Riješite slough kako biste pronašli normalan fundamentalni sistem rješenja. Rješenje homogenih sistema linearnih jednačina

Sistemi linearne jednačine, u kojem su svi slobodni članovi jednaki nuli, se pozivaju homogena :

Svaki homogeni sistem je uvek konzistentan, jer uvek jeste nula (trivijalan ) rješenje. Postavlja se pitanje pod kojim uslovima će homogeni sistem imati netrivijalno rešenje.

Teorema 5.2.Homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je rang glavne matrice manje od broja njene nepoznanice.

Posljedica. Kvadratni homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli.

Primjer 5.6. Odredite vrijednosti parametra l za koje sistem ima netrivijalna rješenja i pronađite ova rješenja:

Rješenje. Ovaj sistem će imati netrivijalno rješenje kada je determinanta glavne matrice jednaka nuli:

Dakle, sistem je netrivijalan kada je l=3 ili l=2. Za l=3, rang glavne matrice sistema je 1. Zatim, ostavljajući samo jednu jednačinu uz pretpostavku da je y=a i z=b, dobijamo x=b-a, tj.

Za l=2, rang glavne matrice sistema je 2. Zatim, birajući kao osnovni minor:

dobijamo pojednostavljeni sistem

Odavde to nalazimo x=z/4, y=z/2. Pretpostavljam z=4a, dobijamo

Skup svih rješenja homogenog sistema ima vrlo važnu linearno svojstvo : ako je X kolona 1 i X 2 - rješenja homogenog sistema AX = 0, zatim bilo koja njihova linearna kombinacija a X 1+b X 2 će također biti rješenje ovog sistema. Zaista, jer SJEKIRA 1 = 0 i SJEKIRA 2 = 0 , onda A(a X 1+b X 2) = a SJEKIRA 1+b SJEKIRA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Zbog ove osobine, ako linearni sistem ima više od jednog rješenja, tada će ovih rješenja biti beskonačno mnogo.

Linearno nezavisne kolone E 1 , E 2 , E k, koji su rješenja homogenog sistema, naziva se fundamentalni sistem odlučivanja homogeni sistem linearnih jednadžbi ako se opšte rešenje ovog sistema može napisati kao linearna kombinacija ovih kolona:

Ako homogeni sistem ima n varijabli, a rang glavne matrice sistema je jednak r, onda k = n-r.

Primjer 5.7. Pronađite osnovni sistem rješenja sledeći sistem linearne jednadžbe:

Rješenje. Pronađite rang glavne matrice sistema:

Dakle, skup rješenja ovog sistema jednačina formira linearni podprostor dimenzija n - r= 5 - 2 = 3. Biramo kao osnovni minor

.

Zatim, ostavljajući samo osnovne jednadžbe (ostale će biti linearna kombinacija ovih jednačina) i osnovne varijable (ostale, tzv. slobodne varijable prenosimo na desno), dobijamo pojednostavljeni sistem jednačina:

Pretpostavljam x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, mi nalazimo

, .

Pretpostavljam a= 1, b=c= 0, dobijamo prvo osnovno rešenje; pod pretpostavkom b= 1, a = c= 0, dobijamo drugo osnovno rešenje; pod pretpostavkom c= 1, a = b= 0, dobijamo treće osnovno rešenje. Kao rezultat, normalan fundamentalni sistem rješenja poprima oblik

Koristeći fundamentalni sistem opšte rešenje homogenog sistema može se zapisati kao

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . a

Napomenimo neka svojstva rješenja nehomogenog sistema linearnih jednačina AX=B i njihov odnos sa odgovarajućim homogenim sistemom jednačina AX = 0.

Opšte rješenje nehomogenog sistemajednak je zbiru zajedničko rešenje odgovarajućeg homogenog sistema AX = 0 i proizvoljnog partikularnog rješenja nehomogenog sistema. Zaista, neka Y 0 je proizvoljno partikularno rješenje nehomogenog sistema, tj. AY 0 = B, i Y je opšte rješenje nehomogenog sistema, tj. AY=B. Oduzimanjem jedne jednakosti od druge, dobijamo
A(Y-Y 0) = 0, tj. Y-Y 0 je opšte rješenje odgovarajućeg homogenog sistema SJEKIRA=0. shodno tome, Y-Y 0 = X, ili Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Neka nehomogen sistem ima oblik AX = B 1 + B 2 . Tada se opće rješenje takvog sistema može zapisati kao X = X 1 + X 2 , gdje je AX 1 = B 1 i AX 2 = B 2. Ovo svojstvo izražava univerzalno svojstvo bilo kojeg linearnog sistema uopšte (algebarskog, diferencijalnog, funkcionalnog, itd.). U fizici se ovo svojstvo naziva princip superpozicije, u elektrotehnici i radiotehnici - princip preklapanja. Na primjer, u teoriji linearnog električna kola struja u bilo kojem kolu može se dobiti kao algebarski zbir struje uzrokovane svakim izvorom energije posebno.

Primjer 1. Naći opće rješenje i neki fundamentalni sistem rješenja za sistem

Rješenje pronađite pomoću kalkulatora. Algoritam rješenja je isti kao i za sisteme linearnih homogene jednačine.
Radeći samo sa redovima, nalazimo rang matrice, osnovni minor; proglašavamo zavisne i slobodne nepoznanice i pronalazimo opšte rešenje.

Prvi i drugi red su proporcionalni, jedan od njih će biti obrisan:

.
Zavisne varijable - x 2, x 3, x 5, slobodne - x 1, x 4. Iz prve jednačine 10x 5 = 0 nalazimo x 5 = 0, dakle
; .
Opšte rješenje izgleda ovako:

Pronalazimo osnovni sistem rješenja, koji se sastoji od (n-r) rješenja. U našem slučaju, n=5, r=3, dakle, osnovni sistem rješenja sastoji se od dva rješenja, a ta rješenja moraju biti linearno nezavisna. Da bi redovi bili linearno nezavisni, potrebno je i dovoljno da rang matrice sastavljene od elemenata redova bude jednak broju redova, odnosno 2. Dovoljno je dati slobodne nepoznate x 1 i x 4 vrijednosti iz redova determinante drugog reda, koja se razlikuje od nule, i izračunajte x 2 , x 3 , x 5 . Najjednostavnija determinanta koja nije nula je .
Dakle, prvo rješenje je: , drugi - .
Ove dvije odluke čine temeljni sistem odlučivanja. Imajte na umu da osnovni sistem nije jedinstven (odrednice koje nisu nule mogu se sastaviti koliko god želite).

Primjer 2. Naći opšte rešenje i osnovni sistem rešenja sistema
Rješenje.



,
slijedi da je rang matrice 3 i jednak je broju nepoznato. To znači da sistem nema slobodnih nepoznanica, pa stoga ima jedinstveno rješenje - trivijalno.

Vježba . Istražite i riješite sistem linearnih jednačina.
Primjer 4

Vježba . Pronađite opšta i posebna rješenja za svaki sistem.
Rješenje. Pišemo glavnu matricu sistema:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Dovodimo matricu na trouglasti. Radit ćemo samo sa redovima, jer množenje reda matrice brojem različit od nule i dodavanje u drugi red za sistem znači množenje jednačine istim brojem i dodavanje drugoj jednačini, što ne mijenja rješenje sistema.
Pomnožite 2. red sa (-5). Dodajmo 2. red na 1.:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Pomnožite 2. red sa (6). Pomnožite treći red sa (-1). Dodajmo 3. red u 2.:
Pronađite rang matrice.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Ugledni maloljetnik ima najviši red(od mogućih maloljetnika) i razlikuje se od nule (it jednak je proizvodu elemenata na obrnutoj dijagonali), tako da je rang(A) = 2.
Ovaj minor je osnovni. Uključuje koeficijente za nepoznate x 1, x 2, što znači da su nepoznati x 1, x 2 zavisni (osnovni), a x 3, x 4, x 5 su slobodni.
Transformišemo matricu, ostavljajući samo osnovni mol sa leve strane.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Metodom eliminacije nepoznatih nalazimo netrivijalno rešenje:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1 ,x 2 kroz slobodne x 3 ,x 4 ,x 5 , tj. zajednička odluka:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Pronalazimo osnovni sistem rješenja, koji se sastoji od (n-r) rješenja.
U našem slučaju, n=5, r=2, dakle, osnovni sistem rješenja sastoji se od 3 rješenja, a ova rješenja moraju biti linearno nezavisna.
Da bi redovi bili linearno nezavisni, potrebno je i dovoljno da rang matrice sastavljene od elemenata redova bude jednak broju redova, tj. 3.
Dovoljno je dati slobodne nepoznanice x 3 ,x 4 ,x 5 vrijednosti iz redova determinante 3. reda različite od nule i izračunati x 1 ,x 2 .
Najjednostavnija determinanta koja nije nula je matrica identiteta.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Zadatak. Pronađite osnovni skup rješenja homogenog sistema linearnih jednačina.

Možete naručiti detaljno rješenje tvoj zadatak!!!

Da razumem šta je fundamentalni sistem odlučivanja možete pogledati video tutorijal za isti primjer klikom na . Sada pređimo na opis svih potrebnih radova. To će vam pomoći da detaljnije shvatite suštinu ovog pitanja.

Kako pronaći osnovni sistem rješenja linearne jednačine?

Uzmimo za primjer sljedeći sistem linearnih jednadžbi:

Hajde da nađemo rešenje za ovo linearni sistem jednačine. Za početak, mi zapišite matricu koeficijenata sistema.

Transformirajmo ovu matricu u trouglastu. Prepisujemo prvi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(11)$ moraju biti nula. Da biste postavili nulu na mjesto elementa $a_(21)$, trebate oduzeti prvi od drugog reda, a razliku upisati u drugi red. Da biste napravili nulu na mjestu elementa $a_(31)$, trebate oduzeti prvi od trećeg reda i upisati razliku u trećem redu. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(41)$, trebate oduzeti prvo pomnoženo sa 2 iz četvrtog reda i upisati razliku u četvrtom redu. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(31)$, oduzmite prvo pomnoženo sa 2 od petog reda i upišite razliku u petom redu.

Prepisujemo prvi i drugi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(22)$ moraju biti nula. Da biste postavili nulu na mjesto elementa $a_(32)$, potrebno je oduzeti drugu pomnoženu sa 2 iz trećeg reda i upisati razliku u trećem redu. Da biste postavili nulu na mjesto elementa $a_(42)$, potrebno je od četvrtog reda oduzeti drugu pomnoženu sa 2 i upisati razliku u četvrti red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(52)$, oduzmite drugu pomnoženu sa 3 od petog reda i upišite razliku u petom redu.

Vidimo to zadnja tri reda su ista, pa ako oduzmete treći od četvrtog i petog, onda će oni postati nula.

Za ovu matricu zapiši novi sistem jednačine.

Vidimo da imamo samo tri linearno nezavisne jednačine, i pet nepoznanica, pa će se osnovni sistem rješenja sastojati od dva vektora. Dakle, mi pomjeriti posljednje dvije nepoznate udesno.

Sada počinjemo izražavati one nepoznanice koje su na lijevoj strani kroz one koje su na desnoj strani. Počinjemo od posljednje jednačine, prvo izražavamo $x_3$, zatim zamjenjujemo dobijeni rezultat u drugu jednačinu i izražavamo $x_2$, a zatim u prvu jednačinu i ovdje izražavamo $x_1$. Tako smo sve nepoznanice koje su na lijevoj strani izrazili kroz nepoznanice koje su na desnoj strani.

Nakon toga, umjesto $x_4$ i $x_5$, možete zamijeniti bilo koje brojeve i pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Svakih takvih pet brojeva bit će korijeni našeg originalnog sistema jednačina. Da biste pronašli vektore koji su uključeni u FSR trebamo zamijeniti 1 umjesto $x_4$, i zamijeniti 0 umjesto $x_5$, pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$, i onda obrnuto $x_4=0$ i $x_5=1$.

Neka M 0 je skup rješenja homogenog sistema (4) linearnih jednačina.

Definicija 6.12. Vektori With 1 ,With 2 , …, sa str, koji su rješenja homogenog sistema linearnih jednačina, nazivaju se fundamentalni set rješenja(skraćeno FNR) ako

1) vektori With 1 ,With 2 , …, sa str linearno nezavisne (to jest, nijedna od njih se ne može izraziti u terminima drugih);

2) bilo koje drugo rješenje homogenog sistema linearnih jednačina može se izraziti kroz rješenja With 1 ,With 2 , …, sa str.

Imajte na umu da ako With 1 ,With 2 , …, sa str je neki f.n.r., onda po izrazu k 1× With 1 + k 2× With 2 + … + kp× sa str može opisati cijeli skup M 0 rješenja sistema (4), tako se zove opšti pogled na sistemsko rešenje (4).

Teorema 6.6. Svaki neodređeni homogeni sistem linearnih jednačina ima osnovni skup rješenja.

Način da se pronađe osnovni skup rješenja je sljedeći:

Naći opšte rešenje homogenog sistema linearnih jednačina;

Izgraditi ( n – r) pojedinih rješenja ovog sistema, dok se vrijednosti slobodnih nepoznanica moraju formirati matrica identiteta;

napisati opšti oblik rješenje uključeno u M 0 .

Primjer 6.5. Pronađite osnovni skup rješenja sljedećeg sistema:

Rješenje. Hajde da nađemo opšte rešenje ovog sistema.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Ovaj sistem ima pet nepoznatih ( n= 5), od kojih postoje dvije glavne nepoznanice ( r= 2), tri slobodne nepoznate ( n – r), odnosno osnovni skup rješenja sadrži tri vektora rješenja. Hajde da ih izgradimo. Imamo x 1 i x 3 - glavne nepoznanice, x 2 , x 4 , x 5 - slobodne nepoznanice

Vrijednosti slobodnih nepoznanica x 2 , x 4 , x 5 formiraju matricu identiteta E trećeg reda. Imam te vektore With 1 ,With 2 , With 3 obrazac f.n.r. ovaj sistem. Tada će skup rješenja ovog homogenog sistema biti M 0 = {k 1× With 1 + k 2× With 2 + k 3× With 3 , k 1 , k 2 , k 3 O R).

Hajde sada da saznamo uslove za postojanje nenultih rešenja homogenog sistema linearnih jednačina, drugim rečima, uslove za postojanje fundamentalnog skupa rešenja.

Homogeni sistem linearnih jednadžbi ima rješenja različita od nule, odnosno neodređen je ako

1) rang glavne matrice sistema je manji od broja nepoznatih;

2) u homogenom sistemu linearnih jednačina broj jednačina je manji od broja nepoznatih;

3) ako je u homogenom sistemu linearnih jednadžbi broj jednačina jednak broju nepoznanica, a determinanta glavne matrice jednaka nuli (tj. | A| = 0).

Primjer 6.6. Na kojoj vrijednosti parametra a homogeni sistem linearnih jednačina ima rješenja različita od nule?

Rješenje. Sastavimo glavnu matricu ovog sistema i pronađemo njenu determinantu: = = 1×(–1) 1+1 × = – a– 4. Determinanta ove matrice je jednaka nuli kada a = –4.

Odgovori: –4.

7. Aritmetika n-dimenzionalno vektorski prostor

Osnovni koncepti

U prethodnim poglavljima već smo se susreli s konceptom skupa realnih brojeva raspoređenih po određenom redoslijedu. Ovo je matrica reda (ili matrica stupaca) i rješenje sistema linearnih jednačina sa n nepoznato. Ove informacije se mogu sažeti.

Definicija 7.1. n-dimenzionalni aritmetički vektor naziva se uređenim skupom n realni brojevi.

Sredstva a= (a 1, a 2, …, a n), gdje je a i O R, i = 1, 2, …, n je opšti pogled na vektor. Broj n pozvao dimenzija vektor, i brojevi a i nazvao ga koordinate.

Na primjer: a= (1, –8, 7, 4, ) je petodimenzionalni vektor.

Sve je spremno n-dimenzionalni vektori se obično označavaju kao R n.

Definicija 7.2. Dva vektora a= (a 1, a 2, …, a n) i b= (b 1 , b 2 , …, b n) iste dimenzije jednaka ako i samo ako su njihove odgovarajuće koordinate jednake, tj. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definicija 7.3.suma dva n-dimenzionalni vektori a= (a 1, a 2, …, a n) i b= (b 1 , b 2 , …, b n) naziva se vektor a + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+b n).

Definicija 7.4. rad pravi broj k po vektoru a= (a 1, a 2, …, a n) naziva se vektor k× a = (k×a 1 , k×a 2 , …, k×a n)

Definicija 7.5. Vector o= (0, 0, …, 0) se poziva nula(ili nul-vektor).

Lako je provjeriti da li su akcije (operacije) sabiranja vektora i njihovog množenja pravi broj posjedovati sljedeća svojstva: " a, b, c Î R n, " k, l ILI:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + o = a;

4) a+ (–a) = o;

5) 1× a = a, 1 O R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definicija 7.6. Mnogo R n sa operacijama sabiranja vektora i njihovog množenja realnim brojem datim na njemu se zove aritmetički n-dimenzionalni vektorski prostor.

Sistemi linearnih homogenih jednačina- ima oblik ∑a k i x i = 0. gdje je m > n ili m Homogeni sistem linearnih jednadžbi je uvijek konzistentan, jer je rangA = rangB . Sigurno ima rješenje koje se sastoji od nula, koje se zove trivijalan.

Servisni zadatak. Online kalkulator je dizajniran da pronađe netrivijalno i fundamentalno rješenje za SLAE. Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku (pogledajte primjer rješenja).

Uputstvo. Odaberite dimenziju matrice:

broj varijabli: 2 3 4 5 6 7 8 i broj linija 2 3 4 5 6

Osobine sistema linearnih homogenih jednačina

Da bi sistem imao netrivijalna rješenja, potrebno je i dovoljno da rang njene matrice bude manji od broja nepoznatih.

Teorema. Sistem u slučaju m=n ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je determinanta ovog sistema jednaka nuli.

Teorema. Svaka linearna kombinacija rješenja sistema je također rješenje za taj sistem.
Definicija. Skup rješenja sistema linearnih homogenih jednačina naziva se fundamentalni sistem odlučivanja ako se ova zbirka sastoji od linearno nezavisnih rješenja i svako rješenje sistema je linearna kombinacija ovih rješenja.

Teorema. Ako je rang r sistemske matrice manji od broja n nepoznatih, onda postoji fundamentalni sistem rješenja koji se sastoji od (n-r) rješenja.

Algoritam za rješavanje sistema linearnih homogenih jednačina

1. Pronađite rang matrice.
2. Odabiremo osnovni mol. Odabiremo zavisne (osnovne) i slobodne nepoznanice.
3. Precrtavamo one jednačine sistema čiji koeficijenti nisu uključeni u sastav osnovni mol, budući da su posljedice ostalih (prema osnovnoj maloj teoremi).
4. Članove jednačina koje sadrže slobodne nepoznanice prenosimo na desna strana. Kao rezultat, dobijamo sistem od r jednačina sa r nepoznatih, ekvivalentan datoj, čija je determinanta različita od nule.
5. Rezultirajući sistem rješavamo eliminacijom nepoznanica. Nalazimo relacije koje izražavaju zavisne varijable u terminima slobodnih.
6. Ako rang matrice nije jednak broju varijabli, nalazimo fundamentalna odluka sistemi.
7. U slučaju rang = n, imamo trivijalno rješenje.

Primjer. Pronađite osnovu sistema vektora (a 1 , a 2 ,...,a m), rangirajte i izrazite vektore u terminima baze. Ako je a 1 =(0,0,1,-1) i 2 =(1,1,2,0) i 3 =(1,1,1,1) i 4 =(3,2,1 ,4) , i 5 =(2,1,0,3).
Pišemo glavnu matricu sistema:

Pomnožite treći red sa (-3). Dodajmo 4. red u 3.:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Pomnožite 4. red sa (-2). Pomnožite 5. red sa (3). Dodajmo 5. red u 4.:
Dodajmo 2. red na 1.:
Pronađite rang matrice.
Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x1 + x2 = - 3x4
Metodom eliminacije nepoznanica nalazimo netrivijalno rješenje:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1, x 2, x 3 preko slobodnog x 4, odnosno našli smo opšte rešenje:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4