Navedite strukturu općeg rješenja diferencijalne jednadžbe. Struktura općeg rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe

D U višim redovima

Kao što smo već rekli, diferencijalne jednadžbe mogu sadržavati derivate različitog reda.

Takve diferencijalne jednadžbe imaju rješenja koja sadrže onoliko proizvoljnih konstanti integracije → kakav je red diferencijalne jednačine, tj. za diferencijalnu jednačinu 2. reda postojaće dvije proizvoljne konstante C1 i C2, za 3. →C1, C2 i C3, itd.

Dakle, opće rješenje (opći integral) takve diferencijalne jednadžbe će biti funkcija

.

Da bi se dobilo određeno rješenje takvih diferencijalnih jednadžbi, potrebno je postaviti onoliko početnih uslova koliko je redoslijed diferencijalne jednadžbe, odnosno koliko proizvoljnih konstanti se dobije u općem rješenju.

D U u totalnim diferencijalima. Integrirajući faktor

Diferencijalna jednadžba oblika naziva se diferencijalna jednadžba u potpunim diferencijalima ako je njena lijeva strana ukupni diferencijal neke glatke funkcije, tj. ako , . Neophodan i dovoljan uslov za postojanje takve funkcije je:

Da biste riješili diferencijalnu jednadžbu u totalnim diferencijalima, morate pronaći funkciju. Tada se opće rješenje diferencijalne jednadžbe može zapisati u obliku za proizvoljnu konstantu C.

Integrirajući faktor za diferencijalnu jednačinu

takva funkcija se zove, nakon množenja kojom se diferencijalna jednadžba pretvara u jednadžbu u totalnim diferencijalima. Ako funkcije M i N u jednadžbi imaju kontinuirane parcijalne izvode i ne nestaju u isto vrijeme, tada postoji integrirajući faktor. Međutim, ne postoji opća metoda za pronalaženje.

Struktura generalnog rješenja LNDE

Razmotrimo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednačinu

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).

− bez obzira na početnu tačku (x0, y0, ), x0∈, postoje vrijednosti C1 =C10, ..., Cn = Cn0 takve da funkcija y = Φ(x, C10, ..., Cn0) zadovoljava početni uslovi y(x0) = y0, y "(x0) ,..., (x0) = .

Tačna je sljedeća tvrdnja (teorema o strukturi općeg rješenja linearne nehomogene jednačine).

Ako su svi koeficijenti jednadžbe linearne homogene diferencijalne jednadžbe kontinuirani na segmentu , a funkcije y1(x), y2(x),..., yn(x) čine sistem rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe, tada opće rješenje nehomogene jednadžbe ima oblik

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),

gdje su C1,...,Cn proizvoljne konstante, y*(x) je posebno rješenje nehomogene jednačine.

LNDE 2. reda

Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda.

Jednadžba oblika y "+ py" + qy \u003d f (x), gdje su p i q realni brojevi, f (x) je kontinuirana funkcija, naziva se linearna nehomogena jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima .

Opće rješenje jednačine je zbir posebnog rješenja nehomogene jednačine i opšteg rješenja odgovarajuće homogene jednačine. Proučavano je pronalaženje opšteg rješenja homogene jednačine. Za pronalaženje određenog rješenja koristimo metodu neodređenih koeficijenata, koja ne sadrži proces integracije.

Razmotrimo različite tipove desnih strana jednačine y" + py" + qy = f(x).

1) Desna strana ima oblik F(x) = Pn(x), gdje je Pn(x) polinom stepena n. Tada se određeno rješenje y može tražiti u obliku gdje je Qn (x) polinom istog stepena kao Pn (x), a r je broj nultih korijena karakteristične jednadžbe.

Primjer. Pronađite opće rješenje jednadžbe y "- 2y" + y = x + 1.

Odluka: Opće rješenje odgovarajuće homogene jednačine ima oblik Y = ex (C1 + C2x) . Kako nijedan od korijena karakteristične jednadžbe k2 – 2k + 1 = 0 nije jednak nuli (k1 = k2 = 1), tražimo određeno rješenje u obliku gdje su A i B nepoznati koeficijenti. Dvaput diferencirajući i zamjenjujući " i " u ovoj jednačini, nalazimo -2A + Ax + B = x + 1.

Izjednačavajući koeficijente na istim stepenima x u oba dijela jednačine: A = 1, –2A + B = 1, - nalazimo A = 1, B = 3. Dakle, konkretno rješenje ove jednačine ima oblik = x + 3, a njegovo opće rješenje je y = ex (C1 + C2x) + x + Z.

2) Desna strana ima oblik f(x) = eax Pn(x), gdje je Rn (h) polinom stepena n. Tada treba tražiti određeno rješenje u obliku gdje je Qn(x) polinom istog stepena kao Pn(x), a r je broj korijena karakteristične jednadžbe jednak a. Ako je a = 0, onda je f(x) = Pn(x), tj. dolazi do slučaja 1.

LODU sa konstantnim koeficijentima.

Razmotrimo diferencijalnu jednačinu

gdje su realne konstante.

Da bismo pronašli opšte rešenje jednačine (8), postupimo na sledeći način. Sastavljamo karakterističnu jednačinu za jednačinu (8): (9)

Neka su korijeni jednadžbe (9), a među njima može biti višekratnika. Mogući su sljedeći slučajevi:

a) - pravi i drugačiji. Opće rješenje homogene jednačine će biti ;

b) korijeni karakteristične jednačine su realni, ali među njima ima višekratnika, tj. , onda će generalno rješenje biti

c) ako su korijeni karakteristične jednadžbe kompleksni (k=a±bi), onda opšte rješenje ima oblik .

Struktura totala. LODE rješenja 2. reda

Razmotrimo linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.

Opšte rješenje ove jednadžbe na intervalu je funkcija y = Φ(x, C1,..., Cn) ovisno o n proizvoljnih konstanti C1,..., Cn i koja zadovoljava sljedeće uvjete:

− za bilo koje dopuštene vrijednosti konstanti C1,..., Cn, funkcija y = Φ(x, C1,..., Cn) je rješenje jednadžbe na ;

− bez obzira na početnu tačku (x0, y0, ), x0∈, postoje vrijednosti C1 =C10, ..., Cn = Cn0 takve da funkcija y = Φ(x, C10, ..., Cn0) zadovoljava početni uslovi y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .

Poznavanje osnovnog sistema rješenja jednačine omogućava konstruisanje opšteg rješenja ove jednačine. Prisjetimo se definicije općeg rješenja diferencijalne jednadžbe P-th red

Funkcija
, definiran u nekom rasponu varijabli
, u čijoj se svakoj tački odvija postojanje i jedinstvenost rješenja Cauchyjevog problema i koja ima kontinuirane parcijalne izvode u odnosu na X po narudžbi P uključujući, naziva se opće rješenje jednadžbe (15) u navedenom području, ako:

sistem jednačina

je rješiv u navedenom području s obzirom na proizvoljne konstante
, dakle

(16)

2. funkcija
je rješenje jednadžbe (15) za sve vrijednosti proizvoljnih konstanti
, izraženo formulama (16), kada je tačka
pripada području koje se razmatra.

Teorema 1. (o strukturi općeg rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe). Ako funkcije
,
, …,
formiraju fundamentalni sistem rješenja homogene linearne jednačine P-th red
u intervalu
, tj. u intervalu kontinuiteta koeficijenata, zatim funkcija
je opšte rješenje ove jednačine u domeni D:
,
,
.

Dokaz. U svakoj tački naznačene regije odvija se postojanje i jedinstvenost rješenja Cauchyjevog problema. Pokažimo sada da je funkcija
zadovoljava definiciju općeg rješenja jednačine P-th red.

sistem jednačina

rješivo na tom području D u odnosu na proizvoljne konstante
budući da je determinanta ovog sistema determinanta Wronskyja za osnovni sistem rješenja (12) i stoga je različita od nule.

2. Funkcija
po svojstvu rješenja homogene linearne jednačine je rješenje jednačine
za sve vrijednosti proizvoljnih konstanti
.

Dakle, funkcija
je opšte rješenje jednačine
u oblasti D. Teorema je dokazana.

Primjer.

.

Rješenja ove jednadžbe su očigledno funkcije
,
. Ova rješenja čine temeljni sistem rješenja, budući da

.

Stoga je opće rješenje izvorne jednadžbe funkcija .

Struktura općeg rješenja nehomogene linearne jednadžbe n-tog reda.

Razmotrimo nehomogenu linearnu jednačinu P-th red

Pokažimo da se, kao iu slučaju linearne nehomogene jednačine prvog reda, integracija jednačine (1) svodi na integraciju homogene jednačine ako je poznato jedno određeno rješenje nehomogene jednačine (1).

Neka bude
- određeno rješenje jednačine (1), tj.

,
. (2)

Hajde da stavimo
, gdje z je nova nepoznata funkcija iz X. Tada jednačina (1) poprima oblik

ili
,

odakle, na osnovu identičnosti (2), dobijamo

. (3)

Ovo je homogena linearna jednačina, čija je lijeva strana ista kao i razmatrana nehomogena jednačina (1). One. dobili smo homogenu jednačinu koja odgovara ovoj nehomogenoj jednačini (1).

,
, …,
,

je osnovni sistem rješenja homogene jednačine (3). Tada su sva rješenja ove jednadžbe sadržana u formuli za njeno opće rješenje, tj.

.

Zamijenite ovu vrijednost z u formulu
, dobijamo

.

Rezultirajuća funkcija je opće rješenje jednačine (1) u regiji D.

Tako smo pokazali da je opšte rješenje linearne nehomogene jednadžbe (1) jednako zbroju nekog posebnog rješenja ove jednačine i opšteg rješenja odgovarajuće homogene linearne jednačine.

Primjer. Naći opće rješenje jednačine

.

Odluka. Imamo, određeno rješenje ove nehomogene linearne jednadžbe ima oblik

.

Opće rješenje odgovarajuće homogene jednačine
, kao što smo ranije pokazali, ima oblik

Stoga je opće rješenje originalne jednačine:
.

U mnogim slučajevima, zadatak pronalaženja određenog rješenja nehomogene jednadžbe je olakšan korištenjem sljedećeg svojstva:

Teorema. Ako u jednačini (1) desna strana ima oblik

a poznato je da
, a - posebno rješenje jednačine
, zatim zbir ovih konkretnih rješenja +će biti posebno rješenje jednačine (1).

Dokaz. Zaista, pošto po uslovu je posebno rješenje jednačine
, a - posebno rješenje jednačine
, onda

,
.

one. +je posebno rješenje jednadžbe (1).

Za linearnu nehomogenu diferencijalnu jednačinu n- red

y(n) + a 1(x)y(n- 1) + ... + an- 1 (x) y" + an(x)y = f(x),

gdje y = y(x) je nepoznata funkcija, a 1(x),a 2(x), ..., an- 1(x), an(x), f(x) - poznato, kontinuirano, fer:
1) ako y 1(x) i y 2(x) su dva rješenja nehomogene jednadžbe, zatim funkcije
y(x) = y 1(x) - y 2(x) je rješenje odgovarajuće homogene jednačine;
2) ako y 1(x) rješenje nehomogene jednačine, i y 2(x) je rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, zatim funkcija
y(x) = y 1(x) + y 2(x) je rješenje nehomogene jednačine;
3) ako y 1(x), y 2(x), ..., yn(x) - n linearno nezavisna rješenja homogene jednadžbe, i ych(x) je proizvoljno rješenje nehomogene jednadžbe,
zatim za bilo koje početne vrijednosti
x 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,n- 1
Izraz
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) +ych(x)
pozvao zajedničko rešenje linearna nehomogena diferencijalna jednadžba n-th red.

Za pronalaženje određenih rješenja nehomogenih diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima s desnom stranom oblika:
pk(x)exp(a x)cos( bx) + Q m(x)exp(a x)grijeh( bx),
gdje pk(x), Q m(x) - polinomi stepena k i m shodno tome, postoji jednostavan algoritam za konstruisanje određenog rješenja, tzv metod selekcije.

Metoda odabira, odnosno metoda neizvjesnih koeficijenata je sljedeća.
Željeno rješenje jednačine zapisuje se kao:
(Pr(x)exp(a x)cos( bx) + QR(x)exp(a x)grijeh( bx))xs,
gdje Pr(x), QR(x) - polinomi stepena r=max( k, m) sa nepoznato koeficijenti
pr , pr- 1, ..., str 1, str 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
dakle, da bi se pronašlo opće rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima, treba
pronaći opšte rješenje odgovarajuće homogene jednačine (napisati karakterističnu jednačinu, pronaći sve korijene karakteristične jednačine l 1, l 2, ... , ln, zapišite osnovni sistem rješenja y 1(x), y 2(x), ..., yn(x));
pronaći bilo koje posebno rješenje nehomogene jednadžbe ych(x);
napišite izraz za opšte rješenje
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x);

Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima sa desnom stranom posebnog oblika. Metoda neodređenih koeficijenata.

Diferencijalna jednadžba oblika (1)

gdje je , f poznata funkcija, naziva se linearna diferencijalna jednadžba n-tog reda sa konstantnim koeficijentima. Ako je , tada se jednačina (1) naziva homogena, u suprotnom se naziva nehomogena.

Za linearne nehomogene jednadžbe sa konstantnim koeficijentima i sa desnom stranom posebnog oblika, odnosno koje se sastoje od zbira i proizvoda funkcija , određeno rješenje može se tražiti metodom neodređenih koeficijenata. Oblik određenog rješenja ovisi o korijenima karakteristične jednadžbe. Ispod je tabela tipova pojedinih rješenja linearne nehomogene jednadžbe sa posebnom desnom stranom.

složena ravan. Modul i argument kompleksnog broja. Glavna vrijednost argumenta. geometrijskom smislu

Kompleksni brojevi se pišu kao: a + bi. Ovdje su a i b realni brojevi, a i je imaginarna jedinica, tj. i 2 = -1. Broj a naziva se apscisa, a b se naziva ordinata kompleksnog broja a + bi. Dva kompleksna broja a + bi i a - bi nazivaju se konjugiranim kompleksnim brojevima.

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi su predstavljeni tačkama na brojevnoj pravoj:

Ovdje tačka A označava broj -3, tačka B je broj 2, a O je nula. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni tačkama na koordinatnoj ravni. Za to biramo pravokutne (kartezijanske) koordinate sa istim razmjerima na obje ose. Tada će kompleksni broj a + bi biti predstavljen tačkom P sa apscisom a i ordinatom b (vidi sliku). Ovaj koordinatni sistem se naziva kompleksna ravan.

Modul kompleksnog broja je dužina vektora OP koji predstavlja kompleksni broj na koordinatnoj (kompleksnoj) ravni. Modul kompleksnog broja a+ bi se označava sa | a + bi | ili slovo r i jednako je:

Konjugirani kompleksni brojevi imaju isti modul. __

Argument kompleksnog broja je ugao između ose OX i vektora OP koji predstavlja taj kompleksni broj. Dakle, tan = b / a .

Struktura općeg rješenja takve jednačine određena je sljedećom teoremom.

Teorema 1. Opće rješenje nehomogene jednačine (1) je predstavljeno kao zbir nekog posebnog rješenja ove jednačine u h i opšte rješenje odgovarajuće homogene jednačine

Dokaz. Moramo dokazati da je zbir (3)

Postoji opće rješenje jednačine (1).

Dokažimo prvo da je funkcija (3) rješenje jednadžbe (1). Zamjena umjesto at zbrojiti u jednačinu (1) imaćemo:

Kako je - rješenje jednačine (2), onda je izraz u prvim zagradama jednačine (4) identično jednak nuli. As y h je rješenje jednačine (1), tada je izraz u drugoj zagradi (4) jednak f(x). Dakle, jednakost (4) je identitet. Dakle, prvi dio teoreme je dokazan.

Dokažimo sada da je izraz (3) opšte rješenje jednačine (1), tj. dokažimo da se proizvoljne konstante uključene u njega mogu izabrati tako da su početni uslovi (5) zadovoljeni

bez obzira na brojke x 0, y 0, i (ako su samo područja u kojima funkcije a 1, a 2 i f(x) kontinuirano).

Napominjući da se može predstaviti u obliku , gdje u 1, u 2 linearno nezavisna rješenja jednadžbe (2), i Od 1 i Od 2 su proizvoljne konstante, možemo prepisati jednakost (3) kao . Tada ćemo, na osnovu uslova (5), imati sistem

.

Iz ovog sistema jednačina, morate odrediti Od 1 i Od 2. Hajde da prepišemo sistem u formi

(6)

Sistemski kvalifikator – postoji odrednica Vronskog za rješenja 1 i u 2 u tački . Pošto su ove funkcije linearno nezavisne po uslovu, determinanta Wronskyja nije jednaka nuli, stoga sistem (6) ima jedinstveno rješenje Od 1 i Od 2, tj. postoje takve vrijednosti Od 1 i Od 2 za koji formula (3) određuje rješenje jednačine (1) koje zadovoljava date početne uslove.

Dakle, ako je opšte rješenje homogene jednadžbe (2) poznato, tada je glavni zadatak u integraciji nehomogene jednadžbe (1) pronaći neka od njenih posebnih rješenja u h.

Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima sa desnom stranom posebnog oblika. Metoda neodređenih koeficijenata.

Ponekad je moguće pronaći jednostavnije rješenje bez pribjegavanja integraciji. To se događa u posebnim slučajevima kada je funkcija f(x) ima poseban izgled.

Neka imamo jednadžbu , (1)

gdje str i q realni brojevi, i f(x) ima poseban izgled. Razmotrimo nekoliko takvih mogućnosti za jednačinu (1).

Neka je desna strana jednadžbe (1) proizvod eksponencijalne funkcije i polinoma, tj. ima oblik , (2)

gdje je polinom n-tog stepena. Tada su mogući sljedeći slučajevi:

broj - nije korijen karakteristična jednačina .

U ovom slučaju, određeno rješenje se mora tražiti u obliku (3)

one. kao polinom takođe n-. stepen, gde A 0 , A 1 ,…,A n treba odrediti koeficijente.

Da bismo ih odredili, nalazimo derivate i .

Zamena u h, i u jednadžbu (1) i smanjivanjem oba dijela za faktor, imat ćemo:

Ovdje je polinom n-tog stepena, polinom (n-1)-og stepena i polinom (n-2)-og stepena.

Dakle, lijevo i desno od znaka jednakosti su polinomi n-th stepen. Izjednačavanje koeficijenata na istim stepenima X(broj nepoznatih koeficijenata je ), dobijamo sistem jednadžbi za određivanje koeficijenata A 0 , A 1 , …, A n .

ako desna strana jednačine (1) ima oblik: