Mathcad je softverski alat, okruženje za izvođenje različitih matematičkih i tehničkih proračuna na računaru, opremljeno grafičkim interfejsom koji se lako uči i koristi, koji korisniku pruža alate za rad sa formulama, brojevima, grafikonima i tekstovi. Više od stotinu operatora i logičkih funkcija dostupno je u Mathcad okruženju, dizajniranih za numeričko i simboličko rješavanje matematičkih problema različite složenosti.

Za automatizaciju matematičkih, inženjerskih i naučnih proračuna koriste se različiti računarski alati - od programabilnih mikrokalkulatora do superkompjutera. I, ipak, takve kalkulacije za mnoge ostaju teška stvar. Štaviše, korišćenje računara za proračune unelo je nove poteškoće: pre početka proračuna korisnik mora savladati osnove algoritamizacije, naučiti jedan ili više programskih jezika, kao i numeričke metode proračuna. Situacija se značajno promijenila nakon izdavanja specijalizovanih softverskih sistema za automatizaciju matematičkih i inženjerskih proračuna.

Takvi kompleksi uključuju softverske pakete Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive, itd. Mathcad zauzima posebno mjesto u ovoj seriji.

Mathcad je integrisani sistem za rešavanje matematičkih, inženjerskih i naučnih problema. Sadrži uređivač teksta i formula, kalkulator, alate za naučnu i poslovnu grafiku, kao i ogromnu bazu referentnih informacija, kako matematičkih tako i inženjerskih, osmišljenih kao referentna knjiga ugrađena u Mathcad, set elektronskih knjiga i običnih "papirnih". “ knjige, uključujući i na ruskom

Uređivač teksta se koristi za unos i uređivanje tekstova. Tekstovi su komentari i matematički izrazi koji su u njima uključeni se ne izvršavaju. Tekst se može sastojati od riječi, matematičkih simbola, izraza i formula.

Procesor formula pruža prirodni "višeslojni" skup formula u poznatoj matematičkoj notaciji (podjela, množenje, kvadratni korijen, integral, zbir, itd.). Najnovija verzija Mathcada u potpunosti podržava ćirilična slova u komentarima, formulama i grafikonima.

Kalkulator pruža proračune pomoću složenih matematičkih formula, ima veliki skup ugrađenih matematičkih funkcija, omogućava vam izračunavanje serija, zbroja, proizvoda, integrala, izvoda, rad sa kompleksnim brojevima, rješavanje linearnih i nelinearnih jednadžbi, kao i diferencijalnih jednadžbi i sistema, minimiziraju i maksimiziraju funkcije, obavljaju vektorske i matrične operacije, statističku analizu, itd. Možete jednostavno promijeniti bitnu dubinu i bazu brojeva (binarni, oktalni, decimalni i heksadecimalni), kao i grešku iterativnih metoda. Automatska kontrola dimenzija i preračunavanje u različitim sistemima mjerenja (SI, GHS, Anglo-American, kao i custom).

Mathcad ima ugrađene simboličke matematičke alate koji vam omogućavaju rješavanje problema putem kompjuterskih analitičkih transformacija.

GPU se koristi za kreiranje grafikona i grafikona. Kombinira lakoću komunikacije s korisnikom sa snagom poslovne i naučne grafike. Grafika je fokusirana na rješavanje tipičnih matematičkih problema. Moguće je brzo promijeniti vrstu i veličinu grafikona, preklapati tekstualne oznake na njih i premjestiti ih na bilo koje mjesto u dokumentu.

Mathcad je univerzalni sistem, tj. može se koristiti u bilo kojoj oblasti nauke i tehnologije - gde god da se primenjuju matematičke metode. Pisanje komandi u Mathcad sistemu na jeziku veoma bliskom standardnom jeziku matematičkih proračuna pojednostavljuje formulaciju i rešavanje problema.

Mathcad je integrisan sa svim ostalim kompjuterskim sistemima za bodovanje.

Mathcad olakšava rješavanje problema kao što su:

unošenje različitih matematičkih izraza na računar (za dalje proračune ili kreiranje dokumenata, prezentacija, web stranica ili elektronskih i običnih "papirnih" knjiga);

izvođenje matematičkih proračuna (analitičke i numeričke metode);

izrada grafova (dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih) sa rezultatima proračuna;

unos početnih podataka i izlaz rezultata u tekstualne datoteke ili datoteke sa bazama podataka u drugim formatima;

Izrada izvještaja o radu u obliku štampanih dokumenata;

Priprema web stranica i objavljivanje rezultata na Internetu;

dobijanje raznih referentnih informacija

i mnogi drugi zadaci.

Od verzije 14, Mathcad je integrisan sa Pro/ENGINEER-om (kao i sa SolidWorksom). Mathcad i Pro/ENGINEER integracija se zasniva na dvosmjernoj komunikaciji između ovih aplikacija. Njihovi korisnici mogu lako povezati bilo koji Mathcad fajl sa Pro/ENGINEER delom i sklopom koristeći Pro/ENGINEER-ovu funkciju analize karakteristika.

Mathcad stvara pogodno računarsko okruženje za širok spektar matematičkih proračuna i dokumentovanja rezultata rada u okviru odobrenih standarda. Mathcad vam omogućava da kreirate korporativne i industrijski certificirane alate za proračun u različitim oblastima nauke i tehnologije, pružajući jedinstvenu metodologiju za sve organizacije koje su dio korporacije ili industrije

Najnovija verzija Mathcada podržava 9 jezika, omogućava snažnije i jasnije proračune.

NEEDHAM (Masachusetts). Dana 12. februara 2007, PTC (Nasdaq na listi: PMTC), kompanija za razvoj CAD/CAM/CAE/PLM sistema, objavila je izdavanje Mathcada 14.0, najnovije verzije popularnog sistema za automatizaciju inženjerskih proračuna. Otkako je kupio Mathsoft u aprilu 2006. godine, PTC je fokusirao svoje napore na dalje širenje geografskog dosega Mathcad tehnologije i značajno povećanje baze korisnika. Mathcad 14.0 značajno proširuje mogućnosti korisnika u rješavanju sve većih računskih problema, poboljšava koherentnost proračunskih dokumenata kroz cijeli proces razvoja proizvoda.

U današnjoj globalnoj podjeli procesa razvoja proizvoda, naučni i tehnički proračuni postaju izuzetno važni. Sa izdavanjem Mathcada 14.0, PTC pruža punu Unicode podršku i uskoro će ponuditi proizvod na devet jezika. Novi među njima biće jezici kao što su italijanski, španski, korejski i oba kineski - tradicionalni i pojednostavljeni. Proširena jezička podrška u Mathcadu 14.0 omogućit će geografski raspoređenim timovima da izvode i dokumentiraju proračune na svom lokalnom jeziku i kao rezultat toga povećavaju produktivnost povećanjem njegove brzine i tačnosti, kao i smanjenjem grešaka koje se javljaju prilikom prevođenja s jednog jezika na drugi.

Mathcad 14.0 vam takođe omogućava da izvodite složenije proračune uz održavanje njihove jasnoće sa novim karakteristikama WorkSheet-a (dokument otvoren u Mathcad okruženju), dodatnim alatima za numeričku evaluaciju na mreži i proširenim skupom znakova. Ovo će pomoći korisnicima u izvođenju formula, prikazu procesa izračunavanja i dokumentovanju proračuna. Konačno, namjenski dodaci će omogućiti korisnicima da rade na širem spektru inženjerskih zadataka.

Mathcad i Pro/ENGINEER integracija se zasniva na dvosmjernoj komunikaciji između ovih aplikacija. Njihovi korisnici mogu lako povezati bilo koju Mathcad datoteku sa Pro/ENGINEER dijelom i sklopom koristeći Pro/ENGINEER funkciju analize karakteristika. Osnovne vrijednosti izračunate u Mathcad sistemu mogu se prevesti u parametre i dimenzije CAD modela za kontrolu geometrijskog objekta. Parametri iz Pro/ENGINEER modela se također mogu unijeti u Mathcad za naknadne inženjerske proračune. Prilikom promjene parametara, međusobna integracija dva sistema omogućava vam da dinamički ažurirate proračune i crtež objekta. Štaviše, Pro/ENGINEER modeli vođeni Mathcad-om sada se mogu validirati pomoću Pro/ENGINEER simulacijskih modula kao što su Pro/ENGINEER Mechanica®, strukturalna i termička simulacija, opcija savjetnika za zamor i opcija dinamike mehanizma.

Šta je novo u Mathcadu 14.0?

Novi tandem operatera interfejsa ("Dva u jednom")

Format brojeva na grafikonima

Pronađi/Zamijeni promjene naredbe

Komanda za uporedi

Novo u rješavanju ODE

Nova sredstva simboličke matematike

Podrška za Unicode tablicu kodova

Korisnički interfejs

Korisnički interfejs znači skup alata Math CAD grafičke ljuske koji omogućavaju jednostavnu kontrolu sistema, kako sa tastature tako i preko miša. Pod kontrolom se podrazumijeva samo skup potrebnih simbola, formula, tekstualnih komentara i sl., te mogućnost kompletne pripreme dokumenata (Work Sheets) i elektronskih knjiga u MathCAD okruženju sa njihovim naknadnim pokretanjem u realnom vremenu. Korisnički interfejs sistema je dizajniran tako da korisnik sa osnovnim veštinama u radu sa Windows aplikacijama može odmah da počne da radi sa MathCAD-om.

Prozor za uređivanje.

Glavni meni sistema.

Drugi red sistemskog prozora je glavni meni. Svrha njegovih naredbi je data u nastavku:

Fajl (File) - rad sa fajlovima, internetom i e-poštom;

PAGE_BREAK--

Padajući meni sadrži komande koje su standardne za Windows aplikacije.

Edit (Editing) - uređivanje dokumenata;

Padajući meni takođe sadrži komande koje su standardne za Windows aplikacije.Većina njih je dostupna samo ako je u dokumentu izabrano jedno ili više oblasti (tekst, formula, grafikon itd.).

Pogled (Pregled) - promijeniti način pregleda;

Trake sa alatkama (Paneli) - omogućava vam da prikažete ili sakrijete trake sa alatkama Standard (Standard), Formatting (Formatting), Matematika (Matematika).

Statusna traka - Omogućite ili onemogućite prikaz statusne trake sistema.

Ravnilo (ravnalo) - omogući/onemogući ravnalo.

Regioni (Granice) - Čini vidljivim granice regiona (tekst, grafika, formule).

Zumiranje (zumiranje).

Osvježi - Osvježava sadržaj ekrana.

Animiraj (Animacija) - komanda vam omogućava da kreirate animaciju.

Reprodukcija (Player) - Reprodukcija animacije pohranjene u datoteci sa ekstenzijom AVI.

Preference (Postavke) - Jedna od kartica iskačućeg prozora (Općenito) vam omogućava da postavite neke parametre programa koji ne utiču na proračune, druga kartica (Internet) se koristi za unos informacija kada radite zajedno sa MathCAD-om -dokumenti putem interneta.

Insert (Insert) - Komande u ovom meniju vam omogućavaju da postavite grafiku, funkcije, hiperveze, komponente i ugradite objekte u MathCAD dokument.

Format - promijenite format objekata

Jednačina - Formatiranje formula i kreiranje vlastitih stilova za predstavljanje podataka

Rezultat(Rezultat) - Omogućava vam da postavite format za predstavljanje rezultata proračuna (Pogledajte odjeljak 1.4 ovog predavanja)

Text(Text) - Formatiranje fragmenta teksta (font, veličina, stil)

Paragraf (Paragraf) - Promenite format trenutnog pasusa (uvlake, poravnanje).

Tabs (Tabulacija) - Podešavanje pozicija tabelarnih markera.

Stil (Stil) - Formatiranje pasusa teksta.

Svojstva (Properties) - Kartica Display (Display) vam omogućava da postavite boju pozadine za najvažnije tekstualne i grafičke oblasti; slika umetnuta u dokument (Insert -> Picture) vam omogućava da je zatvorite u okvir, vratite je u originalnu veličinu. Vkvadka Calculation (Izračun) omogućava vam da omogućite i onemogućite proračun za odabranu formulu; u potonjem slučaju, mali crni pravougaonik se pojavljuje u gornjem desnom uglu oblasti formule i formula postaje komentar.

Graf (Grafikon) - Omogućuje vam promjenu parametara za prikaz grafikona

Odvojene regije - Omogućava vam da proširite regije koje se preklapaju.

Poravnaj regije - Poravnava odabrane regije vodoravno ili okomito.

Zaglavlja/Podnožja (Zaglavlja i podnožja) - kreiranje i uređivanje zaglavlja i podnožja.

Repaganite sada (prenumerisanje stranica) - proizvodi raščlambu trenutnog dokumenta na stranice.

Matematika (matematika) - upravljanje procesom proračuna; U MathCAD-u postoje dva načina proračuna: automatski i ručni. U automatskom načinu rada, rezultati proračuna se potpuno ažuriraju kada dođe do bilo kakve promjene u formuli.

Automatsko izračunavanje - Omogućuje vam promjenu načina izračunavanja.

Izračunaj - U režimu ručnog izračunavanja, omogućava vam da ponovo izračunate vidljivi dio ekrana.

Optimizacija (Optimizacija) - Koristeći ovu naredbu, možete prisiliti MathCAD da izvrši simbolička izračunavanja prije numeričke procjene izraza i, kada pronađete kompaktniji oblik izraza, koristite ga. Ako je izraz optimiziran, onda se s desne strane pojavljuje mala crvena zvjezdica. Dvostrukim klikom na njega otvara se prozor sa optimiziranim rezultatom.

Opcije - omogućava vam da postavite opcije proračuna

Symbolik (Symbols) - izbor simboličkih operacija procesora;

Položaji ovog menija su detaljno razmotreni u predavanju 6, posvećenom simboličkim proračunima u sistemu MathCAD.

Window (Window) - upravljanje sistemskim prozorima;

Pomoć (?) – rad sa referentnom bazom podataka o sistemu;

Mathcad Help (Pomoć za MathCAD) - sadrži tri kartice: Sadržaj - Pomoć je organizirana prema temi; Indeks - predmetni indeks; Pretraga - pronalazi željeni koncept kada ga unesete u obrazac.

Resursni centar - Informacioni centar koji sadrži pregled MathCAD računarskih mogućnosti (Overview i Tutorials), brzu pomoć u vidu primera iz različitih oblasti matematike (Quicksheets i Reference table).

Savjet dana - Iskačući prozori sa korisnim savjetima (pojavljuju se kada se sistem pokrene).

Open Book - omogućava vam da otvorite referencu MathCAD sistema.

O Mathcadu (O programu Mathcad) - informacije o verziji programa, autorskim pravima i korisniku.

Svaka stavka glavnog menija može biti aktivirana. Da biste to učinili, samo pokažite na njega kursorom - strelicom miša i pritisnite njenu lijevu tipku. Također možete pritisnuti tipku F10 i koristiti desnu i lijevu tipku za navigaciju. Odabir se zatim fiksira pritiskom na tipku Enter. Ako je bilo koja pozicija glavnog menija aktivirana, prikazuje se padajući podmeni sa listom dostupnih i nedostupnih (ali mogućih u budućnosti) operacija. Kretanje kroz listu podmenija i odabir željene operacije vrši se na isti način kao što je opisano za glavni meni.

Standardna traka sa alatkama.

Treći red sistemskog prozora zauzima Toolbox. Sadrži nekoliko grupa kontrolnih dugmadi sa ikonama, od kojih svaka duplira jednu od najvažnijih operacija glavnog menija. Čim zaustavite kursor miša na bilo kojoj od ovih ikona, u žutom okviru će se pojaviti tekst koji objašnjava funkcije ikona. Razmotrite radnje dugmadi za brzu kontrolu sistema.

Dugmad za upravljanje datotekama.

Dokumenti MathCAD sistema su fajlovi, tj. imenovane skladišne ​​jedinice na magnetnim diskovima. Fajlovi se mogu kreirati, preuzimati (otvarati), snimati i štampati na štampaču. Moguće operacije sa datotekama prikazane su na traci sa alatkama pomoću prve grupe od tri dugmeta:

Novi radni list (Kreiraj) - kreiranje novog dokumenta sa brisanjem prozora za uređivanje;

Open Worksheet (Open) - učitavanje prethodno kreiranog dokumenta iz dijaloškog okvira;

Sačuvaj radni list - snimite trenutni dokument sa njegovim imenom.

Štampanje i kontrola dokumenata.

Print Worksheet (Print) - ispis dokumenta na štampaču;

Print Preview (Pregled) - pregled dokumenta;

Provjerite pravopis - provjerite pravopis dokumenta.

Dugmad za operacije uređivanja.

Tokom pripreme dokumenata potrebno ih je uređivati, tj. modificirati i dopuniti.

Nastavak
--PAGE_BREAK--

Cut (Cut) - prebacivanje odabranog dijela dokumenta u međuspremnik uz brisanje ovog dijela dokumenta;

Kopiraj (Kopiraj) - kopiranje odabranog dijela dokumenta u međuspremnik uz pohranjivanje odabranog dijela dokumenta;

Paste (Insert) - prebacivanje sadržaja međuspremnika u prozor za uređivanje na lokaciju označenu kursorom miša;

Poništi - otkazati prethodnu operaciju uređivanja;

Posljednje tri operacije se odnose na korištenje međuspremnika. Namijenjen je za privremeno skladištenje podataka i njihov prijenos iz jednog dijela dokumenta u drugi, ili za organiziranje razmjene podataka između različitih aplikacija.

Blokiraj dugmad za postavljanje.

Dokumenti se sastoje od različitih blokova: tekstualnih, formalnih, grafičkih itd. Blokove sistem pregleda, interpretira i izvršava. Gledanje je s desna na lijevo i odozdo prema gore.

/>- Align Across (Poravnaj horizontalno) - blokovi su poravnati horizontalno.

/>- Poravnaj prema dolje - blokovi su poravnati okomito, od vrha do dna.

Piktogrami ovih dugmadi prikazuju blokove i naznačene opcije za njihovo postavljanje.

Dugmad za rad sa ekspresijom

Blokovi formule su često izračunati izrazi ili izrazi koji su dio korisnički definiranih novih funkcija. Ikone se koriste za rad sa izrazima.

Sledeće grupe dugmadi su specifične za MathCAD sistem.

/>Insert Function - umetnite funkciju sa liste koja se pojavljuje u okviru za dijalog;

/>Insert Unit (Insert units) - umetnuti jedinice mjere;

Pristup novim funkcijama MathCAD-a.

Počevši od verzije MathCAD 7.0, pojavili su se novi tasteri koji omogućavaju pristup novim sistemskim funkcijama:

/>Čarobnjak za komponente - otvara prozor čarobnjaka, omogućavajući lak pristup svim komponentama sistema;

/>Ran Math Connex (Pokretanje Math Connex sistema) - pokreće sistem da bi podstakao blok uređaje.

Dugmad za kontrolu resursa.

/>Resource Center - daje pristup resursnom centru;

/>Pomoć (Pomoć) - daje pristup resursima baze podataka pomoći sistema.

Ploča za formatiranje.

Četvrti red na vrhu ekrana sadrži tipične kontrole fonta:

Stil - Prekidač za odabir stila;

Font - Prekidač za odabir skupa znakova;

Point Size - Prekidač za odabir veličine znakova;

Bold - Postavite podebljane znakove;

Italik - Postavite kurzivne znakove;

Underline - Postavite podvučene znakove;

Lijevo poravnanje - Postavljanje lijevog poravnanja;

Center Align - Postavite poravnanje na centar;

Desno poravnanje - Postavljanje desnog poravnanja.

Dok se skup elemenata dokumenta ne pokrene, neka od opisanih dugmadi i drugi objekti korisničkog interfejsa su u pasivnom stanju. Konkretno, nema oznaka u preklopnim kutijama trake formata. Ikone i prekidači postaju aktivni čim se ukaže potreba za njihovim korištenjem.

Na dnu ekrana, pored horizontalne trake za pomicanje, nalazi se još jedna linija - statusna traka. Prikazuje servisne informacije, kratke komentare, broj stranice, itd. Ove informacije su korisne za brzu procjenu stanja sistema tokom rada sa njim.

Postavljanje matematičkih alatnih traka.

Za unos matematičkih simbola u MathCAD koriste se pogodni pokretni paneli za slaganje sa znakovima. Služe za izlaz praznina - šablona matematičkih predznaka (brojeva, znakova aritmetičkih operacija, matrica, predznaka integrala, izvoda itd.). Za prikaz Math panela, izvršite naredbu View -> Toolbar -> Math. Paneli za kucanje se pojavljuju u prozoru za uređivanje dokumenta kada se aktiviraju odgovarajuće ikone - prvi red ikona za kontrolu sistema. Koristeći uobičajeni panel za slaganje, možete prikazati ili sve ploče odjednom ili samo one koje su potrebne za rad. Da biste uz njihovu pomoć postavili traženi predložak, dovoljno je postaviti kursor na željenu lokaciju prozora za uređivanje (crveni krst na displeju u boji), a zatim aktivirati ikonu željenog šablona tako što ćete postaviti kursor miša na njega i pritisnuti njegovo lijevo dugme.

Mnoge funkcije i operacije koje su umetnute u dokument pomoću matematičkih blokova za slaganje teksta mogu se postaviti u dokument pomoću prečica na tastaturi. Istovremeno, rad u sistemu MathCAD postaje produktivniji. Preporučujemo da zapamtite prečice na tastaturi za barem neke od najčešće korišćenih komandi.

Više detalja o radu sa dodatnim panelima omogućenim dugmadima Math panela biće opisano u odgovarajućim odjeljcima.

1. MathCAD radni prozor

· Panel Matematika(Sl. 1.4).

Rice. 1.4. Math panel

Klikom na dugme matematičke trake sa alatkama otvara se dodatna traka sa alatkama:

2. Elementi jezika MathCAD

Osnovni elementi matematičkih izraza MathCAD-a uključuju operatore, konstante, varijable, nizove i funkcije.

2.1 Operateri

Operateri -- elementi MathCAD-a pomoću kojih možete kreirati matematičke izraze. To, na primjer, uključuje simbole za aritmetičke operacije, znakove za izračunavanje zbira, proizvode, izvode, integrale itd.

Operater definiše:

a) radnja koju treba izvršiti u prisustvu određenih vrijednosti operanada;

b) koliko, gdje i koje operande treba unijeti u operator.

Operand -- broj ili izraz na koji operator djeluje. Na primjer, u izrazu 5!+3, brojevi 5! i 3 su operandi "+" (plus) operatora, a broj 5 je operand faktorijala (!).

Bilo koji operator u MathCAD-u se može unijeti na dva načina:

pritiskom na taster (kombinaciju tastera) na tastaturi;

koristeći tablu za matematiku.

Sljedeći izrazi se koriste za dodjelu ili prikaz sadržaja memorijske lokacije povezane s varijablom:

Znak zadatka (unosi se pritiskom na tipku : na tastaturi (dvotočka u engleskom rasporedu tastature) ili pritiskom na odgovarajuće dugme na panelu Kalkulator );

Ovaj zadatak se zove lokalni. Prije ove dodjele, varijabla nije definirana i ne može se koristiti.

Globalni operator dodjele. Ovaj zadatak se može izvršiti bilo gdje u dokumentu. Na primjer, ako se varijabli dodijeli vrijednost na ovaj način na samom kraju dokumenta, onda će ona imati istu vrijednost na početku dokumenta.

Operator približne jednakosti (x1). Koristi se u rješavanju sistema jednačina. Unosi se pritiskom na tipku ; na tastaturi (tačka i zarez u engleskom rasporedu tastature) ili pritiskom na odgovarajuće dugme Boolean panel.

Operator (jednostavno jednako) rezerviran za izlaz vrijednosti konstante ili varijable.

Najjednostavnije kalkulacije

Proces proračuna se izvodi pomoću:

Kalkulatorske ploče, računske ploče i ploče za procjenu.

Pažnja. Ako je potrebno podijeliti cijeli izraz u brojiocu, onda ga prvo treba odabrati pritiskom na razmaknicu na tastaturi ili stavljanjem u zagrade.

2.2 Konstante

Konstante -- imenovani objekti koji sadrže neku vrijednost koja se ne može promijeniti.

Na primjer, = 3,14.

Dimenzionalne konstante su uobičajene mjerne jedinice. Na primjer, metri, sekunde itd.

Da biste zapisali dimenzionalnu konstantu, morate uneti znak * (množiti) iza broja, odabrati stavku menija Insert podparagraf Jedinica. U mjerenjima su Vam najpoznatije kategorije: Dužina - dužina (m, km, cm); Masa -- težina (g, kg, t); Vrijeme -- vrijeme (min, sek, sat).

2.3 Varijable

Varijable su imenovani objekti koji imaju neku vrijednost koja se može promijeniti kako se program izvodi. Varijable mogu biti numeričke, nizove, karakterne, itd. Varijablama se dodjeljuju vrijednosti pomoću znaka za dodjelu (:=).

Pažnja. MathCAD tretira velika i mala slova kao različite identifikatore.

Sistemske varijable

AT MathCAD sadrži malu grupu posebnih objekata koji se ne mogu pripisati ni klasi konstanti ni klasi varijabli, čije se vrijednosti određuju odmah nakon pokretanja programa. Bolje ih je prebrojati sistemske varijable. Ovo, na primjer, TOL - greška numeričkih proračuna, ORIGIN - donja granica vrijednosti indeksa indeksa vektora, matrica itd. Ako je potrebno, možete postaviti druge vrijednosti za ove varijable.

rangirane varijable

Ove varijable imaju niz fiksnih vrijednosti, bilo cijelih ili varirajući u određenom koraku od početne vrijednosti do konačne.

Izraz se koristi za kreiranje rangirane varijable:

Ime=N početi ,(N početi +Korak).N kraj ,

gdje je Ime ime varijable;

N početak -- početna vrijednost;

Korak -- specificirani korak za promjenu varijable;

N kraj -- krajnja vrijednost.

Rangirane varijable se široko koriste u crtanju. Na primjer, da nacrtate graf neke funkcije f(x) prije svega, trebate kreirati niz vrijednosti varijabli x-- to mora biti promjenljiva varijabla da bi ovo funkcioniralo.

Pažnja. Ako ne navedete korak u rasponu varijabli, program će ga automatski uzeti jednakim 1.

Primjer . Varijabilna x varira u rasponu od -16 do +16 u koracima od 0,1

Da biste napisali promenljivu u rasponu, ukucali biste:

- ime varijable ( x);

- znak zadatka (:=)

- prva vrijednost opsega (-16);

- zarez;

- druga vrijednost opsega, koja je zbir prve vrijednosti i koraka (-16 + 0,1);

- trotočka ( . ) -- mijenjanje varijable u zadatim granicama (trotočka se upisuje pritiskom na tačku i zarez na engleskom rasporedu tastature);

— posljednja vrijednost opsega (16).

Kao rezultat, dobit ćete: x := -16,-16+0.1.16.

Izlazne tabele

Svaki izraz sa rangiranim varijablama nakon znaka jednakosti pokreće izlaznu tablicu.

Možete umetnuti numeričke vrijednosti u izlazne tablice i ispraviti ih.

Varijabla s indeksom

Varijabla s indeksom-- je varijabla kojoj je dodijeljen skup nepovezanih brojeva, od kojih svaki ima svoj broj (indeks).

Indeks se unosi pritiskom na lijevu uglatu zagradu na tastaturi ili korištenjem tipke x n na panelu Kalkulator.

Možete koristiti ili konstantu ili izraz kao indeks. Da biste inicijalizirali varijablu s indeksom, morate unijeti elemente niza, odvajajući ih zarezima.

Primjer. Unos varijabli indeksa.

Numeričke vrijednosti se unose u tabelu odvojene zarezima;

Izlaz vrijednosti prvog elementa vektora S;

Izlaz vrijednosti nultog elementa vektora S.

2.4 Nizovi

niz -- jedinstveno imenovana kolekcija konačnog broja numeričkih ili znakovnih elemenata, poredanih na neki način i koja ima specifične adrese.

U paketu MathCAD koriste se nizovi dva najčešća tipa:

jednodimenzionalni (vektori);

dvodimenzionalni (matrice).

Možete ispisati matrični ili vektorski predložak na jedan od sljedećih načina:

izaberite stavku menija Insert - Matrix;

pritisnite kombinaciju tastera ctrl + M;

pritisnite dugme za uključivanje panel i vektori i matrice.

Kao rezultat, pojavit će se dijaloški okvir u kojem se postavlja potreban broj redaka i stupaca:

Redovi-- broj redova

kolone-- broj kolona Ako matrici (vektoru) treba dati ime, tada se prvo upisuje naziv matrice (vektora), zatim operator dodjeljivanja, a zatim predložak matrice.

na primjer:

Matrix -- dvodimenzionalni niz pod nazivom M n , m , koji se sastoji od n redova i m kolona.

Na matricama možete izvoditi razne matematičke operacije.

2.5 Funkcije

Funkcija -- izraz prema kojem se neki proračuni izvode sa argumentima i određuje se njegova brojčana vrijednost. Primjeri funkcija: grijeh(x), tan(x) i sl.

Funkcije u MathCAD paketu mogu biti ugrađene ili korisnički definirane. Načini umetanja inline funkcije:

Odaberite stavku menija Insert — Funkcija.

Pritisnite kombinaciju tastera ctrl + E.

Kliknite na dugme na traci sa alatkama.

Otkucajte naziv funkcije na tastaturi.

Korisničke funkcije se obično koriste kada se isti izraz evaluira više puta. Za postavljanje korisničke funkcije:

Unesite naziv funkcije sa obaveznim naznakom argumenta u zagradama, na primjer, f (x);

Unesite operator dodjeljivanja (:=);

Unesite izračunati izraz.

Primjer. f (z) := sin(2 z 2)

3. Formatiranje brojeva

U MathCAD-u možete promijeniti izlazni format brojeva. Obično se proračuni izvode s tačnošću od 20 cifara, ali nisu prikazane sve značajne brojke. Za promjenu formata broja dvaput kliknite na željeni brojčani rezultat. Pojavit će se prozor za oblikovanje brojeva, otvoren na kartici broj Format (Format brojeva) sa sljedećim formatima:

o Generale (Glavno) -- je zadana postavka. Brojevi se prikazuju redom (na primjer, 1.2210 5). Broj znakova mantise određuje se na terenu Eksponencijalno Prag(Prag eksponencijalne notacije). Kada je prag prekoračen, broj se prikazuje redom. Broj cifara nakon decimalnog zareza se mijenja u polju broj of decimalni mjesta.

o Decimala (Decimalno) -- Decimalni prikaz brojeva s pokretnim zarezom (na primjer, 12,2316).

o Scientific (Naučno) -- Brojevi se prikazuju samo po redu.

o Inženjering (Inženjering) -- brojevi se prikazuju samo kao višekratnici od tri (na primjer, 1,2210 6).

Pažnja. Ako nakon podešavanja željenog formata u prozoru za oblikovanje brojeva, odaberite dugme uredu, format će biti postavljen samo za odabrani broj. A ako odaberete dugme Postavi kao zadano, format će se primijeniti na sve brojeve u ovom dokumentu.

Brojevi se automatski zaokružuju na nulu ako su manji od postavljenog praga. Prag se postavlja za cijeli dokument, a ne za određeni rezultat. Za promjenu praga zaokruživanja na nulu, odaberite stavku menija Formatiranje - rezultat i u tab tolerancije , na terenu Zero prag unesite traženu vrijednost praga.

4. Rad sa tekstom

Isječci teksta su dijelovi teksta koje bi korisnik želio vidjeti u svom dokumentu. To mogu biti objašnjenja, linkovi, komentari, itd. Oni se ubacuju pomoću stavke menija Insert — Regija teksta.

Možete formatirati tekst: promijeniti font, njegovu veličinu, stil, poravnanje, itd. Da biste to učinili, morate ga odabrati i odabrati odgovarajuće opcije na panelu fonta ili u meniju Formatiranje — Tekst.

5. Rad sa grafikom

Prilikom rješavanja mnogih problema u kojima se proučava funkcija, često postaje potrebno nacrtati njen graf, koji će jasno odražavati ponašanje funkcije u određenom intervalu.

U sistemu MathCAD moguće je graditi različite tipove grafova: u kartezijanskim i polarnim koordinatnim sistemima, trodimenzionalne grafove, površine obrtnih tela, poliedre, prostorne krive, grafove vektorskog polja. Pogledat ćemo kako napraviti neke od njih.

5.1 Iscrtavanje 2D dijagrama

Da biste napravili dvodimenzionalni graf funkcije, trebate:

postavite funkciju

Postavite kursor na mesto gde treba da se gradi grafik, na matematičkom panelu izaberite dugme Graf (grafikon) a na panelu koji se otvori dugme X-Y Plot (dvodimenzionalni grafikon);

U predložak dvodimenzionalnog grafa koji se pojavio, koji je prazan pravougaonik sa oznakama podataka, unesite naziv varijable u centralnu oznaku podataka duž ose apscise (X osa) i unesite naziv funkcije na mjesto centralna oznaka podataka duž ordinatne ose (Y osa) (slika 2.1);

Rice. 2.1. 2D Plot Template

kliknite izvan šablona grafikona -- graf funkcije će biti iscrtan.

Raspon argumenata se sastoji od 3 vrijednosti: početne, druge i konačne.

Neka je potrebno nacrtati graf funkcije na intervalu [-2,2] sa korakom od 0,2. Varijabilne vrijednosti t su specificirani kao raspon kako slijedi:

t:= —2, - 1.8 . 2 ,

gdje je: -2 -- početna vrijednost opsega;

1,8 (-2 + 0,2) -- vrijednost drugog raspona (početna vrijednost plus korak);

2 je krajnja vrijednost raspona.

Pažnja. Trotočka se unosi pritiskom na tačku i zarez na engleskom rasporedu tastature.

Primjer. Iscrtavanje funkcije y = x 2 na intervalu [-5,5] sa korakom od 0,5 (slika 2.2).

Rice. 2.2. Iscrtavanje funkcije y = x 2

Kada crtate grafikone, uzmite u obzir sljedeće:

° Ako raspon vrijednosti argumenata nije naveden, tada se po defaultu graf gradi u rasponu [-10,10].

° Ako je potrebno smjestiti nekoliko grafova u jedan predložak, tada su nazivi funkcija označeni zarezima.

° Ako dvije funkcije imaju različite argumente, na primjer f1(x) i f2(y), tada su nazivi funkcija naznačeni na osi ordinate (Y), odvojeni zarezima, a na osi apscise (X), imena obje varijable su također odvojena zarezima.

° Ekstremne oznake podataka na predlošku grafikona služe za označavanje graničnih vrijednosti apscisa i ordinata, odnosno određuju skalu grafikona. Ako ostavite ove oznake prazne, skala će se automatski postaviti. Automatska skala ne odražava uvijek grafikon u željenom obliku, tako da se granične vrijednosti apscise i ordinate moraju uređivati ​​ručno mijenjajući ih.

Bilješka. Ako nakon crtanja grafikon ne poprimi željeni oblik, možete:

Smanjite korak.

· promijeniti interval crtanja.

Smanjite granične vrijednosti apscisa i ordinata na grafikonu.

Primjer. Konstrukcija kružnice sa centrom u tački (2,3) i poluprečnikom R = 6.

Jednadžba kružnice sa središtem u tački s koordinatama ( x 0 ,y 0) i radijus R je napisano kao:

Izrazite iz ove jednadžbe y:

Dakle, za konstruiranje kruga potrebno je postaviti dvije funkcije: gornji i donji polukrug. Raspon argumenata se izračunava na sljedeći način:

- početna vrijednost opsega = x 0 — R;

- konačna vrijednost opsega = x 0 + R;

- bolje je uzeti korak jednak 0,1 (slika 2.3.).

Rice. 2.3. Konstrukcija kruga

Parametarski graf funkcije

Ponekad je zgodnije umjesto linijske jednadžbe koja povezuje pravokutne koordinate x i y, razmotrite takozvane parametarske jednadžbe linija, koje daju izraze za trenutne koordinate x i y kao funkcije neke varijable t(parametar): x(t) i y(t). Prilikom konstruisanja parametarskog grafa, nazivi funkcija jednog argumenta se navode na osi ordinate i apscise.

Primjer. Konstrukcija kružnice sa centrom u tački sa koordinatama (2,3) i poluprečnikom R= 6. Za konstrukciju se koristi parametarska jednadžba kružnice

x = x 0 + R cos( t) y = y 0 + R grijeh( t) (Sl. 2.4.).

Rice. 2.4. Konstrukcija kruga

Formatiranje grafikona

Da biste formatirali grafikon, dvaput kliknite na područje grafikona. Otvoriće se dijaloški okvir za oblikovanje grafikona. Kartice u prozoru za oblikovanje grafikona su navedene u nastavku:

§ X- Y sjekire-- formatiranje koordinatnih osa. Označavanjem odgovarajućih polja možete:

· Dnevnik Scale-- predstavljaju numeričke vrijednosti na osi u logaritamskoj skali (prema zadanim postavkama, numeričke vrijednosti su iscrtane u linearnoj skali)

· Grid linije-- nacrtati mrežu linija;

· numerisani-- Rasporedite brojeve duž koordinatnih ose;

· Auto Scale-- automatski odabir graničnih numeričkih vrijednosti na osama (ako je ovo polje poništeno, maksimalne izračunate vrijednosti će biti ograničene);

· show marker-- označavanje grafikona u obliku horizontalnih ili vertikalnih isprekidanih linija koje odgovaraju navedenoj vrijednosti na osi, a same vrijednosti se prikazuju na kraju linija (na svakoj osi se pojavljuju 2 ulazna mjesta u kojima možete unositi numeričke vrijednosti, ne unositi ništa, unositi jednobrojne ili slovne oznake konstanti);

· Auto Gosloboditi se-- automatski odabir broja linija mreže (ako je ovo polje poništeno, morate navesti broj linija u polju Broj mreža);

· prešao-- os apscise prolazi kroz nulu ordinate;

· U kutiji-- os x ide duž donje ivice grafikona.

§ Trace-- linijsko formatiranje funkcijskih grafova. Za svaki grafikon posebno možete promijeniti:

simbol (Simbol) na grafikonu za čvorne tačke (krug, krst, pravougaonik, romb);

tip linije (puna - puna, tačka - isprekidana linija, crtica - potezi, dadot - isprekidana linija);

boja linije (Color);

Vrsta (Ture) grafikona (Linije - linija, Points - tačke, Var ili Solidbar - trake, Step - korak grafikon, itd.);

debljina linije (težina).

§ Oznaka -- naslov u oblasti grafikona. Na terenu Naslov (Naslov) možete napisati tekst naslova, odabrati njegovu poziciju - na vrhu ili na dnu grafikona ( Iznad -- vrh, Ispod -- dolje ispod). Možete unijeti, ako je potrebno, nazive argumenta i funkcije ( Axis Labels ).

§ Zadano -- koristeći ovu karticu, možete se vratiti na zadani prikaz grafikona (Promijeni na zadani) ili koristiti promjene koje ste napravili na grafikonu prema zadanim postavkama za sve grafikone u ovom dokumentu (Koristi za zadane postavke).

5.2 Izgradnja polarnih parcela

Da biste napravili polarni graf funkcije, trebate:

· postaviti raspon vrijednosti argumenata;

postavite funkciju

· postavite kursor na mesto gde treba da se gradi grafik, na matematičkom panelu izaberite dugme Graf (grafikon) a u panelu koji se otvori dugme Polarni grafikon (polarni grafikon);

· u polja za unos šablona koji se pojavi, morate uneti ugaoni argument funkcije (ispod) i naziv funkcije (levo).

Primjer. Konstrukcija Bernoullijeve lemniskate: (Sl. 2.6.)

Rice. 2.6. Primjer izgradnje polarne parcele

5.3 Iscrtavanje površina (3D ili 3D crteži)

Prilikom konstruisanja trodimenzionalnih grafova koristi se panel graf(Grafikon) matematički panel. Možete napraviti trodimenzionalni graf pomoću čarobnjaka koji se poziva iz glavnog menija; možete izgraditi graf kreiranjem matrice vrijednosti funkcije dvije varijable; možete koristiti ubrzanu metodu izgradnje; možete pozvati specijalne funkcije CreateMech i CreateSpase, dizajnirane da kreiraju niz vrijednosti funkcija i dijagrama. Razmotrit ćemo ubrzanu metodu za konstruiranje trodimenzionalnog grafa.

Quick Graphing

Da biste brzo napravili trodimenzionalni graf funkcije, trebate:

postavite funkciju

postavite kursor na mesto gde treba da se izgradi graf, izaberite dugme na matematičkom panelu graf(Grafikon) i na otvorenom panelu dugme ( površinski graf);

· na jedino mjesto predloška unesite naziv funkcije (bez specificiranja varijabli);

· kliknite izvan šablona grafikona -- graf funkcije će biti izgrađen.

Primjer. Iscrtavanje funkcije z(x,y) = x 2 + y 2 - 30 (sl. 2.7).

Rice. 2.7. Primjer brze površine

Izgrađeni grafikon se može kontrolisati:

° rotacija grafikona se vrši nakon što se pokazivač miša pređe preko njega sa pritisnutim levim tasterom miša;

° skaliranje grafikona se vrši nakon prelaska pokazivača miša preko njega istovremenim pritiskom lijeve tipke miša i tipke Ctrl (ako pomjerate miš, grafikon se povećava ili smanjuje);

° animacija grafikona se izvodi na isti način, ali uz dodatno pritisnutu tipku Shift. Potrebno je samo da počnete rotirati graf mišem, tada će se animacija automatski izvesti. Da biste zaustavili rotaciju, kliknite lijevu tipku miša unutar područja grafikona.

Moguće je izgraditi nekoliko površina odjednom u jednom crtežu. Da biste to učinili, morate postaviti obje funkcije i navesti nazive funkcija na predlošku grafikona odvojene zarezima.

Prilikom brzog crtanja, zadane vrijednosti za oba argumenta su između -5 i +5, a broj linija konture je 20. Da biste promijenili ove vrijednosti, morate:

· dvaput kliknite na grafikon;

· izaberite karticu Quick Plot Data u prozoru koji se otvori;

· unesite nove vrijednosti u područje prozora Range1 -- za prvi argument i Range2 -- za drugi argument (početna -- početna vrijednost, kraj -- konačna vrijednost);

· u polju # Grids, promijenite broj linija mreže koje pokrivaju površinu;

· Kliknite na dugme OK.

Primjer. Iscrtavanje funkcije z(x,y) = -sin ( x 2 + y 2) (Sl. 2.9).

Prilikom konstruiranja ovog grafa, bolje je odabrati granice promjene vrijednosti oba argumenta od -2 do +2.

Rice. 2.9. Primjer crtanja grafa funkcije z(x,y) = -sin ( x 2 + y 2)

forematiranje 3D grafova

Da biste formatirali grafikon, dvaput kliknite na područje iscrtavanja - pojavit će se prozor za oblikovanje s nekoliko kartica: Izgled, Generale, sjekire, osvetljenje, Naslov, Pozadinske ploče, Poseban, Napredno, Brzo Parcela Podaci.

Svrha kartice Brzo Parcela Podaci je diskutovano gore (23, "https://site").

Tab Izgled omogućava vam da promijenite izgled grafikona. Polje Fill Opcije omogućava vam da promijenite parametre popunjavanja, polje linija Opcija-- parametri linije, tačka Opcije-- tačkasti parametri.

U kartici Generale ( generalno) u grupi pogled možete odabrati uglove rotacije prikazane površine oko sve tri ose; u grupi displej as Možete promijeniti vrstu grafikona.

U kartici osvetljenje(osvetljenje) možete kontrolisati osvetljenje tako što ćete označiti polje omogućiti osvetljenje(uključite svjetla) i prekidač On(uključite). Sa liste se bira jedna od 6 mogućih shema rasvjete osvetljenje shema(šema rasvjete).

6. Načini rješavanja jednačina u MathCAD

U ovom dijelu ćemo naučiti kako se najjednostavnije jednadžbe oblika F ( x) = 0. Analitički riješiti jednačinu znači pronaći sve njezine korijene, odnosno takve brojeve, kada ih zamenimo u originalnu jednačinu, dobijamo tačnu jednakost. Grafički riješiti jednačinu znači pronaći točke presjeka grafa funkcije sa x-osom.

6. 1 Rješavanje jednadžbi s funkcijom root(f(x), x)

Za rješenja jednadžbe s jednom nepoznanicom oblika F ( x) = 0 postoji posebna funkcija

root(f(x), x) ,

gdje f(x) je izraz jednak nuli;

X-- argument.

Ova funkcija vraća, sa datom preciznošću, vrijednost varijable za koju je izraz f(x) je jednako 0.

Pažnjae. Ako je desna strana jednadžbe 0, onda je potrebno dovesti je u normalni oblik (sve prenijeti na lijevu stranu).

Prije korištenja funkcije root mora se dati argumentu X početna aproksimacija. Ako postoji nekoliko korijena, onda da biste pronašli svaki korijen, morate navesti svoju početnu aproksimaciju.

Pažnja. Prije rješavanja poželjno je iscrtati graf funkcije kako bi se provjerilo ima li korijena (da li graf siječe os Ox), i ako da, koliko. Početna aproksimacija se može odabrati prema grafu bliže točki presjeka.

Primjer. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije root prikazano na slici 3.1. Prije nego što pređemo na rješenje u MathCAD sistemu, u jednačini ćemo sve prenijeti na lijevu stranu. Jednačina će imati oblik: .

Rice. 3.1. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije korijena

6. 2 Rješavanje jednadžbi s funkcijom Poliroots (v).

Da biste istovremeno pronašli sve korijene polinoma, koristite funkciju polyroots(v), gdje je v vektor koeficijenata polinoma, počevši od slobodnog člana . Nulti koeficijenti se ne mogu izostaviti. Za razliku od funkcije root funkcija Polyroots ne zahtijeva početnu aproksimaciju.

Primjer. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije polyroots prikazano na slici 3.2.

Rice. 3.2. Rješavanje jednadžbe korištenjem funkcije polikorijena

6.3 Rješavanje jednadžbi s funkcijom Find (x).

Funkcija Find radi u sprezi s ključnom riječi Given. Dizajn Dato — naći

Ako je data jednadžba f(x) = 0, onda se pomoću bloka može riješiti na sljedeći način Dato - naći:

— postavite početnu aproksimaciju

— unesite službenu riječ

- napišite jednačinu koristeći znak podebljano jednako

- napisati funkciju pronalaženja s nepoznatom varijablom kao parametrom

Kao rezultat, nakon znaka jednakosti, bit će prikazan pronađeni korijen.

Ako postoji nekoliko korijena, oni se mogu pronaći promjenom početne aproksimacije x0 na onu koja je bliska željenom korijenu.

Primjer. Rješenje jednadžbe korištenjem funkcije pronalaženja prikazano je na slici 3.3.

Rice. 3.3. Rješavanje jednadžbe s funkcijom pronalaženja

Ponekad je potrebno označiti neke tačke na grafu (na primjer, točke presjeka funkcije sa Ox osom). Za ovo vam je potrebno:

Navedite x vrijednost date tačke (duž ose Ox) i vrijednost funkcije u ovoj tački (duž ose Oy);

dvaput kliknite na grafikon i u prozoru za oblikovanje na kartici tragovi za odgovarajuću liniju odaberite tip grafikona - tačke, debljinu linije - 2 ili 3.

Primjer. Grafikon prikazuje točku presjeka funkcije sa x-osom. Koordinate X ova tačka je pronađena u prethodnom primjeru: X= 2,742 (koren jednačine ) (Sl. 3.4).

Rice. 3.4. Grafikon funkcije sa označenom točkom preseka U prozoru za oblikovanje grafa, na kartici tragovi za trag2 promijenjeno: tip grafikona - tačke, debljina linije - 3, boja - crna.

7. Rješavanje sistema jednačina

7.1 Rješavanje sistema linearnih jednačina

Sistem linearnih jednačina se može riješiti m matrična metoda (ili kroz inverznu matricu ili koristeći funkciju lsolve(A, B)) i korištenjem dvije funkcije naći i karakteristike Minerr.

Matrična metoda

Primjer. Dat je sistem jednačina:

Rješenje ovog sistema jednačina matričnom metodom prikazano je na slici 4.1.

Rice. 4.1. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Upotreba funkcije lsolve(A, B)

Lriješiti(A, B) je ugrađena funkcija koja vraća vektor X za sistem linearnih jednadžbi date matricu koeficijenata, A, i vektor slobodnih termina, B .

Primjer. Dat je sistem jednačina:

Način rješavanja ovog sistema pomoću funkcije lsolve (A, B) prikazan je na slici 4.2.

Rice. 4.2. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi pomoću funkcije lsolve

Rješavanje sistema linearnih jednačina preko funkcijei naći

Ovom metodom jednačine se unose bez upotrebe matrica, odnosno u "prirodnom obliku". Prvo je potrebno naznačiti početne aproksimacije nepoznatih varijabli. To može biti bilo koji broj u okviru definicije. Često ih pogrešno smatraju kolonom slobodnih članova.

Kako bi se riješio sistem linearnih jednačina pomoću računske jedinice Dato - naći, potrebno:

2) unesite službenu riječ Dato;

podebljano jednako();

4) napisati funkciju naći,

Primjer. Dat je sistem jednačina:

Rješenje ovog sistema pomoću računarske jedinice Dato - naći prikazano na slici 4.3.

Rice. 4.3. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi pomoću funkcije Find

Približno strrješenje sistema linearnih jednačina

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi pomoću funkcije Minerr slično rješenju pomoću funkcije naći(koristeći isti algoritam), samo funkciju naći daje tačno rješenje, i Minerr-- približno. Ako se, kao rezultat pretrage, ne može dobiti daljnje preciziranje trenutne aproksimacije rješenja, Rudarr vraća ovu aproksimaciju. Funkcija naći u ovom slučaju vraća poruku o grešci.

Možete odabrati drugu početnu aproksimaciju.

· Možete povećati ili smanjiti tačnost proračuna. Da biste to uradili, izaberite iz menija Math > Opcije(Matematika - Opcije), tab izgrađen- U Varijable(Ugrađene varijable). U kartici koja se otvori potrebno je smanjiti dozvoljenu grešku u proračunu (Tolerancija konvergencije (TOL)). Zadani TOL = 0,001.

ATpažnju. Kod metode matričnog rješenja potrebno je preurediti koeficijente prema porastu nepoznanica X 1, X 2, X 3, X 4.

7.2 Rješavanje sistema nelinearnih jednačina

Sistemi nelinearnih jednačina u MathCAD-u se rješavaju pomoću računarske jedinice Dato - naći.

Dizajn Dato - naći koristi računsku tehniku ​​zasnovanu na pronalaženju korijena blizu početne aproksimacijske točke koju je odredio korisnik.

Za rješavanje sistema jednadžbi pomoću bloka Dato - naći potrebno:

1) postaviti početne aproksimacije za sve varijable;

2) unesite službenu riječ Dato;

3) zapišite sistem jednačina koristeći znak podebljano jednako();

4) napisati funkciju naći, navođenjem nepoznatih varijabli kao parametara funkcije.

Kao rezultat proračuna, biće prikazan vektor rješenja sistema.

Ako sistem ima nekoliko rješenja, algoritam treba ponoviti s drugim početnim nagađanjima.

Bilješka. Ako se rješava sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate, prije njegovog rješavanja poželjno je nacrtati grafove funkcija kako bi se provjerilo da li sistem ima korijene (da li se grafovi datih funkcija seku), i ako da, koliko. Početna aproksimacija se može odabrati prema grafu bliže točki presjeka.

Primjer. Dat sistem jednačina

Prije rješavanja sistema konstruišemo grafove funkcija: parabole (prva jednačina) i prava linija (druga jednačina). Konstrukcija grafika prave i parabole u jednom koordinatnom sistemu prikazana je na slici 4.5:

Rice. 4.5. Iscrtavanje dvije funkcije u istom koordinatnom sistemu Prava i parabola se seku u dvije tačke, što znači da sistem ima dva rješenja. Prema grafu biramo početne aproksimacije nepoznatih x i y za svako rešenje. Pronalaženje korijena sistema jednačina prikazano je na slici 4.6.

Rice. 4.6. Pronalaženje korijena sistema nelinearnih jednačina X ) i duž ose Oy (vrijednosti at ) odvojeno zarezima. U prozoru za oblikovanje grafikona, na kartici tragovi za trag3 i trag4 promena: tip grafikona - tačke, debljina linije - 3, boja - crna (Sl. 4.7).

Rice. 4.7. Funkcionalne grafike sa označenim tačkama preseka

8 . Primjeri upotrebe ključnih karakteristika MathCAD da riješi neke matematičke probleme

Ovaj odjeljak daje primjere rješavanja problema koji zahtijevaju rješavanje jednačine ili sistema jednačina.

8. 1 Pronalaženje lokalnih ekstrema funkcija

Neophodan uslov za ekstrem (maksimum i/ili minimum) neprekidne funkcije je formulisan na sledeći način: ekstremi se mogu dogoditi samo u onim tačkama gde je izvod ili jednak nuli ili ne postoji (posebno, postaje beskonačan) . Da biste pronašli ekstreme neprekidne funkcije, prvo pronađite tačke koje zadovoljavaju nužni uslov, odnosno pronađite sve realne korijene jednadžbe.

Ako se napravi graf funkcije, odmah možete vidjeti - maksimum ili minimum je dostignut u datoj tački X. Ako grafa nema, onda se svaki od pronađenih korijena ispituje na jedan od načina.

1st sa dodatak . With izjednačiti e znakovi derivata . Predznak derivacije se određuje u blizini tačke (u tačkama koje su odvojene od ekstremuma funkcije na različitim stranama na malim udaljenostima). Ako se predznak derivacije promijeni iz "+" u "-", tada funkcija u ovom trenutku ima maksimum. Ako se znak promijeni iz "-" u "+", tada funkcija u ovom trenutku ima minimum. Ako se predznak derivacije ne promijeni, onda nema ekstrema.

2nd s dodatak . AT kalkulacije e sekunda derivat . U ovom slučaju, drugi izvod se izračunava u tački ekstrema. Ako je manji od nule, tada funkcija ima maksimum, ako je veći od nule, onda minimum.

Primjer. Pronalaženje ekstrema (minimuma/maksimuma) funkcije.

Prvo, napravimo graf funkcije (slika 6.1).

Rice. 6.1. Iscrtavanje funkcije

Odredimo iz grafa početne aproksimacije vrijednosti X koji odgovaraju lokalnim ekstremima funkcije f(x). Nađimo ove ekstreme rješavanjem jednačine. Za rješenje koristimo blok Dato - Pronađi (slika 6.2.).

Rice. 6.2. Pronalaženje lokalnih ekstrema

Hajde da definišemo vrstu ekstrema pervnačin, ispitujući promjenu predznaka derivacije u blizini pronađenih vrijednosti (slika 6.3).

Rice. 6.3. Određivanje vrste ekstremuma

Iz tabele vrednosti izvoda i iz grafikona se vidi da je predznak derivacije u blizini tačke x 1 se mijenja iz plusa u minus, tako da funkcija dostiže svoj maksimum u ovom trenutku. I to u blizini tačke x 2, predznak derivacije se promijenio iz minusa u plus, tako da u ovom trenutku funkcija dostiže minimum.

Hajde da definišemo vrstu ekstrema sekundanačin, računajući predznak drugog izvoda (slika 6.4).

Rice. 6.4. Određivanje tipa ekstremuma pomoću drugog izvoda

To se vidi na tački x 1 drugi izvod je manji od nule, dakle tačka X 1 odgovara maksimumu funkcije. I u točki x 2 drugi izvod je veći od nule, dakle tačka X 2 odgovara minimumu funkcije.

8.2 Određivanje površina figura ograničenih kontinuiranim linijama

Područje krivolinijskog trapeza ograničenog grafom funkcije f(x) , segment na osi Ox i dvije vertikale X = a i X = b, a < b, određuje se formulom: .

Primjer. Pronalaženje površine figure ograničene linijama f(x) = 1 — x 2 i y = 0.

Rice. 6.5. Pronalaženje površine figure ograničene linijama f(x) = 1 — x 2 i y = 0

Područje figure zatvoreno između grafova funkcija f1(x) i f2(x) i direktno X = a i X = b, izračunava se po formuli:

Pažnja. Da bi se izbjegle greške pri izračunavanju površine, razlika funkcija se mora uzeti po modulu. Stoga će područje uvijek biti pozitivno.

Primjer. Pronalaženje površine figure ograničene linijama i. Rješenje je prikazano na slici 6.6.

1. Gradimo graf funkcija.

2. Nalazimo točke presjeka funkcija pomoću funkcije korijena. Početne aproksimacije ćemo odrediti iz grafa.

3. Pronađene vrijednosti x su zamijenjene u formuli kao granice integracije.

8. 3 Konstrukcija krivulja po datim tačkama

Konstrukcija prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Sastaviti jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke A ( x 0,y 0) i B ( x 1,y 1), predlaže se sljedeći algoritam:

gdje a i b su koeficijenti prave koje trebamo pronaći.

2. Ovaj sistem je linearan. Ima dvije nepoznate varijable: a i b

Primjer. Konstrukcija prave koja prolazi kroz tačke A (-2, -4) i B (5.7).

Zamjenjujemo direktne koordinate ovih tačaka u jednačinu i dobijamo sistem:

Rješenje ovog sistema u MathCAD-u prikazano je na slici 6.7.

Rice. 6.7 Sistemsko rješenje

Kao rezultat rješavanja sistema dobijamo: a = 1.57, b= -0,857. Dakle, jednačina prave linije će izgledati ovako: y = 1.57x- 0,857. Konstruirajmo ovu pravu liniju (slika 6.8).

Rice. 6.8. Izgradnja prave linije

Konstrukcija parabole, prolazeći kroz tri date tačke

Konstruisati parabolu koja prolazi kroz tri tačke A ( x 0,y 0), B ( x 1,y 1) i C ( x 2,y 2), algoritam je sljedeći:

1. Parabola je data jednačinom

y = sjekira 2 + bX + sa, gdje

a, b i sa su koeficijenti parabole koje trebamo pronaći.

Zamjenjujemo date koordinate tačaka u ovu jednačinu i dobijamo sistem:

2. Ovaj sistem je linearan. Ima tri nepoznate varijable: a, b i sa. Sistem se može riješiti na matrični način.

3. Dobijene koeficijente zamjenjujemo u jednačinu i gradimo parabolu.

Primjer. Konstrukcija parabole koja prolazi kroz tačke A (-1,-4), B (1,-2) i C (3,16).

Zamjenjujemo date koordinate tačaka u jednačinu parabole i dobijamo sistem:

Rješenje ovog sistema jednačina u MathCAD-u prikazano je na slici 6.9.

Rice. 6.9. Rješavanje sistema jednačina

Kao rezultat dobijaju se koeficijenti: a = 2, b = 1, c= -5. Dobijamo jednačinu parabole: 2 x 2 +x -5 = y. Napravimo ovu parabolu (slika 6.10).

Rice. 6.10. Konstrukcija parabole

Konstrukcija kružnice koja prolazi kroz tri date tačke

Konstruisati kružnicu koja prolazi kroz tri tačke A ( x 1,y 1), B ( x 2,y 2) i C ( x 3,y 3), možete koristiti sljedeći algoritam:

1. Krug je dat jednačinom

gdje su x0, y0 koordinate centra kruga;

R je polumjer kružnice.

2. Zamijenite date koordinate tačaka u jednadžbu kruga i dobijete sistem:

Ovaj sistem je nelinearan. Ima tri nepoznate varijable: x 0, y 0 i R. Sistem je riješen pomoću računske jedinice Dato - naći.

Primjer. Konstrukcija kružnice koja prolazi kroz tri tačke A (-2,0), B (6,0) i C (2,4).

Zamjenjujemo date koordinate tačaka u jednadžbu kruga i dobijamo sistem:

Rješenje sistema u MathCAD-u prikazano je na slici 6.11.

Rice. 6.11. Sistemsko rješenje

Kao rezultat rješavanja sistema dobijeno je sljedeće: x 0 = 2, y 0 = 0, R = 4. Dobijene koordinate centra kružnice i polumjera zamijeniti u jednačinu kružnice. Dobijamo:. Ekspresno odavde y i konstruisati krug (slika 6.12).

MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE

Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja

"KAZANSKI DRŽAVNI ENERGETSKI UNIVERZITET"

L.R. BELYAEVA, R.S. ZARIPOVA, R.A. ISHMURATOV

OSNOVE RADA U MATHCAD-u

Metodička uputstva za praktične vježbe

Kazan 2012

UDK 621.37 LBC 32.811.3

Recenzenti:

Doktor fizičkih i matematičkih nauka, profesor Kazanskog državnog energetskog univerziteta E.A. Popov;

Kandidat tehničkih nauka, vanredni profesor Kazanskog nacionalnog istraživačkog tehnološkog univerziteta M.Yu. Vasiliev

		Belyaeva L.R.
		Osnove rada u MathCAD-u. Metodička uputstva za praktične vježbe
		/ L.R. Belyaeva, R.S. Zaripova, R.A. Ishmuratov - Kazan: Kazan. stanje energije un-t, 2012.
		Prvi dio priručnika pruža osnovne informacije o
		Mathcad 13 i kako raditi s njegovim tekstom, formulom i grafikom
		urednici. Unos raznih vrsta podataka, osnove numeričkih i
		simbolički proračuni, crtanje matematičkih funkcija, trikovi
		integracija i diferencijacija pomoću MathCAD-a.
		Drugi dio daje primjer praktične upotrebe softvera
		MathCAD paket pri rješavanju projektnog zadatka po stopi „Transformacija
		mernih signala". Potrebne teorijske informacije za
		rješenje računskog zadatka, primjer proračuna i pojedinačni zadaci za
		studenti.
		Metodički priručnik sadrži i kontrolna pitanja na
		proučeno gradivo i samostalne zadatke za učvršćivanje osnova rada u
		Radionica je namijenjena studentima specijalnosti „Informacije i
		mjerna oprema i tehnologije" smjer 200100 - Instrumentacija, i
		kao i studenti drugih specijalnosti i oblasti KSUE, koji studiraju
		discipline "Informatika" i "Informacione tehnologije".

© Kazanski državni energetski univerzitet, 2012

Uvod

MathCAD je kompjuterski matematički sistem koji vam omogućava da izvršite različite naučne i inženjerske proračune, u rasponu od elementarne aritmetike do složenih implementacija numeričkih metoda. Korisnici MathCAD-a su studenti, naučnici, inženjeri, tehničari.

MathCAD je, za razliku od većine drugih modernih matematičkih aplikacija, izgrađen po principu

WYSIWYG („Ono što vidite to i dobijete“). Stoga je vrlo jednostavan za korištenje, posebno zato što nema potrebe prvo napisati program koji implementira određene matematičke proračune, a zatim ga pokrenuti za izvršenje. Umjesto toga, jednostavno unesite matematičke izraze pomoću ugrađenog uređivača formula i odmah dobijete rezultat.

MathCAD 13 uključuje nekoliko komponenti koje su međusobno integrisane, čija kombinacija stvara pogodno računarsko okruženje za razne matematičke proračune i, istovremeno, dokumentovanje rezultata rada:

− moćan uređivač teksta koji vam omogućava da unosite, uređujete

i formatirati i tekstualne i matematičke izraze;

− računarski procesor sposoban da izvodi proračune prema unesenim formulama koristeći ugrađene numeričke metode;

− simbolički procesor, koji je sistem veštačke inteligencije;

− ogromno spremište referentnih informacija, kako matematičkih tako i inženjerskih, dizajnirano kao biblioteka interaktivnih e-knjiga.

Za efikasan rad sa MathCAD editorom dovoljno je imati osnovne korisničke vještine. U skladu sa stvarnim životnim problemima, inženjeri moraju riješiti jedan ili više od sljedećih zadataka:

− unošenje različitih matematičkih izraza na računar (za dalje proračune ili kreiranje dokumenata, prezentacija, Web stranice ili e-knjige);

− izvođenje matematičkih proračuna;

− izrada grafikona sa rezultatima proračuna;

− unos početnih podataka i izlaz rezultata u tekstualne datoteke ili datoteke sa bazama podataka u drugim formatima;

− Izrada izvještaja o radu u obliku štampanih dokumenata;

− priprema web stranica i objavljivanje rezultata na internetu;

− dobijanje različitih referentnih informacija iz oblasti matematike.

MathCAD 13 se uspješno nosi sa svim ovim zadacima:

− matematički izrazi i tekst se unose pomoću MathCAD uređivača formula, koji po mogućnostima i jednostavnosti upotrebe nije inferioran, na primjer, uređivaču formula ugrađenom u

− matematički proračuni se vrše odmah, u skladu sa unesenim formulama;

− grafikoni različitih tipova izbora korisnika sa bogatim opcijama formatiranja se ubacuju direktno u dokumente;

− moguć je unos i izlaz podataka u datoteke različitih formata;

− dokumenti se mogu štampati direktno u MathCAD-u u obliku koji korisnik vidi na ekranu računara ili sačuvati

in RTF format za naknadno uređivanje u tekst editorima;

− moguće je u potpunosti sačuvati MathCAD dokumente u formatu RTF dokumenti, kao i web stranice u HTML i XML formatima;

− postoji mogućnost kombinovanja dokumenata koje je izradio korisnik u elektronske knjige;

− simbolički proračuni omogućavaju vam da izvršite analitičke transformacije, kao i da odmah dobijete različite referentne matematičke informacije.

Pravi dragulj MathCAD-a, koji je bio dostupan već u prvim verzijama, bila je podrška za diskretne varijable, koja je omogućavala istovremeno izračunavanje funkcija za niz vrijednosti argumenata, što je omogućilo pravljenje tabela i grafikona bez upotrebe programskih operatora. Alati za crtanje površine dovedeni su gotovo do savršenstva, omogućavajući vam da kreirate umjetnička djela od grafova. Složeni inženjerski i tehnološki proračuni u MathCAD okruženju su mnogo jednostavniji, jasniji i nekoliko puta brži nego u drugim programima.

Dio 1. TEORIJSKE INFORMACIJE

Poglavlje 1. MATHCAD INTERFEJS

Interfejs MathCAD-a je sličan onom drugih Windows aplikacija. Nakon pokretanja, na ekranu se pojavljuje radni prozor MathCAD-a sa glavnim menijem i tri alatne trake: Standard (Standard), Formatiranje (Formatiranje) i Matematika (matematika).

Traka menija nalazi se na samom vrhu MathCAD prozora. Sadrži devet naslova, klik na svaki od njih otvara se

to izgled odgovarajućeg menija sa listom komandi:

- Fajl (File) - komande koje se odnose na kreiranje, otvaranje, čuvanje, slanje e-mailom i štampanje na štampaču fajlova sa dokumentima;

− Uredi (Uređivanje) – naredbe vezane za uređivanje teksta (kopiranje, lijepljenje, brisanje fragmenata, itd.);

- View (View) - komande koje kontrolišu izgled dokumenta u prozoru MathCAD editora, kao i komande koje kreiraju fajlove animacije;

− Insert (Insert) - komande za umetanje različitih objekata u dokumente;

− Format (Format) - naredbe za formatiranje teksta, formula, grafikona;

− Alati (Servis) – komande za upravljanje računskim procesom i dodatne mogućnosti;

− Simbolika (Symbols) – naredbe simboličkih proračuna;

− Prozor (Window) – komande za upravljanje rasporedom prozora sa različitim dokumentima na ekranu;

− Help (Help) – naredbe za pozivanje kontekstualno osjetljivih informacija pomoći, informacija o verziji programa, kao i pristup resursima i elektronskim knjigama.

Da biste izabrali komandu, potrebno je da kliknete na meni koji je sadrži i ponovo na odgovarajuću stavku menija. Neke komande nisu u samim menijima, već u podmenijima, kao što je prikazano na sl. 1.1. Da biste izvršili takvu naredbu, na primjer, naredbu za pozivanje Simboličke alatne trake na ekranu, potrebno je da zadržite pokazivač miša iznad stavke Toolbars u padajućem izborniku View i odaberete Symbolic iz podmenija koji se pojavi.

Rice. 1.1. Rad sa menijem

Pored glavnog menija, iskačući meniji obavljaju slične funkcije (slika 1.2). Pojavljuju se kada desnom tipkom miša kliknete negdje u dokumentu. Istovremeno, sastav ovih menija zavisi od mesta njihovog poziva, pa se nazivaju i kontekstnim menijima. MathCAD sam „pogađa“, u zavisnosti od konteksta, koje operacije mogu biti potrebne u ovom trenutku i postavlja odgovarajuće komande u meni. Stoga je korištenje kontekstnog menija lakše od gornjeg.

Rice. 1.2. Kontekstni meni

1.2. Trake sa alatkama

Alatne trake se koriste za brzo (jedan klik) izvršavanje najčešće korištenih naredbi. Sve radnje koje se mogu izvesti pomoću alatnih traka također su dostupne putem

Top Menu. Na sl. 1.3 prikazuje MathCAD prozor sa pet glavnih traka sa alatkama koje se nalaze direktno ispod trake menija. Dugmad na panelima grupirana su prema sličnoj radnji naredbi:

- Standardni (Standard) - služi za obavljanje većine operacija, kao što su radnje sa fajlovima, urednička uređivanja, umetanje objekata, pristup sistemima pomoći;

− Formatiranje (Formatting) - služi za formatiranje (promjena vrste i veličine fonta, poravnanje i sl.) teksta i formula;

− Matematika (Matematika) - koristi se za umetanje matematičkih simbola

i operateri u dokumentima;

- Resursi (Resources) - služi za pozivanje resursa MathCAD-a;

− Kontrole (Controls) - služi za umetanje kontrola standardnog korisničkog interfejsa u dokumente;

− Debug - koristi se za upravljanje otklanjanjem grešaka u MathCAD programima.

Rice. 1.3. Osnovne alatne trake

Grupe dugmadi na alatnim trakama su po značenju razgraničene okomitim linijama - separatorima. Kada zadržite pokazivač miša preko bilo kojeg od dugmadi, pored dugmeta se pojavljuje opis alata (slika 1.4). Uz opis alata, detaljnije objašnjenje predstojeće operacije može se naći u statusnoj traci.

Rice. 1.4. Korišćenje traka sa alatkama za matematiku i kalkulator

Panel Matematika (Matematika) namijenjen je za pozivanje na ekranu još devet panela (sl. 1.5) pomoću kojih se vrši umetanje matematičkih operacija u dokumente. Da biste prikazali bilo koji od njih, potrebno je da kliknete na odgovarajuće dugme na Math panelu (slika 1.4).

Rice. 1.5. Math toolbars

Navodimo svrhu matematičkih panela:

- Kalkulator (Kalkulator) - koristi se za ubacivanje osnovnih matematičkih operacija, dobio je ime zbog sličnosti skupa dugmadi sa dugmadima tipičnog kalkulatora;

− Graf (Graf) - za umetanje grafova;

− Matrix (Matrix) - za ubacivanje matrica i matričnih operatora;

− Evaluacija - za umetanje kontrolnih iskaza evaluacije;

− Račun (matematička analiza) – za ubacivanje operatora integracije, diferencijacije, sumiranja, itd.;

− Boolean (Boolean operatori) - za umetanje logičkih (boolean) operatora;

− Programiranje (Programiranje) - za programiranje pomoću MathCAD-a;

− Grčki (grčki znakovi) - za umetanje grčkih znakova;

− Symbolic - za umetanje simboličkih operatora. Važno je napomenuti da kada pređete mišem preko mnogih od

dugmadi matematičkih panela, pojavljuje se tooltip, koji sadrži i kombinaciju "vrućih tastera", pritiskom na koje će se izvršiti ekvivalentna radnja.

1.3. Status bar

AT na dnu MathCAD prozora, ispod horizontalne trake za pomicanje, nalazi se statusna traka. Prikazuje osnovne informacije o načinu uređivanja (slika 1.6), razgraničene separatorima (s lijeva na desno):

− kontekstualno osjetljiv nagovještaj o predstojećoj akciji;

− način izračunavanja: automatski (AUTO) ili ručno podešen (Calc F9);

− trenutni način rasporeda CAP tastature; − trenutni način rasporeda tastature NUM; − broj stranice na kojoj se nalazi kursor.

Rice. 1.6. Status bar

Poglavlje 2. OSNOVE RADA U MATHCAD-u

2.1. Navigacija dokumenata

Pogodno je pregledati dokument gore-dolje i desno-lijevo pomoću vertikalnih i horizontalnih traka za pomicanje, pomicanjem njihovih klizača (u ovom slučaju je osigurano glatko kretanje duž dokumenta) ili klikom na jednu od dvije strane klizača (u ovom slučaju, kretanje kroz dokument će biti skokovito). Također možete koristiti tipke za okretanje stranice za pomicanje kursora po dokumentu. I U svim ovim slučajevima pozicija kursora se ne mijenja, već se pregledava sadržaj dokumenta. Osim toga, ako je dokument velik, zgodno je pregledati njegov sadržaj pomoću izbornika

Uredi | Idi na stranicu (Uredi | Idi na stranicu). Kada odaberete ovu stavku, otvorit će se dijalog koji vam omogućava da odete na stranicu sa navedenim brojem.

Da biste se kretali gore i dolje i desno i lijevo kroz dokument, pomjerajući kursor, trebate pritisnuti odgovarajuće tipke sa strelicama. Ulazeći u područje regija s formulama i tekstom, kursor se pretvara u dvije ulazne linije - okomitu i horizontalnu plavu. Kako se kursor pomera dalje unutar regiona, linije unosa se pomeraju za jedan znak u odgovarajućem smeru. Kada napustite region, kursor ponovo postaje kursor za unos u obliku crvenog krsta. Kursor možete pomjeriti i klikom na odgovarajuću lokaciju. Ako kliknete na prazan prostor, tada će se u njemu pojaviti kursor za unos, a ako je unutar regije, onda će se upisati linije.

2.2. Unošenje i uređivanje formula

MathCAD editor formula vam omogućava da brzo i efikasno unosite i modifikujete matematičke izraze.

Nabrojimo još jednom elemente interfejsa MathCAD editora:

− pokazivač miša - igra uobičajenu ulogu za Windows aplikacije, prateći pokrete miša;

− kursor mora biti u jednoj od tri vrste:

– kursor za unos je crveni krst koji označava prazno mesto u dokumentu gde možete da unesete tekst ili formulu;

– linije za unos - horizontalne i vertikalne plave linije koje ističu određeni dio u tekstu ili formuli;

– linija za unos teksta - vertikalna linija, analogna linijama za unos teksta za tekstualne oblasti;

− rezervirana mjesta - pojavljuju se unutar nepotpunih formula na mjestima koja treba popuniti simbolom ili operatorom:

− čuvar mjesta karaktera je crni pravougaonik;

− čuvar mjesta operatera je crna pravokutna kutija. Možete unijeti matematički izraz u bilo koji prazan prostor

MathCAD dokument. Da biste to učinili, potrebno je da postavite kursor za unos na željeno mjesto u dokumentu klikom na njega mišem i unesete formulu pritiskom na tipke. Ovo stvara matematičku oblast u dokumentu, koja je dizajnirana za skladištenje formula koje tumači MathCAD procesor. Pokažimo slijed radnji na primjeru unosa izraza x 5 + x (slika 2.1):

1. Kliknite mišem da označite ulaznu tačku.

1. MathCAD radni prozor

· Panel Matematika(Sl. 1.4).

Rice. 1.4. Math panel

Klikom na dugme matematičke trake sa alatkama otvara se dodatna traka sa alatkama:

2. Elementi jezika MathCAD

Osnovni elementi matematičkih izraza MathCAD-a uključuju operatore, konstante, varijable, nizove i funkcije.

2.1 Operateri

Operateri -- elementi MathCAD-a pomoću kojih možete kreirati matematičke izraze. To, na primjer, uključuje simbole za aritmetičke operacije, znakove za izračunavanje zbira, proizvode, izvode, integrale itd.

Operater definiše:

a) radnja koju treba izvršiti u prisustvu određenih vrijednosti operanada;

b) koliko, gdje i koje operande treba unijeti u operator.

Operand -- broj ili izraz na koji operator djeluje. Na primjer, u izrazu 5!+3, brojevi 5! i 3 su operandi "+" (plus) operatora, a broj 5 je operand faktorijala (!).

Bilo koji operator u MathCAD-u se može unijeti na dva načina:

pritiskom na taster (kombinaciju tastera) na tastaturi;

koristeći tablu za matematiku.

Sljedeći izrazi se koriste za dodjelu ili prikaz sadržaja memorijske lokacije povezane s varijablom:

Znak zadatka (unosi se pritiskom na tipku : na tastaturi (dvotočka u engleskom rasporedu tastature) ili pritiskom na odgovarajuće dugme na panelu Kalkulator );

Ovaj zadatak se zove lokalni. Prije ove dodjele, varijabla nije definirana i ne može se koristiti.

Globalni operator dodjele. Ovaj zadatak se može izvršiti bilo gdje u dokumentu. Na primjer, ako se varijabli dodijeli vrijednost na ovaj način na samom kraju dokumenta, onda će ona imati istu vrijednost na početku dokumenta.

Operator približne jednakosti (x1). Koristi se u rješavanju sistema jednačina. Unosi se pritiskom na tipku ; na tastaturi (tačka i zarez u engleskom rasporedu tastature) ili pritiskom na odgovarajuće dugme Boolean panel.

Operator (jednostavno jednako) rezerviran za izlaz vrijednosti konstante ili varijable.

Najjednostavnije kalkulacije

Proces proračuna se izvodi pomoću:

Kalkulatorske ploče, računske ploče i ploče za procjenu.

Pažnja. Ako je potrebno podijeliti cijeli izraz u brojiocu, onda ga prvo treba odabrati pritiskom na razmaknicu na tastaturi ili stavljanjem u zagrade.

2.2 Konstante

Konstante -- imenovani objekti koji sadrže neku vrijednost koja se ne može promijeniti.

Na primjer, = 3,14.

Dimenzionalne konstante su uobičajene mjerne jedinice. Na primjer, metri, sekunde itd.

Da biste zapisali dimenzionalnu konstantu, morate uneti znak * (množiti) iza broja, odabrati stavku menija Insert podparagraf Jedinica. U mjerenjima su Vam najpoznatije kategorije: Dužina - dužina (m, km, cm); Masa -- težina (g, kg, t); Vrijeme -- vrijeme (min, sek, sat).

2.3 Varijable

Varijable su imenovani objekti koji imaju neku vrijednost koja se može promijeniti kako se program izvodi. Varijable mogu biti numeričke, nizove, karakterne itd. Varijablama se dodjeljuju vrijednosti pomoću znaka za dodjelu (:=).

Pažnja. MathCAD tretira velika i mala slova kao različite identifikatore.

Sistemske varijable

AT MathCAD sadrži malu grupu posebnih objekata koji se ne mogu pripisati ni klasi konstanti ni klasi varijabli, čije se vrijednosti određuju odmah nakon pokretanja programa. Bolje ih je prebrojati sistemske varijable. Ovo, na primjer, TOL - greška numeričkih proračuna, ORIGIN - donja granica vrijednosti indeksa indeksa vektora, matrica itd. Ako je potrebno, možete postaviti druge vrijednosti za ove varijable.

rangirane varijable

Ove varijable imaju niz fiksnih vrijednosti, bilo cijelih ili varirajući u određenom koraku od početne vrijednosti do konačne.

Izraz se koristi za kreiranje rangirane varijable:

Ime=N početi ,(N početi +Korak)..N kraj ,

gdje je Ime ime varijable;

N početak -- početna vrijednost;

Korak -- specificirani korak za promjenu varijable;

N kraj -- krajnja vrijednost.

Rangirane varijable se široko koriste u crtanju. Na primjer, da nacrtate graf neke funkcije f(x) prije svega, trebate kreirati niz vrijednosti varijabli x-- to mora biti promjenljiva varijabla da bi ovo funkcioniralo.

Pažnja. Ako ne navedete korak u rasponu varijabli, program će ga automatski uzeti jednakim 1.

Primjer . Varijabilna x varira u rasponu od -16 do +16 u koracima od 0,1

Da biste napisali promenljivu u rasponu, ukucali biste:

Ime varijable ( x);

Znak zadatka (:=)

Prva vrijednost raspona (-16);

zarez;

Druga vrijednost opsega, koja je zbir prve vrijednosti i koraka (-16+0,1);

elipsa ( .. ) -- mijenjanje varijable u zadatim granicama (trotočka se upisuje pritiskom na tačku i zarez na engleskom rasporedu tastature);

Zadnja vrijednost raspona (16).

Kao rezultat, dobit ćete: x := -16,-16+0.1..16.

Izlazne tabele

Svaki izraz sa rangiranim varijablama nakon znaka jednakosti pokreće izlaznu tablicu.

Možete umetnuti numeričke vrijednosti u izlazne tablice i ispraviti ih.

Varijabla s indeksom

Varijabla s indeksom-- je varijabla kojoj je dodijeljen skup nepovezanih brojeva, od kojih svaki ima svoj broj (indeks).

Indeks se unosi pritiskom na lijevu uglatu zagradu na tastaturi ili korištenjem tipke x n na panelu Kalkulator.

Možete koristiti ili konstantu ili izraz kao indeks. Da biste inicijalizirali varijablu s indeksom, morate unijeti elemente niza, odvajajući ih zarezima.

Primjer. Unos varijabli indeksa.

Numeričke vrijednosti se unose u tabelu odvojene zarezima;

Izlaz vrijednosti prvog elementa vektora S;

Izlaz vrijednosti nultog elementa vektora S.

2.4 Nizovi

niz -- jedinstveno imenovana kolekcija konačnog broja numeričkih ili znakovnih elemenata, poredanih na neki način i koja ima specifične adrese.

U paketu MathCAD koriste se nizovi dva najčešća tipa:

jednodimenzionalni (vektori);

dvodimenzionalni (matrice).

Možete ispisati matrični ili vektorski predložak na jedan od sljedećih načina:

izaberite stavku menija Insert - Matrix;

pritisnite kombinaciju tastera ctrl + M;

pritisnite dugme za uključivanje panel i vektori i matrice.

Kao rezultat, pojavit će se dijaloški okvir u kojem se postavlja potreban broj redaka i stupaca:

Redovi-- broj redova

kolone-- broj kolona

Ako matrici (vektoru) treba dati ime, tada se prvo upisuje naziv matrice (vektora), zatim operator dodjeljivanja, a zatim predložak matrice.

na primjer:

Matrix -- dvodimenzionalni niz pod nazivom M n , m , koji se sastoji od n redova i m kolona.

Na matricama možete izvoditi razne matematičke operacije.

2.5 Funkcije

Funkcija -- izraz prema kojem se neki proračuni izvode sa argumentima i određuje se njegova brojčana vrijednost. Primjeri funkcija: grijeh(x), tan(x) i sl.

Funkcije u MathCAD paketu mogu biti ugrađene ili korisnički definirane. Načini umetanja inline funkcije:

Odaberite stavku menija Insert - Funkcija.

Pritisnite kombinaciju tastera ctrl + E.

Kliknite na dugme na traci sa alatkama.

Otkucajte naziv funkcije na tastaturi.

Korisničke funkcije se obično koriste kada se isti izraz evaluira više puta. Za postavljanje korisničke funkcije:

· unesite naziv funkcije sa obaveznim naznakom argumenta u zagradama, na primjer, f(x);

Unesite operator dodjeljivanja (:=);

Unesite izračunati izraz.

Primjer. f (z) := sin(2 z 2)

3. Formatiranje brojeva

U MathCAD-u možete promijeniti izlazni format brojeva. Obično se proračuni izvode s tačnošću od 20 cifara, ali nisu prikazane sve značajne brojke. Za promjenu formata broja dvaput kliknite na željeni brojčani rezultat. Pojavit će se prozor za oblikovanje brojeva, otvoren na kartici broj Format (Format brojeva) sa sljedećim formatima:

o Generale (Glavno) -- je zadana postavka. Brojevi se prikazuju redom (na primjer, 1.2210 5). Broj znakova mantise određuje se na terenu Eksponencijalno Prag(Prag eksponencijalne notacije). Kada je prag prekoračen, broj se prikazuje redom. Broj cifara nakon decimalnog zareza se mijenja u polju broj of decimalni mjesta.

o Decimala (Decimalno) -- Decimalni prikaz brojeva s pokretnim zarezom (na primjer, 12,2316).

o Scientific (Naučno) -- Brojevi se prikazuju samo po redu.

o Inženjering (Inženjering) -- brojevi se prikazuju samo kao višekratnici od tri (na primjer, 1,2210 6).

Pažnja. Ako nakon podešavanja željenog formata u prozoru za oblikovanje brojeva, odaberite dugme uredu, format će biti postavljen samo za odabrani broj. A ako odaberete dugme Postavi kao zadano, format će se primijeniti na sve brojeve u ovom dokumentu.

Brojevi se automatski zaokružuju na nulu ako su manji od postavljenog praga. Prag se postavlja za cijeli dokument, a ne za određeni rezultat. Da biste promijenili prag zaokruživanja na nulu, odaberite stavku menija Formatiranje - rezultat i u tab tolerancije , na terenu Zero prag unesite traženu vrijednost praga.

4. Rad sa tekstom

Isječci teksta su dijelovi teksta koje bi korisnik želio vidjeti u svom dokumentu. To mogu biti objašnjenja, linkovi, komentari itd. Oni se ubacuju pomoću stavke menija Insert - Regija teksta.

Možete formatirati tekst: promijeniti font, njegovu veličinu, stil, poravnanje itd. Da biste to učinili, odaberite ga i odaberite odgovarajuće opcije na ploči s fontovima ili u izborniku Formatiranje - Tekst.

5. Rad sa grafikom

Prilikom rješavanja mnogih problema u kojima se proučava funkcija, često postaje potrebno nacrtati njen graf, koji će jasno odražavati ponašanje funkcije u određenom intervalu.

U sistemu MathCAD moguće je graditi različite tipove grafova: u kartezijanskim i polarnim koordinatnim sistemima, trodimenzionalne grafove, površine obrtnih tela, poliedre, prostorne krive, grafove vektorskog polja. Pogledat ćemo kako napraviti neke od njih.

5.1 Iscrtavanje 2D dijagrama

Da biste napravili dvodimenzionalni graf funkcije, trebate:

postavite funkciju

Postavite kursor na mesto gde treba da se gradi grafik, na matematičkom panelu izaberite dugme Graf (grafikon) a na panelu koji se otvori dugme X-Y Plot (dvodimenzionalni grafikon);

U predložak dvodimenzionalnog grafa koji se pojavio, koji je prazan pravougaonik sa oznakama podataka, unesite naziv varijable u centralnu oznaku podataka duž ose apscise (X osa) i unesite naziv funkcije na mjesto centralna oznaka podataka duž ordinatne ose (Y osa) (slika 2.1);

Rice. 2.1. 2D Plot Template

kliknite izvan šablona grafikona -- graf funkcije će biti iscrtan.

Raspon argumenata se sastoji od 3 vrijednosti: početne, druge i konačne.

Neka je potrebno nacrtati graf funkcije na intervalu [-2,2] sa korakom od 0,2. Varijabilne vrijednosti t su specificirani kao raspon kako slijedi:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

gdje je: -2 -- početna vrijednost opsega;

1,8 (-2 + 0,2) -- vrijednost drugog raspona (početna vrijednost plus korak);

2 je krajnja vrijednost raspona.

Pažnja. Trotočka se unosi pritiskom na tačku i zarez na engleskom rasporedu tastature.

Primjer. Iscrtavanje funkcije y = x 2 na intervalu [-5,5] sa korakom od 0,5 (slika 2.2).

Rice. 2.2. Iscrtavanje funkcije y = x 2

Kada crtate grafikone, uzmite u obzir sljedeće:

° Ako raspon vrijednosti argumenata nije naveden, tada se po defaultu graf gradi u rasponu [-10,10].

° Ako je potrebno smjestiti nekoliko grafova u jedan predložak, tada su nazivi funkcija označeni zarezima.

° Ako dvije funkcije imaju različite argumente, na primjer f1(x) i f2(y), tada su nazivi funkcija naznačeni na osi ordinate (Y), odvojeni zarezima, a na osi apscise (X), imena obje varijable su također odvojena zarezima.

° Završne oznake podataka na predlošku grafikona služe za označavanje graničnih vrijednosti apscise i ordinate, tj. oni postavljaju skalu grafikona. Ako ostavite ove oznake prazne, skala će se automatski postaviti. Automatska skala ne odražava uvijek grafikon u željenom obliku, tako da se granične vrijednosti apscise i ordinate moraju uređivati ​​ručno mijenjajući ih.

Bilješka. Ako nakon crtanja grafikon ne poprimi željeni oblik, možete:

Smanjite korak.

· promijeniti interval crtanja.

Smanjite granične vrijednosti apscisa i ordinata na grafikonu.

Primjer. Konstrukcija kružnice sa centrom u tački (2,3) i poluprečnikom R = 6.

Jednadžba kružnice sa središtem u tački s koordinatama ( x 0 ,y 0) i radijus R je napisano kao:

Izrazite iz ove jednadžbe y:

Dakle, za konstruiranje kruga potrebno je postaviti dvije funkcije: gornji i donji polukrug. Raspon argumenata se izračunava na sljedeći način:

Početna vrijednost raspona = x 0 - R;

Krajnja vrijednost raspona = x 0 + R;

Bolje je uzeti korak jednak 0,1 (slika 2.3.).

Rice. 2.3. Konstrukcija kruga

Parametarski graf funkcije

Ponekad je zgodnije umjesto linijske jednadžbe koja povezuje pravokutne koordinate x i y, razmotrite takozvane parametarske jednadžbe linija, koje daju izraze za trenutne koordinate x i y kao funkcije neke varijable t(parametar): x(t) i y(t). Prilikom konstruisanja parametarskog grafa, nazivi funkcija jednog argumenta se navode na osi ordinate i apscise.

Primjer. Konstrukcija kružnice sa centrom u tački sa koordinatama (2,3) i poluprečnikom R= 6. Za konstrukciju se koristi parametarska jednadžba kružnice

x = x 0 + R cos( t) y = y 0 + R grijeh( t) (Sl. 2.4.).

Sl.2.4. Konstrukcija kruga

Formatiranje grafikona

Da biste formatirali grafikon, dvaput kliknite na područje grafikona. Otvoriće se dijaloški okvir za oblikovanje grafikona. Kartice u prozoru za oblikovanje grafikona su navedene u nastavku:

§ X- Y sjekire-- formatiranje koordinatnih osa. Označavanjem odgovarajućih polja možete:

· Dnevnik Scale-- predstavljaju numeričke vrijednosti na osi u logaritamskoj skali (prema zadanim postavkama, numeričke vrijednosti su iscrtane u linearnoj skali)

· Grid linije-- nacrtati mrežu linija;

· numerisani-- Rasporedite brojeve duž koordinatnih ose;

· Auto Scale-- automatski odabir graničnih numeričkih vrijednosti na osama (ako je ovo polje poništeno, maksimalne izračunate vrijednosti će biti ograničene);

· show marker-- označavanje grafikona u obliku horizontalnih ili vertikalnih isprekidanih linija koje odgovaraju navedenoj vrijednosti na osi, a same vrijednosti se prikazuju na kraju linija (na svakoj osi se pojavljuju 2 ulazna mjesta u kojima možete unositi numeričke vrijednosti, ne unositi ništa, unositi jednobrojne ili slovne oznake konstanti);

· Auto Gosloboditi se-- automatski odabir broja linija mreže (ako je ovo polje poništeno, morate navesti broj linija u polju Broj mreža);

· prešao-- os apscise prolazi kroz nulu ordinate;

· U kutiji-- os x ide duž donje ivice grafikona.

§ Trace-- linijsko formatiranje funkcijskih grafova. Za svaki grafikon posebno možete promijeniti:

simbol (Simbol) na grafikonu za čvorne tačke (krug, krst, pravougaonik, romb);

tip linije (puna - puna, tačka - isprekidana linija, crtica - potezi, dadot - isprekidana linija);

boja linije (Color);

Vrsta (Ture) grafikona (Linije - linija, Points - tačke, Var ili Solidbar - trake, Step - korak grafikon, itd.);

debljina linije (težina).

§ Oznaka -- naslov u oblasti grafikona. Na terenu Naslov (Naslov) možete napisati tekst naslova, odabrati njegovu poziciju - na vrhu ili na dnu grafikona ( Iznad -- vrh, Ispod -- dolje ispod). Možete unijeti, ako je potrebno, nazive argumenta i funkcije ( Axis Labels ).

§ Zadano -- koristeći ovu karticu, možete se vratiti na zadani prikaz grafikona (Promijeni na zadani) ili koristiti promjene koje ste napravili na grafikonu prema zadanim postavkama za sve grafikone u ovom dokumentu (Koristi za zadane postavke).

5.2 Izgradnja polarnih parcela

Da biste napravili polarni graf funkcije, trebate:

· postaviti raspon vrijednosti argumenata;

postavite funkciju

· postavite kursor na mesto gde treba da se gradi grafik, na matematičkom panelu izaberite dugme Graf (grafikon) a u panelu koji se otvori dugme Polarni grafikon (polarni grafikon);

· u polja za unos šablona koji se pojavi, morate uneti ugaoni argument funkcije (ispod) i naziv funkcije (levo).

Primjer. Konstrukcija Bernoullijeve lemniskate: (Sl. 2.6.)

Sl.2.6. Primjer izgradnje polarne parcele

5.3 Iscrtavanje površina (3D ili 3D crteži)

Prilikom konstruisanja trodimenzionalnih grafova koristi se panel graf(Grafikon) matematički panel. Možete napraviti trodimenzionalni graf pomoću čarobnjaka koji se poziva iz glavnog menija; možete izgraditi graf kreiranjem matrice vrijednosti funkcije dvije varijable; možete koristiti ubrzanu metodu izgradnje; možete pozvati specijalne funkcije CreateMech i CreateSpase, dizajnirane da kreiraju niz vrijednosti funkcija i dijagrama. Razmotrit ćemo ubrzanu metodu za konstruiranje trodimenzionalnog grafa.

Quick Graphing

Da biste brzo napravili trodimenzionalni graf funkcije, trebate:

postavite funkciju

postavite kursor na mesto gde treba da se izgradi graf, izaberite dugme na matematičkom panelu graf(Grafikon) i na otvorenom panelu dugme ( površinski graf);

· na jedino mjesto predloška unesite naziv funkcije (bez specificiranja varijabli);

· kliknite izvan šablona grafikona -- graf funkcije će biti izgrađen.

Primjer. Iscrtavanje funkcije z(x,y) = x 2 + y 2 - 30 (sl. 2.7).

Rice. 2.7. Primjer brze površine

Izgrađeni grafikon se može kontrolisati:

° rotacija grafikona se vrši nakon što se pokazivač miša pređe preko njega sa pritisnutim levim tasterom miša;

° skaliranje grafikona se vrši nakon prelaska pokazivača miša preko njega istovremenim pritiskom lijeve tipke miša i tipke Ctrl (ako pomjerate miš, grafikon se povećava ili smanjuje);

° animacija grafikona se izvodi na isti način, ali uz dodatno pritisnutu tipku Shift. Potrebno je samo da počnete rotirati graf mišem, tada će se animacija automatski izvesti. Da biste zaustavili rotaciju, kliknite lijevu tipku miša unutar područja grafikona.

Moguće je izgraditi nekoliko površina odjednom u jednom crtežu. Da biste to učinili, morate postaviti obje funkcije i navesti nazive funkcija na predlošku grafikona odvojene zarezima.

Prilikom brzog crtanja, zadane vrijednosti za oba argumenta su između -5 i +5, a broj linija konture je 20. Da biste promijenili ove vrijednosti, morate:

· dvaput kliknite na grafikon;

· izaberite karticu Quick Plot Data u prozoru koji se otvori;

· unesite nove vrijednosti u područje prozora Range1 -- za prvi argument i Range2 -- za drugi argument (početna -- početna vrijednost, kraj -- konačna vrijednost);

· u polju # Grids, promijenite broj linija mreže koje pokrivaju površinu;

· Kliknite na dugme OK.

Primjer. Iscrtavanje funkcije z(x,y) = -sin( x 2 + y 2) (Sl. 2.9).

Prilikom konstruiranja ovog grafa, bolje je odabrati granice promjene vrijednosti oba argumenta od -2 do +2.

Rice. 2.9. Primjer crtanja grafa funkcije z(x,y) = -sin( x 2 + y 2)

forematiranje 3D grafova

Da biste formatirali grafikon, dvaput kliknite na područje iscrtavanja - pojavit će se prozor za oblikovanje s nekoliko kartica: Izgled, Generale, sjekire, osvetljenje, Naslov, Pozadinske ploče, Poseban, Napredno, Brzo Parcela Podaci.

Svrha kartice Brzo Parcela Podaci je gore diskutovano.

Tab Izgled omogućava vam da promijenite izgled grafikona. Polje Fill Opcije omogućava vam da promijenite parametre popunjavanja, polje linija Opcija-- parametri linije, tačka Opcije-- tačkasti parametri.

U kartici Generale ( generalno) u grupi pogled možete odabrati uglove rotacije prikazane površine oko sve tri ose; u grupi displej as Možete promijeniti vrstu grafikona.

U kartici osvetljenje(osvetljenje) možete kontrolisati osvetljenje tako što ćete označiti polje omogućiti osvetljenje(uključite svjetla) i prekidač On(uključite). Sa liste se bira jedna od 6 mogućih shema rasvjete osvetljenje shema(šema rasvjete).

6. Načini rješavanja jednačina u MathCAD

U ovom odeljku ćemo naučiti kako najjednostavnije jednadžbe oblika F( x) = 0. Analitički riješiti jednačinu znači pronaći sve njene korijene, tj. takve brojeve, kada ih zamenimo u originalnu jednačinu, dobijamo tačnu jednakost. Grafički riješiti jednačinu znači pronaći točke presjeka grafa funkcije sa x-osom.

6. 1 Rješavanje jednadžbi pomoću funkcije root(f(x),x)

Za rješenja jednadžbe sa jednom nepoznanicom oblika F( x) = 0 postoji posebna funkcija

root(f(x), x) ,

gdje f(x) je izraz jednak nuli;

X-- argument.

Ova funkcija vraća, sa datom preciznošću, vrijednost varijable za koju je izraz f(x) je jednako 0.

Pažnjae. Ako je desna strana jednadžbe 0, onda je potrebno dovesti je u normalni oblik (sve prenijeti na lijevu stranu).

Prije korištenja funkcije root mora se dati argumentu X početna aproksimacija. Ako postoji nekoliko korijena, onda da biste pronašli svaki korijen, morate navesti svoju početnu aproksimaciju.

Pažnja. Prije rješavanja poželjno je iscrtati graf funkcije kako bi se provjerilo ima li korijena (da li graf siječe os Ox), i ako da, koliko. Početna aproksimacija se može odabrati prema grafu bliže točki presjeka.

Primjer. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije root prikazano na slici 3.1. Prije nego što pređemo na rješenje u MathCAD sistemu, u jednačini ćemo sve prenijeti na lijevu stranu. Jednačina će imati oblik: .

Rice. 3.1. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije korijena

6. 2 Rješavanje jednadžbi s funkcijom Polyroots(v).

Da biste istovremeno pronašli sve korijene polinoma, koristite funkciju polyroots(v), gdje je v vektor koeficijenata polinoma, počevši od slobodnog člana . Nulti koeficijenti se ne mogu izostaviti. Za razliku od funkcije root funkcija Polyroots ne zahtijeva početnu aproksimaciju.

Primjer. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije polyroots prikazano na slici 3.2.

Rice. 3.2. Rješavanje jednadžbe korištenjem funkcije polikorijena

6.3 Rješavanje jednadžbi pomoću Find(x)

Funkcija Find radi u sprezi s ključnom riječi Given. Dizajn Dato - naći koristi računsku tehniku ​​zasnovanu na pronalaženju korijena blizu početne aproksimacijske točke koju je odredio korisnik.

Ako je data jednadžba f(x) = 0, onda se pomoću bloka može riješiti na sljedeći način Dato - naći:

Postavite početnu aproksimaciju

Unesite službenu riječ

Napišite jednačinu koristeći znak podebljano jednako

Napišite funkciju pronalaženja s nepoznatom varijablom kao parametrom

Kao rezultat, nakon znaka jednakosti, bit će prikazan pronađeni korijen.

Ako postoji nekoliko korijena, oni se mogu pronaći promjenom početne aproksimacije x0 na onu koja je bliska željenom korijenu.

Primjer. Rješenje jednadžbe korištenjem funkcije pronalaženja prikazano je na slici 3.3.

Rice. 3.3. Rješavanje jednadžbe s funkcijom pronalaženja

Ponekad je potrebno označiti neke tačke na grafu (na primjer, točke presjeka funkcije sa Ox osom). Za ovo vam je potrebno:

Navedite x vrijednost date tačke (duž ose Ox) i vrijednost funkcije u ovoj tački (duž ose Oy);

dvaput kliknite na grafikon i u prozoru za oblikovanje na kartici tragovi za odgovarajuću liniju odaberite tip grafikona - tačke, debljinu linije - 2 ili 3.

Primjer. Grafikon prikazuje točku presjeka funkcije sa x-osom. Koordinate X ova tačka je pronađena u prethodnom primjeru: X= 2,742 (koren jednačine ) (Sl. 3.4).

Rice. 3.4. Grafikon funkcije s označenom presječnom točkom

U prozoru za oblikovanje grafikona, na kartici tragovi za trag2 promijenjeno: tip grafikona - tačke, debljina linije - 3, boja - crna.

7. Rješavanje sistema jednačina

7.1 Rješavanje sistema linearnih jednačina

Sistem linearnih jednačina se može riješiti m matrična metoda (ili kroz inverznu matricu ili koristeći funkciju lsolve(A,B)) i korištenjem dvije funkcije naći i karakteristike Minerr.

Matrična metoda

Primjer. Dat je sistem jednačina:

Rješenje ovog sistema jednačina matričnom metodom prikazano je na slici 4.1.

Rice. 4.1. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Upotreba funkcije lsolve(A, B)

Lriješiti(A,B) je ugrađena funkcija koja vraća vektor X za sistem linearnih jednadžbi date matricu koeficijenata A i vektor slobodnih termina B .

Primjer. Dat je sistem jednačina:

Način rješavanja ovog sistema pomoću funkcije lsolve(A,B) prikazan je na slici 4.2.

Rice. 4.2. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi pomoću funkcije lsolve

Rješavanje sistema linearnih jednačina preko funkcijei naći

Ovom metodom jednačine se unose bez upotrebe matrica, tj. u "prirodnom obliku". Prvo je potrebno naznačiti početne aproksimacije nepoznatih varijabli. To može biti bilo koji broj u okviru definicije. Često ih pogrešno smatraju kolonom slobodnih članova.

Kako bi se riješio sistem linearnih jednačina pomoću računske jedinice Dato - naći, potrebno:

2) unesite službenu riječ Dato;

podebljano jednako();

4) napisati funkciju naći,

Primjer. Dat je sistem jednačina:

Rješenje ovog sistema pomoću računarske jedinice Dato - naći prikazano na slici 4.3.

Rice. 4.3. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi pomoću funkcije Find

Približno strrješenje sistema linearnih jednačina

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi pomoću funkcije Minerr slično rješenju pomoću funkcije naći(koristeći isti algoritam), samo funkciju naći daje tačno rješenje, i Minerr-- približno. Ako se, kao rezultat pretrage, ne može dobiti daljnje preciziranje trenutne aproksimacije rješenja, Rudarr vraća ovu aproksimaciju. Funkcija naći u ovom slučaju vraća poruku o grešci.

Možete odabrati drugu početnu aproksimaciju.

· Možete povećati ili smanjiti tačnost proračuna. Da biste to uradili, izaberite iz menija Math > Opcije(Matematika - Opcije), tab izgrađen- U Varijable(Ugrađene varijable). U kartici koja se otvori potrebno je smanjiti dozvoljenu grešku u proračunu (Tolerancija konvergencije (TOL)). Zadani TOL = 0,001.

ATpažnju. Kod metode matričnog rješenja potrebno je preurediti koeficijente prema porastu nepoznanica X 1, X 2, X 3, X 4.

7.2 Rješavanje sistema nelinearnih jednačina

Sistemi nelinearnih jednačina u MathCAD-u se rješavaju pomoću računarske jedinice Dato - naći.

Dizajn Dato - naći koristi računsku tehniku ​​zasnovanu na pronalaženju korijena blizu početne aproksimacijske točke koju je odredio korisnik.

Za rješavanje sistema jednadžbi pomoću bloka Dato - naći potrebno:

1) postaviti početne aproksimacije za sve varijable;

2) unesite službenu riječ Dato;

3) zapišite sistem jednačina koristeći znak podebljano jednako();

4) napisati funkciju naći, navođenjem nepoznatih varijabli kao parametara funkcije.

Kao rezultat proračuna, biće prikazan vektor rješenja sistema.

Ako sistem ima nekoliko rješenja, algoritam treba ponoviti s drugim početnim nagađanjima.

Bilješka. Ako se rješava sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate, prije njegovog rješavanja poželjno je nacrtati grafove funkcija kako bi se provjerilo da li sistem ima korijene (da li se grafovi datih funkcija seku), i ako da, koliko. Početna aproksimacija se može odabrati prema grafu bliže točki presjeka.

Primjer. Dat sistem jednačina

Prije rješavanja sistema konstruišemo grafove funkcija: parabole (prva jednačina) i prava linija (druga jednačina). Konstrukcija grafika prave i parabole u jednom koordinatnom sistemu prikazana je na slici 4.5:

Rice. 4.5. Iscrtavanje dvije funkcije u istom koordinatnom sistemu

Prava i parabola seku se u dve tačke, što znači da sistem ima dva rešenja. Prema grafu biramo početne aproksimacije nepoznatih x i y za svako rešenje. Pronalaženje korijena sistema jednačina prikazano je na slici 4.6.

Rice. 4.6. Pronalaženje korijena sistema nelinearnih jednačina

Da bismo na grafu označili tačke preseka parabole i prave, uvodimo koordinate tačaka pronađenih pri rešavanju sistema duž ose Ox (vrednosti X ) i duž ose Oy (vrijednosti at ) odvojeno zarezima. U prozoru za oblikovanje grafikona, na kartici tragovi za trag3 i trag4 promena: tip grafikona - tačke, debljina linije - 3, boja - crna (Sl. 4.7).

Rice. 4.7. Funkcionalne grafike sa označenim tačkama preseka

8 . Primjeri upotrebe ključnih karakteristika MathCAD da riješi neke matematičke probleme

Ovaj odjeljak daje primjere rješavanja problema koji zahtijevaju rješavanje jednačine ili sistema jednačina.

8. 1 Pronalaženje lokalnih ekstrema funkcija

Neophodan uslov za ekstrem (maksimum i/ili minimum) neprekidne funkcije je formulisan na sledeći način: ekstremi se mogu dogoditi samo u onim tačkama gde je izvod ili jednak nuli ili ne postoji (posebno, postaje beskonačan) . Da biste pronašli ekstreme neprekidne funkcije, prvo pronađite tačke koje zadovoljavaju nužni uslov, odnosno pronađite sve realne korijene jednadžbe.

Ako se napravi graf funkcije, odmah možete vidjeti - maksimum ili minimum je dostignut u datoj tački X. Ako grafa nema, onda se svaki od pronađenih korijena ispituje na jedan od načina.

1st sa dodatak . With izjednačiti e znakovi derivata . Predznak derivacije se određuje u blizini tačke (u tačkama koje su odvojene od ekstremuma funkcije na različitim stranama na malim udaljenostima). Ako se predznak derivacije promijeni iz "+" u "-", tada funkcija u ovom trenutku ima maksimum. Ako se znak promijeni iz "-" u "+", tada funkcija u ovom trenutku ima minimum. Ako se predznak derivacije ne promijeni, onda nema ekstrema.

2nd s dodatak . AT kalkulacije e sekunda derivat . U ovom slučaju, drugi izvod se izračunava u tački ekstrema. Ako je manji od nule, tada funkcija ima maksimum, ako je veći od nule, onda minimum.

Primjer. Pronalaženje ekstrema (minimuma/maksimuma) funkcije.

Prvo, napravimo graf funkcije (slika 6.1).

Rice. 6.1. Iscrtavanje funkcije

Odredimo iz grafa početne aproksimacije vrijednosti X koji odgovaraju lokalnim ekstremima funkcije f(x). Nađimo ove ekstreme rješavanjem jednačine. Za rješavanje koristimo blok Given - Find (slika 6.2.).

Rice. 6.2. Pronalaženje lokalnih ekstrema

Hajde da definišemo vrstu ekstrema pervnačin, ispitujući promjenu predznaka derivacije u blizini pronađenih vrijednosti (slika 6.3).

Rice. 6.3. Određivanje vrste ekstremuma

Iz tabele vrednosti izvoda i iz grafikona se vidi da je predznak derivacije u blizini tačke x 1 se mijenja iz plusa u minus, tako da funkcija dostiže svoj maksimum u ovom trenutku. I to u blizini tačke x 2, predznak derivacije se promijenio iz minusa u plus, tako da u ovom trenutku funkcija dostiže minimum.

Hajde da definišemo vrstu ekstrema sekundanačin, računajući predznak drugog izvoda (slika 6.4).

Rice. 6.4. Određivanje tipa ekstremuma pomoću drugog izvoda

To se vidi na tački x 1 drugi izvod je manji od nule, dakle tačka X 1 odgovara maksimumu funkcije. I u točki x 2 drugi izvod je veći od nule, dakle tačka X 2 odgovara minimumu funkcije.

8.2 Određivanje površina figura ograničenih kontinuiranim linijama

Područje krivolinijskog trapeza ograničenog grafom funkcije f(x) , segment na osi Ox i dvije vertikale X = a i X = b, a < b, određuje se formulom: .

Primjer. Pronalaženje površine figure ograničene linijama f(x) = 1 - x 2 i y = 0.

Rice. 6.5. Pronalaženje površine figure ograničene linijama f(x) = 1 - x 2 i y = 0

Područje figure zatvoreno između grafova funkcija f1(x) i f2(x) i direktno X = a i X = b, izračunava se po formuli:

Pažnja. Da bi se izbjegle greške pri izračunavanju površine, razlika funkcija se mora uzeti po modulu. Stoga će područje uvijek biti pozitivno.

Primjer. Pronalaženje površine figure ograničene linijama i. Rješenje je prikazano na slici 6.6.

1. Gradimo graf funkcija.

2. Nalazimo točke presjeka funkcija pomoću funkcije korijena. Početne aproksimacije ćemo odrediti iz grafa.

3. Pronađene vrijednosti x su zamijenjene u formuli kao granice integracije.

8. 3 Konstrukcija krivulja po datim tačkama

Konstrukcija prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Zapisati jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke A( x 0,y 0) i B( x 1,y 1), predlaže se sljedeći algoritam:

gdje a i b su koeficijenti prave koje trebamo pronaći.

2. Ovaj sistem je linearan. Ima dvije nepoznate varijable: a i b

Primjer. Konstrukcija prave koja prolazi kroz tačke A(-2,-4) i B(5,7).

Zamjenjujemo direktne koordinate ovih tačaka u jednačinu i dobijamo sistem:

Rješenje ovog sistema u MathCAD-u prikazano je na slici 6.7.

Rice. 6.7 Sistemsko rješenje

Kao rezultat rješavanja sistema dobijamo: a = 1.57, b= -0,857. Dakle, jednačina prave linije će izgledati ovako: y = 1.57x- 0,857. Konstruirajmo ovu pravu liniju (slika 6.8).

Rice. 6.8. Izgradnja prave linije

Konstrukcija parabole, prolazeći kroz tri date tačke

Konstruisati parabolu koja prolazi kroz tri tačke A( x 0,y 0), B( x 1,y 1) i C( x 2,y 2), algoritam je sljedeći:

1. Parabola je data jednačinom

y = sjekira 2 + bX + sa, gdje

a, b i sa su koeficijenti parabole koje trebamo pronaći.

Zamjenjujemo date koordinate tačaka u ovu jednačinu i dobijamo sistem:

2. Ovaj sistem je linearan. Ima tri nepoznate varijable: a, b i sa. Sistem se može riješiti na matrični način.

3. Dobijene koeficijente zamjenjujemo u jednačinu i gradimo parabolu.

Primjer. Konstrukcija parabole koja prolazi kroz tačke A(-1,-4), B(1,-2) i C(3,16).

Zamjenjujemo date koordinate tačaka u jednačinu parabole i dobijamo sistem:

Rješenje ovog sistema jednačina u MathCAD-u prikazano je na slici 6.9.

Rice. 6.9. Rješavanje sistema jednačina

Kao rezultat dobijaju se koeficijenti: a = 2, b = 1, c= -5. Dobijamo jednačinu parabole: 2 x 2 +x -5 = y. Napravimo ovu parabolu (slika 6.10).

Rice. 6.10. Konstrukcija parabole

Konstrukcija kružnice koja prolazi kroz tri date tačke

Da se konstruiše kružnica koja prolazi kroz tri tačke A( x 1,y 1), B( x 2,y 2) i C( x 3,y 3), možete koristiti sljedeći algoritam:

1. Krug je dat jednačinom

gdje su x0,y0 koordinate centra kruga;

R je polumjer kružnice.

2. Zamijenite date koordinate u jednadžbu kruga.........

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

1. Radni prozor MathCAD

· Panel Matematika(Sl. 1.4).

Rice. 1.4. Math panel

Klikom na dugme matematičke trake sa alatkama otvara se dodatna traka sa alatkama:

2. Elementi jezika MathCAD

Osnovni elementi matematičkih izraza MathCAD-a uključuju operatore, konstante, varijable, nizove i funkcije.

2.1 Operateri

Operateri -- elementi MathCAD-a pomoću kojih možete kreirati matematičke izraze. To, na primjer, uključuje simbole za aritmetičke operacije, znakove za izračunavanje zbira, proizvode, izvode, integrale itd.

Operater definiše:

a) radnja koju treba izvršiti u prisustvu određenih vrijednosti operanada;

b) koliko, gdje i koje operande treba unijeti u operator.

Operand -- broj ili izraz na koji operator djeluje. Na primjer, u izrazu 5!+3, brojevi 5! i 3 su operandi "+" (plus) operatora, a broj 5 je operand faktorijala (!).

Bilo koji operator u MathCAD-u se može unijeti na dva načina:

pritiskom na taster (kombinaciju tastera) na tastaturi;

koristeći tablu za matematiku.

Sljedeći izrazi se koriste za dodjelu ili prikaz sadržaja memorijske lokacije povezane s varijablom:

-- znak zadatka (unosi se pritiskom na tipku : na tastaturi (dvotočka u engleskom rasporedu tastature) ili pritiskom na odgovarajuće dugme na panelu Kalkulator );

Ovaj zadatak se zove lokalni. Prije ove dodjele, varijabla nije definirana i ne može se koristiti.

-- operator globalnog dodjeljivanja. Ovaj zadatak se može izvršiti bilo gdje u dokumentu. Na primjer, ako se varijabli dodijeli vrijednost na ovaj način na samom kraju dokumenta, onda će ona imati istu vrijednost na početku dokumenta.

-- približni operator jednakosti (x1). Koristi se u rješavanju sistema jednačina. Unosi se pritiskom na tipku ; na tastaturi (tačka i zarez u engleskom rasporedu tastature) ili pritiskom na odgovarajuće dugme Boolean panel.

= -- operator (jednostavne jednake) rezerviran za izlaz vrijednosti konstante ili varijable.

Najjednostavnije kalkulacije

Proces proračuna se izvodi pomoću:

Kalkulatorske ploče, računske ploče i ploče za procjenu.

Pažnja. Ako je potrebno podijeliti cijeli izraz u brojiocu, onda ga prvo treba odabrati pritiskom na razmaknicu na tastaturi ili stavljanjem u zagrade.

2.2 Konstante

Konstante -- imenovani objekti koji sadrže neku vrijednost koja se ne može promijeniti.

Na primjer, = 3,14.

Dimenzionalne konstante su uobičajene mjerne jedinice. Na primjer, metri, sekunde itd.

Da biste zapisali dimenzionalnu konstantu, morate uneti znak * (množiti) iza broja, odabrati stavku menija Insert podparagraf Jedinica. U mjerenjima su Vam najpoznatije kategorije: Dužina - dužina (m, km, cm); Masa -- težina (g, kg, t); Vrijeme -- vrijeme (min, sek, sat).

2.3 Varijable

Varijable su imenovani objekti koji imaju neku vrijednost koja se može promijeniti kako se program izvodi. Varijable mogu biti numeričke, nizove, karakterne itd. Varijablama se dodjeljuju vrijednosti pomoću znaka za dodjelu (:=).

Pažnja. MathCAD tretira velika i mala slova kao različite identifikatore.

Sistemske varijable

AT MathCAD sadrži malu grupu posebnih objekata koji se ne mogu pripisati ni klasi konstanti ni klasi varijabli, čije se vrijednosti određuju odmah nakon pokretanja programa. Bolje ih je prebrojati sistemske varijable. Ovo, na primjer, TOL - greška numeričkih proračuna, ORIGIN - donja granica vrijednosti indeksa indeksa vektora, matrica itd. Ako je potrebno, možete postaviti druge vrijednosti za ove varijable.

rangirane varijable

Ove varijable imaju niz fiksnih vrijednosti, bilo cijelih ili varirajući u određenom koraku od početne vrijednosti do konačne.

Izraz se koristi za kreiranje rangirane varijable:

Ime=N početi,(N početi+Korak)..N kraj,

gdje je Ime ime varijable;

N početak -- početna vrijednost;

Korak -- specificirani korak za promjenu varijable;

N kraj -- krajnja vrijednost.

Rangirane varijable se široko koriste u crtanju. Na primjer, da nacrtate graf neke funkcije f(x) prije svega, trebate kreirati niz vrijednosti varijabli x-- to mora biti promjenljiva varijabla da bi ovo funkcioniralo.

Pažnja. Ako korak nije naveden u rasponu varijable, onda gram će ga automatski uzeti jednako 1.

Primjer . Varijabilna x varira u rasponu od -16 do +16 u koracima od 0,1

Da biste napisali promenljivu u rasponu, ukucali biste:

Ime varijable ( x);

Znak zadatka (:=)

Prva vrijednost raspona (-16);

zarez;

Druga vrijednost opsega, koja je zbir prve vrijednosti i koraka (-16+0,1);

elipsa ( .. ) -- mijenjanje varijable u zadatim granicama (trotočka se upisuje pritiskom na tačku i zarez na engleskom rasporedu tastature);

Zadnja vrijednost raspona (16).

Kao rezultat, dobit ćete: x := -16,-16+0.1..16.

Izlazne tabele

Svaki izraz sa rangiranim varijablama nakon znaka jednakosti pokreće izlaznu tablicu.

Možete umetnuti numeričke vrijednosti u izlazne tablice i ispraviti ih.

Varijabla s indeksom

Varijabla s indeksom-- je varijabla kojoj je dodijeljen skup nepovezanih brojeva, od kojih svaki ima svoj broj (indeks).

Indeks se unosi pritiskom na lijevu uglatu zagradu na tastaturi ili korištenjem tipke x n na panelu Kalkulator.

Možete koristiti ili konstantu ili izraz kao indeks. Da biste inicijalizirali varijablu s indeksom, morate unijeti elemente niza, odvajajući ih zarezima.

Primjer. Unos varijabli indeksa.

Numeričke vrijednosti se unose u tabelu odvojene zarezima;

Izlaz vrijednosti prvog elementa vektora S;

Izlaz vrijednosti nultog elementa vektora S.

2.4 Nizovi

niz -- jedinstveno imenovana kolekcija konačnog broja numeričkih ili znakovnih elemenata, poredanih na neki način i koja ima specifične adrese.

U paketu MathCAD koriste se nizovi dva najčešća tipa:

jednodimenzionalni (vektori);

dvodimenzionalni (matrice).

Možete ispisati matrični ili vektorski predložak na jedan od sljedećih načina:

izaberite stavku menija Insert - Matrix;

pritisnite kombinaciju tastera ctrl+ M;

pritisnite dugme za uključivanje panel i vektori i matrice.

Kao rezultat, pojavit će se dijaloški okvir u kojem se postavlja potreban broj redaka i stupaca:

Redovi-- broj redova

kolone-- broj kolona

Ako matrici (vektoru) treba dati ime, tada se prvo upisuje naziv matrice (vektora), zatim operator dodjeljivanja, a zatim predložak matrice.

na primjer:

Matrix -- dvodimenzionalni niz pod nazivom M n , m , koji se sastoji od n redova i m kolona.

Na matricama možete izvoditi razne matematičke operacije.

2.5 Funkcije

Funkcija -- izraz prema kojem se neki proračuni izvode sa argumentima i određuje se njegova brojčana vrijednost. Primjeri funkcija: grijeh(x), tan(x) i sl.

Funkcije u MathCAD paketu mogu biti ugrađene ili korisnički definirane. Načini umetanja inline funkcije:

Odaberite stavku menija Insert- Funkcija.

Pritisnite kombinaciju tastera ctrl+ E.

Kliknite na dugme na traci sa alatkama.

Otkucajte naziv funkcije na tastaturi.

Korisničke funkcije se obično koriste kada se isti izraz evaluira više puta. Za postavljanje korisničke funkcije:

· unesite naziv funkcije sa obaveznim naznakom argumenta u zagradama, na primjer, f(x);

Unesite operator dodjeljivanja (:=);

Unesite izračunati izraz.

Primjer. f (z) := sin(2 z 2)

3. Formatiranje brojeva

U MathCAD-u možete promijeniti izlazni format brojeva. Obično se proračuni izvode s tačnošću od 20 cifara, ali nisu prikazane sve značajne brojke. Za promjenu formata broja dvaput kliknite na željeni brojčani rezultat. Pojavit će se prozor za oblikovanje brojeva, otvoren na kartici broj Format (Format brojeva) sa sljedećim formatima:

o Generale (Glavno) -- je zadana postavka. Brojevi se prikazuju redom (na primjer, 1.2210 5). Broj znakova mantise određuje se na terenu Eksponencijalno Prag(Prag eksponencijalne notacije). Kada je prag prekoračen, broj se prikazuje redom. Broj cifara nakon decimalnog zareza se mijenja u polju broj of decimalni mjesta.

o Decimala (Decimalno) -- Decimalni prikaz brojeva s pokretnim zarezom (na primjer, 12,2316).

o Scientific (Naučno) -- Brojevi se prikazuju samo po redu.

o Inženjering (Inženjering) -- brojevi se prikazuju samo kao višekratnici od tri (na primjer, 1,2210 6).

Pažnja. Ako nakon podešavanja željenog formata u prozoru za oblikovanje brojeva, odaberite dugme uredu, format će biti postavljen samo za odabrani broj. A ako odaberete dugme Postavi kao zadano, format će se primijeniti na sve brojeve u ovom dokumentu.

Brojevi se automatski zaokružuju na nulu ako su manji od postavljenog praga. Prag se postavlja za cijeli dokument, a ne za određeni rezultat. Za promjenu praga zaokruživanja na nulu, odaberite stavku menija Formatiranje - rezultat i u tab tolerancije , na terenu Zero prag unesite traženu vrijednost praga.

4 . Rad sa tekstom

Isječci teksta su dijelovi teksta koje bi korisnik želio vidjeti u svom dokumentu. To mogu biti objašnjenja, linkovi, komentari itd. Oni se ubacuju pomoću stavke menija Insert - Regija teksta.

Možete formatirati tekst: promijeniti font, njegovu veličinu, stil, poravnanje itd. Da biste to učinili, odaberite ga i odaberite odgovarajuće opcije na ploči s fontovima ili u izborniku Formatiranje - Tekst.

5. Rad sa grafikom

Prilikom rješavanja mnogih problema u kojima se proučava funkcija, često postaje potrebno nacrtati njen graf, koji će jasno odražavati ponašanje funkcije u određenom intervalu.

U sistemu MathCAD moguće je graditi različite tipove grafova: u kartezijanskim i polarnim koordinatnim sistemima, trodimenzionalne grafove, površine obrtnih tela, poliedre, prostorne krive, grafove vektorskog polja. Pogledat ćemo kako napraviti neke od njih.

5.1 Konstrukcija dvodimenzionalnih grafova

Da biste napravili dvodimenzionalni graf funkcije, trebate:

postavite funkciju

Postavite kursor na mesto gde treba da se gradi grafik, na matematičkom panelu izaberite dugme Graf (grafikon) a na panelu koji se otvori dugme X-Y Plot (dvodimenzionalni grafikon);

U predložak dvodimenzionalnog grafa koji se pojavio, koji je prazan pravougaonik sa oznakama podataka, unesite naziv varijable u centralnu oznaku podataka duž ose apscise (X osa) i unesite naziv funkcije na mjesto centralna oznaka podataka duž ordinatne ose (Y osa) (slika 2.1 );\

Rice. 2.1. 2D Plot Template

kliknite izvan šablona grafikona -- graf funkcije će biti iscrtan.

Raspon argumenata se sastoji od 3 vrijednosti: početne, druge i konačne.

Neka je potrebno nacrtati graf funkcije na intervalu [-2,2] sa korakom od 0,2. Varijabilne vrijednosti t su specificirani kao raspon kako slijedi:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

gdje je: -2 -- početna vrijednost opsega;

-1,8 (-2 + 0,2) -- vrijednost drugog raspona (početna vrijednost plus inkrement);

2 -- krajnja vrijednost opsega.

Pažnja. Trotočka se unosi pritiskom na tačku i zarez na engleskom rasporedu tastature.

Primjer. Iscrtavanje funkcije y = x 2 na intervalu [-5,5] sa korakom od 0,5 (slika 2.2).

Rice. 2.2. Iscrtavanje funkcije y = x 2

Kada crtate grafikone, uzmite u obzir sljedeće:

° Ako raspon vrijednosti argumenata nije naveden, tada se po defaultu graf gradi u rasponu [-10,10].

° Ako je potrebno smjestiti nekoliko grafova u jedan predložak, tada su nazivi funkcija označeni zarezima.

° Ako dvije funkcije imaju različite argumente, na primjer f1(x) i f2(y), tada su nazivi funkcija naznačeni na osi ordinate (Y), odvojeni zarezima, a na osi apscise (X), imena obje varijable su također odvojena zarezima.

° Završne oznake podataka na predlošku grafikona služe za označavanje graničnih vrijednosti apscise i ordinate, tj. oni postavljaju skalu grafikona. Ako ostavite ove oznake prazne, skala će se automatski postaviti. Automatska skala ne odražava uvijek grafikon u željenom obliku, tako da se granične vrijednosti apscise i ordinate moraju uređivati ​​ručno mijenjajući ih.

Bilješka. Ako nakon crtanja grafikon ne poprimi željeni oblik, možete:

Smanjite korak.

· promijeniti interval crtanja.

Smanjite granične vrijednosti apscisa i ordinata na grafikonu.

Primjer. Konstrukcija kružnice sa centrom u tački (2,3) i poluprečnikom R = 6.

Jednadžba kružnice sa središtem u tački s koordinatama ( x 0 ,y 0) i radijus R je napisano kao:

Izrazite iz ove jednadžbe y:

Dakle, za konstruiranje kruga potrebno je postaviti dvije funkcije: gornji i donji polukrug. Raspon argumenata se izračunava na sljedeći način:

Početna vrijednost raspona = x 0 - R;

Krajnja vrijednost raspona = x 0 + R;

Bolje je uzeti korak jednak 0,1 (slika 2.3.).

Rice. 2.3. Konstrukcija kruga

Parametarski graf funkcije

Ponekad je zgodnije umjesto linijske jednadžbe koja povezuje pravokutne koordinate x i y, razmotrite takozvane parametarske jednadžbe linija, koje daju izraze za trenutne koordinate x i y kao funkcije neke varijable t(parametar): x(t) i y(t). Prilikom konstruisanja parametarskog grafa, nazivi funkcija jednog argumenta se navode na osi ordinate i apscise.

Primjer. Konstrukcija kružnice sa centrom u tački sa koordinatama (2,3) i poluprečnikom R= 6. Za konstrukciju se koristi parametarska jednadžba kružnice

x = x 0 + R cos( t) y = y 0 + R grijeh( t) (Sl. 2.4.).

Sl.2.4. Konstrukcija kruga

Formatiranje grafikona

Da biste formatirali grafikon, dvaput kliknite na područje grafikona. Otvoriće se dijaloški okvir za oblikovanje grafikona. Kartice u prozoru za oblikovanje grafikona su navedene u nastavku:

§ X- Ysjekire--formatiranje koordinatnih osa. Označavanjem odgovarajućih polja možete:

· DnevnikScale--predstavljaju numeričke vrijednosti na osi u logaritamskoj skali (prema zadanim postavkama, numeričke vrijednosti su iscrtane na linearnoj skali)

· Gridlinije--primijeniti mrežu linija;

· numerisani--poređati brojeve duž koordinatnih osa;

· AutoScale--automatski odabir graničnih numeričkih vrijednosti na osama (ako je ovo polje poništeno, maksimalne izračunate vrijednosti će biti ograničene);

· showmarker-- označavanje grafikona u obliku horizontalnih ili vertikalnih isprekidanih linija koje odgovaraju navedenoj vrijednosti na osi, a same vrijednosti se prikazuju na kraju linija (na svakoj osi se pojavljuju 2 ulazna mjesta u kojima možete unositi numeričke vrijednosti, ne unositi ništa, unositi jednobrojne ili slovne oznake konstanti);

· AutoGosloboditi se-- automatski odabir broja linija mreže (ako je ovo polje poništeno, morate navesti broj linija u polju Broj mreža);

· prešao- os apscise prolazi kroz nulu ordinate;

· U kutiji-- os x ide duž donje ivice grafikona.

§ Trace-- linijsko formatiranje funkcijskih grafova. Za svaki grafikon posebno možete promijeniti:

simbol (Simbol) na grafikonu za čvorne tačke (krug, krst, pravougaonik, romb);

tip linije (puna - puna, tačka - isprekidana linija, crtica - potezi, dadot - isprekidana linija);

boja linije (Color);

Vrsta (Ture) grafikona (Linije - linija, Points - tačke, Var ili Solidbar - trake, Step - korak grafikon, itd.);

debljina linije (težina).

§ Oznaka -- naslov u oblasti grafikona. Na terenu Naslov (Naslov) možete napisati tekst naslova, odabrati njegovu poziciju - na vrhu ili na dnu grafikona ( Iznad -- vrh, Ispod -- dolje ispod). Možete unijeti, ako je potrebno, nazive argumenta i funkcije ( Axis Labels ).

§ Zadano -- koristeći ovu karticu, možete se vratiti na zadani prikaz grafikona (Promijeni na zadani) ili koristiti promjene koje ste napravili na grafikonu prema zadanim postavkama za sve grafikone u ovom dokumentu (Koristi za zadane postavke).

5. 2 Građevinske polarne parcele

Da biste napravili polarni graf funkcije, trebate:

· postaviti raspon vrijednosti argumenata;

postavite funkciju

· postavite kursor na mesto gde treba da se gradi grafik, na matematičkom panelu izaberite dugme Graf (grafikon) a u panelu koji se otvori dugme Polarni grafikon (polarni grafikon);

· u polja za unos šablona koji se pojavi, morate uneti ugaoni argument funkcije (ispod) i naziv funkcije (levo).

Primjer. Konstrukcija Bernoullijeve lemniskate: (Sl. 2.6.)

Sl.2.6. Primjer izgradnje polarne parcele

5. 3 Iscrtavanje površine (3D ili 3 D - grafikoni)

Prilikom konstruisanja trodimenzionalnih grafova koristi se panel graf(Grafikon) matematički panel. Možete napraviti trodimenzionalni graf pomoću čarobnjaka koji se poziva iz glavnog menija; možete izgraditi graf kreiranjem matrice vrijednosti funkcije dvije varijable; možete koristiti ubrzanu metodu izgradnje; možete pozvati specijalne funkcije CreateMech i CreateSpase, dizajnirane da kreiraju niz vrijednosti funkcija i dijagrama. Razmotrit ćemo ubrzanu metodu za konstruiranje trodimenzionalnog grafa.

Quick Graphing

Da biste brzo napravili trodimenzionalni graf funkcije, trebate:

postavite funkciju

postavite kursor na mesto gde treba da se izgradi graf, izaberite dugme na matematičkom panelu graf(Grafikon) i na otvorenom panelu dugme ( površinski graf);

· na jedino mjesto predloška unesite naziv funkcije (bez specificiranja varijabli);

· kliknite izvan šablona grafikona -- graf funkcije će biti izgrađen.

Primjer. Iscrtavanje funkcije z(x,y) = x 2 + y 2 - 30 (sl. 2.7).

Rice. 2.7. Primjer brze površine

Izgrađeni grafikon se može kontrolisati:

° rotacija grafikona se vrši nakon što se pokazivač miša pređe preko njega sa pritisnutim levim tasterom miša;

° skaliranje grafikona se vrši nakon prelaska pokazivača miša preko njega istovremenim pritiskom lijeve tipke miša i tipke Ctrl (ako pomjerate miš, grafikon se povećava ili smanjuje);

° animacija grafikona se izvodi na isti način, ali uz dodatno pritisnutu tipku Shift. Potrebno je samo da počnete rotirati graf mišem, tada će se animacija automatski izvesti. Da biste zaustavili rotaciju, kliknite lijevu tipku miša unutar područja grafikona.

Moguće je izgraditi nekoliko površina odjednom u jednom crtežu. Da biste to učinili, morate postaviti obje funkcije i navesti nazive funkcija na predlošku grafikona odvojene zarezima.

Prilikom brzog crtanja, zadane vrijednosti za oba argumenta su između -5 i +5, a broj linija konture je 20. Da biste promijenili ove vrijednosti, morate:

· dvaput kliknite na grafikon;

· izaberite karticu Quick Plot Data u prozoru koji se otvori;

· unesite nove vrijednosti u područje prozora Range1 -- za prvi argument i Range2 -- za drugi argument (početna -- početna vrijednost, kraj -- konačna vrijednost);

· u polju # Grids, promijenite broj linija mreže koje pokrivaju površinu;

· Kliknite na dugme OK.

Primjer. Iscrtavanje funkcije z(x,y) = -sin( x 2 + y 2) (Sl. 2.9).

Prilikom konstruiranja ovog grafa, bolje je odabrati granice promjene vrijednosti oba argumenta od -2 do +2.

Rice. 2.9. Primjer crtanja grafa funkcije z(x,y) = -sin( x 2 + y 2)

forematiranje 3D grafova

Da biste formatirali grafikon, dvaput kliknite na područje iscrtavanja - pojavit će se prozor za oblikovanje s nekoliko kartica: Izgled,Generale,sjekire,osvetljenje,Naslov,Pozadinske ploče,Poseban, Napredno, BrzoParcelaPodaci.

Svrha kartice BrzoParcelaPodaci je gore diskutovano.

Tab Izgled omogućava vam da promijenite izgled grafikona. Polje Fill Opcije omogućava vam da promijenite parametre popunjavanja, polje linija Opcija-- parametri linije, tačka Opcije-- tačkasti parametri.

U kartici Generale ( generalno) u grupi pogled možete odabrati uglove rotacije prikazane površine oko sve tri ose; u grupi displejas Možete promijeniti vrstu grafikona.

U kartici osvetljenje(osvetljenje) možete kontrolisati osvetljenje tako što ćete označiti polje omogućitiosvetljenje(uključite svjetla) i prekidač On(uključite). Sa liste se bira jedna od 6 mogućih shema rasvjete osvetljenjeshema(šema rasvjete).

6. Načini rješavanja jednačina u MathCAD

U ovom odeljku ćemo naučiti kako najjednostavnije jednadžbe oblika F( x) = 0. Analitički riješiti jednačinu znači pronaći sve njene korijene, tj. takve brojeve, kada ih zamenimo u originalnu jednačinu, dobijamo tačnu jednakost. Grafički riješiti jednačinu znači pronaći točke presjeka grafa funkcije sa x-osom.

6. 1 Rješavanje jednadžbi pomoću f funkcije i root ( f ( x ), x )

Za rješenja jednadžbe sa jednom nepoznanicom oblika F( x) = 0 postoji posebna funkcija

root(f(x), x) ,

gdje f(x) je izraz jednak nuli;

X-- argument.

Ova funkcija vraća, sa datom preciznošću, vrijednost varijable za koju je izraz f(x) je jednako 0.

Pažnjae. Ako je desna strana jednadžbe 0, onda je potrebno dovesti je u normalni oblik (sve prenijeti na lijevu stranu).

Prije korištenja funkcije root mora se dati argumentu X početna aproksimacija. Ako postoji nekoliko korijena, onda da biste pronašli svaki korijen, morate navesti svoju početnu aproksimaciju.

Pažnja. Prije rješavanja poželjno je iscrtati graf funkcije kako bi se provjerilo ima li korijena (da li graf siječe os Ox), i ako da, koliko. Početna aproksimacija se može odabrati prema grafu bliže točki presjeka.

Primjer. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije root prikazano na slici 3.1. Prije nego što pređemo na rješenje u MathCAD sistemu, u jednačini ćemo sve prenijeti na lijevu stranu. Jednačina će imati oblik: .

Rice. 3.1. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije korijena

6. 2 Rješavanje jednadžbi pomoću f funkcije i polyroots ( v )

Da biste istovremeno pronašli sve korijene polinoma, koristite funkciju polyroots(v), gdje je v vektor koeficijenata polinoma, počevši od slobodnog člana . Nulti koeficijenti se ne mogu izostaviti, za razliku od funkcije root funkcija Polyroots ne zahtijeva početnu aproksimaciju.

Primjer. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije polyroots prikazano na slici 3.2.

Rice. 3.2. Rješavanje jednadžbe korištenjem funkcije polikorijena

6. 3 Rješavanje jednadžbi pomoću ffunkcijeinaći(x)

Funkcija Find radi u sprezi s ključnom riječi Given. Dizajn Dato-naći

Ako je data jednadžba f(x) = 0, onda se pomoću bloka može riješiti na sljedeći način Dato - naći:

Postavite početnu aproksimaciju

Unesite službenu riječ

Napišite jednačinu koristeći znak podebljano jednako

Napišite funkciju pronalaženja s nepoznatom varijablom kao parametrom

Kao rezultat, nakon znaka jednakosti, bit će prikazan pronađeni korijen.

Ako postoji nekoliko korijena, oni se mogu pronaći promjenom početne aproksimacije x0 na onu koja je bliska željenom korijenu.

Primjer. Rješenje jednadžbe korištenjem funkcije pronalaženja prikazano je na slici 3.3.

Rice. 3.3. Rješavanje jednadžbe s funkcijom pronalaženja

Ponekad je potrebno označiti neke tačke na grafu (na primjer, točke presjeka funkcije sa Ox osom). Za ovo vam je potrebno:

Navedite x vrijednost date tačke (duž ose Ox) i vrijednost funkcije u ovoj tački (duž ose Oy);

dvaput kliknite na grafikon i u prozoru za oblikovanje na kartici tragovi za odgovarajuću liniju odaberite tip grafikona - tačke, debljinu linije - 2 ili 3.

Primjer. Grafikon prikazuje točku presjeka funkcije sa x-osom. Koordinate X ova tačka je pronađena u prethodnom primjeru: X= 2,742 (koren jednačine ) (Sl. 3.4).

Rice. 3.4. Grafikon funkcije s označenom presječnom točkom

U prozoru za oblikovanje grafikona, na kartici tragovi za trag2 promijenjeno: tip grafikona - tačke, debljina linije - 3, boja - crna.

7. Rješavanje sistema jednačina

7. 1 Rješavanje sistema linearnih jednačina

Sistem linearnih jednačina se može riješiti m matrična metoda (ili kroz inverznu matricu ili koristeći funkciju lsolve(A,B)) i korištenjem dvije funkcije naći i karakteristike Minerr.

Matrična metoda

Primjer. Dat je sistem jednačina:

Rješenje ovog sistema jednačina matričnom metodom prikazano je na slici 4.1.

Rice. 4.1. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Upotreba funkcijelsolve(A, B)

Lriješiti(A,B) je ugrađena funkcija koja vraća vektor X za sistem linearnih jednadžbi date matricu koeficijenata A i vektor slobodnih termina B .

Primjer. Dat je sistem jednačina:

Način rješavanja ovog sistema pomoću funkcije lsolve(A,B) prikazan je na slici 4.2.

Rice. 4.2. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi pomoću funkcije lsolve

Rješavanje sistema linearnih jednačinaprekofunkcijeinaći

Ovom metodom jednačine se unose bez upotrebe matrica, tj. u "prirodnom obliku". Prvo je potrebno naznačiti početne aproksimacije nepoznatih varijabli. To može biti bilo koji broj u okviru definicije. Često ih pogrešno smatraju kolonom slobodnih članova.

Kako bi se riješio sistem linearnih jednačina pomoću računske jedinice Dato - naći, potrebno:

2) unesite službenu riječ Dato;

podebljano jednako();

4) napisati funkciju naći,

Primjer. Dat je sistem jednačina:

Rješenje ovog sistema pomoću računarske jedinice Dato - naći prikazano na slici 4.3.

Rice. 4.3. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi pomoću funkcije Find

Približno strrješenje sistema linearnih jednačina

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi pomoću funkcije Minerr slično rješenju pomoću funkcije naći(koristeći isti algoritam), samo funkciju naći daje tačno rješenje, i Minerr-- približno. Ako se, kao rezultat pretrage, ne može dobiti daljnje preciziranje trenutne aproksimacije rješenja, Rudarr vraća ovu aproksimaciju. Funkcija naći u ovom slučaju vraća poruku o grešci.

Možete odabrati drugu početnu aproksimaciju.

· Možete povećati ili smanjiti tačnost proračuna. Da biste to uradili, izaberite iz menija Math > Opcije(Matematika - Opcije), tab izgrađen- UVarijable(Ugrađene varijable). U kartici koja se otvori potrebno je smanjiti dozvoljenu grešku u proračunu (Tolerancija konvergencije (TOL)). Zadani TOL = 0,001.

ATpažnju. Kod metode matričnog rješenja potrebno je preurediti koeficijente prema porastu nepoznanica X 1, X 2, X 3, X 4.

7. 2 Rješavanje sistema nelinearnih jednačina

Sistemi nelinearnih jednačina u MathCAD-u se rješavaju pomoću računarske jedinice Dato - naći.

Dizajn Dato - naći koristi računsku tehniku ​​zasnovanu na pronalaženju korijena blizu početne aproksimacijske točke koju je odredio korisnik.

Za rješavanje sistema jednadžbi pomoću bloka Dato - naći potrebno:

1) postaviti početne aproksimacije za sve varijable;

2) unesite službenu riječ Dato;

3) zapišite sistem jednačina koristeći znak podebljano jednako();

4) napisati funkciju naći, navođenjem nepoznatih varijabli kao parametara funkcije.

Kao rezultat proračuna, biće prikazan vektor rješenja sistema.

Ako sistem ima nekoliko rješenja, algoritam treba ponoviti s drugim početnim nagađanjima.

Bilješka. Ako se rješava sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate, prije njegovog rješavanja poželjno je nacrtati grafove funkcija kako bi se provjerilo da li sistem ima korijene (da li se grafovi datih funkcija seku), i ako da, koliko. Početna aproksimacija se može odabrati prema grafu bliže točki presjeka.

Primjer. Dat sistem jednačina

Prije rješavanja sistema konstruišemo grafove funkcija: parabole (prva jednačina) i prava linija (druga jednačina). Konstrukcija grafika prave i parabole u jednom koordinatnom sistemu prikazana je na slici 4.5:

Rice. 4.5. Iscrtavanje dvije funkcije u istom koordinatnom sistemu

Prava i parabola seku se u dve tačke, što znači da sistem ima dva rešenja. Prema grafu biramo početne aproksimacije nepoznatih x i y za svako rešenje. Pronalaženje korijena sistema jednačina prikazano je na slici 4.6.

Rice. 4.6. Pronalaženje korijena sistema nelinearnih jednačina

Da bismo na grafu označili tačke preseka parabole i prave, uvodimo koordinate tačaka pronađenih pri rešavanju sistema duž ose Ox (vrednosti X ) i duž ose Oy (vrijednosti at ) odvojeno zarezima. U prozoru za oblikovanje grafikona, na kartici tragovi za trag3 i trag4 promena: tip grafikona - tačke, debljina linije - 3, boja - crna (Sl. 4.7).

Rice. 4.7. Funkcionalne grafike sa označenim tačkama preseka

8 . Primjeri upotrebe ključnih karakteristika MathCAD da riješi neke matematičke probleme

Ovaj odjeljak daje primjere rješavanja problema koji zahtijevaju rješavanje jednačine ili sistema jednačina.

8. 1 Pronalaženje lokalnih ekstrema funkcija

Neophodan uslov za ekstrem (maksimum i/ili minimum) neprekidne funkcije je formulisan na sledeći način: ekstremi se mogu dogoditi samo u onim tačkama gde je izvod ili jednak nuli ili ne postoji (posebno, postaje beskonačan) . Da biste pronašli ekstreme neprekidne funkcije, prvo pronađite tačke koje zadovoljavaju nužni uslov, odnosno pronađite sve realne korijene jednadžbe.

Ako se napravi graf funkcije, odmah možete vidjeti - maksimum ili minimum je dostignut u datoj tački X. Ako grafa nema, onda se svaki od pronađenih korijena ispituje na jedan od načina.

1st sa dodatak . With izjednačiti e znakovi derivata . Određuje se predznak derivacije susjedstva tačke (u tačkama koje su odvojene od ekstremuma funkcije na različitim stranama na malim udaljenostima). Ako se predznak derivacije promijeni iz "+" u "-", tada funkcija u ovom trenutku ima maksimum. Ako se znak promijeni iz "-" u "+", tada funkcija u ovom trenutku ima minimum. Ako se predznak derivacije ne promijeni, onda nema ekstrema.

2nd s dodatak . AT kalkulacije e sekunda derivat . U ovom slučaju, drugi izvod se izračunava u tački ekstrema. Ako je manji od nule, tada funkcija ima maksimum, ako je veći od nule, onda minimum.

Primjer. Pronalaženje ekstrema (minimuma/maksimuma) funkcije.

Prvo, napravimo graf funkcije (slika 6.1).

Rice. 6.1. Iscrtavanje funkcije

Odredimo iz grafa početne aproksimacije vrijednosti X koji odgovaraju lokalnim ekstremima funkcije f(x). Nađimo ove ekstreme rješavanjem jednačine. Za rješavanje koristimo blok Given - Find (slika 6.2.).

Rice. 6.2. Pronalaženje lokalnih ekstrema

Hajde da definišemo vrstu ekstrema pervnačin, ispitujući promjenu predznaka derivacije u blizini pronađenih vrijednosti (slika 6.3).

Rice. 6.3. Određivanje vrste ekstremuma

Iz tabele vrednosti izvoda i iz grafikona se vidi da je predznak derivacije u blizini tačke x 1 se mijenja iz plusa u minus, tako da funkcija dostiže svoj maksimum u ovom trenutku. I to u blizini tačke x 2, predznak derivacije se promijenio iz minusa u plus, tako da u ovom trenutku funkcija dostiže minimum.

Hajde da definišemo vrstu ekstrema sekundanačin, računajući predznak drugog izvoda (slika 6.4).

Rice. 6.4. Određivanje tipa ekstremuma pomoću drugog izvoda

To se vidi na tački x 1 drugi izvod je manji od nule, dakle tačka X 1 odgovara maksimumu funkcije. I u točki x 2 drugi izvod je veći od nule, dakle tačka X 2 odgovara minimumu funkcije.

8.2 Određivanje površina figura ograničenih kontinuiranim linijama

Područje krivolinijskog trapeza ograničenog grafom funkcije f(x) , segment na osi Ox i dvije vertikale X = a i X = b, a < b, određuje se formulom: .

Primjer. Pronalaženje površine figure ograničene linijama f(x) = 1 - x 2 i y = 0.

Rice. 6.5. Pronalaženje površine figure ograničene linijama f(x) = 1 - x 2 i y = 0

Područje figure zatvoreno između grafova funkcija f1(x) i f2(x) i direktno X = a i X = b, izračunava se po formuli:

Pažnja. Da bi se izbjegle greške pri izračunavanju površine, razlika funkcija se mora uzeti po modulu. Stoga će područje uvijek biti pozitivno.

Primjer. Pronalaženje površine figure ograničene linijama i. Rješenje je prikazano na slici 6.6.

1. Gradimo graf funkcija.

2. Nalazimo točke presjeka funkcija pomoću funkcije korijena. Početne aproksimacije ćemo odrediti iz grafa.

3. Pronađene vrijednosti x su zamijenjene u formuli kao granice integracije.

8. 3 Konstrukcija krivulja po datim tačkama

Konstrukcija prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Zapisati jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke A( x 0,y 0) i B( x 1,y 1), predlaže se sljedeći algoritam:

1. Prava linija je data jednačinom y = sjekira + b,

gdje a i b su koeficijenti prave koje trebamo pronaći.

2. Ovaj sistem je linearan. Ima dvije nepoznate varijable: a i b

Primjer. Konstrukcija prave koja prolazi kroz tačke A(-2,-4) i B(5,7).

Zamjenjujemo direktne koordinate ovih tačaka u jednačinu i dobijamo sistem:

Rješenje ovog sistema u MathCAD-u prikazano je na slici 6.7.

Rice. 6.7 Sistemsko rješenje

Kao rezultat rješavanja sistema dobijamo: a = 1.57, b= -0,857. Dakle, jednačina prave linije će izgledati ovako: y = 1.57x- 0,857. Konstruirajmo ovu pravu liniju (slika 6.8).

Rice. 6.8. Izgradnja prave linije

Konstrukcija parabole, prolazeći kroz tri date tačke

Konstruisati parabolu koja prolazi kroz tri tačke A( x 0,y 0), B( x 1,y 1) i C( x 2,y 2), algoritam je sljedeći:

1. Parabola je data jednačinom

y = sjekira 2 + bX + sa, gdje

a, b i sa su koeficijenti parabole koje trebamo pronaći.

Zamjenjujemo date koordinate tačaka u ovu jednačinu i dobijamo sistem:

.

2. Ovaj sistem je linearan. Ima tri nepoznate varijable: a, b i sa. Sistem se može riješiti na matrični način.

3. Dobijene koeficijente zamjenjujemo u jednačinu i gradimo parabolu.

Primjer. Konstrukcija parabole koja prolazi kroz tačke A(-1,-4), B(1,-2) i C(3,16).

Zamjenjujemo date koordinate tačaka u jednačinu parabole i dobijamo sistem:

Rješenje ovog sistema jednačina u MathCAD-u prikazano je na slici 6.9.

Rice. 6.9. Rješavanje sistema jednačina

Kao rezultat dobijaju se koeficijenti: a = 2, b = 1, c= -5. Dobijamo jednačinu parabole: 2 x 2 +x -5 = y. Napravimo ovu parabolu (slika 6.10).

Rice. 6.10. Konstrukcija parabole

Konstrukcija kružnice koja prolazi kroz tri date tačke

Da se konstruiše kružnica koja prolazi kroz tri tačke A( x 1,y 1), B( x 2,y 2) i C( x 3,y 3), možete koristiti sljedeći algoritam:

1. Krug je dat jednačinom

,

gdje su x0,y0 koordinate centra kruga;

R je polumjer kružnice.

2. Zamijenite date koordinate tačaka u jednadžbu kruga i dobijete sistem:

.

Ovaj sistem je nelinearan. Ima tri nepoznate varijable: x 0, y 0 i R. Sistem je riješen pomoću računske jedinice Dato - naći.

Primjer. Konstrukcija kružnice koja prolazi kroz tri tačke A(-2.0), B(6.0) i C(2.4).

Zamjenjujemo date koordinate tačaka u jednadžbu kruga i dobijamo sistem:

Rješenje sistema u MathCAD-u prikazano je na slici 6.11.

Rice. 6.11. Sistemsko rješenje

Kao rezultat rješavanja sistema dobijeno je sljedeće: x 0 = 2, y 0 = 0, R = 4. Dobijene koordinate centra kružnice i polumjera zamijeniti u jednačinu kružnice. Dobijamo: . Ekspresno odavde y i konstruisati krug (slika 6.12).

Rice. 6.12. Konstrukcija kruga

Slični dokumenti

Korištenje rangiranih varijabli u softverskom paketu Mathcad. Kreiranje matrica bez upotrebe matričnih šablona, ​​opis operatora za rad sa vektorima i matricama. Rješavanje sistema linearnih i nelinearnih jednadžbi korištenjem Mathcad funkcija.

kontrolni rad, dodano 06.03.2011


Opšti pogled na MathCad prozor, meni na traci sa alatkama programa koji se proučava. MathCad dokument, njegove opšte karakteristike i metode uređivanja. Odvajanje oblasti i kontekst menija, izrazi. Definicija diskretnog argumenta, varijabli i konstanti.

prezentacija, dodano 29.09.2013


Pojam matematičkog modela i modeliranja. Opšte informacije o MathCad sistemu. Strukturna analiza problema u MathCAD-u. Način kontinuiranih simboličkih transformacija. Optimizacija numeričkih kartica kroz simboličke konverzije. Proračun reakcije podrške.

seminarski rad, dodan 06.03.2014


Namjena i sastav MathCAD sistema. Glavni objekti jezika unosa i jezika implementacije. Karakteristike elemenata korisničkog interfejsa, postavljanje sastava alatnih traka. Problemi linearne algebre i rješenja diferencijalnih jednadžbi u MathCAD-u.

kurs predavanja, dodato 13.11.2010


Opšte informacije o Mathcad sistemu. Prozor Mathcad programa i alatne trake. Proračun algebarskih funkcija. Interpolacija funkcija kubičnim splajnovima. Izračunavanje kvadratnog korijena. Analiza numeričke diferencijacije i integracije.

seminarski rad, dodan 25.12.2014


Proučavanje strukture radnog dokumenta MathCad - programa dizajniranog za automatizaciju matematičkih proračuna. Rad sa varijablama, funkcijama i matricama. Primena MathCad-a za crtanje, rešavanje jednačina i simbolička izračunavanja.

prezentacija, dodano 07.03.2013


Pojam matematičkog modela, svojstva i klasifikacija. Karakteristike elemenata Mathcad sistema. Algoritamska analiza problema: opis matematičkog modela, grafička šema algoritma. Implementacija osnovnog modela i opis MathCAD studija.

sažetak, dodan 20.03.2014


Mathcad i njegovi osnovni koncepti. Mogućnosti i funkcije sistema u matričnom računu. Najjednostavnije operacije sa matricama. Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina. Vlastiti vektori. Cholesky decomposition. Elementarna teorija linearnih operatora.

seminarski rad, dodan 25.11.2014


Glavni elementi MathCAD sistema, pregled njegovih mogućnosti. Sučelje sistema, koncept konstrukcije dokumenta. Tipovi podataka, jezik sistemskog unosa. Klasifikacija standardnih funkcija. Grafičke mogućnosti MathCAD sistema. Rješenje sistemskih jednačina.

kurs predavanja, dodato 01.03.2015


Uvod u Windows uređivače teksta. Postavljanje Microsoft Word editora. Izrada MS Excel dokumenta. Kreiranje Web stranica u okruženju MS Word. Građevinski okviri. Upravljanje opcijama fonta. Ucrtavanje u matematičkom paketu MathCad.