U ovom videu ćemo pogledati cijeli set. linearne jednačine, koji se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.

Za početak, definirajmo: što je linearna jednadžba i koju od njih treba nazvati najjednostavnijom?

Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo u prvom stepenu.

Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:

Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije pomoću algoritma:

1. Otvorene zagrade, ako ih ima;
2. Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
3. Olovo kao termini lijevo i desno od znaka jednakosti;
4. Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.

Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad, nakon svih ovih mahinacija, pokaže koeficijent varijable $x$ jednak nuli. U ovom slučaju moguće su dvije opcije:

1. Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada dobijete nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj je broj različit od nule. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
2. Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednačina svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, ipak će se ispostaviti da je „nula jednaka nuli“, tj. ispravna brojčana jednakost.

A sada da vidimo kako sve to funkcionira na primjeru stvarnih problema.

Primjeri rješavanja jednačina

Danas se bavimo linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Uopšteno govoreći, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu varijablu, a ide samo do prvog stepena.

Takve konstrukcije rješavaju se na približno isti način:

1. Prije svega, morate otvoriti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednji primjer);
2. Onda donesi slično
3. Konačno, izolirajte varijablu, tj. sve što je povezano sa varijablom - termini u kojima je sadržana - prenosi se na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje prenosi se na drugu stranu.

Zatim, po pravilu, trebate donijeti slično sa svake strane rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom na "x", i dobićemo konačni odgovor.

U teoriji, ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearnim jednačinama. Obično se greše ili prilikom otvaranja zagrada, ili kada se broje "plus" i "minus".

Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Analiziraćemo ove suptilnosti u današnjoj lekciji. Ali počećemo, kao što ste već shvatili, sa najviše jednostavni zadaci.

Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Za početak, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:

1. Proširite zagrade, ako ih ima.
2. Odvojite varijable, tj. sve što sadrži "x" prenosi se na jednu stranu, a bez "x" - na drugu.
3. Predstavljamo slične termine.
4. Sve dijelimo koeficijentom na "x".

Naravno, ova shema ne funkcionira uvijek, ima određene suptilnosti i trikove, a sada ćemo ih upoznati.

Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi

Zadatak #1

U prvom koraku od nas se traži da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku, moramo izolirati varijable. Bilješka: mi pričamo samo o pojedinačnim terminima. napišimo:

Slične pojmove dajemo lijevo i desno, ali to je ovdje već urađeno. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelite sa faktorom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ovdje smo dobili odgovor.

Zadatak #2

U ovom zadatku možemo posmatrati zagrade, pa ih proširimo:

I lijevo i desno vidimo približno istu konstrukciju, ali postupimo po algoritmu, tj. varijable sekvestra:

Evo nekih poput:

Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.

Zadatak #3

Treća linearna jednadžba je već zanimljivija:

\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]

Ovdje ima nekoliko zagrada, ali one se ničim ne množe, samo stoje ispred njih razni znakovi. Hajde da ih raščlanimo:

Izvodimo drugi nama već poznat korak:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Izračunajmo:

Izvodimo posljednji korak - sve dijelimo koeficijentom na "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina

Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, onda bih želio reći sljedeće:

• Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje – ponekad jednostavno nema korijena;
• Čak i ako postoje korijeni, nula može ući među njih - u tome nema ništa loše.

Nula je isti broj kao i ostali, ne biste ga trebali nekako diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste nešto pogriješili.

Druga karakteristika je vezana za proširenje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti prema standardnim algoritmima: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.

Razumijevanje ovoga jednostavna činjenicaće vas spriječiti da napravite glupe i štetne greške u srednjoj školi kada se takve stvari uzimaju zdravo za gotovo.

Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Idemo dalje složene jednačine. Sada će konstrukcije postati složenije i pojavit će se kvadratna funkcija prilikom izvođenja različitih transformacija. Međutim, toga se ne treba bojati, jer ako, prema namjeri autora, riješimo linearnu jednadžbu, tada će se u procesu transformacije svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju nužno reducirati.

Primjer #1

Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:

Hajdemo sada da uzmemo privatnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Evo nekih poput:

Očigledno, ova jednačina nema rješenja, pa u odgovoru pišemo kako slijedi:

\[\raznolikost \]

ili bez korijena.

Primjer #2

Izvodimo iste korake. Prvi korak:

Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:

Evo nekih poput:

Očigledno, ova linearna jednačina nema rješenja, pa je pišemo ovako:

\[\varnothing\],

ili bez korijena.

Nijanse rješenja

Obje jednačine su potpuno riješene. Na primjeru ova dva izraza još jednom smo se uvjerili da čak ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama sve ne može biti tako jednostavno: može biti ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednačine, u obje jednostavno nema korijena.

Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih proširiti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:

Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "x". Napomena: množite svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva pojma i množe se.

I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, može se otvoriti zagrada sa stanovišta da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije obavljene, setimo se da je ispred zagrada znak minus, što znači da sve ispod samo menja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".

Isto radimo i sa drugom jednačinom:

Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer je rješavanje jednačina uvijek niz elementarne transformacije gde nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnim koracima dovodi do toga da mi dolaze srednjoškolci i ponovo uče da rešavaju tako jednostavne jednačine.

Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine usavršiti do automatizma. Više ne morate svaki put izvoditi toliko transformacija, sve ćete napisati u jednom redu. Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.

Rješavanje još složenijih linearnih jednačina

Ovo što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.

Zadatak #1

\[\lijevo(7x+1 \desno)\lijevo(3x-1 \desno)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:

Uradimo retreat:

Evo nekih poput:

Uradimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Evo našeg konačnog odgovora. I, uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništili, što jednačinu čini upravo linearnom, a ne kvadratnom.

Zadatak #2

\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]

Uradimo prvi korak pažljivo: pomnožimo svaki element u prvoj zagradi sa svakim elementom u drugoj. Ukupno, nakon transformacije treba dobiti četiri nova pojma:

A sada pažljivo izvršite množenje u svakom članu:

Pomerimo pojmove sa "x" ulevo, a bez - udesno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Evo sličnih pojmova:

Dobili smo konačan odgovor.

Nijanse rješenja

Najvažnija napomena o ove dvije jednačine je ova: čim počnemo množiti zagrade u kojima ima više od jednog člana, onda se to radi po sljedećem pravilu: uzimamo prvi član iz prvog i množimo sa svakim elementom iz drugog; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat, dobijamo četiri mandata.

O algebarskoj sumi

U posljednjem primjeru, želio bih podsjetiti studente šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzimamo sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju "jedan" dodajemo još jedan broj, odnosno "minus sedam". Ovaj algebarski zbir se razlikuje od uobičajenog aritmetičkog zbira.

Čim pri izvođenju svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete da vidite konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.

U zaključku, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili, morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.

Rješavanje jednadžbi s razlomkom

Da bismo riješili takve zadatke, našem algoritmu će morati dodati još jedan korak. Ali prvo ću podsjetiti naš algoritam:

1. Otvorene zagrade.
2. Odvojene varijable.
3. Donesite slično.
4. Podijelite sa faktorom.

Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak s lijeve i desne strane u obje jednačine.

Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može izvesti i prije prve akcije i nakon nje, naime, da se riješite razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:

1. Riješite se razlomaka.
2. Otvorene zagrade.
3. Odvojene varijable.
4. Donesite slično.
5. Podijelite sa faktorom.

Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto je to moguće učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju, svi razlomci su numerički u smislu nazivnika, tj. svuda je imenilac samo broj. Stoga, ako oba dijela jednadžbe pomnožimo ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.

Primjer #1

\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Imajte na umu: sve se množi sa "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dve zagrade ne znači da morate svaku od njih pomnožiti sa "četiri". napišimo:

\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Sada otvorimo:

Vršimo izdvajanje varijable:

Vršimo redukciju sličnih termina:

\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Imamo konačna odluka, prelazimo na drugu jednačinu.

Primjer #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ovdje izvodimo sve iste radnje:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem riješen.

To je, zapravo, sve što sam danas htio reći.

Ključne točke

Ključni nalazi su sljedeći:

• Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
• Mogućnost otvaranja zagrada.
• Ne brinite ako negdje imate kvadratne funkcije, najvjerovatnije će se u procesu daljih transformacija smanjiti.
• Korijeni u linearnim jednadžbama, čak i onim najjednostavnijim, su tri vrste: jedan jedini korijen, cijela brojevna prava je korijen, korijena uopće nema.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu, riješite primjere prikazane tamo. Ostanite sa nama, čeka vas još mnogo zanimljivosti!

Pomoću ovog matematičkog programa možete riješiti sistem od dvije linearne jednačine sa dva varijabilna metoda metoda zamjene i dodavanja.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i vodi detaljno rješenje sa objašnjenjima koraka rješenja na dva načina: metodom zamjene i metodom sabiranja.

Ovaj program može biti korisno srednjoškolcima u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditelji kontroliraju rješavanje mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je prije moguće? zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjem.

Dakle, možete izvršiti svoje vlastitu obuku i/ili obučavanje njihovih mlađa braća ili sestre, dok se nivo obrazovanja iz oblasti zadataka koji se rješavaju povećava.

Pravila za unos jednačina

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Prilikom unosa jednačina možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, jednačine se prvo pojednostavljuju. Jednačine nakon pojednostavljenja moraju biti linearne, tj. oblika ax+by+c=0 sa tačnošću redosleda elemenata.
Na primjer: 6x+1 = 5(x+y)+2

U jednadžbama možete koristiti ne samo cijele brojeve, već i razlomci brojeva kao decimalni i obični razlomci.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
Cjelobrojni i razlomački dio decimalni razlomci može se odvojiti tačkom ili zarezom.
Na primjer: 2.1n + 3.5m = 55

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.
Imenilac ne može biti negativan.
Kada uđete numerički razlomak Brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
cijeli dio odvojeno od razlomka ampersandom: &

Primjeri.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Riješite sistem jednačina

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

U vašem pretraživaču je onemogućen JavaScript.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Sačekaj molim te sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Rješavanje sistema linearnih jednačina. Metoda zamjene

Redoslijed radnji pri rješavanju sistema linearnih jednadžbi metodom zamjene:
1) izraziti jednu varijablu iz neke jednačine sistema u terminima druge;
2) zameniti dobijeni izraz drugom jednačinom sistema umesto ove varijable;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Izrazimo od prve jednačine y kroz x: y = 7-3x. Zamjenom izraza 7-3x umjesto y u drugu jednačinu, dobijamo sistem:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Lako je pokazati da prvi i drugi sistem imaju ista rješenja. U drugom sistemu, druga jednačina sadrži samo jednu varijablu. Hajde da riješimo ovu jednačinu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Zamjenom broja 1 umjesto x u jednačinu y=7-3x, nalazimo odgovarajuću vrijednost y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - rješenje sistema

Zovu se sistemi jednačina u dvije varijable koje imaju ista rješenja ekvivalentan. Sistemi koji nemaju rješenja također se smatraju ekvivalentnim.

Rješavanje sistema linearnih jednačina sabiranjem

Razmotrimo još jedan način rješavanja sistema linearnih jednačina - metodu sabiranja. Prilikom rješavanja sistema na ovaj način, kao i kod rješavanja metodom zamjene, prelazi se sa datog sistema na drugi njemu ekvivalentan sistem, u kojem jedna od jednačina sadrži samo jednu varijablu.

Redoslijed radnji pri rješavanju sistema linearnih jednadžbi metodom sabiranja:
1) pomnožiti jednačine sistemskog člana po članu, birajući faktore tako da koeficijenti za jednu od varijabli postanu suprotni brojevi;
2) sabirati pojam levi i desni deo jednačine sistema;
3) rešiti dobijenu jednačinu sa jednom promenljivom;
4) pronaći odgovarajuću vrijednost druge varijable.

Primjer. Rešimo sistem jednačina:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

U jednačinama ovog sistema, koeficijenti za y su suprotni brojevi. Sabirajući pojam po članu lijevi i desni dio jednačine, dobijamo jednačinu sa jednom varijablom 3x=33. Zamenimo jednu od jednačina sistema, na primer prvu, jednačinom 3x=33. Idemo po sistem
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Iz jednačine 3x=33 nalazimo da je x=11. Zamjenom ove vrijednosti x u jednačinu \(x-3y=38 \) dobijamo jednačinu sa varijablom y: \(11-3y=38 \). Hajde da riješimo ovu jednačinu:
\(-3y=27 \Strelica desno y=-9 \)

Tako smo pronašli rješenje sistema jednadžbi dodavanjem: \(x=11; y=-9 \) ili \((11; -9) \)

Koristeći činjenicu da su u jednadžbi sistema koeficijenti za y suprotni brojevi, sveli smo njegovo rješenje na rješenje ekvivalentni sistem(sabiranjem oba dijela svake od jednadžbi originalne sim-teme), u kojoj jedna od jednačina sadrži samo jednu varijablu.

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i OGE testova na mreži Igre, zagonetke Grafikovanje funkcija Pravopisni rečnik ruskog jezika Rečnik omladinskog slenga Katalog ruskih škola Katalog srednjih škola u Rusiji Katalog ruskih univerziteta Spisak zadataka

Linearne jednadžbe su prilično bezopasna i razumljiva tema. skolska matematika. Ali, začudo, broj grešaka iz vedra neba pri rješavanju linearnih jednačina je tek nešto manji nego u drugim temama - kvadratne jednačine, logaritmi, trigonometrija i dr. Uzroci većine grešaka su banalne identične transformacije jednačina. Prije svega, to je zabuna u predznacima pri prijenosu članova iz jednog dijela jednačine u drugi, kao i greške pri radu sa razlomcima i fractional kvote. Da da! Razlomci se također javljaju u linearnim jednačinama! Svuda okolo. Malo niže, analizirat ćemo i takve zle jednačine.)

Pa, hajde da ne vučemo mačku za rep i počnemo da shvatamo, zar ne? Zatim čitamo i razumijemo.)

Šta je linearna jednačina? Primjeri.

Obično linearna jednačina ima sljedeći oblik:

sjekira + b = 0,

Gdje su a i b bilo koji brojevi. Bilo šta: cijeli broj, razlomak, negativan, iracionalan - svako može biti!

Na primjer:

7x + 1 = 0 (ovdje a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (ovdje a = 1, b = -3)

x/2 - 1,1 = 0 (ovdje a = 1/2, b = -1,1)

Općenito, razumiješ, nadam se.) Sve je jednostavno, kao u bajci. Za sada... I ako dobro pogledate zajednički rekord ax + b = 0 bliže, ali malo promišljeno? Jer a i b bilo koji broj! A ako imamo, recimo, a = 0 i b = 0 (mogu se uzeti bilo koji brojevi!), šta ćemo onda dobiti?

0 = 0

Ali to nije sve zabavno! A ako je, recimo, a = 0, b = -10? Onda ispadne poprilična glupost:

0 = 10.

Što je jako, jako neugodno i podriva povjerenje u matematiku stečeno znojem i krvlju... Pogotovo na testovima i ispitima. Ali od ovih neshvatljivih i čudnih jednakosti, morate pronaći i X! Koji uopšte ne postoji! A ovdje čak i dobro pripremljeni učenici ponekad mogu pasti, kako kažu, u omamljenost... Ali ne brinite! AT ovu lekciju takođe ćemo razmotriti sva takva iznenađenja. I x iz takvih jednakosti će se također sigurno naći.) Štaviše, upravo ovo x se traži vrlo, vrlo jednostavno. Da da! Iznenađujuće ali istinito.)

U redu, to je razumljivo. Ali kako možete po izgledu zadatka znati da imamo linearnu jednačinu, a ne neku drugu? Nažalost, daleko je od uvijek moguće prepoznati vrstu jednačine samo po izgledu. Stvar je u tome da se linearne ne nazivaju samo jednadžbe oblika ax + b = 0, već i sve druge jednačine koje se identičnim transformacijama, na ovaj ili onaj način, svode na ovaj oblik. Kako znaš da li odgovara ili ne? Dok skoro ne riješite primjer - gotovo ništa. To je uznemirujuće. Ali za neke vrste jednačina moguće je, jednim brzim pogledom, odmah sa sigurnošću reći da li je linearna ili ne.

Da bismo to učinili, ponovo se okrećemo ukupna struktura bilo koja linearna jednadžba:

sjekira + b = 0

Imajte na umu da u linearnoj jednadžbi uvijek postoji samo varijabla x na prvom stepenu i neke brojke! I to je to! Ništa drugo. U isto vrijeme, nema x na kvadrat, kub, ispod korijena, ispod logaritma i drugih egzotika. I (što je najvažnije!) bez razlomaka sa x u nazivnicima! Ali razlomci s brojevima u nazivnicima ili podjeli po broju- lako!

Na primjer:

Ovo je linearna jednadžba. Jednačina sadrži samo x na prvi stepen i brojeve. I nema X u više visoki stepeni- u kvadratu, u kocki i tako dalje. Da, ovdje postoje razlomci, ali u isto vrijeme oni sjede u nazivnicima razlomaka samo brojevi. Naime, dva i tri. Drugim riječima, nema podjela sa x.

A evo jednadžbe

Više se ne može nazvati linearnim, iako i ovdje postoje samo brojevi i x-ovi do prvog stepena. Jer, između ostalog, postoje i razlomci sa x-ovima u nazivnicima. A nakon pojednostavljenja i transformacija, takva jednadžba može postati bilo što: linearna i kvadratna - bilo koja.

Kako riješiti linearne jednačine? Primjeri.

Dakle, kako rješavate linearne jednačine? Čitajte dalje i budite iznenađeni.) Cijelo rješenje linearnih jednačina zasniva se na samo dvije glavne stvari. Hajde da ih navedemo.

1) Skup elementarnih radnji i pravila matematike.

Ovo je upotreba zagrada, otvaranje zagrada, rad sa razlomcima, rad sa negativnim brojevima, tablica množenja itd. Ova znanja i vještine su neophodne ne samo za rješavanje linearnih jednačina, već za svu matematiku općenito. I ako je ovo problem, zapamtite junior classes. U suprotnom, biće vam teško...

2)

Ima ih samo dvoje. Da da! Štaviše, ove vrlo osnovne identične transformacije leže u osnovi rješenja ne samo linearnih, već općenito bilo koje matematičke jednadžbe! Jednom riječju, rješenje bilo koje druge jednačine - kvadratne, logaritamske, trigonometrijske, iracionalne itd. - po pravilu počinje sa ovim osnovnim transformacijama. Ali rješenje upravo linearnih jednadžbi, zapravo, završava na njima (transformacijama). Spreman odgovor.) Zato ne budite lijeni i prošetajte linkom.) Štaviše, linearne jednačine su također detaljno analizirane tamo.

Pa, mislim da je vrijeme da počnemo s analizom primjera.

Za početak, kao zagrijavanje, razmotrite neke elementarne. Bez ikakvih frakcija i ostalih zvona i zviždaljki. Na primjer, ova jednadžba:

x - 2 \u003d 4 - 5x

Ovo je klasična linearna jednačina. Svi x su maksimalni na prvi stepen i nigdje nema podjele sa x. Šema rješenja u takvim jednačinama je uvijek ista i jednostavna za užas: svi članovi sa x moraju se sakupiti na lijevoj strani, a svi članovi bez x (tj. brojevi) moraju biti sakupljeni na desnoj strani. Pa počnimo sa prikupljanjem.

Da bismo to učinili, pokrećemo prvu identičnu transformaciju. Moramo da pomerimo -5x ulevo i -2 da se pomerimo udesno. Uz promenu predznaka, naravno.) Dakle prenosimo:

x + 5x = 4 + 2

Pa. Pola bitke je obavljeno: x-ovi su skupljeni na gomilu, brojevi takođe. Sada dajemo slične na lijevoj strani, a računamo na desnoj. Dobijamo:

6x = 6

Šta nam sada nedostaje? potpuna sreća? Da, tako da čisti X ostane na lijevoj strani! I šestorica se mešaju. Kako ga se riješiti? Sada počinjemo drugu identičnu transformaciju - dijelimo obje strane jednačine sa 6. I - voila! Odgovor spreman.)

x = 1

Naravno, primjer je prilično primitivan. To opšta ideja uhvatiti. Pa, hajde da uradimo nešto značajnije. Na primjer, razmotrite sljedeću jednačinu:

Analizirajmo je detaljno.) Ovo je također linearna jednadžba, iako se čini da ovdje postoje razlomci. Ali u razlomcima postoji podjela sa dva i postoji podjela sa tri, ali nema dijeljenja izrazom sa x! Tako da odlučujemo. Koristeći sve iste identične transformacije, da.)

Šta ćemo prvo? Sa X - lijevo, bez X - desno? U principu, moguće je i tako. Letite do Sočija preko Vladivostoka.) Ili možete ići najkraćim putem, odmah koristeći univerzalnu i moćnu metodu. Ako znate identične transformacije, naravno.)

Za početak, pitam ključno pitanje: Šta najviše primjećujete i što ne volite u ovoj jednadžbi? 99 od 100 ljudi kaže: fractions! I biće u pravu.) Pa hajde da ih se prvo rešimo. Sigurno za samu jednačinu.) Dakle, počnimo odmah sa druga identična transformacija- od množenja. Sa čim treba pomnožiti lijevu stranu da bi se imenilac sigurno smanjio? Tako je, duplo. A desna strana? Za tri! Ali... Matematika je hirovita dama. Ona, znate, zahtijeva samo množenje oba dijela za isti broj! Pomnožite svaki dio svojim brojem - ne ide... Šta ćemo? Nešto... Tražite kompromis. Da zadovoljimo svoje želje (oslobodimo se razlomaka) i ne vrijeđamo matematiku.) I pomnožimo oba dijela sa šest!) Odnosno sa zajednički imenilac sve razlomke u jednadžbi. Tada će se, jednim potezom, dva smanjiti, a tri!)

Ovdje se množimo. Cijela lijeva strana i cijela desna strana u potpunosti! Stoga koristimo zagrade. Ovako izgleda procedura:

Sada otvorimo ove zagrade:

Sada, predstavljajući 6 kao 6/1, pomnožite šest sa svakim od razlomaka s lijeve i desne strane. Ovo je uobičajeno množenje razlomaka, ali, neka bude, napisat ću detaljno:

I evo - pažnja! Uzeo sam brojilac (x-3) u zagradama! To je sve zato što se pri množenju razlomaka brojnik množi u cijelosti, u cijelosti i u potpunosti! A sa izrazom x-3 potrebno je raditi kao sa jednom čvrstom konstrukcijom. Ali ako brojilicu napišete ovako:

6x - 3,

Ali imamo sve kako treba i moramo to završiti. Šta dalje? Otvorene zagrade u brojiocu na lijevoj strani? Ni u kom slučaju! Ti i ja smo pomnožili oba dijela sa 6 da bismo se riješili razlomaka, a ne da se kupamo u parnom kupatilu sa otvorenim zagradama. Na ovoj fazi trebamo smanjimo naše razlomke. Uz osjećaj dubokog zadovoljstva, sve nazivnike smanjujemo i dobijamo jednačinu bez razlomaka, u ravnalu:

3(x-3) + 6x = 30 - 4x

A sada se preostale zagrade mogu otvoriti:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

Jednačina postaje sve bolja i bolja! Sada se ponovo prisjećamo prve identične transformacije. Sa kamenim licem, ponavljamo čini iz nižim razredima: sa x - lijevo, bez x - desno. I primijenite ovu transformaciju:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Slične dajemo lijevo, a brojimo desno:

13x = 39

Ostaje podijeliti oba dijela sa 13. To jest, ponovo primijeniti drugu transformaciju. Podijelimo i dobijemo odgovor:

x = 3

Posao je obavljen. Kao što vidite, u zadata jednačina morali smo da primijenimo prvu transformaciju (prevođenje pojmova) jednom, a drugu dva puta: na početku rješenja koristili smo množenje (sa 6) da se riješimo razlomaka, a na kraju rješenja koristili smo dijeljenje (sa 13) da se oslobodimo koeficijenta ispred x. A rješenje bilo koje (da, bilo koje!) linearne jednadžbe sastoji se od kombinacije tih istih transformacija u jednom ili drugom nizu. Gdje tačno početi ovisi o specifičnoj jednadžbi. Negdje je isplativije početi s prijenosom, a negdje (kao u ovom primjeru) - s množenjem (ili dijeljenjem).

Radimo od jednostavnog do složenog. Razmislite sada o Frank tin. Sa gomilom razlomaka i zagrada. I reći ću vam kako se ne naprezati.)

Na primjer, evo jednadžbe:

Gledamo u jednačinu na trenutak, užasnuti smo, ali ipak se saberemo! Glavni problem je odakle početi? Možete dodati razlomke na desnoj strani. Možete oduzimati razlomke u zagradama. Oba dijela možete pomnožiti nečim. Ili podijelite... Pa šta je još moguće? Odgovor: sve je moguće! Matematika ne zabranjuje nijednu od navedenih radnji. I bez obzira koji slijed radnji i transformacija odaberete, odgovor će uvijek biti isti - ispravan. Osim ako, naravno, u nekom koraku ne narušite identitet svojih transformacija i time ne pogriješite...

I, da ne bi pogriješili, u ovako fensi primjerima kao što je ovaj, uvijek je najkorisnije to ocijeniti izgled i razmislite u svom umu: šta se može učiniti u primjeru tako da maksimum pojednostaviti u jednom koraku?

Evo nagađamo. Na lijevoj strani su šestice u nazivnicima. Lično mi se ne sviđaju, ali se vrlo lako uklanjaju. Dozvolite mi da pomnožim obje strane jednačine sa 6! Tada će se šestice s lijeve strane sigurno smanjiti, razlomci u zagradama još nikuda neće ići. Pa, nije strašno. Njima ćemo se pozabaviti nešto kasnije.) Ali na desnoj strani će se smanjivati ​​imenioci 2 i 3. Ovom radnjom (množenjem sa 6) postižemo maksimalno pojednostavljenje u jednom koraku!

Nakon množenja, cijela naša zla jednačina postaje ovakva:

Ako ne razumijete tačno kako je ova jednadžba ispala, onda niste dobro razumjeli analizu prethodnog primjera. I probao sam, usput...

Pa hajde da ga otvorimo:

Sada bi najlogičniji korak bio izolirati razlomke s lijeve strane i poslati 5x na desnu stranu. Istovremeno, dajemo slične na desnoj strani. Dobijamo:

Već mnogo bolje. Sada se lijeva strana pripremila za množenje. Šta treba pomnožiti sa lijevom stranom da bi se i pet i četiri odmah smanjile? U 20! Ali imamo i nedostatke na obje strane jednačine. Stoga će biti najpogodnije obje strane jednadžbe pomnožiti ne sa 20, već sa -20. Tada će, u jednom naletu, minusi nestati, a razlomci.

Ovdje množimo:

Za one koji još uvijek ne razumiju ovaj korak, to znači da problemi nisu u jednačinama. Problemi su u srži! Ponovo se sećamo Zlatno pravilo proširenje zagrada:

Ako se broj pomnoži nekim izrazom u zagradama, onda se taj broj mora sukcesivno množiti sa svakim članom samog ovog izraza. Štaviše, ako je broj pozitivan, onda su predznaci izraza nakon proširenja sačuvani. Ako su negativni, oni su obrnuti:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Minusi su nestali nakon množenja oba dijela sa -20. A sada množimo zagrade sa razlomcima na lijevoj strani sasvim sami pozitivan broj 20. Dakle, prilikom otvaranja ovih zagrada, svi znakovi koji su bili u njima su sačuvani. Ali odakle su zagrade u brojiocima razlomaka, već sam detaljno objasnio u prethodnom primjeru.

A sada možete smanjiti razlomke:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Proširite preostale zagrade. Opet, otvaramo ispravno. Prve zagrade se množe pozitivnim brojem 4 i, stoga, svi znakovi ostaju sačuvani kada se otvore. Ali druge zagrade se množe sa negativan broj je -5 i stoga su svi predznaci obrnuti:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Ostalo je praznih mjesta. Sa x lijevo, bez x desno:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

To je skoro sve. Na lijevoj strani, trebate čist X, a broj -35 vam smeta. Dakle, dijelimo oba dijela sa (-35). Podsjećam vas da nam druga transformacija identiteta omogućava da oba dijela pomnožimo i podijelimo kako god broj. Uključujući negativnu.) Ako samo ne na nulu! Slobodno podijelite i dobijte odgovor:

X=2/35

Ovaj put se pokazalo da je X razlomak. Uredu je. Takav primjer.)

Kao što vidimo, princip rješavanja linearnih jednadžbi (čak i onih najuvrnutijih) je prilično jednostavan: uzimamo originalnu jednačinu i identičnim transformacijama je uzastopno pojednostavljujemo sve do odgovora. Sa osnovama, naravno! Ovdje su glavni problemi upravo u nepoštivanju osnova (recimo, ispred zagrada je minus, a zaboravili su promijeniti znakove pri otvaranju), kao i u banalnoj aritmetici. Zato nemojte zanemariti osnove! Oni su temelj sve ostale matematike!

Neki trikovi u rješavanju linearnih jednačina. Ili posebne prilike.

Sve bi bilo ništa. Međutim... Među linearnim jednadžbama postoje i tako smiješni biseri koji ih u procesu rješavanja mogu dovesti u jaku omamljenost. Čak i odličan učenik.)

Na primjer, evo jednadžbe koja izgleda bezopasno:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Zevajući široko i pomalo dosadno, skupljamo sve X na lijevoj strani i sve brojeve na desnoj strani:

7x-4x-3x = 5-2-3

Dajemo slične, razmotrite i dobijete:

0 = 0

To je to! Izdan primerchik fokus! Sama po sebi, ova jednakost ne izaziva prigovore: nula je zaista jednaka nuli. Ali X je nestao! Bez traga! I moramo napisati u odgovoru, šta jednako x . U suprotnom, odluka se ne razmatra, da.) Šta učiniti?

Bez panike! U ovakvim nestandardnim slučajevima najviše opšti koncepti i principe matematike. Šta je jednačina? Kako riješiti jednačine? Šta znači riješiti jednačinu?

Rješavanje jednačine znači pronalaženje sve vrijednosti varijable x, koje, kada se zamijene u početni jednadžba će nam dati tačnu jednakost (identitet)!

Ali imamo tačnu jednakost već urađeno! 0=0, odnosno nigdje!) Ostaje da se nagađa kod kojih x-ova dobijamo ovu jednakost. Kojim se x-ovima mogu zamijeniti početni jednadžba ako, prilikom zamjene, svi oni i dalje smanjiti na nulu? Zar to još nisi shvatio?

Da naravno! Xs se mogu zamijeniti bilo koji!!! Apsolutno bilo koji. Šta god želite, ubacite ih. Najmanje 1, najmanje -23, najmanje 2,7 - svejedno! Oni će se i dalje smanjiti i kao rezultat će ostati čista istina. Probajte, zamijenite i uvjerite se sami.)

Evo vašeg odgovora:

x je bilo koji broj.

U naučnoj notaciji ova jednakost se piše ovako:

Ovaj unos glasi ovako: "X je bilo koji realan broj."

Ili u drugom obliku, u intervalima:

Kako želite, uredite to. Ovo je tačan i potpuno potpun odgovor!

A sada ću promijeniti samo jedan broj u našoj originalnoj jednačini. Rešimo sada ovu jednačinu:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Ponovo prenosimo uslove, računamo i dobijamo:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

A kako vam se sviđa ovaj vic? Postojala je obična linearna jednačina, ali je postojala neshvatljiva jednakost

0 = 1…

razgovor naučni jezik, imamo pogrešna jednakost. Ali na ruskom to nije istina. Sranje. Glupost.) Jer nula nije jednaka jedan!

A sada ponovo razmišljamo kakvu će nam vrstu x dati zamjenom u originalnu jednačinu tačna jednakost? Koji? Ali nijedan! Koji god X zamijenite, sve će se i dalje smanjiti i bit će sranja.)

evo odgovora: nema rješenja.

U matematičkoj notaciji, takav odgovor je sastavljen ovako:

Ona glasi: "X pripada praznom skupu."

Takvi odgovori u matematici su također prilično česti: nema uvijek bilo koja jednačina u principu korijene. Neke jednadžbe možda uopće nemaju korijen. Uopšte.

Evo dva iznenađenja. Nadam se da vas sada iznenadni nestanak X u jednadžbi neće zauvijek zbuniti. Slučaj je prilično poznat.)

I onda čujem logično pitanje: hoće li biti u OGE ili USE? Na ispitu, sami po sebi kao zadatak - ne. Previše jednostavno. Ali u OGE ili u tekstu problemi - lako! Dakle, sada - treniramo i odlučujemo:

Odgovori (u neredu): -2; -jedan; bilo koji broj; 2; nema rješenja; 7/13.

Je li sve uspjelo? Fino! Imate dobre šanse na ispitu.

Nešto ne štima? Hm... Tuga, naravno. Dakle, negdje postoje praznine. Ili u osnovama ili identične transformacije. Ili je u pitanju banalna nepažnja. Ponovo pročitajte lekciju. Jer ovo nije tema bez koje se može tako lako u matematici...

Sretno! Definitivno će vam se nasmiješiti, vjerujte!)

Linearna jednačina je algebarska jednačina, čiji je ukupan stepen polinoma jednak jedan. Rješavanje linearnih jednadžbi - dio školski program, i nije najteže. Međutim, neki i dalje imaju poteškoća u prolasku ove teme. Nadamo se da ćemo pročitati dati materijal, sve poteškoće za vas će ostati u prošlosti. Pa, hajde da to shvatimo. kako riješiti linearne jednadžbe.

Opšti oblik

Linearna jednačina je predstavljena kao:

• ax + b = 0, gdje su a i b bilo koji brojevi.

Iako a i b mogu biti bilo koji broj, njihove vrijednosti utječu na broj rješenja jednadžbe. Postoji nekoliko posebnih slučajeva rješenja:

• Ako je a=b=0, jednadžba ima beskonačan skup odluke;
• Ako je a=0, b≠0, jednačina nema rješenja;
• Ako je a≠0, b=0, jednačina ima rješenje: x = 0.

U slučaju da oba broja imaju br null vrijednosti, jednadžba se mora riješiti da bi se dobio konačni izraz za varijablu.

Kako odlučiti?

Rješavanje linearne jednačine znači pronalaženje kojoj je varijabla jednaka. Kako uraditi? Da, vrlo je jednostavno - koristeći jednostavne algebarske operacije i pridržavajući se pravila prijenosa. Ako se jednadžba pojavila pred vama u opštem obliku, imate sreće, sve što trebate učiniti je:

1. Premjestite b na desnu stranu jednačine, ne zaboravljajući promijeniti predznak (pravilo prijenosa!), Dakle, iz izraza oblika ax + b = 0, treba dobiti izraz oblika ax = -b.
2. Primijenite pravilo: da biste pronašli jedan od faktora (x - u našem slučaju), trebate podijeliti proizvod (-b u našem slučaju) sa drugim faktorom (a - u našem slučaju). Dakle, treba dobiti izraz oblika: x \u003d -b / a.

To je sve - rešenje je pronađeno!

Pogledajmo sada konkretan primjer:

1. 2x + 4 = 0 - prenosi b jednako ovaj slučaj 4, desna strana
2. 2x = -4 - podijeliti b sa a (ne zaboravite znak minus)
3. x=-4/2=-2

To je sve! Naše rješenje: x = -2.

Kao što vidite, pronalaženje rješenja linearne jednadžbe s jednom promjenljivom je prilično jednostavno, ali sve je tako jednostavno ako imamo sreće da jednadžbu ispunimo u općem obliku. U većini slučajeva, prije rješavanja jednačine u dva gore opisana koraka, također je potrebno postojeći izraz dovesti u opći oblik. Međutim, ovo također nije zastrašujući zadatak. Pogledajmo neke posebne slučajeve s primjerima.

Rješavanje posebnih slučajeva

Prvo, pogledajmo slučajeve koje smo opisali na početku članka i objasnimo šta znači imati beskonačan broj rješenja, a nema rješenja.

• Ako je a=b=0, jednačina će izgledati ovako: 0x + 0 = 0. Izvođenjem prvog koraka dobijamo: 0x = 0. Šta znači ova glupost, uzviknete! Na kraju krajeva, bez obzira koji broj pomnožite sa nulom, uvijek ćete dobiti nulu! Tačno! Stoga kažu da jednadžba ima beskonačan broj rješenja - koji god broj da uzmete, jednakost će biti istinita, 0x = 0 ili 0 = 0.
• Ako je a=0, b≠0, jednačina će izgledati ovako: 0x + 3 = 0. Izvodimo prvi korak, dobijamo 0x = -3. Opet gluposti! Očigledno je da ova jednakost nikada neće biti istinita! Zato kažu da jednačina nema rješenja.
• Ako je a≠0, b=0, jednačina će izgledati ovako: 3x + 0 = 0. Prvim korakom dobijamo: 3x = 0. Koje je rješenje? Lako je, x = 0.

Poteškoće u prijevodu

Opisani konkretni slučajevi nisu sve čime nas linearne jednačine mogu iznenaditi. Ponekad je jednadžba općenito teško identificirati na prvi pogled. Uzmimo primjer:

• 12x - 14 = 2x + 6

Je li ovo linearna jednadžba? Ali šta je sa nulom na desnoj strani? Nećemo žuriti sa zaključcima, mi ćemo djelovati - prenijet ćemo sve komponente naše jednadžbe na lijeva strana. Dobijamo:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Sada oduzimanjem sličnog od sličnog, dobijamo:

• 10x - 20 = 0

Naučio? Najlinearnija jednačina ikada! Čije rješenje: x = 20/10 = 2.

Šta ako imamo ovaj primjer:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Da, ovo je također linearna jednadžba, samo je potrebno uraditi još transformacija. Prvo proširimo zagrade:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - sada izvršite prijenos:
4. 25x - 4 = 0 - ostaje pronaći rješenje prema već poznatoj shemi:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Kao što vidite, sve je riješeno, glavna stvar je ne brinuti, već djelovati. Zapamtite, ako vaša jednadžba sadrži samo varijable prvog stepena i brojeve, ovo je linearna jednačina, koja se, bez obzira kako izgleda u početku, može svesti na opći oblik i riješiti. Nadamo se da će vam sve uspjeti! Sretno!

Sistemi jednačina se široko koriste u ekonomska industrija at matematičko modeliranje razne procese. Na primjer, prilikom rješavanja problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta ( transportni zadatak) ili postavljanje opreme.

Sistemi jednačina se koriste ne samo u oblasti matematike, već iu fizici, hemiji i biologiji, kada se rešavaju problemi određivanja veličine populacije.

Sistem linearnih jednačina je pojam za dvije ili više jednačina sa više varijabli za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednačine postaju istinite jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.

Linearna jednačina

Jednačine oblika ax+by=c nazivaju se linearne. Oznake x, y su nepoznanice, čija se vrijednost mora pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednačine.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem njenog grafika izgledat će kao prava linija, čije su sve točke rješenje polinoma.

Vrste sistema linearnih jednačina

Najjednostavniji su primjeri sistema linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcionalne varijable.

Riješite sistem jednačina - to znači pronaći takve vrijednosti (x, y) za koje sistem postaje istinska jednakost, ili utvrditi da ne postoje odgovarajuće vrijednosti za x i y.

Par vrijednosti (x, y), zapisan kao koordinate tačke, naziva se rješenjem sistema linearnih jednadžbi.

Ako sistemi imaju jedno zajedničko rješenje ili ne postoji rješenje, nazivaju se ekvivalentnim.

Homogeni sistemi linearnih jednačina su sistemi desni diošto je jednako nuli. Ako desni dio iza znaka "jednako" ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav sistem nije homogen.

Broj varijabli može biti mnogo veći od dvije, tada bi trebalo govoriti o primjeru sistema linearnih jednačina sa tri ili više varijable.

Suočeni sa sistemima, školarci pretpostavljaju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem nepoznanica, ali to nije tako. Broj jednačina u sistemu ne zavisi od varijabli, može ih biti proizvoljno veliki broj.

Jednostavne i složene metode za rješavanje sistema jednačina

Ne postoji opći analitički način rješavanja slični sistemi, sve metode su zasnovane na numerička rješenja. AT školski kurs matematike, kao što su metode permutacije, algebarskog sabiranja, zamjene, kao i grafičke i matrična metoda, rješenje Gaussovom metodom.

Osnovni zadatak u nastavnim metodama rješavanja je naučiti kako pravilno analizirati sistem i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sistem pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe primjene određene metode.

Rješavanje primjera sistema linearnih jednačina 7. klase programa srednja škola prilično jednostavno i detaljno objašnjeno. U svakom udžbeniku matematike, ovom dijelu se posvećuje dovoljno pažnje. Rješenje primjera sistema linearnih jednačina po metodi Gauss-a i Cramera detaljnije se proučava na prvim kursevima visokoškolskih ustanova.

Rješenje sistema metodom supstitucije

Radnje metode zamjene imaju za cilj izražavanje vrijednosti jedne varijable kroz drugu. Izraz se zamjenjuje u preostalu jednačinu, a zatim se svodi na jedan oblik varijable. Akcija se ponavlja u zavisnosti od broja nepoznatih u sistemu

Dajemo primjer sistema linearnih jednadžbi 7. klase metodom zamjene:

Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x je izražena kroz F(X) = 7 + Y. Rezultirajući izraz, zamijenjen u 2. jednadžbu sistema umjesto X, pomogao je da se dobije jedna varijabla Y u 2. jednačini . Odluka ovaj primjer ne uzrokuje poteškoće i omogućava vam da dobijete vrijednost Y. Zadnji korak je provjera primljenih vrijednosti.

Nije uvijek moguće riješiti primjer sistema linearnih jednačina zamjenom. Jednačine mogu biti složene i izraz varijable u terminima druge nepoznate bit će previše glomazan za dalje proračune. Kada postoji više od 3 nepoznate u sistemu, rješenje zamjene je također nepraktično.

Rješenje primjera sistema linearnih nehomogenih jednadžbi:

Rješenje korištenjem algebarskog sabiranja

Prilikom traženja rješenja sistema metodom sabiranja, zbrajanjem po članu i množenjem jednačina sa razni brojevi. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednačina sa jednom promenljivom.

Za aplikacije ovu metodu potrebna je praksa i posmatranje. Nije lako riješiti sistem linearnih jednadžbi metodom sabiranja sa brojem varijabli 3 ili više. Algebarsko sabiranje je korisno kada jednadžbe sadrže razlomke i decimalne brojeve.

Algoritam akcije rješenja:

1. Pomnožite obje strane jednačine nekim brojem. Kao rezultat aritmetička operacija jedan od koeficijenata varijable mora postati jednak 1.
2. Dodajte rezultirajući izraz pojam po član i pronađite jednu od nepoznatih.
3. Zamijenite rezultujuću vrijednost u 2. jednadžbu sistema da biste pronašli preostalu varijablu.

Metoda rješenja uvođenjem nove varijable

Nova varijabla se može uvesti ako sistem treba da pronađe rješenje za najviše dvije jednačine, broj nepoznatih također ne smije biti veći od dvije.

Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednačina se rješava s obzirom na unesenu nepoznatu, a rezultirajuća vrijednost se koristi za određivanje originalne varijable.

Primjer pokazuje da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće svesti 1. jednadžbu sistema na standardnu kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminanta.

Potrebno je pronaći vrijednost diskriminanta po dobro poznata formula: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željeni diskriminanta, b, a, c su množitelji polinoma. AT dati primjer a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako je diskriminant Iznad nule, tada postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminanta manja od nule, postoji samo jedno rješenje: x= -b / 2*a.

Rješenje za rezultirajuće sisteme nalazi se metodom sabiranja.

Vizuelna metoda za rješavanje sistema

Pogodno za sisteme sa 3 jednačine. Metoda je da se nadograđuje koordinatna osa grafike svake jednačine uključene u sistem. Koordinate tačaka preseka krivih i biće zajedničko rešenje sistemi.

Grafička metoda ima niz nijansi. Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja sistema linearnih jednadžbi na vizuelni način.

Kao što se može vidjeti iz primjera, za svaku liniju su konstruirane dvije tačke, vrijednosti varijable x su odabrane proizvoljno: 0 i 3. Na osnovu vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Tačke sa koordinatama (0, 3) i (3, 0) označene su na grafikonu i povezane linijom.

Koraci se moraju ponoviti za drugu jednačinu. Tačka preseka pravih je rešenje sistema.

Sljedeći primjer treba pronaći grafičko rješenje sistemi linearnih jednačina: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Kao što se može vidjeti iz primjera, sistem nema rješenja, jer su grafovi paralelni i ne seku se cijelom dužinom.

Sistemi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruišu, postaje očigledno da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći da li sistem ima rješenje ili ne, uvijek je potrebno izgraditi graf.

Matrica i njene varijante

Matrice se koriste za skraćenica sistemi linearnih jednačina. Tabela se naziva matrica. posebna vrsta ispunjen brojevima. n*m ima n - redova i m - kolona.

Matrica je kvadratna kada je broj kolona i redova jednak. Matrica - vektor je matrica od jednog stupca sa beskonačno mogući broj linije. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nultim elementima naziva se identitet.

Inverzna matrica je takva matrica, kada se pomnoži s kojom se originalna pretvara u jediničnu, takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu.

Pravila za transformaciju sistema jednačina u matricu

Što se tiče sistema jednačina, koeficijenti i slobodni članovi jednačina zapisuju se kao brojevi matrice, jedna jednačina je jedan red matrice.

Red matrice se naziva nenultim ako barem jedan element reda nije jednak nuli. Stoga, ako se u bilo kojoj od jednadžbi razlikuje broj varijabli, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznate koja nedostaje.

Kolone matrice moraju striktno odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu upisati samo u jedan stupac, na primjer prvi, koeficijent nepoznatog y - samo u drugi.

Prilikom množenja matrice, svi elementi matrice se sekvencijalno množe brojem.

Opcije za pronalaženje inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverzne matrice je prilično jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 - inverzna matrica, i |K| - matrična determinanta. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sistem ima rješenje.

Determinanta se lako izračunava za matricu dva po dva, potrebno je samo pomnožiti elemente dijagonalno jedan s drugim. Za opciju "tri po tri" postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu, ili se možete sjetiti da trebate uzeti po jedan element iz svakog reda i svake kolone kako se brojevi stupaca i redova elemenata ne bi ponavljali u proizvodu.

Rješenje primjera sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućava smanjenje glomaznih notacija pri rješavanju sistema sa velika količina varijable i jednačine.

U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni članovi.

Rješenje sistema Gaussovom metodom

AT višu matematiku Gaussova metoda se proučava zajedno sa Cramer metodom, a proces pronalaženja rješenja za sisteme naziva se Gauss-Cramerovom metodom rješenja. Ove metode se koriste za pronalaženje sistemske varijable sa puno linearnih jednadžbi.

Gaussova metoda je vrlo slična rješenjima koja koriste zamjene i algebarsko sabiranje ali sistematičnije. U školskom predmetu se koristi Gausovo rješenje za sisteme od 3 i 4 jednačine. Svrha metode je da se sistem dovede u oblik obrnutog trapeza. Algebarskim transformacijama i supstitucijama, vrijednost jedne varijable se nalazi u jednoj od jednačina sistema. Druga jednačina je izraz sa 2 nepoznate, a 3 i 4 - sa 3 i 4 varijable, respektivno.

Nakon dovođenja sistema u opisani oblik, dalje rješenje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednačine sistema.

U školskim udžbenicima za 7. razred primjer Gaussovog rješenja je opisan na sljedeći način:

Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) su dobijene dvije jednačine 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješenje bilo koje od jednadžbi će vam omogućiti da saznate jednu od varijabli x n.

Teorema 5, koja se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednačina sistema zamijeni ekvivalentnom, onda će i rezultirajući sistem biti ekvivalentan izvornom.

Učenicima je teško razumjeti Gaussovu metodu srednja škola, ali je jedan od najzanimljivijih načina za razvijanje domišljatosti djece upisane u program dubinska studija na časovima matematike i fizike.

Radi lakšeg snimanja proračuna, uobičajeno je učiniti sljedeće:

Koeficijenti jednadžbi i slobodni termini zapisani su u obliku matrice, pri čemu svaki red matrice odgovara jednoj od jednačina sistema. odvaja lijevu stranu jednačine od desne. Rimski brojevi označavaju brojeve jednačina u sistemu.

Prvo zapisuju matricu s kojom će raditi, a zatim sve radnje koje se izvode s jednim od redova. Rezultirajuća matrica se upisuje nakon znaka "strelica" i nastavlja izvoditi potrebne algebarske operacije dok se ne postigne rezultat.

Kao rezultat toga, treba dobiti matricu u kojoj je jedna od dijagonala 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica se svodi na jedan oblik. Ne smijemo zaboraviti napraviti proračune sa brojevima obje strane jednačine.

Ova notacija je manje glomazna i omogućava vam da vas ne ometa navođenje brojnih nepoznanica.

Besplatna primjena bilo koje metode rješenja zahtijevat će brigu i određeno iskustvo. Ne primjenjuju se sve metode. Neki načini pronalaženja rješenja su poželjniji u određenom području ljudske djelatnosti, dok drugi postoje u svrhu učenja.