimo na najveći stepen:

Najviši stepen nazivnika je dva.

Zatim biramo najveći stepen brojnika i nazivnika: u ovom primjeru oni su isti i jednaki dva.

Dakle, metoda rješenja je sljedeća: da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je podijeliti brojilac i imenilac najvećim stepenom.

Evo ga, odgovora, a ne beskonačnosti uopšte.

Šta je suštinski važno u kreiranju odluke?

Prvo, ukazujemo na nesigurnost, ako postoji.

Drugo, preporučljivo je prekinuti rješenje radi međuobjašnjenja. Obično koristim znak, on nema nikakvo matematičko značenje, ali znači da se rješenje prekida radi srednjeg objašnjenja.

Treće, u limitu je preporučljivo označiti šta kuda ide. Kada se rad sastavlja ručno, prikladnije je to učiniti na ovaj način:

Za bilješke je bolje koristiti jednostavnu olovku.

Naravno, ne morate ništa od ovoga, ali tada će možda nastavnik ukazati na nedostatke u rješenju ili početi postavljati dodatna pitanja o zadatku. Da li ti treba?

Primjer 2

Pronađite granicu
Opet u brojniku i nazivniku nalazimo u najvišem stepenu:

Maksimalni stepen u brojiocu: 3
Maksimalni stepen u nazivniku: 4
Izaberi najveći vrijednost, u ovom slučaju četiri.
Prema našem algoritmu, da bismo otkrili nesigurnost, podijelimo brojilac i nazivnik sa .
Kompletan zadatak bi mogao izgledati ovako:

Podijelite brojilac i imenilac sa

Primjer 3

Pronađite granicu
Maksimalni stepen "X" u brojiocu: 2
Maksimalni stepen “X” u nazivniku: 1 (može se napisati kao)
Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je podijeliti brojilac i nazivnik sa . Konačno rješenje bi moglo izgledati ovako:

Podijelite brojilac i imenilac sa

Zapis ne znači dijeljenje nulom (ne možete dijeliti nulom), već dijeljenje beskonačno malim brojem.

Dakle, otkrivanjem nesigurnosti vrste, možda ćemo moći konačan broj, nula ili beskonačnost.

Ograničenja sa nesigurnošću tipa i metode za njihovo rješavanje

Sljedeća grupa granica je donekle slična granicama koje smo upravo razmatrali: brojilac i nazivnik sadrže polinome, ali "x" više ne teži beskonačnosti, već konačan broj.

Primjer 4

Riješiti limit
Prvo, pokušajmo zamijeniti -1 u razlomak:

U ovom slučaju se dobija tzv. nesigurnost.

Opšte pravilo: ako brojilac i nazivnik sadrže polinome, a postoji nesigurnost oblika, onda da se to otkrije morate rastaviti brojilac i imenilac.

Da biste to učinili, najčešće trebate riješiti kvadratnu jednadžbu i/ili koristiti skraćene formule za množenje. Ako su ove stvari zaboravljene, posjetite stranicu Matematičke formule i tabele i pročitajte nastavni materijal Vruće formule za školski kurs matematike. Inače, najbolje ga je ispisati vrlo često, a informacije se bolje upijaju iz papira.

Dakle, riješimo naš limit

Faktori brojilac i imenilac

Da biste faktorirali brojnik, morate riješiti kvadratnu jednačinu:

Prvo nalazimo diskriminanta:

I kvadratni korijen toga: .

Ako je diskriminant velik, na primjer 361, koristimo kalkulator, funkcija vađenja kvadratnog korijena je na najjednostavnijem kalkulatoru.

! Ako se korijen ne izvuče u cijelosti (dobije se razlomak sa zarezom), vrlo je vjerovatno da je diskriminanta pogrešno izračunata ili je u zadatku došlo do greške u kucanju.

Zatim nalazimo korijene:

ovako:

Sve. Brojilac je faktorizovan.

Nazivnik. Imenilac je već najjednostavniji faktor i ne postoji način da se pojednostavi.

Očigledno, može se skratiti na:

Sada zamjenjujemo -1 u izraz koji ostaje pod znakom granice:

Naravno, na testu, testu ili ispitu rješenje nikada nije napisano tako detaljno. U konačnoj verziji dizajn bi trebao izgledati otprilike ovako:

Rastavimo brojilac na faktore.

Primjer 5

Izračunajte limit

Prvo, "finiš" verzija rješenja

Razložimo brojilac i imenilac.

Brojač:
imenilac:



,

Šta je važno u ovom primjeru?
Prvo, morate dobro razumjeti kako se brojnik otkriva, prvo smo izvadili 2 iz zagrada, a zatim koristili formulu za razliku kvadrata. Ovo je formula koju trebate znati i vidjeti.

Preporuka: Ako je u limitu (skoro bilo kojeg tipa) moguće izvući broj iz zagrada, onda to uvijek radimo.
Štaviše, preporučljivo je premjestiti takve brojeve izvan ikone ograničenja. Za što? Da, samo da im ne smetaju. Glavna stvar je da ne izgubite ove brojeve kasnije tokom rješavanja.

Imajte na umu da na završna faza Odluku iza graničnog znaka shvatio sam kao dvojku, a zatim kao minus.

! Bitan
Tokom rješenja, fragment tipa se javlja vrlo često. Smanjite ovaj razlomakzabranjeno je . Prvo morate promijeniti predznak brojnika ili nazivnika (iz zagrada staviti -1).
, odnosno pojavljuje se znak minus, koji se uzima u obzir pri izračunavanju limita i nema potrebe da ga gubite.

Generalno, primijetio sam da najčešće u pronalaženju granica ovog tipa moramo riješiti dva kvadratne jednačine, to jest, i brojnik i nazivnik sadrže kvadratne trinome.

Metoda množenja brojnika i nazivnika konjugiranim izrazom

Nastavljamo sa razmatranjem nesigurnosti forme

Sljedeća vrsta ograničenja je slična prethodnoj vrsti. Jedina stvar, pored polinoma, dodaćemo korijene.

Primjer 6

Pronađite granicu

Počnimo da odlučujemo.

Prvo pokušavamo zamijeniti 3 u izraz ispod predznaka granice
Ponavljam još jednom - ovo je prva stvar koju trebate učiniti za BILO KOJI limit. Ova akcija obično se radi mentalno ili u grubim nacrtima.

Dobijena je nesigurnost forme koju treba eliminisati.

Kao što ste vjerovatno primijetili, naš brojilac sadrži razliku korijena. A u matematici je uobičajeno da se riješite korijena, ako je moguće. Za što? A život je lakši bez njih.